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2019高三二模分类汇编—解析几何1.若直线l ：12x ty at=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，经过坐标原点，则直线l 的斜率是(A) -2 (B) -1 (C)1 (D)22.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离为3.已知圆22:(1)4C x y -+=与曲线1y x =-相交于,M N 两点，则线段MN 的长度为 4.（本小题满分13分）已知椭圆222:14x y C b+=的左顶点 A 与上顶点B．(Ⅱ)求椭圆C 的方程和焦点的坐标；(Ⅱ)点P 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，若PAQ ∆为等边三角形，求点P 的横坐标．5.椭圆22124:1x y C b+=与曲线2C 关于直线y x =-对称，1C 与2C 分别在第一、二、三、四象限交于点1234,,,.P P P P 若四边形1234PP P P 的面积为4，则点1P 的坐标为_______, 1C 的离心率为__ ．6.设关于,x y 的不等式组0,20,10x x y mx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则m 的取值范围是 . 7.（本小题13分）已知点()1,2P 到抛物线()2:20C y px p =>准线的距离为2.（Ⅰ）求C 的方程及焦点F 的坐标；（Ⅱ）设点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点,A B ，直线,PA PB 分别交x 轴于,M N 两点.求MF NF ⋅的值.8.以椭圆22:154x y C +=在x 轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为 ；此双曲线的渐近线方程为9.（本小题满分14分）已知抛物线2:2W y px =的准线方程为1x =-，焦点为F ，F 为抛物线上异于原点O 的一点。
(Ⅰ) 若5AF =，求以线段OA 为直径的圆的方程；(Ⅱ)设过点F 且平行于OA 的直线l 交抛物线W 于,B C 两点，判断四边形OABC 能否为等腰梯形？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由。
【西城】 18．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e ()3e 3x x m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分 此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. ……… 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =.……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. …………… 8分对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. ………… 11分又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e em -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()e x x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点…… 13分【东城】（18）（本小题 13 分）设函数2()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x . （I ）若01x =，求 a 的值()f x 的单调区间；（II ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于X 轴的下方？若存在，求出一个 点P 坐标，若不存在，说明理由. （18）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞.212(2)1(21)(1)'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==.由已知，得(1)0f '=，解得1a =. 当1a =时，(21)(1)'(),x x f x x+-=当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以()f x 的递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,).+? 所以1a =时函数()f x 在1x =处取得极小值.即()f x '的极小值点为1时a 的值为1. ............................6分 （II ） 当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方，理由如下：由（I ）知(21)(1)'(),x ax f x x +-=当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞单调递减，()f x 不存在极小值点；当0a >时，令(21)(1)'()0x ax f x x +-==，得1x a=.当1(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在区间1(0,)a 上单调递减； 当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间1(,)a +∞上单调递增.所以11()ln 1f a a a=+-是()f x 在(0,)+∞上的最小值.由已知，若001x <<，则有101a <<，即1a >.当1a >时，ln 0a >，且101a <<，110a->. 所以1()0.f a>当001x <<时，曲线()y f x =上所有的点均位于x 轴的上方.故当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方. ...........13分【海淀】(18)（本小题满分14分） 已知函数2()ln(1)f x x x ax =+-.(I)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当0a <时，求证：函数()f x 存在极小值； (Ⅲ)请直接写出函数()f x 的零点个数． 解：（Ⅰ）的定义域为因为所以切点的坐标为因为所以切线的斜率，所以切线的方程为 （Ⅱ）方法一：令因为且，所以，，从而得到在上恒成立所以在上单调递增且，所以，，在区间的变化情况如下表:所以时，取得极小值，问题得证方法二：因为当时，当时，，所以当时，，所以所以，，在区间的变化情况如下表:所以时，函数取得极小值，问题得证（Ⅲ）当或时，函数有一个零点 当且时，函数有两个零点【朝阳】18．（本小题满分13分）已知函数ln()()ax f x x=(R a ∈且0)a ≠. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+； （Ⅲ）讨论函数()f x 的极值． 18． (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）当1a =时，ln ()x f x x =．所以21ln ()xf x x -'=． 因为(1)1,(1)0f f '==，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．……………….3分（Ⅱ）当1a =-时，ln()()x f x x-=． 函数()f x 的定义域为(,0)-∞． 不等式()1f x x ≥+成立⇔ln()1x x x-≥+成立⇔2ln()0x x x ---≤成立. 设2()ln()g x x x x =---((,0))x ∈-∞，则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-++'=--==．当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()(1)g x g ≤-．因为(1)0g -=，所以()0g x ≤，所以ln()1x x x-≥+．………………………………………………………………….8分 （Ⅲ）求导得21ln()()ax f x x -'=. 令()0f x '=，因为0a ≠可得ex a=． 当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极大值e ()ef a =，无极小值． 当0a <时，()f x 的定义域为(),0-∞，当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极小值e ()ef a =，无极大值．……………………………………………….13分【丰台】18．（本小题13分）已知函数3211()(2)e 32x f x x ax ax =--+.（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当e a ≤时，求证：1x =是函数()f x 的极小值点.解：（Ⅰ）因为，所以，故，令，得，所以单调递增区间为； 令，得，所以单调递区间为．（Ⅱ）由题可得.① 当0a ≤时，对任意，都有恒成立，0a =R x ∈()(2)e xf x x =-()(1)e xf x x '=-()0f x '>1x >(1,)+∞()0f x '<1x <(,1)-∞()(1)(e )xf x x ax '=--(0,+)x ∈∞e 0x ax ->所以当时，；当时，. 所以函数在处取得极小值，符合题意.② 当0e a <≤时，设，依然取.则，令，得，所以在上单调递减，在区间上单调递增， 所以.因为0e a <≤，所以min ()(1ln )0g x a a =-≥（当且仅当=e a 时，等号成立，此时1x =）.所以对任意(0,1)(1,)x ∈+∞，都有恒成立.所以当时，；当时，. 所以函数在处取得极小值，符合题意. 综上①②可知：当e a ≤时1x =是函数()f x 的极小值点.【石景山】18.（本小题13分）设函数()1x f x e ax =-+，0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．解：（Ⅰ）()e 1=-+xf x ax Qa e x f x -='∴)(， a e f -='∴)1(，由题设知(1)0f '=，即0=-a e ，解得e a =．经验证e a =满足题意。
北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【压轴类题】汇集【海淀】20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-（Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β（Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.【东城】(20)（本小题14分）对给定的d *∈N ，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}n n n d a a a a d n *+===+∈N .（Ⅰ）若数列{}Ω(2)n a ∈，写出3a 的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω()d ，若2d ≥.求证：存在整数k ，使得对Ω()d 中的任意数列{}n a ，整数k 不是数列{}n a中的项；（Ⅲ）已知数列{}n a ，{}n b ()d ∈Ω，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n A B .若11n n a b ++≤，求证：n n A B ≤.【朝阳】20.（本小题满分13分）已知12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由正整数组成的无穷数列，对任意n *∈N ，n a 满足如下两个条件：①n a 是n 的倍数；②15n n a a +-≤.（Ⅰ）若130a =，232a =，写出满足条件的所有3a 的值；（Ⅱ）求证：当11n ≥时，5n a n ≤；（Ⅲ）求1a 所有可能取值中的最大值.【丰台】20．（本小题13分）将m n ⨯阶数阵111212122212,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 记作{}i j m n a ⨯（其中，当且仅当,i s j t ==时，i j st a a =）.如果对于任意的1,2,3,,i m = ，当12j j <时，都有12i j i j a a <，那么称数阵{}i j m n a ⨯具有性质A .（Ⅰ）写出一个具有性质A 的数阵34{}i j a ⨯，满足以下三个条件：①114a =，②数列1{}n a 是公差为2的等差数列，③数列1{}m a 是公比为12的等比数列；（Ⅱ）将一个具有性质A 的数阵{}i j m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作数阵{}i j m n b ⨯.试判断数阵{}i j m n b ⨯是否具有性质A ，并说明理由.【西城】20．（本小题满分13分）设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N > ：满足i j a a <，其中1i j N <≤≤.如果存在{2,3,,}k N ∈ ，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称A 为“k 阶平衡数列”.（Ⅰ）判断数列2,4,6,8,10和数列1,5,9,13,17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈ ，数列A 均为“k 阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值.【石景山】20.（本小题13分）将1至2n 这2n 个自然数随机填入n n ⨯方格的2n 个方格中，每个方格恰填一个数（*2,n n ∈N ≥）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这2(1)n n -个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．（Ⅰ）若2n =，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；（Ⅱ）当3n =时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为1n n+；（Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于1n n+．【解析卷】北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【压轴类题】汇集【海淀】20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-（Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β（Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.解：(Ⅰ)满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)（Ⅱ）记12(,,,)n x x x α= ，12(,,,)n y y y β= ，注意到{0,1}i x ∈，所以(1)0i i x x -=，所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++- 12nx x x =+++ 12ny y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++= 所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++- 1122n n x y x y x y n ≤++++++= ，当(1,1,,1)α= ，(0,0,,0)β= 时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- 1122()n n n x y x y x y =-+++ 注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y =而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个，当n 为偶数时，n n n αβ*≥-=.当22(1,1,,1,0,0,,0)n nαβ== 个个时，满足n ααββ*+*=，且2nαβ*=.所以αβ*的最小值为2n当n 为奇数时，且1i i x y =，这样的元素i 至多有12n -个，所以1122n n n αβ-+*≥-=.当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-= 个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+= 个时，满足n ααββ*+*=，12n αβ-*=.所以αβ*的最小值为12n -综上：αβ*的最大值为n ，当n 为偶数时，αβ*的最小值为2n ，当n 为奇数时，12n αβ-*=.（Ⅲ）S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈ ，{}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈ 显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈= ，则122n x x x n +++≤- 则12n x x x ，，，中至少存在两个元素0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈= ，βα≠因为1n αβ*≥-，所以,i j y y 不能同时为0所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言，在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α= 满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211nn C n n ++=++记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω ，则1T 中共1n +个元素，对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-.对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.记12S T T = ，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.【东城】(20)（本小题14分）对给定的d *∈N ，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}n n n d a a a a d n *+===+∈N .（Ⅰ）若数列{}Ω(2)n a ∈，写出3a 的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω()d ，若2d ≥.求证：存在整数k ，使得对Ω()d 中的任意数列{}n a ，整数k 不是数列{}n a 中的项；（Ⅲ）已知数列{}n a ，{}n b ()d ∈Ω，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n A B .若11n n a b ++≤，求证：n n A B ≤.（20）（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{}Ω(2)n a ∈，即2d =，1 1.a =由已知有21123a a d =+=+=，所以23a =±，3222a a d a =+=+，将23a =±代入得3a 的所有可能取值为5,1,1,5.--..............................4分（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列:{}()1()n n a d a md m ∈Ω±∈Z 若数列则具有的形式.，①当1n =时，101a d =⋅+，因此1n =时结论成立.②假设当n k k *=∈N （）时结论成立，即存在整数0m ，使得001k a m d =±成立.当1n k =+时，1000001(1)1k a m d d m d +=±+=+±，10(1)1k a m d +=+±，或10(1) 1.k a m d +=-+±所以当1n k =+时结论也成立.由①②可知，若数列{}Ω()n a d ∈，n n a *∈N 对任意，具有1()md m ±∈Z 的形式.由于n a 具有1()md m ±∈Z 的形式，以及2d ≥，可得n a 不是d 的整数倍.故取整数k d =，则整数k 均不是数列{}n a 中的项..............................9分（Ⅲ）由1n n a a d +=+可得：22212.n n n a a a d d +=++所以有22212n n n a a a d d +=++，222112n n n a a a d d --=++，2221222n n n a a a d d ---=++，2222112.a a a d d =++以上各式相加可得22112n n a d n S d +-=+，即22221111..2222n n n n a b nd nd A B d d d d ++++=-=-同理当11n n a b ++≤时，有22+1+1n n a b ≤，由于d *∈N ，所以22+11n n a b +≤，于是222211112222n n a b nd nd d d d d ++++--≤，.n n A B ≤即成立.............................14分【朝阳】20.（本小题满分13分）已知12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由正整数组成的无穷数列，对任意n *∈N ，n a 满足如下两个条件：①n a 是n 的倍数；②15n n a a +-≤.（Ⅰ）若130a =，232a =，写出满足条件的所有3a 的值；（Ⅱ）求证：当11n ≥时，5n a n ≤；（Ⅲ）求1a 所有可能取值中的最大值.20.（本小题满分13分）（Ⅰ）3a 的值可取27,30,33,36..…………3分（Ⅱ）由()151,2,n n a a n +≤+=⋅⋅⋅，对于任意的n ，有15(1)n a n a ≤-+.当14n a ≥-时，15(1)n a n a ≤-+，即5(1)4n a n n ≤-++，即61n a n ≤-.则6n a n <成立.因为n a 是n 的倍数，所以当14n a ≥-时，有5n a n ≤成立.若存在n 使5n a n >，依以上所证，这样的n 的个数是有限的，设其中最大的为N .则5N a N >,15(1)N a N +≤+成立，因为N a 是N 的倍数，故6N a N ≥.由+1565(1)5N N a a N N N ≥-≥-+=-,得10N ≤.因此当11n ≥时，5n a n ≤.…………8分（Ⅲ）由上问知1155a ≤，因为+15n n a a ≤+且n a 是n 的倍数，所以1091,,,a a a ⋅⋅⋅满足下面的不等式：1060a ≤，963a ≤，864a ≤，763a ≤，666a ≤，570a ≤，472a ≤，375a ≤，280a ≤，185a ≤.则1=85a ,2=80a ,3=75a ,472a =,570a =,666a =,763a =,864a =,963a =,1060a =,当11n ≥时，5n a n =这个数列符合条件.故所求1a 的最大值为85.………13分【丰台】20．（本小题13分）将m n ⨯阶数阵111212122212,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 记作{}i j m n a ⨯（其中，当且仅当,i s j t ==时，i j st a a =）.如果对于任意的1,2,3,,i m = ，当12j j <时，都有12i j i j a a <，那么称数阵{}i j m n a ⨯具有性质A .（Ⅰ）写出一个具有性质A 的数阵34{}i j a ⨯，满足以下三个条件：①114a =，②数列1{}n a 是公差为2的等差数列，③数列1{}m a 是公比为12的等比数列；（Ⅱ）将一个具有性质A 的数阵{}i j m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作数阵{}i j m n b ⨯.试判断数阵{}i j m n b ⨯是否具有性质A ，并说明理由.20．（共13分）解：（Ⅰ）4,6,8,102,3,5,71,9,11,12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（答案不唯一） (4)分（Ⅱ）数阵{}i j m n b ⨯具有性质A .只需证明，对于任意的1,2,3,,i n = ，都有(1)i j i j b b +<，其中1,2,3,,1j n =- .下面用反证明法证明：假设存在(1)pq p q b b +>，则(1)(2),,,p q p q mq b b b ++ 都大于(1)p q b +，即在第q 列中，至少有1m p -+个数大于(1)p q b +，且(1)(1)(1)2(1)1(1)p q p q q q b b b b +-+++>>>> .根据题意，对于每一个(1)(1,2,,)t q b t p += ，都至少存在一个t i q a {}(1,2,3,,)t i m ∈ ，使得(1)t i q t q a b +<，即在第q 列中，至少有p 个数小于(1)p q b +.所以，第q 列中至少有11m p p m -++=+个数，这与第q 列中只有m 个数矛盾.所以假设不成立.所以数阵{}i j m n b ⨯具有性质A ....………….13分【西城】20．（本小题满分13分）设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N > ：满足i j a a <，其中1i j N <≤≤.如果存在{2,3,,}k N ∈ ，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称A 为“k 阶平衡数列”.（Ⅰ）判断数列2,4,6,8,10和数列1,5,9,13,17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈ ，数列A 均为“k 阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值.20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）数列2,4,6,8,10不是4阶平衡数列；数列1,5,9,13,17是4阶平衡数列.………………3分（Ⅱ）若k 为偶数，设k =2m ()m *∈N .考虑1,2,3,,k 这k 项，其和为(1)2k k S +=，所以这k 项的算术平均值为(1)2122S k m k ++==，此数不是整数.…………5分若k 为奇数，设k =2m +1()m *∈N .考虑1,2,3,,1,1k k -+ 这k 项，其和为(1)12k k S +'=+，所以这k 项的算术平均值为(1)111221S k m k k m '+=+=+++，此数不是整数.故数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .………8分（Ⅲ）在数列A 中任取两项,()s t a a s t ≠，对于任意{2,3,,1}k N ∈- ，在A 中任取与,s t a a 相异的k -1项，并设这k -1项的和为0S .由题意，得00,s t S a S a ++都是k 的倍数，即00,(,)s t S a pk S a qk p q +=+=∈Z ，因此()s t a a p q k -=-，即数列中任意两项的差s t a a -都是k 的倍数，其中{2,3,,1}k N ∈- .因此所求数列A 的任意两项之差都是2,3,,1N - 的公倍数.………………9分如果数列A 的项数超过8，那么213287,,,a a a a a a --- 均为2,3,4,5,6,7的倍数，即213287,,,a a a a a a --- 均为420的倍数（注：420为2,3,4,5,6,7的最小公倍数），所以81213287()()()42072940a a a a a a a a -=-+-++->⨯= ，所以8129402940a a >+>，这与2019N a ≤矛盾，因此数列A 至多有7项.………………11分如果数列A 的项数为7，那么213276,,,a a a a a a --- 均为2,3,4,5,6的倍数，即213276,,,a a a a a a --- 均为60的倍数（注：60为2,3,4,5,6的最小公倍数），又因为72019a ≤，且1237a a a a <<<< ，所以6201960a -≤，52019260a -⨯≤， ，12019660a ⨯≤-，所以1672019(201960)(2019660)12873a a a ++++-++-⨯= ≤.当且仅当201960(7)159960i a i i =--=+（其中1,2,,7i = ）时，167a a a +++ 取到最大值12873.验证知此数列为“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .如果数列A 的项数小于或等于6，由2019N a ≤，得数列A 中所有项之和小于或等于2019612114⨯=.综上可得：数列A 的所有元素之和的最大值为12873.………………13分【石景山】20.（本小题13分）将1至2n 这2n 个自然数随机填入n n ⨯方格的2n 个方格中，每个方格恰填一个数（*2,n n ∈N ≥）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这2(1)n n -个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．（Ⅰ）若2n =，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；（Ⅱ）当3n =时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为1n n +；（Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于1n n +．20.（本题（Ⅱ）（前两问答案不唯一，请酌情给分）（Ⅲ）不妨设A 为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为()C A ,考虑含n +1个元素的集合2222{1,2}B n n n n n =--- ，，，，易知其中必有至少两个数处于同一行，设为212x x n <≤…7分也必有至少两个数处于同一列，设为212y y n <≤.①若211max(,)1x y n n -+≥则有222111()max(,)1n n n C A x y n n n +<-+≤≤（因为33+1n n >）.②若211max(,)1x y n n <-+，即211x y n n ==-，则22x y ≠，222min(,)1x y n -≤．所以22222min(,)1(1)(1)1()(1)xy n n n n C A n n n n n n n -+-+==---≤≤.即不论何种情况，总有1()n C A n +≤.…13分。
【海淀】15．（本小题满分13分） 已知函数()s()cos22f x aco x x π=--（Ⅰ）比较()6f π和()2f π的大小；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.解：（Ⅰ）因为π1(),622a f =- π()12f a =+ 所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >，所以3022a +>，所以ππ()()26f f >（Ⅱ）因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =--22sin sin 1x a x =+- 设sin ,t x = ππ[,]22x ∈-，所以[1,1]t ∈-, 所以221y t at =+-,其对称轴为4at =-当14at =-<-，即4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4a t =-时函数取得最小值218a --【东城】(15)（本小题13分）在△ABC 2sin cos sin .c A B a C = （Ⅰ）求B ∠的大小；2cos ABC a A (Ⅱ)若的面积为△，求的值.解:sin sin sin cos sin 2ABC a C c A a C B c A ==(Ⅰ)在△中，由正弦定理得所以，=0B <∠<π又，=.4B π∠所以 .............................5分21sin ,.24S =ABC ac a c π==(Ⅱ)因为的面积所以△22282,.2b a a a b =+-⋅⋅⋅=由余弦定理所以，222cos10A ==所以 .............................13分【朝阳】15.（本小题满分13分）在ABC △中，已知312,cos 413A C π==，13.BC = （Ⅰ）求AB 的长；（Ⅱ）求BC 边上的中线AD 的长. 15. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由12cos 13C =，02C π<<，所以5sin 13C =.由正弦定理得，sin sin AB BCC A =，即5sin =13sin 2C AB BC A =⋅= .……… 6分（Ⅱ）在ABD △中，3cos cos()42226B C C C π=π--=+=. 由余弦定理得，222+2cos AD AB BD AB BD B =-⋅,所以2AD 216913172292)+25242264=-⨯⨯=. 所以29AD =. ……………… 13分 【丰台】15．（本小题13分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3a =，b =，1cos 3B =. （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求ABC △的面积. 15.（共13分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为3a =，b =，1cos 3B =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， ……………….2分可得2230c c --=， ……………….4分所以3c =，或1c =-（舍）． ……………….6分（Ⅱ）因为1cos ,(0,)3B B =∈π，所以sin B ==.所以ABC △的面积11sin 33223S ac B ==⨯⨯⨯=. …………….13分 【西城】15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，3a =，b =2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）试比较B ∠与C ∠的大小． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 2分得3sin A =3sin A =……………… 4分解得cos A = ……………… 6分（Ⅱ）由(0,π)A ∈，得sin A ==. ……………… 7分因为2B A =，所以21cos cos22cos 13B A A ==-=.……………… 8分 所以222sin 1cos B B =-=……………… 9分 又因为πA B C ++=， 所以c o s c o s ()c o s c o ss i n n C A B A B A =-+=-+.……………… 11分 所以c o s c o s B C >.又因为函数cos y x =在(0,π)上单调递减，且,(0,π)B C ∈，所以B C ∠<∠. ……………… 13分【石景山】15. （本小题13分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A π=+>><ωϕωϕ的部分图象如图所示. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2π上的最小值.15．（本小题13分）解：（Ⅰ）由图可得1,A =4233T ππ=-=π，所以2,1T =πω=. 当3x π=时，1)(=x f ，可得sin()13π+ϕ=，||,.26ππϕ<∴ϕ=()sin()6f x x π∴=+.（Ⅱ）()()cos sin()cos sin cos cos sin cos 666g x f x x x x x x x πππ=-=+-=+-1cos sin()26x x x π=-=-. 0,2663x x ππππ∴--≤≤≤≤.当66x ππ-=-，即0=x 时，)(x g 有最小值为21-.。
“L ”形骨牌国际象棋棋盘【海淀】（8）已知集合{(,)|150,150,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N . 若B A ⊆，且对任意的(,),(,)a b B x y B∈∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为（A ）25（B ）49（C ）75 （D ）99 【西城】8. 一个国际象棋棋盘（由88⨯个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）. “L ”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示. 现要将这个破损的棋盘剪成数个“L ”形骨牌，则 （A ）至多能剪成19块“L ”形骨牌（B ）至多能剪成20块“L ”形骨牌 （C ）一定能剪成21块“L ”形骨牌（D ）前三个答案都不对【东城】(8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E (单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为1E 和2E ，则12E E 的值所在的区间为 (A)(1,2) (B) (5,6) (C) (7,8) (D)(15,16)【朝阳】8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为 A.2 3C.13D.14【丰台】8．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分 别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为C 1A 1（A（B ）1 （C（D ）2【石景山】8.已知函数()21,0,log ,0,ax x f x x x +⎧=⎨>⎩≤则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数的判断正确的是A. 当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点B. 当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点C. 无论a 为何值，均有2个零点D. 无论a 为何值，均有4个零点 【昌平】（8）设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是A ．B ．C ．5D ．8【大兴】（8）A ，B 两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比(与2017年6月比较)增长率如下表：根据此表中的数据，有如下四个结论： ①A 1车型销量比B 1车型销量多；②A 品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%； ③B 品牌三种车型车总销量环比增长率可能为正；④A 品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B 品牌三种车型总销量环比增长率． 其中正确的结论个数是（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【房山】C 123（8）已知点(4,0),(6,0)A B ，点P 在圆22(4)4x y +-=上运动，M 为线段BP 的中点，则使△OAM （O 为坐标原点）为直角三角形的点M 的个数为 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）4【通州】8.设函数()y f x =图象上不同两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，规定(),A Bk k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数sin y x =图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和1-，则(),0A B ϕ=； ②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数； ③设A ,B 是抛物线2y x =上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设A ,B 是曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同的两点，则(),1A B ϕ>．其中真命题的个数为 A. 1 B.2 C.3 D. 4。
【海淀】18.(本小题满分14分)2X 2椭圆y =1的左焦点为F,过点M(_2,0)的直线I与椭圆交于不同两点A,B2(I)求椭圆的离心率；(n)若点B关于X轴的对称点为B'求AB'的取值范围•解：(I) 因为a2 =2,b2 =1，所以a=』2,b=1,c = 1 所以离心率(n)法一：设A(X i,y i), B(X2, y2)显然直线I存在斜率，设直线I的方程为y =k(x 2)-2X * 2 _1所以T y =，所以(2k21)x2 8k2x 8k2-2=0y k(x 2).■- -8 -16k2 .0,所以k2■：-2 所以厂 2丄kX1 X2 =2k2 18k2 -2X1 X2 22k2 1因为B'(X2, *2)所以|AB'|-.(X1 -X2)2 (y1 y2)222 2 8—16k因为(x. - x2) (x1 x2) 4X t X2二--- 2 --------- 2(2k2 +1)24k y1^-y2=k(x 亠2)亠k(x2亠2)=k(x、x2)亠4 2——2 k *1所以AB'I二2.28 -16k216k2_ 8—(2k2 1)2 (2k2 1)2「(2k21)2 _2k2 1因为。
时2，所以呻法二：设A(X i,y i),B(X2,y2)当直线I 是X轴时,|AB'| = 2 2 当直线I不是X轴时，设直线I的方程为x=ty-2所以'2X V2=1 2 22y '，所以(t2 2)y2-4ty 2 =0,所以x t y「2y i y24tt2 22"t2 2因为B'(X2, -丫2)所以|AB'|「(为一刈)2• (y1 y2)2因为(X1 -X2)2乂％ -ty2)2“J -y2)_t2[(y1汀-4汨2]72F池因为 t 2 2，所以 |AB\ (•• 2,2 . 2) 综上，AB'|的取值范围是(•. 2,2 .. 2]. 【东城】(19)(本小题13分)2 2已知椭圆c:笃• y 1过点P (2,1).a 2(I)求椭圆C 的方程，并求其离心率;(n )过点P 作x 轴的垂线I ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆 C 上(点A 不在直线I 上)，点A 关于I 的对称点为A ，直线AP 与C 交于另一点B .设0为原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由 (19)(共 13 分)所以 ABi Wt 8；「「2)2粥各2")解：(1)由椭圆方程=1过点(21)2，可得a =8.的方程2 2… x y为 1 ，离心率8 276 43 °d2 盲.(n)直线AB与直线0P平行•证明如下:设直线PA:y-1=k x-2 , PB:y-1--k x-2 ,设点A的坐标为(x A, y A),点B的坐标为(x B, y B).'2 2xy1, 2 2 2由< 828k(1—2k) 16k(1—2k) 8k —8k — 2 则2 x A 2, x A 2 2 —4k2+1 4k2+1 4k2+14k2 1由 y A 二阪-2k 1,有 y Af kx A x B - 42冇，因为A 在第四象限，所以k = 0，且A 不在直线OP 上.所以直线AB 与直线OP 平行................ 13分【朝阳】19.(本小题满分14分)2x过椭圆W:y 2 =1的左焦点F 1作直线11交椭圆于 代B 两点，其中A (0,1)，另一条2过F 1的直线J 交椭圆于C, D 两点(不与 代B 重合)，且D 点不与点 0, - 1重合•过F 1作x 轴的垂线分别交直线 AD ，BC 于E ,G .(I)求B 点坐标和直线11的方程； (n)求证：|EF 1 = FG .19.(本小题满分14分)y = x 1解：(I)由题意可得直线11的方程为y=x ，1.与椭圆方程联立，由x 22W 1 41 可求B(,)........... ・4•分33(n)当12与x 轴垂直时，C, D 两点与E ,G 两点重合，由椭圆的对称性，|EF 」=FG| •当12不与x 轴垂直时，设 C X 1,y 1 , D X 2,y 2 , I 2的方程为 y =k(x • 1) ( k = 1)同理x B =.28k 8k -224k 1，所以X A -X B-16k 4k 2 1yA ~ y B1X A -X B 22y X2 10 - k)为1(k-1Y E Y G3x14(1-灯你2 1 (3x1 4) 7 X1 1X2 (3X1 4)(1-k) l2x1x23(x 1 x )2 41X (3X1 4)把X)+x2 2 ，x1x2 2 代入到2X-|X2 3( X)x2) 4 中,2k +1 2k +1y 二k(x 1)由x2_ 消去22—y2 =1y，整理得2k2 1 x22 24k X 2k —2 = 0.则x +x2-4k22k2 -2由已知,则直线2k2 1 X1X2 =X20,AD的方程为y_1令x = -1 ,得点E的纵坐标X2Y E = _1.把J?二k X2 1 代入得X2 1 (1-k)X2 X24由已知，X1 ，则直线BC的方程为y3Y1 1X i-^(x -)，令x=—1，得点G4 3的纵坐标y G=出―X^^ •把y^ k X1 1代入得Y G X i 1 (k-1)43(x,肓)3X1 4X2-4k22X1X2 g X2)4 = 2 2k2 ,1-4k2【丰台】18.Y E Y G(本小题2k2—23站)"0.=0，即EF」=FG .14分)14分已知椭圆c：- y2^1(a b 0)的右焦点为F(1,0)，离心率为丄，直线l:y = k(x-4)b 22(k =0)与椭圆C 交于不同两点 M , N ，直线FM ,FN 分别交y 轴于A, B 两点.(I)求椭圆C 的方程； (n)求证：I FA |=| FB |.18.(共 14 分)” C = 1, c 1I a = 2, 解：(I)由题意得 C =丄， 解得g 严a 2j b = >/3.2 2 2a b c .2 2所以椭圆C 的方程为—y 1......... 分4 3(n)设 M x-!, y 1 ,N x 2, y 2 (为=1 且x 2 -1).y = k x-4 ,2 2 2 2由 x 2 V 2得 4k 3 x -32k x 64k -12 二 0——+— =14 32 2 2 2 21依题意.：=-32k -4 4k 3 64k -120,即 0 ：： k :432k 2 X 1 X 2 2,4k 3 2 64 k -12k N -4 k X 2 -4 x 1 _ 1X 2 _ 1k ||2x -|X 2 -5 x-i(X 1 T X X2 T )X 1 -1 X 2 -1=0 .所以直线MF 的倾斜角与直线 NF 的倾斜角互补，即• OFA=/OFB .x-i x4k 2 3因为 k MF ' k NFV 1 . V 2 X 1 1 1 X 2 1 1因为OF — AB，所以|FA|=|FB |.•分14【西城】19.（本小题满分14分）圆C 上异于A,B 的一点，直线 AM 与y 轴交于点P .（I ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线 A M 的斜率的取值范围；（H ）设椭圆C 的右焦点为F ,点Q 在y 轴上，且AQ//BM ，求证：.PFQ 为定值.19.（本小题满分14分）解：（I ）由题意，得 c 2 二a 2 -2 , - 2,a 2分2 2x y 丿 1.4 2设P （O,m ），由点P 在椭圆C 的内部，得2 :：: m 八㊁，又因为A(-2,0),又因为M 是椭圆C 上异于A,B 的一点，所以 k AM （-¥，0）—0，¥）. .............. 6 分2 22 2（H ）由题意 F （'、2,0），设 M （X c ,y o ），其中 X 0 =二2，则严 号"所以直线AM 的方程为y =^（x ® 令x =0 ,得点P 的坐标为（0,-^J ）.X 。
北京市各区高三理科数学分类汇编----圆锥曲线（2017海淀期末）1. 抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（ B ）A.12B.1C.2D.3（2017海淀期末）5.已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是（ A ） A.152y x =-B.152y x =C.32y x =- D.23y x =-+（2017东城期末）（2）抛物线22y x =的准线方程是（ D ） （A ）1y =-（B ）12y =-（C ）1x =-（D ）12x =- (2017西城期末)3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（ B ）（A ）30x y =（B 30x y ±=（C ）30y =（D ）30x y ±=(2017通州期末) 4．“>1m ”是“方程2211x m m =-表示双曲线”的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2017昌平期末）(7) 在焦距为2c 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则 “b c <”是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的（ A ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（2017年朝阳一模）（5）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率为3=PF （ C ）（A ） 34 （B ） 6 （C ） 8 （D ）16(2017年平谷一模)7.已知点M (0，15）及抛物线x y 42=上一动点)(y x N ，，则||MN x +的最小值为（ C ）A ．5B ． 32C ． 3D ． 4(2017年西城二模)5．设双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的离心率是3，则其渐近线的方程为（ A ） （A）0x ±= （B）0y ±= （C ）80x y ±= （D ）80x y ±=(2017年丰台二模)4. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为12y x=±的是（ D ）（A ）2214yx -= （B ）2214xy -=（C ）2214yx -= （D ）2214xy -=填空题部分：（2017东城期末）（11）若点(2,0)P 到双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =____1±___．（2017朝阳期末）9．已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于 3 ． （2017石景山期末）11．若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是(0) ．（2017丰台期末）10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 53 ．(2017年东城一模) （13）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为等边三角形OAB 的边,OA OB 所在直线，直线AB 过双曲线的焦点，且||2AB =，则a = ___32____． (2017年海淀一模)10.已知12(2,0),(2,0)F F -，满足12||||2PF PF -=的动点P 的轨迹方程为__2213y x -=__.(2017年丰台一模)9. 抛物线22y x =的准线方程是 12x =- ． (2017年石景山一模)11．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p = 4 ．(2017年平谷一模)12．在平面直角坐标系xOy 中，若方程142222=+-m y m x 表示双曲线，则实数m 的范围_______ m >0 ______；若此双曲线的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为_____x y 2±=___.（2017年朝阳二模）9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是 y = ，离心率是(2017年东城二模)（13）在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60o，则||OA(2017年海淀二模)14.已知椭圆G ：22216x y b+=(0b << 的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+. 当b 变化时，给出下列三个命题： ①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个； ③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是_______①③______．解答题部分：（2017西城期末）19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．【解析】将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB = 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，所以△MAB 面积的最大值是2．（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．直线MA 的方程为00()y ny n x t x t--=--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而000ty nx OE y n-=-．直线MB 的方程为00()y ny n x t x t++=--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而000ty nx OF y n+=+．所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n --()()222200224242=n y n y y n----22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．（2017海淀期末）18. （本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点.（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=， 解得212,23a a ==.所以2228,22c a b c =-==（Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+.由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得AB k =所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=②将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=u u u r u u u r. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++u u u r u u u r 2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.（2017东城期末）（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)M ，离心率为12．,A B 是椭圆C 上两点，且直线,OA OB的斜率之积为34-，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若射线OA 上的点P 满足||3||PO OA =，且PB 与椭圆交于点Q ，求||||BP BQ 的值． 【知识点】圆锥曲线综合 【难度】4 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ．因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =， 所以11(3,3)P x y ． 因为,,B Q P 三点共线，所以BP BQ λ=u u u r u u u r ．所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ--=--，123212323(),3().x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩ 解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ--+++=．即2222211222296(1)()()()14343x y x y λλλλλ--+++-=1， 因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34-， 所以121234y y x x ⋅=-，即1212043x x y y +=． 所以2291()1λλλ-+=，解得5λ=． 所以||||5||BP BQ λ==． （2017朝阳期末）18． （本小题满分13分）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P与其顶点(A,B 不重合． （Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则2200132x y +=． 所以直线PA 与PB2200220062233(3)3y x x x -===---．……4分 （Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为3±，设直线OM 的方程是3y x =，由22236,,x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2x =±，1y =±．取M，则1)N -．所以OMN ∆②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=．因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．MN ===． 设点O 到直线MN 的距离为d，则d =所以OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①． 因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，所以121223y y x x =-．所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-．由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①②，得OMNS ∆===．综上所述，2OMN S ∆=． …………………………………13分(2017石景山期末18)18．（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于x 轴的对称点为B '．直线B A '与x 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由． 解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =．又因为c e a ==c =1b ==． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-， 所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与x 轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 (2017丰台期末)19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分 所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=．所以，FS FT ⋅uu r uu u r的值是定值，且定值为0. ……………….13分(2017通州期末)19．（本小题满分13分）如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点)23,1(P ，离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），直线AB 与直线:4l x =相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列． 解：（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b+=① 11,22c e a ==又所以②由①②得2221,4,3c a b ===，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=……………….4分（Ⅱ）椭圆右焦点坐标F (1,0)，显然直线AB 斜率存在，设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(1)y k x =-③…………….5分代入椭圆方程22143x y +=，整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-= ……………….6分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++④ ……………….7分在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而2121213322,,11y y k k x x --==-- 33312412k k k -==--，……………….9分 又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==， 即有k x yx y =-=-112211 所以=+21k k =--+--1231232211x y x y )1111(2311212211-+---+-x x x y x y=2k -121212232()1x x x x x x g +--++⑤ 将④代入⑤得=+21k k 322k g -12134834)3(42348222222-=++-+--+k k k k k k k ，……………….12分又213-=k k ， 所以=+21k k 32k ，即132,,k k k 成等差数列.……………….13分(2017房山期末)19．在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为（θ为参数），已知圆O 与y 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，点P 为直线l ：y=4上的动点．直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点分别为M ，N ． （Ⅰ）写出圆O 的标准方程；（Ⅱ）若△PAN 与△MAN 的面积相等，求直线PA 的方程； （Ⅲ）求证：直线MN 经过定点． 【解答】（I ）解：由圆O 的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得：x 2+y 2=4．（II ）解：如图所示，A （0，2），B （0，﹣2），设P （t ，4）． 直线PA 方程为：y=x +2，（t ≠0）．联立，化为： +x=0，解得x M =﹣，y M =．可得M ．∵△PAN 与△MAN 的面积相等，∴PA=AM ． ∴0=，解得t=±2．∴直线PA 的方程为：y=±x +2．（III ）证明：直线PB 的方程为：y=x ﹣2．（t ≠0）． 由（II ）同理可得：N．k MN ==．直线MN 的方程为：y ﹣=，令x=0，可得y=1．∴直线MN 经过定点（0，1）．（2017年朝阳一模）(19)（本小题满分14分）已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>，离心率63e =．直线:1l x my =+与x 轴交于点A ，与椭圆C 相交于,E F 两点．自点,E F 分别向直线3x =作垂线，垂足分别为11,E F .（Ⅰ）求椭圆C 的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记1AEE ∆,11AE F ∆,1AFF ∆的面积分别为1S ,2S ,3S ，试证明1322S S S 为定值. 解：（Ⅰ）由题意可知1b =，又6c a =，即22123a a -=. 解得23a =.即3a =.所以222c a b =-=.所以椭圆C 的方程为2213x y +=，焦点坐标为(2,0)±. …………………4分（Ⅱ）由221,330x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(3)220m y my ++-=，显然m ∈R .设1122(,),(,)E x y F x y ,则12122222,33m y y y y m m --+==++，1112(3,),(3,)E y F y . 因为13112211(3)(3)22S S x y x y =-⋅- 12121(2)(2)4my my y y =--21212121[42()]4m y y m y y y y =-++ 22221222(42)4333m m m m m m ---=-⋅+⋅+++2223(2)(3)m m +=+， 又因为222121[2]2S y y =⨯-21212()4y y y y =+-222248(3)3m m m =+++22=2221224(3)m m +=+. 所以22213222223(2)1(3)12(2)4(3)m S S m m S m ++==++. ………………………………14分(2017年东城一模)（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设,A B 是椭圆C 的左，右顶点，P 为椭圆上异于,A B 的一点，以原点O 为端点分别作与直线AP 和BP平行的射线，交椭圆C 于,M N 两点，求证：△OMN 的面积为定值．解：（Ⅰ）由题意得2222,b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,a b == 所以椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………5分（Ⅱ）设点00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ．①11(,)M x y ，22(,)N x y 在x 轴同侧，不妨设12120,0,0,0x x y y ><>>． 射线OM 的方程为002y y x x =+，射线ON 的方程为002y y x x =-， 所以01102y y x x =+，02202y y x x =-，且2200142x y +=． 过,M N 作x 轴的垂线，垂足分别为'M ，'N ， ΔΔ'Δ'''OMN OMM ONN MM N N S S S S =--四边形 121211221=[()()]2y y x x x y x y +--+ 02011221120011()()2222y x y x x y x y x x x x =-=??-+ 0012121222000441112422y y x x x x x x x y y =⋅=⋅=-⋅--． 由221101101,42,2x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得220112()42y x x x +=+， 即220102200004(2)2(2)2x x x x y +==+++， 同理2202x x =-，所以，2222120042x x x y =-=，即120x x =，所以，OMN S ∆=② 11(,)M x y ，22(,)N x y 在x 轴异侧，方法同 ①．综合①②，△OMN ． ………………14分(2017年海淀一模)19.（本小题满分14分）已知椭圆G :2212x y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点． （Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由已知可知1(1,0)F -，又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =+设A (11,x y )，B (22,x y )，由221,1,2y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1101x y =⎧⎨=⎩，224313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以AB 中点M 21(,)33-，于是直线OM 的斜率为1323=-12-．（Ⅱ）解法1：假设存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点(1,0)M -，所以AM =1)1CM DM ⋅==，矛盾； 故可设直线l 的方程为：(1)(0)y k x k =+≠，联立椭圆G 的方程，得：2222(21)42(1)0kx k x k +++-=，设A (11,x y )，B (22,x y )，则212x x +=2于是，1212(1)22y y x x k k ++=⋅+=⋅点M 的坐标为(2222,2121k kk k -++),AB ． 直线CD 的方程为：12y x k=-⋅，联立椭圆G 的方程，得：222421k x k =+，设C (x 0，y 0)，则222200021(1)4OC x y x k=+=+⋅224121k k +=+，由题知，22244(||||)(|||)4(||||)AB CM DM CO OM CM OM CO OM =⋅=+-=-，即：22228(1)(21)k k ⋅++22222241(41)4()21(21)k k k k k ++=-++， 化简，得：212k =，故k =，所以直线l 的方程为：1),1)y x y x =+=+． （II ）解法2：假设存在直线l 使得2AMCM DM =成立由题意直线l 的斜率不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =-，由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，得22(2)210m y my +--=，设11(,)A x y ，22(,)B x y 则12122221,22m y y y y m m -+==++，2122)2m AB y m +-=+， 212122224()2222m x x m y y m m -+=+-=-=++， 所以AB 中点M 的坐标为222(,)22mm m -++， 所以直线CD 的方程为：2my x =-，由22222m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2242x m =+， 由对称性，设00(,)C x y ，则00(,)D x y --，即20242x m =+2222022(4)(1)(2)M M M m m CM DM x x x x m ++=-+-=+，由||2||AB AM =，2AM CM DM =得，即22222(4)(1)4(2)m m m ++=⨯+⎝⎭， 解得22m =，故m =，所以直线l 的方程为：1,1x x =-=-.(2017年西城一模)19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -， ||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 且平行于AP 的直线与直线4x =交于点E ．求证：ODF OEF ∠=∠．解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =．所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 4分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 6分] 所以 21216243k x k --+=+． [ 7分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 8分] 所以直线OM 的斜率是222643843k k k k +=-+[ 9分] 所以直线OM 的方程是 34y x k=-．令4x =，得3(4,)D k -． [10分]直线OE 的方程是 y kx =．令4x =，得(4,4)E k ． [11分] 由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是44413k k=-，所以EF OM ⊥，记垂足为H ； 因为直线DF 的斜率是 3141k k-=--，所以DF OE ⊥，记垂足为G ． [13分]在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以 ODF OEF ∠=∠． [14分]解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分]所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 直线OE 的方程是 112y y x x =+．令4x =，得114(4,)2y E x +． [ 9分] 由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是 1143(2)EF y k x =+， [10分]因为 211121114413(2)23(4)EF OMy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， 所以EF OM ⊥，记垂足为H ； [12分] 同理可得 211121114413(2)23(4)DF OEy y y k k x x x ⋅=⋅==--+-， 所以DF OE ⊥，记垂足为G ． [13分] 在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以 ODF OEF ∠=∠． [14分](2017年丰台一模)19.（本小题共14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为，右焦点为F ，点()01，B 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，交直线2=x 于点P ，设=PM MF λu u u r u u u r，=PN NF μuuu r uuu r ，求证：λμ+为定值．（Ⅰ）解：因为点(01)B ,在椭圆C ：22221x y a b +=上，所以211b =，即1b =.又因为椭圆C的离心率为，所以c a=， 由222a b c =+，得a所以椭圆C 的方程为2212+=x y . ...………………5分（Ⅱ）证明：由已知得(1,0)F ,直线MN 的斜率存在.设直线MN 的方程为(1)=-y k x ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则(2,)P k . 由λ=u u u u r u u u u rPM MF ，μ=u u u r u u u r PN NF ,得121222,11λμ--==--x x x x ， 所以121212*********()2411()1x x x x x x x x x x x x λμ--+--+=+=---++， .联立221,2(1),y k x x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-=. 所以2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+. 因为 221212224223()243241212k k x x x x k k -+--=⨯-⨯-++ 222212444812k k k k -+--=+0=，所以0λμ+=为定值． ...………………14分(2017年石景山一模)19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点（0，1．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A C 、两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B 、N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c .因为点（0,1）在椭圆C 上，所以1b =．故221a c -=．又因为2c e a ==，所以c =2a =． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ） 设1122(,),(,)A x y C x y ，线段AC 中点为00(,)M x y ． 联立 2214402y x m x y =++-=和，得：222220x mx m ++-=． 由222(2)4(22)840m m m ∆=--=->，可得m << 所以122x x m +=-，21222x x m =-． ……………8分 所以AC 中点为1(,)2M m m -． …………9分弦长||AC === ………10分又直线l 与x 轴的交点(2,0)N m -， ………11分所以||MN == ………12分所以2222215||||||||||42BN BM MN AC MN =+=+=． 所以B 、N两点间距离为定值2． ………14分(2017年顺义一模)19.(本小题满分14分)已知椭圆C ：12222=+b y a x )0(>>b a经过点E，离心率为3， O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆C 上一动点，点(3,0)A 与点P 的垂直平分线交y 轴于点B ，求||OB 的最小值.（Ⅰ）解：离心率为c a =，所以2223c a =，故2213b a =，椭圆C 为2222113x y a a +=把点E 带入得226, 2a b ==，所以椭圆C 的方程为22162x y +=. ……………5分（Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，设点000(,)(0)P x y y ≠，则线段AP 的中点D 的坐标为003(,)22x y +， 且直线AP 的斜率003AP y k x =-，…7分由点(3,0)A 关于直线l 的对称点为P ，得直线l AP ⊥， 故直线l 的斜率为031AP x k y --=，且过点D ，所以直线l 的方程为：000033()22y x x y x y -+-=-， ………9分 令0x =，得2200092x y y y +-=，则220009(0,)2x y B y +-，由2200162x y +=，得220063x y =-， 化简，得20023(0,)2y B y --. …………11分 所以20023||||2y OB y --=003||2||y y =+≥…………13分当且仅当003||2||y y =，即0[y =时等号成立. 所以||OB. ………… 14分（2017年朝阳二模）18．（本小题满分13分）已知椭圆W ：22221x y ab +=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W 的左、右焦点，且12120F BF ∠=o．（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求 OEG ∠的大小． 解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =．所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ．因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-．又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=．令1y =-，得C 00(,1)1xy --．又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =u u u r ，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-u u u r ． 因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++-u u u r u u u r2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥u u u r u u u r．90OEG ∠=︒． ……………………13分(2017年东城二模)（19）（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为右焦点为(1,0)F ，点M 是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线AM 与直线2x =交于点N ，线段BN 的中点为E ．证明：点B 关于直线EF 的对称点在直线MF上．解：（Ⅰ）由题意得2221,.b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得2a =． ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………5分 （Ⅱ）“点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上”等价于“EF 平分MFB Д．……………6分设直线AM 的方程为(2)(0)y k x k =+?，则(2,4),(2,2)N k E k ．……7分设点00(,)M x y ，由22(2),1,43y k x x y ì=+ïíï+=ïî得2222(34)1616120k x k x k +++-=，得2020286,3412.34k x k k y k ì-+ï=ï+íï=ï+î……9分 ① 当MF x ^轴时，01x =，此时12k =?．所以3(1,),(2,2),(2,1)2M N E 北?． 此时，点E 在BFM Ð的角平分线所在的直线1y x =-或1y x =-+， 即EF 平分MFB Ð． ……10分② 当12k 贡时，直线MF 的斜率为0204114MF y k k x k ==--， 所以直线MF 的方程为24(41)40kx k y k +--=． ……11分 所以点E 到直线MF的距离2d =222|2(41)||41|k k k +=+|2|||k BE ==．即点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上． …………………14分(2017年海淀二模)18.（本小题满分14分）已知动点M 到点(1,0)N 和直线l ：1x =-的距离相等. （Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）已知不与l 垂直的直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，以AP 为直径作圆C .判断点N 和圆C 的位置关系，并证明你的结论． 解：（Ⅰ）设动点(,)M x y ，由抛物线定义可知点M 的轨迹E 是以(1,0)N 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线， 所以轨迹E 的方程为24y x =. （Ⅱ）法1：由题意可设直线':l x my n =+，由2,4x my n y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2440y my n --= （*）， 因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ， 所以216160m n ∆=+=，即2n m =-. 所以（*）可化简为22440y my m -+=， 所以2(,2)A m m ， 令1x =-得1(1,)nP m+--， 因为2n m =-，所以221(1,2)(2,)22220n NA NP m m m n m+⋅=-⋅--=-+--=u u u r u u u r所以NA NP ⊥，所以点N 在以PA 为直径的圆C 上. 法2：依题意可设直线':,(0)l y kx b k =+≠ ，由2,4y kx b y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2222(2)0k x bk x b +-+= （*）， 因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，所以0,0,k ≠⎧⎨∆=⎩即0,1,k bk ≠⎧⎨=⎩所以（*）可化简为222140k x x k -+=， 所以212(,)A kk . 令1x =-得1(1,)P k k--， 因为22212122(1,)(2,)220NA NP k k k k k k-⋅=-⋅--=++-=u u u r u u u r ，所以NA NP ⊥，所以点N 在以PA 为直径的圆C 上.(2017年西城二模)18．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点(1,2)P ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点,A B 在抛物线C 上，直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ，||||PM PN =． 求直线AB 的斜率．解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C 的方程为2(0)y ax a =≠．[ 1分]由抛物线C 且经过点(1,2)P ， 得4a =，[ 3分]所以抛物线C 的方程为24y x =．[ 4分]（Ⅱ）因为||||PM PN =， 所以PMN PNM ∠=∠，所以 12∠=∠，所以 直线PA 与PB 的倾斜角互补， 所以 0PA PB k k +=．[ 6分]依题意，直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为：2(1)(0)y k x k -=-≠， 将其代入抛物线C 的方程，整理得22222(22)440k x k k x k k --++-+=．[ 8分]设11(,)A x y ，则 212441k k x k -+⨯=，114(1)22y k x k =-+=-，[10分] 所以22(2)4(,2)k A k k --．[11分]以k -替换点A 坐标中的k ，得22(2)4(,2)k B k k +--．[12分]所以222244()1(2)(2)ABk k k k k k k --==--+-．所以直线AB 的斜率为1-．[14分](2017年丰台二模)19.（本小题共14分）已知椭圆E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，点M 3(1)2,在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设(40),P -，直线1y kx =+与椭圆E 交于A ,B 两点，若直线P A ,PB 均与圆)0(222>=+r r y x 相切，求k 的值.解：（Ⅰ） 因为抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0),所以1c =,..………………1分所以3242a =，..………………3分即2a =.因为222413b a c =-=-=，所以椭圆E 的方程为22143x y +=...………………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线PA , PB 与圆222x y r +=(0)r >相切，所以0AP BP k k +=，..………………7分即1212044y y x x +=++，通分得122112(4)(4)(4)(4)y x y x x x +++=++，所以1221(1)(4)(1)(4)0kx x kx x +++++=，整理，得12122(41)()80kx x k x x ++++=. ①..………………9分联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得22(34)880k x kx ++-=，所以12122288,3434k x x x x k k +=-=-++，..………………11分代入①，得 1k =. ..………………14分(2017年顺义二模)19.（本小题满分13分）已知椭圆:E ()012222>>=+b a b y a x 经过点3(1,)2-，其离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆C 相切，切点为T ，且l 与直线4-=x 相交于点S .试问：在x 轴上是否存在一定点，使得以ST 为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由. 19.解：（Ⅰ）由点3(1,)2-在椭圆上得，221914a b+=-----------------① 依题设知2a c =，则223b c =. ----------------------------------②②代入①解得2221,4,3c a b ===故椭圆E 的标准方程为22143x y +=. ---------------------------------4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 消去y ,得 ()0124834222=-+++m kmx x k . -----------------------------------5分 因为动直线l 与椭圆C 相切，即它们有且只有一个公共点T ，可设()00,y x T ，所以0≠m 且0=∆，即()()0124344642222=-+-m k m k ，化简得03422=+-m k ------------③此时，m k k km x 434420-=+-=，m m kx y 300=+=，所以点T 的坐标为43(,)k m m -. 由⎩⎨⎧+=-=mkx y x 4得()m k S +--4,4. -----------------------------------9分假设在x 轴上存在定点满足条件，不妨设为点()0,1x A .则由已知条件知AT AS ⊥,即0=•对满足③式的k m ,恒成立. 因为()m k x AS +---=4,41，⎪⎫ ⎝⎛--=x mkAT 3,41，由0=•得0312********=+-+++m k x x m kx m k 034121=+++x x --------④ 由④式对满足③式的k m ,恒成立，所以⎩⎨⎧=++=+0340441211x x x ，解得11-=x .故在x 轴上存在定点()0,1-，使得以ST 为直径的圆恒过该定点.-----------------13分。
【西城】 8. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为（A（B ）3（C）（D ）4【西城】14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c . 例如，图中上档的数字和9a =. 若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有____种. 32【东城】（8）已知数列{}n a 满足：1a a =，+11=(*)2n n na a n N a +∈，则下列关于{}n a 的判断正确的是（A ） 0,2,a n ∀>∃≥使得n a < （B ）0,2,a n ∃>∃≥ 使得1n n a a +< （C ）0,*,a m N ∀>∃∈ 总有m n a a < （D ）0,*,a m N ∃>∃∈总有m n n a a +=【东城】（14）设A,B 是R 中两个子集，对于x R ∈，定义：0,1,x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，，0,1,x Bn x B∉⎧=⎨∈⎩ ①若A B ⊆.则对任意x R ∈，(1)m n -= ；0 ②若对任意x R ∈，1m n +=，则 A,B 的关系为 . A B R =ð【海淀】(8)某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三(A)8种 (B) 10种 (C) 12种 (D) 14种【海淀】( 14)已知函数()f x x =，2()g x ax x =-，其中0a >.若12[1,2],[1,2]x x ∀∈∃∈，使得 1()f x 2()f x 1()g x =2()g x 成立，则a =____．【朝阳】8．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是A ．5B ．6C ．7D ．8【朝阳】14．在平面内，点A 是定点，动点C B ,满足||||1AB AC ==，0AB AC ⋅=，则集合{=+,12}|P AP AB AC λλ≤≤所表示的区域的面积是 ．3π【丰台】8．在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形．若ABC △是格点三角形，其中(0,0)A ,(4,0)B ，且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为 （A ）6（B ）8 （C ）10 （D ）12【丰台】14．已知数列{}n a 对任意的*n ∈N ，都有*n a ∈N ，且131,,2n n n nn a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数为偶数. ①当18a =时，2019a =____；2②若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p =____．1【石景山】8.已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为π6x =-，12()()0f x f x +=， 且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为 A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 4π3【石景山】14. 在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y 和点()22,B x y ，设集合(){}22=,|1M x y x y +=，且,A B M ∈，=1AB ，则1212=x x y y +；点A , B 到x轴距离之和的最小值为 ．。
2019年北京各区高三上期末考试理科数学分类汇编---解析几何一、选填题部分1.（2019海淀期末）双曲线22122x y -=的左焦点坐标为 AA ．(2,0)-B ．(C ．(1,0)-D ． (4,0)-答案：A考点：双曲线的性质。
解析：a b ==c =2，所以，左焦点为（－2,0），选A 。
2.（2019海淀期末）直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为 AA ．0B ．±12C ．±1D ．±2答案：A考点：直线与圆的位置关系。
解析：圆心坐标为（0,0），半径R 10kx y -+=， 圆心到直线的距离为：d，因为直线截圆的弦长为2，所以，2221+=，化为：2111k =+，解得：k ＝0。
3.（2019海淀期末）以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 . 答案：22(1)4x y -+=考点：抛物线的性质，圆的标准方程。
解析：抛物线24y x =的焦点F 为（1,0），圆心坐标为（1,0）， 抛物线的准线为x ＝－1，圆与准线相切，所以，R ＝2 所以，圆的方程为：22(1)4x y -+=221______.3x y m m m-==4.（2019东城期末）已知双曲线的一个焦点为，则5（2019通州期末）已知双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则a 等于（ ）B A ．1B ．2C ．3 D.4【分析】先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距c 的值，然后根据a 、b 、c 的关系可求出a 的值．【解答】解：抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为（3，0），所以，双曲线的焦点坐标为（±3，0），所以，a 2+5＝32＝9， ∵a ＞0，解得a ＝2， 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题．6.（2019朝阳期末）在平面直角坐标系xOy 中，过(4,4),(4,0),(0,4)A B C 三点的圆被x 轴截得的弦长为AA.4B. C.2D.7.（2019朝阳期末）过抛物线2=4y x 焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线l 的垂线，垂足分别为,C D .若4AF BF =，则CD =__________________. 5 8．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =，||12OB =，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（ ）D （A ）65（B ）54 （C ）32 （D ）52考点：双曲线的概念与性质。
