湘教版九年级数学正弦和余弦ppt

AB DE
α
α
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∵ ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E, 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
万向思维精品图书 如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
（1）
（2）
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小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，
算出：
A的对边 斜边
3 3.3
10 . 11
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm，
算出：
A'的对边 斜边
2 2.2
10 . 11
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由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形 中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 10 .
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
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新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
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∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
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从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).

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1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常 注意哦。
(3)(2019·湖南邵阳)3 27－13－1＋|－2|cos 60°. 解：原式＝3－3＋2×12＝1.
13．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，BD＝10.求 sin A，cos A， tan A 的值．
解：∵DE∥BC，∠C＝90°， ∴∠AED＝∠C＝90°，∠ADE＝∠B. ∴△ADE∽△ABC.∴AADB＝DBCE. ∵DE＝3，BC＝9，BD＝10， ∴ADA＋D10＝39，解得 AD＝5.∴AE＝ AD2－DE2＝ 52－32＝4. 在 Rt△ADE 中，sin A＝DADE＝35，cos A＝AAED＝45，tan A＝DAEE＝34.

c
注意:(1).“ sin ”是一个完整的符号，不要误解为sin× ,
今后所学的其他的三角函数符号也是这样。
Ca B
sin (2).“
”的值与Rt△ABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，
如果锐角的大小固定，则这个比值固定；不同的锐角对应不同的比值。
布置作业
1、完成全效74页的当堂测评和75页 A组部分的题目。
猜想得到了证实：在有一个锐角等于α 的所有直角三角形中，角α的对边与斜 边的比值为一个常数．
预备知识
∠C（直角）的对边 AB(c)
∠A的对边 BC(a)
B
∠A的邻边 AC(b) ∠B的对边 AC(b)
∠A的对边a
A ∠A的邻边b C B
∠B的邻边 BC(a)
∠B的邻边a
A ∠B的对边b C
定义
。
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正
弦，记作: sin
即:
sin

角的对边
斜边

BC AB
a c
A

c
Ca B
如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°,AB ＝c, AC ＝b, BC ＝a.
则
sinA ＝ BC a
AB c
sinB ＝ AC b AB c
正弦符号表示法：
sin A sin sin 1
理解概念
sin ABC sin 300
注意:(1).“ sin ”是一个完整的符号，不要误解为sin× ,
今后所学的其他的三角函数符号也是这样。
(2).“ sin ”的值与Rt△ABC的三边的大小无关，
只与锐角的大小有关，如果锐角的大小固定，则这个 比值固定；不同的锐角对应不同的比值。

记作 cosA .
cos A =
∠A的邻边
斜边
=
b c
课程讲授
1 余弦
A
α
C
B
sinB = cosA，
看出，对于任意锐角α，有 cos α = sin (90°－α)
课程讲授
1 余弦
练一练：如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5
，BC=3，则cosB的值是（A ）
A. 3
5
B. 4
5
第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第3课时 余弦
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.余弦 2.运用计算器求余弦
新知导入
试一试：根据所学知识，按要求完成下列问题。 B''
B' B
A
C C' C''
根据正弦的定义sinA= BC = B'C'= B''C''
AB A'B' A''B''
29.9914…，表示角α约等于30°.
随堂练习
1.△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosα的值
是（ C ）
A. 3
4
B. 3
5
C. 4
5
D. 4
3
随堂练习
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)若AC=6，BC=8，则cosA=___5_3____； (2)若AC=5，cosA= 5 ，则AB=___1_3_____.
MN AM2 AN2 42 32 7
∴cos∠AMN= ∴cosB= 7 .

学生组内讨论探索 (学生画图并运用三角形相似知识加以证明) 规律：(1)直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的对边与 斜边的比值随之确定； (2)直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比 值越大.
1.教师提出问题，学生测量比较后寻找规律. 2.以小组为单位学生根据所学相似形知识探索、证明得 出规律，教师稍作总结. 在△ABC中，∠C=90°. 我们把锐角A的对边与斜边的比叫做弦记作sinA.
即sinA= A的对边= a . 斜边 c
例如：当∠A=30°时，sinA=sin30°= 1 .
2
当∠A=45°时，sinA=sin45°= 2 .
2
教师根据上面学生回答总结得出概念，学生理解认识概念、
写法意义.
理解认识30°、45°角的正弦值.
本节学了哪些内容?你有哪些认识和收获? (正弦概念及正弦求法) 教师引导学生自我总结，学会梳理知识体系，加深认识， 自我提升.
1.请同学们测量手中一副三角板中30°、45°角所对的边 与斜边的长度，求出它们的比值，结合所学同组内学生交流，能 发现什么规律?
规律：不论三角板大小，30°、45°、60°角的对边与斜 边的比值是个固定值.
2.若是普通直角三角形，当一个锐角的度数固定时，这个 角的对边与斜边的比值是否也是固定值呢?
第四章 锐角三角函数
4.1 锐角三角函数
第1课时 正弦
正确理解认识正弦概念，会根据边长求出正弦值.
引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边 与斜边的比值是固定值的事实.
一、创设情境，导入新课
1.你知道直角三角形有哪些特殊的性质吗? 2.有一个2锐角是30°的直角三角形有哪些性质特点? 3.有一个锐角是45°的直角三角形有那些性质特点? 教师提出问题，学生复习回答，尝试发现直角三角 形中的某些规律.教师汇总归纳，引入新课.

题 （１）求∠A的正弦 sin A ；
B
（２）求∠B的正弦 sin B ．
3
5
C
A
2、在直角三角形ABC中，∠C= 90º，BC=3，
AC=5 。
（１）求∠A的正弦 sin A ；
B
（２）求∠B的正弦 sin B ．
3
C5
A
练习
练习
1．在直角三角形ABC中， ∠C= 90º， BC=5，
AB=13．
B
（１）求 sin A 的值； （２）求 sin B 的值．
5
13
C
A
2、在直角三角形ABC中，若三边长都
扩大二倍，则锐角A的正弦值（B )
A、扩大2倍
B、不变
C、缩小2倍
D、无法确定。
3、在平面直角体系第一象限内有一点 P（3，4），连接0P，求OP与X轴正方 向所夹锐角α的正弦值。
知识拓展:
小刚说：对于任意锐角α，都有 0 ＜ sin ＜1
探究
1、在纸上画有一个角为30º的直角三角 形, 思考30º角的对边与斜边的比值有什 么规律？
A
在直角三角形△ABC中，∠C=90º
如果∠A=30ºBC=3 那么AB=6 ，
C
B
斜边AB=10 那么BC= 。5
结论：30º角的对边斜边的比值是__0_.5_
做一做
每位同学画一个直角三角形，其中一个锐 角为65º，量出65º角的对边长度和斜边长 度，计算：
弦，记作: sin
即: sin角斜 的边 对边
BC AB
a c
A
c
Ca B
如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°,AB ＝c, AC ＝b, BC ＝a.

∴ EF DF . EF DF
第四页，共11页。
于是(yúshì)E F ·D' F '＝ E F ·D' F '．
∴ EF EF . DF DF
因此在有一个锐角为65º的所有直角三角形中， 65º角的对边 与斜边的比值(bǐzhí)是一个常数．
现在解决(jiějué)帆船航行到C处时和灯塔A的 距离约等于多少米的问题．
第三页，共11页。
结论证明
已知：任意(rènyì)两个直角三角形△DEF和 △D'E'F'，∠D =∠D ' =65º，∠E =∠E'= 90º,
F'
求证(qiDEúzFFhèng)：DEFF
.
D
证明： ∵ ∠E =∠E ' = 90º，
D'
E'
∠D =∠D ' =65º，
E
F
∴ △DEF ∽ △D'E'F ' ．
α的正弦，记作s:in
即:
sin
角的对边
斜边
.
第六页，共11页。
例 题 在直角三角形ABC中， ∠C= 90º， BC=3，AB=5．
（１）求∠A的正弦 sin A；
B
（２）求∠B的正弦 sin B ．
3
5
解 （１） ∠A的对边BC=3，斜边
AB=5．于是(yúshì)
C
A
sin A 3 .
说一说
在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有 什么关系？
小结
在直角三角形中，
sin
角的对边
斜边
.
第九页，共11页。

70°52′
20°41′
第九页，共13页。
做一做
1.求下列(xiàliè)各式的值：
（１） sin 30 cos 30,
（２） sin 60 cos 60,
（３） sin 45 cos 45.
解 （１）sin 30 cos 30 1 3 3 . 22 4
（２） sin 60 cos 60 3 1 3 . 22 4
D
问 AC DF ．成立(chénglì)吗？
AB DE
α
∠B =90°－α＝∠E ，
B
F
E
AC 是∠B的对边，DF是∠E的对边，
依据正弦(zhèngxián)定理
sin B AC sin E DF . C
AB
DE
α
A
结论成立
第二页，共13页。
这证明了：在有一个(yī ɡè)锐角等于α的所有直角三 角形中，角α的邻边与斜边的比值等于角90°－α的对边 与斜边的比值．
4.1 正弦(zhèngxián)和余弦
第3课时(kèshí) 余 弦
第一页，共13页。
探究 分析
如图，△ABC 和 △DEF都是直角(zhíjiǎo)三角形， 它们都有一个锐角等于α，即∠D =∠A = α．在 Rt △ABC 中， ∠A的相邻的直角(zhíjiǎo)边（简称邻 边）为AC，斜边为AB；在Rt △DEF中，∠D的邻边 为DF，斜边为DE．
定义
在直角三角形中，锐角(ruìjiǎo)α的邻边与斜边的比叫作角
α的余弦， 记作 cos，
cos
角的邻边
斜边
.
根据上述证明过程看出(kàn chū)：对于任意锐角α，有
cos＝sin 90- ，

字母或三个大写英文字母或数字表示的角，也可以跟度 数，如sin α，sin A，sin ∠ABC，sin ∠2，sin 70° .
例1 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果AB=2， BC=1， 3
那么 sin B 的值是____2_____ ．
解题秘方：利用勾股定理求出 AC 的长，紧扣正 弦的定义，明确∠ B 的对边和斜边， 直接求得 sin B 的值 .
课堂新授
(1)a＝6，b＝8； 解：如图4.1-1，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，a＝6，b＝8， ∴ c＝ a2＋b2＝ 62＋82＝10. ∴ sin A＝ac＝160＝35，cos A＝bc＝180＝45.
课堂新授
(2)b＝2，c＝ 10. 解：如图4.1-2，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，b＝2，c＝ 10， ∴ a＝ 6.
∴ sin A＝ac＝
6＝ 10
515，cos A＝bc＝
2＝ 10
510.
4-1. [ 月考·晋江 ] 在△ ABC 中， ∠ C=90° ，a， b，
c 分别是 ∠ A，∠ B， ∠ C 所对的边，且 2b=a+c.
(1)求∠ B 的余弦值； 解：由题意得 b＝12(a＋c)．∵a2＋b2＝c2， ∴a2＋14(a＋c)2＝c2， (a＋c)(a－c)＋14(a＋c)2＝0， (a＋c)(54a－34c)＝0. ∵a＋c≠0，∴a＝35c，∴cosB＝ac＝35.
4.1 正弦和余弦
课堂新授
知识点 1 正弦
1. 正弦的定义：
文字语言
数学语言
图示
在直角三角形中，锐
角α的对边与斜边的 比叫作角α的正弦， 在Rt△ABC中， 记作sin α，即sin α＝ sin α＝ac 角α的对边

解：∠B的对边是AC，根据勾股定理，得
AC2 = AB2-BC2 = 52-32
= 16.
于是 AC = 4.
因此
sinB
=
AC AB
=
4. 5
随堂训练
1. 如图，在△ABC中，∠C=90°, AB=13，BC=5，则sinA的值
是（ A ）
A. 5 13
B. 12
13
C. 5
12
D. 13
5
随堂训练
2. D
随堂训练
3.
D
4.
3
随堂训练
6.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和 B(0,-4),则sin∠OAB等于__45__.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是BC边上的中 线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=___22__.
课堂小结
如图,在直角三角形中,把锐角 α 的对边与斜边的比 叫作角 α 的正弦,记作sin α .
3 3.3
10 . 11
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm， 算出：
A'的对边 斜边
2 2.2
10 . 11
知识讲解
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角 三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常
数，它等于 10 . 11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐角 α，则
第4章 锐角三角函数
第4章 锐角三角函数 4.1 正弦和余弦
第1课时 正弦的定义
学习目标
1 会利用相似直角三角形，探索并认识正弦.(重点） 2 会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值.(难点）
新课导入
画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出 65°角的对边长度和斜边长度，计算：