数学建模实验三 Lorenz模型与食饵模型

几类捕食-食饵模型周期解的存在性与稳定性问题的开题报告一、选题背景及意义捕食-食饵模型是生态学领域最为经典的研究领域之一，其研究对象是生态系统中的食饵和食肉动物之间的关系。

这种模型的建立可以有效的分析和预测生态系统中的变化，评估人类活动对生态系统的影响。

捕食-食饵模型的研究中存在周期解的存在性和稳定性问题，对此问题的解决可以有效地预测生态系统的变化，制定科学的保护策略，有助于保护地球生态环境，实现可持续发展。

二、选题内容和研究目的本文将以Ricker模型和Lotka-Volterra模型为基础，探讨捕食-食饵模型周期解的存在性和稳定性问题。

具体研究目的包括：1、判断模型的周期解是否存在。

2、分析周期解的稳定性，包括周期解的局部稳定性和全局稳定性。

3、探讨影响周期解稳定性的因素，如参数的变化对周期解的影响。

三、研究方法与预期结果本论文将采用数学建模和分析的方法研究该问题，并通过分析得到如下预期结果：1、在Ricker模型和Lotka-Volterra模型中，周期解的存在性与参数之间的关系。

2、利用线性稳定性分析周期解的局部稳定性。

3、通过Lyapunov函数法或直接算法讨论周期解的全局稳定性。

4、探讨环境变化对模型的周期解稳定性的影响，以及如何通过人类活动控制环境变化来实现捕食-食饵模型的可持续发展。

四、论文的创新点本文将从周期解的存在性和稳定性角度出发，研究捕食-食饵模型的演化及其稳定性。

创新点主要体现在以下几个方面：1、基于周期解探讨捕食-食饵模型的演化情况。

2、针对周期解的局部和全局稳定性分别进行讨论，比较两种模型间的区别。

3、探讨环境变化对模型的周期解稳定性的影响，提出有针对性的保护措施。

五、论文的结构文章的结构设计如下：第一章：绪论1.1 选题背景和意义1.2 选题内容和研究目的1.3 研究方法和预期结果1.4 论文创新点1.5 论文结构第二章：相关理论介绍2.1 捕食-食饵模型基本概念2.2 Ricker模型及其分析2.3 Lotka-Volterra模型及其分析第三章：周期解的存在性分析3.1 Ricker模型的周期解3.2 Lotka-Volterra模型的周期解第四章：周期解的稳定性分析4.1 Ricker模型周期解的局部稳定性4.2 Lotka-Volterra模型周期解的局部稳定性4.3 Ricker模型周期解的全局稳定性4.4 Lotka-Volterra模型周期解的全局稳定性第五章：环境变化对周期解稳定性的影响5.1 环境变化的影响机制分析5.2 人类活动对周期解的影响5.3 指导对策第六章：结论6.1 研究成果回顾6.2 不足之处与改进方向6.3 后续研究建议参考文献。

《数学建模》课程教学论文题目：具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型专业：班级：学号：学生姓名：完成日期：⇒,,,>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=d b a r bxy dy dtdy axy rx dt dx ()⎩⎨⎧+-=-=)()()(bx d y t y ay r x t x 研究具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型摘要：讨论具有作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定性的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论的正确性。

研究自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者，目的是延迟或阻止自身反应过程的发生和发展，运用Volterra 模型和Logsitic 规律的功能研究自身阻滞作用，由稳定性和相轨线来论证。

关键词： 食饵-捕食者系统 自身阻滞 平衡点稳定性 符号说明：;食饵的数量--x 捕食者的数量；--y;)(时刻的数量食饵在t t x --时刻的数量；捕食者在t t y --)(r --食饵独立生存时的增长率；a --捕食者掠取食饵的能力b --食饵对捕食者的供养能力；d --捕食者独自存在时的死亡率； 1r --食饵的固有增长率；2r --捕食者的固有增长率； 1N --食饵最大容量；2N --捕食者最大容量；1σ--食饵自身的竞争能力；2σ--捕食者自身的竞争能力基本假设：(1 )食饵由于捕食者的数量增长使得食饵数量减少，即r 与捕食者数量y 成正比，即;y r x =∙（2）捕食者没有食饵的存在就会死亡，死亡率为d ，即;dy y -=∙（3）对于食饵有)1(11N xx r x -=∙,其中11N x -是由于食饵对资源的消耗导致自身的增长阻滞作用。

建立模型：1.模型一 没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞该模型反映了在没有捕获时食饵--捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是V olterra 提出的最简单的模型[]1。

捕食模型（生物数学）捕食模型（食饵捕食模型，生物数学重要模型）假设及建立模型：假设一个生态系统，其中含有两种生物 A 生物和B 生物，其中A 生物是捕食者，B 生物是被捕食者。

建立捕食数学模型1) 在观测数据（DATA1）无误差的情况下，确定模型中的参数，并分析误差。

2) 在观测资料有误差（时间变量不含有误差）的情况下，请分别利用观测数据DATA2和DATA3，确定参数在某种意义下的最优解，并与仿真结果比较，进而改进你们的数学模型。

3) 假设连观测资料的时间变量也含有误差，试利用数据DATA4，建立数学模型，确定参数在某种意义下的最优解。

通过对此生态系统的观测，可以得到相关的观测数据。

观测数据的格式依次为：观测时刻jt 、A 生物数目)(j t x 、B 生物数目)(j t y对于生态系统中的两种生物A 和B ，A 生物为捕食者，B 生物为被捕食者。

在某一段时期内，A 生物的数量与B 生物的数量之间存在一定的关系。

根据已知条件，可将（15）式改写为如下形式：12()dxx y dtαα=+ （1）34()dyy x dtαα=+ （2）0506()()x t y t αα=??=?其中()16k k α≤≤为模型的待定参数。

进行变换可得：3412()()y x dy dx x y αααα+=+ （3）3412()()dx x dy y y xαααα++=即（4）积分得：10203040ln ln )()(ln ln )()0y y y y x x x x αααα-+-+-+-=（可将上述表达式改写成n 元齐次线性方程组的形式，如下所示：m n A 0α?= （5）上述n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<="">我们首先用DATA1中的3组数据确定，，，，4321a a a a 程序clearA=zeros(3,4);A(1,1)=log(0.####82216 /60); A(1,2)= 60-0.####82216;A(1,3)=-log(11.750840650304518 /10); A(1,4)=10-11.750840650304518 ; A(2,1)=log(7.108705996120129/60);A(2,2)= 7.108705996120129-60; A(2,3)=-log(3.4####9176 /10); A(2,4)=10-3.4####9176; A(3,1)=log(0.425####24/60); A(3,2)= 0.425####24-60;A(3,3)=-log(20.80921881438798/10); A(3,4)=10-20.80921881438798 ;r=rank(A); % rank(A)=r<="" bdsfid="110" p="" r=""y="null(A," 时,该方程有无穷多个解,求它的一个基本解=""> 表1 )41(a '≤≤k k 的值'1a'2a'3a '4a-0.0478 -0.0042-0.99250.11253314140000222222(ln ln )ln ln y y y x x y x x αααααααααααα=+---++ （28）如设：31400000222(ln ln )y y x x αααβααα=+--，112αβα=-，422αβα=，332αβα=，1x =ln y ，2x =x ，3ln x x =，则（28）式可以写为如下形式；0112233y x x x ββββ=+++ （29）对于（29）式中因变量y 是自变量{}123x x x x =的线性函数。

食饵——捕食者模型摘要：建立具有自身阻滞作用的两个种群食饵-捕食者模型，并结合模型的数值解和相轨线，对模型的稳定性进行了分析。

关键词：种群，数值解，平衡点，相轨线，Volterra 模型（一）模型准备自然界中不同种群之间还存在着这样一种制约的生存方式：种群甲靠有限的自然资源生存，而种群乙靠掠取甲为生。

就像生活在草原上的狼与羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在，这样两个肉弱强食的种群，它们的发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？（二）模型假设有羊和狼两个种群，记食饵（羊群）和捕食者（狼群）在时刻t 的数量分别为)(t x ，)(t y ，1r 为羊群的固有增长率，1N 为环境容许的最大羊群量，2N 为环境容许的最大狼群量。

1、假设羊群可以独立生存，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”。

羊群数量的增长率可以分为两部分考虑：其一，因为草原上的资源有限，所以它的增长服从Logistic 规律，即)1(11.N xx r x -=， 其二，当两个种群在同一个自然环境中生存时，由于狼群以掠取羊群为生，所以它对羊群的增长产生了负面影响，可以合理地在因子)1(1N x-中再减去一项，该项与狼群的数量y （相对于2N 而言）成正比，于是得到羊群增长的方程为：)1()(2111.N y N x x r t x σ--= （1） 1σ的意思是：单位数量的狼（相对2N 而言）掠取1σ倍的羊（相对1N 而言）。

2、假设狼群没有羊群的存在会灭亡，设其死亡率为2r ，则狼群独自存在时，有：y r t y 2.)(-=，又因为羊群的存在为狼群提供了食物，所以它对狼群的增长产生了促进作用，而狼群的增长又受到自身的阻滞作用，于是得到狼群增长的方程为：)1()(1222.N x N y y r t y σ+--= （2） 2σ的意思是：单位数量的羊（相对1N 而言）供养2σ倍的狼（相对2N 而言）。

（三）模型建立根据模型假设中的方程（1）、（2），可得到如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=--=)1()()1()(1222.2111.N x N y y r t y N y N x x r t x σσ （四）模型求解利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造，然后从理论上研究其平衡点，验证前面的猜测。

高维“食饵──捕食者”数学模型的研究
倪明康
【期刊名称】《华东师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1993(000)002
【摘要】在苏联科学通报[3]中??教授提出了一类在食饵或捕食者之间存在竞争的高维食饵与捕食者模型并进行了初步分析.本文提出了一类更为广泛的在食饵与捕食者之间都存在竞争的高维数学模型,并得到了一些新的重要结果.本文的工作包括和推广了[3]的工作.
【总页数】6页(P19-24)
【作者】倪明康
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】Q958.12
【相关文献】
1.一类有密度制约的捕食者——食饵种群数学模型的研究 [J], 杨乔;李伟贞;张静
2.具功能反应的三种群捕食者——食饵系统数学模型稳定性的研究 [J], 郑文海
3.线性平移在捕食者—食饵数学模型稳定性分析中的应用 [J], 华极鑫;冯维龙;王娜;姜玉秋
4.高维“食饵-捕食者”模型周期解的存在性 [J], 倪明康
5.捕食者环境容纳量依赖于食饵的食饵-捕食者模型 [J], 刘汉武;张凤琴;李秋英
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

《数学模型实验》实验一 被食者——食者系统的数学模型一、 实验大纲通过建立被食者与食者系统的数学模型并进行模拟，将模拟结果与实际观察数据进行对照分析。

并通过计算机观察改变各种参数后所引起的数量的变化。

二、 实验指导1、建立被食者与食者系统的数学模型（1） 害虫麦蚜的数量动态模型：x dtdx ）－（αλ= 其中α表示麦蚜遭天敌消灭的速率。

（2） 天敌数量动态模型：y dtdy ）－（βμ-= （3） 初始条件：000(,)0(y y x x ）＝=2、介绍微分方程的各种数值算法3、通过编程模拟被食者与食者在一段时间内的数量变化，并观察出变化规律4、改变模型中的各项参数，并观察变化规律。

三、 实验报告（见附表）实验二 安全过河问题一、 实验大纲通过建立安全过河的决策模型，进行计算编程求解。

二、 实验指导1、问题分析与建立模型（1） 将该问题可看作一个多步决策的过程。

设第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ， ,2,1=k ，k x ,k y =0,1,2,3。

将二维向量),(k k k y x S =定义为状态，安全渡河条件的状态集合称为允许状态集合，记作S ，则：}2,1;3,2,1,0,30|),{(=====y x y x y x S 或（2） 又设第k 次渡船上的商人数为k u ，随从数为k v 。

将二维向量),(k k k v u d =定义为决策.相应的允许决策集合记作D ，则由小船的容量可知：}2,1|),({=+=v u v u D（3） 分析状态k S 随着决策k d 变化的规律：k k k k d S S )1(1-+=+2、算法分析将问题转化为求决策)2,1(n k D d k =∈，使状态S S k ∈按照转移律（5.3），由初始状态)3,3(1=S 经有限步（设为n 步）到达状态)0,0(1=+n S 。

3、探讨无解的情况及其满足的条件4、将问题推广至n人的情形三、实验报告（见附表）实验三 飞行管理问题一、 实验目的通过分析飞机空中飞行可能发生的各种问题与应对策略后，建立模型与计算机模拟，能更快速的科学的指导某区域中飞机的飞行航向。

§11 食饵—捕食者系统一个包含两个群体的系统，其中一个群体紧密地依赖于另一个群体。

例如：害虫与其天敌、肿瘤细胞与正常细胞等。

称为一个食饵—捕食者系统。

设()t x —t 时刻食饵数量 ()t y —t 时刻捕食者数量 如果各自独立生活，则 ⎪⎩⎪⎨⎧-==y dtdy xdt dxμλ ()0,>μλ现在两者生活在一起，则有 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--=-=)2()1(0,βαβμαλyx dtdy x y dt dx称为Volterra —Lotka 方程，初始条件()00x x =，()00y y =，()()21÷得到()()xy yx dxdy αλμβ--=得通解c x y x y ln ln ln =++--μλβα 或c ex ey xy=⋅βμαλ以初始条件代入，可得到特解，它是xoy 平面上的一条闭轨线，见下图。

当食饵较多时，捕食者增多因而食饵必定减少，使得捕食者也随之减少，从而食饵又会增多。

两者的数量如此起伏，周而复始，维持着生态平衡。

现在来考虑一个有趣的问题，例如食饵和捕食者由于别的因素（如狩猎或火灾）同时按比例消亡。

一旦这种因素作用停止，谁恢复得较快？我们用方程组（1）、（2）来回答这个问题。

当()t x 和()t y 都减小时，乘积项xy 也减小（例如，x 和y 减半,x λ和y μ都减半，xy α和xy β却减为1/4）。

乘积项对捕食者是生长项，而对食饵来说是消亡项，xy 的减小使捕食者受到较大的损失，所以这场悲剧过后，食饵恢复较快，称为Volterra 原理。

这个原理已在许多方面得到证实：如杀虫剂的使用、临床医学中用化疗抑制癌细胞生长等。

一类捕食―食饵模型的性质
文章研究如下捕食-食饵模型在Neumann条件下的一些性质，
这里，分别为食饵和捕食者种群数量，均为正常数，其中衡量了捕食者除食饵之外的其他食物来源，文[1]探讨了系统（1）的生态学行为.文[2]研究了具有避难所和修正Leslie-Gower项的捕食食饵系统，得到正平衡点存在及全局稳定的条件，探讨了避难所和常数k对系统的影响，特别是对系统持久性和种群数量的影响，得到了些新结论. 文[3]考虑了一个齐次Neumann边界条件下具避难所的捕食-食铒模型的平衡态问题，获得了该模型正平衡态解的进一步结果。

给出了正解的先验估计，并用能量方法得到其非常数正解的不存在性，利用拓扑度理论得出其非常数正解的存在性。

常数正解的渐进稳定性
令是齐次Neumann边界条件下算子在上的特征值，是关于在中的特征子空间.是的一组正交基，
，
则
下面我们用文[5]中的方法来讨论系统（1）在正常数平衡解处的稳定性.
定理若，则系统（1）的正常数平衡解是渐近稳定的.
证明：令其中
令，则系统（1）在处的线性化方程为.对任意的是算子的不变子空间，是算子在上的特征值当且仅当是的特征值.而的特征多项式其中
容易验证在条件成立时，对于任意的，都有所以是渐近稳定的.。

第61卷 第3期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .32023年5月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a y2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022285具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型王 灵 芝(陕西师范大学数学与统计学院,西安710119)摘要:考虑一类具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型.先利用特征方程和L y a p u n o v -L a S a l l e 不变性原理,证明当R (τ)ɤ1时边界平衡点的全局渐近稳定性;再利用时滞微分方程H o pf 分支理论,讨论当R (τ)>1时共存平衡点的稳定性和全局H o pf 分支的存在性,得到了恐惧效应与时滞会影响系统稳定性的结果;最后通过数值模拟验证理论结果的正确性.关键词:恐惧效应;时滞;L y a p u n o v -L a S a l l e 不变性原理;H o p f 分支中图分类号:O 175 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)03-0449-10D e l a y e dP r e d a t o r -P r e y Mo d e l w i t hF e a rE f f e c t WA N GL i n gz h i (S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,S h a a n x iN o r m a lU n i v e r s i t y ,X i a n 710119,C h i n a )A b s t r a c t :T h e a u t h o r c o n s i d e r e dac l a s so f d e l a y e d p r e d a t o r -p r e y m o d e lw i t hf e a r e f f e c t .F i r s t l y ,b y u s i n g t h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o na n d L y a p u n o v -L a S a l l ei n v a r i a n c e p r i n c i p l e ,t h e g l o b a la s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t h eb o u n d a r y e q u i l i b r i u m w a s p r o v e d w h e n R (τ)ɤ1.S e c o n d l y ,b y u s i n g t h e H o pf b i f u r c a t i o n t h e o r y o f d e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ,t h ea u t h o rd i s c u s s e d t h e s t a b i l i t y of t h e c o e x i s t e n c e e q u i l i b r i u m p o i n t a n d t h ee x i s t e n c eo f t h eg l o b a lH o pfb i f u r c a t i o nw h e n R (τ)>1,a n do b t a i n e dt h e r e s u l t s t h a t f e a r e f f e c t a n dd e l a y a f f e c t e d t h es t a b i l i t y o f t h es y s t e m.F i n a l l y,t h ec o r r e c t n e s so f t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t sw a s v e r i f i e db y nu m e r i c a l s i m u l a t i o n s .K e y w o r d s :f e a r e f f e c t ;d e l a y ;L y a p u n o v -L a S a l l e i n v a r i a n c e p r i n c i p l e ;H o p f b i f u r c a t i o n 收稿日期:2022-06-27.作者简介:王灵芝(1999 ),女,汉族,硕士研究生,从事生物数学时滞微分方程的研究,E -m a i l :w a n g l z 0114@163.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11971285).0 引 言捕食者和食饵之间的相互作用是数学生态学和进化生物学的一个核心问题.研究表明,捕食者通过直接杀戮可对食饵的种群数量产生直接影响[1-4],但每个物种也会对感知到的捕食风险作出各种反捕食反应[5-11],包括栖息地㊁觅食㊁警惕性和生理的变化等.基于文献[11-12]的工作,本文考虑具有恐惧效应㊁种内竞争和捕食后生物量从食饵转化到捕食者的时间延迟以及在转化过程中捕食者的死亡率等因素的捕食者-食饵模型:̇u (t )=r f (k ,v )u (t )-d u (t )-a u 2(t )-g (u )v (t ),̇v (t )=βe -s τg (u (t -τ))v (t -τ)-μv (t )-αv 2(t ),(1)其中:u (t )和v (t )分别表示食饵和捕食者t 时刻的种群密度;r 为食饵的出生率;d 和μ分别为食饵和捕食者的自然死亡率;a 和α分别为食饵和捕食者因种内竞争而导致的死亡率;f (k ,v )为恐惧因子,表示由于恐惧而导致的反捕食行为成本,k 反映了驱动食饵反捕食行为的恐惧程度;β和τ分别为捕食Copyright ©博看网. All Rights Reserved.后生物量从食饵转化到捕食者的转化率和时间延迟;e-s τ为捕食者在生物量转化过程中的存活率;g (u )为功能反应函数,且∀u ȡ0,g (u )ɪC (ℝ),g (0)=0,gᶄ(u )>0.根据k 和f (k ,v )的生物学意义,本文做如下合理假设[10-11]:(H 1)f (0,v )=1,f (k ,0)=1,l i m k ңɕf (k ,v )=0,l i m v ңɕf (k ,v )=0,∂f (k ,v )∂k <0,∂f (k ,v )∂v<0.由文献[10]可知,当r <d 时,无论恐惧效应和捕食机制如何,食饵和捕食者都趋向于灭绝.因此,考虑到其实际生物意义,本文做如下假设:(H 2)r >d .1 适定性与可行平衡点当τ>0时,记C ʒ=([-τ,0],ℝ),其中C 为从[-τ,0]映射到ℝ的连续函数全体构成的B a n a c h 空间.对∀ϕɪC ,定义范数 ϕ =s u p -τɤθɤ0ϕ(θ).记C +ʒ=([-τ,0],ℝ+)为C 的非负锥.当t =0时,系统(1)的初始条件为ϕɪX ʒ=C +ˑC +.(2) 定理1 在初始条件(2)下,系统(1)的解具有非负性和最终有界性.即所有轨线最终进入并保持在如下有界不变区域中:Γ=(u ,v )ɪC +ˑC +: u ɤr -d a , v ɤβe -s τ(r -d )2a m i n {r -d ,μ{}}. 证明:由系统(1)的第一个方程得d u (t )d t=r f (k ,v )-d -a u -g (u )u æèçöø÷v u ,从而可得u (t )=u (0)e x pʏt0r f (k ,v (θ))-d -a u (θ)-g (u (θ))v (θ)u (θéëêêùûúú)d {}θȡ0.对于v 的非负性,可利用反证法.假设t 1>0是使得v (t )第一次为0的时刻,即v (t 1)=0.由系统(1)的第二个方程可知v ᶄ(t 1)=βe -s τg (u (t 1-τ))v (t 1-τ)>0,故存在ε>0,使得当t ɪ(t 1-ε,t 1)时,有v (t )<0.与当t ɪ[0,t 1)时,v (t )>0矛盾,故v (t )ȡ0.下证最终有界性.由系统(1)的第一个方程及条件(H 1)可知,u ᶄ(t )ɤr f (k ,v )u -d u -a u 2ɤ(r -d )u -a u 2,由比较原理得l i ms u pt ң+ɕu (t )ɤr -d a .将系统(1)的两个方程相加可得(βe -s τu (t )+v (t +τ))ᶄ=βe -s τ[rf (k ,v )u -d u -a u 2-g (u )v ]+βe -s τg (u )v -μv (t +τ)-αv 2(t +τ)=βe -s τu (rf (k ,v )-d -a u )-μv (t +τ)-αv 2(t +τ)ɤβe -s τr -d a (r -d -a u )-μv (t +τ)ɤβe -s τ(r -d )2a-βe -s τ(r -d )u -μv (t +τ)ɤβe -s τ(r -d )2a-δ(βe -s τu (t )+v (t +τ)),其中δ=m i n {r -d ,μ}.故l i ms u p t ң+ɕ(βe -s τu (t )+v (t +τ))ɤβe -s τ(r -d )2δa,从而l i ms u pt ң+ɕv (t )ɤβe -s τ(r -d )2δa.因此系统(1)的所有解最终进入并保持在Γ中.系统(1)的动力学行054 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.为将在有界可行域Γ内进行分析.显然,系统(1)总存在两个边界平衡点E 0=(0,0)和E b =r -d a ,æèçöø÷0.若存在共存平衡点E *=(u *,v *),则共存平衡点满足的方程为r f (k ,v )u -d u -a u 2-g (u )v =0,βe -s τg (u )-μ-αv =0{.(3)由式(3)的第二个方程得v *=βe -s τg (u *)-μα,因此v *>0当且仅当u *>g -1μβe s æèçöø÷τ,由文献[11]及条件(H 1)易知,当且仅当R (τ)ʒ=βe -s τg ((r -d )/a )μ>1即0ɤτ<τm a x ʒ=1s l n βg ((r -d )/a )æèçöø÷μ时,系统(1)存在共存平衡点E *=(u *,v *).2 边界平衡点的全局稳定性下面讨论边界平衡点E b =r -d a ,æèçöø÷0的稳定性.系统(1)在E b 处的特征方程为[λ+(r -d )]λ+μ-βe -s τg r -d æèçöø÷a e -éëêêùûúúλτ=0.(4) 定理2 1)若R (τ)ɤ1,则E b 是局部渐近稳定的,进一步,E b 在Γ\{u =0}内是全局渐近稳定的;2)若R (τ)>1,则E b 是不稳定的.证明:1)显然特征方程(4)有一个特征根λ1=-(r -d )<0,其他根由方程λ+μ-βe -s τg r -d æèçöø÷a e -λτ=0(5)决定,由文献[13]中引理6可知,当βe -s τg r -d æèçöø÷a <μ,即R (τ)<1时,式(5)的所有特征根均具有严格负实部,则E b 局部渐近稳定.对于临界情形βe -s τg r -d æèçöø÷a =μ,即当R (τ)=1时,0是式(5)唯一的实特征根,其余根均具有严格负实部.进一步,利用规范型理论[14]可得时滞微分方程(1)限制在中心流形上的规范型为η1+τβe -s τg r -d æèçöø÷éëêêùûúúa ̇z =-ηβe -s τg ᶄr -d æèçöø÷a +αηéëêêùûúú2z 2+O (z 3),其中η=r -d gr -d æèçöø÷a -r (r -d )a ∂f (k ,v )∂v v =0>0.由条件(2)有z (0)ȡ0,故系统(1)的边界平衡点E b 局部渐近稳定.若R (τ)ɤ1,则有ρʒ=βe -s τg r -d æèçöø÷a ɤμ,因此由系统(1)的第二个方程得v ᶄ(t )=βe -s τg (u (t -τ))v (t -τ)-μv (t )-αv 2(t )ɤβe -s τg r -d æèçöø÷a v (t -τ)-μv (t )=ρv (t -τ)-μv (t ). 考虑L y a p u n o v 泛函[12]:F (v (t ))=12v 2(t )+ρ2ʏtt -τv 2(θ)d θ,计算其沿系统(1)的导数为F ᶄ(1)=v (t )v ᶄ(t )+ρ2[v 2(t )-v 2(t -τ)]ɤρv (t )v (t -τ)-μv 2(t )+ρ2[v 2(t )-v 2(t -τ)]ɤρ2[v 2(t )+v 2(t -τ)]-μv 2(t )+ρ2[v 2(t )-v 2(t -τ)]=(ρ-μ)v 2(t )ɤ0,当且仅当u (t )=r -d a,v (t )=0时等号成立,则F ᶄ=0的最大不变集为单点集{E b }.由于当u =0时,154 第3期 王灵芝:具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.系统(1)的解趋向于E 0,因此由L a S a l l e s 不变原理[15]知,E b =r -d a ,æèçöø÷0在Γ\{u =0}内全局吸引,又E b 是局部渐近稳定的,从而E b 在Γ\{u =0}内全局渐近稳定.2)若R (τ)>1,则由文献[13]中引理6可知式(5)存在一个正实部特征根,从而E b 是不稳定的.3 共存平衡点的稳定性与局部H o pf 分支基于文献[11-12],选取线性功能反应函数g (u )=c u 以及恐惧因子f (k ,v )=11+k v,则系统(1)可写为如下时滞微分方程:̇u (t )=r u (t )1+k v (t )-d u (t )-a u 2(t )-c u (t )v (t ),̇v (t )=βe -s τc u (t -τ)v (t -τ)-μv (t )-αv 2(t ).(6) 下面讨论当R (τ)>1时系统(6)共存平衡点E *=(u *,v *)的稳定性.共存平衡点E *满足的方程为r1+k v-d -au -c v =0,(7)βe -s τc u -μ-αv =0.(8)由式(8)得u *=αv *+μc βe s τ,代入式(7)可知v *满足如下一元二次方程:a 2v 2+a 1v +a 0=0,(9)其中a 2=k (a αe s τ+c 2β)>0, a 1=a e s τ(α+μk )+c β(d k +c )>0, a 0=a μe s τ+c β(d -r )<0.故式(9)仅有唯一的正根v *=-a 1+Δ2a 2,其中Δ=a 21-4a 2a 0>0.从而系统(6)存在唯一的共存平衡点E *=(u *,v *).在共存平衡点E *处的特征方程为λ2+b 1λ+b 0+(c 1λ+c 0)e -λτ=0,(10)其中b 1=μ+2αv *+a u *>0, b 0=a u *(μ+2αv *)>0,c 1=-(μ+αv *)<0, c 0=(αv *+μ)2c v *+d -r (1+k v *)éëêêùûúú2.由于b 0+c 0=a αu *v *+c βe -s τu *v *r k (1+k v *)2+éëêêùûúúc >0,故0不是方程(10)的特征根.当τ=0时,系统(6)变为如下常微分方程:̇u (t )=r u (t )1+k v (t)-d u (t )-a u 2(t )-c u (t )v (t )췍P (u ,v ),̇v (t )=βc u (t )v (t )-μv (t )-αv 2(t )췍Q (u ,v ).(11) 定理3 当τ=0且R (0)>1时,共存平衡点E *=(u *,v *)在 Γʒ=Γ\{u =0或v =0}内全局渐近稳定.证明:当τ=0时,在共存平衡点E *处的特征方程(10)变为λ2+(b 1+c 1)λ+(b 0+c 0)=0,(12)其中b 1+c 1=a u *+αv *>0, b 0+c 0>0.由R o u t h -H u r w i t z 准则可知式(12)的根均具有严格负实部,即当τ=0时,E *=(u *,v *)是局部渐近稳定的.取D u l a c 函数[12]B (u ,v )=1u v,经计算可知对∀(u ,v )ɪ Γ,均有254 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.∂(P B )∂u +∂(Q B )∂v=-αu +a æèçöø÷v <0,从而由D u l a c -B e n d i x s o n 判别法可知,系统(6)不存在全部位于 Γ内的周期轨.进一步,当τ=0且R (0)>1时,E *是位于 Γ内的唯一平衡点.又共存平衡点E *是局部渐近稳定的,于是可知共存平衡点E *在 Γ内全局渐近稳定.下面考虑当τ>0时,特征方程(10)纯虚根的存在性.假设λ=i ω(ω>0)是方程(10)的一个根,将λ=i ω代入方程(10)并分离实部和虚部可得ω2-b 0=c 1ωs i n (ωτ)+c 0c o s (ωτ),(13)b 1ω=c 0s i n (ωτ)-c 1ωc o s (ωτ).(14)对方程(13)和(14)两端取平方再相加,可得G (ω,τ)=ω4+(b 21-2b 0-c 21)ω2+(b 0+c 0)(b 0-c 0)=0,(15)其中b 21-2b 0-c 21=(2μ+3αv *)αv *+a 2u *2>0, b 0+c 0>0,b 0-c 0=a u *(2μ+3αv *)-c βe -s τv *r k u *(1+k v *)2+c u éëêêùûúú*. 记J (τ)=b 0(τ)-c 0(τ), I -={τɪ(0,τm a x ):J (τ)<0}, I +={τɪ(0,τm a x ):J (τ)ȡ0}.若I -=Ø,则对∀τɪ(0,τm a x ),均有b 0ȡc 0,即式(15)不存在正根,因此对∀τɪ(0,τm a x )没有纯虚特征根穿过虚轴,且式(10)的根始终保持在虚轴左侧,故∀τɪ[0,τm a x ),共存平衡点E *是局部渐近稳定的.若I -ʂØ,则∃τ*ɪI -,使得b 0(τ*)<c 0(τ*),所以式(15)有唯一的正根ω(τ*)=-(b 21-2b 0-c 21)+(b 21-2b 0-c 21)2-4(b 20-c 20)2.(16)从而特征方程(10)存在纯虚特征根λ=i ω(τ*),且纯虚特征根需满足s i n (ω(τ)τ)=ω(τ)[c 1ω(τ)2+b 1c 0-b 0c 1]c 20+c 21ω(τ)2췍g 1(τ),c o s (ω(τ)τ)=(c 0-b 1c 1)ω(τ)2-b 0c 0c 20+c 21ω(τ)2췍g 2(τ).(17)记θ(τ)ɪ(0,2π]是满足s i n (θ)=g 1,c o s (θ)=g 2的唯一解.经计算可得ω(τ*)2ɤb 0-b 1c 0c 1,所以θ(τ)=a r c c o s (g 2(τ)).根据文献[16]中关于判断系数依赖时滞的超越方程发生稳定性开关的几何准则S n (τ)=τ-θ(τ)+2n πω(τ), τɪI -,n ɪℕ,(18)可知i ω*(τ*)是特征方程(10)的纯虚根当且仅当τ*为函数S n 的零解.由文献[16]有S i g n d R e λ(τ)d ττ=τæèçöø÷*=S i g n ∂G ∂ω(ω*(τ*),τ*æèçöø÷)S i g n (S ᶄn (τ*)),注意到∂G ∂ω(ω*(τ*),τ*)=4ω*(τ*)3+2(b 21-2b 0-c 21)ω*(τ*)>0,因此关于横截条件的结论如下:引理1 若∃τ*ɪI -满足S n (τ*)=0(n ɪℕ),则当τ=τ*时,式(10)具有一对共轭纯虚根λ(τ*)=ʃi ω*(τ*).进一步,若S i g n d R e λ(τ)d ττ=τæèçöø÷*>0,则在复平面上这对纯虚根随着τ的变化从左至右穿过虚轴;反之,若S i g n d R e λ(τ)d ττ=τæèçöø÷*<0,则其从右至左穿过虚轴,其中S i g n d R e λ(τ)d ττ=τæèçöø÷*=S i g n (S ᶄn (τ*)).354 第3期 王灵芝:具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.由式(18)可知S n (0)<0,且对∀τɪI -,有S n (τ)>S n +1(τ),其中n ɪℕ.记^τ=s u p I -ʒ=s u p {τɪ(0,τm a x ):b 0<c 0},则有b 0(^τ)-c 0(^τ)=0,因此当τң^τ时,ω(τ)ң0.再结合式(17)可得l i m τң^τ-s i n (θ(τ))=0且l i m τң^τ-c o s (θ(τ))=-1,从而l i m τң^τ-θ(τ)=π,l i m τң^τ-S n (τ)=-ɕ.为简化,本文做如下假设:(H 3)s u p τɪ[0,^τ)S 0(τ)>0,且对n ɪℕ+,S n (τ)最多存在两个根(包括重数).假设(H 3)可保证存在一个K ɪℕ+,使得当0ɤi ɤK -1(i ɪℕ)时每个S i (τ)存在两个单根,记为τi 和τ2K -i -1,且当i ȡK 时,S i (τ)没有零点,则对于所有的n ɪℕ,S n (τ)只有2K 个简单的零点τi ,且0<τ0<τ1< <τ2K -1<^τ.进一步,引理1表明,对于每个0ɤi ɤK -1(i ɪℕ),有S ᶄi (τi )>0,S ᶄi (τ2K -i -1)<0.从而一对纯虚特征根ʃi w (τi )从左至右穿过虚轴,另一对纯虚特征根ʃi ω(τ2K -i -1)从右至左穿过虚轴.因此当τ=τj (0ɤj ɤ2K -1,j ɪℕ)时,系统(6)在E *处经历了H o p f 分支.进一步,当τɪ[0,τ0)ɣ(τ2K -1,^τ)时E *是局部渐近稳定的,当τɪ(τ0,τ2K -1)时E *是不稳定的.记T j 为在τj 处分支出周期解的周期,对于0ɤi ɤK -1(i ɪℕ),有T i =2πω(τi )=2πτi θ(τi )+2i π, T 2K -i -1=2πω(τ2K -i -1)=2πτ2K -i -1θ(τ2K -i -1)+2i π,考虑到θɪ(0,2π],可得T 0>τ0,T 2K -1>τ2K -1,τn n +1ɤT n <τn n ,τ2K -n -1n +1ɤT 2K -n -1<τ2K -n -1n,其中1ɤn ɤK -1,n ɪℕ+.因此,利用时滞微分方程H o p f 分支理论[15],可得如下关于E *的稳定性和局部H o pf 分支的存在性结论.定理4 对于系统(6),如果R (τ)>1且I -ʂØ,则下列结论成立:1)如果s u p τɪ[0,^τ)S 0(τ)ɤ0,则∀τɪ[0,τm a x ),共存平衡点E *是局部渐近稳定的;2)如果假设(H 3)成立,则存在2K 个局部H o p f 分支点,即0<τ0<τ1< <τ2K -1<^τ,使得当τ=τj (0ɤj ɤ2K -1)时,系统(6)在E *处经历H o p f 分支;当τɪ[0,τ0)ɣ(τ2K -1,τm a x )时,E *是局部渐近稳定的;当τɪ(τ0,τ2K -1)时,E *是不稳定的.进一步,在τn 处分支出周期解的周期T n 满足T 0>τ0,T 2K -1>τ2K -1,T n ɪτn n +1,τn æèçöø÷n ,T 2K -n -1ɪτ2K -n -1n +1,τ2K -n -1æèçöø÷n ,其中1ɤn ɤK -1,n ɪℕ+.4 全局H o pf 分支下面利用W u [17]提出的全局H o p f 分支定理讨论系统(6)的全局H o pf 分支.令x (t )=(u (τt ),v (τt ))T,则系统(6)可写成如下泛函微分方程:x ᶄ(t )=F (x t ,τ,T ), (t ,τ,T )ɪℝ+ˑ[0,^τ)ˑℝ+,(19)其中x t (θ)=x (t +θ),θɪ[-1,0],且x t ɪX ʒ=C ([-1,0],ℝ2+),F (x t ,τ,T )=τr x 1t (0)1+k x 2t (0)-τd x 1t (0)-τa x 21t (0)-τc x 1t (0)x 2t (0)τc βe -s τx 1t (-1)x 2t (-1)-τμx 2t (0)-ταx 22t (0æèçççöø÷÷÷),(20)x t =(x 1t ,x 2t )ɪX .将F 限制在X 常值映射的子空间ℝ2+上,可得췍F (x ,τ,T )ʒ=F ℝ2+ˑ[0,^τ)ˑℝ=τrx 11+k x 2-τd x 1-τa x 21-τc x 1x 2τc βe -s τx 1x 2-τμx 2-ταx æèçççöø÷÷÷22,显然췍F 二阶连续可微,即文献[17]中条件(A 1)成立.设系统(19)的驻解集合为E (F )={( x , τ,췍T )ɪℝ2+ˑ[0,^τ)ˑℝ+:췍F ( x , τ,췍T )=0},则E (F )中任意一个驻解( x , τ,췍T)的特征方程为Δ(췍x ,τ,T )(λ)=λI d -D F ( x ,τ,T )(e -λI d ).(21)454 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.当R (τ)>1时,0不是系统(19)任何驻解的特征值,故文献[17]中条件(A 2)成立.由式(20)知文献[17]中光滑性条件(A 3)成立.由上述讨论可知,∀j ɪ[0,2K -1],驻解为(E *,τj ,2π/(ωj τj )),其中j ɪℕ是系统(19)的孤立中心[17],ωj =ω(τj )是G (ω,τ)=0的唯一正根,如式(16)所示,且只有一对形式为i m (2π/췍T )的纯虚特征根,其中m =1,췍T =2π/(ωj τj ).由引理1可得每个中心处的横截数[17]为γ1E *,τj ,2πωj τæèçöø÷j =-S i g n (R e λᶄ(τj))=-S i g n (S ᶄj (τj ))=-1,0ɤj ɤK -1,-S i g n (S ᶄ2K -j -1(τj ))=1,K ɤj ɤ2K -1{.(22)故文献[17]中条件(A 4)成立.定义一个紧子集Σ(F )⊂X ˑ[0,^τ)ˑℝ+为Σ(F )=C l {(x ,τ,T )ɪX ˑ[0,^τ)ˑℝ+:x 是方程(19)的非平凡T -周期解}.记C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))⊂Σ(F )是过(E *,τj ,2π/(ωj τj ))的连通分支,其中j ɪ[0,2K -1],j ɪℕ.由局部H o p f 分支定理4可知,C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))是Σ(F )的非空子集.为进一步给出存在周期解的τ区间,需证明系统(19)的一些性质.引理2 系统(19)的所有非平凡非负周期解x (t )一致有界.即对∀t ȡ0,有0<x (t )ɤM ,其中M =m a x r -d a ,βe -s τ(r -d )2a m i n {r -d ,μ{}}.(23) 证明:系统(19)是由系统(6)经无量纲变化所得,因此系统(19)的所有非平凡非负周期解x (t)等价于系统(6)的非平凡非负周期解u (t ),v (t ).下证系统(6)的非平凡非负周期解u (t ),v (t ),对∀t ȡ0有0<u (t ),v (t )ɤM ,其中M 如式(23)所示.因为u (t )是非平凡非负的周期解,故存在t 0>0,使得u (t 0)>0.对u ᶄ(t )积分可得u (t )=u (t 0)e x p ʏt t 0r 1+k v (ξ)-d -a u (ξ)-c v (ξéëêêùûúú)d {}ξ>0, t >t 0,则∀t >t 0,u (t )>0.又因为u (t )具有周期性,故∀t >0,u (t )>0.再由u (t ),v (t )是非平凡非负的周期解,可得̇v =βe -s τc u (t -τ)v (t -τ)-μv -αv 2ȡ-μv -αv 2,并存在t 1>0,使得v (t 1)>0.考虑初值问题̇y =-μy -αy 2,y (t 1)=v (t 1{),(24)问题(24)的解为y (t )=1y -1(t 1)e μ(t -t 1)+ʏtt 1αeμ(t -θ)d θ>0,由比较原理知当t >t 1时,v (t )ȡy (t )>0,又因为v (t )具有周期性,故∀t >0,v (t )>0.由定理1得l i ms u p t ңɕu (t )ɤM .断言∀t ȡ0,有u (t )ɤM .否则,存在t 1>0,使得u (t 1)>M ,则l i m n ңɕu (t 1+n T )=u (t 1)>M ,其中T 是周期解的周期,与u (t )最终有界矛盾,因此M 为u (t )的一致上界.同理,M 为v (t)的一致上界.引理3 系统(19)不存在周期为1的非平凡周期解.证明:反证法.设x (t )是系统(19)周期为1的非平凡周期解,则(u (t ),v (t ))为系统(6)周期为τ的非平凡周期解,故u (t -τ)=u (t ),v (t -τ)=v (t ),因此(u (t ),v (t ))也为常微分方程(11)的周期解,但由定理3知系统(11)不存在周期解,矛盾.从而系统(19)不存在周期为1的非平凡周期解.定理5 对∀j ɪ[1,2K -2](j ɪℕ+),关于系统(19)下列结论成立:1)所有的连通分支C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))是有界的;2)两个全局H o p f 分支C (E *,τn ,2π/(ωn τn ))和C (E *,τ2K -n -1,2π/(ω2K -n -1τ2K -n -1))相连,连接一对H o p f 分支值τn 和τ2K -n -1.进一步,对于每个τɪ(τn ,τ2K -n -1),系统(19)至少存在一个周期属于554 第3期 王灵芝:具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(1/(n +1),1/n )的周期解,其中1ɤn ɤK -1,n ɪℕ+.证明:根据引理2可知C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))在X 上的投影有界.又因为系统(19)不存在周期为1的周期解,故对∀m ɪℕ+,系统(19)不存在周期为1/m 或1/(m +1)的周期解.由定理4可知,对∀n ɪ[1,K -1],n ɪℕ+,在连通分支C (E *,τn ,2π/(ωn τn ))(r e s p .C (E *,τ2K -n -1,2π/(ω2K -n -1τ2K -n -1)))上周期解的周期T n 满足1n +1<T n <1n r e s p .1n +1<T 2K -n -1<1æèçöø÷n .故对∀j ɪ[1,2K -2](j ɪℕ+),C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))在T -空间上的投影有界.又因为τɪ[0,^τ)为有界区间,所以对∀j ɪ[1,2K -2](j ɪℕ+),C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))在X ˑ[0,^τ)ˑℝ+上有界.易知当R (τ)>1时,对任意的τ和周期T ,驻解(E 0,τ,T )和(E b ,τ,T )都不是中心,所以不需要考虑两个边界平衡点.记E 1(F )={(E *,τ,T );(τ,T )ɪ[0,^τ)ˑℝ+},则由文献[17]中的全局H o p f 分支定理可知E ʒ=C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))ɘE 1(F )是有限的,且ð(췍x ,τ,T )ɪEγ1(x ,τ,T )=0.(25)由式(25)和式(22)知,任何全局H o p f 分支必须包含至少两个H o p f 分支值τn (1ɤn ɤK -1)和τ2K -r -1(1ɤr ɤK -1).断言每个全局H o p f 分支精确地连接一对H o p f 分支值τn 和τ2K -n -1(1ɤn ɤK -1).否则,存在一个全局H o p f 分支连接τn 和τ2K -r -1(n ʂr ).在连通分支C (E *,τn ,2π/(ωn τn ))中,周期T n ɪ1n +1,1æèçöø÷n ;在另一个分支C (E *,τ2K -r -1,2π/(ω2K -r -1τ2K -r -1))中,周期T 2K -r -1ɪ1r +1,1æèçöø÷r .如果这两个分支相连,则相连时的周期应相同,但注意到n ʂr ,1n +1,1æèçöø÷n ɘ1r +1,1æèçöø÷r =Ø,所以两者周期范围的分离排除了连接的可能性.因此对任意的正整数1ɤn ɤK -1,H o pf 分支C (E *,τn ,2π/(ωn τn ))(r e s p .C (E *,τ2K -n -1,2π/(ω2K -n -1τ2K -n -1)))连接了一对H o p f 分支值τn 和τ2K -n -1.图1 函数S 0,S 1,S 2在区间[0,^τ)上的图像(A )和系统(19)所有的全局H o pf 分支(B )及其周期解的周期(C )F ig .1 I m a g e s o f f u n c t i o n s S 0,S 1,S 2o n [0,^τ)(A ),a l l g l o b a lH o pf b i f u r c a t i o n s o f s ys t e m (19)(B )a n d p e r i o d s o f p e r i o d i c s o l u t i o n s (C )5 数值模拟下面利用MA T L A B 软件和D D E -B I F T O O L 工具包进行数值模拟,演示在可行区间τɪ[0,^τ)上全局H o p f 分支的理论结果.基于文献[11-12]的数值模拟,选择如下一组参数:r =3,k =0.3,d =0.03,a =0.01,c =0.8,β=0.5,s =0.21,μ=0.08,α=0.2.直接计算可得^τʈ20.1719<τm a x ʈ34.778.因此存在唯一的共存平衡点E *.S n (τ)在[0,^τ)上的图像如图1(A )所示,根据定理4知,存在4个(K =2)局部H o p f 分支值:0<τ0ʈ0.3956<τ1ʈ6.8935<τ2ʈ19.2090<τ3ʈ20.0799<^τʈ20.1719.相应地,有ω0ʈ0.9992>ω1ʈ0.9753>ω2ʈ0.4179>ω3ʈ0.1328.当分支参数τ在更大范围内变化时,全局H o p f 分支由局部H o p f 分支从H o pf 分支值延拓而得.图1(B )为两个全局H o p f 分支C (E *,τk ,2π/(ωk τk ))(0ɤk ɤ1),且每个全局H o p f 分支连接了一对H o p f 分支值.图1(C )为全局H o p f 分支中周期解的周期.由图1(C )可知,∀τɪ(τ1,τ2),系统(19)至654 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.少在全局H o p f 分支C (E *,τ1,2π/(ω1τ1))上存在一个周期为T 1ɪ(τ/2,τ)的周期解,因此与定理5结论相符.图2(A )为两个全局H o p f 分支上周期解F l o qu e t 乘子的最大模,以反映周期解的稳定性.由图2(A )可见,第一支全局H o p f 分支C (E *,τ0,2π/(ω0τ0))上的周期解随着τ的增加呈现 稳定-不稳定-稳定 的状态变化,第二支全局H o p f 分支C (E *,τ1,2π/(ω1τ1))上的周期解均为不稳定状态.图2(B )为以τ为分支参数的分支图,进一步验证了定理4以及图2(A )中周期解的性质.当τɪ[0,τ0)ɣ(τ3,τm a x )时,唯一的共存平衡点E *是局部渐近稳定的;当τɪ(τ0,τ3)时,E *是不稳定的,并产生H o p f 分支,且H o p f 分支上的周期解从稳定状态转入混沌状态又恢复稳定状态.此外,当τ>τm a x ʈ34.778时,系统(19)不存在共存平衡点,此时边界平衡点E b 全局渐近稳定.图2 H o p f 分支上周期解F l o qu e t 乘子的最大模(A )及以τ为分支参数的分支图(B )F i g .2 M a x i m u m m o d u l u s o f F l o q u e tm u l t i p l i e r s o f p e r i o d i c s o l u t i o n s o nH o pf b i f u r c a t i o n s (A )a n db i f u r c a t i o nd i a gr a m w i t h τa s b i f u r c a t i o n p a r a m e t e r (B )为分析恐惧程度k 和时滞τ对系统(19)的综合影响,基于文献[10-11]的数值模拟选择如下一组参数:r =0.6,d =0.05,a =0.05,c =0.4,β=0.5,s =0.16,μ=0.08,α=0.05.利用D D E -B I F T O O L 工具包绘制双参数H o pf 分支,如图3(A )所示.由图3(A )可见,在区域S 中共存平衡点E *局部渐近稳定,在区域U 中共存平衡点不稳定,且在E *附近发生H o p f 分支,存在周期解.由图3(A )可知:当时滞τ较小(τɪ[0,τ4))或较大(τɪ(τ7,τm a x ))时,恐惧程度k 对系统(19)的稳定性无影响,当时滞τɪ(τ4,τ7)时,系统(19)的稳定性将受食饵对捕食者恐惧的影响,当捕食者引起的恐惧处于低水平时,E *不稳定,产生H o pf 分支,当捕食者引起的恐惧处于高水平时,E *为稳定状态.图3(B )为在选取τ=2.3ɪ(τ5,τ6)时,k 作为分支参数的分支图.由图3(B )可见:当k 较小时,E *不稳定,在其附近产生稳定的周期解;当k 较大时,E *又恢复稳定状态.对这种现象的合理生物学解释[18]是:当食饵非常害怕捕食者时,它们会减少觅食活动并适应不同的防御机制以避免被捕食.恐惧效应可极大地帮助捕食者物种增加其生物量,因此,从长远来看,还有助于捕食者物种的持久性并提高整个系统的稳定性.图3 以k ,τ为分支参数的双参数H o pf 分支图(A )及当τ=2.3ɪ(τ5,τ6)时k 作为分支参数的分支图(B )F ig .3 T w o p a r a m e t e r sH o p f b i f u r c a t i o nd i a gr a m w i t h k a n d τa s b i f u r c a t i o n p a r a m e t e r s (A )a n db i f u r c a t i o nd i a gr a m w i t h k a s b i f u r c a t i o n p a r a m e t e rw h e n τ=2.3ɪ(τ5,τ6)(B )754 第3期 王灵芝:具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.854吉林大学学报(理学版)第61卷参考文献[1] C R E E LS,C H R I S T I A N S O N D.R e l a t i o n s h i p s b e t w e e nD i r e c t P r e d a t i o n a n dR i s kE f f e c t s[J].T r e n d s i nE c o l o g y&E v o l u t i o n,2008,23(4):194-201.[2] L I MASL.P r e d a t o r s a n d t h eB r e e d i n g B i r d:B e h a v i o r a l a n dR e p r o d u c t i v eF l e x i b i l i t y u n d e r t h eR i s ko fP r e d a t i o n[J].B i o l o g i c a lR e v i e w s,2009,84(3):485-513.[3] C R E S S W E L L W.P r e d a t i o n i nB i r dP o p u l a t i o n s[J].J o u r n a l o fO r n i t h o l o g y,2011,152(1):251-263.[4]姚佳佳,沈维.一类食饵-捕食模型的稳定性和H o p f分支的存在性[J].吉林大学学报(理学版),2022,60(2):225-230.(Y A OJJ,S H E N W.S t a b i l i t y o f aC l a s so fP r e y-P r e d a t o r M o d e l a n dE x i s t e n c eo fH o p fB i f u r c a t i o n [J].J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n),2022,60(2):225-230.)[5] P E A C O RSD,P E C K A R S K YBL,T R U S S E L LGC,e t a l.C o s t so fP r e d a t o r-I n d u c e dP h e n o t y p i cP l a s t i c i t y:AG r a p h i c a lM o d e l f o r P r e d i c t i n g t h eC o n t r i b u t i o n o fN o n c o n s u m p t i v e a n dC o n s u m p t i v eE f f e c t s o f P r e d a t o r s o nP r e y[J].O e c o l o g i a,2013,171(1):1-10.[6] Z A N E T T ELY,WH I T E AF,A L L E N M C,e t a l.P e r c e i v e dP r e d a t i o nR i s kR e d u c e s t h eN u m b e r o fO f f s p r i n gS o n g b i r d sP r o d u c eP e rY e a r[J].S c i e n c e,2011,334:1398-1401.[7] S A R K A R K,K HA J A N C H I S.I m p a c t o f F e a rE f f e c t o n t h eG r o w t ho f P r e y i n aP r e d a t o r-P r e y I n t e r a c t i o nM o d e l[J].E c o l o g i c a l C o m p l e x i t y,2020,42:100826-1-100826-17.[8] L A ILY,Z HU Z L,C H E N F D.S t a b i l i t y a n dB i f u r c a t i o ni naP r e d a t o r-P r e y M o d e lw i t ht h eA d d i t i v eA l l e eE f f e c t a n d t h eF e a rE f f e c t[J].M a t h e m a t i c s,2020,8(8):1280-1-1280-21.[9] WA N G Y,Z O U XF.O n aP r e d a t o r-P r e y S y s t e m w i t hD i g e s t i o nD e l a y a n dA n t i-p r e d a t i o nS t r a t e g y[J].J o u r n a lo fN o n l i n e a r S c i e n c e,2020,30(4):1579-1605.[10] D A S B K,S A HO O D,S AMA N T A G P.I m p a c to f F e a ri n a D e l a y-I n d u c e d P r e d a t o r-P r e y S y s t e m w i t hI n t r a s p e c i f i cC o m p e t i t i o nw i t h i nP r e d a t o rS p e c i e s[J].M a t h e m a t i c sa n dC o m p u t e r s i nS i m u l a t i o n,2022,191:134-156.[11] WA N G X Y,Z A N E T T EL,Z O U XF.M o d e l l i n g t h eF e a rE f f e c t i nP r e d a t o r-P r e y I n t e r a c t i o n s[J].J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a l B i o l o g y,2016,73(5):1179-1204.[12] L IM Y,L I N X H,WA N G H.G l o b a lH o p fB r a n c h e sa n d M u l t i p l eL i m i tC y c l e s i naD e l a y e dL o t k a-V o l t e r r aP r e d a t o r-P r e y M o d e l[J].D i s c r e t e a n dC o n t i n u o u sD y n a m i c a l S y s t e m sS e r i e sB,2014,19(3):747-760.[13] S HU H Y,HU X,WA N G L,e ta l.D e l a y I n d u c e dS t a b i l i t y S w i t c h,M u l t i t y p eB i s t a b i l i t y a n d C h a o si na nI n t r a g u i l dP r e d a t i o n M o d e l[J].J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a l B i o l o g y,2015,71(6/7):1269-1298.[14]魏俊杰,王洪滨,蒋卫华.时滞微分方程的分支理论及应用[M].北京:科学出版社,2012:61-68.(W E I J J,WA N G H B,J I A N G W H.B i f u r c a t i o nT h e o r y a n d A p p l i c a t i o no fD e l a y D i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s[M].B e i j i n g: S c i e n c eP r e s s,2012:61-68.)[15] HA L EJ K,V E R D U Y N L U N E L S M.I n t r o d u c t i o nt o F u n c t i o n a l-D i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s[M].N e w Y o r k:S p r i n g e r-V e r l a g,1993:1-464.[16] B E R E T T A E,K U A N G Y.G e o m e t r i c S t a b i l i t y S w i t c h C r i t e r i ai n D e l a y D i f f e r e n t i a l S y s t e m s w i t h D e l a yD e p e n d e n tP a r a m e t e r s[J].S I AMJ o u r n a l o n M a t h e m a t i c a lA n a l y s i s,2015,33(5):1144-1165.[17] WUJH.S y mm e t r i cF u n c t i o n a l-D i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sa n d N e u r a lN e t w o r k sw i t h M e m o r y[J].T r a n s a c t i o n so ft h eA m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,1998,350(12):4799-4838.[18] X I EBF,Z HA N G N.I n f l u e n c e o fF e a rE f f e c t o naH o l l i n g T y p eⅢP r e y-P r e d a t o r S y s t e m w i t h t h eP r e y R e f u g e[J].A I M S M a t h e m a t i c s,2022,7(2):1811-1830.(责任编辑:李琦)Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

两类食饵—捕食者模型的稳定性分析两类食饵—捕食者模型的稳定性分析引言生态系统中食物链是一种基本的生态关系，其中包括食饵和捕食者之间的相互作用。

食饵-捕食者模型是用来描述食饵和捕食者之间相互作用关系的数学模型。

在自然界中存在不同类型的食饵-捕食者模型，其中一种常见的模型是“两类食饵—捕食者模型”。

本文将对该模型的稳定性进行分析。

一、模型描述这个模型中包括两类食饵和一个捕食者。

我们用 V1, V2 分别表示两类食饵的个体数量，用 P 表示捕食者的个体数量。

模型可以由以下方程组描述：（1）dV1/dt = r1V1(1 - V1/K1) - a1V1P（2）dV2/dt = r2V2(1 - V2/K2) - a2V2P（3）dP/dt = b1a1V1P - m1P + b2a2V2P - m2P其中，r1和r2分别表示两类食饵的增长率，K1和K2表示它们的环境容量；a1和a2是食饵和捕食者之间的捕食率；b1和b2分别是捕食者每次捕食时所消耗的食饵个体数量；m1和m2分别表示捕食者的自然死亡率。

二、平衡点的求解平衡点是指系统中各个物种个体数量不发生变化的状态。

我们令方程组（1）-（3）中各个方程等于零，解得平衡点：V1* = 0；V2* = 0；P* = 0这是一个零平衡点，表示所有个体数量均为零。

三、稳定性的分析我们需要分析模型中平衡点的稳定性，以了解该模型的动态行为。

1. 线性稳定性分析为了方便分析，我们将模型（1）-（3）化为线性形式：（4）dV1/dt = (r1 - a1P)V1（5）dV2/dt = (r2 - a2P)V2（6）dP/dt = (b1a1V1 + b2a2V2 - m1 - m2)P对于线性系统（4）-（6），可以利用特征值的方法进行分析。

计算特征值后得到系统的特征方程：λ^3 + (m1 + m2 - b1a1V1* - b2a2V2*)λ^2 + (a1a2P* - (r1 + r2 + m1 + m2))λ + a1a2P*(r1 + r2) = 0通过分析特征方程的根的实部和虚部，可以判断平衡点的稳定性。

数学建模实验三 Lorenz 模型与食饵模型一、实验目的1、学习用Mathematica 求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析；2、学习用MATLAB 求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析。

二、实验材料问题图是著名的洛仑兹混沌吸引子，洛仑兹吸引子已成为混沌理论的徽标，好比行星轨道图代表着哥白尼、开普勒理论一样。

洛仑兹是学数学出身的，1948年起在美国麻省理工学院（MIT ）作动力气象学博士后工作，1963年他在《大气科学杂志》上发表的论文《确定性非周期流》是混沌研究史上光辉的著作。

以前科学家们不自觉地认为微分方程的解只有那么几类：1)发散轨道；2)不动点；3)极限环 ；4)极限环面。

除此以外，大概没有新的运动类型了，这是人们的一种主观猜测，谁也没有给出证明。

事实上这种想法是非常错误的。

1963年美国麻省理工学院气象科学家洛仑兹给出一个具体模型，就是著名的Lorenz 模型，清楚地展示了一种新型运动体制：混沌运动，轨道既不收敛到极限环上也不跑掉。

而今Lorenz 模型在科学与工程计算中经常运用的问题。

例如，数据加密中。

我们能否绘制出洛仑兹吸引子呢图 洛仑兹混沌吸引子假设狐狸和兔子共同生活在同一个有限区域内，有足够多的食物供兔子享用，而狐狸仅以兔子为食物.x 为兔子数量,y 表狐狸数量。

假定在没有狐狸的情况下，兔子增长率为400％。

如果没有兔子，狐狸将被饿死，死亡率为90％。

狐狸与兔子相互作用的关系是，狐狸的存在使兔子受到威胁，且狐狸越多兔子增长受到阻碍越大，设增长的减小与狐狸总数成正比，比例系数为。

而兔子的存在又为狐狸提供食物，设狐狸在单位时间的死亡率的减少与兔子的数量成正比，设比例系数为。

建立数学模型，并说明这个简单的生态系统是如何变化的。

预备知识1、求解常微分方程的Euler 折线法求初值问题⎩⎨⎧=='00)(),,(y x y y x f y （） 在区间],[0n x x 上的数值解，并在区间插入了结点)()(110n n x x x x <<<<-Λ。

食饵- 捕食者模型1. 模型建立食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量分别记作x ( t), y( t), 因为大海中资源丰富,假设当食饵独立生存时以指数规律增长,( 相对)增长率为r,x = rx, 而捕食者的存在使食饵的增长率减小, 设减小的程度与捕食者数量成正比,于是x( t) 满足方程x( t) = x( r - ay) = rx - axy (1) 比例系数 a 反映捕食者掠取食饵的能力. 捕食者离开食饵无法生存, 设它独自存在时死亡率为d, y = - dy, 而食饵的存在为捕食者提供了食物, 相当于使捕食者的死亡率降低, 且促使其增长. 设这种作用与食饵数量成正比, 于是y( t) 满足y( t) = y( - d + bx) = - dy + bxy (2) 比例系数 b 反映食饵对捕食者的供养能力.2. 模型分析方程(1),(2) 没有解析解, 我们分两步对这个模型所描述的现象进行分析.首先, 利用数学软件求微分方程的数值解, 通过对数值结果和图形的观察, 猜测它的解析解的构造;然后, 从理论上研究其平衡点及相轨线的形状,验证前面的猜测.3. 模型求解1. 数值解记食饵和捕食者的初始数量分别为x(0) = x0 , y(0) = y0 (3) 为求微分方程(1),(2) 及初始条件(3) 的数值解x( t), y( t) ( 并作图)及相轨线y( x), 设r = 1, d = 0. 5, a = 0. 1, b = 0. 02, x0 = 25, y0 = 2, 用M A T L A B 软件求解如下：M文件function xdot=sheir(t,x)r=1;d=;a=;b=; xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)];>> ts=0::15>> x0=[25,2]>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x]>>plot (t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause4. 结果分析x( t), y( t) 是周期函数, 与此相应地, 相轨线y( x) 是封闭曲线, 从数值解近似地定出周期为10. 7, x 的最大、最小值分别为99. 3 和2. 0, y 的最大最小值分别为28. 4 和2. 0, 并且用数值积分容易算出x( t), y( t) 在一个周期的平均值为x = 25, y =10。

食饵捕食者模型Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】楚雄师范学院数学系《数学模型》课程食饵—捕食者模型3. 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab 软件画出图形。

自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。

二者共同组成食饵—捕食者系统。

一食饵—捕食者选用食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,设)(t x /)(1t x 为食饵(食用鱼)在时刻t 的数量，)(t y /)(2t x 为捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量，1r 为食饵(食用鱼)的相对增长率，2r 为捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N 为大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量，2N 为大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的最大容量，1σ为单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ为单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d 为捕食者离开食饵独立生存时的死亡率二模型假设1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；三模型建立食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为1r ，即rx x ='，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是)(t x 满足方程axy rx ay r x t x -=-=')()( (1)比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。