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高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线【答案】D【解析】设动点为M，到圆C的距离记为MB，直线MB过圆心，当定点A是圆心C时，MB=MA，M为AB中点轨迹为圆；当定点A在圆内（圆心除外）时，MC+MA=r>AC,轨迹为椭圆；当定点A在圆外时,MC-MA=r<AC,轨迹为双曲线的一支，答案选D。
考点:圆锥曲线的定义2.已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且,若的面积为9，则的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】【解析】根据椭圆定义知①,根据,知②,③,所以,可得.【考点】椭圆定义,直角三角形的面积及勾股定理.3.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（）A．或B．或C．或D．或【答案】A【解析】设直线与曲线相切的切点为,利用导数的几何意义得：, 解得或,当时，直线为轴，与相切，即,解得，当时，直线为,与抛物线联立，整理得：,因为相切，所以,解得,故选A．【考点】1．导数的几何意义；2．求切线方程．4.若是任意实数，则方程所表示的曲线一定不是（）A．直线B．双曲线C．抛物线D．圆【答案】C【解析】当时，即时，曲线为直线，当时，曲线为圆，当时，曲线为双曲线.故选C.【考点】圆锥曲线的标准方程.5.若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（）A．B．C．或D．【答案】C【解析】由题可知，则，当时，圆锥曲线为椭圆，则，离心率，当时，圆锥曲线为双曲线，则，离心率.所以选C.【考点】本题主要考查圆锥曲线的标准方程，离心率.6.已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上一动点关于直线的对称点为，求的取值范围；（3）如果直线交椭圆于不同的两点，，且，都在以为圆心的圆上，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由截距式可得直线的方程，根据点到线的距离公式可得间的关系，又因为，解方程组可得的值。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD所在平面上，E是A1A的中点，且∠EPA=∠D1PD，则点P的轨迹是（）A．直线B．圆C．抛物线D．双曲线【答案】B【解析】由已知得即，在平面ABCD内以AD所在直线为x轴，AD中点为坐标原点建立直角坐标系，设A（1，0），B（-1，0），P（x，y），由建立等式化简得轨迹方程为，是圆的一般方程，所以答案选B。
【考点】1.直角三角形中的三角函数定义；2.轨迹方程的求解2.已知平面五边形关于直线对称（如图（1）），，，将此图形沿折叠成直二面角，连接、得到几何体（如图（2））（1）证明：平面；（2）求平面与平面的所成角的正切值.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】（1）先以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出各点的坐标以及和的坐标，进而得到两向量共线，即可证明线面平行；（2）先根据条件求出两个半平面的法向量的坐标，再求出这两个法向量所成角的余弦值，再结合同角三角函数的基本关系式可求得结果.试题解析：（1）以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的坐标系.由已知与平面几何知识得，∴，∴，∴AF∥DE，又∥ 6分（2）由（1）得四点共面，，设平面，则不妨令，故，由已知易得平面ABCD的一个法向量为∴，设平面与平面的所成角为∴所求角的正切值为 13分.【考点】1.直线与平面平行的判定；2.用空间向量求二面角.3.抛物线的焦点到准线的距离是 .【答案】【解析】由抛物线的定义知抛物线的焦点到准线的距离是P，又由题可知P=.【考点】抛物线的几何性质.4.如图，已知椭圆：的离心率为，点为其下焦点，点为坐标原点，过的直线：（其中）与椭圆相交于两点，且满足：.（1）试用表示；（2）求的最大值；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）离心率的最大值为；（3）的取值范围是.【解析】（1）设，联立椭圆与直线的方程，消去得到，应用二次方程根与系数的关系得到，，然后计算得，将其代入化简即可得到；（2）利用（1）中得到的，即（注意），结合，化简求解即可得出的最大值；（3）利用与先求出的取值范围，最后根据（1）中，求出的取值范围即可.试题解析：（1）联立方程消去，化简得 1分设，则有， 3分∵∴ 5分∴即 6分（2）由（1）知∴，∴ 8分∴∴离心率的最大值为 10分(3)∵∴∴ 12分解得∴即∴的取值范围是 14分.【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.二次方程根与系数的关系.5.求以椭圆的焦点为焦点，且过点的双曲线的标准方程.【答案】【解析】首先设出双曲线的标准方程，然后利用与椭圆的关系、双曲线过点建立组可求得a，b的值．试题解析：由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在轴上．设双曲线的标准方程为．根据题意，解得或（不合题意舍去），∴双曲线的标准方程为．【考点】1、椭圆的几何性质；2、双曲线的方程求法．6.已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于椭圆的离心率为，则可知b：a=1：2，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可知为正方形边长为4，则可知（2，2）在椭圆上，可知椭圆的方程为，选D.【考点】椭圆和双曲线点评：主要是考查了椭圆与双曲线的性质的运用，属于基础题。
寒假作业（23）圆锥曲线综合测试1、已知在圆22:4240M x y x y +-+-=内，过点(0,0)O 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A.6B.8C.10D.122、已知椭圆方程221259y x +=，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点1F 的距离是2，N 是1MF 的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是（ ） A.2B.4C.8D.323、已知,m n 为两个不相等的非零实数,则方程0mx y n -+=与22nx my mn +=所表示的曲线可能是( )A. B.C. D.4、下列命题:（1）动点M 到二定点A B 、的距离之比为常数(01)λλλ>≠且则动点M 的轨迹是圆;（2）椭圆22221(0)y x a b a b+=>>2,则b c =; （3）双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离是b ;（4）已知抛物线22(0)y px p =>上两点1122(,),(,)A x y B x y 且OA OB ⊥ (O 是坐标原点),则212y y p =-. 以上命题正确的是( )A.()()()234、、 B.()()14、 C.()()13、 D.()()()123、、 5、已知抛物线24y x =的准线过双曲线22221()00x y a b a b-=>>,的左焦点，且与双曲线交于A B ,两点，O 为坐标原点，且AOB △的面积为32，则双曲线的离心率为（ ）A.32B.4C.3D.26、在直角坐标系xoy 中，F 是抛物线2:20C x py p =>（）的焦点，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线交l 于点B ，过点A 作FB 的垂线交FB 于点D ，若OD p =，则直线AF 的斜率为( )A.12±B.34±C.1±D.43±7、已知(0,3)A ，若点P 是抛物线28x y =上任意一点，点Q 是圆22(2)1x y +-=上任意一点，则2||||PA PQ 的最小值为( ) A．4 B ．1 C ．2 D ．18、设双曲线2222:10()0x y C a b a b -=>>,的右焦点与抛物线216y x =的焦点相同，双曲线C 的0y +=，则双曲线C 的方程为（ ）A.221124x y -=B.221412x y -=C.2211648x y -=D.2214816x y -= 9、椭圆2213x y +=的左右焦点分别为12,F F ,一条直线经过1F 与椭圆交于,A B 两点,则2ABF △的周长为（ ）A ．B ．6C ．D ． 1210、已知双曲线22:1(04)4x y C m m m -=<<-的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切，则m =( ) A．1B C ．2D ．311、在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线22(0)y px p =>的准线为l ,直线l 与双曲线22123x y -=的两条渐近线分别交于,A B 两点,AB =,则p 的值为______． 12、抛物线28y x =的焦点到双曲线221169x y -=渐近线的距离为_______.13、已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上，若点A 的坐标为(3,0)，1AM =u u u u r ,且0PM AM ⋅=u u u u r u u u u r ,则PM u u u u r的最小值是____________.14、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n+=>>具有相同的焦点12,F F ，且在第—象限交于点P .设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，若123F PF π∠=，则2212e e +的最小值为______________.15、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ,点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b .1.求椭圆的离心率.2.设点Q 在线段AE 上，32FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ,点,M N 在x 轴上，//PM QN ,且直线PM 与直线QN 间的距离为c ,四边形PQNM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率； ②求椭圆的方程.答案以及解析1答案及解析： 答案：D 解析：2答案及解析： 答案：B解析：∵21028MF =-=,ON 是12MF F △的中位线, ∴242MF ON ==故选B.3答案及解析： 答案：C解析：方程0mx y n -+=表示直线,与坐标轴的交点分别为()0,,0n n m ⎛⎫- ⎪⎝⎭若方程22nx my mn +=表示椭圆,则,m n 同为正,∴0nm-<，故,A B 不满足题意;若方程22nx my mn +=表示双曲线,则,m n 异号,∴0nm->，故C 符合题意,D 不满足题意 故选C4答案及解析： 答案：D 解析：5答案及解析： 答案：D解析：Q 抛物线24y x =的准线方程为1x =-，∴双曲线22221()00x y a b a b -=>>,的左焦点为(10)-,，即1c =. 将1x =-代入双曲线方程，得()22221a y b a -=.又22221b c a a =-=-，可得21a y a-=±.AOB Q △的面积为32，()22113122a a -∴⨯⨯=，解得12a =，2ce a∴==.故选D.6答案及解析： 答案：B解析：当点A 在第一象限时，如图，设A A A x y （，），2B p B x -（，），由220x py p ->（），知02pF （，）.由抛物线定义可知AF AB =，又由AD BF ⊥知，D 是B F 的中点，故0D y =.因此点D 在x轴上.结合OD p =知，2B x p =，2A x p =，所以点A 的坐标为()22p p ，又02pF （，），所以34AF k =，当点A 在第二象限时，同理可得422B x p x p =-=-，.所以点A 的坐标为22p p -（，），又02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以34AF k =-.故选B.7答案及解析： 答案：A 解析：8答案及解析： 答案：B解析：因为抛物线216y x =的焦点0(4)F ,为双曲线C 的右焦点，所以4c =，2216a b +=. 又由渐近线方程得3b a 22412a b ==,，所以双曲线C 的方程为221412x y -=.9答案及解析：答案：C 解析：10答案及解析： 答案：A 解析：11答案及解析：解析：抛物线22(0)y px p =>的准线为:2p l x =-,双曲线22123x y -=的两条渐近线方程为y x =,可得,,22p p A p B p ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则AB p p ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭可得p12答案及解析： 答案：65解析：13答案及解析：解析：易知点(3,0)A 是椭圆的右焦点.∵0PM AM ⋅=u u u u r u u u u r ,∴AM PM ⊥u u u u r u u u u r，∴22221PM AP AM AP =-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r .∵椭圆的右顶点到焦点A 的距离最小，故min2AP =u u u r ，∴minPM=u u u u r14答案及解析：答案：22+ 解析：15答案及解析：答案：1.设椭圆的离心率为e.由已知，可得21()22b c a c +=.又由222b ac =-可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=. 又因为01e <<，解得12e =. 所以，椭圆的离心率为12. 2.①依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m.由1知2a c =， 则直线AE 的方程为12x yc c+=，即220x y c +-=， 与直线FP 的方程联立，可解的(22)3,22m c cx y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3,22m c c m m -⎛⎫⎪++⎝⎭.由已知32FQ c =，有222(22)33222m c c c c m m -⎡⎤⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎢⎥++⎣⎦⎝⎭⎝⎭，整理得2340m m -=，所以43m =，即直线FP 的斜率为34. ②由2a c =，可得b =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=.由①得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22223430143x y c x y c c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得2276130x cx c +-=，解得137cx =-(舍去)或x c =.因此可得点3,2c P c ⎛⎫⎪⎝⎭，进而可得52c FP ==，所以5322c cPQ FP FQ c =-=-=. 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离， 故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN FP ⊥,所以339tan 248c c QN FQ QFN =⨯∠=⨯=， 所以FQN △的面积为2127232c FQ QN ⨯⨯=，同理FPM △的面积等于27532c .由四边形PQNM 的面积为3c ，得22752733232c c c -=， 整理得22c c =，又由0c >得2c =.所以，椭圆的方程为2211612x y +=. 解析：。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L:y=-2相切.求动圆圆心的轨迹C的方程。
【答案】【解析】动圆圆心到定点的距离与到定直线（切线）的距离相等（等于半径），由抛物线的定义可知动点的轨迹是抛物线，易得方程为.试题解析：依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L:y=-2为准线的抛物线上因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹方程是x2=8y.【考点】抛物线的定义与方程2.已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为，离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线交椭圆于两点，若轴上一点满足，求直线的斜率的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据与离心率可求得a，b，c的值，从而就得到椭圆的方程；（2）设出直线的方程，并与椭圆方程联立消去y可得到关于x的一元二次方程，然后利用中点坐标公式与分类讨论的思想进行解决．试题解析：（1），∴，，∴，∴，椭圆的标准方程为．（2）已知,设直线的方程为，-，联立直线与椭圆的方程，化简得：，∴，，∴的中点坐标为．①当时，的中垂线方程为，∵，∴点在的中垂线上，将点的坐标代入直线方程得：，即，解得或．②当时，的中垂线方程为，满足题意，∴斜率的取值为.【考点】1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．3.已知曲线，求曲线过点的切线方程。
【答案】【解析】因为点不在曲线上，故先设所求切线的切点为，再求的导数则，由点斜式写出所求切线方程，再将切线上的已知点代入切线方程可求出，从而所求出切线方程.试题解析：，点不在曲线上，设所求切线的切点为，则切线的斜率，故所求的切线方程为.将及代入上式得解得：所以切点为或.从而所求切线方程为【考点】1、过曲线外一点求曲线的切线方程；2、导数的几何意义.4.已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点（x,y）,直线方程为，与联立方程组，并且有，，解得双曲线的离心率是，故选D.【考点】双曲线的性质点评：主要是考查了双曲线与抛物线的几何性质的运用，属于基础题。
寒假作业（23）圆锥曲线综合测试1、已知在圆22:4240M x y x y +-+-=内，过点(0,0)O 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A.6B.8C.10D.122、已知椭圆方程221259y x +=，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点1F 的距离是2，N 是1MF 的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是（ ） A.2B.4C.8D.323、已知,m n 为两个不相等的非零实数,则方程0mx y n -+=与22nx my mn +=所表示的曲线可能是( )A. B.C. D.4、下列命题:（1）动点M 到二定点A B 、的距离之比为常数(01)λλλ>≠且则动点M 的轨迹是圆;（2）椭圆22221(0)y x a b a b+=>>2,则b c =; （3）双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离是b ;（4）已知抛物线22(0)y px p =>上两点1122(,),(,)A x y B x y 且OA OB ⊥ (O 是坐标原点),则212y y p =-. 以上命题正确的是( )A.()()()234、、 B.()()14、 C.()()13、 D.()()()123、、 5、已知抛物线24y x =的准线过双曲线22221()00x y a b a b-=>>,的左焦点，且与双曲线交于A B ,两点，O 为坐标原点，且AOB △的面积为32，则双曲线的离心率为（ ）A.32B.4C.3D.26、在直角坐标系xoy 中，F 是抛物线2:20C x py p =>（）的焦点，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线交l 于点B ，过点A 作FB 的垂线交FB 于点D ，若OD p =，则直线AF 的斜率为( )A.12±B.34±C.1±D.43±7、已知(0,3)A ，若点P 是抛物线28x y =上任意一点，点Q 是圆22(2)1x y +-=上任意一点，则2||||PA PQ 的最小值为( ) A．4 B ．1 C ．2 D ．18、设双曲线2222:10()0x y C a b a b -=>>,的右焦点与抛物线216y x =的焦点相同，双曲线C 的0y +=，则双曲线C 的方程为（ ）A.221124x y -=B.221412x y -=C.2211648x y -=D.2214816x y -= 9、椭圆2213x y +=的左右焦点分别为12,F F ,一条直线经过1F 与椭圆交于,A B 两点,则2ABF △的周长为（ ）A ．B ．6C ．D ． 1210、已知双曲线22:1(04)4x y C m m m -=<<-的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切，则m =( ) A．1B C ．2D ．311、在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线22(0)y px p =>的准线为l ,直线l 与双曲线22123x y -=的两条渐近线分别交于,A B 两点,AB =,则p 的值为______． 12、抛物线28y x =的焦点到双曲线221169x y -=渐近线的距离为_______.13、已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上，若点A 的坐标为(3,0)，1AM =,且0PM AM ⋅=,则PM 的最小值是____________.14、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n+=>>具有相同的焦点12,F F ，且在第—象限交于点P .设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，若123F PF π∠=，则2212e e +的最小值为______________.15、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ,点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b .1.求椭圆的离心率.2.设点Q 在线段AE 上，32FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ,点,M N 在x 轴上，//PM QN ,且直线PM 与直线QN 间的距离为c ,四边形PQNM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率； ②求椭圆的方程.答案以及解析1答案及解析： 答案：D 解析：2答案及解析： 答案：B解析：∵21028MF =-=,ON 是12MF F △的中位线, ∴242MF ON ==故选B.3答案及解析： 答案：C解析：方程0mx y n -+=表示直线,与坐标轴的交点分别为()0,,0n n m ⎛⎫- ⎪⎝⎭若方程22nx my mn +=表示椭圆,则,m n 同为正,∴0nm-<，故,A B 不满足题意;若方程22nx my mn +=表示双曲线,则,m n 异号,∴0nm->，故C 符合题意,D 不满足题意 故选C4答案及解析： 答案：D 解析：5答案及解析： 答案：D 解析：抛物线24y x =的准线方程为1x =-，∴双曲线22221()00x y a b a b -=>>,的左焦点为(10)-,，即1c =. 将1x =-代入双曲线方程，得()22221a y b a -=.又22221b c a a =-=-，可得21a y a-=±.AOB △的面积为32，()22113122a a -∴⨯⨯=，解得12a =，2ce a∴==.故选D.6答案及解析： 答案：B解析：当点A 在第一象限时，如图，设A A A x y （，），2B p B x -（，），由220x py p ->（），知02pF （，）.由抛物线定义可知AF AB =，又由AD BF ⊥知，D 是B F 的中点，故0D y =.因此点D 在x轴上.结合OD p =知，2B x p =，2A x p =，所以点A 的坐标为()22p p ，又02pF （，），所以34AF k =，当点A 在第二象限时，同理可得422B x p x p =-=-，.所以点A 的坐标为22p p -（，），又02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以34AF k =-.故选B.7答案及解析： 答案：A 解析：8答案及解析： 答案：B解析：因为抛物线216y x =的焦点0(4)F ,为双曲线C 的右焦点，所以4c =，2216a b +=. 又由渐近线方程得3b a 22412a b ==,，所以双曲线C 的方程为221412x y -=.9答案及解析：答案：C 解析：10答案及解析： 答案：A 解析：11答案及解析：解析：抛物线22(0)y px p =>的准线为:2p l x =-,双曲线22123x y -=的两条渐近线方程为y x =,可得,,22p p A p B p ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则AB p p ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭可得p12答案及解析： 答案：65解析：13答案及解析：解析：易知点(3,0)A 是椭圆的右焦点.∵0PM AM ⋅=,∴AM PM ⊥，∴22221PM AP AM AP =-=-.∵椭圆的右顶点到焦点A 的距离最小，故min2AP=，∴minPM=14答案及解析：答案：22+ 解析：15答案及解析：答案：1.设椭圆的离心率为e.由已知，可得21()22b c a c +=.又由222b ac =-可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=. 又因为01e <<，解得12e =. 所以，椭圆的离心率为12. 2.①依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m.由1知2a c =， 则直线AE 的方程为12x yc c+=，即220x y c +-=， 与直线FP 的方程联立，可解的(22)3,22m c cx y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3,22m c c m m -⎛⎫⎪++⎝⎭.由已知32FQ c =，有222(22)33222m c c c c m m -⎡⎤⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎢⎥++⎣⎦⎝⎭⎝⎭，整理得2340m m -=，所以43m =，即直线FP 的斜率为34. ②由2a c =，可得b =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=.由①得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22223430143x y c x y c c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得2276130x cx c +-=，解得137cx =-(舍去)或x c =.因此可得点3,2c P c ⎛⎫⎪⎝⎭，进而可得52c FP ==，所以5322c cPQ FP FQ c =-=-=. 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离， 故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN FP ⊥,所以339tan 248c c QN FQ QFN =⨯∠=⨯=， 所以FQN △的面积为2127232c FQ QN ⨯⨯=，同理FPM △的面积等于27532c .由四边形PQNM 的面积为3c ，得22752733232c c c -=， 整理得22c c =，又由0c >得2c =.所以，椭圆的方程为2211612x y +=. 解析：由Ruize收集整理。
高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点．(ⅰ)证明：k·kON为定值；(ⅱ)是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）;（2）(ⅰ）;(ⅱ）不存在．【解析】（1）由于曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4，结合椭圆的定义可知曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，从而可写出曲线C的方程；（2）由已知可设出过点直线l的方程，并设出直线l与曲线C所有交点的坐标；然后联立直线方程与曲线C的方程，消去y就可获得一个关于x的一元二次方程，应用韦达定理就可写出两交点模坐标的和与积；(ⅰ)应用上述结果就可以用k的代数式表示出弦的中点坐标，这样就可求出ON的斜率，再乘以k就可证明k·kON 为定值；(ⅱ）由F1N⊥AC，得kAC•kFN= -1，结合前边结果就可将此等式转化为关于k的一个方程，解此方程，若无解，则对应直线不存在，若有解，则存在且对应直线方程很易写出来.试题解析：（1）由已知可得：曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，所以，故曲线C的方程为：. 4分（2）设过点M的直线l的方程为y=k(x+4)，设B(x1, y1)，C(x2, y2）(x2>y2)．(ⅰ)联立方程组，得，则， 5分故，， 7分所以，所以k•kON=为定值. 8分(ⅱ)若F1N⊥AC，则kAC•kFN= -1，因为F1(-1,0)，故， 10分代入y2=k(x2+4)得x2=-2-8k2，y2="2k" -8k3，而x2≥-2，故只能k=0，显然不成立，所以这样的直线不存在． 13分【考点】1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系.2.双曲线+=1的离心率，则的值为.【答案】-32【解析】由题意可得，a=2，又∵e==3，∴c=3a=6，∴b2=c2-a2=36-4=32，而k=-b2，∴k=-32【考点】双曲线离心率的计算.3.已知椭圆，直线是直线上的线段，且是椭圆上一点，求面积的最小值。
高二数学圆锥曲线综合测试题（考试时间：120分钟，共150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) A.|a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 22．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝ ( )A ．6 B.2 C ．2 D ．不确定3．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.1164．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2 5．若双曲线x 2a2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 ( )A.255B.32C.233D ．26．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1(x ＞3)D.x 216－y 29＝1(x ＞4)7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5e5x (e 为双曲线离心率)，则有( )A ．b ＝2aB ．b ＝5aC ．a ＝2bD ．a ＝5b 8．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A.1716B.1516 C ．－1516 D ．－17169．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ ）A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--） 10．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．611．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则1PF ·2PF ＝ ( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4 12．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ ） A ．23 B ．2 C ．25D ．3 1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 14．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.15．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．16．双曲线221tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则这双曲线的离心率为__ _。
参考答案1．D抛物线24y x =的焦点为()1,00y ±=，=故选：D. 2．A 【分析】根据椭圆方程求出a 、b 、c ，即可求出焦点坐标； 【详解】解：椭圆221925x y +=的焦点在y 轴上，5a =，3b =，则4c =，所以椭圆的焦点坐标()0,4，()0,4-． 故选：A ． 3．D 【分析】里双曲线定义及其性质，分别在△AOB 和△OBF 中，表示出△OBA 和△BF A ，的正切即可解出.【详解】由题意可知OB ＝b ，OA ＝a ，OF ＝c ，在△AOB 中，tan aOBA b ∠=，在△OBF 中， tan bc BFO ∠=，△△OBA ＝△BF A ，△a bb c=且c 2＝a 2+b 2，△ac ＝c 2﹣a 2，即e 2﹣e ﹣1＝0且e ＞1，△e =故选：D ． 4．A 【分析】本题考察动点到定直线的距离问题，由点在抛物线上可设点为：(m ，－m 2) 根据点线距公式，可得关于m 的函数，即可获得该函数的最值 【详解】由题意，设抛物线y ＝－x 2上一点为：(m ，－m 2)，其中m R ∈ 则该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离：2222033343855m m m d ⎛⎫-+⎪--⎝⎭==当23m =时，取得最小值为43 故选：A 5．B 【分析】由题意和椭圆性质可得当8k >时，112<<；当08k <<时，112<. 解不等式后即可得解. 【详解】由1e ,12⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，e c a ==222c a b =-可得： 当8k >时，28c k =-，由条件知112<，解得323k >；当08k <<时，28c k =-，由条件知112<，解得06k <<. 故选：B. 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了分类讨论思想，属于基础题. 6．D 【分析】结合椭圆的定义列方程，结合余弦定理求得离心率. 【详解】设11223,,5,3AF n F B n BF m AF m ====，由椭圆的定义得332523n m a am n n m a+=⎧⇒==⎨+=⎩， 在三角形12AF F 和三角形2ABF 中，由余弦定理得 ()222222245233cos 4223a a a a a c A a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭==⋅⋅，整理得222,c a c a ==故选：D7．22143x y -=.【分析】根据双曲线的方程得到渐近线方程，再由1y =确定点A ，B 的横坐标，然后根据三角形的面积得到b 的值，即可得到双曲线的标准方程和高心率． 【详解】由题意，双曲线222:14x y C b-=的渐近线方程为2b y x =±，令1y =，可得2x b =±，则4A B x x-=，由AOB 的面积为112A B x x -⨯=b =所以双曲线C 的标准方程为22143x y -=，离心率c e a ===故答案为：22143x y -=，. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程、渐近线方程、离心率等知识点的综合应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了运算求解能力． 8．9 【详解】由题意，抛物线2:8E x y =，可得4P =，焦点为(0,2)F ， 因为A 为线段CF的中点，可得(-，则AF k = 所以直线AF的方程为2y x =+，联立方程组228y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得2160x --=， 设1122(,),(,)A x y B x y，则12x x +=1212)45y y x x +++=， 所以12549AB y y p =++=+=. 故答案为：9.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系和韦达定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 9．-2 【分析】利用椭圆方程求出左焦点()1,0F -，右焦点()11,0F ，利用椭圆方程的定义求出14PF PF =-，进而得到1||||||4PA PF PA PF -=+-，要想||||PA PF -最小，只需1||PA PF +最小，数形结合求出最小值. 【详解】因为24a =，23b =，所以2221c a b =-=，所以()1,0F -，右焦点()11,0F ，如图，点P 是椭圆上任意一点，所以124PF PF a +==，故14PF PF =-，则()11||||||4||4PA PF PA PF PA PF -=--=+-，要想||||PA PF -最小，只需1||PA PF +最小，显然当A ，P ，1F 三点共线时，1||PA PF +最小，此时1min ||2PA PF +=，故min 1||||||42PA PF PA PF -=+-=-故答案为：-2 10．△△△ 【分析】根据双曲线的定义可判断△，求出方程的根可判断△，分别求出双曲线、椭圆的焦点坐标可判断△，根据梯形中位线和抛物线的定义可判断△. 【详解】对于△，设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，若()PA PB k AB k -=>，则动点P 的轨迹是双曲线，故△错误；对于△，方程22520x x -+=的两根分别为2和12，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故△正确；对于△，双曲线221259x y -=的焦点坐标为)和()，椭圆22135x y +=的焦点坐标为)和()，故有相同的焦点，故△正确；对于△，如图，直线AB 是过焦点的直线，直线MN 是抛物线的准线，PQ 是梯形AMNB 的中位线由抛物线的定义可得()()111222PQ AM BN AF BF AB =+=+=所以以AB 为直径的圆与准线相切，故△正确.故答案为：△△△ 11．（1）4；（2）1 2.k k +=．【分析】（1）当1k =时，得到直线l 的方程为2py x =-，联立方程组得到123x x p +=，结合抛物焦点弦的性质，列出方程，即可求解；（2）由（1）得到28y x =，设直线l ：()2y k x =-，联立方程组求得212248k x x k ++=，得出点22244,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，21211244,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合斜率公式和题设条件，列出方程，即可求解. 【详解】（1）设()()1122,,,A x y B x y ， 当1k =时，直线l 的方程为2p y x =-， 联立方程组222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得22304p x px -+=，所以123x x p +=，因为AB 16=，可得1216x x p ++=，所以416p =，解得4p =． （2）由（1）知，可得曲线G 的方程为28y x =， 设直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程组()228y k x y x ⎧=-⎨=⎩，整理得()22224840k x k x k -++=，则212248k x x k ++=，所以2224M k x k +=，所以4M y k =，即22244,k M kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 同理可得21211244,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以112211221442424MN k k kk k k k k k k k -==+++-， 所以直线MN 的方程为2121424(kk k y x k k k k ⎫+-=-⎪+⎭，因为直线MN 过点()2,2，所以212142422kk k k k k k ⎛⎫+-=- ⎪+⎝⎭，解得1 2.k k +=【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．12．(1) 2212x y +=(2) AB =【分析】（1）利用已知建立a ，b 的方程，解出a ，b 即可.（2）先考虑斜率不存在时，则OA k 与OB k 不存在，可设直线为2y kx =-，与椭圆联立，利用韦达定理结合条件解得k ，再利用弦长公式计算AB 即可. 【详解】（1）由题可知2ab =223a b +=，解得a =1b =.所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当直线l 斜率不存在时，明显不符合题意，故设l 的方程为2y kx =-，代入方程2212x y +=，整理得()2212860k x kx +-+=.由()226424210k k ∆=-+>，解得232k >，所以122812k x x k +=+，122612x x k =+. ()21212121212241OA OB k x x k x x y y k k x x x x -++⋅===-，解得25k =.AB =。
2020年高中数学 课时作业本圆锥曲线综合题1.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )A.x 2＋y 2=2B.x 2＋y 2=4C.x 2＋y 2=2(x ≠±)D.x 2＋y 2=4(x ≠±2)22.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A.πB.4πC.8πD.9π3.已知log 2x ，log 2y,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x ，y)的轨迹为( )4.若直线y=2x ＋与抛物线x 2=2py(p>0)相交于A ，B 两点，则|AB|等于( )p 2A.5pB.10pC.11pD.12p5.双曲线2x 2-y 2=-16的准线方程为________.6.椭圆C ：＋=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y=(x ＋c)与椭圆x2a2y2b23C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________.7.设P 是椭圆＋=1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2=1和(x-4)2＋y 2=1上的点，则x225y29PM ＋PN 的最小值、最大值分别为________________.8.到直线y=-4的距离与到A(0，-2)的距离的比值为的点M 的轨迹方程为________.29.已知平面内的动点P 到定直线l ：x=2 的距离与点P 到定点F(，0)之比为.222(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若点N为轨迹C上任意一点(不在x轴上)，过原点O作直线AB，交(1)中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1·k2是否为定值？10.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点.(1)若点P到直线x=-1的距离为d，A(-1,1)，求|PA|＋d的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值.答案解析1.答案为：D ；解析：设P(x ，y)，因为△MPN 为以MN 为斜边的直角三角形，∴MP 2＋NP 2=MN 2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2=16.整理得，x 2＋y 2=4.∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2.∴轨迹方程为x 2＋y 2=4(x ≠±2).2.答案为：B ；解析：设P(x ，y)，代入|PA|=2|PB|，得(x ＋2)2＋y 2=4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2=4，所求的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆.所以点P 的轨迹所围成的图形的面积等于4π.3.答案为：A ；解析：由2log 2y=2＋log 2x ，得log 2y 2=log 24x ，∴y 2=4x(x>0，y>0)，即y=2(x>0).x 4.答案为：B ；解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x 2－4px －p 2=0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2=4p ，∴y 1＋y 2=9p.∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|=y 1＋y 2＋p=10p.5.答案为：y=±463解析：原方程可化为-=1.∵a 2=16，c 2=a 2＋b 2=16＋8=24，∴c=2.y216x286∴准线方程为y=±=±=±.a2c 16264636.答案为：-13解析：直线y=(x ＋c)过点F 1(-c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2=60°，3从而∠MF 2F 1=30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，MF 1=c ，MF 2=c ，3所以该椭圆的离心率e===-1.2c 2a 2c c ＋3c37.答案为：8,12解析：PM ＋PN 最大值为PF 1＋1＋PF 2＋1=12，最小值为PF 1-1＋PF 2-1=8.8.答案为：＋=1y28x24解析：设M(x ，y)，由题意得=.化简得＋=1.|y ＋4|x2＋ y ＋2 22y28x249.解：(1)设点P(x ，y)，依题意，有=.整理，得＋=1. x －2 2＋y2|x －2 2|22x24y22所以动点P 的轨迹C 的方程为＋=1.x24y22(2)由题意，设N(x 1，y 1)，A(x 2，y 2)，则B(-x 2，-y 2)，＋=1，＋=1.x 214y 212x 24y 22k 1·k 2=·===-，为定值.y1－y2x1－x2y1＋y2x1＋x2y 21－y 2x 21－x 22－12x 21－2＋12x 2x 21－x 21210.解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x=-1.由抛物线的定义，知|PF|=d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值.22＋125如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为=.12(2)把点B的横坐标代入y2=4x中，得y=±，12因为>2，所以点B在抛物线内部.自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图).由抛物线的定义，知|P1Q|=|P1F|， 则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|=|BQ|=3＋1=4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.。
