八年级数学下册中点四边形规律,中点四边形典型例题及答案解析

一、选择题1．如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．25︒A解析：A【分析】 由菱形得到AB=AD ，进而得到∠ADB=∠ABD ，再由三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB ，∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．2．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．18C ．20D ．24C解析：C【分析】 根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED ，再根据等角对等边的性质可得CE=CD ，然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC 的长度，再求出▱ABCD 的周长．【详解】解：∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，BC=AD=6，AB=CD ，∴∠ADE=∠CED ，∴∠CDE=∠CED ，∴CE=CD ，∵AD=6，BE=2，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴▱ABCD 的周长=6+6+4+4=20．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD 是解题的关键．3．如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，已知6AD =（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），2DF =．则AEF 的面积AEF S =（ ）A ．6B ．12C ．15D ．30C解析：C【分析】 延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，易证ADG ABE △≌△所以AE=AG ，BAE=DAG ∠∠ ， 证AFG AEG △≌△，所以 GF=EF ，设BE=DG=x ，则EF=FG=x+2，在ECF Rt △中，利用勾股定理得222462x x 解得求出x ，最后求AGF S △问题即可求解．【详解】解：延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，在正方形ABCD 中，AB=AD ，90ADB B C ADC ∠=∠=∠=∠=︒ 90ADG B ∴∠=∠=︒，ADG ABE(SAS)∴△≌△，,AG AE BAE DAG ∴=∠=∠，45EAF ∠=︒ ，45DAF BAE ∴∠+∠=︒ ，GAF=45DAG DAF ∴∠∠+∠=︒，GAF=EAF ∴∠∠，又AF=AF ，AFG AEG ∴△≌△(SAS)，EF=FG ∴，设BE=DG=x ，则EC=6-x ，FC=4，EF=FG=x+2，在ECF Rt △中，222=FC CE EF +，()()22246=2x x ∴+-+，解得，x=3， GF=DG DF=2+3=5∴+，AEF AGF 11S =S =GF AD=56=1522∴⨯⨯△△， 故选：C ．【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确构造辅助线，证三角形全等是解决本题的关键.4．如图，在平行四边形ABCD 中，100B D ︒∠+∠=，则B 等于（ ）A ．50°B ．65°C ．100°D ．130°A解析：A【分析】 根据平行四边形的对角相等求出∠B 即可得解．【详解】 解：□ABCD 中，∠B ＝∠D ，∵∠B +∠D ＝100°，∴∠B ＝12×100°＝50°， 故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等是基础题．5．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）A ．2020B ．2019(5)C ．2020(5)D ．20205B解析：B【分析】 结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解【详解】解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012=1=(5)A A∵1212B A A A =∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B 221+2=5由题意，以此类推，215C B =2225C B =∴第3个正方形1234C C C C 222(5)(25)5(5)+==…∴第n 个正方形的边长为15)n -∴第2020个正方形的边长为2019(5)故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．6．在菱形ABCD 中，∠ABC=60゜，AC=4，则BD=( )A ．3B ．23C ．33D ．43D解析：D【分析】 根据菱形的性质可得到直角三角形，利用勾股定理计算即可；【详解】如图，AC 与BD 相较于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，4AC =，∴AC BD ⊥，2AO =，又∵∠ABC=60゜，∴30ABO ∠=︒，∴24AB AO ==，∴224223BO =-=，∴243BD BO ==；故选D ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，结合勾股定理计算是解题的关键．7．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（ ）A ．BAD BDA ∠=∠B ．AB DE =C ．DF EF =D ．DE 平分ADB ∠D解析：D【分析】先证明△ADF ≌△BEF ，得到AD=BE ，推出四边形AEBD 是平行四边形，再逐项依次分析即可．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAB=∠EBA ，∵点F 是AB 的中点，∴AF=BF ，∵∠AFD=∠BFE ，∴△ADF ≌△BEF ，∴AD=BE ，∵AD ∥BE ，∴四边形AEBD 是平行四边形，A 、当BAD BDA ∠=∠时，得到AB=BD ，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；B 、AB=BE 时，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；C 、DF=EF 时，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；D 、当DE 平分ADB ∠时，四边形AEBD 是菱形，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．8．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】 根据HL 证明△ADG ≌△FDG ，根据角的平分线的意义求∠GDE ，根据GE=GF+EF=EC+AG ，确定△BGE 的周长为AB+AC.【详解】根据折叠的意义，得△DEC ≌△DEF ，∴EF=EC ，DF=DC ，∠CDE=∠FDE ，∵DA=DF ，DG=DG ，∴Rt △ADG ≌Rt △FDG ，∴AG=FG ，∠ADG=∠FDG ，∴∠GDE=∠FDG+∠FDE =12（∠ADF+∠CDF ） =45°， ∵△BGE 的周长=BG+BE+GE ，GE=GF+EF=EC+AG ，∴△BGE 的周长=BG+BE+ EC+AG=AB+AC ，是定值，∴正确的结论有①③④，故选C.【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.9．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正方形OMNQ 与ABCD 的边长均为a ，OM 与CD 相交于点E ，OQ 与BC 相交于点F ，且满足DE CF ，则两个正方形重合部分的面积为（ ）A ．212aB ．214aC ．218a D ．2116a B 解析：B【分析】由正方形OMNQ 与ABCD 得∠DOC=∠MOQ=90°可推出∠DOE=∠COF 由AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线求得∠ODE=∠OCF=45°，可证△DOE ≌△COF （AAS ），利用面积和差S 四边形FOEC = S △EOC +S △DOE =S △DOC =214a 即可． 【详解】∵正方形OMNQ 与ABCD ，∴∠DOC=∠MOQ=90°，∴∠DOE+∠EOC =90º，∠EOC+∠COF=90º，∴∠DOE=∠COF ，又AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ODE=∠OCF=45°，∵DE CF =，∴△DOE ≌△COF （AAS ），∴S 四边形FOEC =S △EOC +S △COF = S △EOC +S △DOE =S △DOC ，∵S △DOC =2ABCD 11=44S a 正方形， ∴S 四边形FOEC =214a ． 故选择：B ．【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题关键．10．如图，Rt Rt ABC BAD △≌△，BC 、AD 交于点E ，M 为斜边的中点，若CMD α∠=，AEB β∠=．则α和β之间的数量关系为（ ）A ．2180βα-=︒B ．60βα-=︒C ．180αβ+=︒D ．2βα=A 解析：A【分析】根据题意可得,CAB DBA ABC BAD ∠=∠∠=∠，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证CM DM AM BM ===，继而证明()AMC BMD SSS △≌△，解得1802AMC BMD CAM ∠=∠=︒-∠，最后根据三角形内角和180°定理，分别解得αβ、与CAM ∠的关系，整理即可解题．【详解】Rt Rt ABC BAD △≌△,CAB DBA ABC BAD ∴∠=∠∠=∠M 是AB 的中点，11,22CM AB DM AB ∴== CM DM AM BM ∴===∴∠CAM=∠MCA ，Rt Rt ABC BAD △≌△AC BD ∴=()AMC BMD SSS △≌△1802AMC BMD CAM ∴∠=∠=︒-∠CMD α∴=∠180AMC BMD =︒-∠-∠1802(1802)CAM =︒-⨯︒-∠4180CAM =∠-︒90ABC BAD CAM ∠=∠=︒-∠，AEB β=∠=180BAD ABC ︒-∠-∠180(90)(90)CAM CAM =︒-︒-∠-︒-∠2CAM =∠2180βα∴-=︒故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．二、填空题11．如图，在ABC 中，10AB AC ==，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥交AB 于点F ．若F 为AB 中点，且12BC =，则DF =__________．8【分析】过点A 作AM ⊥BC 过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N 证明△AFN ≌△BFE 得出AN=BE=3再利用勾股定理解答即可【详解】解：∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∴∠C+∠BFE=90∠B+∠BFE=90解析：8【分析】过点A 作AM ⊥BC ，过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N ，证明△AFN ≌△BFE ，得出AN=BE=3，再利用勾股定理解答即可．【详解】解：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵DE BC ⊥，∴∠C+∠BFE=90，∠B+∠BFE=90°，∵∠BFE=∠AFD ，∠B=∠C ，∴∠BFE=∠AED=∠CDE ，∴AD=AF ，过点A 作AM ⊥BC ，在△ABC 中，∵AB=AC ，∴M 为BC 的中点，∴BM=12BC =6， 在Rt △ABM 中，AM=2222106AB BM -=-=8∵F 为AB 中点，FE ⊥BC ， ∴FE 为△ABM 的中位线，BF=AF=12AB =5， ∴AD=AF=5，BE=132BM =， 过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N ，∵AF=BF ，∠AFN=∠BFE ，∠ANF=∠BEF=90°，∴△AFN ≌△BFE ，∴AN=BE=3，在Rt △AND 中，DN=2222534AD AN -=-=，∵AD=AF ，AN ⊥DF ，∴DF=2DN=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正确作出辅助线是解题的关键．12．如图，在菱形ABCD 中，6AC =，5AB =，点E 是直线AB ，CD 之间任意一点，连接AE ，BE ，DE ，CE ，则EAB 和ECD 的面积之和是______．12【分析】连接BD根据菱形对角线的性质利用勾股定理计算BD的长根据两平行线的距离相等所以△EAB和△ECD的面积和等于菱形ABCD面积的一半再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论【详解】如图解析：12【分析】连接BD，根据菱形对角线的性质，利用勾股定理计算BD的长，根据两平行线的距离相等，所以△EAB和△ECD的面积和等于菱形ABCD面积的一半，再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论．【详解】如图，连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=12AC=12×6=3，∵AB＝5，由勾股定理得：224AB OA-=，∴BD=2OB=8，∵AB∥CD，∴△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离，∴△EAB 和△ECD 的面积和=12×ABCD S 菱形＝12×12×AC×BD=168=124⨯⨯． 故答案为：12． 【点睛】 本题考查菱形的性质，三角形的面积，平行线的性质，熟知平行线的距离相等，得△EAB 和△ECD 的高的和等于点C 到直线AB 的距离是解题的关键．13．如图，在长方形纸片ABCD 中，12AB =，5BC =，点E 在AB 上，将DAE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A '处，则AE 的长为______．【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长再根据折叠可得AD=A′D=5进而得到A′B 的长再设AE=x 则A′E=xBE=12-x 再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程解出x 的值可得答案【详解】解析：103【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B 的长，再设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程，解出x 的值，可得答案．【详解】解：∵AB=12，BC=5，∴AD=5，∴22125+=13，根据折叠可得：AD=A′D=5，∴A′B=13-5=8，设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，在Rt △A′EB 中：（12-x ）2=x 2+82，解得：x=103． 故答案为：103． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，能根据题意得出关于x 的方程是解此题的关键．14．如图，EF 过ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若ABCD 的周长为19， 2.5OE =，则四边形EFCD 的周长为_____．145【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等进而易得AE=CF故四边形的周长=AD+CD+EF根据已知求解即可【详解】解：在平行四边形ABCD中AD∥BCAC与BD互相平分∴AO=OC∠DAC=解析：14.5【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等，进而易得AE=CF，故四边形EFCD的周长=AD+CD+EF，根据已知求解即可．【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD互相平分∴AO=OC，∠DAC=∠ACB，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，OF=OE=2.5∴四边形EFCD的周长=CF+DE+CD+EF=AE+DE+CD+EF=AD+CD+EF=192.5 2×2=14.5．故答案为：14.5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的证明，将所求线段转化为已知线段是解题的关键．15．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P 不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于__________．48【分析】连接由菱形的性质解得再根据勾股定理解得继而证明四边形为矩形得到根据垂线段最短解得当时有最小值最后根据三角形面积公式解题即可【详解】连接四边形是菱形四边形为矩形当时有最小值此时的最小值为故解析：4.8【分析】连接OP ，由菱形的性质解得118,622BO BD OC AC ====，再根据勾股定理解得10BC =，继而证明四边形OEPF 为矩形，得到FE OP =，根据垂线段最短解得当OP BC ⊥时，OP 有最小值，最后根据三角形面积公式解题即可．【详解】连接OP ，四边形ABCD 是菱形，12,16AC BD ==,AC BD ∴⊥118,622BO BD OC AC ==== 22643610BC OB OC ∴=+=+=,,PE AC PF BD AC BD ⊥⊥⊥∴四边形OEPF 为矩形，FE OP ∴=当OP BC ⊥时，OP 有最小值，此时1122OBC S OB OC BC OP =⋅=⋅ 68 4.810OP ⨯∴== EF ∴的最小值为4.8，故答案为：4.8．【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．如图，平面直角坐标系中，已知点()9,9A ，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为()0,a ，则OC =______（用含a 的代数式表示）．18-【分析】过A作AE⊥y轴于EAD⊥x轴于D构造正方形AEOD再证△AEB≌△ADC（SAS）得BE=CD由EB=EO-BO=9-可求CD=9-求出OC=OD+CD=9+9-=18-即可【详解】解析：18-a．【分析】过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，构造正方形AEOD，再证△AEB≌△ADC（SAS），得BE=CD，由EB=EO-BO=9-a，可求CD=9-a，求出OC=OD+CD=9+9-a=18-a即可．【详解】过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，A，∵点()9,9AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º，四边形AEOD为正方形，⊥，∠EAD=90°，∵AB AC∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAE=∠CAD，=，AE=AD，∵AB AC∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE=CD，∵EB=EO-BO=9-a，∴CD=9-a，OC=OD+CD=9+9-a=18-a，故答案为：18-a．【点睛】本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键．17．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若38CDF∠=︒，则EFD∠的度数是_________．64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数继而求出∠BFD的度数根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=∠BFD即可得出结论【详解】解：∵ABCD是矩形∴∠DCF=90°∵∠CDF=38°∴解析：64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数，继而求出∠BFD的度数，根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=12∠BFD，即可得出结论．【详解】解：∵ABCD是矩形，∴∠DCF=90°，∵∠CDF=38°，∴∠CFD=52°，∴∠BFD=180°-52°=128°，∵四边形EFDA1由四边形EFBA翻折而成，∴∠EFD=∠BFE=12∠BFD=12×128°=64°．故答案为：64°．【点睛】本题考查的是矩形折叠问题，掌握轴对称的性质是关键．18．如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若1DE=，则BF的长为__________．【分析】连接FE根据题意得CD=2AE=设BF=x则FG=xCF=2-x 在Rt△GEF中利用勾股定理可得EF2=（-2）2+x2在Rt△FCE中利用勾股定理可得EF2=（2-x ）2+12从而得到关于 解析：51-【分析】连接FE ，根据题意得CD=2，AE=5，设BF=x ，则FG=x ，CF=2-x ，在Rt △GEF 中，利用勾股定理可得EF 2=（5-2）2+x 2，在Rt △FCE 中，利用勾股定理可得EF 2=（2-x ）2+12，从而得到关于x 方程，求解x 即可．【详解】解：连接EF ，如图，∵E 是CD 的中点，且CE=1∴CD=2，DE=1∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA=2∴2222215AD DE +=+设BF=x ，由折叠得，AG=AB=2，FG=BF=x ，∴52，在Rt △GFE 中，2222252)EF FG GE x =+=+在Rt △CFE 中，CF=BC-BF=2-x ，CE=1∴22222(2)1EF FC CE x =+=-+∴222252)(2)1x x +=-+解得：=51x ，即51,51【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．19．如图，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，若AB AE =，50F ∠=︒，则D ∠=______︒．65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°利用平行四边形对角相等得出即可【详解】解：如图所示∵四边形解析：65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四边形对角相等得出即可．【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠F=∠BAE=50°，．∵AB=AE，∴∠B=∠AEB=65°，∴∠D=∠B=65°．故答案是：65．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键．20．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝42，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为_____．【分析】连接CE过点C作交AB的延长线于点H设AE=x则BE=8-xCE=AE=x在根据勾股定理即可得到x的值【详解】如图：连接CE过点C作交AB的延长线于点H平行四边形ABCD中设AE=x则BE=解析：20 3【分析】连接CE，过点C作CH AB，交AB的延长线于点H，设AE=x，则BE=8-x，CE=AE=x，在根据勾股定理，即可得到x的值．【详解】如图：连接CE ，过点C 作CH AB ⊥，交AB 的延长线于点H ，平行四边形ABCD 中，135,2ABC AD ∠=︒=45,2CBH BC ∴∠=︒=90,H ∠=︒45,BCH ∴∠=︒4CH BH ∴==设AE=x ，则BE=8-x ，EF 垂直平分AC ，CE AE x ∴==， 在Rt CEH 中，222CH EH EC +=，()222484x x ∴+-+=， 解得：203x =， AE ∴的长为203， 故答案为：203． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．三、解答题21．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE BF =，连接AE ，CF ．（1）求证：E F ∠=∠；（2）连接AF ，CE ，当BD 平分ABC ∠时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．解析：（1）见解析；（2）四边形AFCE 是菱形，理由见解析【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，可以得到AD=CB ，AD ∥BC ，从而可以得到∠ADE=∠CBF ，然后根据SAS 证明△ADE ≌△CBF ，从而得出结论；（2）根据BD 平分∠ABC 和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD 是菱形，从而可以得到AC ⊥BD ，然后即可得到AC ⊥EF ，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE 是平行四边形，然后根据AC ⊥EF ，即可得到四边形AFCE 是菱形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=CB ，AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∴∠ADE=∠CBF ，在△ADE 和△CBF 中，AD CB ADE CBF DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CBF （SAS ），∴∠E=∠F ；（2）当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是菱形，理由：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∴∠ABD=∠ADB ，∴AB=AD ，∴平行四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴AC ⊥EF ，∵DE=BF ，∴OE=OF ，又∵OA=OC ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∵AC ⊥EF ，∴四边形AFCE 是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，16cm AB =，13cm BC =，21cm CD =，动点N 从点D 出发，以每秒2cm 的速度在射线DC 上运动到C 点返回，动点M 从点A 出发，在线段AB 上，以每秒1cm 的速度向点B 运动，点M ，N 分别从点A ，D 同时出发．当点M 运动到点B 时，点N 随之停止运动，设运动时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，四边形MNCB 是平行四边形．（2）是否存在点N ，使NMB △是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t 的值，若不存在，请说明理由．解析：（1）5秒或373秒；（2）存在，163秒或72秒或685秒 【分析】 （1）由题意已知，AB ∥CD ，要使四边形MNBC 是平行四边形，则只需要让BM=CN 即可，因为M 、N 点的速度已知，AB 、CD 的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；（2）使△BMN 是等腰三角形，可分三种情况，即BM=BN 、NM=NB 、MN=MB ；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t 表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t ．【详解】解：（1）设运动时间为t秒．∵四边形MNCB是平行四边形，∴MB=NC，当N从D运动到C时，∵BC=13cm，CD=21cm，∴BM=AB-AM=16-t，CN=21-2t，∴16-t=21-2t，解得t=5，当N从C运动到D时，∵BM=AB-AM=16-t，CN=2t-21∴16-t=2t-21，解得t=373，∴当t=5秒或373秒时，四边形MNCB是平行四边形；（2）△NMB是等腰三角形有三种情况，Ⅰ．当NM=NB时，作NH⊥AB于H，则HM=HB，当N从D运动到C时，∵MH=HB=12BM=12（16-t），由AH=DN得2t＝12(16−t)+t，解得t＝163秒；当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=12（16-t）+t，解得t=685秒．Ⅱ．当MN=MB，当N从D运动到C时，MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t，∵MN2=t2+122，∴（16-t）2=122+t2，解得t ＝72（秒）；Ⅲ．当BM=BN ，当N 从C 运动到D 时，则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t ，∵BM 2=BN 2=NH 2+BH 2=122+（16-2t ）2，∴（16-t ）2=122+（16-2t ）2，即3t 2-32t+144=0，∵△＜0，∴方程无实根，综上可知，当t=163秒或72秒或685秒时，△BMN 是等腰三角形． 【点睛】 本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．23．如图，平行四边形ABCD 中，,AP BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠，交于DC 边上点P ， 2.5AD =．（1）求线段AB 的长．（2）若3BP =，求ABP △的面积．解析：（1）5；（2）6【分析】（1）证出AD=DP=2.5，BC=PC=2.5，得出DC=5=AB ，即可求出答案；（2）根据平行四边形性质得出AD ∥CB ，AB ∥CD ，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB 中求出∠APB=90°，由勾股定理求出AP ，从而求得△ABP 的面积．【详解】解：（1）∵AP 平分∠DAB ，∴∠DAP=∠PAB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB ∥CD ，∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP 是等腰三角形，∴AD=DP=2.5，同理：PC=CB=2.5，即AB=DC=DP+PC=5；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAB+∠CBA ）=90°， 在△APB 中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA ）=90°；在Rt △APB 中，AB=5，BP=3，∴AP=2253-=4，∴△APB 的面积=4×3÷2=6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．24．如图，菱形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在BC 和CD 上，BE CF =，求证：AE AF =．解析：证明见解析．【分析】连接AC ，证ABE ACF ≌即可【详解】证明：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD AD ===，AC 平分BCD ∠．∵60B ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴AB AC =，60∠=∠=∠︒=B BCA ACF ． ∴在ABE △与ACF 中，AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∴ABE ACF ≌．∴AE AF =．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解此题的关键． 25．已知：平行四边形ABCD 中，点M 为边CD 的中点，点N 为边AB 的中点，联结AM 、CN ．（1）求证：AM ∥CN ；（2）过点B 作BH AM ⊥，垂足为H ，联结CH ．求证：△BCH 是等腰三角形．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得AB ∥CD ，AB=CD ，又由点M 为边CD 的中点，点N 为边AB 的中点，即可得CM=AN ，继而可判定四边形ANCM 是平行四边形，则可证得AM ∥CN ．（2）由AM ∥CN ，BH ⊥AM ，点N 为边AB 的中点，可证得BH ⊥CN ，ME 是△BAH 的中位线，则可得CN 是BH 的垂直平分线，继而证得△BCH 是等腰三角形．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD 且AB CD =．∵点M 、N 分别是边CD 、AB 的中点，∴12CM CD =，1AN AB 2=． ∴CM AN =．又∵AB ∥CD ， ∴四边形ANCM 是平行四边形∴AM ∥CN ．（2）设BH 与CN 交于点E ，∵AM ∥CN ，BH ⊥AM ，∴BH ⊥CN ，∵N 是AB 的中点，∴EN 是△BAH 的中位线，∴BE=EH ，∴CN 是BH 的垂直平分线，∴CH=CB ，∴△BCH 是等腰三角形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 26．综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题问程情境：已知正方形ABCD 中，点O 是线段BC 的中点，将将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''（点A '，B '，C '，D 分别是点A ，B ，C ，D 的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点O 旋转过程中，顺次连接点B ，B '，C ，C '得到四边形''BB CC ，求证：四边形''BB CC 是矩形；（2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点B '落在对角线BD 上时，设A B ''与CD 交于点M .求证：四边形OB MC '是正方形．深入探究：（3）“好问”小组提出问题：如图3.若点O 是线段BC 的三等分点且2OB OC =，在正方形ABCD 旋转的过程中当线段A D ''经过点D 时，请直接写出''DD OC 的值． 解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2'='DD OC． 【分析】(1)由旋转性质可得 OB=OB′ ，OC=OC′ ，得到四边形BB′CC′是平行四边形，又 BC=B′ C′ ，得到平行四边形BB′CC′是矩形．（2）先由∠C=∠OB′M=∠B′OC=90°，证明四边形 OB′MC 是矩形 ，再由OC=OB′ 得到四边形 OB′MC 是正方形．（3）过D 作DN ⊥B′C′，证Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)，设OC=a ，得到OC′=a ，DD′=2a ，即可求解.【详解】解：（1）由旋转性质可得OB OB '=，OC OC '=．点O 是线段BC 的中点 OB OC ∴=，''∴=OB OC ，OB OC =．∴四边形''BB CC 是平行四边形．又BC B C ''=，∴平行四边形''BB CC 是矩形． （2）证明：四边形ABCD 是正方形，BC CD ∴=，90C ∠=︒．180180904522-∠︒-∴︒∠=∠===︒︒C CBD CDB 由旋转可知，OB OB '=，45''∴∠=∠=︒OB B OBB454590'''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒B OC OB B OBB ．四边形A B C D ''''是正方形，90'∴∠=︒OB M∴四边形OB MC '是矩形OB OC =，OC=OC′ ，OB′=OB ，∴OC=OB′∴矩形OB MC '是正方形，（3）2'='DD OC ．如图，过D 作DN ⊥B′C′可知，∠A′=∠B′=∠B′ND=90°，∠D′=∠C′=∠C′ND=90°，∴四边形DNC′D′为矩形，四边形DNB′A′为矩形，在Rt △DNO 与Rt △DCO 中，∵OD=OD ，DN=DC ，∴Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)设OC=a ，则OB=2OC=2a ，∴ON=OC=OC′=a∴BC=OB+OC=3a ，DD′=NC′=ON+OC′=2a ， ∴2DD a OC a'='=2． 【点睛】 本题考查了特殊的四边形，平行四边形，矩形，正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握特殊的四边形的性质和判定．27．如图，将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于点E ．（1）试判断BDE 的形状，并说明理由．（2）若4AB =，8AD =，求AE 的长．参考答案解析：（1）BDE 是等腰三角形，证明见解析；（2）3AE =．【分析】（1）根据折叠的性质可知EBD DBC ∠=∠，又因为//AD BC ，可知ADB DBC ∠=∠，即推出ADB EBD ∠=∠，所以BE DE =，BDE 为等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-，在Rt ABE △中根据勾股定理列出等式，解出x 即可．【详解】（1）BDE 是等腰三角形，理由是：由折叠得：EBD DBC ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴ADB DBC ∠=∠，∴ADB EBD ∠=∠，∴BE DE =，∴BDE 是等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-， ∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，∴在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，即2224(8)x x +=-，解得：3x =，∴3AE =．【点睛】本题考查翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理．根据翻折的性质间接证明出BE DE =是解答本题的关键．28．如图1，正方形ABCD ，E 为平面内一点，且90BEC ∠=︒，把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ，直线AG 和直线CE 交于点F ．（1）证明：四边形BEFG 是正方形；（2）若135AGD ∠=︒，猜测CE 和CF 的数量关系，并说明理由；（3）如图2，连接DF ，若13AB =，17CF =，求DF 的长．解析：（1）见解析；（2）CE=CF ，理由见解析；（3）522【分析】（1）根据正方形的判定定理进行证明即可；（2）证明Rt ADH ≌Rt BAG 得DH AG =，AH=BG ，再证明△DHG 是等腰直角三角形，可得DH=BH=AG ，最后由BEFG 是正方形可得结论；（3）分点F 在AB 右侧和左侧两种情况求解即可．【详解】解：（1）证明：90BEC =︒∠，把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ， BE BG ∴=，90EBG ∠=︒，90BGA ∠=︒，则90BGF ∠=︒，90BEC EBG BGF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形BEFG 是正方形；（2）CE CF =，理由如下：过D 点作DH AF ⊥，垂足为H ，如图，四边形ABCD 是正方形，90BAD ∴∠=︒，AB AD =，90BGA ∠=︒，90DAH BAG ∴∠+∠=︒，90BAG ABG ∠+∠=︒，DAH ABG ∴∠=∠，在Rt ADH 和Rt BAG 中，90,DAH ABG BGA AHD AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩Rt ADH ∴≌()Rt BAG AAS ，DH AG ∴=，∵∠DGH =180°-∠AGD =45°∴在Rt △DHG 中，∠GDH =45°∴DH =GH =AG∴1122AG GH AH BG === 又AG CE =，EF BG =，2EF CE ∴=，CE CF ∴=；（3）①点F 在AB 右侧时，如图，过D 作DK ⊥AG ，交其延长线于K ．设正方形BEFG 的边长为x ，则BE x =，17CE x =-，在Rt BEC △中，13BC =，根据勾股定理可得，222BE CE BC +=，即222(17)13x x +-=，解得112x =，25(x =不符合条件，舍去)，即12BG BE ==，17125AG CE ==-=，∵四边形BEFG 是正方形，∴∠BAD =90°．∵DK ⊥AG ，∴∠K =90°．∵∠BAG +∠KAD =180°—∠BAD =90°∠ADK +∠KAD =90°∴∠BAG =∠ADK在Rt △ABG 和Rt △DAK 中，90G K AB ADBAG ADK ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以Rt△ADK≌Rt BAG，则AK=BG=12，DK=AG=5，∵AF+FK=AK=BG=GF=AG+AF∴FK=AG=5在R t△DFK中，根据勾股定理可得，DF=2252+=DK FK②点F在AB左侧时，如图，过D作DK⊥AG，交其延长线于K．方法同①，可得FK=AG=12，在R t△DFK中，根据勾股定理可得，DF22122+=DK FK综上所述，DF的长为522【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理是解本题的关键．。

初二数学四边形试题答案及解析1.如图，E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）BE=5.【解析】（1）首先由已知证明AF∥EC，BE=DF，推出四边形AECF是平行四边形．（2）由已知先证明AE=BE，即BE=AE=CE，从而求出BE的长；试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE=BC=5．【考点】1、平行四边形的判定与性质；2、菱形的性质2.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E、F，∠ADC=60°，BE=4，CF=2．（1）从对称性质看，▱ABCD是_________对称图形；（2）求平行四边形ABCD的周长．【答案】（1）中心；（2）40【解析】（1）根据平行四边形的性质可知：对角线互相平分，所以O为旋转中心，即平行四边形ABCD是中心对称图形；（2）根据平行四边形中对角、对边分别相等，∠B=∠ADC=60°，再根据已知边长，由勾股定理可求出AB、AD的长，进而可求出平行四边形ABCD的周长.试题解析：1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴对角线互相平分，∴O为旋转中心，即平行四边形ABCD是中心对称图形，（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D=60°，AB=CD，AD=BC．∵AE⊥BC，∵BE=4，∴AB=8，∴CD=AB=8，∵CF=2，∴DF=6，∵AF⊥DC，∠D=60°∴在Rt△ADF中，AD=12，∴平行四边形ABCD的周长=2（12+8）=40．【考点】1.平行四边形的性质；2.中心对称图形3.下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是A．对角线互相垂直B．对角线互相平分C．对角线相等D．四个角都是直角【答案】A．【解析】A、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确．B、正方形和矩形的对角线都互相平分，故本选项错误；C、正方形和矩形的对角线都相等，故本选项错误；D、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误．故选A．【考点】1.正方形的性质2.矩形的性质．4.如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？用你学过的方法进行解释．【答案】3cm．【解析】根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC﹣BF=4，设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中利用勾股定理得到∴42+x2=（8﹣x）2，然后解方程即可．试题解析：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°.∵长方形纸片ABCD折纸，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），∴AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，AB=8，AF=10，∴BF=.∴CF=BC﹣BF=4.设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2，∴42+x2=（8﹣x）2，解得x=3.∴EC的长为3cm．【考点】1.翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质；3.勾股定理；4.方程思想的应用．5.ABCD中, ∠A比∠B小200,则∠A的度数为( )A．600B．800C．1000D．1200【答案】B.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠A=∠C，∴∠A+∠B=180°，∵∠B-∠A =20°，∴∠B=100°，∴∠A=80°．故选B.【考点】平行四边形的性质．6.矩形的两条对角线所成的钝角为120°，若一条对角线的长是2，那么它的周长是（）A．6B．C．2（1+）D．1+【答案】C.【解析】本题已知条件涉及矩形的对角线和周长，可考虑用“矩形的对角线相等且相互平分”性质来解.如图所示，∠AOB=120°，AD=2∵ABCD为矩形，∴AD=BC=2,AO=B0=1(矩形的对角线相等且相互平分)，∴△AOB为等腰三角形，∠BAO=30°；在Rt△ABD中，∠BAO=30°，AD=2∴AB= ,BD=1，∴矩形ABDC的周长为.【考点】矩形性质.7.如图，在梯形中，为的中点，交于点．（1）求证：；（2）当，且平分时，求的长．【答案】（1）证明详见解析.（2）EF=4.【解析】根据题意构造辅助线，利用中线性质和平行四边形性质即可得出结论.(1)过D作DM∥AB，∵AD∥BC，DM∥AB，∴四边形ABMD为平行四边形，∴BM=AD∵，∴EF∥DM，又∵E为CD的中点∴F为CM中点即MF=CF，∴BF=BM+MF=AD+CF.(2)过E作EH⊥AB，∵BE平分，∴CE=EH=DE（角平分线上一点到角两边的距离相等），在Rt△ADE和Rt△AHE中，DE=EH，AE=AE∴Rt△ADE≌Rt△AHE（SH定理）∴AH=AD=1，同理可得BH=BC=7，∴AB=AH+BH=8∵四边形ABMD为平行四边形，∴DM=AB=8，又∵E、F 分别为CD、CM中点，∴.【考点】1.平行四边形性质；2.角平分线性质；3.全等三角形.8.已知O是口ABCD对角线的交点，△ABC的面积是3，则口ABCD的面积是（）A．3B．6C．9D．12【答案】B．【解析】根据平行四边形的性质可知，OD=OB，OA=OC，所以平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形，已知△ABC的面积为3，所以平行四边形的面积可求．∵O为▱ABCD对角线的交点，且△ABC的面积为3，∴▱ABCD的面积为2×3=6．故选B．【考点】平行四边形的性质．9.矩形、菱形与正方形都具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角D．对角线相等【答案】B．【解析】A、矩形对角线不互相垂直，故本选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；C、三个图形中，只有菱形和正方形的对角线平分一组对角，故本选项错误；D、菱形对角线不相等，故本选项错误．故选B．【考点】1.正方形的性质2.菱形的性质3.矩形的性质．10.如图，△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）当O运动到AC中点.【解析】（1）根据MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角对等边即可证得OE=OF；（2）根据矩形的性质可知：对角线且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，∴OE=OC，OC=OF，∴OE=OF．（2）解：当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，∵AO=CO，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，∴∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形．【考点】矩形的判定.11.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、DC上，BF∥DE，若AD=12cm，AB=7cm，且AE：EB=5：2，则阴影部分的面积为_______【答案】24cm2．【解析】因为AD=12cm，AB=7cm，且AE：BE=5：2，则AE=5，BE=2，则阴影部分的面积=12×7﹣12×5=24cm2．故答案是24cm2．【考点】矩形的性质．12.如图,在平行四边形ABCD中,DE是∠ADC的平分线,F是AB的中点,AB=6,AD=4,则AE∶EF∶BE为 ( )A．4∶1∶2B．4∶1∶3C．3∶1∶2D．5∶1∶2【答案】A.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴∠CDE=∠DEA∵DE是∠ADC的平分线∴∠CDE=∠ADE∴∠DEA=∠ADE∴AE=AD=4∵F是AB的中点∴AF=AB=3∴EF=AE-AF=1，BE=AB-AE=2∴AE：EF：BE=4：1：2．故选A．考点: 平行四边形的性质.13.（1）如图1，△ABC的顶点坐标分别为A（－1，0），B（3，0），C（0，2）．若将点A 向右平移4个单位，则A、B两点重合；若将点A向右平移1个单位，再向上平移2个单位，则A、C两点重合．试解答下列问题：①填空：将点C向下平移个单位，再向右平移个单位与点B重合；②将点B向右平移1个单位，再向上平移2个单位得点D，请你在图中标出点D的位置，并连接BD、CD，请你说明四边形ABDC是平行四边形；（2）如图2，△ABC的顶点坐标分别为A（－2，－1），B（2，－3），C（1，1）．请问：以△ABC的两条边为边，第三边为对角线的平行四边形有几个？并直接写出第四个顶点的坐标．【答案】(1)①2,3；②见解析；（2）有3个，（5，-1），（-1，-5），（-3，3）．【解析】（1）①根据平移的规律：上加下减，左加右减即可得出将点C向下平移2个单位，再向右平移3个单位与点B重合；②根据平移的规律：上加下减，左加右减得出将点D的坐标为（4，2），然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出四边形ABDC是平行四边形；（2）分别以AB，BC，AC为平行四边形的对角线，考虑第四个顶点D的坐标，有三种可能结果．试题解析：（1）①∵B（3，0），C（0，2），∴将点C向下平移2个单位，再向右平移3个单位与点B重合．故答案为2，3；②点D位置如图所示．证明：由图可知AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；以△ABC的两条边为边，第三边为对角线的平行四边形共有3个．①以AB、AC为边可作一平行四边形，第四个顶点的坐标为（5，-1）；②以CA、CB为边可作一平行四边形，第四个顶点的坐标为（-1，-5）；③以BA、BC为边也可作一平行四边形，则第四顶点的坐标为（-3，3）．【考点】坐标与图形变化-平移；平行四边形的判定．14.如图所示，平行四边形ABCD的周长是18cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD与△AOB的周长差是5cm，则边AB的长是_________cm．【答案】2【解析】利用平行四边形的对角线互相平分这一性质，确定已知条件中两三角形周长的差也是平行四边形两邻边边长的差，进而确定平行四边形的边长．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵△AOD的周长=OA+OD+AD，△AOB的周长=OA+OB+AB，又∵△AOD与△AOB的周长差是5cm，∴AD=AB+5，设AB=x，AD=5+x，则2（x+5+x）=18，解得x=2，即AB=2cm．【考点】平行四边形的性质点评：平行四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.15.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，若AD=4cm，AB=8cm，试求出此梯形的周长和面积．【答案】（8+20）cm，（48+32）cm2【解析】过A、D点作梯形的高AE、DF，根据等腰直角三角形性质可求得BE、AE的长，从而可以求得结果.过A、D点作梯形的高AE、DF∵等腰梯形ABCD中，∠B=45°，AB=8cm∴BE=AE=4cm∵AD=4cm∴BC=4+8cm∴梯形的周长=（8+20）cm，面积=（AD+BC）×AE=（48+32）cm2．【考点】等腰梯形的性质点评：等腰梯形的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.16.在梯形ABCD中，AB∥CD，EF为中位线，则△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比是______________【答案】1：4【解析】解：过A作AG⊥BC，交EF与H，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴AD+BC=2EF，AG=2AH，设△AEF的面积为xcm2，即EF•AH=xcm2，∴EF•AH=2xcm2，∴S梯形ABCD=（AD+BC）•AG=×2EF×2AH=2EF•AH=2×2xcm2=4xcm2．∴△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比为：1：4．【考点】梯形的中位线定理点评：本题考查了梯形的中位线定理，比较简单，注意掌握梯形的中位线定理即是梯形的中位线等于上下底和的一半．17.如图所示，在平行四边形ABCD中，BD=CD，∠C=70°，AE⊥BD于点E．试求∠DAE的度数．【答案】【解析】因为BD=CD，所以∠DBC=∠C=70°，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠ADB=∠DBC=70°，因为AE⊥BD，所以在直角△AED中，∠DAE即可求出．∵DB=CD，∠C=70°，∴∠DBC=∠C=70°，又∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=70°，又∵AE⊥BD，∴∠DAE=90°-∠ADB=90°-70°=20°．【考点】平行四边形的性质，等腰三角形的性质点评：平行四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.18.如图所示，矩形的边，，它的两条对角线交于点，以、为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以、为邻边作平行四边形,……，依次类推，平行四边形的面积为.【答案】【解析】先根据平行四边形的面积公式分别计算，得到规律，再根据所得的规律求解即可.由题意得平行四边形的面积为平行四边形的面积为所以平行四边形的面积为.【考点】找规律-图形的变化点评：解答此类问题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再把这个规律应用于解题. 19.如图在平行四边形ABCD的对角线AC的延长线上取两点E、F，使EA＝CF，求证：四边形EBFD是平行四边形.【答案】连接BD，交AC于点O，由四边形ABCD为平行四边形可得AO=CO，BO=DO，又AE=CF，所以EO=FO，即可证得结论.【解析】连接BD，交AC于点O∵四边形ABCD为平行四边形∴AO=CO，BO=DO又∵AE=CF∴EO=FO∴四边形EBFD是平行四边形.【考点】平行四边形的判定和性质点评：平行四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.20.如图，AD=BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充的一个条件是：（填一个即可）【答案】AB=CD或AD∥BC【解析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 由题意可补充AB=CD或AD∥BC.【考点】平行四边形的判定点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平行四边形的性判定方法，即可完成.21.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC=BD时，它是正方形C．当AC⊥BD时，它是菱形D．当∠ABC=900时，它是矩形【答案】B【解析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法依次分析各项即可判断.A.当AB=BC时，它是菱形，C.当AC⊥BD时，它是菱形，D. 当∠ABC=900时，它是矩形，均正确，不符合题意；B. 当AC=BD时，无法判定它是正方形，故错误，本选项符合题意.【考点】矩形、菱形、正方形的判定点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法，即可完成. 22.已知EF是梯形ABCD的中位线，且EF=9，上底AB=6，那么下底CD= ．【答案】12【解析】因为梯形的中位线长等于上底加下底的和除以2，根据题意，9×2-6=12【考点】梯形的中位线点评：基础题目，学生需要掌握梯形的中位线的运算公式，代入得出答案。

专题01中点四边形模型中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。

结论1:点M、N、P、Q是任意四边形的中点，则四边形MNPQ是平行四边形结论2:对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论4:对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形【典例1】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD【解答】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC⊥BD时，EF⊥EH，则四边形EFGH为矩形，故选：A．【典例2】（2023春•和平区校级期末）已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相等，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】C【解答】解：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC＝BD，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC，同理：FG＝BD，GH＝AC，EH＝BD，∵AC＝BD，∴EF＝HG＝EH＝FG，∴四边形EFGH是菱形．故选：C．【典例3】（2023春•庐江县期末）若顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形一定是（）A．矩形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形【答案】D【解答】解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故选：D．1．（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】D【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，FG＝BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，AC＝BD，∴EF⊥FG，FE＝FG，∴四边形EFGH是正方形，2．（2022秋•辽阳期末）顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形【答案】C【解答】解：如图，连接AC、BD．在△ABD中，∵AH＝HD，AE＝EB，∴EH＝BD，同理FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，∴EH＝HG＝GF＝FE，∴四边形EFGH为菱形．故选：C．3．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、D A的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BDC．AC⊥BD且AC＝BD D．不确定【答案】B【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD．理由如下：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC＝BD，所以EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形．故选：B．4．（2023春•涟水县期中）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（）A．一定是矩形B．一定是菱形C．对角线一定互相垂直D．对角线一定相等【答案】D【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF＝FG＝CH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，∴BD＝AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：D．5．（2023春•锡山区校级期中）顺次连接对角线长为6的矩形ABCD四边中点所得的四边形的周长为（）A．12B．18C．9D．无法确定【答案】A【解答】解：因为矩形的对角线相等，所以AC＝BD＝10cm，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点，∴EH＝GF＝BD＝×6＝3，EF＝GH＝AC＝×6＝3，故顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为EH+GF+EF+GH＝12．故选：A．6.（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB⊥CD【答案】C【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，∵当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，∴当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．故选：C．7．（2023春•东莞市校级期中）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，若AB＝5，AD＝8，则图中阴影部分四边形EFGH的面积为（）A．40B．26C．20D．13【答案】C【解答】解：连接EG、FH，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°，∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，∴EG＝AD＝8，HF＝AB＝5，EG⊥HF，＝×5×8＝20，∴S四边形EFGH故选：C．8．（2022•南召县模拟）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法正确的是（）A．在四边形ABCD中，若对角线AC＝BD，则四边形EFGH为矩形B．在四边形ABCD中，若对角线AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形C．在四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为矩形D．在四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则四边形EFGH为正方形【答案】D【解答】解：连接AC、BD，∵E，F分别为边AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝AC，EF∥AC，同理，HG＝AC，HG∥AC，EH＝BD，EH∥BD，∴EF＝HG，EF∥HG，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC＝BD时，EF＝EH，∴平行四边形EFGH为菱形，故选项A错误；当AC⊥BD时，EF⊥EH，∴平行四边形EFGH为矩形，故选项B错误；在平行四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为菱形，故选项C错误；在平行四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则平行四边形EFGH为正方形，故选项D正确．故选：D．9.（2022春•凤凰县期末）顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形必定是（）A．任意四边形B．平行四边形C．菱形D．矩形【答案】B【解答】解：如图根据中位线定理可得：GF＝BD且GF∥BD，EH＝BD且EH∥BD，∴EH＝FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．故选：B．10.（2022春•青白江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EF GH的面积为（）A．48B．24C．32D．12【答案】D【解答】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，∴EF∥BD，且EF＝BD＝3．同理求得EH∥AC∥GF，且EH＝GF＝AC＝4，又∵AC⊥BD，∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积＝EF•EH＝3×4＝12，即四边形EFGH的面积是12．故选：D．11．（2022春•芜湖期中）如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；…故第n个正方形周长是原来的，以此类推：正方形A8B8C8D8周长是原来的，∵正方形ABCD的边长为1，周长为4，∴按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为，故选：C．12．（2022•旌阳区模拟）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（）A．25B．30C．35D．40【答案】A【解答】解：连接EF、FG、GH、HE，∵点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF＝AC＝，FG＝BD＝，GH＝AC＝，HE＝BD＝，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH为菱形，∴EG⊥FH，OE＝OG，OF＝OH，∴OE2+OH2＝EH2＝，∴EG2+FH2＝4OE2+4OH2＝25，故选：A．13．（2023春•浦东新区校级期末）顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线为a、b，则等腰梯形的面积为ab．【答案】ab．【解答】解：连接AC、BD，∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC，同理可得：GH＝AC，EH＝BD，GF＝BD，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∵菱形EFGH为对角线分别为a、b，∴等腰梯形ABCD的中位线和高分别为a、b，＝ab，∴S等腰梯形故答案为：ab．14．（2023春•南川区期中）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为18cm，顺次连结各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为36cm．【答案】36．【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC＝×18＝9cm，同理FG＝BD，HG＝AC，EH＝BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH的周长为9×4＝36（cm）．故答案为：36．15．（2022春•临海市期末）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA 的中点，若AC＝6，BD＝4．则四边形EFGH的周长为10．【答案】10．【解答】解：∵E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，AC＝6，BD＝4，∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，GF是△BDC的中位线，GH是△AD C的中位线，∴EF＝AC＝×6＝3，GH＝AC＝×6＝3，EH＝BD＝×4＝2，FG＝BD＝×4＝2，∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+EH＝3+2+3+2＝10，故答案为：10．16．（2022春•克东县期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，BD＝A C．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是AC＝BD且AC⊥BD．【答案】AC＝BD且AC⊥BD．【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD且AC⊥BD．理由：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，∴HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．故答案为：AC＝BD且AC⊥BD．17．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，D A的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是平行四边形；（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）中点四边形EFGH是平行四边形；理由如下：连接AC，如图1所示：∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）四边形EFGH为菱形．理由如下：连接AC与BD，如图2所示：∵△AMD和△MCB为等边三角形，∴AM＝DM，∠AMD＝∠CMB＝60°，CM＝BM，∴∠AMC＝∠DMB，在△AMC和△DMB中，，∴△AMC≌△DMB（SAS），∴AC＝DB，∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，HE＝DB，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；∵AC＝DB，∴EF＝HE，∴四边形EFGH为菱形．18．（2023春•姜堰区期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、C D、AD的中点，连接AC、BD．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当对角线AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形，并说明理由．【答案】（1）证明见解答过程；（2）当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形，理由见解答．【解答】（1）证明：∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形，理由如下：由（1）知：四边形EFGH是平行四边形．∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH＝BD．又∵EF＝AC，∴当AC＝BD时，EF＝EH，∴平行四边形EFGH是菱形．19．（2022秋•薛城区校级月考）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、C D、DA的中点．（1）判断四边形EFGH的形状．并说明理由．（2）当四边形ABCD的对角线添加条件AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．（3）在（2）的条件下，说明四边形EFGH是矩形．【答案】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由见解析；（2）AC⊥BD；（3）证明见解答过程．【解答】（1）解：四边形EFGH为平行四边形，理由如下：连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，故答案为：AC⊥BD；（3）证明：∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH∥BD，∴EF∥AC，EH∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴平行四边形EFGH为矩形．20．（2022春•工业园区校级期末）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、B C、CD、DA的中点，（1）求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．【答案】（1）见解析过程；（2）四边形EFGH是菱形，理由见解析过程．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形；（2）解：四边形EFGH是菱形，理由如下：如图2，连接AC、BD，∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD，即∠APC＝∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC＝BD，∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF＝AC，FG＝BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．21．（2022春•咸安区期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点O是△A BC内一点，连接OA，OB，OC，点F，G分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，F，G，E．（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2）当OA⊥DE时，求证：四边形DFGE是矩形；（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝BC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝BC，证明见解析．【解答】（1）证明：∵D、E是AB、AC的中点，∴DE∥BC且DE＝BC，∵F、G是OB、OC的中点，∴GF∥BC且GF＝BC，∴DE∥GF且DE＝GF，∴四边形DFGE是平行四边形；（2）证明：由（1）知，四边形DFGE是平行四边形，如图，连接OA，∵D、G分别是AB、OB的中点，∴DG∥OA，∵OA⊥DE，∴DG⊥DE，∴∠GDE＝90°，∴平行四边形DFGE是矩形，所以当OA⊥DE时，四边形DFGE是矩形；（3）解：若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝B C，由（2）可知，当OA⊥BC时，四边形DFGE是矩形，∵D、G、F分别是AB、OB、OC的中点，∴DG＝AO，GF＝BC，∵AO＝BC，∴DG＝GF，∴矩形DGFE是正方形．故答案为：OA⊥BC且OA＝BC．22．（2022春•龙口市月考）已知四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，求证：四边形EFGH是菱形；（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在边AB，BC，AD上，连接CG．已知BE＝2AE＝8，CG＝2，CF﹣BF＝1，求AD的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）14．【解答】（1）证明：如图1，连接AC，BD，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，同理：GH∥AC，GH＝AC，EH＝BD，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝EH．∴四边形EFGH是菱形；（2）解：如图2，连接FH，过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC．∴∠A＝∠M，∠AHF＝∠MFH，∵四边形EFGH是菱形，∴FG∥EH，FG＝EH，∴∠EHF＝∠GFH．∴∠AHE＝∠MFG，在△AEH和△MFG中，∴△AEH≌△MFG（AAS），∴GM＝AE＝4．∵CG＝2，根据勾股定理，得CM＝2，设BF＝x，则CF＝x+1，在Rt△GFM中，FG2＝（x+1+2）2+16＝（x+3）2+16，同理EF2＝x2+64，∴（x+3）2+16＝x2+64．∴x＝，∴BC＝2x+1＝14，∴AD＝BC＝14．23．（2022春•崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足什么条件时，有EF⊥GH？请说明你的理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：当AB＝CD时，有EF⊥GH，连接GE、GF、HF、EH．∵E、G分别是AD、BD的中点，∴EG＝AB，同理HF＝CD，FG＝CD，EH＝CD，又∵AB＝CD∴EG＝GF＝FH＝EH∴四边形EFGH是菱形．∴EF⊥GH．。

八年级数学平行四边形30道经典题（含答案和解析）1.如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（）．A.1B.2C.3D.4答案：B.解析：∵平行四边形ABCD，AE平分∠BAD交BC于点E.∴∠BAE＝∠EAD,∠EAD＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝3.∴EC＝2.所以答案为B．考点：三角形——全等三角形——角平分线的性质定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AB的长为（）．A.13B.14C.15D.16答案：D解析：∵平行四边形ABCD，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.∴四边形ABEF为平行四边形.∴∠FAB＋∠ABE＝180°，∠FAE＝∠EAB，∠ABF＝∠FBE. ∴∠BAE＋∠ABF＝90°，AE⊥BF.∴四边形ABEF为菱形.设AE，BF交点为点O，则点O平分线段AE，BF.在△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，(12AE)2+(12BF)2=AB2.∵BF＝12，AB＝10.解得AE＝16.所以答案为D．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.四边形——菱形——菱形的判定.3.如图，已知平行四边形纸片ABCD的周长为20，将纸片沿某条直线折叠，使点D与点B重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接BE，则△ABE的周长为．答案：10.解析：依题可知，翻折轴对称BE＝DE,△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝AB＋AD＝10．考点：四边形——平行四边形.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.4.下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（）．A. AB∥CD，AD∥BCB. AB＝CD，AD∥BCC. AB∥CD，AB＝CDD. ∠A＝∠C，∠B＝∠D答案：B.解析：如图：A选项，∵AB∥CD，AD∥BC .∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.B选项，根据AB＝CD和AD∥BC 可以是等腰梯形，错误，故本选项正确.C选项，∵AB∥CD，AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.D选项，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.故选B．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.5.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点C.（2）分别以A，C为圆心，以BC，AB的长为半径作弧，两弧相交于点D.（3）作直线AD．所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是．答案：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线. 解析：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.尺规作图——过一点作已知直线的平行线.6.如图所示，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC，CF＝√3．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．（2）求AB的长．答案：（1）证明见解析．（2）AB＝√3.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥DC，AB＝CD．∵AE∥BD.∴四边形ABDE是平行四边形．（2）由（1）知，AB＝DE＝CD．即D为CE中点．∵EF⊥BC.∴∠EFC＝90°．∵AB∥CD.∴∠DCF＝∠ABC＝60°．∴∠CEF＝30°．∴CE＝2CF＝2√3.∴AB＝CD＝√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.7.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，沿直线AE翻折△ABE，使B点落在点F处，连结CF并延长交AD于G点．（1）依题意补全图形．（2）连接BF 交AE 于点O ，判断四边形AECG 的形状并证明．（3）若BC ＝10，AB ＝203，求CF 的长．答案：（1）画图见解析． （2）四边形AECG 是平行四边形，证明见解析．（3）CF ＝6．解析：（1）依题意补全图形，如图：（2）依翻折的性质可知，点O 是BF 中点.∵E 是BC 边的中点. ∴EO ∥CG. ∵AG ∥CE.∴四边形AECG 是平行四边形．（3）在Rt △ABE 中.∵BE ＝12BC ＝5，AB ＝203.∴AE ＝253.∵S △BAE ＝12AB×BE ＝12AE×BO.∴BO ＝4. ∴BF ＝2BO ＝8. ∵BF ⊥AE ，AE ∥CG. ∴∠BFC ＝90°. ∴CF ＝6．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.几何变换——图形的对称——作图：轴对称变换.8.如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB为（）．A.20B.15C.10D.5答案：D.解析：∵平行四边形的周长为40.∴AB＋BC＝20.又∵△BOC的周长比△AOB的周长多10.∴BC－AB＝10.解得：AB＝5，BC＝15．故答案为：D．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质.9.如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′和B C′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为．答案：25.8解析：由折叠得，∠CBD＝∠EBD.由AD∥BC得，∠CBD＝∠EDB.∴∠EDB＝∠EBD.∴DE＝BE.设DE＝BE＝x，则AE＝4－x.在Rt△ABE中.AE2+AB2=BE2.(4−x)2+32=x2..解得x＝258∴DE的长为25．8考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E，点F在BC上，BF＝BO，且AE＝6，AD＝8．（1）求BF的长．（2）求四边形OFCD的面积．答案:（1）BF＝5．．（2）S四边形OFCD＝332解析：（1）∵四边形ABCD是矩形.∴∠BAD＝90°.∴∠EAD＝180°－∠BAD＝90°.∵在Rt△EAD中，AE＝6，AD＝8.∴DE＝√AE2+AD2=10.∵DE∥AC，AB∥CD.∴四边形ACDE 是平行四边形． ∴AC ＝DE ＝6．在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°. ∵OA ＝OC. ∴BO ＝12AC ＝5．∵BF ＝BO. ∴BF ＝5． （2）取BC 中点为O.∴BG ＝CG.∵四边形ABCD 是矩形.∴OB ＝OD ，∠BCD ＝90°，CD ⊥BC ． ∴OG 是△BCD 的中位线． ∴OG ∥CD ．由（1）知，四边形ACDE 是平行四边形，AE ＝6. ∴CD ＝AE ＝6． ∴OG ＝12CD ＝3．∵AD ＝8. ∴BC ＝AD ＝8．∴S △BCD ＝12BC×CD ＝24，S △BOF ＝12BF×OG ＝152． ∴S 四边形OFCD ＝S △BCD －S △BOF ＝332．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定. 矩形——矩形的性质. 四边形基础——四边形面积.11. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，延长CD 到点F ，使DF ＝CD ，连接AC 、CE 、EF 、AF ．（1）求证：四边形ACEF是矩形．（2）求四边形ACEF的周长．答案：（1）证明见解析．（2）四边形ACEF的周长为：2＋2√3．解析：（1）∵DE＝AD，DF＝CD.∴四边形ACEF是平行四边形.∵四边形ABCD为菱形.∴AD＝CD.∴AE＝CF.∴四边形ACEF是矩形．（2）∵△ACD是等边三角形.∴AC＝1.∴EF＝AC＝1.过点D作DG⊥AF于点G，则AG＝FG＝AD×cos30°=√3.2∴AF＝CE＝2AG＝√3.∴四边形ACEF的周长为：AC＋CE＋EF＋AF＝1＋√3＋1＋√3＝2＋2√3．考点：三角形——等腰三角形——等边三角形的判定.锐角三角函数——解直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.矩形——矩形的判定.菱形——菱形的性质.四边形基础——四边形周长.12.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别是OA，OB，OC,OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．（1）依题意，补全图形． （2）求证：四边形EFMN 是矩形．（3）连接DM ，若DM ⊥AC 于点M ，ON ＝3，求矩形ABCD 的面积．答案：（1）答案见解析． （2）证明见解析．（3）36√3．解析：（1）（2）∵点 E ，F 分别为OA ，OB 的中点.∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ．同理，NM ∥DC ，NM ＝12DC ．∵四边形ABCD 是矩形. ∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AC ＝BD. ∴EF ∥NM ，EF ＝NM.∴四边形EFMN 是平行四边形．∵点E ，F ，M ，N 分别OA ，OB ，OC ，OD 的中点. ∴OE ＝12OA ，OM ＝12OC ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD.∴EM ＝OE ＋OM ＝12AC ． 同理可证FN ＝12BD ． ∴EM ＝FN ．∴四边形EFMN 是矩形．（3）∵DM ⊥AC 于点M.由（2）可知，OM ＝12OC. ∴OD ＝CD ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD. ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD. ∴△COD 是等边三角形. ∴∠ODC ＝60°. ∵NM ∥DC.∴∠FNM ＝∠ODC ＝60°. 在矩形EFMN 中，∠FMN ＝90°. ∴∠NFM ＝90°－∠FNM ＝30°. ∵ON ＝3.∴FN ＝2ON ＝6，FM ＝3√3，MN ＝3. ∵点F ，M 分别OB ，OC 的中点. ∴BC ＝2FM ＝6√3.∴矩形ABCD 的面积为BC×CD ＝36√3.考点：直线、射线、线段——直线、射线、线段的基本概念——线段中点、等分点.三角形——三角形基础——三角形中位线定理. 直角三角形——含30°角的直角三角形——勾股定理. 四边形——矩形——矩形的性质——矩形的判定.13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为(-3，0) ，(2，0)，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是 ．答案：（5,4）.解析：由题意及菱形性质，得：AO＝3，AD＝AB＝DC＝5.根据勾股定理，得DO＝√AD2−AO2=√52−32=4.∴点C的坐标是（5,4）.考点：三角形——直角三角形——勾股定理的应用.四边形——菱形——菱形的性质.14.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为（）．√3A. 2√3B.3√3C. 6√3D.92答案：B.解析：∵四边形ABCD是矩形.∴∠A＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3．∵四边形BEDF是菱形.∴EF⊥BD，∠EBO＝∠DBF，ED＝BE＝BF.∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF．∵EF＝AE＋FC，EO＝FO.∴AE＝EO＝CF＝FO.∴△ABE≌△OBE.∴AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO.∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°.∴在Rt△BCD中，BD＝2DC＝6.∴BC＝√BD2−DC2=3√3．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.菱形——菱形的性质.15.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM 是菱形．则小米的依据是．答案：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．解析：根据平行四边形定义可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；根据菱形的定义可知对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以答案为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.菱形——菱形的判定.16.在数学课上，老师提出如下问题：如图1：将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2:（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D．（2）c点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠得到菱形的依据是．答案：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）.解析：如图，连接DF、DE.根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF.则四边形DECF恰为菱形．考点：四边形——菱形——菱形的判定.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.17.如图，在平行四边形ABCD中，点E，M分别在边AB，CD上，且AE＝CM．点F，N分别在边BC，AD上，且DN＝BF．（1）求证：△AEN≌△CMF．（2）连接EM，FN，若EM⊥FN，求证：四边形EFMN是菱形．答案：（1）证明见解析．（2）证明见解析．解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，∠A＝∠C.∵ND＝BF.∴AD－ND＝BC－BF.即AN＝CF.在△AEN和△CMF中.{AN=CM ∠A=∠C AN=CF.∴△AEN ≌△CMF．（2）由（1）△AEN ≌△CMF．∴EN＝FM.同理可证：△EBF ≌△MDB．∴EF＝MN.∵EN＝FM，EF＝MN.∴四边形EFMN是平行四边形.∵EM⊥FN.∴四边形EFMN是菱形．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的判定.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.菱形——菱形的判定.18.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC和CE∥AB，两线交于点E．（1）求证：四边形AECD是菱形．（2）若∠B＝60°，BC＝2，求四边形AECD的面积．答案：（1）证明见解析．（2）S菱形AECD＝2√3．解析：（1）∵AE∥DC，CE∥AB.∴四边形AECD是平行四边形.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.∴CD＝AD．∴四边形AECD是菱形．（2）连结DE．∵∠ACB＝90°，∠B＝60°.∴∠BAC＝30°.∴AB＝4，AC＝2√3．∵四边形AECD是菱形.∴EC＝AD＝DB.又∵CE∥DB.∴四边形ECBD是平行四边形. ∴ED＝CB＝2.∴S菱形AECD＝AC×ED2=2√3×22＝2√3．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.菱形——菱形的性质——菱形的判定.四边形基础——四边形面积.19.如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE＋PF的最小值等于．答案：√2.解析：∵线段AC是正方形ABCD的对角线.∴F对线段AC的对称点永远落在线段DC上.如图所示，做F对线段AC的对称点于F’，连接EF’，EF’的长就是PE＋PF的值.根据两平行线的距离定义，从一条平行线上的任意一点到另外一条直线做垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．∴PE＋PF的最小值等于垂线段EH的长度.根据平行线间的距离处处相等，可知EH＝AD.∵正方形ABCD的面积是2.∴AD＝EH＝√2.所以答案为√2.考点：几何变换——图形的对称——轴对称与几何最值.20.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）．A. S＝2B. S＝2.4C. S＝4D. S随BE长度的变化而变化答案：A.解析：法一：∵AC∥BF.∴S△AFC＝S△ABC＝2.法二：∵S△AFC＝S正方形ABCD＋S正方形EFGB＋S△AEF－S△FGC－S△ADC.∴设正方形EFGB的边长为a.∴S△AFC＝2×2+a2+12a(2−a)−12(2+a)a−12×2×2.＝4+a2+a−12a2−a−12a2−2.＝2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——正方形.21.将正方形A的一个顶点与正方形的对角线交点重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的18，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的．（几分之几）答案：12.解析：在图1中，∠GBF ＋∠DBF ＝∠CBD ＋∠DBF ＝90°.∴∠GBF ＝∠CBD ，∠BGF ＝∠CDB ＝45°，BD ＝BG. ∴ △FBG ≌△CBD.∴阴影部分的面积等于△DGB 的面积，且是小正方形的面积的14，是大正方形面积的18．设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y. 则有14X 2=18y 2. ∴y =√2x ．同上，在图2中，阴影部分的面积是大正方形的面积的14，为14y 2=12x 2.∴阴影部分的面积是正方形B 面积的12．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.四边形——正方形——正方形的性质.22. 如图，正方形 的对角线交于O ，OE ⊥AB ，EF ⊥OB ，FG ⊥EB ．若△BGF 的面积为1，则正方形ABCD 的面积为 ．答案：32.解析：∵两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.且OE ⊥AB 于点E ，EF ⊥OB 于点F ，FG ⊥EB 于点G. ∴E 为AB 的中点，F 为BO 的中点，G 为EB 的中点. ∴AB ＝EB ＝EO ＝12AB ，EF ＝BF ＝FO ，GF ＝BG ＝EG ＝12EB .∴BGAB =14.∴S△BGFS△BAD =(BGAB)2=116.∴S△BAD＝16.∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝32．故答案为32．考点：三角形——相似三角形——相似三角形的性质.四边形——正方形——正方形的性质.23.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．答案：（1）证明见解析．（2）1+12√14．解析：（1）如图1，延长EB交DG于点H.∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形.∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE.∴△ABC≌△ABE(SAS).∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE.∵△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°.∴∠AEB＋∠ADG＝90°.∴△DEH中，∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°.∴∠DHE＝90°.∴DG⊥BE．（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M.∴∠AMD＝∠AMG＝90°.∵BD是正方形ABCD的对角线.∴∠MDA＝45°.在Rt△AMD中.∵∠MDA＝45°，AD＝2.∴AM＝DM＝√2．在Rt△AMG中.∵AM2+GM2=AG2.∴GM=√7.∵DG=DM+GM=√2+√7.∴S△ADG=12×DG×AM=12×(√2+√7)×√2=1+12√14．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.24.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．答案：32.解析：∵DE 为△ABC 的中位线.∴DE ＝12BC =4，点D 是线段AB 的中点. 又∵∠AFB ＝90°. ∴DF =12AB =52. ∴EF =DE −DF =32.所以答案为32.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.25. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为（ ）．A. 14B. 12C. 24D.48 答案：B解析：∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点．∴EF =HG =12AC ＝4，FG =EH =12BD ＝3，EF ∥HG ，FG ∥EH. ∴四边形EFGH 是平行四边形．∵AC⊥BD.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积为3×4＝12．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.四边形——矩形——矩形的判定.四边形基础——四边形面积.26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝cm ．答案：6.解析：由题意，得：EFAB ＝12.在Rt△ABC中，D是AB的中点.∴CD＝EF＝12AB.又∵CD＝6.∴EF＝CD＝6cm.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.27.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点.那么CH的长是．答案：√5.解析：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3.∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°.延长AD交EF于M，连接AC、CF.则AM＝BC＋CE＝1＋3＝4，FM＝EF－AB＝3－1＝2.∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形.∴∠ACD＝∠GCF＝45°.∴∠ACF＝90°.∵H为AF的中点.AF.∴CH＝12在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=√AM2+FM2=√42+22=2√5.∴CH＝√5.故答案为：√5.考点：三角形——直角三角形——直角三角形斜边上的中线——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.28.用两个全等的直角三角形无缝隙不重叠地拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④等腰三角形；⑤等边三角形.一定能够拼成的图形是（填序号）．答案：①④.解析：由于菱形和正方形中都有四边相等的特点，而直角三角形不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不一定能拼成菱形和正方形．由于等边三角形三个角均为60°，而直角三角形不一定含60°角，故个全等的直角三角形不一定能拼成等边三角形．两个全等的直角三角形一定能拼成矩形和等腰三角形，如图．考点：三角形——等腰三角形——等腰三角形的判定——等边三角形的判定.四边形——矩形——矩形的判定.菱形——菱形的判定——正方形——正方形的判定.29. 边长为a 的菱形是由边长为a 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h ，则称ah 为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ． （2）如图，A 、B 、C 为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为98）中的格点，则△ABC 的面积为 ．答案：（1）1:3.（2）12. 解析：（1）如图所示．∵“形变度”为3. ∴ah ＝3，即h ＝13a .∴一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为aℎa 2=ℎa =13． （2）在正方形网格中，△ABC 的面积为：6×6−12×3×3－12×3×6−12×3×6=272.由（1）可得，在菱形网格中，△ABC的面积为89×272=12．考点：式——探究规律——定义新运算.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——菱形——菱形的性质.30.有这样一个问题：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．下面是小南的探究过程：（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整.已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD.求证：___________________________．证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：．（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明：如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．答案：（1）求证：∠B＝∠D．证明见解析．（2）筝形的两条对角线互相垂直.（3）不成立．解析：（1）求证：∠B ＝∠D ．已知：如图，筝形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ．求证：∠B ＝∠D ． 证明：连接AC ，如图． 在△ABC 和△ADC 中.{AB =AD CB =CD AC =AC.∴△ABC ≌△ADC ． ∴∠B ＝∠D ．（2）筝形的其他性质．①筝形的两条对角线互相垂直． ②筝形的一条对角线平分一组对角． ③筝形是轴对称图形．（3）不成立．反例如图2所示．在平行四边形ABCD 中，AB≠AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ．由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC ＝∠ADC ，AC 平分BD ，但该四边形不是筝形．考点：四边形——平行四边形.。

八年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题18.13中点四边形综合问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•龙岗区期末）如图，四边形ABCD 中，AC BD =，顺次连接四边形各边中点得到的图形是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．以上都不对【分析】根据中位线定理证明中点四边形的四边相等，则顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形． 【解析】E ，F 分别是DC ，AD 的中点， 12EF AC ∴=，//EF AC ， 同理，12GH AC =，//GH AC ，12GF BD =， EF GH ∴=，//EF GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，AC BD =，EF GF ∴=，∴平行四边形EFGH 为菱形，故选：A ．2．（2021春•宣城期末）下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】根据平行四边形的判定和等腰梯形的判定即可判断①；画出图形，根据菱形的判定即可判断②；根据菱形和正方形的判定即可判断③；根据三角形的中位线性质得出//EF AC ''，12EH B D =''，//EH B D ''，12FG B D =''，//FG B D ''，求出EH FG =，//EH FG ，根据平行四边形的判定得出四边形EFGH 是平行四边形，根据菱形的性质得出AC B D ''⊥''，求出90HEF ∠=︒，根据矩形的判定得出四边形EFGH 是矩形，即可判断④．【解析】①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，故①错误； ②如图，AC BD ⊥，但是四边形ABCD 不是菱形，即对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故②错误； ③四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故③错误；④如图，E 、F 、G 、H 分别是菱形A B C D ''''的边A B ''、B C ''、C D ''、A D ''的中点，//EF AC ∴''，12EH B D =''，//EH B D ''，12FG B D =''，//FG B D ''， EH FG ∴=，//EH FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，四边形A B C D''''是菱形，∴''⊥''，AC B DEH B D''，//EH AC∴⊥''，EF AC''，//∴⊥，EF EH即90∠=︒，HEF∴四边形EFGH是矩形，故④正确；所以正确的个数是1，故选：D．3．（2020秋•岐山县期中）如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是()A．若AC BD=，则四边形EFGH为菱形B．若AC BD⊥，则四边形EFGH为矩形C．若AC BD⊥，则四边形EFGH为正方形=，且AC BDD．若AC与BD互相平分，且AC BD=，则四边形EFGH是正方形【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC BD===，=时，存在EF FG GH HE故四边形EFGH为菱形，故本选项不符合题意；B、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC BDEFG FGH GHE∠=∠=∠=︒，⊥时，存在90故四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意；===，⊥，存在EF FG GH HE C、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC BD=，且AC BD∠=∠=∠=︒，故四边形EFGH为正方形，故本选项不符合题意；90EFG FGH GHED、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC与BD互相平分，且AC BD=，故四边形EFGH 为菱形，故本选项符合题意；故选：D．4．（2021春•樊城区期末）如果一个四边形的对角线相等，顺次连接该四边形四条边的中点，可以得到( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】根据三角形中位线定理得到//EF BD，//GH BD，12EF BD=，12GH BD=，12EH AC=，根据菱形的判定定理证明即可．【解析】E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，//EF BD∴，//GH BD，12EF BD=，12GH BD=，12EH AC=，//EF GH∴，EF GH=，∴四边形EFGH是平行四边形．如图，连接AC、BD，AC BD=，12EF BD=，12EH AC=，EF EH∴=，∴平行四边形EFGH是菱形，故选：C．5．（2021春•武昌区校级期中）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是()A ．当AC BD ⊥时，四边形EFGH 为菱形B ．当AC BD =时，四边形EFGH 为矩形C ．当AC BD ⊥，AC BD =时，四边形EFGH 为正方形D ．以上说法都不对【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH 为平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【解析】点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，//EF AC ∴，12EF AC =，//GH AC ，12GH AC =，//EH BD ，12EH BD =， //EF GH ∴，EF GH =，∴四边形EFGH 为平行四边形，当AC BD ⊥时，EF EH ⊥，∴四边形EFGH 为矩形，A 选项说法错误；当AC BD =时，EH EF =，∴四边形EFGH 为菱形，B 选项说法错误；当AC BD ⊥，AC BD =时，EF EH ⊥，EF EH =，∴四边形EFGH 为正方形，C 选项说法正确；D 选项说法错误；故选：C ．6．（2019•青神县一模）如图，正方形ABCD 四边的中点分别是E 、F 、G 、H ，若四边形EFGH 的面积是2，则正方形ABCD 的周长是( )A ．4B ．42C ．8D ．82【分析】根据正方形的性质得到AB BC CD AD ===，求得AE BE BF CF CG DG DH AH =======，根据全等三角形的性质得到EF FG HG EH ===，45AHE DHG ∠=∠=︒，求得90GHE ∠=︒，求得1AE AH ==，得到正方形ABCD 的边长为2，于是得到答案．【解析】正方形ABCD 四边的中点分别是E 、F 、G 、H ，AB BC CD AD∴===，∴=======，AE BE BF CF CG DG DH AH∠=∠=∠=∠=︒，A B C D90∴∆≅∆≅∆≅∆，AEH BFE CGF HDE SAS()∠=∠=︒，AHE DHGEF FG HG EH∴===，45GHE∴∠=︒，90∴四边形EFGH是正方形，四边形EFGH的面积是2，∴四边形EFGH2，∴==，AE AH1∴正方形ABCD的边长为2，∴正方形ABCD的周长是8，故选：C．7．（2019•江油市二模）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，下列说法正确的是()A．任意一个四边形的中点四边形是菱形B．任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形的中点四边形是矩形D．对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形【分析】利用三角形中位线定理可得新四边形的对边平行且等于原四边形一条对角线的一半，那么根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定所得的四边形一定是平行四边形．【解析】A、任意一个四边形的中点四边形是平行四边形，故此选项错误；B、任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形，正确；C、对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，故此选项错误；D、对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形，故此选项错误．故选：B．8．（2019•临沂）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC BD=，则四边形EFGH为矩形；②若AC BD⊥，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD AC=时，中点四边形是菱形，当对角线AC BD⊥时，中点四边形是正方形，=，且AC BD⊥时，中点四边形是矩形，当对角线AC BD【解析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD AC⊥时，中点四边形是矩形，当对角线AC BD=，=时，中点四边形是菱形，当对角线AC BD且AC BD⊥时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．9．（2021秋•金水区校级月考）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法：①若AC BD=，则四边形EFGH为矩形；②若AC BD⊥，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【分析】根据“一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD AC=时，中点四边形是菱形，当对角线AC BD⊥时，中点四边形是矩形”进行判断即可．【解析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，故③错误；当对角线BD AC=时，中点四边形是菱形，当对角线AC BD⊥时，中点四边形是矩形，故①②错误，所以正确的有0个，故选：A．10．（2021春•德阳期末）如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法：①若AC BD=，则四边形EFGH为矩形；②若AC BD⊥，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是菱形，则AC与BD互相垂直；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【分析】先证四边形EFGH是平行四边形，再由菱形、矩形以及正方形的判定分别对各个说法进行判断即可．【解析】E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，EH∴是ABD∆的中位线，FG是CBD∆的中位线，EF是ABC∆的中位线，//EH BD ∴，12EH BD=，//FG BD，12FG BD=，//EF AC，12EF AC=，//EH FG∴，EH FG=，∴四边形EFGH是平行四边形，①AC BD=，EH EF∴=，∴平行四边形EFGH是菱形，故①错误；②AC BD⊥，EF EH∴⊥，90FEH∴∠=︒，∴平行四边形EFGH 是矩形，故②错误；③若四边形EFGH 是菱形，则AC BD =，故③错误；④对角线AC BD =，且AC BD ⊥时，中点四边形EFGH 是正方形，故④正确，故选：A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2021春•阿拉尔期末）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是 正方形 ．【分析】由三角形中位线定理得//EH BD ，12EH BD =，//FG BD ，12FG BD =，//EF AC ，12EF AC =，则//EH FG ，EH FG =，得四边形EFGH 是平行四边形，再怎EH EF =，则平行四边形EFGH 是菱形，然后证90FEH ∠=︒，即可得出结论．【解析】如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，EH ∴是ABD ∆的中位线，FG 是CBD ∆的中位线，EF 是ABC ∆的中位线，//EH BD ∴，12EH BD =，//FG BD ，12FG BD =，//EF AC ，12EF AC =， //EH FG ∴，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形，AC BD =，EH EF ∴=，∴平行四边形EFGH 是菱形，又AC BD ⊥，EF EH ∴⊥，90FEH ∴∠=︒，∴四边形EFGH 是正方形，故答案为：正方形．12．（2021秋•寿光市期末）下列说法正确的是 A 、C ．A ．对角线相等的菱形是正方形B ．顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是菱形C ．成轴对称的两个图形全等D ．有三个角相等的四边形是矩形【分析】利用正方形的判定方法、菱形的判定方法、矩形的判定方法及全等图形的定义分别判断后即可确定正确的答案．【解析】A 、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意；B 、顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；C 、成轴对称的两个图形全等，正确，符合题意；D 、有四个角相等的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意．故答案为：A 、C ．13．（2020春•西华县期末）如图所示，AC 、BD 是四边形ABCD 的两条对角线，且AC BD ⊥，已知10AC =，8BD =，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EG 41 ．【分析】易证四边形HEFG 是平行四边形，因为AC BD ⊥，所以HG EH ⊥，所以四边形HEFG 为矩形，进而由勾股定理得到22EG HE HG +．【解析】E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，152HG EF AC ∴===，142EH FG BD ===， E ，H ，是AB ，AD 中点，//HE BD ∴，12HE BD =， 同理//FG BD ，12FG BD =， ∴四边形HEFG 是平行四边形， AC BD ⊥，HG EH ∴⊥，∴四边形HEFG 为矩形，22224541EG HE HG ∴=+=+4114．（2020春•孝义市期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，依次连接AO ，BO ，CO ，DO 的中点E ，F ，G ，H ，得到四边形EFGH ，点M 是EF 的中点，连接OM ，若10AB =，则OM 的长为 2.5 ．【分析】根据菱形的性质得到AC BD ⊥，根据三角形中位线定理得到152EF AB ==，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【解析】四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥， E 、F 分别为OA 、OB 的中点，152EF AB ∴==， 在Rt EOF ∆中，M 是EF 的中点，1 2.52OM EF ∴==， 故答案为：2.5．15．（2021秋•南海区月考）已知：在四边形ABCD 中，AD BC =，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，四边形EHFG 是 菱形 ．【分析】由已知条件得出GF是ADC∆的中位线，GE是ABC∆的中位线，EH是ABD∆的中位线，由三角形中位线定理得出//GF EH，GF EH=，得出四边形EGFH是平行四边形，再证出GE EH=，即可得出四边形EHFG是菱形．【解析】证明：点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，GF∴是ADC∆的中位线，GE是ABC∆的中位线，EH是ABD∆的中位线，//GF AD ∴，12GF AD=，12GE BC=，//EH AD，12EH AD=，//GF EH∴，GF EH=，∴四边形EGFH是平行四边形，又AD BC=，GE EH∴=，∴四边形EGFH是菱形．故答案是：菱形．16．（2021秋•榆阳区校级月考）点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，对角线AC，BD交于点O，当四边形ABCD满足对角线垂直且相等条件时，四边形EFGH是正方形．【分析】根据三角形中位线定理得到//EF BD，12EF BD=，//GH BD，12GH BD=，12EH AC=，进而证明四边形EFGH为平行四边形，再根据正方形的判定定理解答即可．【解析】点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，//EF BD ∴，12EF BD=，//GH BD，12GH BD=，12EH AC=，//EF GH∴，EF GH=，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC BD=时，EF EH=，∴平行四边形EFGH为菱形，当AC BD⊥时，EF EH⊥，∴菱形EFGH为正方形，∴当四边形ABCD的对角线垂直且相等时，四边形EFGH是正方形，故答案为：对角线垂直且相等．17．（2021•西城区校级开学）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点，点D为平面内一个动点，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④中点四边形MNPQ不可能是正方形；所有结论正确的序号是①②③．【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形解答．【解析】中点四边形都是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，∴存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形，存在无数个中点四边形MNPQ是菱形，存在无数个中点四边形MNPQ是矩形．故答案为：①②③．18．（2020春•新乐市期末）对于任意矩形ABCD ，若M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的中点，下面四个结论中，①四边形MNPQ 是平行四边形；②四边形MNPQ 是矩形；③四边形MNPQ 是菱形； ④四边形MNPQ 是正方形．所有正确结论的序号是 ①③ ．【分析】连接AC 、BD ，由三角形中位线定理得出//MN AC ，12MN AC =，//PQ AC ，12PQ AC =，//MQ BD ，12MQ BD =，则//MN PQ ，MN PQ =，MN MQ =，证出四边形MNPQ 是平行四边形，四边形MNPQ 是菱形；①③正确；当AC BD ⊥时，MN MQ ⊥，四边形MNPQ 是矩形，四边形MNPQ 是正方形，②④不正确，即可得出结论．【解析】连接AC 、BD ，如图：四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的中点，MN ∴是ABC ∆的中位线，PQ 是ACD ∆的中位线，MQ 是ABD ∆的中位线，//MN AC ∴，12MN AC =，//PQ AC ，12PQ AC =，//MQ BD ，12MQ BD =， //MN PQ ∴，MN PQ =，MN MQ =，∴四边形MNPQ 是平行四边形，∴四边形MNPQ 是菱形；故①③正确；当AC BD ⊥时，MN MQ ⊥，四边形MNPQ 是矩形，四边形MNPQ 是正方形．故②④不正确； 故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，E ，F ，G ，H 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）①当AB 与CD 满足条件 AB CD = 时，四边形EGFH 是菱形；②当AB 与CD 满足条件 时，四边形EGFH 是矩形．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到12EG AB =，//EG AB ，12FH AB =，//FH AB ，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）①根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；②根据矩形的判定定理解答．【解析】（1）证明：E ，G 分别是AD ，BD 的中点，EG ∴是DAB ∆的中位线，12EG AB ∴=，//EG AB ， 同理，12FH AB =，//FH AB ， EG FH ∴=，//EG FH ，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）①F ，G 分别是BC ，BD 的中点，FG ∴是DCB ∆的中位线，12FG CD ∴=，//FG CD ， 当AB CD =时，EG FG =，∴四边形EGFH 是菱形；②//HF AB ， HFC ABC ∴∠=∠，//FG CD ，GFB DCB ∴∠=∠，90ABC DCB∴∠+∠=︒，90HFC GFB∴∠+∠=︒，90GFH∴∠=︒，∴平行四边形EGFH是矩形，故答案为：①AB CD=；②AB CD⊥．20．（2020春•海陵区校级期中）如图，O为BAC∠内一点，E、F、G、H分别为AB，AC，OC，OB 的中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）当AB AC=，AO平分BAC∠时，求证：四边形EFGH为矩形．【分析】（1）根据三角形中位线定理推知////EH AO FG，12EH FG AO==，则四边形EFGH是平行四边形．（2）根据平行线的性质和等腰AEF∆的性质推知：90HEF ADE∠=∠=︒，则四边形EFGH为矩形．【解析】证明：（1）EH是ABO∆的中位线，//EH AO ∴，12EH AO=．同理，FG是ACO∆的中位线，//FG OA ∴，12FG AO=．//EH FG∴，EH FG=，∴四边形EFGH是平行四边形．（2）设OA与EF的交点为D，AB AC=，E、F分别为AB，AC的中点，AE AF∴=．AO平分BAC∠，//EH AD，∴∠=∠=︒，HEF ADE90∴四边形EFGH为矩形．21．已知：如图，分别以BM、CM为边，向BMC∆形外作等边三角形ABM、CDM，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点．（1）猜测四边形EFGH的形状；（2）证明你的猜想；（3）三角形BMC形状的改变是否对上述结论有影响？【分析】（1）由题意可猜测四边形EFGH是菱形；（2）首先连接AC，BD，易证得()∆≅∆，即可得AC BDAMC BMD SAS=，又由E、F、G、H分别为AB、===，即可得四边形EFGH是菱形；BC、CD、DA中点，则可证得EF FG GH EH（3）由（2）得：BMC∆形状的改变对上述结论没有影响．【解析】（1）解：四边形EFGH是菱形；（2）证明：连接AC，BD，∆和CDMABM∆是等边三角形，∴=，CM DMAM BM∠=∠=︒，=，60AMB CMD∴∠=∠，AMC BMD在AMC ∆和BMD ∆中，AM BM AMC BMD CM DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AMC BMD SAS ∴∆≅∆，AC BD ∴=，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 中点，12EF GH AC ∴==，12EH FG BD ==， EF FG GH EH ∴===，∴四边形EFGH 是菱形；（3）解：BMC ∆形状的改变对上述结论没有影响．22．（2021春•东莞市期末）如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，依次连接E 、F 、G 、H ．（1）证明：四边形EFGH 是平行四边形；（2）在四边形ABCD 中，若再补充一个条件： AC BD ⊥ ，则四边形EFGH 是矩形；（3）连接EG 、FH ，求证：222222EG FH EF FG GH HE +=+++．【分析】（1）由中位线定理证明：//HG AC ，12HG AC =，//EF AC ，12EF AC =，从而//HG EF ，HG EF =，即可证明四边形EFGH 是平行四边形；（2）若AC BD ⊥，则90DOC ∠=︒，由//EF AC ，//FG BD ，即可得90GFE ∠=︒，故四边形EFGH 是矩形；（3）过H 作HP EG ⊥于P ，过F 作FQ EG ⊥于Q ，Rt HPE ∆中，22222EH HP OE OP OE OP =++-⋅，Rt HPG ∆中，22222HG HP OG OP OG OP =++-⋅，由四边形EFGH 是平行四边形，可得12OE OG EG ==，12OH OF HF ==，故2222222222112222EH HG HP OE OP OE OP HP OG OP OG OP HF EG +=++-⋅+++-⋅=+，同理可得：22221122EF FG HF EG +=+，从而可证明222222EG FH EF FG GH HE +=+++．【解析】（1）H 、G 是AD 、CD 的中点，HG ∴是ACD ∆的中位线，//HG AC ∴，12HG AC =，同理：//EF AC ，12EF AC =，//HG EF ∴，HG EF =，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）解：补充的条件是：AC BD ⊥，证明如下：如图：若AC BD ⊥，则90DOC ∠=︒，//EF AC ， 90OMF DOC ∴∠=∠=︒，FG 是BCD ∆的中位线，//FG BD ∴，18090GFE OMF ∴∠=︒-∠=︒，由（1）知：四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是矩形；故答案为：AC BD ⊥；（3）过H 作HP EG ⊥于P ，过F 作FQ EG ⊥于Q ，如图：Rt HPE ∆中，22222222()2EH HP EP HP OE OP HP OE OP OE OP =+=+-=++-⋅， Rt HPG ∆中，22222222()2HG HP PG HP OG OP HP OG OP OG OP =+=++=++-⋅， 由（1）知：四边形EFGH 是平行四边形，12OE OG EG ∴==，12OH OF HF ==， 2222222222EH HG HP OE OP OE OP HP OG OP OG OP ∴+=++-⋅+++-⋅ 22222()HP OP OE OG =+++222112()()22OH EG EG =++ 22112()22HF EG =⨯+ 221122HF EG =+， 同理可得：22221122EF FG HF EG +=+， 222222EG FH EF FG GH HE ∴+=+++．23．（2021春•集贤县期末）在四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ．（1）如图1，试判断四边形PQMN 怎样的四边形，并证明你的结论；（2）若在AB 上取一点E ，连结DE ，CE ，恰好ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形（如图2)，判断此时四边形PQMN 的形状，并证明你的结论．【分析】（1）连接AC 、BD ．利用三角形中位线定理判定四边形PQMN 的对边平行且相等，易证该四边形是平行四边形；（2）①设ADE ∆的边长是x ，BCE ∆的边长是y ，由于2222213()()2DB x y x x xy y =++=++，2222213()()2AC x y y x xy y =++=++，可得平行四边形PQMN 的对角线相等，从而得出平行四边形PQMN 是菱形；【解析】四边形PQMN 为平行四边形；（1）连接AC 、BD ．PQ 为ABC ∆的中位线，//PQ AC ∴，12PQ AC =， 同理//MN AC ．12MN AC =． MN PQ ∴=，//MN PQ ，∴四边形PQMN 为平行四边形；（2）四边形PQMN 是菱形；理由如下：设ADE ∆的边长是x ，BCE ∆的边长是y ，2222213()()2DB x y x xy y ∴=++=++，2222213()()2AC x y y x xy y =++=++， 平行四边形PQMN 的对角线相等，∴平行四边形PQMN 是菱形；24．（2021春•泗阳县期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，E ，F ，G ，H 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）当AB CD =，四边形EGFH 是怎样的四边形？证明你的结论．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到12EG AB =，//EG AB ，12FH AB =，//FH AB ，根据平行四边形的判定定理证明结论； （2）依据四边形ABCD 是平行四边形，再运用三角形中位线定理证明邻边相等，从而证明它是菱形．【解析】（1）证明：E ，G 分别是AD ，BD 的中点， EG ∴是DAB ∆的中位线，12EG AB ∴=，//EG AB ， 同理，12FH AB =，//FH AB ， EG FH ∴=，//EG FH ，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）菱形．理由：F ，G 分别是BC ，BD 的中点，FG ∴是DCB ∆的中位线，12FG CD ∴=，//FG CD ，又12EG AB =， ∴当AB CD =时，EG FG =，∴平行四边形EGFH 是z。

人教版八年级下册专题训练（二）中点四边形(146) 1.如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求EG2+FH2的值．2.四边形ABCD为边长等于1的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH(四边形EFGH称为原四边形的中点四边形)，再顺次连接四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形……则按上述规律组成的第八个中点四边形的边长等于．3.如图所示，E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,AD的中点．(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是形，并说明理由;(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并说明理由．4.如图，在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是BC,AD,BD,AC的中点．(1)求证：EF与GH互相平分；(2)当四边形ABCD的边满足条件时,EF⊥GH．5.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是（）A.矩形B.平行四边形C.菱形D.任意四边形6.顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是（）A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形7.若四边形的对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形8.如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当中点四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD是矩形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确的是(填序号)．9.如图，在四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，E,F,G,H分别是AD,AB,CB,CD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．10.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是（）A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形11.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是（）A.矩形B.正方形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形12.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AC，AD，BD的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD的边AB,CD应满足的条件是．13.如图所示，E,F,G,H为四边形ABCD各边的中点，若对角线AC，BD的长都为20，则四边形EFGH的周长是（）A.80B.40C.20D.1014.如图,已知E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6cm,∠ABC=60∘,则四边形EFGH的面积为cm2.15.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为．16.如图，在四边形ABCD中，AC=8，BD=6，且AC⊥BD，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA 的中点，则EG2+FH2=．参考答案1.【答案】:如图，连接EF ，FG ，GH ，EH ，∵E ，H 分别是AB ，DA 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，∴EH =12BD =3. 同理可得EF ，FG ，GH 分别是△ABC ，△BCD ，△ACD 的中位线， ∴EF =GH =12AC =3，FG =12BD =3，∴EH =EF =GH =FG =3，∴四边形EFGH 为菱形，∴EG ⊥HF ，且垂足为O ，∴EG =2OE ，FH =2OH ．在Rt △OEH 中，根据勾股定理得：OE 2+OH 2=EH 2=9，等式两边同时乘4得4OE 2+4OH 2=9×4=36，∴(2OE)2+(2OH)2=36，即EG 2+FH 2=36．【解析】:连接EH,HG,GF,FE ，根据题目条件提供的四个中点，结合中位线的性质，证明四边形EFGH 为菱形，再根据菱形的性质及勾股定理求出结果.2.【答案】:116【解析】:根据题意，结合图形寻找规律：第二、四、六、八个中点四边形为菱形，第一个菱形边长为12，第二个菱形边长为14，第三个菱形边长为18，第四个菱形边长为116，即为第八个菱形的边长3(1)【答案】当四边形ABCD 是矩形时，四边形EFGH 是菱形．理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD ．∵E ，F ，H 分别是AB ，BC ，AD 的中点，∴EF=12AC，EH=12BD，∴EF=EH．同理可得EF=GH=GF，∴四边形EFGH是菱形【解析】:利用矩形及中位线的性质，结合菱形的判定方法进行推导证明.(2)【答案】当四边形ABCD满足AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．理由：∵E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=12AC，同理，EH∥BD，EH=12BD，GF=12BD，GH=12AC．∵AC=BD，∴EF=EH=GH=GF，∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴菱形EFGH是正方形【解析】:根据三角形的中位线平行于第三边并等于第三边的一半，先判断出AC=BD，又正方形的四个角都是直角，可以得到正方形的邻边互相垂直，然后证出AC与BD垂直，得到四边形ABCD满足的条件.4(1)【答案】证明：连接GE,GF,HF,EH．∵E,G分别是BC,BD的中点,∴EG=12CD．同理FH=12CD,FG=12AB,EH=12AB,∴EG=FH,GF=EH，∴四边形EHFG是平行四边形．∴EF与GH互相平分【解析】:根据题中提供的四个中点，得到几组中位线，利用中位线的性质，及平行四边形的判定方法，推导出四边形EHFG是平行四边形，进而推导出结论(2)【答案】当四边形ABCD的边满足条件AB=CD时,EF⊥GH．【解析】:理由如下:当EF⊥GH时,四边形EGFH是菱形,此时GF=EG．∵EG=12CD,FG=12AB,∴AB=CD．∴当四边形ABCD的边满足条件AB=CD时,EF⊥GH5.【答案】:C【解析】:顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是菱形．如图，∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，∴EH∥BD，EH=12BD，FG∥BD，FG=12BD，∴EH∥FG，EH=FG=12BD，∴四边形EFGH为平行四边形．又∵EF为△ABC的中位线，∴EF=12AC．又∵EH=12BD，且AC=BD，∴EF=EH，∴平行四边形EFGH为菱形．故选C．6.【答案】:B【解析】:利用菱形的性质、矩形的判定方法及中位线的性质推导出结果.7.【答案】:B【解析】:如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，连接各边的中点E，F，G，H，则EH∥AC，FG∥AC，EF∥BD，GH∥BD．又因为对角线AC⊥BD，所以GH⊥EH，EH⊥EF，EF⊥FG，FG⊥HG．故可判定该四边形是矩形．故选B．8.【答案】:①④【解析】:如图四边形ABCD，连接AC，BD．∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，EH∥BD，GF∥BD，∴EF∥GH，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确．若四边形ABCD是矩形，则AC=BD．∵EF=12AC，EH=12BD，∴EF=EH，∴平行四边形EFGH是菱形，故②错误．若四边形EFGH是菱形，则AC=BD，但四边形ABCD不一定是矩形，故③错误．若四边形ABCD是正方形，则AC=BD，AC⊥BD，∴四边形EFGH是正方形，故④正确．∴正确的叙述是①④．9.【答案】:连接AC，BD，交于点O，如图．∵E，F，G，H分别是AD，AB，CB，CD的中点，∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，EF=GH=12BD，EH=FG=12AC，∴四边形EFGH是平行四边形．∵AD=CD，AB=CB，∴点D，B都在线段AC的垂直平分线上，∴DB垂直平分AC，∴DB⊥AC，OA=OC．∵EF∥DB，∴EF⊥AC．∵FG∥AC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形【解析】:利用三角形的中位线解题.10.【答案】:D【解析】:若得到的四边形是矩形，那么邻边互相垂直，根据三角形中位线定理，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解.11.【答案】:C【解析】:若得到的四边形是菱形，那么四条边都相等，根据三角形中位线定理，故原四边形的对角线必相等，由此得解.12.【答案】:AB=CD【解析】:若四边形EFGH是菱形，则GH=EH，又根据题中条件所给的四个中点，利用中位线的性质推导出AB=2GH，CD=2EH，所以AB=CD.13.【答案】:B【解析】:∵E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，∴HG=EF=12AC，GF=HE=12BD，∴四边形EFGH的周长=HG+EF+GF+HE=12(AC+AC+BD+BD)=12×(20+20+20+20)=40 14.【答案】:9√3【解析】:连接AC,BD,相交于点O,如图所示, ∵点E,F,G,H分别是菱形四边的中点,∴EH=12BD=FG,EH∥BD∥FG, EF=12AC=HG,∴四边形EHGF是平行四边形．∵菱形ABCD中,AC⊥BD,∴EF⊥EH,∴平行四边形EFGH是矩形．∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60∘,∴∠ABO=30∘.∵AC⊥BD,∴∠AOB=90∘,∴AO=12AB=3cm,∴AC=6cm．在Rt△AOB中,由勾股定理，得OB=√AB2−OA2=3√3cm, ∴BD=6√3cm．∵EH=12BD,EF=12AC,∴EH=3√3cm,EF=3cm,∴矩形EFGH的面积=EF·EH=9√3cm2. 故答案为9√315.【答案】:12【解析】:∵E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，∴HE=12AC=4,HE∥AC,GF∥AC,∴HE∥GF．同理，HG∥EF,HG=12BD=3,∴四边形EFGH是平行四边形．∵AC⊥BD，∴∠EHG=90∘,∴四边形EFGH是矩形，∴四边形EFGH的面积为3×4=1216.【答案】:50【解析】:连接HG，EH，EF，FG，∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴HG=EF=12AC=4，EH=FG=12BD=3，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴HE∥BD，HE=12BD，同理FG∥BD，FG=12BD，∴四边形HEFG是平行四边形．∵AC⊥BD，∴HG⊥EH，∴四边形HEFG为矩形，∴EG2+FH2=EF2+FG2+EF2+EH2=52+52=50。

人教版八年级数学下册第18章《平行四边形》解答题典型必练（一）1．如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为6，求四边形AEDF面积．2．如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．3．如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别在OA，OD上，∠ABE ＝∠DCF．（1）求证：△ABE≌△DCF．（2）若BC＝4，AE＝3，求BE的长．4．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）直接写出GF与GC的数量关系：；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．5．四边形ABCD是矩形，点P在边CD上，∠PAD＝30°，点G与点D关于直线AP对称，连接BG．（1）如图，若四边形ABCD是正方形，求∠GBC的度数；（2）连接CG，设AB＝a，AD＝b，探究当∠CGB＝120°时，a与b的数量关系．6．如图，在正方形ABCD中，点E为AB上的点（不与A，B重合），△ADE与△FDE 关于DE对称，作射线CF，与DE的延长线相交于点G，连接AG，（1）当∠ADE＝15°时，求∠DGC的度数；（2）若点E在AB上移动，请你判断∠DGC的度数是否发生变化，若不变化，请证明你的结论；若会发生变化，请说明理由；（3）如图2，当点F落在对角线BD上时，点M为DE的中点，连接AM，FM，请你判断四边形AGFM的形状，并证明你的结论．7．如图，在正方形ABCD中，点E为线段BC上一动点（点E不与点B、C重合），点B关于直线AE的对称点为F，作射线EF交CD于H，连接AF．（1）求证：AF⊥EH；（2）连接AH，小王通过观察、实验，提出猜想：点E在运动过程中，∠EAH的度数始终保持不变．你帮助小王求出∠EAH的度数．8．如图，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．（1）求证：∠FBC＝∠CDF；（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG，猜想线段DF，BF，CG之间的数量关系，并证明你的结论．9．已知AP为正方形ABCD外的一条射线，B′为点B关于直线AP的对称点，连接B′D．如图1所示．（1）如果∠BAP＝20°，求∠ADB′的度数的大小．（2）如图2所示，M为射线B′B上一点，且∠BMC＝135°．①求证：BB′＝CM．②求证：CM∥B′D．10．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；图2；（2）若∠PAB＝25°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间数量关系，并证明．11．如图，已知正方形ABCD边长为1，点P是射线AD的上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，设AP＝x．（1）求当D，Q，B三点在同一直线上时对应的x的值．（2）当△CDQ为等腰三角形时，求x的值．12．在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点．连接PA，PD，点M，N分别为BC，AP的中点，连接MN交PD于点Q．（1）如图1，当点P在线段CB的延长线上时，请判断△QPM的形状，并说明理由．（2）如图2，正方形的边长为4，点P'与点P关于直线AB对称，且点P'在线段BC上．连接AP'，若点Q恰好在直线AP'上，求P'M的长．13．如图，在边长为6的正方形ABCD中，G是边BC的中点，点C关于直线DG的对称点为F，连接GF并延长交AB于点E，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：△ADE≌△FDE；（2）求AE的长；（3）求BH的长；14．如图，经过正方形ABCD的顶点A在其外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1．（2）若∠PAB＝30°，求∠ADF的度数．（3）如图，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．15．在小学，我们已经初步了解到，正方形的每个角都是90°，每个边都是相等．如图，在正方形ABCD外侧作直线AQ，点D关于直线AQ的对称点为E，连接DE、BE，BE交AD于点F，若∠QAD＝15°．（1）求∠ABE的度数；（2）若AB＝6，求AF的长．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AF∥BE，∴∠EBA+∠BAF＝180°，∴∠CBE＝∠DAF，同理得∠BCE＝∠ADF，在△BCE和△ADF中，，∴△BCE≌△ADF（ASA）；（2）解：∵点E在▱ABCD内部，，∴S△BEC+S△AED＝S▱ABCD由（1）知：△BCE≌△ADF，∴S△BCE＝S△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S，▱ABCD ∵▱ABCD的面积为6，∴四边形AEDF的面积为3．2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：作G关于BC的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF+FG的最小值．连接AC，∵CG′＝CG＝AE，AB∥CG′，∴四边形AEG′C为平行四边形，∴EG′＝AC．在△EFG′中，∵EF+FG′＞EG′＝AC，∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．3．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠BAE＝∠CDF＝45°，∵∠ABE＝∠DCF，在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA）；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝∠AOB＝90°，∵BC＝4，∴AB＝4，∴AC＝，∴OA＝OB＝4，∵AE＝3，∴OE＝OA﹣AE＝4﹣3＝1，在Rt△BOE中，BE＝．4．证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF＝GC；（2）BH＝AE，理由是：证法一：如图，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（1）知：∠ADE＝∠EDF，∠FDG＝∠GDC，∵∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠EDF+∠FDG+∠GDC＝90°，∴2∠EDF+2∠FDG＝90°，∴∠EDF+∠FDG＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，∴△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠ADE＝90°，DE＝EH，∴∠ADE＝∠BEH，在△DME和△EBH中，，∴△DME≌△EBH（SAS），∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝AE，∴BH＝AE；证法二：如图，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，，∴△DAE≌△ENH（AAS），∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．5．解：（1）连接DG，交AP于点E，连接AG，如图1，∵点G与点D关于直线AP对称，∴AP垂直平分DG，∴AD＝AG．∵在△ADG中，AD＝AG，AE⊥DG，∴∠PAG＝∠PAD＝30°，又∵在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴AG＝AB，∠GAB＝∠DAB﹣∠PAD﹣∠PAG＝30°，∴在△GAB中，∠ABG＝∠AGB＝＝75°，∴∠GBC＝∠ABC﹣∠ABG＝15°；（2）连接DG，AG．由（1）可知，在△ADG中，AD＝AG，∠DAG＝∠PAD+∠PAG＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴DG＝AG＝AD，∠DAG＝∠ADG＝∠DGA＝60°，又∵在矩形ABCD中，AB＝DC，∠DAB＝∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠DAB﹣∠DAG＝∠ADC﹣∠ADG，即∠GAB＝∠GDC＝30°，∴△GAB≌△GDC（SAS），∴GB＝GC．当∠CGB＝120°时，点G可能在矩形ABCD的内部或外部．若点G在矩形ABCD的内部，∵在△BGC中，GB＝GC，∠CGB＝120°，∴∠GBC＝＝30°，∴∠GBA＝∠ABC﹣∠GBC＝90°﹣30°＝60°，在△ABG中，∠AGB＝180°﹣∠GAB﹣∠GBA＝90°，∴a＝b，若点G在矩形ABCD的外部，在△BGC中，∠GBC＝30°，∴∠ABG＝120°，又∵∠GAB＝30°，∴∠AGB＝180°﹣30°﹣120°＝30°．∴BA＝BG，过点B作BH⊥AG，垂足为H，∴AH＝AG＝b．在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠HAB＝30°，∴cos∠HAB＝＝，∴a＝b，在Rt△ADP中，∠ADP＝90°，∠PAD＝30°，∴tan∠PAD＝＝，∴DP＝b．所以无论点G在矩形ABCD内部还是点G在矩形ABCD外部，都有DP≤DC，均符合题意．综上，当∠CGB＝120°时a与b的数量关系为a＝b或a＝b．6．解：（1）∵∠ADE＝15°，∴∠FDE＝15°，∠CDF＝60°．∵DC＝AD＝DF，∴∠CFD＝60°．又∠CFD＝∠DGC+∠FDE＝15°+∠DGC，∴∠DGC＝45°；（2）不变，理由如下：∵△ADE与△FDE关于DE对称，∴∠AGD＝∠DGF．设∠ADE＝x，可得∠FDE＝x，∠CDF＝90°﹣2x，∵DC＝AD＝DF，∴∠CFD＝45°+x．又∠CFD＝∠DGC+∠FDE＝x+∠DGC，∴∠DGC＝45°；（3）四边形AGFM是正方形；理由：∵∠DAE＝∠DFE＝90°，点M为DE的中点，∴AM＝FM＝DM＝DE，∴∠ADM＝∠DAM，∠MDF＝∠DFM，∴∠AME＝∠EMF＝2∠ADM＝2∠MDF＝45°，∴∠AMF＝90°，∵∠MGF＝45°，∴FM＝FG，在△ADG与△FDG中，，∴△ADG≌△FDG（SAS），∴AG＝FG，∴AM＝MF＝FG＝AG，∵∠AMF＝90°，∴四边形AGFM是正方形．7．解：（1）证明：∵点B关于直线AE的对称点为F，∴AB＝AF，BE＝EF，又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE（SSS），∴∠AFE＝∠B＝90°，∴AF⊥EH；（2）连接AH，如图：由（1）得AB＝AF，AF⊥EH，∴AF＝AD，∠D＝∠AFH＝90°，AH＝AH，∴△AFH≌△ADH（HL），∴∠FAH＝∠DAH，又∵∠BAE＝∠FAE，在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠EAH＝45°．8．解：（1）∵ABCD为正方形，∴∠DCE＝90°．∴∠CDF+∠E＝90°，又∵BF⊥DE，∴∠FBC+∠E＝90°，∴∠FBC＝∠CDF（2）如图所示：在线段FB上截取FM，使得FM＝FD．∵∠BDC＝∠MDF＝45°，∴∠BDM＝∠CDF，∴∠CFE＝∠FCD+∠CDF＝∠DBM+∠BDM＝∠DMF＝45°，∴∠EFG＝∠EFC＝45°，∴∠CFG＝90°，∵CF＝FG，∴CG＝CF，∴BM＝CG，∴BF＝BM+FM＝CG+DF．补充方法：连接GM，证明四边形BMGC是平行四边形即可．9．（1）解：连接AB'，如图1，∵B′为点B关于直线AP的对称点，∴AB＝AB'，∴∠BAP＝∠B'AP＝20°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∴AB'＝AD，∴∠AB'D＝∠ADB'，∵∠B'AD＝∠B'AB+∠BAD＝90°+40°＝130°，∴∠ADB'＝25°．（2）证明：①设B'D与AP的交点为N，连接AB'，BN．由（1）得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠3＝45°，∴∠B'NP＝45°，∵∠B'NP＝∠BNP，∴∠BNP＝45°，则△BNB'为等腰直角三角形．∴BB'＝BN，∠ANB＝135°，∴∠BMC＝∠ANB＝135°，∵∠5+∠6＝45°，∠4+∠5＝45°，∴∠4＝∠6．在△ANB和△BMC中，，∴△ANB≌△BNC（AAS），∴BN＝CM，∴BB'＝CM；②∵△BB'N为等腰直角三角形，∴∠NB'B＝45°，∴∠NB'B＝∠7＝45°，∴B'D∥MC．10．解：（1）如图1、图2所示：（2）连接AE，如图3所示：则∠PAB＝∠PAE＝25°，AE＝AB＝AD，∴∠AED＝∠ADF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAD＝90°+25°+25°＝140°，∴∠ADF＝（180°﹣∠EAD）＝20°；（3）连接AE、BF、BD，如图4所示：则EF＝BF，AE＝AB＝AD，∴∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，∴∠BFD＝∠BAD＝90°，∴BF2+FD2＝BD2，∴EF2+FD2＝AB2+AD2＝2AB2，即EF2+FD2＝2AB2．11．解：（1）连接DB，若Q点落在BD上，由AP＝x，则PD＝1﹣x，PQ＝x．∵∠PDQ＝45°，∴PD＝PQ，即1﹣x＝x．∴x＝﹣1．（2）①如图2，连接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，过点Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F．∵△BCQ1为等边三角形，正方形ABCD边长为1，∴Q1F＝Q1E＝．在四边形ABPQ1中，∵∠ABQ1＝30°，∴∠APQ1＝150°，∴△PEQ1为含30°的直角三角形，∴PE＝Q1E＝，∵AE＝，∴x＝AP＝AE﹣PE＝2﹣．②如图3，连接BQ2，AQ2，过点Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，连接BP，过点Q2作EF⊥CD于E，交AB于F．∵EF垂直平分CD，∴EF垂直平分AB，∴AQ2＝BQ2．∵AB＝BQ2，∴△ABQ2为等边三角形．在四边形ABQP中，∵∠BAD＝∠BQP＝90°，∠ABQ2＝60°，∴∠ABP＝30°，∴x＝AP＝．③如图4，连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作BQ3⊥PQ3，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，不妨记Q3与F重合．∵△BCQ1为等边三角形，△BCQ3为等边三角形，BC＝1，∴Q1Q2＝，Q1E＝，∴EF＝．在四边形ABQ3P中，∵∠ABF＝∠ABC+∠CBQ3＝150°，∴∠EPF＝30°，∴EP＝EF＝．∵AE＝，∴x＝AP＝AE+PE＝+2．综上所述，△CDQ为等腰三角形时x的值为2﹣，，2+．12．解：（1）△QPM是等腰三角形，理由如下：延长BC至E，使CE＝BP，连接AE，∵PB＝CE，∴PB+BC＝CE+BC，∴CP＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，在△DCP和△ABE中，∴△DCP≌△ABE（SAS）∴∠DPC＝∠AEB，∵M是BC的中点，∴MB＝MC，∴MB+BP＝MC+CE，∴MP＝ME，∴M是PE的中点，又∵N是AP的中点，∴MN∥AE，∴∠PMN＝∠AEB，∴∠PMN＝∠DPC，∴QP＝QM，∴△QPM是等腰三角形；（2）延长BC至E，使CE＝BP，连接AE，∵M是BC的中点，BC＝4，∴BM＝CM＝2，又∵BP＝CE，∴BM+BP＝CM+CE，即PM＝ME，∴M是PE的中点，且点N是AP中点，13．证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点C关于直线DG的对称点为F，∴△DCG≌△DFG，∴DC＝DF＝DA，∠DFG＝∠C＝90°，∴∠DFE＝90°，在Rt△ADE和Rt△FDE中，∵，∴Rt△ADE≌Rt△FDE（HL）；（2）∵G是边BC的中点，BC＝6，∴CG＝BG＝FG＝3，∵△ADE≌△FDE，∴AE＝EF，设AE＝x，则BE＝6﹣x，EG＝EF+FG＝x+3，∵在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2，∴AE＝2；（3）如图2，过点H作HN⊥AB于点N，∴∠ENH＝90°，由（1）知∠ADE＝∠EDF，∠FDG＝∠CDG，∵∠ADC＝90°，∴2∠EDF+2∠FDG＝90°，∴∠EDF+∠FDG＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，∴DE＝EH，∠ADE＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH（AAS），∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝．14．解：（1）如图1、图2所示：（2）连接AE，如图3所示：则∠PAB＝∠PAE＝30°，AE＝AB＝AD，∴∠AED＝∠ADF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAD＝90°+30°+30°＝150°，∴∠ADF＝（180°﹣∠EAD）＝15°；（3）连接AE、BF、BD，如图4所示：则EF＝BF，AE＝AB＝AD，∴∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，∴∠BFD＝∠BAD＝90°，∴BF2+FD2＝BD2，∴EF2+FD2＝AB2+AD2＝2AB2，即EF2+FD2＝2AB2．15．解：（1）连接AE，如图1所示：∵点D关于直线AQ的对称点为E，∴AE＝AD，AQ垂直平分DE，∴∠EAQ＝∠QAD＝15°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠BAE＝15°+15°+90°＝120°，AE＝AB，∴∠ABE＝（180°﹣120°）＝30°；（2）作A⊥BE于M，如图2所示：则∠AMB＝∠AMF＝90°，∴AM＝AB＝3，∵∠1＝90°﹣30°＝60°，∴∠2＝90°﹣60°＝30°，∴∠FAM＝15°+30°＝45°，∴△AMF是等腰直角三角形，∴AF＝AM＝3．。

利用中点坐标解决平行四边形存在性问题1.•已知平面直角坐标系中，有四个点A （-3，0）、B （0，-4）、C （3，0）、D （0，4）（1）在下面的平面直角坐标系中描出各点，并顺次连接，试判断所得四边形的形状，并说明理由； （2）若以A 、B 、C 、E 四点为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点E 的坐标．2.如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：434+-=x y 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标．（2）设P 是直线AB 上一动点，直线PR ∥x 轴，点Q 在直线PR 上，设点P 的横坐标为m ，试用含有m 的代数式表示点Q 的纵坐标n ．（3）在（2）的条件下，若以B 、O 、Q 、A 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q 的坐标．3.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l 1：y=34x 与直线l 2：y=mx+415相交于点A （a ，512），且直线l 2交x 轴于点B ．（1）填空：a= ，m= ；（2）在坐标平面内是否存在一点C ，使以O 、A 、B 、C 四点为顶点的四边形是平行四边形形．若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）图中有一动点P 从原点O 出发，沿y 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度向上移动，设运动时间为t 秒．若直线AP 能与x 轴交于点D ，当△AOD 为等腰三角形时，求t 的值．4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y ＝−43x+3交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A 的坐标．（2）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E ，D ，O ，A 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．5.在平面直角坐标系中，A （0，1），B （0，-3），点C 在x 轴上，点D 在直线y=21x-2上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点C 的坐标以及对应的点D 的坐标．6.在平面直角坐标系中，A （-1，1），B （2，3），C （3m ，4m+1），D 在x 轴上，若以A ，B ，C ，D 四点为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标 。

专题05中心对称图形-平行四边形综合压轴（50题12个考点）一．三角形中位线定理（共1小题）1．（2022秋•东平县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（）A．6B．C．7D．8【答案】C【解答】解：如图，延长BD，交AC于F，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，在△ABD和△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（ASA），∴BD＝DF，AF＝AB＝4，∵BE＝CE，∴CF＝2DE＝3，∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，故答案为：C．二．平行四边形的性质（共3小题）2．（2023春•辛集市期末）如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E 的运动时间是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【答案】C【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，当F点在E点左侧时，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵点E到达点B时，两点同时停止运动，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合题意，舍去，∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，故选：C．3．（2023•六安模拟）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD ＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，∵AB＝BC，∴EC＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，∴BO＞AB，∴OD＞AB，故②错误；∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，∴E是BC的中点，：S△BCD＝1：4，∴S△BEO：S△BCD＝3：4，∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，∴S四边形OECD：S▱ABCD＝1：4，∵S△AOD＝S△AOD，故④正确．∴S四边形OECD故选：C．4．（2023春•叙州区期末）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O，以AB、A O为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B……依此类推，则平行四边形AO2022C2023B的面积为cm2．【答案】．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，DC∥AB，DC＝AB，＝S△ABC＝S矩形ABCD＝×20＝10（cm2），∴S△ADC＝S△BCO＝S△ABC＝×10＝5（cm2），∴S△AOB＝×5＝（cm2），∴＝S△AOB∴＝＝（cm2），＝＝（cm2），＝＝（cm2），……∴平行四边形AO n C n+1B的面积为，∴平行四边形AO2022C2023B的面积为（cm2），故答案为：．三．平行四边形的判定与性质（共2小题）5．（2023•莆田模拟）如图，在△ABD中，AD＜AB，点D在直线AB上方，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，点B，D的对应点分别是C，E，将线段BD绕着点B顺时针旋转90°得到线段BF，点D的对应点是F，连接BE，CF．当∠DAB的度数从0°逐渐增大到180°的过程中．四边形BFCE的形状依次是：平行四边形→______→平行四边形．画线处应填入（）A．菱形→矩形→正方形B．矩形→菱形→正方形C．菱形→平行四边形→矩形D．矩形→平行四边形→菱形【答案】D【解答】解：∵△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，∴△ABD≌△ACE，BD＝BF，∠CAB＝∠DAE＝90°，∠DBF＝90°，∴CE＝BD＝BF，AE＝AD，∠ACE＝∠ABD，①当∠DAB逐渐变大，B、D、E三点共线之前时，如图，∵∠COE＝∠AOB，∴∠CEO+∠CEO＝∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠OBD+∠ABD，又∵∠ACE＝∠ABD，∴∠CEO＝∠OAB+∠OBD＝90°+∠OBD，∴∠CEB+∠EBF＝90°+∠OBD+90°+∠OBD＝180°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形；②当B、D、E三点共线且D在B、E之间时，∵∠DAE＝90°，AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠ADB＝135°＝∠AEC，∴∠DEC＝90°，又∵∠DBF＝90°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形，又∵∠DEC＝90°，∴四边形BFCE是矩形；③当∠DAB逐渐变大，B、D、E三点共线，∠DAB＝135°之前时，∵∠CEB+∠EBF＝∠CEA+∠AEB+∠ABE+∠ABD+∠DBF＝∠ADB+（∠AEB+∠ABE）+∠ABD+∠DBF＝（∠ADB+∠ABD）+（∠AEB+∠AE）+∠DBF＝180°﹣∠ADB+180°﹣∠EAB+90°＝180°×2+90°﹣（∠DAB+∠EAB）＝180°×2+90°﹣（360°﹣∠DAE）＝180°×2+90°﹣360°+∠DAE＝90°+∠DAE＝180°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形，④当∠DAB＝135°时，∴∠EAB＝360°﹣∠DAE﹣∠DAE＝135°＝∠DAB，又∵AD＝AE，AB＝AB，∴△ADB≌△AEB（SAS），∴BD＝BE＝CE，由③同理可证∠CEB+∠EBF＝180°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形，又∵BE＝CE，∴四边形BFCE是菱形；当∠DAB＝135°后时，由③同理可证∠CEB+∠EBF＝180°，∴BF∥CE，又∵BF﹣CE，∴四边形BFCE是平行四边形．当∠DAB的度数从0°逐渐增大到180°的过程中，四边形BFCE的形状依次是：平行四边形→矩形一平行四边形一菱形一平行四边形．故选：D．6．（2023春•尤溪县期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③＝1．正确的个数是（）∠DFE＝110°；④S四边形AEFDA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，故①正确；∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAE＝150°，∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC，在△ABC与△DBF中，，∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC＝DF＝AE＝4，同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），∴AB＝EF＝AD＝3，∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③错误；过A作AG⊥DF于G，如图所示：则∠AGD＝90°，∵四边形AEFD是平行四边形，∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，∴AG＝AD＝，∴S▱AEFD＝DF•AG＝4×＝6，故④错误；∴正确的个数是2个，故选：B．四．菱形的性质（共2小题）7．（2023•平房区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的＝中点，点F在OD上，DF＝OF，连接EF交OA于点G，若OG＝1，连接CE，S△BEC12，则线段CE的长为3．【答案】3．【解答】解：作EM⊥OA于M，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥OA，OD＝OB，OA＝OC，∴EM∥OB，∴AM：MO＝AE：EB，∵AE＝BE，∴AM＝OM，∴EM是△ABO的中位线，∴EM＝，∵DF＝OF，∴OF＝OD，∴EM＝OF，∵∠MEG＝∠OFG，∠MGE＝∠OGF，∴△EMG≌△FOG（AAS），∴MG＝OG＝1，∴OM＝2OG＝2，∴OA＝2OM＝4，∴AC＝2OA＝8，∵AE＝BE，∴△BAC的面积＝2×△BEC的面积＝2×12＝24，∴AC•OB＝24，∴OB＝6，∴EM＝OB＝3，∵CM＝OM+OC＝2+4＝6，∴CE＝＝3．故答案为：3．8．（2023春•泗水县期末）如图，在菱形ABCD中，∠ADB＝60°，点E，F分别在AD，C D上，且∠EBF＝60°．（1）求证：△ABE≌△DBF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由．【答案】（1）见解答；（2）△BEF是等边三角形，理由见解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵∠ADB＝60°∴△ADB是等边三角形，△BDC是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝∠A＝∠BDC＝60°，∵∠ABD＝∠EBF＝60°，∴∠ABE＝∠DBF，在△ABE和△DBF中，，∴△ABE≌△DBF（ASA）．（2）解：结论：△BEF是等边三角形．理由：∵△ABE≌△DBF，∴BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△EBF是等边三角形．五．菱形的判定（共1小题）9．（2023春•桂林期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示PB．（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？【答案】（1）PB＝（18﹣t）cm；（2）当t＝s或12s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；（3）当Q点的速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ为菱形．【解答】解：（1）由于P从A点以1cm/s向B点运动，∴t s时，AP＝t×1＝t cm，∵AB＝18cm，∴BP＝AB﹣AP＝（18﹣t）cm；（2）过B点作BN⊥CD于N点，∵AB∥CD，∠ADC＝90°，∴四边形ACNB是矩形，∴BN＝AD＝12cm，AD＝DN＝18cm，∵CD＝23cm，∴CN＝CD﹣CN＝5cm，∴Rt△BNC中，根据勾股定理可得：BC＝＝＝13cm，则Q在BC上运动时间为13÷2＝6.5s，∵BC+CD＝23+13＝36cm，∴Q运动时间最长为36÷2＝18s，∴6.5s≤t≤18s时，Q在CD边上，此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种①四边形PQCB是平行四边形，如图所示：∵AB∥CD即PB∥CQ，∴只需PB＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，∵Q以2cm/s沿沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，∴运动时间为t s时，CQ＝2t﹣BC＝（2t﹣13）cm，∴18﹣t＝2t﹣13，解得：t＝s；②四边形ADQP是平行四边形，如图所示：同理∵AP∥DQ，∴只需AP＝DQ，四边形ADQP是平行四边形，由（1）知：AP＝t cm，点DQ＝CD+CB﹣2t＝（36﹣2t）cm，∴36﹣2t＝t，解得：t＝12s，综上所述：当t＝s或12s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；（3）设Q的速度为x cm/s，由（2）可知：Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形，∵PB∥CQ，∴只需满足PB＝BC＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，由（2）知：CQ＝（xt﹣13）cm，BC＝1cm，∴18﹣t＝13，xt﹣13＝13，解得：t＝5s，x＝5.2cm/s，∴当Q点的速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ为菱形．六．菱形的判定与性质（共1小题）10．（2023•郧西县模拟）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．七．矩形的性质（共3小题）11．（2023春•定州市期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH 的长度为（）A．B．C．D．2【答案】C【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝10，∴AE＝AB＝×6＝3，CF＝BC＝10＝5，∵AD∥BC，∴∠DHP＝∠FHC，在△PDH与△CFH中，，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝5，CH＝PH，∴AP＝AD﹣PD＝5，∴PE＝＝＝，∵点G是EC的中点，∴GH＝EP＝，故选：C．12．（2023秋•锦江区校级期中）如图，长方形ABCD中，AD＝2AB＝8，点E、F分别为线段AD、BC上动点，且AE＝CF，点G是线段BC上一点，且满足BG＝2，四边形AEF B关于直线EF对称后得到四边形A′EFB′，连接GB′，当AE＝3时，点B′与点D重合，在运动过程中，线段GB′长度的最大值是2+2．【答案】3；2+2．【解答】解：当B与点D合时，如图：由于对称：BF＝B′F＝DF FC＝AE，设AE＝x，则CF＝x，DF＝BF＝8﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2；∴x＝3，则AE＝3；如图：取EF中点O，∵AE＝CF，由题意知，无论EF如何变动，EF经过点O，连接B′O、OG、OB，在△B′OG中B′G＜OB′+OG，∵四边形AEFB关于EF对称得到四边形A′EFB′，∴OB＝OB′，故只有当B′、O、G三点共线时、GB′长度最大，此时GB'＝B′O+OG＝OB+OG，过点O作OH⊥BC，AD＝2AB＝8，CD＝AB＝4，∴在Rt△OBH中，OH＝CD＝2，BH＝BC＝4，∴OB＝＝2，∵在Rt△OGH中OH＝2，GH＝BH﹣BG＝2，∴OG＝＝2，∴GB'＝2+2，故答案为：3；2+2．13．（2023秋•丰城市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．【答案】（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．【解答】解：∵A（10，0），C（0，4），∴OC＝AB＝4，BC＝OA＝10，∵点D是OA的中点，∴OD＝5，①如图1所示，以OP为对角线，点P在点D的左侧时，PD＝OD＝5，过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝OC＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：，∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，∴点P的坐标为（2，4），此时，点Q的坐标为（﹣3，4）；②如图2所示，以OQ为对角线，点P在点D的左侧时，OP＝OD＝5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：，∴点P的坐标为（3，4），此时，点Q的坐标为（8，4）；③如图3所示，以OP为对角线，点P在点D的右侧时，PD＝OD＝5，过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：，∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，∴点P的坐标为（8，4），此时，点Q的坐标为（3，4）；综上所述，点Q的坐标为（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）；故答案为：（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．八．矩形的判定（共1小题）14．（2022春•泰山区校级期中）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当CE＝12，CF＝10时，求CO的长；（3）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF；（2）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF＝∠ACB+∠ACD＝×180°＝90°，∴Rt△CEF中，EF＝＝＝2，又∵OE＝OF，∴CO＝EF＝；（3）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明：∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，由（2）可得∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．九．正方形的性质（共27小题）15．（2022秋•汝州市期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．①②④D．①②③【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE与△DCF中，，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故②正确；∴∠EGD＝90°，延长CE交DA的延长线于H，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，∴△AEH≌△BEC（AAS），∴BC＝AH＝AD，∵AG是斜边的中线，∴AG＝DH＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠AGE＝∠CDF．故③正确；∵CF＝BC＝CD，∴∠CDF≠30°，∴∠ADG≠60°，∵AD＝AG，∴△ADG不是等边三角形，∴∠EAG≠30°，故④错误；故选：D．16．（2023秋•福田区期中）如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A 作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①EB⊥ED；②点B+S△APB＝；④S正方形ABCD＝2．其中正到直线DE的距离为；③S△APD确结论的序号是（）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④【答案】A【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝ADC＝90°，∵AE⊥AP，∴∠EAP＝90°，∴∠BAE+∠BAP＝∠BAP+∠DAP＝90°，∴∠BAE＝∠DAP，∵AE＝AP＝1，∴△ABE≌△ADP（SAS），∴∠AEB＝∠APD，BE＝DP，∵△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP＝AE＝，∴∠APD＝180°﹣∠APE＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝135°，∴∠BED＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，∴①正确；∴BE＝＝＝1＝AE，∴②不正确；∵△ABE≌△ADP，＝S△ADP，∴S△ABE∵∠BAP＝90°，AE＝AP＝1，PB＝，∴EP＝，∠AEP＝45°，∵∠AEB＝135°，∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△EPB＝AE×AP+EP×BE＝×1×1+×∴S△APD×1＝，∴③正确；如图，过点B作BO⊥AE，交AE的延长线于点O，则∠O＝90°，∵∠BEO＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°，∴△BOE是等腰直角三角形，∴OE＝OB＝BE＝，∴AO＝AE+OE＝1+，在Rt△ABO中，∵AB2＝AO2+OB2＝（1+）2+（）2＝2+，＝AB2＝2+；∴S正方形ABCD∴④正确；故选：A．17．（2023秋•呈贡区期中）如图，正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，且四边形B EFH也是正方形，欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：BH2＝CH×GH．设AB ＝a，CH＝b．若ab＝5，则图中阴影部分的周长是（）A．6B．8C．10D．20【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD，四边形BEFH为正方形，AB＝a，CH＝b，∴BC＝AB＝CD＝a，BE＝BH＝EF＝BC﹣CH＝a﹣b，AE＝AB+BE＝a+a﹣b＝2a﹣b，＝AB2＝a2，∴S正方形ABCDS长方形AEFG＝AE•EF＝（2a﹣b）（a﹣b）＝2a2﹣3ab+b2，∵正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，∴a2＝2a2﹣3ab+b2，整理得：a2+b2＝3ab，∴（a+b）2＝5ab，∵ab＝5，∴（a+b）2＝5×5，∴a+b＝5，∴阴影部分的周长为：2（CD+CH）＝2（a+b）＝10．故选：C．18．（2023秋•深圳月考）如图，在正方形ABCD中，点P为BD延长线上任一点，连接PA．过点P作PE⊥PA，交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F．下列结论：①PA＝PE；②BD＝3PF；③CE＝2PD；④若BP＝BE，则PF＝（+1）DF．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：如图1，在EF上取一点G，使FG＝FP，连接BG、PG，∵EF⊥BP，∴∠BFE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠FBC＝∠ABD＝45°，∴BF＝EF，在△BFG和△EFP中，，∴△BFG≌△EFP（SAS），∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF，∵∠ABD＝∠FPG＝45°，∴AB∥PG，∵AP⊥PE，∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°，∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF，∴AP∥BG，∴四边形ABGP是平行四边形，∴AP＝BG，∴AP＝PE；故①正确；连接CG，由（1）知：PG∥AB，PG＝AB，∵AB＝CD，AB∥CD，∴PG∥CD，PG＝CD，∴四边形DCGP是平行四边形，∴CG＝PD，CG∥PD，∵PD⊥EF，∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°，∵∠CEG＝45°，∴CE＝CG＝PD；故③错误；连接AC交BD于O，如图3：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOP＝90°＝∠PFE，∵∠APO＝90°﹣∠OPE＝∠PEF，AP＝PE，∴△AOP≌△PFE（AAS），∴OA＝PF，∵OA＝BD，∴PF＝BD，即BD＝2PF，故②错误；设PF＝m，DF＝n，则BD＝2m，∴BF＝BD+DF＝2m+n，BP＝BF+PF＝3m+n，∵∠DBC＝45°，∠BFE＝90°，∴BE＝BF＝2m+n，若BP＝BE，则3m+n＝2m+n，∴m＝n＝（+1）n，即PF＝（+1）DF，故④正确，故选：B．19．（2022秋•雁塔区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，B C的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（）A．B．1C．D．2【答案】C【解答】解：连接AG并延长交CD于M，连接FM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，∵G为DE的中点，∴GE＝GD，在△AGE和MGD中，，∴△AGE≌△MGD（AAS），∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，∴CM＝CD＝2，∵点H为AF的中点，∴GH＝FM，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝2，∴FM＝＝2，∴GH＝，故选：C．20．（2023•温州模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，连接EH，GH，连接EG交AB于点K，当∠EHG＝90°时，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：以A为原点，以AB边所在直线为x轴建立如图所示坐标系：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴a2+b2＝c2，过E作EQ⊥x轴于Q，过H作HP⊥x轴于P，∵四边形ACDE与四边形BCMH都是正方形，∴∠EAC＝∠CBH＝90°，AC＝AE＝b，BC＝BH＝a，∴∠EAQ+∠BAC＝90°，∠HBP+∠ABC＝90°，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠EAQ，∠BAC＝∠HBP，∴Rt△EAQ∽Rt△ABC∽Rt△BHP，∴，，即，，∴AQ＝，EQ＝，HP＝，BP＝，∴AP＝AB+BP＝c+＝，∴E（﹣，），H（，），∵四边形BABGF是正方形，∴AB＝BG＝FG，BG⊥x轴，∴G（c，﹣c），当∠EHG＝90°时，在Rt△EHG中，由勾股定理可得：EH2+GH2＝EG2，∴（+）2+（﹣）2+（﹣c）2+（+c）2＝（+c）2+（﹣﹣c）2，整理可得：（a﹣b）（2a2+b2）＝﹣ab（a+b），∴2a3+ab2﹣2a2b﹣b3＝﹣a2b﹣ab2，∴（a2+b2）（2a﹣b）＝0，∵a、b是三角形的边长，∴a＞0，b＞0，∴a2+b2≠0，∴2a﹣b＝0，∴b＝2a，∵a2+b2＝c2，∴c2＝5a2，∵EQ∥BC，∴，即，∴，故选：D．21．（2023春•新吴区期末）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的是（）A．②③④B．①②③C．①②④D．①③④【答案】B【解答】解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，故①正确；②∵矩形DEFG为正方形；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；③根据②得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∴∠ACG＝90°，∴AC⊥CG，故③正确；④当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故④错误，综上所述：①②③正确．故选：B．22．（2023春•西平县期中）如图，正方形ABCD边长为12，里面有2个小正方形，各边的顶点都在大正方形的边上的对角线或边上，它们的面积分别是S1，S2，则S1+S2＝（）A．68B．72C．64D．70【答案】A【解答】解：如图，由正方形的性质，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°，所以，四个角所在的三角形都是等腰直角三角形，∵正方形的边长为12，∴AC＝12，∴两个小正方形的边长分别为×12＝4，×12＝6，∴S1+S2＝（4）2+62＝32+36＝68．故选：A．23．（2023•光山县校级三模）如图，正方形OABC中，点A（4，0），点D为AB上一点，且BD＝1，连接OD，过点C作CE⊥OD交OA于点E，过点D作MN∥CE，交x轴于点M，交BC于点N，则点M的坐标为（）A．（5，0）B．（6，0）C．（，0）D．（，0）【答案】C【解答】解：∵OABC是正方形，A（4，0），∴OA＝OC＝AB＝4，∠AOC＝∠OAB＝90°，∵BD＝1，∴AD＝3，D（4，3），∵CE⊥OD，∴∠DOE＝90°﹣∠CEO＝∠OCE，在△COE和△OAD中，，∴△COE≌△OAD（ASA），∴OE＝AD＝3，∴E（3，0），设直线CE为y＝kx+b，把C（0，4），E（3，0）代入得：，解得，∴直线CE为y＝﹣x+4，由MN∥CE设直线MN为y＝﹣x+c，把D（4，3）代入得：﹣+c＝3，解得c＝，∴直线MN为y＝﹣x+，在y＝﹣x+中，令y＝0得﹣x+＝0，解得x＝，∴M（，0），故选：C．方法二：∵CE⊥OD，CE∥MN，∴OD⊥MN，∴∠ADM＝90°﹣∠ODA＝∠AOD，∵∠DAO＝90°＝∠MAD，∴△DAO∽△MAD，∴＝，∵点A（4，0），BD＝1，∴OA＝4＝AB，AD＝AB﹣BD＝3，∴＝，解答AM＝，∴OM＝OA+AM＝4+＝，∴M（，0），故选：C．24．（2023•鄞州区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若，则E F的长为（）A．2B．2+C．+1D．3【答案】A【解答】解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线，∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，∵∠AOE＝150°，∴∠BOE＝60°；∵OE⊥OF，∴∠EOF＝∠BOC＝90°，∴∠BOE＝∠COF＝60°，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴△OEF是等腰直角三角形；过点F作FG⊥OD，如图，∴∠OGF＝∠DGF＝90°，∵∠ODC＝45°，∴△DGF是等腰直角三角形，∴GF＝DG＝DF＝，∵∠AOE＝150°，∴∠BOE＝60°，∴∠DOF＝30°，∴OF＝2GF＝，∴EF＝OF＝2．故选：A．25．（2023•淮南二模）如图，在△BCP中，BP＝2，PC＝4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（）A．B．6C．D．【答案】D【解答】解：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得△BCE，连接PE，则△BPE是等腰直角三角形，AP＝CE，∴PE＝BP＝2，在△CPE中，CE≤PE+CP，∴CE的最大值为2+4，即AP的最大值为2+4，故选：D．26．（2023春•平桥区期末）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC边上的动点，连接OE并延长交AB的延长线于点P，过点O作OQ⊥OP交CD于点F，交BC延长线于点Q，连接PQ．若点E恰好是OP中点时，则PQ的长为（）A．2B．C．D．【答案】D【解答】解：作OH⊥AB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴△OBC和△OAB是等腰直角三角形，∴∠BOP+∠EOC＝90°，∵OQ⊥OP，∴∠QOC+∠EOC＝90°，∴∠BOP＝∠COQ，∵∠ABO＝∠OCB＝45°，∴∠OBP＝∠OCQ＝135°，∵OB＝OC，∴△OBP≌△OCQ（ASA），∴PO＝QO，∴△OPQ是等腰直角三角形，∵OH⊥AB，EB⊥AB，∴BE∥OH，∴PB：BH＝PE：OE，∵OE＝PE，∴PB＝BH，∵△OAB是等腰直角三角形，OH⊥AB，∴OH＝BH＝AB＝×2＝1，∴PB＝BH＝1，∴PH＝PB+BH＝2，∴OP＝＝＝，∴PQ＝PO＝．故选：D．27．（2023春•江阴市期末）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝4，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（）A．8B．8C．8D．12【答案】C【解答】解：过点D作DH∥MN，交AB于点H，过点E作EG∥MN，过点M作MG∥NE，两直线交于点G，连接AG，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠B＝∠BAD＝90°，∵AB＝12，BE＝4，∴AE＝＝＝4，∵DH∥MN，AB∥CD，∴四边形DHNM是平行四边形，∴DH＝MN，∵MN⊥AE，DH∥MN，EG∥MN，∴DH⊥AE，AE⊥EG，∴∠BAE+∠AHD＝90°＝∠AHD+∠ADH，∠AEG＝90°，∴∠BAE＝∠ADH，在△ABE和△DAH中，，∴△ABE≌△DAH（ASA），∴DH＝AE＝4，∴MN＝DH＝AE＝4，∵EG∥MN，MG∥NE，∴四边形NEGM是平行四边形，∴NE＝MG，MN＝EG＝AE＝4，∴AM+NE＝AM+MG，∴当点A，点M，点G三点共线时，AM+NE的最小值为AG，∴AG＝＝＝8．故选：C．28．（2023春•徐州期中）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、O、E在同一直线l上，且EF＝，AB＝4，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AD⊥CF；③CF＝；④四边形ABDO的面积与正方形ABCO的面积相等．其中正确的结论为（）A．①②③④B．①②C．①②③D．①③④【答案】C【解答】解：过D作DN⊥AE于N，延长BC交直线DN于M，连接CD，如图：∵四边形ABCO、四边形DEFO是正方形，∴∠AOC＝90°＝∠COE，∠DOE＝45°，∴∠COD＝45°，故①正确，∵∠AOC＝90°＝∠FOD，∴∠AOD＝135°＝∠COF，又OA＝OC，OD＝OF，∴△AOD≌△COF（SAS），∴∠ADO＝∠CFO，AD＝CF，∵∠DKS＝∠FKO，∴∠DSK＝∠FOK＝90°，∴AD⊥CF，故②正确；∵四边形DEFO是正方形，∴△DON是等腰直角三角形，∵EF＝＝DO，∴DN＝ON＝DO＝1，∵∠MNO＝∠NOC＝∠OCM＝90°，∴四边形NOCM是矩形，∴MN＝OC＝AB＝4，CM＝ON＝1∴DM＝MN﹣DM＝1，BM＝BC+CM＝5，在Rt△BDM中，BD＝，∴CF＝BD＝，故③正确；＝BC•DM＝×2×3＝1.5，S△CDO＝OC•ON＝×4×1＝2，∵S△BCDS△CDO，∴S△BCD≠≠S△BCT，∴S△DTO≠S正方形ABCO，故④错误，∴S四边形ABDO∴正确的有①②③，故选：C．29．（2022秋•郑州期末）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，EF，OC交于点G．下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③DF2+BE2＝OG•OC；④正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的4倍．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②③④C．①②④D．③④【答案】C【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；②由①全等可得OE＝OF，∴∠OEF＝∠OCF＝45°，∠OGE＝∠CGF，∴△OGE∽△FGC，故②正确；④由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，∴正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的4倍，故④正确；③∵△COE≌△DOF，∴CE＝DF，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∴BE＝CF，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，∴DF2+BE2＝EF2，∵∠OCE＝∠OEG＝45°，∠EOG＝∠COE，∴△EOG∽△COE，∴＝，∴OG•OC＝EO2≠EF2，∴DF2+BE2≠OG•OC，故③不正确；综上所述，正确的是①②④，故选：C．30．（2023秋•西安期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，N是A O的中点，点M在边BC上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠N PM时，PM+PN的值为5．【答案】5．【解答】解：设PM与AC相交于点Q，∵在正方形ABCD中，AB＝4，∴AC＝AB＝4，AC⊥BD，∠ABC＝90°，∴∠NOP＝∠QOP＝90°，∵O为AC中点，∴0A＝0C＝2，∵N为OA的中点，∴ON＝，∵对角线BD平分∠NPM，∴∠NPO＝∠QPO，∵PO＝PO，∴△NPO≌△QPO，∴OQ＝ON＝，PQ＝PN，∠PNO＝∠PQO，∴NQ＝2，CQ＝OC﹣CQ＝，∴∵AB＝4，BM＝3，∴CM＝1，∴，∴，∵∠ACB＝∠QCM＝45°，∴△CMQ～△CBA，∴∠CMQ＝∠CBA＝90°，∴∠PNO＝∠PQO＝∠CQM＝45°，∴MQ＝CM＝1，∠NPQ＝180°﹣∠PNO﹣∠PQO＝90°，∴PQ2+PN2＝NQ2，即2，∴PQ＝PN＝2，∴PM+PN＝PQ+MQ+PN＝2+1+2＝5．31．（2023秋•重庆月考）如图，正方形ABCD的边长为4，E为DC边上一点，DE＝3，连接AE，过D作AE的垂线交AE于点F，交BC于点G，则FG的长为．【答案】．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为4，∴AB＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，∴∠ADF+∠CDG＝90°，又∵DF⊥AE，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠CDG，在△ADE和△DCG中，，∴△ADE≌△DCG（ASA），∴DG＝AE，在Rt△ADE中，AD＝4，DE＝3，由勾股定理得：AE＝＝5，∴DG＝AE＝5，＝AE•DF＝AD•DE，由三角形的面积得：S△ADE∴AE•DF＝AD•DE，∴5•DF＝4×3，∴DF＝，∴FG＝DG﹣DF＝5﹣＝，故答案为：．32．（2023•增城区一模）如图，点E在正方形ABCD外，连结AE、BE、DE，过点A作AE 的垂线交DE于点F．若AE＝AF＝4，BF＝10，则下列结论：①△AFD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为3；④S△ABF+S△ADF＝40．其中正确的结论是①②③④．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②③④．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AF⊥AE，∴∠FAE＝∠BAE+∠BAF＝90°，∵∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，又∵AE＝AF，∴△AFD≌△AEB（SAS），故①正确；∴∠AFD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEF+∠BEF，∠AFD＝∠AEF+∠FAE，∴∠BEF＝∠FAE＝90°，即EB⊥ED，故②正确；过点B作BP⊥AE，交AE的延长线于P，则BF的长即点B到直线AE的距离，∵AE＝AF＝4，∠FAE＝90°，∴FE＝8，∠AEF＝∠AFE＝45°，在Rt△BEF中，FB＝10，FE＝8，∴BE＝6，∵EB⊥ED，BP⊥AP，∴∠EPB＝∠PBE＝45°，∴BP＝EP＝3，故③正确；连接BD，S△AFD+S△AFB＝S△AEB+S△AFB＝S△AEF+S△BEF＝×4×4+×6×8＝40，故④正确；综上，正确结论的序号是①②③④，故答案为：①②③④．33．（2023秋•余江区期中）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：ED＝EF；（2）若AB＝2，，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数．【答案】（1）见解答；（2）2；（3）∠EFC＝120°或30°．【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，（2）解：如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，∵EC＝，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．（3）解：①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示：∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，∴∠EFC＝∠CDE＝30°，综上所述，∠EFC＝120°或30°．34．（2023•歙县校级模拟）如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：△AMB≌△ENB；（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：△BMN是等边三角形．理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；。

八年级数学下册第二十二章四边形重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变2、下列说法不正确．．．的是（）A．三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角B．四边形的内角和与外角和相等C．等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条D．全等三角形的周长相等，面积也相等3、在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC＝90°B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB∥CD4、下列命题不正确的是（ ）A ．三边对应相等的两三角形全等B ．若a b =，则22a b =C ．有一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形D ．ABC 的三边为a 、b 、c ，若222a c b -=，则ABC 是直角三角形．5、如图，正方形ABCD 的边长为8，对角线AC 、BD 相交于点G ．K 为AC 上的一点，且CK =BK 并延长交CD 于点H ．过点A 作AE BH ⊥于点E ，交BD 于点F ，则AF 的长为（ ）A ．B ．4C ．D ．6、下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，平行四边形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝3，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则EC 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48、将图1所示的长方形纸片对折后得到图2，图2再对折后得到图3，沿图3中的虚线剪下并展开，所得的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形9、一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（）A．5 B．4 C．7 D．610、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC 上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在平面直角坐标系xOy中，有一边长为1的正方形OABC，点B在x轴的正半轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，…，照此规律作下去，则B2的坐标是 ___；B2020的坐标是 ___．2、已知菱形ABCD 两条对角线的长分别为6和8，若另一个菱形EFGH 的周长和面积分别是菱形ABCD 周长和面积的2倍，则菱形EFGH 两条对角线的长分别是 _____．3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点D 在x 轴上，边BC 在y 轴上，若点A 的坐标为（12，13），则点C 的坐标是___．4、如图，在矩形ABCD 中，6AB =，5BC =，E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点，且4EF =，M 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则CP PM +的最小值是______．5、将矩形纸片ABCD （AB ＜BC ）沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图1）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为EG （如图2）：再展开纸片（如图3），则图3中∠FEG 的大小是__．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且45∠=︒，求证：EAF△绕点A顺时针旋转90°至ADG，使AB与AD重合时能够证=+．小明发现，当把ABEEF DF BE明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且45EAF∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF，BE，DF之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且45∠=︒，则EF，BE，DF之间的EAF数量关系是______（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=AF的长．2、如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．(1)尺规作图：作ADF ∠，使ADF BAE =∠∠，点F 是ADF ∠的边与线段AB 的交点．（不写作法，保留作图痕迹）；(2)探究：AE ，DF 的位置关系和数量关系，并说明理由．3、如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，10OA =，8OC =，在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处．(1)直接写出B 点的坐标____________________；(2)求D 、E 两点的坐标．4、如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、DC 上的点，且AE CF =，90DEB ∠=︒，求证：四边形DEBF 是矩形5、（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积．①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为；②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为；（写成关于a、b的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式．（2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n条射线，请你数一数共有多少个锐角呢?①方法1：一路往下数，不回头数．以OA1为边的锐角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）个；以OA2为边的锐角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）个；以OA3为边的锐角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）个；以OAn－1为边的锐角有∠An－1OAn，共有1个；则图中锐角的总个数是；②方法2：每一条边都能和除它以外的（n－1）条边形成锐角，共有n条边，可形成n（n－1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是；用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式．（3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题．①计算：19782＋20222；②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有条对角线，n边形共有条对角线．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】连接AE ，根据11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形，推出ABCD DEGF S S =矩形，由此得到答案． 【详解】解：连接AE ，∵11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形，∴ABCD DEGF S S=矩形，故选：D ． ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正确连接辅助线AE 是解题的关键．2、C【解析】【分析】根据三角形外角的性质，四边形内角和定理和外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质判断即可．【详解】∵三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角，正确，∴A不符合题意；∵四边形的内角和与外角和都是360°，∴四边形的内角和与外角和相等，正确，∴B不符合题意；∵等边三角形是轴对称图形，对称轴有三条，∴等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，错误，∴C符合题意；∵全等三角形的周长相等，面积也相等，正确，∴D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，四边形的内角和，外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质，准确相关知识是解题的关键．3、B【解析】略4、C【解析】【分析】根据三角形全等的判定定理（SSS定理）、乘方运算法则、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理逐项判断即可得．【详解】解：A 、三边对应相等的两三角形全等，此命题正确，不符题意；B 、若a b =，则22a b =，此命题正确，不符题意；C 、有一组对边平行、另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以此项命题不正确，符合题意；D 、ABC 的三边为a 、b 、c ，若222a c b -=，即222a b c =+，则ABC 是直角三角形，此命题正确，不符题意；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理、乘方运算法则、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，熟练掌握各定理是解题关键．5、C【解析】【分析】根据正方形的性质以及已知条件求得OK 的长，进而证明AOF ≌BOK ，即可求得OF OK =，勾股定理即可求得AF 的长【详解】解：如图，设,AC BD 的交点为O ，四边形ABCD 是正方形AC BD ∴⊥，AC BD =,11,22AO AC BO BD ==∴AC ==12OC AC == 90AOE BOK ∴∠=∠=︒，2390∠+∠=︒,AO BO =CK =OK OC CK ∴=-=AE BH ⊥∴1290∠+∠=︒13∠∠∴=在AOF 与BOK 中13AO BOAOF BOK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AOF ≌BOKOF OK ∴==在Rt AOF中，AF =故选C【点睛】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．6、B【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n -2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．解：设所求多边形的边数为n ，根据题意得：（n -2）•180°=360°，解得n =4．故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．7、B【解析】【分析】根据平行四边形及平行线的性质可得DAE BEA ∠=∠，再由角平分线及等量代换得出BAE BEA ∠=∠，利用等角对等边可得3BE AB ==，结合图形即可得出线段长度．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，∴DAE BEA ∠=∠，∵AE 平分BAD ∠，∴BAE DAE ∠=∠，∴BAE BEA ∠=∠，∴3BE AB ==，∵5BC AD ==，∴532EC BC BE =-=-=，故选：B ．题目主要考查平行四边形及平行线的性质，利用角平分线计算，等角对等边等，理解题意，熟练运用平行四边形的性质是解题关键．8、B【解析】【分析】根据操作过程可还原展开后的纸片形状，并判断其属于什么图形．【详解】展得到的图形如上图，由操作过程可知：AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的判定，和菱形的判定，拥有良好的空间想象能力是解决本题的关键．9、D【解析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．【详解】解：根据题意，得：（n-2）×180=360×2，解得n=6．故选：D．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．10、C【解析】【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．【详解】解：连接AR．因为E、F F分别是AP、RP的中点，则EF为ΔAPR的中位线，所以12EF AR，为定值．所以线段EF的长不改变．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR 不变，则对应的中位线的长度就不变．二、填空题1、 (0, ()2021,0-【解析】【分析】根据已知条件和勾股定理求出OB 2的长度即可求出B 2的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，正方形都逆时针旋转B 到B 2020变化的坐标．【详解】解：∵四边形OABC 是边长为1正方形，∴OB =∴12OB ==∴B 1的坐标是，∴2OB ==∴B 2的坐标是(0根据题意和图形可看出每经过一次变化，正方形逆时针旋转∴B 3的坐标是∴B 4的坐标是∴旋转8次则OB 旋转一周，∵从B 到B 2020经过了2020次变化，2020÷8=252…4，∴从B 到B 2020与B 4都在x 轴负半轴上，∴点B 2020的坐标是()2021,0-【点睛】本题主要考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是利用正方形的变化过程寻找点的变化规律．2、【解析】【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得OA =4，OB =3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：如图，菱形ABCD 中，AC =8，BD =6，∴OA =12AC =4，OB =12BD =3，AC ⊥BD ，∴AB ，∴菱形ABCD 的周长是：5×4=20，面积是：12×6×8=24．∵另一个菱形EFGH 的周长和面积分别是菱形ABCD 周长和面积的2倍，∴菱形EFGH 的周长和面积分别是40，48，∴菱形EFGH 的边长是10，设菱形EFGH的对角线为2a，2b，∴a2+b2=100，12×2a×2b=48，∴a b∴菱形EFGH两条对角线的长分别是故答案为：2【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理．关键是熟练掌握菱形的面积等于对角线积的一半的知识点．3、（0，-5）【解析】【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【详解】解：∵A（12，13），∴OD=12，AD=13，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AD=13，在Rt△ODC中，5==OC，∴C（0，-5）．故答案为：（0，-5）【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．4、11【解析】【分析】作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB，则当点P、M在线段BG上时，GP+PM+BM最小，从而CP+PM最小，在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的长，从而求得最小值．【详解】如图，作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB由对称的性质得：PC=PG，GD=CD∵GP+PM+BM≥BG∴CP+PM=GP+PM≥BG－BM则当点P、M在线段BG上时，CP+PM最小，且最小值为线段BG－BM∵四边形ABCD是矩形∴CD=AB=6，∠BCD=∠ABC=90°∴CG=2CD=12∵M为线段EF的中点，且EF=4∴1=22BM EF=在Rt△BCG中，由勾股定理得：13BG∴GM=BG－BM=13－2=11即CP+PM的最小值为11．【点睛】本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形性质，折叠的性质，直角三角形斜边上中线的性质，两点间线段最短，勾股定理等知识，有一定的综合性，关键是作点C关于AD的对称点及连接BM，GP+PM+BM的最小值转化为线段CP+PM的最小值．5、22.5°【解析】【分析】根据折叠的性质可知，∠A=∠EFB=90°，AB=BF，以及纸片ABCD为矩形可得，∠AEF为直角，进而可以判断四边形ABFE为正方形，进而通过∠AEB，∠BEG的角度计算出∠FEG的大小．【详解】解：由折叠可知△AEB≌△FEB，∴∠A=∠EFB=90°，AB=BF，∵纸片ABCD为矩形，∴AE∥BF，∴∠AEF=180°－∠BFE=90°，∵AB=BF，∠A=∠AEF=∠EFB=90°，∴四边形ABFE为正方形，∴∠AEB=45°，∴∠BED=180°－45°=135°，∴∠BEG =135°÷2=67.5°，∴∠FEG =67.5°－45°=22.5°．【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，以及平行的相关性质，能够将正方形与矩形的性质相结合是解决本题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）①不成立，结论：EF DF BE =-；②BE EF DF =+，见解析；（3）【解析】【分析】（1）证明EAF GAF ∆≅∆，可得出EF FG =，则结论得证；（2）①将ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADM ∆根据SAS 可证明EAF MAF ∆≅∆，可得EF FM =，则结论得证；②将ADF ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ABN ∆，证明AFE ANE ∆≅∆，可得出EF EN =，则结论得证；（3）求出2DG =，设DF x =，则3EF FG x ==+，6CF x =-，在Rt EFC ∆中，得出关于x 的方程，解出x 则可得解．【详解】（1）证明：把ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADG ∆，如图1，BAE DAG ∴∠=∠，AE AG =，90B ADG ∠=∠=︒，180ADF ADG ∴∠+∠=︒，F ∴，D ，G 三点共线，45EAF ∠=︒，45BAE FAD ∴∠+∠=︒，45DAG FAD ∴∠+∠=︒，EAF FAG ∴∠=∠，AF AF =，()EAF GAF SAS ∴∆≅∆，EF FG DF DG ∴==+，EF DF BE ∴=+；（2）①不成立，结论：EF DF BE =-；证明：如图2，将ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADM ∆，EAB MAD ∴∠=∠，AE AM =，90EAM =︒∠，BE DM =，45FAM EAF ∴∠=︒=∠，AF AF =，()EAF MAF SAS ∴∆≅∆，∴==-=-；EF FM DF DM DF BE∆，②如图3，将ADF∆绕点A逆时针旋转90︒至ABNAN AF∴=，90∠=︒，NAF45∠=︒，EAF∴∠=︒，45NAE∴∠=∠，NAE FAEAE AE=，∴∆≅∆，AFE ANE SAS()∴=，EF EN∴=+=+．BE BN NE DF EF即BE EF DF=+．故答案为：BE EF DF=+．（3）解：由（1）可知AE AG==正方形ABCD 的边长为6，6DC BC AD ∴===，∴3DG ．3BE DG ∴==，633CE BC BE ∴=-=-=，设DF x =，则3EF FG x ==+，6CF x =-，在Rt EFC 中，222CF CE EF +=，222(6)3(3)x x ∴-+=+，解得：2x =．2DF ∴=，AF ∴=【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．2、 (1)见解析；(2)AE DF =，AE DF ⊥，见解析【解析】【分析】（1）根据题意作出ADF BAE =∠∠即可；（2）证明ABE DAF △≌△即可得结论．(1)如图，ADF ∠即为所求．(2)AE DF =，AE DF ⊥．∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC DAB ∠=∠=︒，AD AB =．在ABE △和DAF △中，ADF BAE ABC DAB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE DAF △≌△（AAS ），∴AE DF =．∵90ADF DFA ∠+∠=︒，ADF BAE =∠∠．∴90BAE DFA ∠+∠=︒，即AE DF ⊥．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，作一个角等于已知角，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．3、 (1)(10，8)(2)D (0，5)，E (4，8)【解析】【分析】（1）根据10OA =，8OC =，可得B 点的坐标；（2）根据折叠的性质，可得AE =AO ，OD =ED ，根据勾股定理，可得EB 的长，根据线段的和差，可得CE 的长，可得E 点坐标；再根据勾股定理，可得OD 的长，可得D 点坐标；(1)解：∵10OA =，8OC =，∴B 点的坐标(10，8)，故答案为：(10，8)；(2)解：依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，在Rt △ABE 中，AE =AO =10，AB =OC =8，由勾股定理，得BE ，CE =BC -BE =10-6=4，E (4，8)．在Rt △DCE 中，由勾股定理，得DC 2+CE 2=DE 2，又∵DE =OD ，CD =8-OD ，(8-OD )2+42=OD 2，解得OD =5，D (0，5)．所以D (0，5)，E (4，8)；本题主要考查了、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识点，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．4、证明见解析【解析】【分析】平行四边形ABCD ，可知AB CD AB CD =，；由于AE CF = ，可得BE DF =，BE DF ，知四边形DEBF 为平行四边形，由90DEB ∠=︒可知四边形DEBF 是矩形．【详解】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形∴AB CD AB CD =，∵AE CF BE AB AE DF DC CF ==-=-，，∴BE DF =∵BE DF BE DF =，∴四边形DEBF 为平行四边形又∵90DEB ∠=︒∴四边形DEBF 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等知识．解题的关键在于灵活掌握矩形的判定．5、（1）①()2a b +；②222a b ab ++；()2a b +=222a b ab ++；（2）①（n －1）＋（n －2）＋（n －3）＋……＋1；②()112n n -；（n －1）＋（n －2）＋（n －3）＋……＋1=()112n n -；（3）①8000968；②119，12n (n -3)【解析】（1）①根据边长为(a +b )的正方形面积公式求解即可；②利用矩形和正方形的面积公式求解即可；（2）①根据题中的数据求和即可；②根据题意求解即可；（3）①利用（1）的规律求解即可；②根据n 边形从一个顶点出发可引出（n -3）条对角线．从n 个顶点出发引出（n -3）条，而每条重复一次，所以n 边形对角线的总条数为12n (n -3)（n ≥3，且n 为整数）可得答案．【详解】解：（1）①大正方形的面积为()2a b +；②由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形的面积为222a b ab ++； 可以得到等式：()2a b +=222a b ab ++； 故答案为：①()2a b +；②222a b ab ++；()2a b +=222a b ab ++；（2）①图中锐角的总个数是：（n －1）＋（n －2）＋（n －3）＋……＋1； ②锐角的总个数是12n （n －1）；可以得到等式为（n －1）＋（n －2）＋（n －3）＋……＋1=12n （n －1）；故答案为：①（n －1）＋（n －2）＋（n －3）＋……＋1；②12n （n －1）；（n －1）＋（n －2）＋（n－3）＋……＋1=12n （n －1）；（3）①19782＋20222＝[2000＋（－22）]2＋（2000＋22）2＝20002＋（－22）2＋2×2000×（－22）＋20002＋222＋2×2000×22＝2×（20002＋222）＝2×[4000000＋（20＋2）2]＝2×[4000000＋（202＋22＋2×20×2）]＝8000968；②一个四边形共有2条对角线，即12×4×(4-3)=2；一个五边形共有5条对角线，即12×5×(5-3)=5；一个六边形共有9条对角线，即12×6×(6-3)=9；……，一个十七边形共有12×17×(17-3)=119条对角线；一个n边形共有12n(n-3)（n≥3，且n为整数）条对角线．故答案为：119，12n(n-3)．【点睛】本题考查了图形的变化规律，完全平方公式，多边形的对角线，对于这种图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．。

第十九讲特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱中心、轴对称图形.形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1. 在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形EGFH是平行四边形；证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，∴GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，∴四边形EGFH是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大． 【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形， 小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，则∠DAC=∠ACB ， 又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ， ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB ， ∴AE=EC=CF=FA ， ∴四边形AECF 是菱形． （2）方案一：S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×12×6×52=30（cm ）2， 方案二：设BE=x ，则CE=12-x ， ∴AE=22BE AB +=225x +由AECF 是菱形，则AE 2=CE 2∴x 2+25=（12-x ）2， ∴x=11924， S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×12×5×11924≈35.21（cm ）2， 比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较． 举一反三：【变式】如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为 （ ）.A.B．C．4 D．5【答案】A.类型二、梯形的应用3.（•黄州区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA至D，使AD=AB，点E、F分别是边BC、AC的中点．（1）判断四边形DBEF的形状并证明；（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG=DG．【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形，得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH=BH=AB，EF∥AB，显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四边形DBEF为梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∴CA是DH的中垂线，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四边形DBEF为等腰梯形；（2）证明：∵四边形DBEF为等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=D G．【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识，得出BE=FD 是解题关键．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）.C. 2.5D.2.3A.22B. 231类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4. （•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．5．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．【答案与解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=12BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵CE CFACB ACDCM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵2GBFG CFDBF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6 . 如图，己知ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线BC上)．是点B关于直线AC的对称点，是点C关于直线AB的对称点．连结、、、．(1)猜想线段与'的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述；(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线l(BC的中点及到BC的距离为的点除外)上运动时，判断以点B、C、、为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，认识图形之间的内在联系．【答案与解析】（1）猜想：BC′=CB′∵B′是点B关于直线AC的对称点∴AC垂直平分B B′∴BC= CB′同理BC= BC′∴B C′=C B′（2）要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,∴B B′、C C′应该同时过A点∴∠BAC=90°∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形；当A到BC时,∵l是BC的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当BC的中点及到BC BC的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行C B′，B C′=C B′,四边形BC B′ C′为等腰梯形．【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．举一反三：【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=3，∴S菱形AECD=EC•AG=2×3=23.第十九讲特殊的四边形一、选择题1.（•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15° B．18° C．36° D．54°二、填空题7.（春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC 于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15. （•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，32346．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°, ∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．。

中点问题常用思路在解答几何问题时会遇到不少中点问题，解答这类问题通常考虑运用以下四类方法解答：(1)根据等腰三角形“三线合一”解答；(2)根据线段垂直平分线的性质解答；(3)根据直角三角形斜边上中线的性质解答；(4)构造三角形中位线解答．►类型一与等腰三角形有关的中点问题1．如图3－ZT－1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝12，CD＝AC＝16，M，N分别是对角线BD，AC的中点．(1)求证：MN⊥AC；(2)求MN的长．图3－ZT－1►类型二与垂直平分线有关的中点问题2．如图3－ZT－2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC 的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC.图3－ZT－2►类型三与直角三角形斜边上的中线有关的中点问题3．如图3－ZT－3①，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．(1)求证：MN⊥DE.(2)连接DM，ME，求证：∠DME＝180°－2∠A.(3)若将锐角三角形ABC变为钝角三角形ABC，如图②，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，直接写出正确的结论．图3－ZT－3►类型四与三角形中位线有关的中点问题4．如图3－ZT－4，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，M，N分别是对角线BD，AC的中点，试探索MN与AD，BC的位置关系与数量关系，并说明理由．图3－ZT－45．2018·白银如图3－ZT－5，已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．(1)求证：△BGF≌△FHC；(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．图3－ZT－56．已知M 为△ABC 的边BC 的中点，AB ＝12，AC ＝18，BD ⊥AD 于点D ，连接DM. (1)如图3－ZT －6①，若AD 为∠BAC 的平分线，求MD 的长； (2)如图3－ZT －6②，若AD 为∠BAC 的外角平分线，求MD 的长．图3－ZT －67．如图3－ZT －7①，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F ，G ，连接FG ，延长AF ，AG ，与直线BC 分别相交于点M ，N.(1)试说明：FG ＝12(AB ＋BC ＋AC)；(2)如图②，若BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，则线段FG 与△ABC 的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由；(3)如图③，若BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，则线段FG 与△ABC 三边的数量关系是______________．图3－ZT －7中点问题常用思路参考答案1．解：(1)证明：如图，连接AM ，CM ，∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，M 是BD 的中点， ∴AM ＝CM ＝BM ＝DM ＝12BD.又∵N 是AC 的中点，∴MN ⊥AC.(2)∵∠BCD ＝90°，BC ＝12，CD ＝16， ∴BD ＝BC 2＋CD 2＝20，∴AM ＝12BD ＝12×20＝10.∵AC ＝16，N 是AC 的中点，∴AN ＝12×16＝8，∴MN ＝AM 2－AN 2＝6.2．证明：如图，连接AM ，AN.∵AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ， ∴BM ＝AM ，NC ＝AN ，∴∠MAB ＝∠B ，∠CAN ＝∠C. ∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ＝30°，∴∠MAB ＋∠CAN ＝60°，∠AMN ＝∠ANM ＝60°， ∴△AMN 是等边三角形， ∴AM ＝AN ＝MN ， ∴BM ＝MN ＝NC.3．解：(1)证明：如图①，连接DM ，ME.∵CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，M 是BC 的中点，∴DM ＝12BC ，ME ＝12BC ，∴DM ＝ME.又∵N 为DE 的中点，∴MN ⊥DE.(2)证明：由(1)知DM ＝ME ＝BM ＝MC ， ∴∠BMD ＋∠CME＝(180°－2∠ABC)＋(180°－2∠ACB) ＝360°－2(∠ABC ＋∠ACB) ＝360°－2(180°－∠A) ＝2∠A ，∴∠DME ＝180°－2∠A.(3)(1)中的结论成立；(2)中的结论不成立．理由如下：如图②，连接DM ，ME.在△ABC 中，∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠BAC. ∵DM ＝ME ＝BM ＝MC ，∴∠BME ＋∠CMD ＝2∠ACB ＋2∠ABC ＝2(180°－∠BAC) ＝360°－2∠BAC ，∴∠DME ＝180°－(360°－2∠BAC) ＝2∠BAC －180°.4．解：MN ∥AD ∥BC ，MN ＝12(BC －AD)．理由如下：连接AM 并延长交BC 于点H ，如图所示．∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠HBD. 在△AMD 和△HMB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ADM ＝∠HBM ，DM ＝BM ，∠AMD ＝∠HMB ，∴△AMD ≌△HMB ，∴AM ＝MH ，AD ＝BH. ∵AM ＝MH ，AN ＝NC ， ∴MN ∥HC ，MN ＝12HC ，∴MN ∥BC ∥AD ，MN ＝12(BC －AD)．5．解：(1)证明：∵F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点，∴FH ∥BE ，FH ＝12BE ＝BG ，∴∠CFH ＝∠CBG.又∵BF ＝CF ，∴△BGF ≌△FHC.(2)连接EF ，GH.当四边形EGFH 是正方形时，可得EF ⊥GH 且EF ＝GH. ∵在△BEC 中，G ，H 分别是BE ，CE 的中点， ∴GH ＝12BC ＝12AD ＝12a ，且GH ∥BC ，∴EF ⊥BC.∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ， ∴AB ＝EF ＝GH ＝12a ，∴矩形ABCD 的面积＝AB·AD＝12a ·a ＝12a 2.6．解：(1)如图①，延长BD 交AC 于点E ，∵AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD ， ∴BD ＝DE ，AE ＝AB ＝12， ∴CE ＝AC －AE ＝18－12＝6. 又∵M 为△ABC 的边BC 的中点， ∴MD 是△BCE 的中位线， ∴MD ＝12CE ＝12×6＝3.(2)如图②，延长BD 交CA 的延长线于点E ， ∵AD 为∠BAE 的平分线，BD ⊥AD ， ∴BD ＝DE ，AE ＝AB ＝12， ∴CE ＝AC ＋AE ＝18＋12＝30. 又∵M 为△ABC 的边BC 的中点， ∴MD 是△BCE 的中位线， ∴MD ＝12CE ＝12×30＝15.7．解：(1)∵BD ⊥AF ， ∴∠AFB ＝∠MFB ＝90°. 在△ABF 和△MBF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠MFB ，BF ＝BF ，∠ABF ＝∠MBF ， ∴△ABF ≌△MBF ， ∴MB ＝AB ，AF ＝MF.同理：CN ＝AC ，AG ＝NG ， ∴FG 是△AMN 的中位线，∴FG ＝12MN＝12(MB ＋BC ＋CN) ＝12(AB ＋BC ＋AC)．(2)FG ＝12(AB ＋AC －BC)．理由：如图①，延长AF ，AG ，与直线BC 分别相交于点M ，N ， ∵AF ⊥BD ，∴∠AFB ＝∠MFB ＝90°. 在△ABF 和△MBF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠MFB ，BF ＝BF ，∠ABF ＝∠MBF ， ∴△ABF ≌△MBF ， ∴MB ＝AB ，AF ＝MF.同理：CN ＝AC ，AG ＝NG ， ∴FG ＝12MN＝12(MB ＋CN －BC) ＝12(AB ＋AC －BC)．(3)FG ＝12(AC ＋BC －AB)．理由：如图②，延长AF ，AG ，与直线BC 分别相交于点M ，N. ∵AF ⊥BD ，∴∠AFB ＝∠MFB ＝90°. 在△ABF 和△MBF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠MFB ，BF ＝BF ，∠ABF ＝∠MBF ， ∴△ABF ≌△MBF ， ∴MB ＝AB ，AF ＝MF.同理：CN ＝AC ，AG ＝NG ， ∴FG ＝12MN＝12(CN＋BC－MB)＝12(AC＋BC－AB)．。

第十七章平行四边形复习教学设计五大连池市第一中学孙洪臣教材分析：本课是《平行四边形》活动课，在平行四边形判定和性质学习的基础上利用类比的方法提出了四边形各边中点所成图形的形状、周长、面积问题，让学生经历猜想、证明的过程，并形成一般性结论，以发展学生的创新精神和实践能力。

教学中应让学生充分思考和体验，使学生思维能力、情感态度、价值观等协同发展。

教学方法：尝试发现、自主探究，小组合作教具媒体：三角尺、课程ppt一、教学目标1. 知识技能：掌握中点四边形的性质，能快速判断形状，会计算周长和面积。

2. 数学思考: 经历观察、实验、猜想、证明等活动过程，引导学生发展合情推理能力、初步的演绎推理能力和语言表达能力。

体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等思想方法。

3. 问题解决：通过问题解决，使学生初步了解把“未知”化为“已知”，把复杂问题化为简单问题的转化思想，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。

4. 情感态度：在合作中体验探索，收获快乐，在学习活动中获得成功的体验，在推理中感悟数学内在美，巩固逻辑思维。

发展学生的类比转化等思维，培养学生的探索精神和合作意识。

二、学情分析：初二学生已具备了一定的逻辑思维能力，但是思维依赖于具体形象直观，综合运用知识的能力较弱，特别是及时归纳总结，新旧知识联系起来的能力较弱，为此在教学中采取小组合作、探索发现等教学方法，引导，总结，训练。

对于复杂几何语言的应用，以及逻辑程度较高的几何问题的论证，教学中应予以简单明白，层层深入的分析。

三、教学重点难点重点是掌握中点四边形的性质，能快速判断形状，会计算周长和面积。

难点是中点四边形性质在具体问题中的应用与拓展。

四、教学过程：【活动一】、创设情景上几节课我们研究了平行四边形、矩形、菱形、正方形等几类特殊的四边形，这节课我们来探讨一类更为特殊的四边形-----中点四边形。

【学生活动】学生思考，带着问题进入学习。

《四边形》利用特殊四边形的性质巧解折叠问题名师点金：四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等．平行四边形的折叠问题1．如图，将平行四边形纸片ABCD沿AC折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点．若AB＝3，BC＝6，求∠B的度数．(第1题)矩形的折叠问题2．(中考·衢州)如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．(第2题)菱形的折叠问题3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的F点，连结CF，那么∠BFC的度数是( ) A．60° B．70° C．75° D．80°(第3题)(第4题)正方形的折叠问题4．如图，正方形纸片ABCD的边长AB＝12，E是DC上一点，CE＝5，折叠正方形纸片使点B和点E重合，折痕为FG，则FG的长为________．5．(中考·德州)如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连结BP，BH.(1)求证：∠APB＝∠BPH.【导学号：71412046】(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．(第5题)专训2 利用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点，再运用从特殊．．．到一般的思想．．．．．．，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．平行四边形中的动点问题1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F两点不重合)，且保持BE＝DF，连结AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．(第1题)矩形中的动点问题2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.连结AF，CE.(1)试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第2题)菱形中的动点问题3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD 上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．(第3题)正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．(第4题)专训3 全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：三个图形，三个技巧．三个图形图形1矩形1．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连结AF，CE.(1)求证：△BEC≌△DFA；(2)连结AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由．(第1题)图形2菱形2．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，得到△EDC，连结BD，交AC于F.(1)猜想AC与BD的位置关系，并给予证明；(2)求线段BD的长．(第2题)图形3正方形3．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.(1)求证：AF－BF＝EF；(2)将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形ABCD的边长为3，求点F′与旋转前图形中的点E之间的距离．(第3题)4．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.(1)求证：AF＝BE.(2)如图②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．(第4题)三个技巧技巧1解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)5．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分的周长．(第5题)技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)6．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O 绕顶点O 转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．(第6题)技巧3 解与四边形有关的动态问题的技巧(固定位置法)7．如图，在Rt △ABC 中，∠B＝90°，AC ＝60 cm ，点D 从点C 出发沿CA 方向以4 cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2 cm /s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t s (0≤t≤15)．过点D 作DF⊥BC 于点F ，且DF ＝12DC ，连结EF.若四边形AEFD 为菱形，则t 的值为( )(第7题)A．5B．10C．15D．208．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．(第8题)答案专训1(第1题)1．解：设AE与BC相交于点F，如图．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠1＝∠3.∵平行四边形纸片ABCD沿AC折叠，点D落在点E处，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴FC＝FA.∵F为BC边的中点，BC＝6，∴AF＝CF＝BF＝12×6＝3.又∵AB＝3，∴△ABF是等边三角形．∴∠B＝60°.(第2题)2．(1)证明：由折叠知A′E＝AE＝EG，BC＝CH.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC.易得四边形AEA′D是正方形，∴A′E＝AD.∴EG＝CH.(2)解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝2，∴DG＝FG＝AF＝ 2.由勾股定理得DF＝2.∴A D＝2＋ 2.如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.∵∠1＋∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠3.由(1)知，AE＝BC.又∵∠A＝∠B＝90°，∴△EFA≌△CEB.∴AF＝BE.∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋2＋2＝2＋2 2.3．C点拨：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＋∠ABC＝180°，BD平分∠ABC.∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FB C＝30°.根据折叠可得AB＝BF，∴BF＝BC.∴∠BFC＝∠BCF＝(180°－30°)÷2＝75°.故选C.4．13 点拨：如图，过点F作FM⊥BC，垂足为M，连结BE，FE，设BE交FG于点N，由折叠的性质知FG⊥BE，∴∠C＝∠BNG＝90°，∴∠1＝∠BEC.易知FM＝BC，∠FMG＝∠C，∴△FMG≌△BCE，∴MG＝CE＝5，由勾股定理得FG＝FM2＋MG2＝13.(第4题)5．(1)证明：由折叠知PE＝BE，∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EBP＝∠EPB.∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，即∠BPH＝∠PBC.又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，∴∠APB＝∠BPH.(2)解：△PDH的周长不发生变化．证明如下：过B作BQ⊥PH，垂足为Q.如图．由(1)知∠APB＝∠QPB，又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP≌△QBP.∴AP＝QP，AB＝BQ.又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH＝QH.∴△PDH的周长为：PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋CH＝AD＋CD＝8(定值)．(第5题)专训21．解：AE＝CF，AE∥CF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.2．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠C FO.∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC.∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.∴四边形AFCE为平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，(第2题)在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.∴AF＝5 cm.(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连结AP，CQ，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC＝QA.∵点P 的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm.∴5t＝12－4t，解得t＝4 3 .∴当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝43 .3．证明：(1)如图①，连结AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°.∴△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.(第3题)(2)如图②，连结AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°.又∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.由(1)知∠BCD＝120°.又∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°，∴∠B＝∠ACF.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．(第4题)4．(1)证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠EBF＝∠C＝∠GDH＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴∠1＝∠2，EH＝EF＝FG＝GH.∴四边形EFGH为菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是正方形．(2)解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连结BD，DE，BG.设EG 与BD交于O点．∵BE瘙綊DG，∴四边形BGDE为平行四边形．∴BD与EG互相平分．∴BO＝OD.∴点O为正方形的中心．∴直线EG必过正方形的中心．专训31．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC＝DA.∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA(S.A.S.)．(2)解：四边形AECF是矩形，理由：∵AE＝12AB，CF＝12CD，AB＝CD，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∵CA＝CB，E为AB的中点，∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形．2．解：(1)AC⊥BD.证明：连结AD，由题意知，△ABC≌△EDC，∠ACE＝120°.∵△ABC是等边三角形，∴AC＝DC，∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴CD＝AD＝AC＝AB＝BC，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.(2)由(1)知，四边形ABCD为菱形，∴∠DBC＝12∠ABC＝30°.∵BC＝CD，∴∠BDC＝∠DBC＝30°，∴∠BDE＝30°＋60°＝90°. ∵∠ACE＋∠ACB＝180°， ∴B，C ，E 三点在一条直线上， ∴BE＝2.∴BD＝BE 2－DE 2＝22－12＝ 3. 3．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠BAD＝∠BAF＋∠EAD＝90°. ∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEG＝90°. ∴∠EAD＋∠ADE＝90°. ∴∠ADE＝∠BAF. 又∵BF∥DE，∴∠BFA＝∠DEG＝90°. ∴∠AED＝∠BFA. 在△AED 和△BFA 中，∵⎩⎨⎧∠AED＝∠BFA，∠ADE＝∠BAF，AD ＝BA ，∴△AED≌△BFA(A .A .S .)． ∴BF＝AE. ∵AF－AE ＝EF ， ∴AF－BF ＝EF.(2)解：如图，由题意知将△ABF 绕A 点旋转得到△ADF′，B 与D 重合，连结F′E，由(1)易得DE ＝AF.(第3题)根据题意知：∠F′AE＝90°，DE＝AF＝AF′，∴∠F′AE＝∠AED＝90°.即∠F′AE＋∠AED＝180°.∴AF′∥DE.∴四边形AE DF′为平行四边形．又∠AED＝90°，∴四边形AEDF′是矩形．∵AD＝3，∴EF′＝AD＝3.4．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠D＝∠BAE＝90°，∴∠DAF＋∠BAF＝90°.∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°.∴∠DAF＝∠ABE.∴△DAF≌△ABE.∴AF＝BE.(2)解：MP与NQ相等．理由如下：过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，∵MP⊥NQ，∴AF⊥BE，由(1)知AF＝BE.易证四边形AMPF，四边形BNQE都是平行四边形，∴AF＝MP，BE＝NQ，∴MP＝NQ.5．解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，根据轴对称的性质可得，A 1E ＝AE ，A 1D 1＝AD ，D 1F ＝DF.设线段D 1F 与线段AB 交于点M ，则阴影部分的周长为 (A 1E ＋EM ＋MD 1＋A 1D 1)＋(MB ＋MF ＋FC ＋CB) ＝AE ＋EM ＋MD 1＋AD ＋MB ＋MF ＋FC ＋CB ＝(AE ＋EM ＋MB)＋(MD 1＋MF ＋FC)＋AD ＋CB ＝AB ＋(FD 1＋FC)＋10 ＝AB ＋(FD ＋FC)＋10 ＝10＋10＋10＝30.点拨：要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，找到它们的周长和与原矩形边长的关系，从而得到问题的答案．6．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14.理由如下：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OB＝OC ，∠OBE＝∠OCF＝45°， ∠BOC＝90°.∵四边形A′B′C′O 是正方形， ∴∠EOF＝90°，∴∠EOF＝∠BOC. ∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF， 即∠BOE＝∠COF.∴△BOE≌△COF.∴S △BOE ＝S △COF .∴两个正方形重叠部分的面积等于S △BOC . ∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1. ∴S △BOC ＝14S 正方形ABCD ＝14.∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14.7．B 点拨：因为DF ＝12DC ，DC ＝4t cm ，所以DF ＝2t cm .又因为AE ＝2t cm ，所以AE ＝DF.因为AE∥DF，所以可推出四边形AEFD 为平行四边形．令AE ＝AD ，则60－4t ＝2t.解得t ＝10.所以当t ＝10时，四边形AEFD 为菱形．8．解：(1)在菱形ABCD 中，AC⊥BD，BG ＝12BD ＝12×16＝8，由勾股定理得AG＝AB2－BG2＝102－82＝6，∴AC＝2AG＝2×6＝12.∴菱形ABCD的面积＝12AC·BD＝12×12×16＝96.(第8题)(2)OE＋OF的值不发生变化．理由：如图①，连结AO，则S△ABD ＝S△ABO＋S△AOD，所以12BD·AG＝12AB·OE＋12AD·OF，即12×16×6＝12×10·OE＋12×10·OF，解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变．(3)OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.理由：如图②，连结AO，则S△ABD ＝S△ABO－S△AOD，所以12BD·AG＝12AB·OE－12AD·OF，即12×16×6＝12×10·OE－12×10·OF，解得OE－OF＝9.6.。

初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题十一（含答案）如图，四边形ABCD中，//,=．求⊥，点E是BC的中点，AD ECAD BC AB AC证：四边形ADCE是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以证得AE＝CE，根据题意可证四边形AECD是平行四边形，继而求证结论．【详解】⊥，点E是BC的中点，证明：AB AC∴==AE BE EC∵AD∥EC，且AD＝EC∴四边形ADCE是平行四边形=又AE EC∴四边形ADCE是菱形【点睛】本题考查菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求证AE＝CE．92．如图，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB ＝DE ，BE ＝CF ，∠B ＝∠DEF ，求证：AC ＝DF ．【答案】见解析【解析】【分析】由BE ＝CF 可得BC ＝EF ，即可判定()ABC DEF SAS ∆∆≌，再利用全等三角形的性质证明即可．【详解】∵BE ＝CF ，∴BE EC EC CF ++＝，即BC ＝EF ，又∵AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF ，∴在ABC ∆与DEF ∆中，AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABC DEF SAS ∆∆≌，∴AC ＝DF ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决本题的关键.93．如图，在EF 是平行四边形ABCD 的对角线BD 的垂直平分线，EF 与边AD BC 、分别交于点E F 、。

（1）求证：四边形BFDE 是菱形；（2）若5,8ED BD ==，求菱形BFDE 的面积。

【答案】（1）见解析；（2）24.【解析】【分析】（1）根据平行四边形ABCD 的性质得到//,AD BC OB OD =，利用“ASA ”得到OED OFB ∆≅∆，根据全等三角形的对应边相等得到DE BF =，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形BEDF 是平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证；（2）由菱形性质求得OD 的长度，利用勾股定理求得OE 的长度，进而求EF 的长，而BD 与EF 为菱形BFDE 的两条对角线，根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//,AD BC OB OD =，∵,EDO FBO OED OFB ∠=∠∠=∠，∴OED OFB∆≅∆，∴DE BF=，又∵//ED BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF BD⊥，∴BEDF是菱形.（2）∵BEDF是菱形∴142OD BD==,EF BD⊥∴在Rt△EOD中，3OE==所以EF=6∴菱形BFDE的面积为：116824 22EF BD=⨯⨯=.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理．菱形的判定方法一般有：四条边相等的四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，邻边相等的平行四边形为菱形等，熟练掌握这些判定与性质是解本题的关键．同时注意菱形的面积可以利用对角线乘积的一半来求．94．请阅读下列材料：问题：如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．探究：当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形BEFG是正方形？小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG是矩形；然后延长GP交DC 于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案．请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．（1）求证：四边形BEFG是矩形；（2）PG与PC的夹角为________度时，四边形BEFG是正方形．理由：【答案】(1)详见解析；（2）90.【解析】【分析】（1）由正方形ABCD，易得∠EBG＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证得四边形BEFG是矩形；（2）首先作辅助线：延长GP交DC于点H，根据正方形与平行四边形的性质，利用AAS易得△DHP≌△FGP，则有HP＝GP，当∠CPG＝90°时，利用SAS易证△CPH≌△CPG，根据全等三角形与正方形的性质，即可得BG＝GF，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱BEFG是菱形，而∠EBG＝90°，即得四边形BEFG是正方形．【详解】解：（1）∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，∴∠EBG＝90°，∴▱BEFG是矩形；（2）90°；理由：延长GP交DC于点H，∵正方形ABCD和平行四边形BEFG中，AB∥DC，BE∥GF，∴DC∥GF，∴∠HDP＝∠GFP，∠DHP＝∠FGP，∵P是线段DF的中点，∴DP＝FP，∴△DHP≌△FGP，∴HP＝GP，当∠CPG＝90°时，∠CPH＝∠CPG，∵CP＝CP，∴△CPH≌△CPG，∴CH＝CG，∵正方形ABCD中，DC＝BC，∴DH＝BG，∵△DHP≌△FGP，∴DH＝GF，∴BG＝GF，∴▱BEFG是菱形，由（1）知四边形BEFG是矩形，∴四边形BEFG是正方形．故答案为：90【点睛】此题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性比较强，解题时要注意数形结合思想的应用．95．如图，已知EF∥GH，Rt∥ABC的两个顶点A、B分别在直线EF、GH 上，∥C=90°，AC交EF于点D，若BD平分∥ABC，∥BAH=28°．求∥BAC的度数．【答案】∴BAC=34°【解析】分析：根据平行线的性质可得∠BAH＝∠ABD，由角平分线的定义知ABC ＝2∠BAH，结合直角三角形中的两个锐角互余求解.详解：∵EF∥GH，∴∠BAH＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠BAH，∵∠BAH＝28°，∴∠ABC＝2×28°＝56°.∴∠BAC＝90°－56°＝34°.点睛：本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直角平行，同旁内角互补.AB DC，96．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，//AB BC =，BD 平分ABC ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形．（2）若AB =4BD =，求OE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）EO =．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的性质证得CDB CBD ∠=∠，由此得到BC=CD ，利用AB ∥CD 即可证得四边形ABCD 是平行四边形，由AB BC =即可证得结论；（2）先利用勾股定理求出OA ，再由CE AB ⊥根据直角三角形的性质得到斜边中线等于斜边一半求出OE ．【详解】解：（1）∵AB CD ∥，∴ABD CDB ∠=∠．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∴CDB CBD ∠=∠，∴BC CD =，且AB BC =，∴CD AB =，且AB CD ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，且AB BC =，∴四边形ABCD 是菱形．（2）∵四动形ABCD 是菱形，∴OA OC =，BD AC ⊥，2BO DO ==，∴ AO ===∵CE AB ⊥，AO CO =，∴EO AO CO ===．【点睛】此题考查菱形的判定定理及性质定理、勾股定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，熟练掌握性质定理并灵活运用是解题的关键．97．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，EF 与BD 交于点H ．（1）求证：四边形DEBC 是平行四边形；（2）若BD ＝9，求DH 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）结合题意，得出DC=BE ，利用平行四边形的判定定理，证明，即可．（2）结合三角形相似，得出DH 和BH 的长度关系，计算结果，即可．【详解】（1）证明：∵E是AB的中点，∴AB＝2EB，∵AB＝2CD，∴DC＝BE，又∵AB∥CD，即DC∥BE，∴四边形BCDE是平行四边形．（2）解：∵四边形BCDE是平行四边形，∴BC＝DE，BC∥DE，∴△EDM∽△FBM，∴＝，∵BC＝DE，F为BC的中点，∴BF＝BC＝DE，∴＝＝2，∴DH＝2HB，又∵DH+HB＝9，∴DH＝6．【点睛】考查平行四边形的判定，考查相似三角形的判定，关键得出DH和HB的长度关系，即可，难度中等．98．如图，已知BD是菱形ABCD的一条对角线，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图.（1）如图，点E 在AB 上，连接DE ，在BC 上取点F ，使DE DF =；（2）如图，BDE 为等腰直角三角形，90BED ∠=︒，在菱形ABCD 内取点F ，使四边形BEDF 为正方形.【答案】（1）见解析;（2）见解析.【解析】【分析】（1）连接CE ，交BD 于点O ；连接AO ，并延长交BC 于点F ；连接DF ，则DE DF =，点F 即为所求；（2）延长DE 交AB 于点M ，同（1）的方法作点N ，使得DM DN =，根据三角形全等的判定定理与性质可知点E 、F 在对角线AC 上，由此可知连接AC ，与DN 的交点F 即为所求.【详解】（1）连接CE ，交BD 于点O ；连接AO ，并延长交BC 于点F ；连接DF ，则DE DF =，如图1，点F 即为所求.理由如下：由菱形的性质可得：AB BC CD AD ===，BD 为ABC ∠的角平分线则ABO CBO ∠=∠BO BO =()ABO CBO SAS ∴∆≅∆BAO BCO ∴∠=∠ABF CBE ∠=∠()ABF CBE ASA ∴∆≅∆BF BE ∴=,BD BD DBE DBF =∠=∠()DEB DFB SAS ∴∆≅∆DE DF ∴=；（2）延长DE 交AB 于点M ，同（1）的方法作点N ，使得DM DN =；再连接AC ，与DN 的交点F 即为所求（如图2）.理由如下：BDE ∆∵为等腰直角三角形DE BE ∴=在ADE ∆和ABE ∆中，DE BE AD AB AE AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩()ADE ABE SSS ∴∆≅∆DAE BAE ∴∠=∠则点E 在对角线AC 上点F 也在AC 上，AC 与BD 互相垂直平分DF BF ∴=同（1）可知,DM DN MB NB ==AB MB CB NB ∴-=-，即AM CN =在ADM ∆和CDN ∆中，AD CD AM CN DM DN =⎧⎪=⎨⎪=⎩()ADM CDN SSS ∴∆≅∆ADM CDN ∴∠=∠由菱形的性质得，ADB CDB ∠=∠ADB ADM CDB CDN ∴∠-∠=∠-∠，即MDB NDB ∠=∠9090DEF MDB DFE NDB ∠=︒-∠⎧⎨∠=︒-∠⎩DEF DFE ∴∠=∠DE DF ∴=在四边形BEDF 中，,90BE DE DF BF BED ===∠=︒故四边形BEDF 是正方形.【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、正方形的判定，灵活利用各定理与性质是解题关键.99．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，AE ＝CF ．求证：DE ＝BF ．【答案】见解析【解析】【分析】由“平行四边形ABCD 的对边平行且相等”的性质推知AB=CD ，AB ∥CD ．然后根据图形中相关线段间的和差关系求得BE=DF ，易证四边形EBFD 是平行四边形，即可得出结论．【详解】解：∵在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=CD又∵AE ＝CF∴AB-AE=CD-CF∴BE=DF∴四边形EBFD 是平行四边形∴DE ＝BF ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．100．如图，APB 中，AB 2=，APB 90∠=，在AB 的同侧作正ABD 、正APE 和正BPC ，求四边形PCDE 面积的最大值．【答案】四边形PCDE 面积的最大值为1．【解析】【分析】先延长EP 交BC 于点F ，得出PF BC ⊥，再判定四边形CDEP 为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP 的面积11EP CF a b ab 22=⨯=⨯=，最后根据22a b 4+=，判断1ab 2的最大值即可． 【详解】延长EP 交BC 于点F ，APB 90∠=，APE BPC 60∠∠==，EPC 150∠∴=，CPF 18015030∠∴=-=，PF ∴平分BPC ∠，又PB PC =，PF BC ∴⊥，设Rt ABP 中，AP a =，BP b =，则11CF CP b 22==，222a b 24+==， APE 和ABD 都是等边三角形，AE AP ∴=，AD AB =，EAP DAB 60∠∠==，EAD PAB ∠∠∴=，EAD ∴≌()PAB SAS ，ED PB CP ∴==，同理可得：APB ≌()DCB SAS ，EP AP CD ∴==，∴四边形CDEP 是平行四边形，∴四边形CDEP 的面积11EP CF a b ab 22=⨯=⨯=， 又222(a b)a 2ab b 0-=-+≥， 222ab a b 4∴≤+=，1ab 12∴≤， 即四边形PCDE 面积的最大值为1．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．。

第四节 线段中点的应用线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么？常见的联想路径是：1. 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形与平行线，如图8-4-1①，②，③，④，所示2. 作直角三角形斜边中线，如图8-4-1⑤所示148--3. 构造中位线如图8-4-1⑥⑦⑧所示4. 构造等腰三角形三线合一，如图8-4-⑨所示5. 三角形的中线可以等分三角形的面积。

如图8-4-1-⑩所示 若D 是BC 边上的中点，则ACD ABD S S ∆∆= 6．中点四边彩(1)定义：顺次连接四边形四边中点所得的四边形叫做中点四边形． (2)常见的中点四边形：①任意四边形的中点四边形是平行四边形；②平行四边形的中点四边形是平行四边形； ③矩形的中点四边形是菱形； ④菱形的中点四边形是矩形； ⑤等腰梯形的中点四边形是菱形．1.一个中点(1)等腰三角形：三线合一． (2)直角三角形：斜边中线．(3)已知任意一边中点：普通中线平分面积倍长中线 (4)平行线间所截线段的中点：构造八字形全等三角形． 2.两个中点(1)三角形两边的中点：中位线定理 (2)梯形的中位线，例1．如图8-4-2所示，已知P AB ,10=是线段AB 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△ACP 和等边△PDB，连接CD ，设CD 的中点为G ，当点P 从点A 运动到点B 时，则点G 移动路径的长是检测1.已知8-4-3所示，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使F AC CE ,=是AE 中点，求证：.DF BF ⊥ 例2．（四川宜宾中考）如图8-4-4所示，在△ABC 中，BD ABC ,90ο=∠为AC 的中线，过点C 作BD CE ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取,BD FG =连接BG ，DF.若,6,13==CF AG 则四边形BDFG 的周长为248-- 348-- 448--检测2.如图8-4-5所示，等腰梯形ABCD 中，,,,//BC AD CD AB AB DC =>AC 和BD 交于0，且所夹的锐角为M F E ,,,60ο分别为BC OA OD ,,的中点．求证：三角形EFM 为等边三角形，例3．如图8-4-6所示，△ABC 中，M AC AB ,7,4==是BC 的中点，AD 平分,BAC ∠过M 作AD FM //交AC 于F ，则FC 的长为548-- 648-- 748-- 848--检测3.如图8-4-7所示，□ABCD 中，F AB AD ,2=是AD 的中点，作,AB CE ⊥垂足E 在线段AB 上，连接,,CF EF则下列结论;21BCD DCF ∠=∠①;CF EF =②③;2S CEF BEC S ∆∆=AEF DFE ∠=∠3④中一定成立的是( )①②.A ①②④.B ①③④.C ①②③④.D例4．如图8-4-8所示，边长为1的正方形EFGH 在边长为3的正方形ABCD 所在的平面上移动，且始终保持.//AB EF设线段CF ，DH 的中点分别为M ，N ，则线段MN 的长为210.A 217.B 317.C 3102.D检测4.（灌云县模拟）如图8 -4 - 10所示，在四边形ABCD 中，对角线BD AC ⊥且F E BD AC ,,8,6==分别是边AB ，CD 的中点，则=EF第四节 线段中点的应用(建议用时30分钟)实战演练1．如图8-4-1所示，矩形ABCD 中，R 是CD 的中点，点M 在BC 边上运动，E ，F 分别是AM ，MR 的中点，则EF 的长随着M 点的运动( )A ．变短B ．变长 C.不变 D ．无法确定2．（河北中考）如图8-4-2所示，点A ，B 为定点，定直线P AB l ,//是L 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值：①线段MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离，⑤∠APB 的大小，其中会随点P 的移动而变化的是( )②③.A ②⑤.B ①③④.C ④⑤.D148-- 248-- 348--3．如图8-4-3所示，M ，P 分别为△ABC 的AB ，AC 上的点，且,2,CP AP BM AM ==BP 与CM 相交于点N ．已知,1=PN 则PB 的长为( )2.A3.B4.C5.D4．如图8-4-4所示，梯形ABCD 中，EF AB DC ,//是梯形的中位线，对角线BD 交EF 于G ．若,8,10==EF AB 则GF 的长等于5．（辽宁鞍山中考）如图8-4-5所示，D 是△ABC 内一点，,6,=⊥AD CD BD ,4=BD H G F E CD ,,,,3=分别是BD CD AC AB ,,,的中点，则四边形EFGH 的周长是448-- 548-- 648--6．一个等腰梯形的周长为100 cm ，如果它的中位线与腰长相等，它的高为20 cm ，那么这个梯形的面积是 .2cm 7．如图8-4-6所示，AD ，BE 为△ABC 的中线，交于点===∠OE OD AOE O ,23,60,ο,25求=AB8．如图8-4-7所示，梯形ABCD 中，,//BC AD 且,5:3:=BC AD 梯形ABCD 的面积是,82cm 点M ．N 分别是AD 和BC 上一点，E ，F 分别是BM ，CM 的中点，则四边形MENF 的面积是 .2cm9．如图8-4-8所示，在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且N M CF BE ,.=分别为BF ，CE 的中点，过M ，N 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q.已知,70ο=∠A 那么，APQ ∠的度数是10.如图8-4-9所示，在梯形ABCD 中，,//CD AB 并且N M CD AB ,,2=分别是对角线BD AC ,的中点，设梯形ABCD 的周长为,1L 四边形CDMN 的周长为,2L 求:1L =2L748-- 848-- 948--11．如图8 -4 - 10所示，已知AD 为△ABC 的角平分线，,AC AB <在AC 上截取,AB CE =M ．N 分别为BC ，AE的中点．求证：.//AD MN12.如图8-4-11所示，在△ABC 中，AD C ABC ，∠=∠2平分,BAC ∠过BC 的中点M 作,AD ME ⊥交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F.求证：.21BD BE =1048-- 1148--13.（北京西城一模）在正方形ABCD 中，点P 是射线CB 上一个动点，连接PA ，PD ，点M ，N 分别为BC ，AP 的中点，连接MN 交PD 于点Q.(l)如图8-4 - 12所示，当点P 与点B 重合时，△QPM 的形状是(2)当点P 在线段CB 的延长线上时，如图8-4 -13所示，①依题意补全图8-4—13；②判断△QPM 的形状，并加以证明．1248-- 1348-- 拓展创新14.如图8-4 - 14所示，在四边形ABCD 中，F E CD AB ADC ,,,180=>∠ο分别为BC ，AD 中点．BA 交EF 延长线于点G ，CD 交EF 于点H.求证：.CHE BGE ∠=∠1448--拓展1．如图8 -4 -15所示，在△ABC 中，D AB AC ,>点在AC 上，F E CD AB ,,=分别是 BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若,60ο=∠EFC 连接GD ，判断△AGD 的形状并证明．1548--拓展2．如图8 -4 -16所示，P 是△ABC 内的一点，,PBC PAC ∠=∠过点P 分别作⊥PM AC 于点BC PL M ⊥,于点L ，D 为线段AB 的中点，求证：.DL DM =1648--极限挑战15.如图8-4 - 17所示，在△ABC 的两边AB ，AC 向形外作正方形ABDE 和ACFG ，取,BE CG BC ,的中点M ，Q ，N.判断△MNQ 的形状并证明，1748--答案11。

四边形典型题及答案1.．如图，△ABD，△BCE，△ACF均为等边三角形，请回答下列问题，其中（2），（3），（4）小题不用说明理由：（1）四边形ADEF是什么四边形？请说明理由．（2）当△ABC满足条件时，四边形ADEF是菱形？（3）当△ABC满足条件时，四边形ADEF是矩形？（4）当△ABC满足条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？点的四边形就不存在．解答：解：（1）∵△ABD，△BCE为等边三角形∴∠DBA=∠EBC=60°，BD=AB，BE=BC∴∠ABC+∠EBA=∠DBE+∠EBA=60°∴∠ABC=∠DBE ∴△ABC≌△DBE∴DE=AC 同理：EF=AB ∵AB=AD，AC=AF∴EF=AD，DE=AF∴四边形ADEF是平行四边形（2）∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF．∵△ABD，△ACF均为等边三角形，∴AB=AD，AC=AF．∴AB=AC时，四边形ADEF是矩形．（3）∵四边形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°．∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．（4）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．故答案为：（2）AB=AC （3）∠BAC=150°（4）∠BAC=60°2.如图，在△ABC中，D为BC边的中点，∠BDF=∠C，∠BFD=∠DEC．（1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；（2）如果要使四边形AFDE成为菱形，试写出△ABC需添加的条件（写出一个）；（3）如果要使四边形AFDE成为矩形，试写出△ABC需添加的条件（写出一个）．（4）请选择（2）、（3）中的一个结论进行证明．解答：（1）解：四边形AFDE是平行四边形．理由是：∵∠BDF=∠C，∴DF∥AC，在△BDF和△DCE中∵，∴△BDF≌△DCE（AAS），∴∠B=∠EDC，∴DE∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形．（2）解：AB=AC，理由是：∵四边形AFDE是平行四边形，∴DF=AE，DE=AF，∵△BDF≌△DCE，∴DF=CE，DE=BF，∴AE=EC，AF=FB，∵AB=AC，∴AE=AF，即平行四边形AFDE是菱形．（3）解∠A=90°，理由是∵四边形AFDE是平行四边形，∠A=90°，∴平行四边形AFDE是矩形．（4）选择（2）．证明AB=AC，理由是：∵四边形AFDE是平行四边形，∴DF=AE，DE=AF，∵△BDF≌△DCE，∴DF=CE，DE=BF，∴AE=EC，AF=FB，∵AB=AC，∴AE=AF，即平行四边形AFDE是菱形．3.（济宁）直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：请你用上面图示的方法，解答下列问题：（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．解答：解：（1）如图所示：（2）如图所示：点评：本题主要考查了对于矩形的理解以及对于图象的认识能力．读懂题意是本题的关键．4.（贵阳）如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形A n B n C n D n．（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；（3）写出四边形A n B n C n D n的面积；（4）求四边形A5B5C5D5的周长．解答：（1）证明：∵点A1，D1分别是AB、AD的中点，∴A1D1是△ABD的中位线∴A1D1∥BD，A1D1=BD，同理：B1C1∥BD，B1C1=BD∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1=BD∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°∴四边形A1B1C1D1是矩形；（2）解：由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=4，B1A1=AC=3，得：四边形A1B1C1D1的面积为12；四边形A2B2C2D2的面积为6；（3）解：由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形A n B n C n D n的面积为；（4）解：方法一：由（1）得矩形A1B1C1D1的长为4，宽为3．∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x，宽为3x，则，解得∴∴矩形A5B5C5D5的周长=方法二：矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积=（矩形A5B5C5D5的周长）2/（矩形A1B1C1D1的周长）2即：12=（矩形A5B5C5D5的周长）2：142∴矩形A5B5C5D5的周长=．5.（2011•福州）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．解答：解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形，②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，在Rt△ABF 中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，∴AF=5cm．（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，∴PC=5t，QA=12﹣4t，∴5t=12﹣4t，解得，∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．6.（2008•潍坊）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10．（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．解答：解：（1）过点G作GH⊥AD，则四边形ABGH为矩形，∴GH=AB=8，AH=BG=10，由图形的折叠可知△BFG≌△EFG，∴EG=BG=10，∠FEG=∠B=90°；∴EH=6，AE=4，∠AEF+∠HEG=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠HEG=∠AFE，又∵∠EHG=∠A=90°，∴△EAF∽△GHE，∴，∴EF=5，∴S△EFG=EF•EG=×5×10=25．（2）由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF，∴BG=EG，AB=EH，∠BGF=∠EGF，∵EF∥BG，∴∠BGF=∠EFG，∴∠EGF=∠EFG，∴EF=EG，∴BG=EF，∴四边形BGEF为平行四边形，又∵EF=EG，∴平行四边形BGEF为菱形；连接BE，BE，FG互相垂直平分，在Rt△EFH中，EF=BG=10，EH=AB=8，由勾股定理可得FH=AF=6，∴AE=AF+EF=16，∴BE==8，∴BO=4，∴OG= =2，∵四边形BGEF是菱形，∴FG=2OG=4，答：折痕GF的长是4．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称变化，对应边和对应角相等．7.（2011•北京）在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．解答：（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．（2）解：连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG与△DCG中，∵，∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGE+∠DGE=90°，∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG=45°，（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°∴△DAF为等腰三角形∴AD=DF，∴CE=CF，∴平行四边形AHFD为菱形∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF 在△BHD与△GFD中，∵，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°。

八年级数学下册四边形动点问题专题1、如图，E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，F 、G 是垂足，若正方形ABCD 周长为a ，则EF ＋EG等于 。

2、如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=3、在Rt △ABC 中 ∠C=90° AC=3 BC=4 P 为AB 上任意一点 过点P 分别作PE ⊥AC 于E PE ⊥BC 于点F 线段EF 的最小值是4、如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是 。

5、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为6、如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 cm ．CA BP FE EDCBAPADEPB C7、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在BD上移动，若△POE为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有个．8、已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为。

9、如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16.点E是AB的中点，P、Q是BD上的动点，且始终保持PQ=2.则四边形AEPQ周长的最小值为_________．（结果保留根号）10、如图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．，不需证明)①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_________________________条件时，以D.A.E.F为顶点的四边形不存在．11、如图，矩形ABCD中，cm，cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2 cm/s 的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1 cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？12、如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm 的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2cm的速度向D移动．（1）P、Q两点出发后多少秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？（2）是否存在某一时刻，使PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由．13、已知:如图,菱形ABCD中,∠BAD=120°,动点P在直线BC上运动,作∠APM=60°,且直线PM与直线CD 相交于点Q,Q点到直线BC的距离为QH.(1)若P在线段BC上运动,求证:CP=DQ.(2)若P在线段BC上运动,探求线段AC,CP,CH的一个数量关系,并证明你的结论.14、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=20 cm，BC=10 cm，DC=12 cm，点P和Q 同时从A、C出发，点P以4 cm/s的速度沿A-B一C-D运动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）t为何值时，四边形APQD是矩形；（2）t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．15、如图，已知ΔABC和ΔDEF是两个边长都为1cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF.（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；（2）若BD=0.3cm,ΔABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设ΔABC运动时间为t秒，①当t为何值时,□ADFC是菱形？请说明你的理由；②□ADFC有可能是矩形吗？若可能,求出t的值及此矩形的面积；若不可能,请说明理由.16、在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA 的外角平分线于F。