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《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
圆知识点与练习（1）圆是到定点的距离 定长的点的集合；圆的内部可以看作是到圆心的距离半径的点的集合； 圆的外部可以看作是到圆心的距离 半径的点的集合（2） 点和圆的位置关系：若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么：点P 在圆 d r 点P 在圆 d r 点P 在圆 d r例1：如图已知矩形ABCD 的边AB=3厘米，AD=4厘米，以点A 为圆心，4厘米为半径作圆A ，则点B 、C 、D 与圆A 的位置关系分别为点B 在圆A ，点C 在圆A ，点D 在圆A ，（3）定理： 的三个点确定一个圆（4）垂径定理： 垂直于弦的直径 这条弦并且平分弦所对的推论1 ①平分弦(不是直径)的直径 ，并且（注：运用垂径定理进行证明几何问题时，常需做出的辅助线的方法是 ）推论2 圆的两条平行弦所夹的弧例2：如图，将半径为2厘米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 例3：在的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=800mm ，油的最大深度为200mm ，则油槽截面的直径为 。
（例2图） （例3图）（5）圆是轴对称图形，其对称轴是 ；圆也是中心对称图形，对称中心是（6）定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 ，所对的弦的弦心距推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都例4：如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC,则∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？（7） 定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的推论1 同弧或等弧所对的圆周角 ;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是 ;90°的圆周角所对的弦是（注：当问题中有直径时，常需做出的辅助线是 ）例5：如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的同侧，∠BAC=350 ∠BOC =_______°、∠BDC =_______°⇔⇔⇔例6：如图，AB是⊙O的直径，若AB=AE①BD 和 CD相等吗？为什么？② BD与 CD的大小有什么关系？为什么？（8）圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角例7：⊙O中，弦长等于半径的弦，所对的圆周角的度数为（9）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，直线L和⊙O相交⇔d r ；直线L和⊙O相切⇔d r ；直线L和⊙O相离⇔d r 例8：在△ABC中，AB＝5cm,BC=4cm,AC=3cm,①若以C为圆心，2cm长为半径画⊙C，则直线AB与⊙C的位置关系；②若直线AB与半径为r的⊙C相切，则r的值为。
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内2、点在圆上3、点在圆外⇒ d <r ⇒⇒ d =r ⇒⇒ d >r ⇒点C 在圆内；点B 在圆上；点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d >r ⇒ 无交点；2、直线与圆相切⇒d =r ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交⇒d <r ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图 1）⇒ 无交点⇒d >R +r ；外切（图 2）⇒ 有一个交点⇒d =R +r ；相交（图 3）⇒ 有两个交点⇒R -r <d <R +r ；内切（图 4）⇒ 有一个交点⇒d =R -r ；内含（图 5）⇒ 无交点⇒d <R -r ；垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：①AB 是直径② AB ⊥CD ③ CE =DE ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。
圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离d r 无交点;1、 点在圆内 d r2、 点在圆上 d r 点C 在圆 点B 在圆 内; 上;3、点在圆外 d r 点A 在圆外;2、直线与圆相切d r 有一个交点; 3、直线与圆相交 d r 有两个交点;外离（图1）无交点 d R r ;d R r ;外切（图2）有一个交点相交（图3）有两个交点R r d R r ；内切（图4）有一个交点 d R r ；内含（图5）无交点 d R r ；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1: （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中, 只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径② AB CD ③ CE DE ④弧BC弧BD ⑤弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在O O 中，T AB // CD• ••弧AC 弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
圆章节知识点及其练习题一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；A2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；图4图5（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
北师大版数学九年级下册第三章圆1.圆的定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点称为圆心，定长称为半径。
以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”。
2.点与圆的位置关系点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径；点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径；点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径。
3.圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
4.圆弧、弦、弦心距圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
从圆心到弦的距离叫弦心距。
如图，以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”*；线段AB是⊙O的一条弦，弦CD是⊙O的一条直径。
*弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
5.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB，垂足为E，则AE=BE，，。
平分弦（不是直径．．．．）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弦。
6.旋转不变性一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。
特别地，圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
7.圆心角、圆周角的定义及关系顶点在圆心的角叫圆心角。
顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
同弧或等弧所对的圆周角相等。
（如右图）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（如下图【甲】）直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
（如下图【乙】）8.确定圆的条件不在同一条直线上．．．．．．．．的三个点确定一个圆。
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
9.直线和圆的位置关系如图，直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离。
直线和圆有惟一．．公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线，这个惟一的公共点叫做切点。
圆圆一章中在近年的考试中有所弱化，从分值上由原来的20分降到10分左右；从难度上看，只需垂径定理、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距间的关系定理，直径与圆周角的性质的简单运用。
所以，教师复习时，要在难易方面有所体现。
1、理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系。
2、探索圆的性质：垂径定理，圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距间的关系定理，直径与圆周角的性质。
3、探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线。
124、了解三角形的内心、外心。
5、a 、h 、r 、d 中，知二求二6、会计算弧长及扇形的面积，阴影图形面积，圆锥的侧面积和全面积。
三、技能和方法1、能正确利用用辅助线解决圆的证明和计算（已知r ，作弦；与弦有关作弦心距；与切线有关作半经）2、能用比较、分析、综合、数形结合、化归、建模等数学思想方法解答比较简单的综合性、实际性问题。
3、充分感受数学与现实生活的紧密联系。
四、例题解析 1.己知：⊙Ｏ１和⊙Ｏ２直径分别是１０和8，Ｏ１Ｏ２＝７，则两圆的位置关系是： ； 2.己知⊙Ｏ１和⊙Ｏ２内切，且⊙Ｏ１的半经为6 cm ，两圆的圆心距为3 cm ，那么⊙Ｏ２的半径长为： ；3.己知：直角三角形的两直角边分别为3和4cm ，求以一条直角边为轴旋转所得图形的表面积。
4．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB 于点C ，OA = 5，AB = 8，求OC 的长。
5．如图，AB 是的直径，BD 是的弦，延长BD 到C ，使CA = AB 。
BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？五、练习拓展3．1 车轮为什么做成圆形1.⊙O 外一点P 和⊙O 上一点的距离最小3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________．2.⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为O （0，0），点A 的坐标为A （4，2位置关系是（ ）A.点A 在⊙O 内B.点A 在⊙O 上C.点A 在⊙O 外D.点A 在⊙O 内或在⊙O 上3.如图，一根绳子长4 m ，一端拴着一只羊，另一端拴在 墙BC 边A 处的柱子上，请画出羊的活动区域．4.如图，已知在同心圆O 中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点．求证：∠AOC3．2 圆的对称性（一）1.若⊙O 的直径为10厘米，弦AB 的弦心距为3厘米，则弦AB 的长为________．2.已知⊙O 的半径为8cm ，OP =5cm ，则在过点P 的所有弦中，最短的弦长为最长的弦长为___________3.已知⊙O 的半径为5cm ，则垂直平分半径的弦长为__________．4.已知圆的两弦AB 、CD 的长分别是18和24，且AB ∥CD ，又两弦之间的距离为的半径长是（ ） A.12 B.15 C.12或15 D.215.如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），3水面的宽度AB 为800mm ，求水的最大深度CD ．3．2 圆的对称性（二）1.在⊙O 中，60°的圆心角所对的弦长为5cm ，则这个圆的半径为_________．2.若⊙O 的弦AB 的长为8cm ，O 到AB的距离为，弦AB 所对的圆心角为__________．3.下列结论中正确的是（ ）A.长度相等的两条弧相等 B.相等的圆心角所对的弧相等 C.圆是轴对称图形 D.平分弦的直径垂直于弦4.如图，三点A 、B 、C 在⊙O 上．（1）已知：∠ABC =∠ACB ，求证：AB=AC ；（2）已知：AB=AC ，求证：∠ABC =∠ACB 3．3 圆周角和圆心角的关系（一）1.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上．（1）若∠AOB =70°，则∠ACB =_____°；（2）若∠ACB =40°，则∠AOB =________°． 2.如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 的延长线相交于点P ，∠AOC =64°，∠BOD =16°， 则∠APC 的度数为______°．3.如图，⊙O 的直径AD =6，∠BAC =30°，则弦BC 的长为 （ ）A.3B. C.6D.（第3题）4.在同圆或等圆中，同一弦所对的两个圆（ ）A.相等B.互补C.互余D.相等或互补3．3 圆周角和圆心角的关系（二）1.如图，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点E ，AC 所对的圆心角是100°，弧AB 所对的圆心角是50°．则∠AEC =_______．2.下列命题中，①顶点在圆上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤同弧或等弧所对的圆周角相等．正确的个数为 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3．4 确定圆的条件1.____________________的三个点确定一个圆．2.锐角三角形的外心位于三角形的_______，直角三角形的外心在_________，钝角三角形的外心位于三角形的__________．3.等腰直角三角形外接圆半径为3，则这个三角形三边的长为____________．4.直角三角形两条直角边长为6和8，则外接圆面积为________．5.下列四个命题中，①直径是弦；②经过三点可以作圆；③三角形的外心到各顶点的距离都相等；④钝角三角形的外心在三角形的外部.正确的有 （ ）CD4A.个B.2个C.3个D.4个6. 如图，以⊙O 的半径OA 为直径作⊙D ，⊙O 的弦AB 与⊙D 相交于点C ，已知AB =20，求AC 的长．3．5 直线和圆的位置关系（一）1.在Rt △ABC 中，∠C =Rt ∠，AB =5cm ，BC =3cm ，以A 为圆心，4cm 为半径作圆，则：（1）直线BC 与⊙A 的位置关系是_________；（2）直线AC 与⊙A 的位置关系是_________．（3）以C 为圆心，半径为________的圆与直线AB 相切．2.半径等于3的⊙P 与x 轴相切，且OP 与x 轴正半轴的夹角为30°，则点P 的坐标为_______．3.如果直线l 与⊙O 有公共点，那么直线l 与⊙O 的位置关系是 （ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交3．5 直线和圆的位置关系（二）1.如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别是切点，∠ACB =90°，∠BOC =115°，则∠A =______，∠ABC =_______．2.如图，⊙I 是Rt △ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别是切点，∠ACB =90°，AB =5cm ，BC =4cm ，则⊙I 的半径IE 的长为_______．3.如图，直线l 1、l 2、 l 3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路距离相等，则可选择的地址有 （ ）A.一处B.两处C.三处D.四处4.如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ．求证：DC 是⊙O 的切线．3．6 圆和圆的位置关系1.课本上的奥运五环图中，红环与绿环的位置关系是______，红环与黑环的位置关系是____．2.已知两圆的半径分别是2，3，圆心距是d ，若两圆有公共点，则下列结论正确的是（ ）A.d ＝1B.d ＝5C.1≤d ≤5D.1＜d ＜5 3.半径分别为1和2的两个圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3的圆的个数有（ ） A.1个 B.3个 C.5个 D.6个4.如图，⊙O 1和⊙O 内切于点A ，AB 为⊙O 的直径，点O 1在OA 上，⊙O 的弦BC 切⊙O 1于点D ，两圆的半径R =4，r =3．A（第1第2题 C l 1l 3l 2 B5（1）求BD 的长（2）求CD 的长3．7 弧长及扇形的面积1.如图，当半径为30cm 的转动轮转过120 的角时，传送带上的物体A 平移的距离为________cm ．2.水平放置的一个水管的截面半径为10厘米，其中有水部分的水面宽103厘米．求截面上有水部分的面积．3.如图，AB 是半⊙O 的直径，C 、D 是半圆的三等分点，半圆的半径为R ．（1）CD 与AB 平行吗？为什么？ （2）求阴影部分的面积．4.如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点C ，并且分别与⊙O 内切于A 、B ，若⊙O 的半径为3，⊙O 1和⊙O 2的半径都为1．求阴影部分的面积和周界长．3．8圆锥的侧面积1.粮仓的顶部是一个底面直径为4m ，母线长为3m 的圆锥，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为 （ ）A.6m 2B.6πm 2C.12m 2D.12πm 2 2.用铁皮做一个圆锥形的烟囱帽（图中上部），它的底面直径是80cm ， 高是30cm ，不计加工余料，求需用铁皮的面积．3.如图，在半径为40米的圆形广场中央点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面（经过圆锥的轴的截面）ASB 的顶角为60°，求光源离地面的高度SO （精确到0.1米）．C DOO CAB O 2 O 1·OABSO CA B O 2O 1·64.如图，这是一个滚珠轴承的平面示意图，若滚珠轴承的内外半径分别为6cm 和8cm ，那么该轴承内最多能放________颗半径为1cm 的滚珠．5.如图，在正方形纸板上剪下一个扇形和圆，围成一个圆锥模 型，设围成的圆锥底面半径为r ，母线长为R ，则r 与R 之间 的关系为 （ ）A.2R r =B.49R r =C.3R r =D.4R r =6.如图，A 、B 、C 在直角坐标系中的坐标分别为A （1，0），B （3，0），C （0，1）．求△ABC绕y 轴旋转一周所得几何体的表面积．7.如图，⊙P 与扇形OAB 的半径OA 、OB 分别相切于点C 、D ，与弧AB 相切于点E ，已知OA =15cm ，∠AOB =60°，求图中阴影部分的面积．8.如图，一根木棒（AB ）的长为2米，斜靠在与地面（OM ）垂直的墙壁（ON ）上，与地面的倾角为60°，若木棒A 端沿NO 下滑，B 端沿OM 向右滑行，于是木棒的中点P 也随之运动，已知A 端下滑到A ′时，AA ′P 随之运动的路线有多长圆锥O B DP ′· ·N MOBA B ′ A ′ P。
九年级下册第三章圆【知识梳理】一、圆的认识1. 圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心．．；以点O为圆心的圆，记作⊙．．；线段OA叫做半径O，读作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆心．．．．，圆．．，定长叫做圆的半径心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
2、与圆相关的概念①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。
直径：经过圆心的弦叫做直径．．。
②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．。
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．。
(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。
)③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形．．。
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距．．．.3、点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d<r;③点在圆外 <===> d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二. 圆的对称性:1、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
2、圆是中心对称图形，对称中心为圆心3、定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
三. 圆周角和圆心角的关系:1.1°的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB= , 这是错误的.3. 圆周角的定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.4. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3：圆内接四边形的对角互补。
圆周角的三种情况：四. 确定圆的条件:1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上. 2. 经过三点作圆要分两种情况:(1)经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等. 五. 直线与圆的位置关系 1. 直线和圆相交、相切相离设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ；①d<r <===> 直线L 和⊙O 相交.——两个公共点②d=r <===> 直线L 和⊙O 相切.——惟一公共点，惟一的公共点做切点. ③d>r <===> 直线L 和⊙O 相离.——没有公共点BA CO OABCBA CO 外接圆rdd=rdr相离 相切 相交 2. 切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. 3. 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径. ※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. ※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. ①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两切线长相等即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠ 4. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形内心的性质: (1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角. 六. 圆和圆的位置关系.1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；(R ≥r) 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；(R>r) 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；(R>r)2. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.3. 相交两圆的性质: 相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 七. 弧长及扇形的面积1. 圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)rRd图3rR dr Rd 图4rRd 图5r Rd内切圆BO2. 弧长公式: 弧长180Rn l π=(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) 3. 扇形定义: 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 4. 弓形定义: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5. 圆的面积公式：圆的面积2R S π= (R 表示圆的半径) 6. 扇形的面积公式: 扇形的面积3602R n S π=扇形 =l R 21(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数，l 表示弧长) S -(2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π 八. 圆锥的有关概念:1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成 的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:rl rl cl S ππ=⋅==22121侧 )(2l r r r rl S S S +=+=+=πππ底面侧表 圆锥的体积：213V r h π=圆柱： （1）圆柱侧面展开图 2S S S =+侧表底=222rh r ππ+（2）圆柱的体积：2V r h π= *九. 与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线. *十. 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
如图6，∵PA ，PB 分别切⊙O 于A 、B∴PA=PB ，PO 平分∠APB2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
如图7，CD 切⊙O 于C ，则，∠ACD=∠B 3．和圆有关的比例线段：①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
如图8，AP •PB=CP •PD如图9，若CD ⊥AB 于P ，AB 为⊙O 直径，则CP 2=AP •PB 4．切割线定理①切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； ②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图10， ①PT 切⊙O 于T ，PA 是割线，点A 、B 是它与⊙O 的交点，则PT 2=PA •PB②PA 、PC 是⊙O 的两条割线，则PD •PC=PB •PA5．两圆连心线的性质①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。
②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。
如图11，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，则连心线O 1O 2⊥AB 且AC=BC 。
6．两圆的公切线两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。
如图12，AB 分别切⊙O 1与⊙O 2于A 、B ，连结O 1A ，O 2B ，过O 2作O 2C ⊥O 1A 于C ，公切线长为l ，两圆的圆心距为d ，半径分别为R ，r 则外公切线长：22)(r R d L --=如图13，AB 分别切⊙O 1与⊙O 2于A 、B ，O 2C ∥AB ，O 2C ⊥O 1C 于C ，⊙O 1半径为R ，⊙O 2半径为r ，则内公切线长：22)(r R d L +-=_ 图6_ P_ O_ B_ A_O_B_D _P_A_C图8_P_A_B_C_D_O _ 图10_B_D_C_O_A_T _P_O_A_B_ 图7O DCBA3. 1 圆的认识1、（1）下列命题：①直径是弦；②半径确定了，圆就确定了；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④长度相等的弧是等弧；⑤弦是直径。
