分母有理化上课课件

《分母有理化》讲义一、什么是分母有理化在数学中，分母有理化是一种重要的运算技巧。

当我们面对一个分式，其中分母是含有根式的表达式时，通过一定的方法将分母中的根式去掉，把分母化为有理数，这个过程就叫做分母有理化。

比如说，对于分式\（＼frac{1}｛＼sqrt{2}｝＼），它的分母\（＼sqrt{2}＼）是一个无理数。

经过分母有理化后，我们可以将其化为\（＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＼），此时分母\（2\）就是一个有理数。

分母有理化的目的主要是为了简化计算和表达式，使得数学运算更加方便和清晰。

二、为什么要进行分母有理化分母有理化在数学中具有重要的意义和作用，主要体现在以下几个方面：1、简化运算当分式的分母中含有根式时，进行计算往往比较复杂。

通过分母有理化，可以将分母化为有理数，从而简化运算过程，提高计算的准确性和效率。

2、统一形式在数学问题中，为了便于比较和分析不同的表达式，常常需要将它们化为相同的形式。

分母有理化可以帮助我们将分式化为具有统一分母的形式，便于进行后续的运算和处理。

3、便于理解和分析有理化后的分母更容易被理解和直观地把握，有助于我们更深入地研究和分析数学问题。

三、分母有理化的基本方法分母有理化的方法主要有以下几种：1、乘法有理化对于形如\（＼frac{A}｛＼sqrt{B}｝＼）的分式，我们可以将分子分母同时乘以\（＼sqrt{B}＼），得到\（＼frac{A\sqrt{B}｝｛B}＼）。

例如，对于\（＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＼），分子分母同时乘以\（＼sqrt{3}＼），得到\（＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼）。

2、平方差公式有理化当分母是形如\（a ＋＼sqrt{b}＼）或\（a ＼sqrt{b}＼）的式子时，我们可以利用平方差公式\（（a ＋ b)（a b) ＝ a^2 b^2\）来进行有理化。

例如，对于\（＼frac{1}｛2 ＋＼sqrt{3}｝＼），分子分母同时乘以\（2 ＼sqrt{3}＼），得到：＼＼begin{align}＼frac{1}｛2 ＋＼sqrt{3}｝＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛（2 ＋＼sqrt{3}）（2 ＼sqrt{3}）｝＼＼＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛2^2 （＼sqrt{3}）＾2}＼＼＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛4 3}＼＼＆＝2 ＼sqrt{3}＼end{align}＼四、分母有理化的实例下面通过一些具体的例子来进一步理解分母有理化的过程和方法。

专题06 分母有理化
1.分母有理化的概念：
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2.常见类型： 常见类型一：a
a b a a a
b a b
=⋅⋅=． 常见类型二：b
a b a c b a b a b a c b a c
--=-+-⋅=+)())(()
(． 其中，我们称n n a 1-是n a 的“有理化因子”，b a -是b a +的“有理化因子”．分母有理化的关键是
找到分母的“有理化因子”．
3.有理化因式的概念：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。

4.熟记一些常见的有理化因式：
a 的有理化因式是a ；
b n a +的有理化因式是b n a -；
b a +的有理化因式是b a -；
b n a m +的有理化因式是b n a m -；
33b a ±的有理化因式是32332b ab a + 。

5.分母有理化十法。

第六讲 分母有理化【知识要点】1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2.有理化因式（1）定义：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.（2）确定方法：a =来确定． 如：a a 与，b a b a ++与，b a b a --与等分别互为有理化因式. ②两项二次根式：利用平方差公式22))((b a b a b a -=-+来确定． 如：b a b a -+与，b a b a -+与，y b x a y b x a -+与分别互为有理化因式。

3.分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【经典例题】【例1】把下列各式分母有理化 ①231 ②421 ③ 273④15362 ⑤50381- ⑥32121【例2】把下列各式分母有理化 ①1145- ② 1486-- ③ 3322-④322333- ⑤3535-+【例3】已知,325,325+=-=b a 求b a 11-的值。

【例4】已知121-=x ，求41412+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 的值【例5】观察下列算式：【初试锋芒】1．下列各式：①y x +，②y b x a +，③y a x b -，④x y -的有理化因式是（ ）A.①②B.②③ C ．③④ D ．④①2．下面化简正确的是（ ） A.2328325a a a = B.b b 2323= C.212ba b a -=- D.xy y y x 156112523=3. 求4554452021515+-+的值（ ） A ．4 B ．52 C ．523-D ．529 4.下列式子运算正确的是（ ） A.123=- B.248= C. 331= D.4321321=-++ 5.化简253-时，甲的做法是：25)25)(25()25(3253+=-+-=- 乙的做法是：25)25()25)(25(253+=--+=-，以下判断正确的是（ ） A.甲的解法正确，乙的解法不正确 B.甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确.6.已知121,12-=+=b a ，则a 与b 的关系（ ） A ．a=b B.ab=1 C.a=-b D.ab=-1 7．)57(21+的倒数是 8.已知,132-=a 则222+-a a = 9.已知ab=1，其中2008)223(+=a ，则b= 10.23,23-=+=b a ，则b a 11+= 【大展身手】1.已知3=x 、31=y ，求xy x y x x +--431的值。

数学 第1课时 分母有理化在初中阶段我们学习了实数及其运算，这些运算在高中学习中会经常用到．其中有些运算问题，需要一种叫“分母有理化”的方法来解决．高中关于实数的运算比初中更复杂，并且由于运算结果需要精确值而不是近似值，一般不能借助于计算器来完成，所以需要我们具备较强的运算能力．本节课我们从回顾实数及其运算开始，补充分母有理化方法，用例题和练习来提高运用分母有理化的能力，并适当渗透或介绍高中的有关知识． 【初中经历】1．每一个有理数都可以表示为分数nm，其中n 是正整数、m 是整数，且n 、m 互质． 2．有理数和无理数统称为实数．实数与数轴上的点一一对应． 3．实数运算满足如下运算律：①加法交换律a b b a +=+；②乘法交换律a b b a ⨯=⨯；③加法结合律)()(c b a c b a ++=++； ④乘法结合律)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯； ⑤乘法对加法的分配律c a b a c b a ⨯+⨯=+⨯)(． 4．如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根．若a x =2，则x 叫做a 的平方根，a x ±=．若a x =3，则x 叫做a 的立方根，3a x =． 5．如果a ，b 都是正实数，那么a a nn =，a a n n =)(，n n nb a ab ⋅=．【必要补充】 利用分式（分数）的基本性质，将分式（分数）的分母化成有理式，这叫分母有理化．常见类型一：aab a a a b a b =⋅⋅=． 常见类型二：ba b a c b a b a b a c ba c --=-+-⋅=+)())(()(．其中，我们称nn a 1-是n a 的“有理化因子”，b a -是b a +的“有理化因子”．分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”．【有效衔接】 1．分母有理化例1 将下列各式分母有理化（1）21；（2）121+；（3）352-．解答：（1）2122222=⋅=； （2）121+)12)(12(12-+-=121212-=--=； （3）352-)35)(35()35(2+-+=3535)35(2+=-+=．反思：分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”．2的有理化因子是2，12+的有理化因子是12-，35-的有理化因子是35+．练习1 将下列各式分母有理化 （1）131+；（2）526-．2．判定元素与集合的关系 例2 已知1313-+=a ，集合}3|{>=x x A ，判定a 是否为集合A 的元素． 解答：∵1313-+=a 332)13)(13()13(2>+=+-+=，∴A a ∈．本课侧重于讨论“数”的分母有理化，而关于“式”的分母有理化问题将在“二次根式”一课内讨论．高中知识了解“一些对象的全体”叫做一个集合，每一个对象也叫元素．例如“小于2的全体实数”构成一个集合}2|{<=x x A ．对于给定的元素与集合，要么元素属于集合，要么元素不属于集合．元素a 属于集合A ，记作A a ∈；元素a 不属于集合A ，记作A a ∉．反思：在本题中，化简1313-+=a 是关键．而化简的本质就是分母有理化．分母13-的有理化因子是13+．练习2 已知1212-+=m ，集合}5|{<=x x B ，判定m 是否为集合B 的元素．3．求函数值例3 已知函数x x x f 1)(+=，求)2(f 、)23(+f ．解答：∵xx x f 1)(+=， ∴)2(f 223222212=+=+=． )23(+f 23123+++=2323-++=32=．反思：在本题中，求)2(f 的关键是化简21，求)23(+f 的关键是化简231+．而化简的本质就是分母有理化．其中分母23+的有理化因子是23-． 练习3 已知函数21)(-+=x x x g ，求)3(g 、)5(g ．高中知识了解函数通常用)(x f 、)(x g 等记号来表示．其中x 是自变量，f 、g 等表示函数中的“对应法则”．例如函数12+=x y ，也可以记作12)(+=x x f ．用)(x f 来表示函数至少有两点好处．一是明确自变量，例如函数b am m f +=)(的自变量是m ．二是表述简洁，例如)3(f 表示当3=x 时函数的值等等．在必修1第1章内我们将具体学习集合与函数概念，这里只要求了解函数记号．4．求代数式的值 例4 已知211+=a ，321+=b ，431+=c ，求下列各式的值．（1）c b a M ++=；（2）ca bc ab S ++=． 解答：（1）∵211+=a 12-=，321+=b 23-=，431+=c 32-=，∴c b a M ++=1)32()23()12(=-+-+-=．（2）∵)23)(12(--=ab 2236-+-=，)32)(23(--=bc 322326--+=， )12)(32(--=ca 22236-++-=．∴ca bc ab S ++=7236-++=．反思：在本题中，有序而准确的计算是关键．我们注意到了已知三个数211+=a 、321+=b 、431+=c 的特征，并充分考虑了求值目标c b a M ++=和ca bc ab S ++=的结构，采取了先化简a 、b 、c ，再代入计算，以及分步计算的策略．这有利于获得准确的计算结果，同时清晰地表达计算的过程．练习4 若长方体的长为35+，宽为13-，体积为16，求这个长方体的高h ．初高中衔接不单纯是知识的衔接，而且是数学能力和数学思维方式的衔接．这一点将在以后各课中不断体现．【自主训练】 1．对321分母有理化的结果是（ ）（A ）1 （B ）22 （C ）223 （D ）2432．已知32+=a ，321-=b ，则a 与b 的关系是（ ）（A ）0=+b a （B ）b a = （C ）1=ab （D ）1-=ab 3．已知10=a ，255-=b ，集合}10|{<=x x M ，则（ ）（A ）M a ∈，M b ∈ （B ）M a ∈，M b ∉ （C ）M a ∉，M b ∈ （D ）M a ∉，M b ∉ 4．化简=-231 ．5．对1-x x 分母有理化的结果是 ．6．计算:=++3262 ．7．计算232331233+---．8．设1)(2+=x x x f ，求)1212(+-f 的值．9．试将6321++分母有理化．数学 第1课时 分母有理化 【练习题答案】 练习1 （1）213-；（2）)52(2+-； 练习2 B m ∉，提示：223+=m ； 练习3 4)3(=g ，537)5(+=g ； 练习4 15252366--+，提示：)13)(35(16-+=h ；【训练题答案】 1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．23+； 5．1-+x xx ； 6．2，提示：2132)13(2324322+=+=+=+； 7．2-； 8．61；提示：)223(62121812-=-=+x ； 9．231263527--+，提示：先将分母看成6)32(++．。

第二讲 分母有理化
一、知识要点与思维方法
把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化,又称有理化分母,是数学上的专有名词,指的是在二次根式中分母原为无理数,而将该分母化为有理数的过程,也就是将分母中的根号化去.
⑴在计算二次根式除法时,当被开方数不能恰好为整数时,常用分母有理化的方法化简.
⑵分母有理化的依据是:分式的基本性质和二次根式的性质()()()0,022≥=≥=a a a a a a .
二、例题选讲
例1、 化简 ①671
- ②32347++
③5326
2-+ ④355353--
⑤()()75537
523-+-+
⑥x x x x x x x x -++++++-+1111
例2、 已知2231
+=x ，求3262-+-x x x 的值.
例3、 解不等式x x 332<
-
三、课堂练习
1、 化简 ①
22341+ ②y x y x 3232-+
③()()()()13123322---+ ④5325
32+++-
2、 计算
③
154510-- ② 221111x x x x +-+++
③494747491
75571
53351
331
++++++++。