代数式求值(讲义)

《代数式的值》讲义一、什么是代数式的值在数学的世界里，代数式就像是一个个神秘的符号组合，而代数式的值则是这些神秘组合在特定情况下所展现出的具体结果。

我们先来明确一下代数式的概念。

代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式。

比如 3x ＋ 5 、 2a² 3b 等等。

那代数式的值又是什么呢？简单来说，代数式的值就是当用具体的数值代替代数式中的字母时，按照代数式中指定的运算计算出的结果。

例如，对于代数式 3x ＋ 5 ，当 x ＝ 2 时，将 x ＝ 2 代入这个代数式，得到 3×2 ＋ 5 ＝ 11 ，这里的 11 就是当 x ＝ 2 时，代数式 3x ＋ 5的值。

二、为什么要研究代数式的值了解了代数式的值的基本概念，可能你会问，为什么我们要专门研究它呢？首先，代数式的值能帮助我们解决实际问题。

比如在购物时，我们可以通过代数式来表示商品的总价，然后根据不同的购买数量，求出代数式的值，从而知道需要支付多少钱。

其次，它是数学中进行推理和计算的重要工具。

通过研究代数式的值的变化规律，我们可以发现数学中的很多有趣现象和定理。

再者，代数式的值在函数的学习中也起着基础作用。

函数其实就是一种特殊的代数式，研究函数的值域、定义域等都离不开对代数式的值的理解。

三、如何求代数式的值求代数式的值，关键在于正确代入数值，并按照运算规则进行计算。

（一）直接代入法这是最常见也是最简单的方法。

就是将给定的数值直接代入代数式中相应的字母，然后进行计算。

例如，对于代数式 2x 1 ，当 x ＝ 3 时，直接将 x ＝ 3 代入，得到2×3 1 ＝ 5 。

在代入时，要注意以下几点：1、代入的数值要准确无误。

2、要注意代数式中各项的运算符号，特别是负号。

3、如果代数式中字母的指数不为 1 ，要将数值乘方或相乘相应的次数。

（二）先化简再代入法有些代数式比较复杂，直接代入计算会比较繁琐。

第6讲小节代数式、列代数式及求值1.掌握代数式的概念；2.掌握代数式的正确书写；3.学会列代数式及进行相应的求值.知识点01 代数式1、定义：用运算符号将数字或字母连接起来的式子，单个字母或数字也是代数式；2、书写：字母与字母，或数字与字母之间，“×”可以省略，但数字必须写在字母的前面；带分数与字母相乘时，要化成假分数；“÷”可以改成分数线。

1．在式子n﹣3、a2b、m+s≤2、x、﹣ah、s＝ab中代数式的个数有()A．6个B．5个C．4个D．3个【解答】解：由代数式的定义可得n﹣3、a2b、x、﹣ah是代数式，而m+s≤2、s＝ab是等式或不等式．故选：C．2．下列代数式书写正确的是()A．a4B．m÷n C．D．x(b+c)【解答】解：A．a4的正确写法是4a，故不符合题意；B．m÷n的正确写法是，故不符合题意；C.1x的正确写法是x，故不符合题意；D．x(b+c)书写正确，符合题意．故选：D．3．代数式的意义是()A．x除以y加3B．y加3除xC．y与3的和除以xD．x除以y与3的和所得的商【解答】解：的意义是x除以y与3的和所得的商．故选：D．4．若x表示某件物品的原价，则代数式(1+10%)x表示的意义是()A．该物品打九折后的价格B．该物品价格上涨10%后的售价C．该物品价格下降10%后的售价D．该物品价格上涨10%时上涨的价格【解答】解：若x表示某件物品的原价，则代数式(1+10%)x表示的意义是该物品价格上涨10%后的售价．故选：B．5．下列各式：ab•2，m÷2n，xy，1a，其中符合代数式书写规范的有2个．【解答】解：在ab•2，m÷2n，xy，1a，中，符合代数式书写规范的有xy，，共2个；故答案为：2．6．举例说明代数式8a3的意义：如一个正方体的棱长是a，一个正方体的体积是a3，那么8个正方体的体积是8a3．【解答】解：如一个正方体的棱长是a，一个正方体的体积是a3，那么8个正方体的体积是8a3．故答案为：如一个正方体的棱长是a，一个正方体的体积是a3，那么8个正方体的体积是8a3．7．请你用实例解释下列代数式的意义．(1)5+(﹣4)；(2)3a．【解答】解：(1)5+(﹣4)表示气温从5℃，下降4℃后的温度；(2)3a表示一辆车以akm/h的速度行驶3小时的路程．8．请你结合自身生活实际，设计具体情境，解释下列代数式的意义：①(1﹣20%)x；②a3；③；④．【解答】解：①小明家二月份用电量x度，三月份减少20%，则三月份用电量为(1﹣20%)x度；②a表示立方体的棱长，则a3表示该立方体的体积；③汽车每小时行驶m千米，行驶30千米所用时间为小时；④骑车上坡每分钟走a米，下坡每分钟走b米，那么上坡3分钟和下坡2分钟后的平均每分钟走多少米．知识点02 列代数式及求值列式：用字母表示量，按照题目内部联系列式；求值：将数值代替字母遵循代数式中计算顺序进行计算。

代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。

已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。

一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。

【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。

例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。

【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。

【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。

初中数学求代数式的值学习目标一、考点突破会求代数式的值，通过代数式的值，体会代数式实际上是由计算关系反映的一种数量间的关系。

感受抽象的字母和具体的数之间的关系，进一步理解字母表示数的意义，进一步增强符号感。

二、重难点提示重点：会求代数式的值。

难点：利用代数式求值推断代数式所反映的规律。

考点精讲求代数式的值的步骤：（1）代入，即用数值代替代数式里的字母。

（2）计算，即按照代数式指明的运算顺序，计算出结果。

注意：（1）书写格式，在把字母所取的数值代入代数式时，必须写上“当……时”，表示这个代数式的值是在这种情况下求得的。

（2）数换字母，省略的乘号添上，值是负数代入应加括号，分数乘方时，分数应加括号。

示例：当a＝－1，b＝时，求ab3的值。

解：当＝－1，b＝时，ab3＝（－1）×（）3＝－。

例题1若x是2的相反数，|y|＝3，则x－y的值是（）A. －5B. 1C. －1或5D. 1或－5思路分析：根据相反数和绝对值的意义，可求x和y的值，再代入计算。

答案：根据题意，得x＝－2，y＝±3。

当x＝－2，y＝3 时，x－y＝－2－3＝－5；当x ＝－2，y＝－3 时，x－y＝－2－（－3）＝1，故选D。

技巧点拨：此题考查求代数式的值，关键在根据相反数和绝对值的意义求x和y的值。

例题22014年8月3日16时30分，云南省昭通市鲁甸县发生6.5级地震，为支援受灾地区抢险救灾，甲车满载救灾物资以10米/秒的速度驶向受灾地区，因路面湿滑，刹车距离s0＝v＋0.08v2（v为车辆行驶速度）。

已知驾驶员从发现紧急情况到开始刹车时需要1秒的反应时间，在行驶过程中，当甲车发现前方有一辆以8米/秒的速度行驶的汽车开始紧急刹车时，甲车也立即紧急刹车，问甲车至少应距前方车辆多少米才能避免追尾？思路分析：解决本题的关键是求出两车的刹车距离，及反应时间内走的距离，就是它们的车距。

答案：解：S0（甲）＝10＋0.08×102＝18（米），V＝8时，S0＝8＋0.08×82＝13.12（米），距前方车辆的距离＝18＋10－13.12＝14.88（米）。

课题代数式和求代数式的值教学目标探索代数式的基础知识重点、难点求代数式的值考点及考试要求列代数式和求代数式的值知识框架考点一：用字母表示数1、用字母表示数、用字母表示偶数、奇数2、用字母表示运算律、运算法则和公式3、用字母表示实际问题中的数量关系【找规律】-------归纳推理1、观察下列等式：第1个等式：1111(1); 1323a==⨯-⨯第2个等式：21111();35235a==⨯-⨯第3个等式：31111(); 57257a==⨯-⨯第4个等式：41111();79279a==⨯-⨯.........解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：5____________;a==（2）用含n的代数式表示第n个等式：_________________na==（n为正整数）。

考点二：代数式和列代数式1、代数式（1）定义：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。

注意：（1）代数式是由数字和字母通过基本运算符号连结的式子；（2）单独的一个数或字母也是代数式；（3）记清6种基本的运算符号，知道不含哪些容易混进去的符号。

如：22211,3,,,0,,,,121s x a b ab a a b a t y +++-等都是代数式。

（2）代数式的读法（3）代数式的书写规范2、列代数式列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识。

列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”。

典型例题例1、以下各式不是代数式的是（ ）A ．0B ．3a 2＋2a －1C ．a ＋b=b ＋aD ．m3 例2、有三个连续偶数，最大一个是2n ＋2，则最小一个可以表示为 ···· （ ）A 、2n ＋1B 、2nC 、2n －2D 、2n －1例3、某商品价格为a 元，降价10%后，又降价10%，销售额猛增，商店决定再提价20%提价后这种商品价格为 。

教师讲义【例9】原产量n 千克增产20%之后的产量应为（ ）A ．（1－20%）n 千克B ．（1+20%）n 千克C ．n +20%千克D ．n ×20%千克【例10】甲乙两人岁数的年龄和等于甲乙两人年龄差的3倍，甲x 岁，乙y 岁，则他们的年龄和如何用年龄差表示（ ）A ．(x +y )B ．(x －y )C ．3(x －y )D ．3(x +y )【例11】三角形一边为a +3,另一边为a +7,它的周长是2a +b +23,求第三边（ ）A ．b －13B ．2a +13C ．b +13D ．a +b －13【例12】公路全长P 米，骑车n 小时可到，如想提前一小时到，则需每小时走_______米.（ ）A ．nP +1 B ．1-n P C ．1+nP P D ．1+n P【例13】当x=7，y=4，z=0时，求代数式x(2x-y+3z)的值．【例14】当61x y ==-，时，代数式12(2)33x y y -++的值是( ) A ．5- B ．2- C ．23-D ．23【例15】已知：a ＝12，b ＝3，求 的值。

【例16】当x=13，y=3时，求下列代数式的值: （1）3x 2-2y 2+1； （2）2()1x y xy --。

其中a=5，b=7； (2)3x 2-2xy+y 2，其中x ＝1，y= ；19、(1)20、小明读一本共m 页的书，第一天读了该书的13，第二天读了剩下的15． （1）用代数式表示小明两天共读了多少页．（2）求当m=120时，小明两天读的页数．六、课堂小结 学生总结，老师补充 七、课后作业1、a 与b 的平方差可表示为 .2、2x +3y 可以解释为 .3、某商店钢笔每枝a 元，铅笔每枝b 元，小明买了3枝钢笔和2枝铅笔，应付 元.4、个位数字是a ，十位数字是b 的两位数可表示为 ，交换个位与十位数字后的两位数是 .5、一项工程，甲队单独完成需a 天，乙队单独完成需b 天，两队合作要 天完成.6、当n 为整数时，偶数可表示为 ，奇数可表示为 .7、下列各式：⑴132ab ⑵ x ﹒2 ⑶ 30%a ⑷ m －2℃ ⑸ 232y x ⑹ a －b ÷c ,其中不符合代数式书写要求的有（ ）A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个8、如果两个数的和是10，其中一个数用字母x 表示，那么表示这两个数的积的代数式是（ ） A 、10x B 、x (10+x ) C 、x (10－x ) D 、x (x －10)③②①22、求代数式的值:(1)(3a-2b)2，其中a= ，b= ； (2)(a+b)2-(a-b)2，其中a ＝ ,b ＝23、用火柴棒按下面的方式搭成图形． （1）根据上述图形填写下表．（2）第n 个图形需要火柴棒根数为s ，写出用n 表示s 的公式．（3）当n=10时，求出s 值．附答案： 典型例题：例1： B 例2：C 例3：C 例4：B 例5.9n 例6：x +5 例7：a 3 例8：4h 例9：a240例10：（1）(20)x x -；（2）22n -，2n ，22n +；（3）23a +；（4）95x ％；（5）3(1)2m m - 例11：⑴（5＋3）t =8t ⑵(5－3)t =2t ⑶ 5(m ＋n )＋3n ⑷ 5(m ＋n )－3n 例12：第一个猴子摘走15m 个，还剩1(1)5m m --个，第二个猴子摘走11(1)55m m --个， 还剩41(1)155m m ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦个，第三个猴子摘走11111(1)15555m m m m ⎡⎤------⎢⎥⎣⎦个， 还剩11111111(1)11(1)15555555m m m m m m m m ⎧⎫⎡⎤-------------⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭个 例13：解：当x=7，y=4，z=0时，图形编号 ① ② ③ 火柴棒根数x(2x-y+3z)=7×(2×7-4+3×0) =7×(14-4)=70．例14：B 例15：解：＝＝＝3 课堂练习1、x+y2、2x －23、2n ,5n4、b a 433+5、13+n6、21)32x y -+(7、()mx ny +，ax8、2mn m n+ 9、)]1(2[-+n x 10、C 11、B 12、D 13、D 14、A 15、D 16、B 17、B18、（1）111++b a ；（2）)3%(20+a ；（3）34-xy ；（4）222)(b a b a ++. 19、(1) (2) 20、（1）715m （2）56 课后作业 1、a 2－b 2 2、2个x 和3个y 的和 3、3a +2b 4、10b ＋a ,10a ＋b 5、ba ab + 6、2n ，2n ＋1或2n －1 7、B 8、C 9、D 10、D 11、B 12、C 13、C 14、B 15、C 16、ab 17、10x +y 18、1÷(y x 11+) 19、2n 20、（1）2m ；4m ；8m （2）n m 2 21、（1）2321+6×21=2621 （2）2321+（m －1）·21 22、(1)1 (2)23、（1）7 12 17 （2）s=5n+2 （3）52。

代数式与代数式求值【知识点1】代数式的相关概念.①、单项式：由 组成的式子叫做单项式。

也叫单项式.②、单项式的系数：单项式中的 叫做单项式的系数.③、单项式的次数：单项式中 叫做单项式的次数.④、多 项 式： 组成的代数式叫做多项式.⑤、多项式的项：在多项式中每个 叫做多项式的项. 叫做常数项.⑥、多项式的次：在多项式中 就是这个多项式的次数.⑦、代数式：代数式由 和运算符号组成，单独的也是代数式.这里的运算指 。

⑧、代数式的值：一般地， 计算后所得的结果叫做代数式的值✪单项式：由数与字母的乘积构成的代数式，叫做单项式。

单独一个数与一个字母也是单项式。

✪多项式：几个单项式的和叫做多项式。

◆1..练习：在整式(1) x + 1 ，(2)2r π，(3)b a 223-，(4)21-x ，(5)–2 ，(6)m ，(7)x 2 –2x + 3中， 是单项式， 是多项式（填编号）。

【知识点2】单项式的系数、单项式的次数、多项式的次数、多项式的项数①单项式的系数：单项式中的数字因数。

②单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个③多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数④多项式的项数：一个多项式含有几项，就叫几项式⑤常数项：不含字母的项◆精选习题1单项式z y x 3245的系数是 ，次数是 。

x 3 – 2x 2y 2 + 3y 3是一个 次 项式。

2.分别指出以下单项式的系数和次数：分别为：① 、 ② 、 ③ 、 ④ ， ⑤ ， ⑥ ，3．给出下列各式：（1）2ab －1；（2）πr 2；（3）a 米；（4）x ＋1=0；（5）1+n m ；（6）x ＋2>0；（7）1＋2=3；（8）S=21ah ；（9）(a ＋b)(a －b)；（10）a ＋b ＋c 中。

其中代数式的个数为【 】 A ．10； B ．7； C ．6； D ． 5。

4．若数a 增加它的x%后得到b ，则b 为【 】A ．ax%B ．a(1＋x%)C ．a ＋x%D ．(a ＋x)%5．如果a 个人b 天做c 个零件，那么b 个人用相同速度做a 个零件所要天数为【 】A ．c a 2 B ．2a c C ．ac 2D ．2c a 6.一种商品进价为每件a 元，按进价增加25％出售， 后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还盈利【 】A ．0.125a 元B ．0.15a 元C ．0.25a 元D ．1.25a 元7..某超市进了一批商品，每件进价为a 元，若要获利25%，则每件商品的零售价应定为【 】A ．25%aB ．(1-25%)aC ．(1+25%)aD ．%251+a 8.如图，阴影部分的面积是【 】A ．xy 27B ．xy 29C ．xy 4D ．xy 2二、填空题9．某商品先提价20%后又降价20%出售，已知现在售价为a 元，则原价为 。

专题13代数式的值1.理解代数式的值的概念；会求代数式的值；2.会用代数式解决简单实际问题；3.初步体会对应思想和整体思想。

题型探究题型1、代数式求值（已知字母的数值） (3)题型2、程序框图与代数式求值 (4)题型3、代数式求值（已知式子的数值） (5)题型4、代数式求值（整体思想之配系数） (6)题型5、代数式求值（整体思想之奇次项为相反数） (6)题型6、代数式求值（整体思想之赋值法） (7)培优精练A组（能力提升） (9)B组（培优拓展） (13)【思考1】椐某报纸报道，父母身高预测子女成年后的身高公式是：儿子身高是父母身高的和的一半；再乘以1.08；女儿的身高是父亲身高的0.923倍加上母亲身高的和再除以2。

（该公式是根据遗传原理和欧洲人身高增长速度推算出来的）（1）已知父亲身高是a米，母亲身高是b米，请你用代数式表示儿子和女儿的身高；（2）女生索菲亚的父亲身高是1.84米，母亲身高是1.66米；男生乔治的父亲身高是1.82米，母亲身高是1.64米，试预测索菲亚和乔治成年后的身高。

（结果保留两位小数）【代数式求值的中国元素】秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就。

由他提出的一种多项式求值的简化算法称为秦九韶算法：它是一种将n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法．即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法。

代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，就可以得到代数式的值。

求代数式的值的步骤：（1）代入数值；（2）计算结果．整体思想是一种重要的数学思想，它抓住了数学问题的本质，是直接思维和逻辑思维的和谐统一。

有些数学问题在解题过程中，如果按照常规解法运算较繁，而且容易出错；如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识，就能寻求捷径，从而准确、合理地解题。

题型1、代数式求值（已知字母的数值）【解题技巧】求代数式的值的步骤：（1）代入数值；（2）计算结果．当4a =-时，()()4564563a b c +-=-+---=--+=-，综上可知，a b c +-的值为5或3-，故答案为：5或3-．【点睛】本题考查绝对值，代数式求值，解题的关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的值．题型2、程序框图与代数式求值【解题技巧】学生依据程序框图的流程去解决问题，主要通过运算和判断解决问题。

初二数学专题——有关代数式的求值问题人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 化简求代数式的值．2. 利用整体思想求代数式的值．3. 运用完全平方公式的变形求代数式的值．二. 知识要点：1. 化简求值的一般思路，首先要把所给的代数式整理化简，再把相关字母的值代入，即可求得原代数式的值．其步骤为：①化简，②代入．例如：已知x ＝12，求代数式x 2（x －1）－x （x 2＋x －1）的值． 解：x 2（x －1）－x （x 2＋x －1）＝x 3－x 2－x 3－x 2＋x＝－2x 2＋x当x ＝12时，原式＝－2×（12）2＋12＝0 这类题型的重点是化简运算，主要运用整式加减、整式的乘除．同时，注重添、去括号的运算法则．合并同类项：系数相加减，字母和字母的指数不变．单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．多项式乘多项式：先用一个多项式每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．添（去）括号：括号前是“＋”号，添上（去掉）括号，括号内的每一项都不改变符号；括号前是“－”号，添上（去掉）括号，括号里的各项都改变符号．2. 运用整体思想这类题型一般已知某个式子的值，去求新的代数式的值．解题思路：整理所求代数式让其变形或构造出已知式子的形式，然后代入求值．例如：已知x 2＋x －1＝0，求x 3＋2x 2＋5的值．解：由x 2＋x －1＝0得x 2＋x ＝1则x 3＋2x 2＋5＝x 3＋x 2＋x 2＋5＝x （x 2＋x ）＋x 2＋5当x 2＋x ＝1时，原式＝x ＋x 2＋5＝1＋5＝6变形时常用因式分解进行整理．3. 运用完全平方公式变形，求代数式的值常用变形：①a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ＝（a －b ）2＋2ab ；②（a －b ）2＝（a ＋b ）2－4ab ；③（a ＋b ）2＝（a －b ）2＋4ab ；④（a ＋b ）2＋（a －b ）2＝2a 2＋2b 2；⑤（a ＋b ）2－（a －b ）2＝4ab ；⑥（x ±1x ）2＝x 2＋1x 2±2．三. 考点分析：求代数式的值是中考的热门题型，往往是综合考查整式的加减、整式的乘除、因式分解和有理数的有关内容．难度中等，所占分值不高．【典型例题】例1. 先化简再求值．［（x －y ）2＋（x ＋y ）（x －y ）］÷2x ，其中x ＝3，y ＝－1.5．分析：（x －y ）2与（x ＋y ）与（x －y ）可运用乘法的完全平方公式与平方差公式展开，然后合并同类项．解：［（x －y ）2＋（x ＋y ）（x －y ）］÷2x＝（x 2－2xy ＋y 2＋x 2－y 2）÷2x＝（2x 2－2xy ）÷2x＝x －y当x ＝3，y ＝－1.5时，原式＝3－（－1.5）＝4.5．例2. 化简求值．（1）6a 2－5a （－a ＋2b －1）＋4a （－3a －52b －34），其中a ＝2，b ＝120； （2）若a ＝2，b ＝3，求3a 2b （2ab 3－a 2b 3－1）＋2（ab ）4＋a ·3ab 的值．分析：此种类型的题目应先把原式化简成最简形式，再代入求值．解：（1）6a 2－5a （－a ＋2b －1）＋4a （－3a －52b －34） ＝6a 2＋5a 2－10ab ＋5a －12a 2－10ab －3a＝－a 2－20ab ＋2a当a ＝2，b ＝120时，原式＝－22－20×2×120＋2×2＝－2． （2）3a 2b （2ab 3－a 2b 3－1）＋2（ab ）4＋a ·3ab＝6a 3b 4－3a 4b 4－3a 2b ＋2a 4b 4＋3a 2b＝6a 3b 4－a 4b 4．当a ＝2，b ＝3时，原式＝6×23×34－24×34＝2592．评析：正确运用运算性质，注意运算顺序，注意合并同类项．例3. 已知10a ＝20，10b ＝15，求3a ÷3b 的值． 分析：3a ÷3b ＝3a －b ，因此只需要求出a －b 的值即可．而10a ÷10b ＝10a －b ．解：因为10a ＝20，10b ＝15， 所以10a ÷10b ＝10a －b ＝20÷15＝102． 所以a －b ＝2．所以3a ÷3b ＝3a －b ＝32＝9．评析：此种类型的题目，要注意从问题出发，向已知条件靠拢．例4. （1）已知a ＋b ＝2，ab ＝－3，求a 2＋3ab ＋b 2的值．（2）已知（a ＋b ）2＝10，（a －b ）2＝2，求a 2＋b 2和ab 的值．分析：（1）本题直接计算不容易，如果把3ab 拆成（2ab ＋ab ）便可凑成完全平方公式的条件．（2）利用完全平方公式变形即可．解：（1）a 2＋3ab ＋b 2＝（a ＋b ）2＋ab当a ＋b ＝2，ab ＝－3时，原式＝22－3＝1．（2）由（a ＋b ）2＝10，得a 2＋2ab ＋b 2＝10（ⅰ）；由（a －b ）2＝2，得a 2－2ab ＋b 2＝2（ⅱ）；（ⅰ）＋（ⅱ）得2a 2＋2b 2＝12，即a 2＋b 2＝6．（ⅰ）－（ⅱ）得4ab ＝8，故ab ＝2．例5. 若a （a －1）－（a 2－b ）＝－2，求a 2＋b 22－ab 的值． 分析：首先对已知等式化简整理，a （a －1）－（a 2－b ）＝a 2－a －a 2＋b ＝－（a －b ）＝－2，即a －b ＝2．解：由已知化简可得a －b ＝2，所以a 2＋b 22－ab ＝12（a 2＋b 2－2ab ）＝12（a －b ）2＝12×22＝2． 评析：这类问题要对已知和所求都做适当变形，使它们含有一个相同的代数式．例6. 已知（2009－a ）（2006－a ）＝2007，求（2009－a ）2＋（2006－a ）2的值．分析：此题如果把原式展开，则非常麻烦．根据式子的特点，可设2009－a ＝x ，2006－a ＝y ，则xy ＝2007，x －y ＝3．要求的式子可转化为x 2＋y 2．解：设2009－a ＝x ，2006－a ＝y ，则xy ＝2007，x －y ＝3．所以x 2＋y 2＝（x －y ）2＋2xy ＝32＋2×2007＝9＋4014＝4023．所以（2009－a ）2＋（2006－a ）2的值为4023．评析：此题还有别的解法，将已知等式和所求代数式都展开，通过变形找出两者相同的部分，同学们可自己试试．【方法总结】本节主要讲述代数式求值的技巧问题，解决这类问题需要平时多积累，熟练掌握相关知识点，常用的方法有运算律的逆用、公式变形、拼凑、因式分解等．【模拟试题】（答题时间：45分钟）一. 选择题1. 已知5m ＝6，5n ＝3，则5m ＋n 的值是（ ）A. 3B. 2C. 18D. －3 2. 若a －b ＝2，则a 2－2ab ＋b 2的值是（ ）A. 8B. 2C. 4D. 2 3. 已知x ＋y ＝－5，xy ＝6，则x 2＋y 2的值是（ ）A. 1B. 13C. 17D. 25 4. 若a ＞0且a x ＝2，a y ＝3，则a x －y 的值为（ ）A. －1B. 1C. 23D. 32 *5. 已知x ＋y ＝12，则12x 2＋xy ＋12y 2的值是（ ） A. 14 B. 18C. 1D. 116二. 填空题1. 已知x ＝12，y ＝－1，则（x ＋y ）2－（x ＋y ）（x －y ）＝__________． 2. 已知x n ＝5，y n ＝3，则（xy ）2n 的值为__________．3. 已知（a －b ）2＝4，ab ＝12，则（a ＋b ）2＝__________． 4. 已知︱a －2︱＋（b ＋12）2＝0，则a 10b 10＝__________． 5. 已知x ＋y ＝4，x －y ＝10，则2xy ＝__________．6. 当s ＝t ＋12时，代数式s 2－2st ＋t 2的值为__________． **7. 已知y ＝13x －1，那么13x 2－2xy ＋3y 2－2的值是__________．三. 解答题1. 先化简，再求值：（x ＋3）2＋（x ＋2）（x －2）－2x 2，其中x ＝－13． 2. 已知a ＋b ＝5，ab ＝3，求a 2＋b 2的值．*3. 已知x 2－4＝0，求代数式x (x ＋1)2－x (x 2＋x )－x －7的值．**4. 已知︱x ＋y －3︱＋（x －y －1）2＝0，求代数式12［（－x 2y ）2］3的值．【试题答案】一. 选择题1. C2. C3. B4. C5. B二. 填空题1. 12. 2253. 64. 15. －426. 147. 1三. 解答题1. 解：原式＝6x ＋5＝3．2. 解：a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ＝52－2×3＝19．3. 解：由已知得x 2＝4，x （x ＋1）2－x （x 2＋x ）－x －7＝x （x ＋1）［（x ＋1）－x ］－x －7＝x 2－7原式＝4－7＝－3．4. 提示：先由“两非负数和为0，则每个非负数均为0”得到x 、y 的值，然后化简求值．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0x －y －1＝0 ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1 ． 所以12［（－x 2y ）2］3＝12x 12y 6＝12×212×16＝211．。

专题02 代数式的运算及应用问题复习讲义【要点归纳|典例解析】类型一：代数式考点01．代数式及求值(1)概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单．独的一个数或一个字母也是代数式；．．．．．．．．．．．．．．．． (2)列代数式：找出数量关系，用表示已知量的字母表示出所求量的过程；(3)代数式求值：把已知字母的值代入代数式中，并按原来的运算顺序计算求值．类型二：整式考点02．整式及有关概念(1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的_次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式．．．．．．．．．．．．； (2)多项式：由几个 单项式 组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数，一个多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做 常数项 ；(3)整式：单项式和多项式统称为整式；(4)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类项．考点03．整式的运算1．同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．．．．．．．．．．．．．．．．。

2．幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．．．．．．．．．．．．．．。

幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a)()(== 3．积的乘方法则：nn n b a ab =)(（n 是正整数）。

积的乘方，等于各因数乘方的积．．．．．．．．．．．．．．。

4．同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减．．．．．．．．．．．．．．．．。

5．零指数：任何不等于零的数的零次方等于1。

1 / 3北师版数学九年级 由与反比例函数的交点坐标生成的代数式求值问题探析翻开近几年的中考题，以反比例函数为背景条件求代数式的值的问题成为一个命题的趋势.今天就结合2017年考题向同学们介绍其中的三位豪杰，供学习时借鉴.1.据反比例函数与一次函数的一个交点坐标求代数式的值例1 （2017年江苏连云港）设函数3y x =与y=-2x-6的图象的交点坐标为(a,b)，则12a b+的值是 ．分析 ：此题是这类问题中最简单问题之一，解答时，做到“三代一化”：1.将交点坐标代入反比例函数的解析式中，得到ab 的值；2.将交点坐标代入一次函数的解析式，得到2a+b 的值；3.将被求代数式进行通分变形，将上述数值代入变形代数式；4.对代数式进行化简即可.解：因为函数3y x =与y=-2x-6的图象的交点坐标为(a,b)，所以ab=3,b=-2a-6即2a+b=-6， 所以12a b +=b+2a 6ab 3-==-2. 点评： 熟记“三代一化”的意义，并能熟练掌握这种解题的方法，至少你心中有了一种解题的基本思路，至少你可以大胆一试，不会再一筹莫展，束手无策.2.据反比例函数与正比例函数的两个交点坐标求代数式的值例2（2017年山东菏泽）直线)0(>=k kx y 与双曲线x y 6=交于),(11y x A 和),(22y x B 两点， 则122193y x y x -的值为 ．分析：交点的坐标同时满足两个函数的解析式是解题的基础，依此为基础，结合所求代数式灵活变形是解题的关键.解：因为直线)0(>=k kx y 过点),(11y x A 和),(22y x B ，所以2211,kx y kx y == 所以2121x x y y =；因为双曲线xy 6=经过),(11y x A 和),(22y x B 两点， 所以62211==y x y x ，所以1221x x y y =，所以1221x x x x =，所以2212x x =，所以1x =-2x , 所以122193y x y x -=31x k 2x +91x 1y =-31x k 1x +91x 1y =-31x 1y +91x 1y =61x 1y =36.点评 可以利用反比例函数的中心对称性质求解也是可以的，根据对称性直接得出1x =-2x ,1y =-2y ，然后变形代入整体求解即可.此题的求解思路也是典型的消元法，熟练掌握消元法的意义也是解题的有效方法.3.据反比例函数与反比例函数的交点求代数式的值例3（2017年湖南怀化）如图1，A ，B 两点在反比例函数y=1k x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y=2k x2 /3 的图象上，AC ⊥y 轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC=2，BD=1，EF=3，则1k -2k 的值是 （ ）21A ．6B ．4C ．3D ．2分析：当直线与两个反比例函数同时相交时，求解的思路至少有两条，一条是设交点坐标法；一种是构造矩形或三角形法，利用反比例函数k 的几何意义去破解问题.解法1 ：构造三角形法连接OA 、OC 、OD 、OB ，如图：由反比例函数的性质可知：AOE S 三角形=S 三角形BO F =12|1k |=121k ； OE S 三角形C =S 三角形D O F =12|2k |=-122k ；因为S 三角形A O C =AOE S 三角形+OE S 三角形C ， 所以S 三角形A O C =12（1k -2k ），因为S 三角形A O C =12AC•OE=12×2OE=OE ，所以1k -2k =2OE…①， 因为S 三角形B O D =S 三角形D O F +S 三角形BO F ，所以S 三角形B O D =12（1k -2k ），因为S 三角形BO D =12BD •O F=12×1×(3-OE)=32-12OE ，所以1k -2k =32-12OE ……②，由①②两式解得OE=1， 所以1k -2k =2OE =2．故选D ．点评：解法的精妙所在就是通过构造三角形，充分利用了反比例函数k 的几何意义，构造新等式，实现新突破，需要深厚的数学功底.解法2 ：巧设交点坐标法设点A 的坐标为（m,1k m ）,点D 的坐标为（n,2k n ），则点C 的坐标为（21k m k ，1k m ），点E 的坐标（0，1k m ）， 点B 的坐标为（12k n k ，2k n ），点F 的坐标（0，2k n ），因为AC=2，BD=1，EF=3， 所以m-21k m k =2,n-12k n k =1, 1k m -2k n =3,所以12k -k 2=1k m ，2k -1k =2k n ，所以12k -k =-2k n ，3 / 3 所以12k -k 2+（12k -k ）=1k m -2k n=3，所以12k -k =2，所以选D. 点评：巧设点的坐标，设而不求，也是解决反比例函数问题的一种常用方法，值得熟练掌握.此外，熟练表示平行x 轴的直线上的两点之间的距离，平行y 轴或y 轴上的两点之间的距离也是解题的一个重要因素；特别是能熟练运用数学思想解题更是数学的精髓，这里就用到了整体的数学思想，使得问题的解决效率得以大幅提升.。

《代数式与代数式的值》讲义一、代数式的概念在数学中，我们经常会遇到用运算符号把数和字母连接而成的式子，这样的式子叫做代数式。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

例如：5、a、3x ＋ 2y、m² 1 等都是代数式。

代数式中不能含有“＝”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”等关系符号。

代数式是对数量关系的一种简洁表达，它能够帮助我们更清晰地理解和解决各种数学问题。

二、代数式的书写规范1、数字与字母相乘时，数字通常写在字母前面，并且省略乘号。

例如，3×a 应写成 3a。

2、字母与字母相乘时，乘号可以省略。

例如，a×b 可以写成 ab。

3、数字与数字相乘时，乘号不能省略。

4、带分数与字母相乘时，要把带分数化成假分数。

例如，1\frac{1}｛2}×a 应写成\frac{3}｛2}a。

5、在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的形式来写。

例如，a÷b 应写成\frac{a}｛b}。

三、代数式的分类1、单项式由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如，5x 的系数是 5，次数是 1；－3xy²的系数是－3，次数是 3。

2、多项式几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。

例如，多项式 2x² 3x ＋ 1 中，有三项，分别是 2x²、－3x、1，其中 1 是常数项，最高次项是 2x²，次数是 2，所以这个多项式的次数是2。

3、整式单项式和多项式统称为整式。

四、代数式的值用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。

例如，对于代数式 2x ＋ 3，当 x ＝ 1 时，2×1 ＋ 3 ＝ 5，这里的 5就是当 x ＝ 1 时，代数式 2x ＋ 3 的值。

专题05代数式求值的四种考法类型一、整体思想求值22631052027x x x x =+-++2482027x x =-++()2422027x x =--+412027=-⨯+2023=，故答案为：2023．【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键．类型三、赋值法求值【变式训练1】设1x ax bx cx d -=+++，则a b c d -+-的值为（）A ．2B ．8C ．2-D ．8-【答案】B【详解】解：将x =-1代入()3321x ax bx cx d -=+++得，()311a b c d --=-+-+，8a b c d ∴-+-+=-，()8a b c d ∴--+-+=，即8a b c d -+-=，故选：B ．【变式训练2】5545410(21)...x a x a x a x a -=++++，则24a a +=___________．【答案】-120【详解】解：∵5545410(21)...x a x a x a x a -=++++，当x =0时，01a -=，当x =1时，5432101a a a a a a =+++++，①当x =-1时，543210243a a a a a a -+=-+-+-，②①+②得：420224222a a a -=++，∴42120a a +=-，故答案为：-120．类型三四、含绝对值的求值例．若19,97a b ==，且a b a b +≠+，则-a b 的值是________【答案】116或78【详解】解：∵19a =，97b =，∴19a =±、97b =±，又∵a b a b +≠+，∴0a b +<，∴19a =，97b =-或19a =-，97b =-，∴()1997116a b -=--=或()199778a b -=---=，∴a b -的值是116或78．故答案为：116或78．【答案】3或﹣3【详解】解：∵|a |＝2，|b |＝5，且ab ＜0，∴a ＝2，b ＝﹣5；或a ＝﹣2，b ＝5，则a +b ＝3或﹣3，故答案为：3或﹣3．课后训练4.若654321021x a x a x a x a x a x a x a -=++++++，则5310______．【答案】365-【详解】解：令x =0，代入等式中得到：()601-=a ，∴0=1a ，令x =1，代入等式中得到：65432101①=++++++ a a a a a a a ，令x =-1，代入等式中得到：66543210(3)②----=+++ a a a a a a a ，将①式减去②式，得到：65311(3)2()--+=+a a a ，∴536113)3642(-+=+=-a a a ，∴53103641365++-=--=-a a a a ，故答案为：365-．5．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，||2m =，求2563a b m cd m m++-+的值．。

用数值代替代数式里的字母，按照代数式所给出的运算法则计算出结果，叫代数式的值，注意：因此代数式的值是由其所含字母所取的值确定的，并随字母取值的变化而变化，但值得注意的是，代数式中字母取值时，不能使代数式没有意义。

代数式求值问题一般可直接将字母取值代入计算便可解决，但对于比较复杂的代数式，往往需要先化简再求值，有时还要用到代数变形、消元、设参数等数学方法例1. 若-3x m-1y 4与2n 2y x 31+是同类项，求m,n.例2合并同类项：⑴ 3x 2-1-2x-5+3x-x 2 ⑵-0.8a 2b-6ab-1.2a 2b+5ab+a 2b （3）222b ab a 43ab 21a 32-++- ⑷6x 2y+2xy-3x 2y 2-7x-5yx-4y 2x 2-6x 2y知识梳理典型例题代数式第四讲 代数式求值例3．先去括号，再合并同类项（1）8x ＋2y ＋2（5x －2y ） （2）3a －（4b －2a ＋1）（3）7m ＋3（m ＋2n ） （4）（x 2－y 2）－4（2x 2－3y 2）例4．先化简，再求值（1）4（y ＋1）＋4（1－x ）－4（x ＋y ），其中，x ＝71，y ＝314。

（2）4a 2b －[3ab 2－2（3a 2b －1）]，其中a ＝－0.1，b ＝1。

例6 已知当5=x 时，代数式52-+bx ax 的值是10，求5x =时，代数式52++bx ax 的值。

例7 已知代数式c bx ax ++3，当0=x 时的值为2；当3=x 时的值为1；求当3-=x 时，代数式值。

例8 若23(1)0x y -+-=，求3232332232x y x y xy x y y x xy --+-+的值。

1．下列去括号中正确的是（ ）A ．x ＋（3y ＋2）＝x ＋3y －2B ．a 2－（3a 2－2a ＋1）＝a 2－3a 2－2a ＋1 C ．y 2＋（－2y －1）＝y 2－2y －1 D ．m 3－（2m 2－4m －1）＝m 3－2m 2＋4m －1 2．下列去括号中错误的是（ ）A ．3x 2－（2x －y ）＝3x 2－2x ＋y B ．x 2－43（x ＋2）＝x 2－43x －2 C ．5a ＋（－2a 2－b ）＝5a －2a 2－b 2D ．－（a －3b ）－（a 2＋b 2）＝－a ＋3b －a 2－b 23．化简－4x ＋3（31x －2）等于（ ） A ．－5x ＋6 B ．－5x －6 C ．－3x ＋6 D ．－3x －6课堂练习4．a ＋b ＋2（b ＋a ）－4（a ＋b ）合并同类项等于（ ） A ．a ＋b B ．－a －b C ．b －a D ．a －b 5．下面去括号结果正确的是（ ） A ．3x 2－（－2x ＋5）＝3x 2＋2x ＋5B ．－（a 2＋7）－2（10a －a 3）＝－a 2－7－20a ＋a 3C ．3（2a －4）（－41a 3＋52a 2）＝6a －12＋41a 3＋52a 2D ．m 3－[3m 2－（2m －1）]＝m 3－3m 2＋2m －1 5．下列各组的两项中，是同类项的是（ ） A ．xy -与xyz B ．223ab 与20.2ab C ．238x y 与323x y - D ．3x 与3y 6．已知322x y 和32mxy -是同类项，则代数式44()24m -- 的值为（ ）A ．－8B ．－20C ．20D ．－28 7．325abx yz -与327a x y z 是同类项，则a 、b 、c 的值分别为（ ）A ．a=3,b=2,c=1B ．a=3,b=1,c=1C ．a=1,b=1,c=1D ．以上都不对8.正方形的边长为m ,当m =91时，它的面积（ ）A.181B.271C.811D.319.蚯蚓每小时爬a 千米，b 小时爬了c 千米，则b 等于（ ）A.c aB.a cC.ab cD.b a c+10.如果x =3y ,y =6z ,那么x +2y +3z 的值为（ ）A.10zB.30zC.15zD.33z11.若s =8,t =23,v =32,则代数式s +v t的值（ ）A.1041B.9C.8D.894二、填空题1．代数式2ma b 与nab -是同类项，则23m n += 。