最新人教版八年级数学下册 核心素养专题：四边形中的探究与创新

第18章平行四边形核心素养整合与提升-2022-2023学年八年级下册初二数学(人教版)一、知识概述1. 平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对顶边分别平行的四边形。

在平行四边形中，对边相等，对角线相等，并且对角线平分彼此。

2. 平行四边形的性质•对边相等：平行四边形的对边长度相等。

•对角线平分：平行四边形的对角线相交于中点。

•相邻角互补：平行四边形中，相邻的两个内角互为补角，即两个内角的和为180度。

3. 平行四边形的判定•对边平行：平行四边形的对边必定平行。

•对角线平分：平行四边形的对角线相交于中点。

二、核心素养整合与提升1. 平行四边形的应用平行四边形广泛应用于日常生活和实际问题中。

例如，在建筑设计中，平行四边形的性质可以用于确定建筑物中墙壁、地板等的形状和大小；在地理学中，平行四边形的概念可以用于描述地图中的方位关系和地理区域的形状；在计算机图形学中，平行四边形的属性可以用于绘制图形和计算图形的面积等。

2. 平行四边形的推导与证明平行四边形的性质可以通过数学推导与证明来得到。

例如，可以通过使用直线平行公理和线段相等公理，结合平行四边形的定义和性质，证明平行四边形的对边相等、对角线平分等性质。

3. 平行四边形的练习与应用题为了提高对平行四边形的理解和应用能力，可以通过练习与应用题来巩固知识。

题型可以包括判断题、选择题、填空题、解答题等。

同时，可以结合实际情境设计问题，让学生运用平行四边形的性质解决实际问题。

4. 平行四边形的拓展与扩展除了基本的平行四边形概念和性质，学生还可以进一步拓展与扩展平行四边形的知识。

例如，可以研究平行四边形的面积计算公式，探索平行四边形的相关图形如菱形、矩形、正方形等的性质与关系，并进行证明与推导。

5. 平行四边形的思维训练为了提高学生的思维能力和解决问题的能力，可以设计一些思维训练题目。

这些题目可以要求学生分析、推理、归纳和判断，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

《平行四边形性质探究与应用》广州市第十六中学梁镇辉一、教材分析：生产和生活中，平行四边形具有广泛应用，能让学生体会数学源于生活又服务生活。

平行四边形是基本的几何图形之一，它的本质属性是对边平行，具有丰富的几何性质，它综合了平行线与三角形的相关知识，突出演绎推理，有助于提高学生有关图形性质的探究能力，是训练学生思维的良好平台。

平行四边形的定义中采用属加种差的方式，以集合形式揭示平行四边形与四边形之间的联系与区别。

平行四边形性质的建构过程是学生通过经历感知、猜想、证明等过程，主要研究边、角、对角线的性质后完成建构的。

本课内容安排上难度和强度不高，适合学生自主探究；考虑到学生能力水平，在此基础上学生还可能进一步发现探究平行四边形有关周长、对称性、面积的性质推广。

因此本教学设计对教材课时安排上进行了大胆修改，也就是说，整个平行四边形性质的探究过程，我们按照初中几何“先概括一类几何对象的共同本质特征，得到定义，然后研究其性质与判定”的一般研究思路，探究边、角、对角线核心知识内容，体会揭示平行四边形构成要素特征的一般思路与方法；同时能够从培养学生数学核心探究能力出发，外延到关于平行四边形成中心对称（关于对角线交点对称）、对角线平分四个面积相等的小三角形的性质推广探究。

平行四边形性质的证明，即利用全等证明“对边相等、对角相等、对角线互相平分”，应用了将四边形问题转化为三角形问题的思想。

二、学情分析：学生在小学阶段已初步了解了平行四边形的概念及能直观识别平行四边形的图形。

教学中采用让学生对一般四边形与平行四边形进行联系与比较，突出平行四边形“两组对边分别平行”的本质属性，真正理解平行四边形“种加属差”的定义内涵；并以此作为证明其余性质的重要依据。

所教学生已具备了一定的观察、分析、动手操作、语言表达及逻辑推理能力。

他们能够通过观察和“量一量”动手操的方式经历平行四边形性质的探索过程，这种教学安排能够照顾学生的感受，避免填鸭式教学，增强学生对平行四边形性质的感性认识和学习平行四边形性质的兴趣。

课题：四边形专题——探索型问题一、教学设计思考在数学课程标准中指出：“数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。

”所以数学专题课同样要面向全体学生，要使各层次的学生对数学基础知识、基本技能和基本思想方法的掌握程度均有所提高，还要使尽可能多的学生形成较强的综合能力、创新意识和实践能力。

二、教材分析：本节课是九年制义务教育课程标准新教材八年级第二学期第四章的内容。

四边形和三角形一样，是基本的平面图形，是空间与图形部分的重要组成部分，平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的区别与联系对灵活的掌握及运用四边形的知识起着重要的作用。

特殊平行四边形概念、性质与判定是学好本章的关键，也是为学好整个平面几何打下一个坚实的基础，是本章的教学重点．与基本图形（矩形、菱形、正方形、三角形）的概念、性质及其相互关系随之而来的是几何证明，本节课的目的就是通过一组探索型问题的训练，掌握三角形、矩形、正方形之间的联系，能根据已知条件探索发现与之相应的结论．培养学生归纳、总结的能力，发展学生的合情推理能力，进一步学习有条理的思考与表达，理解推理与论证的基本过程，建构严谨的思维模式，树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风。

三、学情分析：授课对象是八年级的学生，经过两年实验几何的学习、近一年论证几何的探索，学生已基本掌握了平行、垂直、相交、三角形等相关知识，并且有了一定的合情说理能力，经过学习，学生已经基本掌握了平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及它们的判定，但是对一些探索型问题掌握得还不是很好。

教学目标：1．使学生能根据已知条件探索发现与之相应的结论．2．学生根据已知条件进行合情推理得出结论，培养积极思维，勇于创新的精神和能力.3．通过探究过程，使学生体会数学知识间的内在联系，培养学生周密分析，严格论证的意识和能力，培养学生的合作意识和交流能力．教学重点：根据条件探索相应的结论.教学难点：寻求准确探索问题结论的方法.教学方式：学生探究与教师引导相结合．教学手段：多媒体计算机、实物投影仪.教学过程：一、创设情景、激发兴趣．上节课我们学习了“探索型问题”中的探索条件型的有关问题, （课件展示学生课间研究问题时的照片）在课间时我在四班看到有几个学生在研究以下两道习题，并问我它们还都属于“探索条件型”的问题吗？现在我们三班同学思考解答一下这两道题，并回答它们应该属于什么类型呢？活动一：自主学习，组织学生分析回答．（课件演示习题）1．如图1，已知，在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB ,若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌△DCB ，则还需增加一个条件是___________．图1 图2 2．．在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，以AD 、BD 为边做平行四边形ADBF 。

新疆克拉玛依市第十三中学八年级数学下册《第19章四边形》教案新人教版课题时间教学目标知识技能使学生掌握矩形的意义及性质过程方法通过对平行四边形的活动演示让学生感受由一般平行四边形转化为矩形过程中的角及对角线的变化情感态度与能力目标通过对一般平行四边形与矩形之间关系的探索，使学生体会一般与特殊的辩证关系重点矩形的意义、性质难点运用矩形的性质解有关问题学情分析教学内容和过程一、复习提问：1．平行四边形的定义2．平行四边形的性质3．平行四边形的判定二、新课讲解：1．对于一般四边形而言，我们对边添加一些特殊的条件如两组对边分别平行就得到了特殊的四边形—平行四边形；在此基础上我们对于角在给定一特殊的条件：有一个角是直角，这样我们就得到一个特殊的平行四边形—矩形。

四边形、平行四边形、矩形之间的关系如图所示：2．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形由定义可知，矩形首先是平行四边形，因此它具有平行四边形特有性质，那么它还有其他性质吗？当有一个角为直角时，平行四边形成为矩形时，它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线又有什么样的关系？（找到等量关系后，要先口头证明．．．．．．．．．．．．．．）3．矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的两条对角线相等两定理的几何语言：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴90A B C D∠=∠=∠=∠=︒（2）如图,∵四边形ABCD是矩形，AC BD=注意：性质（1）在证明过程中利用平行四边形邻角互补，对角相等，很容易证出。

课题19.2.1矩形的判定 时间教学目标知识技能掌握矩形的判定过程方法 通过性质的逆命题来掌握得到判定方法情感态度与能力目标通过对一般平行四边形与矩形之间关系的探索，使学生体会一般与特殊的辩证关系 重点 矩形的判定难点 判定的各种方法的灵活应用 学情分析教 学 内 容 和 过 程一、复习引入：问题1：如何判定一个四边形是矩形（答：定义具有双向性，所以定义可以判定 问题2：还能有其他方法说明一个四边形是矩形吗？ 启发学生通过矩形的性质想到，并证明 二、 新课讲解：思考:若已知四边形是平行四边形，应添加什么条件可以判定是矩形？ 1．．猜想矩形的判定，然后加以证明。

平行四边形学科素养·思想方法一、转化思想【思想解读】转化思想是解决数学问题的一种重要思想,通过转化可以将复杂的、生疏的问题转化为简单的、熟悉的问题,从而使问题得到解决.【应用链接】平行四边形、矩形、菱形、正方形都被其对角线分成几个三角形或特殊三角形.在解决有关计算题与证明题时,也常通过连接四边形的对角线构成三角形,将四边形问题转化到三角形中,利用三角形的知识进行解答.【典例1】如图所示,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线交AD于点E,交BC于点F.若▱ABCD的面积为30cm2,求阴影部分的面积.【分析】运用全等三角形的性质将S△BOF转化为S△DOE,从而使三块阴影部分构成一个整体,然后根据其与平行四边形的关系求其面积.【自主解答】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,DC=BA.∵AC=CA,∴△ABC≌△CDA(SSS),∴S△ABC=S△CDA=S▱ABCD=×30=15(cm2).∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,AD∥BC.∴∠1=∠2,∠3=∠4.∴△DOE≌△BOF(AAS).∴S△DOE=S△BOF.∴S阴影部分=S△BOF+S△AOE+S△COD=S△DOE+S△AOE+S△COD=S△CDA=15cm2.【变式训练】如图,李村有一块呈四边形的池塘,在它的四个角A,B,C,D处均种有一棵大核桃树,李村准备开挖池塘建养鱼池,要使池塘面积扩大为原来的2倍,又想保持大核桃树不动,并要求扩建后的池塘呈平行四边形,请问这个村能否实现这一设想?若能,请你设计方案并画出图形;若不能,请说明理由(画图要保留痕迹,不写画法).【解析】能实现.如图所示.设AC,BD相交于点O,由作法可知,所得四边形为平行四边形,由性质知△AA′B≌△BOA,△D′AD≌△ODA,△CC′D≌△DOC,△BB′C≌△COB,所以面积扩大为原来的2倍.二、方程思想【思想解读】方程思想就是从分析几何问题的数量关系出发,恰当设未知数,利用问题中的条件,把要解决的数学问题中的已知量和未知数之间的数量关系转化为方程或者方程组,进而解决问题.【应用链接】方程是沟通数量关系的桥梁,本章中常通过三角形的中位线、矩形、菱形、正方形等与勾股定理相结合的方式找到等量关系列方程(组)进行求解.【典例2】(2016·毕节中考)如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH,若BE∶EC=2∶1,则线段CH的长是( )A.3B.4C.5D.6【分析】根据折叠可得DH=EH,在直角△CEH中,设CH=x,则DH=EH=9-x,根据BE∶EC=2∶1可得CE=3,可以根据勾股定理列出方程,从而解出CH的长.【解析】选B.设CH=x,则DH=EH=9-x,∵BE∶EC=2∶1,BC=9,∴CE=BC=3,∴在Rt△ECH中,EH2=EC2+CH2,即(9-x)2=32+x2,解得:x=4,即CH=4.【变式训练】如图所示,四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,AE=12cm,AF=15cm,四边形ABCD的周长为67.5cm.求AB,BC的长.【解析】依题意可设AB=CD=xcm,BC=AD=ycm.因为S▱ABCD=BC·AE=CD·AF,所以12y=15x,即4y=5x.因为2(AB+BC)=67.5,所以2(x+y)=67.5,所以解得所以AB,BC的长分别是15cm,18.75cm.三、分类讨论思想【思想解读】分类讨论思想是一种重要的数学思想.在研究数学问题时,常把需要研究的问题根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称为分类讨论思想.【应用链接】在研究四边形时,审题要注意考虑问题的全面性.对于无图题,正确画出所有符合题意的图形是关键,有些题目要注意分类.在研究数学问题时,常常需要通过分类讨论解决问题.分类要依据一个标准,且要做到不重复不遗漏.【典例3】(2017·通辽中考)在▱ABCD中,AE平分∠BAD交边BC于E,DF平分∠ADC交边BC于F,若AD=11,EF=5,则AB=________.【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC,由DF平分∠ADC,得到∠ADF=∠CDF,等量代换得到∠DFC=∠FDC,根据等腰三角形的判定得到CF=CD,同理BE=AB,根据平行四边形的性质得到AB=CD,AD=BC,得出AB=BE=CF=CD,分两种情况,即可得到结论.【解析】①如图1,在▱ABCD中,∵BC=AD=11,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC,∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,∴AB=BE,CF=CD,∴AB=BE=CF=CD∵EF=5,∴BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-5=11,∴AB=8;②在▱ABCD中,∵BC=AD=11,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC,∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,∴AB=BE,CF=CD,∴AB=BE=CF=CD,∵EF=5,∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF+EF=2AB+5=11,∴AB=3.综上所述:AB的长为8或3.答案:8或3【变式训练】(2016·孝感中考)在▱ABCD中,AD=8,AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,且EF=2,则AB的长为( )A.3B.5C.2或3D.3或5【分析】本题考查了平行四边形的性质和分类讨论的数学思想,解题的关键是正确应用图形的性质.(1)先根据题目要求画出图形,会发现此题有两种情况.(2)根据图形分别找到两个等腰三角形:△ABE和△CDF,再根据图形中线段之间的关系列出方程即可解.【解析】选D.本题分两种情况讨论:①如图1,∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF.又∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE,∠ADF=∠CFD,∴∠BAE=∠BEA,∠CDF=∠CFD,∴BA=BE,CD=CF.又∵AB=CD,∴BE=CF=AB.∵BE+CF-EF=BC,∴2AB-EF=BC.∵BC=AD=8,EF=2,∴2AB-2=8,AB=5.②如图2,∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF.又∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE,∠ADF=∠CFD,∴∠BAE=∠BEA,∠CDF=∠CFD,∴BA=BE,CD=CF.又∵AB=CD,∴BE=CF=AB.∵BE+CF+EF=BC,∴2AB+EF=BC.∵BC=AD=8,EF=2,∴2AB+2=8,AB=3.综合①、②两种情况可得:AB=3或5.。

核心素养专题：四边形中的探究与创新1．(2017·苏州中考)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P、P′分别是EF、E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为()A．28 3 B．24 3C．32 3 D．323－8第1题图第2题图2．(2017·北京中考)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》) 请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(______________＋______________)．易知S△ADC＝S△ABC，______________＝______________，______________＝______________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.3．(2017·兰州中考)如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C 落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．4．(2017·通辽中考)邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作……依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图①，▱ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则▱ABCD为1阶准菱形．(1)猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是________阶准菱形；已知▱ABCD 的邻边长分别为a，b(a＞b)，满足a＝8b＋r，b＝5r，请写出▱ABCD是________阶准菱形；(2)操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图②，把▱ABCD沿BE 折叠(点E在AD上)，使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE.求证：四边形ABFE 是菱形．参考答案与解析1．A解析：如图，连接BD，DF，DF交PP′于H.由题意得PP′＝AA′＝AB＝CD，PP ′∥AA ′∥CD ，∴四边形PP ′CD 是平行四边形．∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形．∵AF ＝FB ，∴DF ⊥AB ，DF ⊥PP ′.∵AF ＝12AB ＝4，AD ＝8，∴DF ＝4 3.在Rt △AEF 中，∵∠AEF ＝90°，∠A ＝60°，AF ＝4，则∠AFE ＝30°，∴AE ＝2，EF ＝23，∴PE ＝PF ＝ 3.在Rt △PHF 中，∵∠FPH ＝30°，PF ＝3，∴HF ＝12PF ＝32，∴DH ＝DF －HF ＝43－32＝732，∴S ▱PP ′CD ＝732×8＝28 3.故选A. 2．S △AEF S △CFM S △ANF S △AEF S △FGC S △CFM3．(1)证明：根据折叠得∠DBC ＝∠DBE ，又∵AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴DF ＝BF ，∴△BDF 是等腰三角形．(2)解：①四边形BFDG 是菱形．理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴FD ∥BG .又∵FD ＝BF ＝BG ，∴四边形BFDG 是平行四边形．∵DF ＝BF ，∴四边形BFDG 是菱形．②∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10.∴OB ＝12BD ＝5.设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x .在Rt △ABF 中，由勾股定理得AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254，即BF ＝254，∴FO ＝BF 2－OB 2＝⎝⎛⎭⎫2542－52＝154，∴FG ＝2FO ＝152. 4．(1)解：3 12 解析：如图①，利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形．如图②，∵b ＝5r ，∴a ＝8b ＋r ＝40r ＋r ＝8×5r ＋r ，利用邻边长分别为41r 和5r 的平行四边形进行8＋4＝12(次)操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为41r 和5r 的平行四边形是12阶准菱形．(2)证明：由折叠知∠ABE ＝∠FBE ，AB ＝BF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE ∥BF ，∴∠AEB ＝∠FBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AE ＝AB ，∴AE ＝BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形．又∵AB ＝AE ，∴四边形ABFE 是菱形．。

核心素养专题：四边形中的探究与创新1．(2017·苏州中考)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P、P′分别是EF、E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为()A．28 3 B．24 3C．32 3 D．323－8第1题图第2题图2．(2017·北京中考)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》) 请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(______________＋______________)．易知S△ADC＝S△ABC，______________＝______________，______________＝______________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.3．(2017·兰州中考)如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C 落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．4．(2017·通辽中考)邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作……依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图①，▱ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则▱ABCD为1阶准菱形．(1)猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是________阶准菱形；已知▱ABCD 的邻边长分别为a，b(a＞b)，满足a＝8b＋r，b＝5r，请写出▱ABCD是________阶准菱形；(2)操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图②，把▱ABCD沿BE 折叠(点E在AD上)，使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE.求证：四边形ABFE 是菱形．参考答案与解析1．A解析：如图，连接BD，DF，DF交PP′于H.由题意得PP′＝AA′＝AB＝CD，PP ′∥AA ′∥CD ，∴四边形PP ′CD 是平行四边形．∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形．∵AF ＝FB ，∴DF ⊥AB ，DF ⊥PP ′.∵AF ＝12AB ＝4，AD ＝8，∴DF ＝4 3.在Rt △AEF 中，∵∠AEF ＝90°，∠A ＝60°，AF ＝4，则∠AFE ＝30°，∴AE ＝2，EF ＝23，∴PE ＝PF ＝ 3.在Rt △PHF 中，∵∠FPH ＝30°，PF ＝3，∴HF ＝12PF ＝32，∴DH ＝DF －HF ＝43－32＝732，∴S ▱PP ′CD ＝732×8＝28 3.故选A. 2．S △AEF S △CFM S △ANF S △AEF S △FGC S △CFM3．(1)证明：根据折叠得∠DBC ＝∠DBE ，又∵AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴DF ＝BF ，∴△BDF 是等腰三角形．(2)解：①四边形BFDG 是菱形．理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴FD ∥BG .又∵FD ＝BF ＝BG ，∴四边形BFDG 是平行四边形．∵DF ＝BF ，∴四边形BFDG 是菱形．②∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10.∴OB ＝12BD ＝5.设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x .在Rt △ABF 中，由勾股定理得AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254，即BF ＝254，∴FO ＝BF 2－OB 2＝⎝⎛⎭⎫2542－52＝154，∴FG ＝2FO ＝152. 4．(1)解：3 12 解析：如图①，利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形．如图②，∵b ＝5r ，∴a ＝8b ＋r ＝40r ＋r ＝8×5r ＋r ，利用邻边长分别为41r 和5r 的平行四边形进行8＋4＝12(次)操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为41r 和5r 的平行四边形是12阶准菱形．(2)证明：由折叠知∠ABE ＝∠FBE ，AB ＝BF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE ∥BF ，∴∠AEB ＝∠FBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AE ＝AB ，∴AE ＝BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形．又∵AB ＝AE ，∴四边形ABFE 是菱形．。

人教版初中数学八年级下册《课题研究4：四边形动态问题探究与应用》学案核心素养：1、认识四边形中的动点问题，明确解答动点问题的题目要学会“动中找静”；2、体会从角度去考虑问题，寻找解决问题的方法：一般有分类讨论法、数形结合法等；3、明确解决动点问题的解题策略，体会解决这类问题的常用数学思想：方程思想、数学建模思想、函数思想、转化思想等。

学习重点：认识四边形中的动点问题，明确解决动点型问题的解题策略。

学习难点：寻找动点问题中的特殊情况，能从多角度去考虑问题、解决问题。

一、探究一例1、已知：在四边形ABCD中，AD∥BC,AB⊥AD, 点Q是BC边上一定点，AD=12cm,CQ=2cm,点P从点A出发沿AD边以1cm/s的速度向D运动.设运动时间为t秒，则当t=______秒时，四边形PQCD是平行四边形？分析：（1）AP=_______;PD=___________.（用含t的代数式表示）（2）若四边形PQCD是平行四边形，只需条件：____________因此可列方程：___________解题策略：构建方程模型.随堂练习：在四边形ABCD中，AD∥BC,AB⊥AD, AD=12cm,BC=21cm, 点P 从点A以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C以1.5cm/s的速度向点B运动.设运动时间为t秒．问当t为何值时，以P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？分析：（1）AP=_____;PD=__________.CQ=_____;BQ=__________.（用含t的代数式表示）（2）若四边形PQCD是平行四边形，只需条件：____________因此可列方程：_____________随堂练习：在四边形ABCD中，AD∥BC,AB⊥AD,AD=12cm,DC=15cm，BC=21cm,AB=12cm, 点P从点A以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C以1.5cm/s的速度向点B运动. 当其中一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．（1）填空：AP=__, BQ=_____ .(用含t的代数式表示）；（2）若△PBQ的面积为S，求出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。

八年级下册数学四边形知识点数学是一门极具挑战性的学科，四边形作为常见图形，是我们日常学习和生活中随处可见的。

在八年级下册的数学教学中，学生将会深入了解四边形的相关知识，包括定义、性质、分类、计算以及应用等方面。

本文将详细介绍八年级下册数学教学中四边形知识点。

一、四边形的定义与性质四边形是指有四条边的图形，它的内角之和为360度。

除此之外，四边形还具有如下性质：1. 相邻两个内角互补；2. 对边平行；3. 相对角相等；4. 对角线相交于一个点；5. 对角线互相平分。

以上性质不仅是判定四边形的标准，而且在计算与证明过程中也具有非常重要的作用。

二、四边形的分类根据各条边的长度与各个内角的大小，四边形可以分为如下几种类型：1. 矩形：有四条边，四个内角都是直角，具有对称性；2. 正方形：四条边长度相等，四个内角都是直角，具有对称轴和中心对称性；3. 平行四边形：对边平行，相邻两个内角互补；4. 梯形：至少有一对平行边，非平行边长度不等，对角线不相等且不平行；5. 菱形：四条边长度相等，相邻两个内角互补，对角线相交于直角。

分类的不同，在涉及到计算和推理的时候，会产生不同的方法和策略。

三、四边形的计算在八年级下册的数学学习中，学生还将学习四边形各个角度和边长的计算，主要包括：1. 用余角计算不直角角度的大小；2. 利用各项性质计算缺失边长；3. 用勾股定理、比例求解各种单项边长；4. 利用相似性质求解缺失的边长和角度等。

以上计算方法，需要学生掌握基本技巧和正确的应用方法，及时发现问题并解决。

四、四边形的应用四边形作为常见的图形，在日常生活和工作中有着非常广泛的应用。

在八年级下册数学教学中，学生还将学习如下应用：1. 了解四边形的长度与角度计算方法，更好地理解和计算其在实际问题中的相关应用；2. 探究矩形和正方形的应用，如长方形位置共有问题、立体几何体积计算等；3. 实现对于平行四边形、梯形和菱形的面积计算；4. 了解和研究依据四边形特殊性质推导相关引理和定理等。

学习《四边形》，注重数学思想方法的运用数学思想方法是数学学习的灵魂，正确运用数学思想方法解决问题往往能收到良好的效果．现将学习《四边形》一章时有关数学思想方法的运用举例说明，以帮助同学们复习． 一、转化与化归思想的运用：将四边形的的问题转化成三角形问题来求解，将梯形问题转化成平行四边形或三角形问题来求解，这些都是转化与化归思想的运用．例1．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB ＝DC ，点E 、F 分别在AB 、DC 上，且BE ＝2EA ，CF ＝2FD ． 求证：∠BEC＝∠CFB解析：要证明∠BEC＝∠CFB，将这两个角放入△EBC 和△FCB 中，如果这两个三角形全等，则问题可解． 【解】证明：在梯形ABCD 中，∵AD∥BC，AB ＝DC ∴∠ABC＝∠DCB∵BE＝2EA ，CF ＝2FD∴BE＝CF在△EBC 和△FCB 中， ∴△EBC≌△FCB ∴∠BEC＝∠CFB二、方程思想的运用：运用方程的思想方法来解决四边形中的求值问题是常用的手段．例2．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线之比为3∶4，则菱形面积为__ ____． 解析：由于菱形的两对角线的比为3∶4，周长为40cm ，根据勾股定理可列方程 解：设菱形的两条对角线长分别为6x 和8x ，则它们的一半分别为34x x 、，菱形的边长为40÷4=10．由勾股定理得：22(3)(4)100x x +=，即24x =．所以2x =±（舍去2x =-），菱形的两对角线的长分别为12、16，其面积为96㎝2．三、数形结合思想的运用：在解决与四边形有关问题时，将数与形巧妙结合可以使问题变得简单．例3．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是 （ ）BA.3：4B.5：8C.9：16D.1：2解析：本题只需将数与形结合在一起即可解决．解：由图可知：阴影部分面积是正方形的面积减去四个 阴影部分以外的三角形面积之和，面积为16-6=10，所以， 阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是10:16=5：8，选B ．四、分类讨论思想的运用：BE CF EBC FCBBC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ C D 第12题图例3图例4．有一块梯形状的土地，现要平均分给两个农户种植(即将梯形的面积两等分)，试设计两种方案(平分方案画在备用图上)，并给予合理的解释．解析：此题为实际应用问题中的方案设计问题，要求设计多个方案，应当依据图形特点进行分类讨论．【解】设梯形上、下底分别为a、b，高为h．方案一：如图1，连结梯形上、下底的中点E、F，则S四边形ABFE＝S四边形EFCD＝(a＋b)h4方案二：如图2，分别量出梯形上、下底a、b的长，在下底BC上截取BE＝12(a＋b)，连接AE，则S△ABE＝S四边形AECD ＝(a＋b)h4．方案三：如图3，连结AC，取AC的中点E，连结BE、ED，则图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积的一半．分析此方案可知，∵AE＝EC，∴S△AEB＝S△EBC，S△AED＝S△ECD，∴S△AEB＋S△AED＝S△EBC＋S△ECD，∴图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积的一半五、数学建模思想的运用：例5．小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工(如图甲所示)，他想在现有的六块瓷砖余料中(如图乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)．解析：本题是一个实际应用问题，将此实际问题建立四边形模型，可以进行方案设计．建立数学模型进行方案设计是解决方案设计类型的实际应用问题的有效手段．AB CDEF图1AB CDE图 2AB CDE图 3解：列举以下四种铺设的示意图供参考：。