高中数学北师大版必修二课件：第一章 立体几何初步§4 4-1 4-2 第1课时
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北师大版高中数学必修2精品课件： 第一章 立体几何初步(8课时)
运用棱柱、棱锥、棱台的概念判断空间几何体的方法 对多面体的判断，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼， 切不可马虎大意，如棱柱概念中的“相邻”，棱锥概念中的“公共顶点”，棱台概念中 的“棱锥”等.Biblioteka 三 空间几何体的截面图及应用
例3 圆台的两底面面积分别为 1，49，平行于底面的截面面积的 2 倍等于两底面面积之和，
二 多面体的结构特征
例2 下列说法正确的是 （ D ）
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.多面体至少有三个面
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
【解析】 选项A错，反例如图（1）；选项C也错，反例如图（2），上、下底面是全等的菱 形，各侧面是全等的正方形，但它不是正方体；一个多面体至少有四个面，如三 棱锥有四个面，不存在有三个面的多面体，所以选项B错；根据棱柱的定义，知选 项D正确.
出下列说法：
（1）圆柱的底面是圆面；
（2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
（3）圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；
（4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.
其中正确的是
.（填序号）
【答案】（1）（2） 【解析】 （1）正确，圆柱的底面是圆面； （2）正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； （3）不正确，圆台的母线延长相交于一点； （4）不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.
（1）
（2）
下列四个说法中，正确的有 （ ） ①棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面；②有两个面互相平行，其余四个面都是等 腰梯形的六面体是棱台；③四棱锥有4个顶点. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
高中数学 第1章 立体几何初步本章归纳总结课件 北师大版必修2
所以 C′O⊥DA. 因为 AB⊥DA 及 AB∩C′O＝O， 所以 DA⊥平面 ABC′，BC′ 平面 ABC′. 所以 DA⊥BC′. 又因为 BC⊥CD， 所以 BC′⊥C′D. 因为 DA∩C′D＝D， 所以 BC′⊥平面 AC′D.
第二十七页，共52页。
(2)如图所示，过 A 作 AE⊥C′D，垂足为 E.
第十七页，共52页。
12．垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂 线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂 线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟 练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问 题的关键．
第十二页，共52页。
7．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义：a 与 α 内任何直线垂直⇒a⊥α； (2)判定定理 1： lm⊥、mn，αl⊥，nm∩n＝A⇒l⊥α； (3)判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； (5)面面垂直的性质；α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l⇒a⊥β.
• (1)请画出该安全标识墩的左视图；
• (2)求该安全标识墩的体积；
• (3)证明：直线BD⊥平面PEG.
• [思路分析] (1)结合几何体的结构及所给的 主视图和俯视图画出左视图；
• (2)解题时先把三视图中的数据还原到几何体 中，然后把几何体的体积转化为正四棱锥和 长方体的体积来求解(qiú jiě)．
第四十页，共52页。
(2)∵A1O⊥平面 ABCD， ∴A1O 是三棱柱 ABD－A1B1D1 的高． 又 AO＝12AC＝1，AA1＝ 2， ∴A1O＝ AA21－OA2＝1. 又 S△ABD＝12× 2× 2＝1， ∴VABD－A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.
第二十七页，共52页。
(2)如图所示，过 A 作 AE⊥C′D，垂足为 E.
第十七页，共52页。
12．垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂 线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂 线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟 练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问 题的关键．
第十二页，共52页。
7．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义：a 与 α 内任何直线垂直⇒a⊥α； (2)判定定理 1： lm⊥、mn，αl⊥，nm∩n＝A⇒l⊥α； (3)判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； (5)面面垂直的性质；α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l⇒a⊥β.
• (1)请画出该安全标识墩的左视图；
• (2)求该安全标识墩的体积；
• (3)证明：直线BD⊥平面PEG.
• [思路分析] (1)结合几何体的结构及所给的 主视图和俯视图画出左视图；
• (2)解题时先把三视图中的数据还原到几何体 中，然后把几何体的体积转化为正四棱锥和 长方体的体积来求解(qiú jiě)．
第四十页，共52页。
(2)∵A1O⊥平面 ABCD， ∴A1O 是三棱柱 ABD－A1B1D1 的高． 又 AO＝12AC＝1，AA1＝ 2， ∴A1O＝ AA21－OA2＝1. 又 S△ABD＝12× 2× 2＝1， ∴VABD－A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.
第1章 §2 直观图-2020秋北师大版高中数学必修二课件(共55张PPT)
小 结
·
探
提
新 你发现直观图的面积与原图形面积有何关系？
素
知
养
合
课
作
时
探
分
究
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
32
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
探
提示：由题意，易知在△ABC 中，AC⊥AB，且 AC＝6，AB＝3， 提
·
新
素
知
∴S△ABC＝12×6×3＝9.
养
合
课
作 探 究
又
S△A′B′C′＝12×3×(3sin
45°)＝9 4 2，∴S△A′B′C′＝
结
探
OB＝2O′B′＝2 2，OC＝O′C′＝AB＝
·
提
新
素
知 A′B′＝1，
养
·
·
合
且 AB∥OC，∠BOC＝90°.
BC ＝ B′C′ ＝ 1 ＋
2，在
y
轴上截取线段
BA ＝
课 堂
预
小
习 2B′A′＝2.
·
结
探
提
新 知
过 A 作 AD∥BC，截取 AD＝A′D′＝1.
素 养
·
·
合
连接 CD，则四边形 ABCD 就是四边形 A′B′C′D′的平面图 课
作
时
探 形．
分
究
层
释 疑
四边形 ABCD 为直角梯形，上底 AD＝1，下底 BC＝1＋
自
课
主
堂
预
小
习
结
高中数学必修2立体几何初步课件
2、圆台的表示： 用表示它的轴的字母表示，如圆台OO′
O'
底面
轴
侧面
母线
O
底面
总结：由于球体、圆柱、圆锥、圆台分别由平面 图形半圆、矩形、直角三角形、直角梯形通过绕 着一条轴旋转而生成的，所以把它们都叫旋转体。
§2:简单的多面体
• 1.多面体的定义：把由若干个平面多边形围成的空间图
•
形叫做多面体。
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母 表示。如四棱锥S-ABCD。
棱台的结构特征
1、棱台的概念：用一个平行于棱锥底面的
平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做
棱台。
A1 D1
C1 B1
上底面 侧面
侧棱
下底面
顶点
棱台的性质：棱台的上下底面平行，侧棱的延长线交于一点
2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥… 截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱 台…
三棱柱
四棱柱
五棱柱
棱柱的表示法(下图)
棱柱用表示两底面多边形的顶点的字母表示 棱柱,如：棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1 。
观察下列几何体,有什么相同点？
1.棱锥的概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共 顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体叫做 棱锥。
这个多边形面叫做棱锥的底面。
有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的 侧面。 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
3、棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各顶
点的字母来表示，如图棱台ABCD-A1B1C1D1 。
A1 D1
C B1 1
• 思考题：1．用平行于圆柱，圆锥，圆台的底面的平
•
面去截它们，那么所得的截面是什么图形？
北师大版数学必修2 第一章 立体几何初步归纳总结课件(64张)
11．判定两个平面垂直的方法 (1)利用定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂 直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直， 就称这两个平面互相垂直． (2)判定定理：a α，a⊥β⇒α⊥β.
第一章 本章归纳总结
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12．垂直关系的转化
第一章 本章归纳总结
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10．平行关系的转化
由上面的框图易知三者之间可以进行任意转化，因此要判 定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题 时应把握这一点，灵活确定转化的思路和方向．
第一章 本章归纳总结
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第一章 本章归纳总结成才之路 Nhomakorabea高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
涉及“切”“接”问题的有关计算 “切、接”问题主要涉及球，一般来说需将问题转化为平 面问题，作一适当的截面，如圆锥的轴截面，球的大圆，多面 体的对角面等，这个截面必须反映出体与体之间的位置关系和 数量关系． [例 3] 已知正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 2a， (1)求它的外接球的体积； (2)求它的内切球的表面积．
第一章 本章归纳总结
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4.三视图与直观图的画法 三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几 何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空 间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间 几何体的形状，两者之间可以相互转化． 5．直线和平面平行的判定方法 (1)定义：a∩α＝∅⇒a∥α； (2)判定定理：a∥b，a α，b α⇒a∥α； (3)线面平行的性质：b∥a，b∥α，a α⇒a∥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a α⇒a∥β.
第一章 本章归纳总结
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12．垂直关系的转化
第一章 本章归纳总结
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10．平行关系的转化
由上面的框图易知三者之间可以进行任意转化，因此要判 定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题 时应把握这一点，灵活确定转化的思路和方向．
第一章 本章归纳总结
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第一章 本章归纳总结成才之路 Nhomakorabea高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
涉及“切”“接”问题的有关计算 “切、接”问题主要涉及球，一般来说需将问题转化为平 面问题，作一适当的截面，如圆锥的轴截面，球的大圆，多面 体的对角面等，这个截面必须反映出体与体之间的位置关系和 数量关系． [例 3] 已知正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 2a， (1)求它的外接球的体积； (2)求它的内切球的表面积．
第一章 本章归纳总结
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4.三视图与直观图的画法 三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几 何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空 间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间 几何体的形状，两者之间可以相互转化． 5．直线和平面平行的判定方法 (1)定义：a∩α＝∅⇒a∥α； (2)判定定理：a∥b，a α，b α⇒a∥α； (3)线面平行的性质：b∥a，b∥α，a α⇒a∥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a α⇒a∥β.
高中数学北师大版必修二课件：第一章 立体几何初步
向量的加法运算：向量加法遵循平行四边形 法则如(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)
添加 标题
向量的减法运算：向量减法遵循平行四边形 法则如(x1, y1, z1) - (x2, y2, z2) = (x1x2, y1-y2, z1-z2)
向量积的坐标表示：两个向量的向 量积的坐标表示为两个向量坐标的 乘积
添加标题
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添加标题
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混合积：三个向量的混合积是一个 向量其坐标表示为三个向量坐标的 乘积
混合积的坐标表示：三个向量的混 合积的坐标表示为三个向量坐标的 乘积
总结与展望
本章内容的总结与回顾
本章主要介绍了立体几何的基本概念和性质包括点、线、面、体等。 学习了立体几何的度量方法如长度、角度、体积等。 掌握了立体几何的证明方法如平行、垂直、相似等。 学习了立体几何的应用如空间图形的绘制、空间物体的测量等。 展望未来我们将继续深入学习立体几何掌握更多的知识和技能为未来的学习和工作打下坚实的基础。
棱锥的表面积和体积
棱锥的定义： 由一个多边 形底面和若 干个侧面组 成的几何体
棱锥的表面 积：底面积+ 侧面积
棱锥的体积： 底面积×高 ÷3
棱锥的表面 积和体积的 计算公式： S=πr²+n(l ×h)V=πr²h /3
棱锥的表面 积和体积的 应用：建筑、 工程等领域
球的表面积和体积
球的表面积：4πr^2 球的体积：4/3πr^3 球的表面积和体积公式推导 球的表面积和体积在实际生活中的应用
几何性质：立体几何具有空间位置、 形状、大小等性质平面几何具有位 置、形状等性质
2020秋新版高中数学北师大版必修2课件：第一章立体几何初步 1.4.2 .pptx
=
23,
∴DE∥MN,∴DE∥AC.
-13-
第2课时 异面直线所成的角
M Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
D典例透析 IANLI TOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
【例2】
题型二 等角定理的应用
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别为棱 AD,AB,B1C1,C1D1的中点.
∴△EFG为等腰直角三角形,
∴∠GFE=45°,即EF与AB所成的角为45°.
-19-
第2课时 异面直线所成的角
题型一 题型二 题型三
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知识梳理
HISHI SHULI
D典例透析 IANLI TOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
反思构造异面直线所成的角的方法:①过其中一条直线上的已知
点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线,使异面直线所成的角转
化为相交直线所成的角(或其补角).②当异面直线依附于某几何体,
且直接对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,将两
条异面直线分别平移相交于该点.③当两条异面直线互相垂直时,
欲求它们所成的角,实际上是要通过证明得出结论.
-20-
第2课时 异面直线所成的角
当 θ=90°时,a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b
-8-
第2课时 异面直线所成的角
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知识梳理
HISHI SHULI
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
高中数学 第一章《立体几何初步》空间几何体的主观图课件 北师大版必修2
y/
C
D
B x/
A
C/ B/
C B
第十页，共21页。
例2.正六棱柱(lé ngzhù )的直观图的画法
步骤(bù zhò u)：
1、画轴(huàzhóu)；
2、画底面；
3、画侧棱； 4、成图。
第十一页，共21页。
正六棱柱(léngzhù)的直观图的画法
步骤：
zノ
1、画轴；
2、画底面；
3、画侧棱；
xノ
第十八页，共21页。
练习：
画一个底面边长为３ｃｍ,高为4cm的正
三棱柱的直观图。
１、画轴；
zノ
２、画底面；
３、画侧棱；
４、成画。
yノ
oノ
xノ
第十九页，共21页。
练习：
画一个底面边长为３ｃｍ,高为4cm的正
三棱柱的直观图。
１、画轴；
zノ
２、画底面；
３、画侧棱；
４、成画。
yノ
oノ
xノ
第二十页，共21页。
第八页，共21页。
３、右图是ΔABC利用(lìyòng)斜二测画法 得到的水平放置的直观图ΔA‘B‘C’，其 中A‘B’∥y’轴，B‘C’∥x‘轴，若 ΔA‘B‘C’的面积是3，则ΔABC的面积是 （）
第九页，共21页。
4.直棱柱(léngzhù)的直观图的画法
z/ D/
A/
D A
C/
D/
B/
A/
E F
D C
A
oノ B
xノ
第十四页，共21页。
正六棱柱的直观图的画法
步骤：
1、画轴； 2、画底面； 3、画侧棱； 4、成图。
Eノ Fノ
2020_2021学年高中数学第一章立体几何初步本章知识体系ppt课件北师大版必修2
解析：①三线平行公理，②两直线同时平行于一平面，这两 直线可相交、平行或异面，③两平面同时平行于一直线，这两个 平面相交或平行，④面面平行的传递性，⑤一直线和一平面同时 平行于另一直线，这条直线和这个平面平行或直线在平面内，⑥ 一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和这个平面可能 平行也可能直线在平面内，故①④正确．故选 C.
【例 5】 如图所示一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它 们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等， 且液面高度 h 正好相同，求 h.
【解答】 设圆锥形容器的液体面的半径为 R，
则液体的体积为13πR2h.
圆柱形容器内的液体体积为 π(a2)2h，
根据题意，有13πR2h＝π(a2)2h.解得 R＝ 23a.
证明：EF∥B1C.
证明：由正方形的性质可知 A1B1∥AB∥DC，且 A1B1＝AB＝ DC，所以四边形 A1B1CD 为平行四边形，从而 B1C∥A1D，又 A1D 平面 A1DFE，B1C⃘平面 A1DFE，于是 B1C∥平面 A1DFE.又 B1C ⊂平面 B1CD1，平面 A1DFE∩平面 B1CD1＝EF，所以 EF∥B1C.
【例 3】 如图，直棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是直角梯形．∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.
(1)求证：AC⊥平面 BB1C1C； (2)在 A1B1 上是否存在一点 P，使得 DP 与平面 ACB1 和平面 BCB1 都平行？请证明你的结论． 【思路探究】 A1B1 的中点即是存在的 P 点，可证明 B1P ∥DC，且 B1P＝DC.
3
再根据圆锥轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得
2a a
＝ha，所以
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探究点4 棱锥
1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公
共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥.顶点
这个多边形面叫作棱锥的底面. 有公共顶点的各个三角形叫作
S 侧面
棱锥的侧面. 各侧面的公共顶点
叫作棱锥的顶点.
侧棱
D
相邻侧面的公共边叫作
C
棱锥的侧棱.
A底面
B
思考：把“有一个公共顶点”去掉还是棱锥吗？
A 半径
O
B
球 心
5.连接_球__面__上两点并且过_球__心__的线段叫作球的
直径.
旋转体的相关概念 旋转面：一条_平__面__曲__线__绕着它所在的平面内的 一条_定__直__线__旋转所形成的曲面. 旋转体：_封__闭__的旋转面围成的几何体. 【提示】球面是旋转面，球体是旋转体.
探究点2 圆柱、圆锥、圆台
探究点1 球 地球，西瓜，以及足球,篮球等都给我们球的形象.
NBA
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球的相关概念
1.以半圆的_直__径__所__在__的__直__线__为旋转轴，将半圆旋
转所形成的曲面叫作球面.
2._球__面__所围成的几何体叫作球体， 简称球. 3.半圆的_圆__心__叫作球心. 4.连接球心和_球__面__上__任__意__一__点__的 线段叫作球的半径.
轴
（一）圆柱
1.以矩形的一边所在的直线为旋
O′
转轴，其余各边旋转而形成的曲
面所围成的几何体叫作圆柱.
2.旋转轴叫作圆柱的轴. 母线
3.垂直于旋转轴的边旋转而成
侧面
的圆面叫作圆柱的底面. 4.不垂直于旋转轴的边旋转而成 的曲面叫作圆柱的侧面.
O 底面
5.无论转到什么位置不垂直于旋转轴的边都叫作侧面的
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点共线与线共点问题
[探究共研型]
探究 1 如图 1-4-3 所示，在空间四边形各边 AD，AB，BC，CD 上分别取 E， F，G，H 四点，如果 EF，GH 交于一点 P，点 P，B，D 共线吗？请说明理由．
图 1-4-3
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【提示】 连接 BD. ∵EF，HG 相交于一点 P， 且 EF⊂平面 ABD，GH⊂平面 CBD， ∴P∈平面 ABD 且 P∈平面 CBD. 又平面 ABD∩平面 BCD＝BD， ∴P∈BD，∴点 P、B、D 共线．
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点线共面问题 证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内. 【导学号：10690009】
【精彩点拨】 先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直 线也在该平面内．或利用公理 1 的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面 α， β，然后证明 α，β 重合．
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[再练一题] 1．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相 应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α；Q∈l，Q∈α.
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【解】 (1)点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内； (2)直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上； (3)直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q. 图形分别如图(1)、(2)、(3)所示．
(4)平面内的直线与不在平面内的直线互为异面直线．( )
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【解析】 (1)不平行的两条直线的位置关系为相交或异面，故(1)错． (2)两个平面的交线是直线，故(2)错． (3)正确． (4)可能相交或平行，故(4)错．
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
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如果一条直线上的 两点 在 一个平面内，那么这条直线 公理 2 在此平面内(直 线 在平面内) 如果两个不重合的平 面 有一个公共点，那么它们 公理 3 有且只有一 条 过 该 点 的 公 共直线
若 A∈l ， B∈l ， A∈α， B∈α ，则 lα
若 A∈α，A∈β，且 α 与 β 不重合，则
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[再练一题] 3.如图 1-4-6 所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 AB 的中点，F 为 AA1 的中点．求证：CE、D1F、DA 三线交于一点．
图 1-4-6
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【证明】 如图，连接 EF，D1C，A1B. ∵E 为 AB 的中点，F 为 AA1 的中点，
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§4 空间图形的基本关系与公理
阶
段
段
一
三
4.1 空间图形基本关系的认识
4.2 空间图形的公理
阶 段 二
第 1 课时 空间图形的公理(公理 1、2、3)
学 业 分 层 测
评
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1．通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基本构成——点、线、 面的基本位置关系．
2．理解异面直线的概念，以及空间图形的基本关系．(重点、易错点) 3．掌握空间图形的公理 1,2,3.(重点、难点)
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证明点、线共面问题的理论依据是公理 1 和公理 2，常用方法有： (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用 “纳入法”； (2)先由其中一部分点、线确定一个平面 α，其余点、线确定另一个平面 β， 再证平面 α 与 β 重合，即用“同一法”； (3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．
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[再练一题] 2．已知 A∈l，B∈l，C∈l，D∉l(如图 1-4-2)，求证：直线 AD，BD，CD 共 面．
图 1-4-2
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【证明】 因为 D∉l，所以 D 和 l 可确定一平面，设为 α. 因为 A∈l，所以 A∈α.又 D∈α，所以 AD α. 同理 BD α，CD α，所以 AD，BD，CD 都在平面 α 内，即它们共面．
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【精彩点拨】 (1)把文字语言翻译成图形语言，作出判断； (2)可借助空间中的实物模型判断．
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【自主解答】 (1)如图，l 上有两点 A，B 在 α 内，根据公理 2，l α，又 l β，则 α∩β＝l.
【答案】 相交 (2)棱 DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直线与直线 BC′是 异面直线．
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教材整理 2 空间图形的公理
阅读教材 P23“练习”以下至 P25“公理 4”以上部分，完成下列问题． 1．三个公理：
名称
内容
图形表示
符号表示
过 不在一条直线上的三点， 公理 1 有且只有一个平面(即可以
确定一个平面)
若 A，B，C 三点不共线， 则 A，B，C确定 一 个 平 面 α 使 A∈α ， B∈α，C∈α
∴EF═ ∥12A1B. 又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，
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∴E，F，D1，C 四点共面，且 EF＝12D1C， ∴D1F 与 CE 相交于点 P. 又 D1F 平面 A1D1DA，
CE 平面 ABCD，
∴P 为平面 A1D1DA 与平面 ABCD 的公共点． 又平面 A1D1DA∩平面 ABCD＝DA， 根据公理 3，可得 P∈DA，即 CE、D1F、DA 相交于一点．
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[构建·体系]
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1．下列图形中不一定是平面图形的是( )
A．三角形
B．菱形
C．梯形
D．四边相等的四边形
【解析】 四边相等不具有共面的条件，这样的四边形可以是空间四边形． 【答案】 D
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2．若点 Q 在直线 b 上，b 在平面 β 内，则 Q，b，β 之间的关系可记作( )
A．Q∈b∈β
B．Q∈b β
C．Q b β
D．Q b∈β
【解析】 ∵点 Q(元素)在直线 b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线 b(集合)在平面 β(集合)内，∴b β，∴Q∈b β.
C．相交或重合
D．以上都不对
【解析】 若三个点在同一条ห้องสมุดไป่ตู้线上，则两平面可能相交；若这三个点不 在同一直线上，则这两个平面重合．
【答案】 C
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
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[小组合作型] 空间点、线、面的位置关系
(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β
的位置关系是________． (2)如图 1-4-1，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，
哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
图 1-4-1
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图 1-4-5 【精彩点拨】 解答本题可以先选两点确定一条直线，再证明第三点也在 这条直线上．
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【自主解答】 证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面 α. 又 AB 平面 ABC，∴P∈平面 ABC.
∴由公理 3 可知，点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上． 同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上． ∴P，Q，R 三点共线．
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[基础·初探]
教材整理 1 空间图形的基本关系
阅读教材 P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题．
位置关系
图形表示 符号表示
点与线的位 点 A 不在直线 a 上
A∉a
置关系 点 B 在直线 a 上
B∈a
点与面的位 点 A 在平面 α 内
A∈α
置关系 点 B 在平面 α 外
B∉α
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1.证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点，再证明该点 是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线．
2.证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明 这些点是这两个平面的公共点，再根据公理 3，这些点都在这两个平面的交线上； 二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上．
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1．判断空间直线、平面之间的位置关系要善于根据题意画出示意图，充分 发挥空间想象能力，再对位置关系做出判断．
2．对于异面直线，它们“不同在任何一个平面内”，也指永远不具备确定 平面的条件．“分别位于两个平面内的直线”不一定是异面直线，它们可能平 行，也可能相交．