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基于卡尔曼滤波的雷达航迹跟踪算法的综述雷达航迹跟踪（Radar Track Tracking）是指通过雷达系统对移动目标进行测量得到的多个目标位置信息，通过统计学方法对目标位置进行分析和处理，从而对目标进行跟踪的过程。
而卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种最常见的用于处理估计和控制问题的数学算法，因其卓越的性能和简单的实现被广泛应用于目标跟踪领域。
本文将综述基于卡尔曼滤波的雷达航迹跟踪算法的原理、应用及优缺点等方面。
1.基本原理卡尔曼滤波是一种基于贝叶斯定理的递归估计方法，其本质是通过利用目标运动的状态和观测数据的误差信息动态更新目标的状态估计值和协方差矩阵，从而实现对目标运动状态的估计和预测等功能。
具体地，卡尔曼滤波的基本原理可以简述如下：（1）状态方程：考虑一般的线性离散系统，其状态方程可以表示为：x(t)=Ax(t-1)+Bu(t)+w(t)其中x(t)为t时刻目标的状态量，A为状态转移矩阵，B为输入矩阵，u(t)为外部输入信号，w(t)为过程噪声。
（2）观测方程：目标运动状态往往不能直接被观测到，但可以通过测量得到其状态的某些关联变量组成的观测量，即目标的观测量z(t)可以表示为：其中，H是观测矩阵，v(t)为观测噪声。
（3）卡尔曼滤波步骤：①预测步骤：通过状态转移方程预测目标状态量x(k)及其协方差矩阵P(k)的估计值： x^(k|k-1)=Ax(k-1|k-1)+Bu(k) P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A'+Q其中，x^(k|k-1)为k时刻前已知的状态，P(k|k-1)为k-1时刻状态的协方差矩阵，Q 为过程噪声的协方差矩阵。
②更新步骤：利用观测量进行状态更新：其中，K(k)为卡尔曼增益，S(k)为观测噪声的协方差矩阵。
2.应用领域卡尔曼滤波在目标跟踪领域广泛应用，主要包括雷达航迹跟踪、机器人自主导航、无人机航迹规划、车辆行驶状态的估计和控制等领域。
其中，雷达航迹跟踪是卡尔曼滤波最主要和最典型的应用领域之一。
基于卡尔曼滤波的目标跟踪研究摘要：随着计算机视觉和机器学习技术的发展，目标跟踪技术在许多领域中得到广泛应用。
卡尔曼滤波是一种经典的估计算法，可以用于目标跟踪，具有良好的估计性能和实时性。
本文主要介绍了卡尔曼滤波在目标跟踪领域的研究进展，包括基本原理、模型建立、算法优化等方面。
1.引言目标跟踪是计算机视觉和机器学习领域的一个重要研究方向。
在许多应用中，如视频监控、自动驾驶等，目标跟踪技术都扮演着重要的角色。
目标跟踪技术主要目的是在一段时间内通过图像或视频序列确定目标的位置、形状、尺寸等信息。
2.卡尔曼滤波的基本原理卡尔曼滤波是一种递归算法，用于估计线性系统的状态。
它基于贝叶斯滤波理论，将观测数据和系统动力学方程结合起来，通过迭代更新的方式获得对系统状态的估计。
卡尔曼滤波有两个主要的步骤：预测和更新。
预测步骤根据系统的动力学方程和上一时刻的状态估计，预测出当前时刻的状态。
更新步骤则根据观测数据和预测的状态，通过计算卡尔曼增益来更新状态估计。
3.卡尔曼滤波在目标跟踪中的应用目标跟踪问题可以看作是一个卡尔曼滤波问题，即通过观测数据预测目标的状态。
在目标跟踪中，系统动力学方程可以根据目标的运动模型来建立。
观测数据可以是目标在每一帧图像中的位置信息。
通过将这些信息输入到卡尔曼滤波器中，可以得到对目标状态的估计。
4.卡尔曼滤波在目标跟踪中的改进与优化尽管卡尔曼滤波在目标跟踪中取得了一定的成功，但还存在一些问题，如对目标运动模型的建模不准确、对观测数据的噪声假设过于理想等。
因此，研究者提出了许多改进和优化方法。
其中一种方法是引入非线性扩展的卡尔曼滤波，如扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF）。
另一种方法是使用深度学习技术来提取更准确的特征表示，进一步改善目标跟踪性能。
5.实验与结果分析本节主要介绍了一些使用卡尔曼滤波进行目标跟踪的实验研究，并对其结果进行了分析。
实验结果表明，卡尔曼滤波在目标跟踪中具有较好的稳定性和精度。
卡尔曼滤波器在运动目标中的跟踪研究概要卡尔曼滤波器是一种用于估计状态变量的线性滤波器，适用于噪声和不确定性存在的系统。
在运动目标跟踪方面，卡尔曼滤波器已经被广泛应用，并取得了很好的效果。
本文将对卡尔曼滤波器在运动目标跟踪中的研究进行概要介绍。
首先，卡尔曼滤波器的基本原理是基于状态空间模型，将目标状态表示为一个高斯分布的概率密度函数。
这个概率密度函数包含两个部分，一个是先验概率密度函数，表示目标在上一时刻的状态；另一个是测量概率密度函数，表示新的观测数据。
通过对这两个概率密度函数进行更新和融合，可以得到目标当前的状态估计。
在运动目标跟踪中，卡尔曼滤波器的输入通常是目标的运动轨迹数据或者传感器的观测数据。
通过对目标的运动轨迹建立数学模型，可以推测目标在未来的位置。
同时，通过对传感器的观测数据进行分析和处理，可以得到目标在当前时刻的位置和速度等信息。
在更新过程中，先验概率密度函数会更新为后验概率密度函数，即目标状态的估计值。
这一估计值可以用于目标的位置预测和跟踪。
卡尔曼滤波器的核心是状态预测和状态更新。
状态预测是指根据目标的运动模型，预测目标在下一个时刻的状态。
状态更新是指根据传感器的观测数据，对目标的状态进行修正和更新。
在状态更新过程中，可以通过观测数据的权重分配，对先验概率密度函数和测量概率密度函数进行融合，从而得到优化后的后验概率密度函数。
卡尔曼滤波器在运动目标跟踪中的研究还可以划分为两类：单目标跟踪和多目标跟踪。
单目标跟踪是指在场景中只有一个目标需要跟踪的情况。
在单目标跟踪中，卡尔曼滤波器通常用于目标的位置和速度估计。
通过估计目标的位置和速度，可以预测目标在未来的位置，从而实现目标的跟踪。
多目标跟踪是指场景中存在多个目标需要同时进行跟踪的情况。
在多目标跟踪中，卡尔曼滤波器的应用更加复杂，需要考虑目标之间的相互影响和交互。
一种常用的方法是基于卡尔曼滤波器的多目标跟踪算法。
这种算法通过将多个卡尔曼滤波器进行融合和优化，实现对多个目标的同时跟踪。
卡尔曼滤波器在运动目标中的跟踪研究引言：运动目标跟踪是计算机视觉和图像处理领域的一个重要研究方向，它在目标识别、自动驾驶、视频监控等领域有着广泛的应用。
卡尔曼滤波器作为一种经典的滤波器方法在运动目标跟踪问题中得到了广泛的应用。
本文将探讨卡尔曼滤波器在运动目标中的跟踪研究，介绍其基本原理、应用场景和研究现状。
一、卡尔曼滤波器的基本原理卡尔曼滤波器是一种递归最小均方估计滤波器，它可以有效地处理线性系统和高斯噪声。
其基本思想是通过融合观测值和状态估计值来计算下一时刻的状态估计值，并通过更新协方差矩阵来提高状态估计的准确性。
卡尔曼滤波器主要包括两个步骤：预测步骤和更新步骤。
在预测步骤中，通过状态转移方程和控制输入预测下一时刻的状态和状态协方差矩阵，然后通过观测模型和观测值校正状态预测值得到更新后的状态和状态协方差矩阵。
二、卡尔曼滤波器在运动目标跟踪中的应用场景1.目标位置跟踪：利用卡尔曼滤波器可以预测目标的位置，并校正预测值，从而实现目标位置的准确跟踪。
2.目标速度跟踪：通过观测目标的位置变化，利用卡尔曼滤波器可以估计目标的速度，并实现目标速度的实时跟踪。
3.目标形状跟踪：利用卡尔曼滤波器可以估计目标的形状变化，并实现目标形状的准确跟踪。
4.目标运动轨迹跟踪：通过融合目标的位置、速度和形状信息，利用卡尔曼滤波器可以实现目标运动轨迹的连续跟踪。
三、卡尔曼滤波器在运动目标跟踪中的研究现状目前1.非线性系统的处理：传统的卡尔曼滤波器只适用于线性系统，对于非线性系统需要进行扩展或改进。
研究者们提出了一系列的非线性滤波器方法，如扩展卡尔曼滤波器（EKF）、无迹卡尔曼滤波器（UKF）等，以处理非线性系统中的目标跟踪问题。
2.观测模型的建模：观测模型的建模是目标跟踪中的一个关键问题。
研究者们提出了各种各样的观测模型，如基于颜色、纹理、形状等特征的观测模型，并将其应用于卡尔曼滤波器中来实现目标跟踪。
3.运动模型的建模：运动模型的建模是目标跟踪中的另一个重要问题。
基于卡尔曼滤波的雷达航迹跟踪算法的综述雷达航迹跟踪是一种重要的目标跟踪技术，在军事、航空、航天等领域应用广泛。
卡尔曼滤波是其中一种经典的航迹跟踪算法，被广泛应用于目标航迹跟踪以及机器人、自动驾驶等领域。
卡尔曼滤波是一种基于状态观测、迭代计算、动态调整的线性滤波算法，它可以对系统状态进行精确估计和预测。
在此基础上，卡尔曼滤波结合了控制理论、信号检测、参数估计等多个领域的方法，成为一种基本而强大的目标跟踪算法。
卡尔曼滤波的基本思想是通过模型来描述系统的动态行为，通过观测来获取系统当前的状态信息，然后利用这些信息预测未来状态，并根据实际观测值修正预测值，以得到更加准确的状态估计。
卡尔曼滤波的核心是状态转移矩阵和观测矩阵，通过不断地更新这些矩阵的值，可以不断优化状态预测和修正过程。
雷达航迹跟踪中的卡尔曼滤波通常分为预测和更新两个阶段。
预测阶段使用系统模型和先前的状态估计值来预测目标的状态。
更新阶段则利用观测值来修正预测值，从而得到更加准确的目标状态信息。
将卡尔曼滤波应用于雷达航迹跟踪中，需要首先通过实验测量和数据建模等方式获取目标系统的状态转移和观测矩阵等参数，然后根据这些参数调整卡尔曼滤波算法，以实现更加准确的航迹预测和更新。
当然，卡尔曼滤波的应用也面临一些挑战和局限性。
例如，当系统存在非线性时，线性卡尔曼滤波可能无法精确地描述系统的行为。
此时，非线性卡尔曼滤波、扩展卡尔曼滤波等算法就成为了更适合的选择。
另外，在雷达航迹跟踪中，存在多目标跟踪等复杂情况，如何处理部分观测不准确或被遮挡的目标信息也是一个需要解决的难题。
综上所述，卡尔曼滤波是一种重要而有效的雷达航迹跟踪算法，它将估计和预测的过程结合起来，能够准确地跟踪目标的航迹，是实际应用中不可或缺的一种技术。
随着人工智能、机器学习等技术的发展，相信卡尔曼滤波等算法也会不断进化和壮大，为航迹跟踪等领域带来更加准确和可靠的解决方案。
基于卡尔曼滤波的雷达航迹跟踪算法的综述卡尔曼滤波是一种经典的估计算法，用于从不完全、不准确的观测数据中估计动态系统的状态。
在雷达航迹跟踪领域，卡尔曼滤波被广泛应用于目标位置和速度的估计，以实现对目标航迹的跟踪和预测。
雷达航迹跟踪是指根据接收到的雷达测量数据，估计目标在时间上的位置、速度和加速度等动态信息。
常见的雷达测量数据包括距离、角度和径向速度等。
由于传感器误差、噪声干扰和外部干扰等因素的存在，测量数据往往是不完全和不准确的。
基于卡尔曼滤波的雷达航迹跟踪算法通过不断地根据测量数据进行状态估计和更新，可以在一定程度上消除测量误差，并提供更精确的航迹估计结果。
具体而言，该算法首先建立一个动态模型来描述目标的运动规律，然后根据雷达测量数据和模型预测的状态进行状态估计。
通过不断迭代更新和优化状态估计，得到最佳的目标航迹跟踪结果。
卡尔曼滤波算法的核心是通过合理的权衡预测值和测量值的权重，来减小估计误差。
卡尔曼滤波算法根据测量误差和动态模型的精确程度，自适应地调整权重，从而实现对目标航迹的准确跟踪。
卡尔曼滤波算法有两个基本的步骤：预测和更新。
在预测步骤中，通过运动模型和先前状态的信息，预测下一个时刻的目标状态。
在更新步骤中，将测量值与预测值进行比较，根据卡尔曼增益修正预测值，得到最终的状态估计结果。
值得注意的是，卡尔曼滤波算法假设系统遵循线性模型和高斯分布的噪声，因此在实际应用中，如果目标的运动模型非线性或者测量误差分布非高斯，需要采用扩展卡尔曼滤波（EKF）或者无迹卡尔曼滤波（UKF）等算法进行改进。
基于卡尔曼滤波的雷达航迹跟踪算法是一种常用且有效的方法，能够准确估计目标的航迹信息。
在实际应用中，可以根据具体的场景和需求选择合适的卡尔曼滤波算法，并结合其他辅助信息进行目标跟踪，从而提高跟踪的准确性和稳定性。
卡尔曼滤波在INS/GPS组合导航中的应用研究一、前言GPS和惯性系统都是目前世界上先进的导航系统，二者各有优缺点。
惯导系统具有不依赖外界信息、隐蔽性好、抗辐射强、全天候等优点，是机载设备中能提供多种较精确的导航参数信息的设备，但是存在着误差随时间迅速积累增长的问题，这是惯导系统的主要缺点。
与惯导系统相比，GPS定位的显著优点是其高精度和低成本。
尤其是利用GPS卫星信号的高精度载波相位观测量进行定位。
但是在GPS导航定位应用中也存在动态环境中可靠性差，定位数据输出频率低的问题。
利用INS和GPS导航功能互补的特点，以适当的方法将两者组合，可以提高系统的整体导航精度及导航性能。
所谓滤波就是从混合在一起的诸多信号中提取出所需要的信号。
估计理论的研究对象是随机现象。
一个系统的运动轨迹是与系统的初始状态和控制作用的性质、大小有关的。
但在实际系统中，除了已知的控制作用以外，经常有一些外界的杂散信号对系统起作用，如在雷达跟踪系统接收的信号中，有很大一部分随机信号，导弹飞行过程中，由于环境等条件的改变而受到随机信号影响等，通常称这一类信号为噪声。
因此在设计自动控制系统时，除了考虑控制作用外，还必须了解噪声的性质、大小，然后通过适当的结构，抑制或滤掉噪声对系统的影响。
只有对系统的状态做到充分精确地估计，才能保证系统按照最佳的方式运行。
当系统中有随机噪声干扰时，系统的综合就必须同时应用概率和数理统计方法来处理。
也就是在系统的数学模型已建立的基础上，通过对系统输入、输出数据的测量，利用统计方法对系统本来的状态进行估计，此类问题就是滤波问题，卡尔曼滤波其就是为实现这一目的而设置的。
二、卡尔曼滤波与组合导航系统将航行体从起始点导引到目的地的技术或方法称为导航。
能够向航行体的操纵者或控制系统提供航行体位置、速度、航向、姿态等即时运动状态的系统都可作为导航系统。
随着科学技术的发展，导航逐渐发展成为一门专门研究导航方法原理和导航技术装置的学科。
华北电力大学毕业设计（论文）文献综述所在院系电力工程系专业班号电自0804学生姓名崔海荣指导教师签名黄家栋审批人签字毕业设计(论文)题目基于卡尔曼滤波原理的电网频率综合检测和预测方法的研究基于卡尔曼滤波原理的电网频率综合检测和预测方法的研究一、前言“频率”概念源于针对周期性变化的事物的经典物理学定义，由于电力系统中许多物理变量具有（准）周期性特征，故这一概念得到广泛应用【1】。
电网频率是电力系统运行的主要指标之一，也是检测电力系统工作状态的重要依据，频率质量直接影响着电力系统安全、优质、稳定运行。
因此，频率检测和预测在电网建设中起着至关重要的作用。
随着大容量、超高压、分布式电力网网络的形成以及现代电力电子设备的应用，基于传统概念的电力系统频率和测量技术在解决现代电网频率问题上遇到了诸多挑战。
目前，用于频率检测和预测的方法很多，主要有傅里叶变换法、卡尔曼滤波法、最小均方误差法、正交滤波器法、小波变换法、自适应陷波滤波器以及它们和一些算法相结合来解决电网频率检测和预测问题。
本文着重讲述卡尔曼滤波原理、分类以及它在电力系统频率检测中的应用历程进行系统性分析，并对今后的研究方向做出展望。
二、主题1 常规卡尔曼滤波常规卡尔曼滤波是卡尔曼等人为了克服维纳滤波的不足，于60年代初提出的一种递推算法。
卡尔曼滤波不要求保留用过的观测数据，当测得新的数据后，可按照一套递推公式算出新的估计量，不必重新计算【2】。
下面对其进行简单介绍： 假设线性离散方程为1k k k k x A x ω+=+（1） k k k k z H x ν=+ （2）式子中：k x n R ∈为状态向量；m k z R ∈为测量向量；k ωp R ∈为系统噪声或过程噪声向量；k νm R ∈为量测噪声向量；k A 为状态转移矩阵；k H 为量测转移转移矩阵。
假设系统噪声和量测噪声是互不相关的高斯白噪声，方差阵为k Q 、k R ，定义/1k k x ∧-=1(|)k k E x y - 其他递推，则卡尔曼滤波递推方程如下： 状态1步预测为/1k k x ∧-=k A 1k x ∧-（3）1步预测误差方差阵为/1k k P -=1k A -1k P -1T k A -+1k Q -（4）状态估计为k x ∧=/1k k x ∧-+k K （k z -k H /1k k x ∧-）（5）估计误差方差阵为k P =（I-k K k H ）/1k k P -（6）滤波增益矩阵为k K =/1k k P -T k H （k H /1k k P -T k H +k R ）1-（7）式中I 为单位阵。
卡尔曼滤波算法在系统控制中的应用研究随着智能化程度的不断提高，各行各业都在不断地引入人工智能和智能控制技术。
而在智能控制领域中，卡尔曼滤波算法无疑是最为经典的算法之一。
卡尔曼滤波算法以其高精度、高效率等特点，在系统控制中得到了广泛的应用。
一、卡尔曼滤波基本原理卡尔曼滤波算法是由Rudolf E. K.. Ka1man提出的一种用于估计系统状态的算法，它的基本思想是将观测值和模型预测的状态量相结合，通过最小化均方误差来得到最优的估计结果。
卡尔曼滤波将传感器的噪声、不确定性考虑进来，通过对回归模型的动态调整，再以修正后的模型为依据，预测下一个数据点的数值。
其主要参数为协方差矩阵和初始状态，协方差矩阵用于衡量状态估计值与真实值之间的误差大小和相关性程度，而初始状态则为估计状态必要的初始信息。
二、卡尔曼滤波算法的优点在人工智能和智能控制领域中，卡尔曼滤波算法最大的优点在于其高效率与高精度。
相比于传统的控制方法，卡尔曼滤波算法能够更为准确地估算系统状态，并及时修正模型偏差。
同时，卡尔曼滤波算法能够更好地处理噪声与不确定性，提高系统的鲁棒性和鉴别能力。
三、卡尔曼滤波算法的应用卡尔曼滤波算法广泛应用于航空航天、机器人、自动驾驶、地震预警等领域。
其中，自动驾驶车辆上的应用尤其引人注目。
自动驾驶车辆需要处理复杂的交通情况和多种多样的路况，而卡尔曼滤波算法则能够对车辆状态进行高效准确的估计，从而实现精准驾驶。
此外，在机器人控制中，卡尔曼滤波算法也被广泛运用。
在机器人的控制过程中，需要精确的估计机器人自身状态，如位置、速度等。
而卡尔曼滤波算法能够通过对传感器数据及机器人状态信息的处理，实现对机器人状态的高精准估算。
这在机器人控制技术的发展过程中具有重要的作用。
四、卡尔曼滤波算法的未来虽然卡尔曼滤波算法在系统控制中已经取得了重大的成果，但是它仍有一些不足之处。
比如，卡尔曼滤波算法对非线性的系统控制不太适用，另外在应对复杂多变的噪声和不确定性时，卡尔曼滤波算法也存在一定的局限性。
卡尔曼滤波增益综述报告姓名:周峰学号1411082695摘要：Kalman Filter是一个高效的递归滤波器，它可以实现从一系列的噪声测量中，估计动态系统的状态。
广泛应用于包含Radar、计算机视觉在内的等工程应用领域，在控制理论和控制系统工程中也是一个非常重要的课题。
本文介绍了卡尔曼滤波增益的由来，以及它在卡尔曼滤波理论中的作用，着重介绍了卡尔曼滤波增益的理论意义和它的物理意义。
由卡尔曼滤波增益可以更深入的理解卡尔曼滤波，把它更好地应用于实际中。
Abstract:Kalman Filter is an efficient recursive filter,it can achieve the task that estimates the dynamic state of the system from a series of noise measurements.It widely be used in Radar, computer vision, include other engineering applications, is also a very important issue in control theory and control systems engineering.This paper introduces the origin of the Kalman filter gain,and it plays the important role in the Kalman filter theory,especially focuses on its the theoretical meaning and physical meaning about Kalman filter gain . We will get a deeper understanding of the Kalman filter,better applied in practice by learning of the Kalman filter gain.关键词：卡尔曼滤波增益误差一、卡尔曼滤波器简介1.1卡尔曼滤波的由来1960年卡尔曼发表了用递归方法解决离散数据线性滤波问题的论文-《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems 》（线性滤波与预测问题的新方法），在这篇文章里一种克服了维纳滤波缺点的新方法被提出来，这就是我们今天称之为卡尔曼滤波的方法。
卡尔曼滤波研究综述1 卡尔曼滤波简介1.1卡尔曼滤波的由来1960年卡尔曼发表了用递归方法解决离散数据线性滤波问题的论文-《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法），在这篇文章里一种克服了维纳滤波缺点的新方法被提出来，这就是我们今天称之为卡尔曼滤波的方法。
卡尔曼滤波应用广泛且功能强大，它可以估计信号的过去和当前状态甚至能估计将来的状态即使并不知道模型的确切性质。
其基本思想是以最小均方误差为最佳估计准则，采用信号与噪声的状态空间模型利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出当前时刻的估计值。
算法根据建立的系统方程和观测方程对需要处理的信号做出满足最小均方误差的估计。
对于解决很大部分的问题，它是最优，效率最高甚至是最有用的。
它的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。
近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
1.2标准卡尔曼滤波-离散线性卡尔曼滤波为了描述方便我们作以下假设：物理系统的状态转换过程可以描述为一个离散时间的随机过程；系统状态受控制输入的影响；系统状态及观测过程都不可避免受噪声影响；对系统状态是非直接可观测的。
在以上假设前提下，得到系统的状体方程和观测方程。
X ⎧⎨ 1-1式中:X k 为状态向量,L k 为观测向量,Φk,k-1为状态转移矩阵,U k-1为控制向量,一般不考虑,Γk,k-1,B k 为系数矩阵,Ωk-1为系统动态噪声向量,Δk 为观测噪声向量,其随机模型为E(Ωk ) =0;E(Δk ) =0;cov(Ωk ,Ωj ) = D Ω(k )δkj ,cov(Δk ,Δj ) = D k (k )δkj ;cov(Ωk ,Δj ) =0;E(X 0) =μx(0)var(X 0) = D(X 0);cov(X 0,Ωk ) =0;cov(X 0,Δk ) =0. 1-2卡尔曼滤波递推公式为X ∧(k/k) = X ∧(k/k-1)+J k (L k -B k X ∧(k/k-1)),D(k/k) = (E-J k B k )D x (k/k-1),J k = D x (k/k-1)BT k [B k D x (k/k-1)]B T k +D Δ(k)]-1,X ∧(k/k-1) =Φk ,k-1X ∧(k-1/k-1), D x (k/k-1) =Φk ,k-1D x (k-1/k-1)ΦT k ,k-1+Γk ,k-1D Δ(k-1)ΓT k ,k-1. 1-32 几种最新改进型的卡尔曼滤波算法。
2.1 近似二阶扩展卡尔曼滤波标准的卡尔曼滤波只适用于线性系统，而工程实际问题涉及的又大多是非线性系统，于是基于非线性系统线性化的扩展卡尔曼滤波(EKF)在上世纪70年代被提出,目前已经成为非线性系统中广泛应用的估计方法。
近似二阶扩展卡尔曼滤 波方法(AS-EKF)基于线性最小方差递推滤波框架,应用均值变换的二阶近似从而得到非线性系统的递推滤波滤波框架该滤波基于线性最小方差递推框架，状态X 的最小方差估计为(/)X E X L Λ= 2-1-1 L 是观测矩阵，假定状态X 的估计值X Λ是观测矩阵L 的线性函数，即()X L AL b Λ=+ 2-1-2 得到最优估计和估计误差方差阵的递推方程分别为：11111111((1)/)((1)/(1),)((1)/)((1),(1)/)(((1)/))((1)((1)/))k k k k k K E X k L E X k L k L E X k L COV X k L k L Var L k L L k E L k L +-+=++=++++++-+ 2-1-2 11111111((1)/)((1)/(1),)((1)/)((1),(1)/)(((1)/))((1),((1)/)k k k k k T K Var X k L Var X k L k L Var X k L COV X k L k L Var L k L Cov X k L k L +-+=++=+-+++++ 2-1-32.1.2近似二阶扩展卡尔曼滤波器的设计在EKF 中,假设非线性函数y=f(X)在状态X 的最优估计(预测)值处线性化,即()y f X D f α-≈+ 2-1-4 y 的均值、方差和协方差的近似估计()T yy X XX X T Xy XX X y f X P A P A P P A --⎧≈⎪⎪≈⎨⎪≈⎪⎩2-1-5对均值进行二阶近似,而对方差和协方差进行一阶近似,即可得1()[)()]2T XX X X T yy X XX X T Xy XX Xy f X P f X P A P A P P A ---=⎧⎪≈+∇∇⎪⎪≈⎨⎪≈⎪⎪⎩2-1-6 考虑如下带加性噪声的非线性离散系统X(k+1) =f(X(k),k) +Γ(X(k),k)V(k)L(k+1) =h(X(k+1),k+1) +W(k+1)将式2-1-6 所使用的近似二阶方法代入2-1-2，和2-1-3，可得如下近似二阶卡尔曼滤波递推公式。
预测阶段：X Λ (k+1|k)=f(X Λ (k),k)+1/2[( ▽T P(k) )f(X,k)] | (X= XΛ (k)) 2-1-7 P(k+1|k)=Φk/k-1P(k)ΦT k/k-1+Γ(X(k),k)Q(k)ΓT (X(k),k)L Λ (k+1|k)=h(X Λ (k+1|k),k+1)+1/2(▽ T P(k+1|k) ▽)h(X,k+1) |X=XΛ (k+1|k)更新阶段：K(k+1) =P(k+1|k)H T k+1(H k+1P(k+1|k)H T k+1+R(k+1))-1 2-1-8 X Λ (k+1) =X Λ (k+1|k)+K(k+1)[L(k+1)- L Λ (k+1k)]P(k+1) = (I-K(k+1)H k+1)P(k+1|k)(I-K(k+1)H k+1)T +K(k+1)R(k+1)K T (k+1) 其中1[(),]()k f X k k X h -∂Φ=∂|X(k)= X Λ， 1[(1),1](1)k h X k k H X k +∂++=∂+|X(k+1)= X Λ(k+1|k) Q(k)为系统噪声序列V(k)的方差阵,R(k)为测量噪声序列W(k)的方差阵。
2.2扩维无迹卡尔曼滤波无迹卡尔曼滤波(Unscented Kalman Filter,UKF),它是在以无迹变换(Unscented Transformation,UT)为基础,借用卡尔曼线性滤波框架而建立起来的。
它直接利用非线性状态方程来估算状态向量的概率密度函数。
但是,简单的UKF 在面对系统中的噪声影响较大时不能得到精确的滤波结果, 改进的无迹卡尔曼滤波算法则是在初始状态中引入过程噪声和测量噪声,使得采样点也包括了这些噪声,这样在状态预测和更新过程中,噪声的影响就能够在非线性系统中进行传输和估计,使得滤波信号更好地接近真实值,尤其是当信号的系统噪声和观测噪声影响较大时。
其算法如下：设非线性系统模型为:X(k) =f(X(k-1)) +V(k-1) 2-2-1L(k) =h(X(k)) +W(k)其中,X(k)是系统k 时刻的n 维状态向量,L(k)是系统k 时刻的测量向量,f(·),h(·)为非线性变换,过程噪声V(k)和测量噪声W(k)是零均值。
方差阵各为Q 和R 的不相关的高斯白噪声,其统计特性满足:E[W(k)] =0,E[V(k)] =0 2-2-3E[W(i)W(j)] =R δij , ,i j ∀E[V(i)V(j)] =Q δij , ,i j ∀E[W(i)V(j)T ] =0初始状态为X ∧a (0|0) = [X ∧ (0|0)T 0 0]T 2-2-4(0/0)00(0/0)0(0/0)000(0/0)XX a T XX P P Q R ⎤⎥=⎥⎥⎦ 状态变量为 X ∧a (k |k) = [X ∧ (k |k)T V(k |k)T W(k |k)T ]T 2-2-5状态方差为 (/)00(/)0(/)000(/)XX a T XX P k k P k k Q k k R k k ⎤⎥=⎥⎥⎦ 2-2-6此时的采样点集变为{χa i (k |k), i =0,1,…,2N,N = (n +q+m)},q 为Q 的维数,m 为R 的维数,采样点的状态维数变为n+q+m,χx i 为χa i 的前n 维组成的列向量,χv i 为χa i 的n+1维到n+q 维组成的列向量,χw i 为χa i 的n+q+1维到n+q+m 维组成的列向量。
时间更新过程变为(/1)((1/1),1)(1)x x x x k k f x k k k x k -=---+- 2-2-72()0(/1)(/1)Vi x m i i X k k W x k k ∧=-=-∑(/1)((/1),1)a x i k k h x k k k μ-=--2()0(/1)(/1),1)Vi m i i L k k W k k k μ∧=-=--∑2()0(/1)[((/1),1)(/1))((/1)(/1))]V i x x T XX m i ii P k k W x k k k X k k x k k X k k ∧∧=-=----⨯---∑ 测量更新过程变为：2()0(/1)[((/1)(/1))((/1)(/1))]V i x T XX m ii i P k k W x k k X k k k k L k k μ∧∧=-=---⨯---∑ 2()0(/1)[((/1)(/1))((/1)(/1))]V i T YY ci i i P k k W k k L k k k k L k k μμ∧∧=-=---⨯---∑ K(k) =P XL (k |k-1)P -1LL (k |k-1)X ∧ (k |k) =X ∧ (k |k-1) +K(k)(L(k) -Y ∧(k |k-1)) 2-2-8P XX (k |k) =P XX (k |k-1) -K(k)P LL (k |k-1)K T (k)由于状态是按扩维处理的,Sigma 采样点的个数为2(n+q+m) +1,维数为N ×(2N+1),而不扩维时,Sigma 采样点的个数为2n+1,维数为n ×(2n+1),所以,使用扩维计算量上升得比较快,当数据量过大时,耗费的计算时间长。
