2013年浦东新区初二数学竞赛

2013年上海市初中数学竞赛试卷解答2013年12月8日 9:00—11:00解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每小题10分，共80分）1.已知127a =+，127b =-，则33a ab b -+-=____________.【分析】11,2727a b ==+-，41,33a b ab ∴+=-=-，则332224414()()()(()3())()333341643610064(1)3932727a ab ba b a ab b a b -+-=+-+-+=-------=-++==-2.如图，已知直线1234,,,l l l l 及1234,,,m m m m 分别相互平行，且=100ABCD S 四边形，=20S 四边形EFGH ，则=S 四边形PQRS3. 在Rt △ABC 中，已知∠BAC=900，AB=6，AC=8，点E 、F 在边AB 上，使得AE=2，BF=3，过点E 作AC 的平行线,与边BC 交于点D ，联结FD 并延长，与边AC 的延长线交于G ，则线段FG 的长为4. 凸五边形ABCDE 的边长依次为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ，已知一个关于x 的二次三项式满足：当1x a =及2345x a a a a =+++时，得到二次三项式的值均为5；当1x a =+2a 时，二次三项式的值为p ； 当345x a a a =++时，二次三项式的值为q ， 则p-q=解：设二次三项式为2()f x ax bx c =++5. 能被35整除且数字和为15的三位数是___________.解：因为各位数字和为15，所以，该三位数是3的倍数，又该三位数是35的倍数，故这个三位数是35*3=105的倍数。

从105开始，穷举105倍数的三位数：105,210,315,420,525,630,735,849,945， 其中，只有735的数字和为15.6. 已知关于x 的一元二次方程2(1)(2)0x ax m m ++++=对于任意的实数a 都有实数根，则实数m 的取值范围是_________________.7. 设矩形ABCD 的面积为2013，点E 在边CD 上，则以△ABE 、△BCE 、△ADE 的重心为顶点构成的三角形的面积为________________.8. 在直角三角形ABC 中，斜边AB 上的高CD=3，延长DC 到点P,使得CP=2，联结AP,过点B 作BF ⊥AP,分别与CD 、AP 交于点E 、F ，则线段DE 的长为11.求最小的整数n （n>1）,使得存在n 个整数1a ,2a ,…,n a (允许相同)满足1a +2a +…+n a = 1a 2a …n a =201312. 设正整数a 、b 、c 、d 满足 2(13)a c d =+，2(13)b c d =-，求d 的所有可能值.。

2013年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷（考试时间：2013年3月8日下午4：00—6：00）班级：: 姓名： 成绩：一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、()︒---+1|3|4π的值是（ ）A 、4B 、5C 、8D 、9 2、若()()222-+=+-bx x a x x ，则=+b a （ ）A 、1-B 、0C 、1D 、23、如图，已知在ABC ∆中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，且AB OM //，AC ON //，若6=CB ，则OMN ∆的周长是（ ）A 、3B 、6C 、9D 、12 4、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧++≥+23131221x x x x 的解是（ ） A 、16≤-x B 、16 x - C 、16 x ≤- D 、16≤≤-x5、非负整数x ，y 满足1622=-y x ，则y 的全部可取值之和是（ ） A 、9 B 、5 C 、4 D 、36、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，M 点为CD 边上的中点，若M 点是A 点关于线段EF 的对称点，则EDAE等于（ ） A 、35 B 、53 C 、2 D 、21二、填空题（本题满分28分，每小题7分）MNO ACBFE M GDA CB1、已知0|3|22=++-+-y x x ，则_________22=+y x .2、已知31=+x x ，则_____________132=++x x x. 3、设⎩⎨⎧=++=++36542332z y x z y x ，则___________23=+-z y x .4、如图，在ABC ∆中，BC AC =，且︒=∠90ACB ，点D 是AC 上一点，BD AE ⊥，交BD 的延长线于点E ，且BD AE 21=，则_________=∠ABD . 三、（本大题满分20分）先化简后，再求值：244412222+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+-a a a a a a a a ，其中12-=a .四、(本大题满分25分)如图，已知直角梯形OABC的A点在x轴上，C点在y轴上，6=OB=OA，ABOC，10=PQ//交AC于D点，且︒ODQ，求D点的坐标。

2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++．2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b a c x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC（第3题）【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC=，·DC DO DE OC =都是有理数，而AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．（第3题答题）（第4题答题）（第4题）二、填空题6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故222b a =-=，因此33(2)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413． 8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．（第7题答题）（第7题）9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+， 所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC-∠CBE．【解答】将0x=分别代入y=113x-+，23y ax bx=+-知，D(0，1)，C(0，3-)，所以B(3，0)，A(1-，0)．直线y=113x-+过点B．将点C(0，3-)的坐标代入y=(1)(3)a x x+-，得1a=．抛物线223y x x=--的顶点为E(1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CE BE＝因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，90BCE∠=︒．因此tan CBE∠=CECB=13．又tan∠DBO=13ODOB=，则∠DBO＝CBE∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。

浦东新区2013-2014学年度第二学期期末质量测试初二数学（完卷时间：100分钟，满分：100分） 2014．6一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）（每题只有一个选项正确）1．下列方程中，不是整式方程的是…………………………………………………………( )B（A ）;32532=-x x （B ）;262x x x =- （C ）;07322=-x（D ）;0325=-x x 2．下面各对数值中，属于方程032=-y x 的解的一对是………………………………( )D（A ）⎩⎨⎧==;3,0y x （B ）⎩⎨⎧==;0,3y x （C ）⎩⎨⎧==;9,3y x （D ）⎩⎨⎧==.3,3y x 3、如图，已知一次函数b kx y +=的图像经过A 、B 两点，那么不等式0>+b kx 的解集是（ ）B（A ）x>5; （B ）x<5;（C ）x>3; （D ）x<3.4．下列事件：①浦东明天是晴天，②铅球浮在水面上，③平面中，多边形的外角和都等于360度，属于确定时间的个数是 ……………………………………( )B（A ）0个； （B ）1个； （C ）2个； （D ）3个．5．下列各式错误的是……………………………………………… ( )A（A ）;0)(=-+m m（B ）;00= （C ）;m n n m +=+（D ）);(n m n m -+=- 6、如果菱形的两条对角线长分别是10cm 和24cm ，那么这个菱形的周长为（ ）C（A ）13cm; （B ）34cm; （C ）52cm; （D ）68cm,7、只利用一副（两块）三角尺不能直接拼出的角度是………………………………………( )D（A ）︒75； （B ）︒105； （C ）︒150； （D ）︒165．二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）8、如果1)2(-++=m x m y 是常值函数，那么=m .9、已知直线l 与直线x y 4-=平行，且截距为6，那么这条直线l 的表达式是________________．10、如果一次函数b kx y +=的图像经过第二、三、四象限，那么函数y 的值随着自变量x 的增大而 ．11、方程2342-=-x x x 的解是 ． 12、方程组⎩⎨⎧=+-=2,122y x x y 的解是 ． 13、木盒中有1个红球和2个黄球，这三个球除颜色外其他都相同，从盒子里先摸出一个球，然后放回去摇匀后，再摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是 ．14、如果一个多边形的每一个内角都等于144度，那么这个多边形的边数是在____________.15、如果一个四边形要成为矩形，那么对角线应满足的条件是 . 16、已知矩形ABCD 的长和宽分别为8和6，那么顶点A 到对角线BD 的距离等于 .17、如果一个四边形的两条对角线长分别为cm 7和cm 12，那么顺次联结这个四边形各边中点所得四边形的周长是 cm .18、如图，已知在梯形ABCD 中，,7,2,75,30,//==︒=∠︒=∠BC AD C B BC AD那么AB= .19、如图，已知E 是□ ABCD 的边AB 上一点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 上的点F 处，如果BEF ∆的周长为7，CDF ∆的周长为15，那么CF 的长等于 ．三、简答题（本大题共8题，满分58分）20、（本题满分4分）如图，已知向量c b a 、、。

2013学年第二学期八年级期中考试数学试卷（考试时间90分钟，满分100分）一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．下列函数中，是一次函数的是（ ）．（A ）22y x =+； （B ）12x y -=； （C ）y kx b =+（k 、b 是常数）； （D ）1y x -=． 2．一次函数2(1)5y x =-+的图像在y 轴上的截距为（ ）．．（A ）2； （B ）5； （C ）－1； （D ）3．3．．函数1--=k kx y （常数0>k ）的图像不经过的象限是( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ） 第三象限 （D ）第四象限4．下列方程中，有实数根的是（ ）．（A ）11-=+x ； （B ）111x x x =--；（C x =- （D ）044=+x 5．用换元法解方程1323=---x x x x 时，可以设x x y 3-=，那么原方程可以化( ) （A ）02y 2=-+y ； （B ）012=-+y y ；（C ）0122=--y y ； （D ）022=--y y6．下列判断正确的是 ( )（A ）对角线相等的四边形是平行四边形； （B ）对角线互相垂直的四边形是平行四边形；（C ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（D ）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．函数23y x =-+的函数值y 随自变量x 的增大而______（填“增大”或“减小”）．8．方程1112-=-x x x 的根是__________． 9．关于x 的方程(2)21x a x +=+（0a ≠）的解是_____________．10．一次函数26y x =-的图像与x 轴的交点坐标是 .11．方程11-=-x x 的解是 ．12．如果过多边形的一个顶点共有6条对角线，那么这个多边形的内角和是 ．13．已知直线3-x y =，在此直线上且位于x 轴的上方的点，它们的横坐标的取值范围是 ．14．把二元二次方程 02322=+-y xy x 化成两个一次方程，则这两个一次方程分别是： ____ 和 ．15．在四边形ABCD 中，已知∠A +∠B =180°，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．(只需填写一种情况)16．一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，若设平均每次降价的百分率是x ，则可列出方程为__________ ．17．将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形。

上海市初中数学竞赛（浦东新区选拔赛）暨浦东新区初中数学竞赛试卷（本试卷共有15题，第1~5题，每题6分，第6~10题，每题8分，第11~15题，每题10分，满分120分）1．如果关于x 的方程435)2()2(-+=--+k x k x x k 的解是非负数，那么k 的取值范围是 ．2．已知⎩⎨⎧=+=+,17,822ab b ab a 那么b a += ．3．如果直线b x y +=2被两条坐标轴截得的线段长为5，那么这条直线在y 轴上的截距是 ．4．已知矩形纸片ABCD 中，AB =4，BC =8，将这张纸片沿对角线BD 折叠，那么折叠后纸片重叠部分的面积是 ．5．如果)(212y x y x +=-+，那么y x += ．6．如果1=+y x xy ，2=+z y yz ，3=+x z zx ，那么z y x 111++= ．7．如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，AB =5，那么△BDF 的面积等于 ．8．已知0132=+-x x ，那么1242+-x x x = ．9．抛物线()52122-++-=a x a x y 与x 轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，那么a 的取值范围是 ．10．在Rt △ABC 中，两条直角边AC 、BC 的长分别为8厘米和15厘米，点D 在边AB 上，点E 在边AC 上，CD 与BE 相交于点F ，且DF CE CF AE ⋅=⋅2，那么CD = ．11．已知实数a 、b 、c 满足6=+b a ，92+=c ab ，那么20052005b a -= ．12．已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD <BC ，AB =CD ，AC =BC =10，如果这个梯形高的长度与边AD 的长度相等，那么这条高的长度等于 ．13．如图，已知OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，且OP =2厘米，∠AOB =60°，过点P 的动直线交OA 于点D ，交OB 于点E ，那么OEOD 11+= 厘米． 14．某校初三100名学生排成一行，从1起依次报数，凡报奇数者出队；留下的学生重新从1起依次报数，报奇数者出队；这样反复下去，那么最后留下的一位学生第一次报的数应是 ．15．某高速公路收费站，有m （m >0）辆汽车排队等候收费通过．假设通过收费站的车流量（每分钟通过的汽车数量）保持不变，每个收费窗口的收费检票的速度也是不变的．若开放一个收费窗口，则需20分钟才可能将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过；若同时开放两个收费窗口，则只需8分钟也可将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过．若要求在3分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，那么至少要同时开放 个收费窗口． O A B C D P E。

浦东新区2013学年度第一学期期末质量抽测初二数学（测试时间100分钟，满分100分）一、选择题：（本大题共5题，每题2分，满分10分）1．下列二次根式中，与a 3属同类二次根式的是………………………………………（ ）（A ）a 9；（B ）227a ；（C ）218ab ；（D ）227ab ．2．下列各数中，是方程3522=+x x 的根的是……………………………………………（ ）（A ）-3；（B ）-1；（C ）1；（D ）3．3．直线x y 32-=不经过点…………………………………………………………………（ ）（A ）（0,0）； （B ）（-2,3）； （C ）（3,-2）； （D ）（-3,2）． 4．如果反比例函数的图像经过点（-8,3），那么当x >0时，y 的值随x 的值的增大而……（ ）（A ）减小； （B ）不变； （C ）增大； （D ）无法确定． 5．在命题：“三角形的一个外角大于三角形的每一个内角”、“底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等”、“两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直”中，真命题的个数有…………………………………………………………………………（ ） （A ）0个； （B ）1个； （C ）2个； （D ）3个． 二、填空题：（本大题共15题，每题2分，满分30分） 6．化简：2)4(-π= ． 7．计算：4312-= ． 8．方程2142=-x x 的解是 ．9．如果关于x 的方程032=-+m x x 没有实数根，那么m 的取值范围是 ． 10．分解因式：232--x x = ．11．函数12-+=x x y 的定义域是 ． 12．已知函数53)(-=x xx f ，那么)2(f = ．13．把362+-x x 化成n m x ++2)(的形式是 ．14．已知直角坐标平面中两点分别为A （2,-1）、B （5,3），那么AB = ． 15．某人从甲地行走到乙地的路程S （千米）与时间t （时）的函数关系如图所示，那么此人行走3千米，所用的时间是 （时）．16．在Rt △ABC 中，如果∠C =90°，∠A =60°，AB =14，那么BC = ．17．经过定点A 、B 的圆的圆心的轨迹是 ．18．命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是 ． 19．已知在Rt △ABC 中，P 为斜边AB 上一点，且PB =BC ，P A =2，AC =8，那么AB = ． 20．已知在△ABC 中，CD 是角平分线，∠A =2∠B ，AD =3，AC =5，那么BC = ． 三、解答题：（本大题共8题，满分60分） 21．（本题满分6分）已知：321+=x ，求代数式48262++-+x xx x x 的值．22．（本题满分6分）如果关于x 的方程42522+=-x x mx 是一元二次方程，试判断关于y 的方程y m my m y y -=+--+12)1(根的情况，并说明理由．t （时） （第15题图）23．（本题满分7分）已知：点P （m ,4）在反比例函数xy 12-=的图像上，正比例函数的图像经过点P 和点 Q （6,n ）．（1）求正比例函数的解析式；（2）在x 轴上求一点M ，使△MPQ 的面积等于18． 24．（本题满分7分）已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，垂足为点D ，PE ⊥OB ，垂足为点E ，点M 、N 分别在线段OD 和射线EB 上，PM =PN ，∠AOB =68°．求：∠MPN 的度数．A OB PM N C （第24题图）D E25．（本题满分8分）如图，已知△ABC ．（1）根据要求作图：在边BC 上求作一点D ，使得点D 到AB 、AC 的距离相等，在边AB 上求作一点E ，使得点E 到点A 、D 的距离相等；（不需要写作法，但需要保留作图痕迹和结论）（2）在第（1）小题所作出的图中，求证：DE ∥AC ．26．（本题满分8分）如图，在一块长为60米，宽为40米的空地上计划开辟花圃种植鲜花，要求在花圃的四周留出宽度相等的道路，如果花圃的面积为2016平方米．（1）求道路的宽度；（2）如果道路拓宽1米，求花圃的面积将减少多少平方米．（第26题图）（第25题图）27．（本题满分8分）已知：在△ABC 中，AB =2BC ，∠ABC =60°．（1）如图1，求证：∠BAC =30°； （2）分别以AB 、AC 为边，在△ABC 外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，联结DE ，交AB 于点F （如图2）． 求证：DF =EF ．（第27题图1） A C ACD E F （第27题图2） B28．（本题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A （m ,n ）在第一象限内，AB ⊥OA ，且AB =OA ，反比例函数xky =的图像经过点A ． （1）当点B 的坐标为（6,0）时（如图1），求这个反比例函数的解析式；（2）当点B 也在反比例函数xky =的图像上，且在点A 的右侧时（如图2），用m 、n 的代数式表示点B 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求nm 的值．浦东新区2013学年度第一学期期末质量抽测初二数学试卷答案要点及评分标准一、选择题：1．D ； 2．A ； 3．B ； 4．C ； 5．B ． 二、填空题：6．π-4； 7．323； 8．-3或7； 9．49-<m ； 10．)2173)(2173(--+-x x ； 11．12≠-≥x x 且； 12．-2； 13．6)3(2--x ； 14．5； 15．43； 16．37； 17．线段AB 的垂直平分线； 18．角平分线相等的三角形是等腰三角形； 19．17； 20．8．三、解答题： 21．解：32321-=+=x ．……………………………………………………………（2分）原式=4)2)(4(6++-+x x x x x =)2)(4(262-+-+x x xx x ……………………………………（1分）=)2)(4()4(-++x x x x =2-x x．…………………………………………………………（1分）当32-=x 时，原式=332--………………………………………………………………………（1分）=3323-．…………………………………………………………………………（1分） 22．解：∵关于x 的方程42522+=-x x mx 是一元二次方程，即045)2(2=---x x m 是一元二次方程，……………………………………（1分） ∴02≠-m ，即2≠m ．…………………………………………………………（1分） 关于y 的方程整理，得012=-+-m my y ． …………………………………（1分）)1(42--=∆m m …………………………………………………………………（1分）=0)2(2>-m ．……………………………………………………………………（1分） ∴关于y 的方程有两个不相等的实数根．………………………………………（1分）23．解：（1）∵点P （m ,4）在反比例函数xy 12-=的图像上， ∴m = -3，即点P 的坐标为（-3,4）．……………………………………………（1分） 设正比例函数的解析式为y =kx ， ∵正比例函数的图像经过点P ，∴34-=k ．……………………………………（1分） ∴所求的正比例函数的解析式为x y 34-=．……………………………………（1分） （2）∵点Q （6,n ）在这个正比例函数的图像上， ∴n = -8，即点Q 的坐标为（6,-8）．……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为（x ,0）， 根据题意，得18821421=⨯+⨯x x ．……………………………………………（1分）解得x 1=3或x 2= -3．………………………………………………………………（1分）∴点M 的坐标为（3,0）或（-3,0）．……………………………………………（1分）24．解：∵OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，垂足为点D ，PE ⊥OB ，垂足为点E ，∴PD =PE ．………………………………………………………………………（1分）∵PM =PN ，∴Rt △PDM ≌Rt △PEN ．……………………………………………（2分） ∴∠DPM =∠EPN ．…………………………………………………………………（1分） 又∵∠AOB =68°，∴∠POD =∠POE =34°．……………………………………（1分） ∴∠OPD =∠OPE =56°．…………………………………………………………（1分） ∴∠MPN =∠OPD+∠OPE =112°．………………………………………………（1分）25．（1）作图，略．…………………………………………………………………（1分，1分）结论：点D 和点E 就是所求作的点．……………………………………（1分，1分） （2）∵点D 到AB 、AC 的距离相等，∴∠BAD =∠CAD ．…………………………………………………………………（1分） ∵EA =ED ，∴∠EAD =∠EDA ．……………………………………………………（1分） ∴∠CAD =∠EDA ．…………………………………………………………………（1分） ∴DE ∥AC ．…………………………………………………………………………（1分）26．解：（1）设道路的宽度为x 米．根据题意，得2016)240)(260(=--x x ．………………………………………（2分）整理，得096502=+-x x ．……………………………………………………（1分） 解得x 1=2，x 2=48（不符合题意，舍去）．………………………………………（1分） 答：道路的宽度为2米．…………………………………………………………（1分） （2）如果道路拓宽1米，那么花圃的面积将减少：180)640)(660(2016=---．……………………………………………………（2分）答：如果道路拓宽1米，那么花圃的面积将减少180平方米．………………（1分）27．证明：（1）取AB 的中点M ，联结CM ．∵AB =2BC ，∴BM =BC ．…………………………………………………………（1分） ∵∠ABC =60°，∴△BCM 是等边三角形．……………………………………（1分） ∴CM =BM =AM ，∠BMC =60°．…………………………………………………（1分） ∴∠BAC =30°．……………………………………………………………………（1分） 另证：作CH ⊥AB ，垂足为点H ．∵∠ABC =60°，∴∠BCH =30°．………………………………………………（1分）∴BC =2BH ，BH CH 3=．………………………………………………………（1分） ∵AB =2BC ，∴AH =3BH ．∴BH AH CH AC 3222=+=．………………………………………………（1分）∴∠BAC =30°．……………………………………………………………………（1分） （2）作DG ⊥AB ，垂足为点G ．∵△ABD 是等边三角形，∴AB =BD ，∠ABD =60°． ∴∠ABD =∠ABC ．∵∠ABC =60°，∠BAC =30°，∴∠ACB =∠DGB =90°．∴△BGD ≌△BCA ．………………………………………………………………（1分） ∴DG =AC ．…………………………………………………………………………（1分） 又∵△ACE 是等边三角形，AE =AC ，∠CAE =60°． ∴DG =AE ，∠EAF =∠DGF =90°．∵∠DFG =∠EF A ，∴△DFG ≌△EF A ．…………………………………………（1分） ∴DF =EF ．…………………………………………………………………………（1分）28．解：（1）∵点B 的坐标为（6,0），AB ⊥OA ，且AB =OA ，∴点A 的坐标为（3,3）．…………………………………………………………（2分）∴所求的反比例函数解析式为xy 9=．…………………………………………（1分） （2）作AC ⊥x 轴，垂足为点C ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ． ∵AB ⊥OA ，∴∠BAD +∠OAC =90°． 又∵AC ⊥x 轴，∴∠AOC +∠OAC =90°． ∴∠BAD =∠AOC ．∵AB =OA ，∠ADB =∠OCA =90°，∴△ABD ≌△OAC ．…………………………（1分） ∴BD =AC =n ，AD =OC =m ．…………………………………………………………（1分） ∴点B 的坐标为（m +n ,n -m ）．……………………………………………………（1分） （3）∵点A 和点B 都在反比例函数xky =的图像上， ∴m k n =，nm k m n +=-．…………………………………………………………（1分）∴mn m n n m =-+))((．……………………………………………………………（1分） 整理，得022=-+n mn m ．解得25nn m ±-=， 即n m 251+-=或n m 251--=（不符合题意，舍去）．……………………（1分） ∴215-=n m ．………………………………………………………………………（1分）。