《组合与组合数公式》教学设计

1．2．2组合第一课时组合与组合数公式预习课本P21～24，思考并完成以下问题1．组合的概念是什么？2．什么是组合数？组合数公式是怎样的？3．组合数有怎样的性质？[新知初探]1．组合的概念从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念、公式、性质[点睛]排列与组合的联系与区别联系：二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素．区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C23．()(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．()(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．()(4)C35＝5×4×3＝60．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．C2n＝10，则n的值为()A．10B．5C．3D．4答案：B3．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有()A．504种B．729种C．84种D．27种答案：C4．计算C28＋C38＋C29＝________．答案：120组合的概念[典例]判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解](1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[活学活用]判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(2)从7本不同的书中取出5本给某个同学；(3)10个人相互写一封信，共写了几封信； (4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话．解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题．(2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题． (4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题．有关组合数的计算与证明[典例] (1)计算C 410－C 37·A 33； (2)证明：m C m n ＝n C m －1n －1．[解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0．(2)证明：m C m n＝m ·n ！m ！(n －m )！ ＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1．关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用n n －m C m n －1＝nn －m ·(n －1)！m ！(n －1－m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C m n 进行计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C m n ＝C n －mn简化运算．[活学活用]1．计算：C 38－n 3n ＋C 3n n ＋21的值．解：∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9．5≤n ≤10．5．∵n ∈N *，∴n ＝10．∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝30×292×1＋31＝466． 2．求使3C x －7x －3＝5A 2x －4成立的x 值．解：根据排列数和组合数公式，原方程可化为 3·(x －3)！(x －7)！4！＝5·(x －4)！(x －6)！，即3(x －3)4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6)＝40． ∴x 2－9x －22＝0，解得x ＝11或x ＝－2． 经检验知x ＝11时原式成立． 3．证明下列各等式． (1)C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1； (2)C 0n ＋C 1n ＋1＋C 2n ＋2…＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ．解：(1)右边＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！[(n ＋1)－(m ＋1)]！＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ＝左边，∴原式成立．(2)左边＝(C 0n ＋1＋C 1n ＋1)＋C 2n ＋2＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 1n ＋2＋C 2n ＋2)＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 2n ＋3＋C 3n ＋3)＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C3n ＋4＋C 4n ＋4)＋…＋C m －1n ＋m －1＝…＝C m －2n ＋m －1＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ＝右边，∴原式成立．简单的组合问题[典例] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件中，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加． [解] (1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．解答简单的组合问题的思考方法(1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果． [活学活用]一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56．(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21． (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝7×6×53×2×1＝35．层级一 学业水平达标1．C 58＋C 68的值为( )A ．36B ．84C ．88D ．504解析：选A C 58＋C 68＝C 69＝C 39＝9×8×73×2×1＝84． 2．以下四个命题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：选C 选项A 是排列问题，因为2个小球有顺序；选项B 是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C 是组合问题，因为2位观众无顺序；选项D 是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的．选C ．3．方程C x 14＝C 2x －414的解集为( )A ．4B ．14C ．4或6D ．14或2解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－(2x －4)，2x －4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6．4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆( )A ．220个B ．210个C ．200个D ．1 320个解析：选A C 312＝220，故选A ．5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )A ．60种B ．48种C ．30种D ．10种解析：选C 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C 25种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C 23种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C 25·C 23＝30种．故选C ．6．C 03＋C 14＋C 25＋…＋C 1821的值等于________． 解析：原式＝C 04＋C 14＋C 25＋…＋C 1821 ＝C 15＋C 25＋…＋C 1821＝C 1721＋C 1821＝C 1822＝C 422＝7 315．答案：7 3157．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为________．解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C 36＝20种．答案：208．不等式C 2n －n <5的解集为________．解析：由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5，∴n 2－3n －10<0．解得－2<n <5．由题设条件知n ≥2，且n ∈N *， ∴n ＝2,3,4．故原不等式的解集为{2,3,4}． 答案：{2,3,4}9．(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ； (2)解不等式：C x －18>3C x 8．解：(1)原方程等价于m (m －1)(m －2)＝6×m (m －1)(m －2)(m －3)4×3×2×1，∴4＝m －3，m ＝7．(2)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤8，x ≤8，∴x ≤8，且x ∈N *，∵C x －18>3C x8，∴8！(x －1)！(9－x )！>3×8！x ！(8－x )！．即19－x>3x ，∴x >3(9－x )，解得x >274，∴x ＝7,8．∴原不等式的解集为{7,8}．10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有多少个矩形？(2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种？解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C 27·C 25＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C 610＝C 410＝210(种)走法．层级二 应试能力达标1．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是( )A ．{6,7,8,9}B ．{0,1,2,3}C ．{n |n ≥6}D ．{7,8,9}解析：选A∵C 4n >C 6n，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6. ∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9． ∴n 的集合为{6,7,8,9}．2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B 由题意，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18种． 3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种D ．66种解析：选D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C 44＝1种，取2奇数2偶数的取法有C 24·C 25＝60种，取4个数均为奇数的取法有C 45＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．4．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( ) A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对解析：选D 三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C 46－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．5．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是________．解析：因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －116＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x＋2＝16，得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5．答案：{5}6．某书店有11种杂志，2元1本的有8种，1元1本的有3种．小张买杂志用去10元钱，则不同买法的种数为________(用数字作答)．解析：由已知分两类情况： (1)买5本2元的买法种数为C 58．(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为C 48·C 23．故不同买法种数为C 58＋C 48·C 23＝266． 答案：2667．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值． 解：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！，整理得n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91．8．已知集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{0,1,2,3}，f 是从A 到B 的映射． (1)若B 中每一元素都有原象，则不同的映射f 有多少个？ (2)若B 中的元素0无原象，则不同的映射f 有多少个？(3)若f 满足f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＝4，则不同的映射f 又有多少个？ 解：(1)显然映射f 是一一对应的，故不同的映射f 共有A 44＝24个．(2)∵0无原象，而1,2,3是否有原象，不受限制，故A 中每一个元素的象都有3种可能，只有把A 中每一个元素都找出象，这件工作才算完成，∴不同的映射f 有34＝81个．(3)∵1＋1＋1＋1＝4,0＋1＋1＋2＝4,0＋0＋1＋3＝4，0＋0＋2＋2＝4，∴不同的映射有：1＋C 24A 22＋C 24A 22＋C 24＝31个．。

《组合与组合数公式》教学设计(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《组合与组合数公式》教学设计教学目标1、知识目标：了解组合问题和排列问题的区别，会用组合数公式，会算简单的组合问题。

2、能力目标：通过类比排列问题，推理出组合的定义和组合数的公式。

锻炼学生的类比的思想方法，逐步培养探索问题的精神，善于思考的习惯。

重点难点重点：通过类比推理得到组合的定义和组合数的公式。

难点：如何引导学生的到组合的定义和组合数的公式。

教学方法与手段1、教学方法：启发式教学法、对话式教学法2、教学手段：多媒体教学过程复习排列定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

（排列强调的是顺序）排列数公式：(1)(2)(1) mnA n n n n m=---+!()!mnnAn m=-引入问题一：某娱乐公司要从鹿晗、权志龙、邓超，3名大腕任意选出2名参加某天的一项活动，试问该娱乐公司有多少种不同的安排方法？1、试用列举法求解问：请同学们想一想并说出答案学：鹿晗、权志龙；鹿晗、邓超；权志龙、邓超2、邓超、鹿晗与鹿晗、邓超是一种安排方式吗？你发现了什么规律？学：没有要求顺序。

总结：我们只要选出人，并成一组，形成组合即可，这个过程就是组合形成的过程。

仿照排列的定义可以得到组合的定义。

一组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．问题二某娱乐公司要从鹿晗、权志龙、邓超，3名大腕任意选出2名参加某天的一项活动，其中一名参加上午活动，另外一名参加下午的活动，试问该娱乐公司有多少种不同的安排方法学：鹿晗、权志龙；权志龙、鹿晗鹿晗、邓超；邓超、鹿晗邓超、权志龙；权志龙、邓超问：问题一与问题二的根本区别是什么？学：问题一没顺序，问题二有顺序问：判断一个问题是组合还是排列问题的关键是什么？学：顺序二组合数：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号表示问：问题一和问题二的答案个数有何不同，有什么关系学：排列问题答案多而组合少，并且成倍数关系。

组合与组合数公式教学目标：1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2.能正确认识组合与排列的联系与区别.教学重点：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式.教学过程：一、复习引入：1．排列的概念：从个不同元素中，任取（m n≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从个不同元素中，任取（m n≤）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不取（m n表示具体的排列.二、问题讨论问题1.某城市有3个大型体育场A、B、C,需要选择2个体育场承办一次运动会,有多少种选择方案?问题2.从a，b，c，d4个元素中选出2个元素，共有多少种可能？问题3：某次团代会，要从5名候选人a ，b ，c ，d ，e 中选出3人担任代表，共有多少种方案？二、讲解：1.组合的概念：一般地，从个不同元素中取出()m n ≤个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.说明：（1）不同元素；（2）“只取不排”——无序性；(3)相同组合：元素相同2．组合数的概念：从个不同元素中取出()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．．．．用符号表示． 3．组合数公式的推导：（1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数；② 求每一个组合中m 个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．（2）组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且 4．例题例1、 计算 ① C ② C例2、平面有12个点，任何3点不在同一条直线上，以没3点为顶点画一个三角形，一共可以画多少个三角形？练习：1、计算：（1）C 410 （2）C 37（1）C 410=（10×9×8×7）/（4×3×2×1）＝210 （2）C 37=（7×6×5）/（3×2×1）＝352、求证：11+⋅-+=m n mn C mn m C ．证明：∵)!(!!m n m n C mn -= 111!(1)!(1)!m n m m n C n m n m m n m +++⋅=⋅--+-- ＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+--- ＝!!()!n m n m - ∴11+⋅-+=m n mn C mn m C 3、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查．(1)全是合格品的抽法有多少种？(2)次品全被抽出的抽法有多少种？(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？(4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有，1624C C ⋅，2614C C ⋅， 所以，一共有+1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法． 解法二：（间接法）10036310=-C C。

组合与组合数教案（优秀）第一章：组合概念的引入1.1 组合的定义教学目标：了解组合的定义，理解组合是一种从多个不同元素中选取一部分元素的方法，不考虑元素的顺序。

教学内容：引导学生回顾排列的概念，引出组合的概念。

通过具体的例子，让学生理解组合的意义。

教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合的定义。

教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合定义的理解程度。

1.2 组合的表示方法教学目标：学习组合的表示方法，如排列号和组合号。

教学内容：介绍排列号和组合号的表示方法，以及它们之间的关系。

教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合的表示方法。

教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合表示方法的掌握程度。

第二章：组合数的计算2.1 组合数的计算公式教学目标：学习组合数的计算公式，理解组合数与排列数的关系。

教学内容：介绍组合数的计算公式，以及组合数与排列数的关系。

教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的计算公式。

教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合数计算公式的掌握程度。

2.2 组合数的计算方法教学目标：学习组合数的计算方法，如递推法、倍数法等。

教学内容：介绍组合数的计算方法，以及它们的适用场景。

教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的计算方法。

教学评价：通过课堂练习，检查学生对组合数计算方法的掌握程度。

第三章：组合数的性质3.1 组合数的性质教学目标：学习组合数的性质，如组合数的对称性、组合数的单调性等。

教学内容：介绍组合数的性质，以及它们的证明方法。

教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的性质。

教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合数性质的掌握程度。

3.2 组合数的应用教学目标：学习组合数的应用，如组合数的在概率论中的应用、组合数在图论中的应用等。

教学内容：介绍组合数在概率论中的应用，以及组合数在图论中的应用。

教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的应用。

组合与组合数教案（优秀）教学目标：1. 理解组合的概念和性质。

2. 掌握组合数的计算方法。

3. 能够应用组合数解决实际问题。

教学重点：1. 组合的概念和性质。

2. 组合数的计算方法。

教学难点：1. 理解组合的性质和计算方法。

教学准备：1. 教学PPT。

2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入组合的概念，引导学生思考在日常生活中遇到的组合问题。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解组合的定义和性质，通过示例解释组合的概念。

2. 介绍组合数的计算方法，包括排列组合公式和递推公式。

3. 通过PPT展示组合数的计算过程和应用实例。

三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固组合的概念和计算方法。

2. 引导学生思考如何应用组合数解决实际问题。

四、总结与拓展（5分钟）1. 总结组合的概念和计算方法，强调组合在实际生活中的应用。

2. 提出拓展问题，引导学生进一步思考组合数的性质和应用。

五、作业布置（5分钟）1. 布置练习题，要求学生巩固组合的概念和计算方法。

2. 鼓励学生思考生活中的组合问题，培养学生的应用能力。

教学反思：本节课通过导入、新课讲解、课堂练习、总结与拓展等环节，使学生理解组合的概念和性质，掌握组合数的计算方法，并能够应用组合数解决实际问题。

在教学过程中，要注意引导学生思考和讨论，激发学生的学习兴趣和主动性。

通过练习题和实际问题的解决，巩固学生的知识，提高学生的应用能力。

六、组合与组合数在几何中的应用（15分钟）教学目标：1. 理解组合数在几何中的应用。

2. 学会使用组合数解决几何问题。

教学重点：1. 组合数在几何中的应用。

教学难点：1. 如何将几何问题转化为组合问题。

教学准备：1. 教学PPT。

2. 几何问题示例。

教学过程：1. 通过PPT展示组合数在几何中的应用实例，如平面几何中的区域划分、线段组合等。

2. 引导学生思考如何将几何问题转化为组合问题，并利用组合数解决。

3. 分析几何问题中的组合规律，引导学生总结解决几何问题的方法。

组合和组合数公式1.2.2组合和组合数公式一、内容分析：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.二、教学目标1、知识与技能:（1）理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合.明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题.（2）了解组合数的意义，理解排列数m n A与组合数C m n之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.2、过程与方法:通过探索排列与组合的关系.这一教学活动，得到求组合数的方法，即AC=Amm nn mm，并使学生利用这一方法解决一些简单的组合问题.3、情感态度与价值观:让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.三、教学重点：组合的概念和组合数公式.四、教学难点：组合的概念和组合数公式.五、授课类型：新授课.六、教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率.七、教学流程:八、教学过程设计：九、板书设计十、教学反思教师有意识、有目的地开发、实验和使用课程资源，将在很大程度上提高学生从事数学活动的水平和教师从事教学活动的质量.本节课改进了教材上直接推导球的体积和表面积公式的做法，而是通过设计由简单到复杂、从特殊到一般的几个问题和动态小实验帮助学生探究出球的体积和表面积的公式，学生在经历的过程中加深了对公式的理解和巩固，取得了良好的教学效果。

高 二 数学 导学案
编号：29 课型：新课 主备人：李晓华、郜文霞 审核人;申彦斌、宋书强 时间： 课题：组合与组合数公式
【学习目标】：掌握组合定义及与排列的区别，会计算组合数
1．组合的概念
，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

排列与组合的区别
判断下列.问题是组合问题还是排列问题．
(1)某铁路上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个同学
3．组合数及组合数公式
（1） ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号 表示。

推导：一般地，m n A 可以理解为：
（2）组合数公式 m m n n
m m A c A == = （3）组合数的性质：m n c = 1m n c +=
求值
（1）228n c = 则n= （2）48495050c c += （3）591n n n n c c --++= 探究： 组合数公式的应用
例1，课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，且男女各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法
（1） 只有一名女生当选
（2） 两名队长当选
（3） 至少一名队长当选
（4） 至多有两名女生当选
（5） 即要有队长，又要有女生当选。

．
例2，赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，5人左右两舷都能划，现在选出6人上艇，平均分配到两舷上划浆，有多少种选法
【反思总结】：
【课后作业】：。

组合与组合数教案（优秀）一、教学目标1. 让学生理解组合的概念，掌握组合的计算方法。

2. 培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。

3. 引导学生发现数学在生活中的应用，提高学习数学的兴趣。

二、教学内容1. 组合的定义及计算方法。

2. 组合数的计算公式。

3. 组合在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：组合的概念，组合的计算方法，组合数的计算公式。

2. 难点：组合在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究组合的概念和计算方法。

2. 用实例讲解组合在实际问题中的应用，提高学生的实践能力。

3. 利用多媒体辅助教学，直观展示组合的图形和计算过程。

五、教学准备1. 课件：组合的定义、计算方法、组合数的计算公式及相关实例。

2. 教学素材：相关实际问题，用于引导学生运用组合知识解决。

3. 学生作业：布置相关的练习题，巩固所学知识。

六、教学过程1. 导入：通过一个简单的实际问题引入组合的概念，激发学生的兴趣。

2. 新课导入：讲解组合的定义，引导学生理解组合的意义。

3. 组合的计算方法：讲解组合的计算方法，让学生通过实例体会组合的计算过程。

4. 组合数的计算公式：推导组合数的计算公式，让学生理解组合数与排列数的关系。

5. 练习与讨论：让学生分组讨论，互相解答疑惑，巩固所学知识。

七、课堂练习1. 布置适量的课堂练习题，让学生运用组合知识解决问题。

2. 引导学生互相批改，讨论解题思路，提高解题能力。

3. 对学生的练习情况进行点评，指出优点和不足，给予鼓励和建议。

八、组合在实际问题中的应用1. 通过实例讲解组合在实际问题中的应用，让学生体会数学的价值。

2. 引导学生运用组合知识解决实际问题，培养学生的实践能力。

3. 让学生分组讨论，分享各自的解题过程和心得，互相学习。

九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，让学生总结组合的概念、计算方法和组合数的计算公式。

2. 强调组合在实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣。

1.2.2 组合第1课时组合与组合数公式考点学习目标核心素养组合的概念理解组合的概念，能正确区别排列与组合数学抽象组合数公式能记住组合数的计算公式，组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系，并能运用组合数公式与组合数性质进行运算数学运算简单的组合问题能利用组合数公式解决简单的组合应用题逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P21～P24的内容，并思考下列问题：1.组合的概念是什么？2.什么是组合数？组合数公式是什么？3.组合数有哪些性质？1.组合的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.■名师点拨对组合概念的三点说明(1)组合的特点组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．(2)组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求．(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合．2.组合数的概念、公式、性质组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法C m n组合数公式乘积式C m n＝A m nA m m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！阶乘式C m n＝n！m！（n－m）！性质C m n＝C n－mn，C m n＋1＝Cmn＋Cm－1n备注①n，m∈N*且m≤n；②规定C0n＝1判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.( )(2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C24个积．( )(3)C35＝5×4×3＝60.( )(4)C2 0162 017＝C12 017＝2 017.( )答案：(1)√(2)√(3)×(4)√若C2n＝10，则n的值为( )A．10 B．5C．3 D．4答案：B从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有( ) A．504种B．729种C．84种D．27种答案：C计算C37＋C47＋C58＋C69＝________.答案：210甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种.解析：车票的票价有C23＝3(种).答案：3组合概念的理解判断下列问题是排列问题，还是组合问题.(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)从a ，b ，c ，d 四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？ 【解】 (1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的排列顺序有关，是排列问题.(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的排列顺序无关，是组合问题.(3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题.判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起．区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本； (2)从7本不同的书中取出5本给某个同学； (3)10个人互相写一封信，共写了几封信； (4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话.解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题. (2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题.(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题. (4)因为互通电话一次没有顺序之分．故它是组合问题.组合数公式、性质的应用计算下列各式的值. (1)3C 38－2C 25；(2)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310； (3)C 5－n n ＋C 9－nn ＋1.【解】 (1)3C 38－2C 25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)利用组合数的性质C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n ，则C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 310－C 44 ＝…＝C 411－1＝329.(3)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5. 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.[变条件]若将本例(2)变为：C 55＋C 56＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510，如何求解？ 解：原式＝(C 66＋C 56)＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510 ＝(C 67＋C 57)＋C 58＋C 59＋C 510＝… ＝C 610＋C 510＝C 611＝C 511＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用nn －mC mn －1＝nn －m·（n －1）！m ！（n －1－m ）！＝n ！m ！（n －m ）！＝C mn 进行计算.(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！计算.(3)计算时应注意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算．1.C 58＋C 98100C 77＝________. 解析：C 58＋C 98100C 77＝C 38＋C 2100×1 ＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.答案：5 0062.若C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363，则正整数n ＝________. 解析：由C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363， 得1＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364，即C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364. 又C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1，则C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 35＋C 25＋C 26＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1， 所以C 3n ＋1＝364，化简可得（n ＋1）n （n －1）3×2×1＝364，又n 是正整数，解得n ＝13. 答案：133.解方程：C 3n ＋618＝C 4n －218.解：由原方程及组合数性质可知， 3n ＋6＝4n －2或3n ＋6＝18－(4n －2)， 所以n ＝2或n ＝8，而当n ＝8时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去. 因此n ＝2.简单的组合问题现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名. (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？【解】 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45(种). (2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法.根据分类加法计数原理，共有C 26＋C 24＝15＋6＝21(种)不同的选法.(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90(种).[变问法]本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？解：至少有1名男教师可分两类：1男1女有C 16C 14种，2男0女有C 26种. 由分类加法计数原理知有C 16C 14＋C 26＝39(种).最多有1名男教师包括两类：1男1女有C 16C 14种，0男2女有C 24种. 由分类加法计数原理知有C 16C 14＋C 24＝30(种).解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用. [注意] 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．1.在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有C 3100＝100×99×981×2×3＝161 700(种).(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C 12种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C 298种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C 12·C 298＝9 506(种).(3)法一：抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C 12·C 298种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C 22·C 198＋C 12·C 298＝9 604(种).法二：抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C 3100－C 398＝161 700－152 096＝9 604(种).2.由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？解：对3个既会唱歌又会跳舞的人进行分类： 第一类：若3人都不参加，共有C 03C 45C 45＝25(种)； 第二类：若3人都跳舞或都唱歌，共有2C 33C 15C 45＝50(种)； 第三类：若3人中有两人唱歌或跳舞，共有2C 23C 25C 45＝300(种)； 第四类：若3人中有一人唱歌或跳舞，共有2C 13C 35C 45＝300(种)；第五类：若3人中有两人唱歌第三人跳舞或两人跳舞第三人唱歌，共有2C 23C 11C 25C 35＝600(种).第六类：若3人中只有一人唱歌，又有一人跳舞有C 13C 12C 35C 35＝600(种).由分类加法计数原理得不同选法共有25＋50＋300＋300＋600＋600＝1 875(种).1.下面几个问题属于组合的是( )①由1，2，3，4构成双元素集合；②5支球队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法.A．①③B．②④C．①②D．①②④解析：选C．由集合元素的无序性可知①属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故②是组合问题；③，④中两位数顺序不同数字不同为排列问题.n等于( )2.若C n12＝C2n－312，则A．3 B．5C．3或5 D．15解析：选C．由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C．3.若集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有4个元素的子集共有________个.解析：共有C45＝5个.答案：54.10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C410＝210种分法.答案：2105.平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上(4个点之间的距离各不相等)，此外任何三点不共线.(1)过每两点连线，可得几条直线？(2)以每三点为顶点作三角形可作几个？解：(1)从9个点任取2个点，除去共线的情况，再把多减的一条直线加回来，有C29－C24＋1＝31(条).(2)从9个点任取3个点，除去共线的情况有C39－C34＝80(个).[A 基础达标]1.方程C x28＝C3x－828的解为( )A．4或9 B．4C．9 D．5解析：选A．当x＝3x－8时，解得x＝4；当28－x＝3x－8时，解得x＝9.2.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )A．60种B．48种C．30种D．10种解析：选C．从5人中选派2人参加星期六的公益活动有C25种方法，再从剩下的3人中选派2人参加周日的公益活动有C23种方法，故共有C25·C23＝30(种).3.楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( )A．72种B．84种C．120种D．168种解析：选C．需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C310＝120(种).4.化简C9798＋2C9698＋C9598等于( )A．C9799B．C97100C．C9899D．C98100解析：选B．由组合数的性质知，C9798＋2C9698＋C9598＝(C9798＋C9698)＋(C9698＋C9598)＝C9799＋C9699＝C97100.5.男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人解析：选A．设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．故选A．6.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种.解析：从10人中选派4人有C410种方法，对选出的4人具体安排会议有C24C12种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有C410C24C12＝2 520(种).答案：2 5207.对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋C m n y2＝1所表示的不同椭圆的个数为________.解析：因为1≤m <n ≤5，所以C m n 可以是C 12，C 13，C 23，C 14，C 24，C 34，C 15，C 25，C 35，C 45，计算可知C 13＝C 23，C 14＝C 34，C 15＝C 45，C 25＝C 35，故x 2＋C m n y 2＝1能表示6个不同的椭圆.答案：68.不等式C 2n －n <5的解集为________. 解析：由C 2n －n <5，得n （n －1）2－n <5，所以n 2－3n －10<0.解得－2<n <5.由题设条件知n ≥2，且n ∈N *，所以n ＝2，3，4.故原不等式的解集为{2，3，4}.答案：{2，3，4} 9.(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ； (2)解不等式：C x －18>3C x8. 解：(1)原方程等价于m (m －1)(m －2)＝6×m （m －1）（m －2）（m －3）4×3×2×1，所以4＝m －3，解得m ＝7.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤8，x ≤8，所以x ≤8，且x ∈N *，因为C x －18>3C x8，所以8！（x －1）！（9－x ）！>3×8！x ！（8－x ）！.即19－x >3x ，所以x >3(9－x )，解得x >274， 所以x ＝7，8.所以原不等式的解集为{7，8}.10.一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C 1117＝12 376. (2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C 1117种选法； 第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C 111种选法. 所以教练员做这件事情的方式种数为C 1117×C 111＝136 136.[B 能力提升]11.某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有( )A．35种B．70种C．30种D．65种解析：选B．先从7人中选出3人有C37＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案有2C37＝70(种).12.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角的A地到东北角的B地的最短路线共有________条.解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B 地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有C49C55＝126种走法，故从A地到B地的最短路线共有126条.答案：12613.(1)在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌．一名参赛者可能得到多少手不同的牌(用排列数或组合数表示)？(2)某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？解：(1)本题实质上是从52个元素中任选13个元素作为一组的组合问题，共有C1352种不同的可能．即一名参赛者可能得到C1352手不同的牌.(2)需分两步：第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C812种选法；第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C47种选法.根据分步乘法计数原理，此人有C812·C47＝17 325种不同的投资方式.14.(选做题)某足球赛共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------出4强，共有4场；(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场．综上，共有48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛.金戈铁骑。