高中数学选修2-3二项式定理讲义含答案

1.3 二项式定理1．3.1 二项式定理1．能用计数原理证明二项式定理．(重点)2．能记住二项式定理和二项展开式的通项公式．(重点)3．能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理二项式定理阅读教材P29～P31，完成下列问题．1．二项式定理(1)公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n b n(n∈N*)叫做二项式定理．(2)(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的系数C k n (k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．2．二项展开式的通项(a＋b)n的二项展开式中的C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即通项为展开式的第n＋1项：T k＋1＝C k n a n－k b k.温馨提示：二项式系数C r n与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )(3)C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k项．( )(4)(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数相同．( ) 【解析】 (1)× 因为(a ＋b )n 展开式中共有n ＋1项．(2)× 因为二项式的第k ＋1项C k n a n －k b k 和(b ＋a )n 的展开式的第k ＋1项C k n b n －k a k 是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的．(3)× 因为C k n a n －k b k 是(a ＋b )n 展开式中的第k ＋1项．(4)√ 因为(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数都是C r n . 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√[小组合作型]二项式定理的正用、逆用(1)用二项式定理展开⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －32x25； (2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k ＋…＋(－1)n C n . 【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －32x25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32x2＋…＋C 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32x25 ＝32x 5－120x 2＋180x －135x4＋4058x7－24332x10.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k (－1)k ＋…＋C n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n.1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．[再练一题] 1．(1)求二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －1x 4的展开式； (2)化简(x －2)5＋5(x －2)4＋10(x －2)3＋10(x －2)2＋5(x －2).【导学号：29472028】【解】 (1)⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1x ＋C 24(3x )2⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 3＋C 4⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1x 4＝81x 2－108x ＋54－12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －2)5＋C 15(x －2)4＋C 25(x －2)3＋C 35(x －2)2＋C 45(x －2)＋C 5(x －2)0－1 ＝[(x －2)＋1]5－1＝(x －1)5－1.二项式系数与项的系数问题(1)求二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【自主解答】 (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12.(2)T r ＋1＝C r 9x9－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x r＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r ， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.1．二项式系数都是组合数C k n (k ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C k n .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.[再练一题] 2．(1)已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A.3 B ．－3C ．6D ．－6(2)设(x －2)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为12，则含x 2的项是________．【解析】 (1)T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a x r ＝C r 5(－a )r x ，由5－2r 2＝32，解得r ＝1.由C 15(－a )＝30，得a ＝－6.故选D.(2)(x －2)n 展开式的第二项与第四项分别为T 2＝C 1n x n －1(－2)＝－2C 1n x n －1，T 4＝C 3n x n－3(－2)3＝－22C 3n x n －3. 依题意得－2C1n－22C3n ＝12，即n 2－3n －4＝0，解得n ＝4(舍去n ＝－1)． 设(x －2)4展开式中含x 2的项为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 4x 4－r (－2)r .由4－r ＝2，得r ＝2，即(x －2)4展开式中含x 2的项为T 3＝C 24x 2(－2)2＝12x2.【答案】 (1)D (2)12x 2[探究共研型]求展开式中的特定项探究1 如何求⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项．【提示】 利用二项展开式的通项C r 4x 4－r·1xr ＝C r 4x 4－2r求解，令4－2r ＝0，则r ＝2，所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6.探究2 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？【提示】 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．探究3 如何求⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x 分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 3＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 3＋1x ·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x .已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．【自主解答】 通项公式为：(1)∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z.令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2， －61 236,295 245x －2.1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第k 项，T k ＝C k －1n a n －k ＋1b k －1； (2)求含x k 的项(或x p y q 的项)； (3)求常数项； (4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．[再练一题]3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________． (2)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a x26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________. 【导学号：29472029】【解析】 (1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果， ∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a x26的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6x 6－k · (－a )k x －2k ＝C k 6x 6－3k (－a )k ，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4. 【答案】 (1)207 (2)41．化简(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1得( ) A ．(x －1)4 B ．x 4 C ．(x ＋1)4D ．x 5【解析】 原式＝[(x －1)＋1]4＝x 4. 【答案】 B2．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中常数项是( )A ．－28B ．－7C ．7D ．28【解析】 T k ＋1＝C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 28－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13xk ＝(－1)k·C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫128－k ·x 8－43k ， 当8－43k ＝0，即k ＝6时，T 7＝(－1)6·C 68·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝7. 【答案】 C3．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x2－1x 6的展开式中，中间项是________．【解析】 由n ＝6知中间一项是第4项， 因为T 4＝C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3， 所以T 4＝－160x 3. 【答案】 －160x 34．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________.【导学号：29472030】【解析】 T k ＋1＝C k 9·(x 2)9－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212.【答案】 84 －2125．求⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x3＋23x25的展开式的第三项的系数和常数项． 【解】 T 3＝C 25(x 3)3⎝⎛⎭⎪⎪⎫23x22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409. 通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫23x2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0，得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x23＝8027.。

第四讲 二项式定理【教材扫描】 一、二项式定理 （1）二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，共有）n +1项，其中各项的系数C ({0,1,2,,})k n k n ∈L 叫做二项式系数. 说明：二项式定理中的,a b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.在二项式定理中，如果设1,a b x ==，则得到公式：0122(1)C C C C C n k k n nn n n n n x x x x x+=++++++L L . （2）二项展开式的通项二项展开式中的C k n k k n ab -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第k+1项：1C k n k k k n T a b -+=. 2．“杨辉三角”与二项式系数的性质 （1）杨辉三角当n 依次取1,2，3，…时，()n a b +展开式的二项式系数可以表示成如下形式：该表称为“杨辉三角”，它蕴含着许多规律：例如：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之_______. （2）二项式系数的性质①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式C C m n m n n-=得到.②增减性与最大值.当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的；当12n k +>时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数2C nn最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数1122C,Cn n nn-+相等且最大.③各二项式系数的和.已知0122(1)C C C C C n k k n nn n n n n x x x x x +=++++++L L .令1x =，则0122C C C C n nn n n n=++++L .也就是说，()n a b +的展开式的各个二项式系数的和为2n 【知识运用】题型一 二项式定理的正用与逆用【例1】(1)求(3x ＋1x)4的展开式；(2)化简(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)． 【解析】 (1)法一：(3x ＋1x)4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2·(1x)2＋C 34(3x )·(1x)3＋C 44·(1x)4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.法二：(3x ＋1x)4＝?3x ＋1?4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2. (2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55(x －1)0－1 ＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1. 【变式】1.求(1＋1x)4的展开式．【解】 (1＋1x )4＝1＋C 14(1x )＋C 24(1x )2＋C 34(1x )3＋C 44(1x)4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x4.2．设n 为自然数，化简C 0n ·2n －C 1n ·2n －1＋…＋(－1)k ·C k n ·2n －k＋…＋(－1)n ·C nn ＝________．解：原式＝C 0n ·2n ·(－1)0＋C 1n 2n －1·(－1)1＋…＋(－1)k ·C k n 2n －k＋…＋(－1)n·C nn ·20＝(2－1)n＝1．答案：1题型二 二项式系数与项的系数问题【例2】 (1)求二项式(2x －1x)6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求(x －1x)9的展开式中x 3的系数．【解析】 由已知得二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r·(－1x)r∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12. (2)设展开式中的第r ＋1项为含x 3的项，则T r ＋1＝C r 9x9－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84. 【拓展】本例条件不变，问题(1)改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”． 问题(2)改为“求展开式中x 5的系数”，该如何求解． 【解】 (1)由通项T r ＋1＝C r6·(2x )6－r·(－1x)r知第四项的二项式系数为C 36＝20， 第四项的系数为C 36·(－1)3·23＝－160. (2)设展开式中第r ＋1项为含x 5的项，则T r ＋1＝C r 9·x9－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r， ∴9－2r ＝5， ∴r ＝2.即展开式中的第3项含x 5， 且系数为C 29＝36.【变式】1.已知在的展开式中，第6项为常数项. （1）求含错误！未找到引用源。

姓名，年级：时间：错误!第1课时二项式定理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P29~P31的内容，回答下列问题．在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b）2的展开式：(a＋b)2＝（a＋b）（a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.（1)如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？提示：从上述过程可以看到，(a＋b）2是2个(a＋b）相乘，根据多项式乘法法则，每个(a ＋b）在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个（a＋b）中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前,（a＋b）2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×b k（k＝0，1,2)的形式．（2)在合并同类项之前，（a＋b）2的展开式为a×a＋a×b＋b×a＋b×b，每项都是a2－k×b k(k ＝0,1,2）的形式，你能从组合的观点解释合并同类项后a2－k×b k的系数特点吗?提示：当k＝0时，a2－k×b k＝a2，是由2个（a＋b)中都不选b得到的，相当于从2个(a＋b）中取0个b(即都取a)的组合数C错误!，因此a2只有1个；当k＝1时,a2－k×b k＝ab，是由一个(a＋b)中选a，另一个（a＋b）中选b得到的．由于b 选定后，a的选法也随之确定,因此，ab出现的次数相当于从2个（a＋b）中取1个b的组合数,即ab共有C错误!个;当k＝2时,a2－k×b k＝b2，是由2个(a＋b)中都选b得到的，相当于从2个(a＋b）中取2个b的组合数C错误!，因此b2只有1个．由上述分析可以得到：（a＋b)2＝C错误!a2＋C错误!ab＋C错误!b2.(3）仿照上述过程，你认为(a＋b)3，（a＋b）4，(a＋b）n的展开式是什么？提示：（a＋b）3＝C03a3＋C错误!a2b＋C错误!ab2＋C错误!b3；（a＋b）4＝C0，4a4＋C错误!a3b＋C错误!a2b2＋C错误!ab3＋C错误!b4；(a＋b）n＝C0n a n＋C1，n a n－1b＋…＋C错误!ab n－1＋C错误!b n。

1.3二项式定理1.3.1二项式定理学习目标：1.会证明二项式定理．(难点)2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点)教材整理二项式定理阅读教材P26～P27例1以上部分，完成下列问题．二项式定理及相关的概念判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．()(3)C r n a n－r b r是(a＋b)n展开式中的第r项．()(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．()【解析】(1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)×因为二项式的第r＋1项C r n a n－r b r和(b＋a)n的展开式的第r＋1项C r n b n－r a r 是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的．(3)× 因为C r n an －r b r是(a ＋b )n 展开式中的第r ＋1项． (4)√ 因为(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数都是C r n . 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√二项式定理的正用、逆用【例1】 (1)用二项式定理展开⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25；(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)r C r n (x ＋1)n －r＋…＋(－1)n C n n .【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋…＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2·(－1)2＋…＋C r n (x ＋1)n －r(－1)r ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．1．(1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式；(2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n .【解】 (1)法一：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3 ·1x＋C 24(3x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.法二：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.(2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n.二项式系数与项的系数问题【例2】 (1)求二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【解】 (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1 ＝C r 6(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－32r，∴T 6＝－12·x －92.∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12. (2)T r ＋1＝C r 9x 9－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r ， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.1．二项式系数都是组合数C r n (r ＝0,1,2，…，n )，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C r n .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.2．(1＋2x )n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【解】 T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26，∴n ＝8. ∴(1＋2x )n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4. 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r ≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，∴5≤r ≤6.∴r ＝5或r ＝6(∵r ＝0,1,2，…，8)． ∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.求展开式中的特定项[探究问题]1．如何求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项？【提示】 利用二项展开式的通项C r 4x 4－r ·1x r ＝C r 4x 4－2r求解，令4－2r ＝0，则r ＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6. 2．(a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？【提示】 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．3．如何求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x 分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 33＋1x ·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x .【例3】 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 【精彩点拨】写出通项T r ＋1→令r ＝5，x 的指数为零→(1)求出n 值→修正通项公式→(2)求x 2项的系数 →考查x 指数为整数→分析求出k 值 →(3)写出有理项 【解】 通项公式为：T r ＋1＝C r n xn －r3(－3)r x－r 3＝C r n (－3)rxn －2r3.(1)∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10. (2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，⎩⎨⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x－2.1．求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k 项，T r ＝C r －1n a n －r ＋1b r －1；(2)求含x r 的项(或x p y q 的项)； (3)求常数项； (4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________． (2)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．【解析】 (1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果，∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6x 6－r ·(－a )r x －2r ＝C r 6x6－3r(－a )r ，令6－3r ＝0，得r ＝2，即当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4. 【答案】 (1)207 (2)41．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是( ) A ．－27C 610B ．27C 410C ．－9C 610D ．9C 410【解析】 含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6.【答案】 D2．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中常数项是( ) A ．－28 B ．－7 C ．7D ．28【解析】 T r ＋1＝C r 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r ·C r 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r·x 8－43r ，当8－43r ＝0，即r ＝6时，T 7＝(－1)6·C 68·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝7.【答案】 C3．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20D ．24【解析】 展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.【答案】 A4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．【解析】 由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.【答案】 －160x 35．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第三项的系数和常数项．【解】T 3＝C 25(x 3)3⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409. 通项T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23r ·C r 5x 15－5r，令15－5r ＝0，得r ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.。

庖丁巧解牛知识·巧学一、二项式定理1.公式(a+b)n =n n n k k n k n n n n n b C b a C b a C a C ++++-- 1110(n ∈N *).对二项式公式，令a=1,b=x ，则得一个比较常用的公式：(1+x)n =1+r r n n n x C x C x C +++ 221+…+x n .（1）(a+b)n 的二项展开式共有ｎ＋1项，其中各项的系数k n C （ｋ∈｛0,1，2,…，ｎ｝）叫做二项式系数；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数ｎ.方法归纳 （1）字母ａ的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由ｎ逐次减1直到零，字母ｂ的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到ｎ;（2）由于二项式定理表示的是一个恒等式，在二项展开式中，有关系数的或组合数中一些和的问题，可对照二项展开式，对ａ、ｂ赋以特殊值，是解决这类问题的基本方法;(3)有关三项展开问题，可将三项中某两项看做一项，然后利用二项式定理处理.（4）二项式系数n nn n n C C C C 210,,只与第n 项有关，与a,b 的大小无关. 2.通项公式二项展开式中第ｋ＋1项k k n k n b a C -叫做二项展开式的通项，即T k+1=k nC a n-k b k . （1）通项公式表示的是二项展开式中的任意一项，只要ｎ与ｒ确定，该项也随之确定；对于一个具体的二项式，它的二项展开式中的项依赖于ｒ；（2）通项公式表示的是第ｋ＋1项，而非第ｋ项；（3）公式中的第一个量ａ与第二个量ｂ的位置不能颠倒.疑点突破 利用通项公式可以解决以下问题：（1）求指定项；（2）求特征项；（3）求指定项、特征项的系数.在应用通项公式时要注意以下几点：（1）要能准确地写出通项，特别注意符号问题；（2）要将通项中的系数和字母分离开来，以便解决有关问题；（3）通项公式中含有a,b,n,k,T k+1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素，在有关二项式定理的问题中，常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程或方程组，这里必须注意ｎ是正整数，ｒ是非负整数，且ｒ≤ｎ.二、二项式系数及其性质二项展开式中，各项系数r n C (r=0,1,2,…，n)叫做展开式的二项式系数.它们是一组仅与二项式的幂指数ｎ有关的ｎ＋1个组合数，与a,b 无关.其性质如下：（1）对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可以由m n nm n C C -=得到.（2）增减性与最大值：如果二项式的幂指数ｎ是偶数，那么其展开式中间一项，即12+n T 的二项式系数最大；如果ｎ是奇数，那么其展开式中间两项21+n T 与121++n T 的二项式系数相等且最大.（3）各二项式系数的和：n nn n n C C C C ++++ 210=2n ，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即531420nn n n n n C C C C C C ++=+++ +…=2n-1. 方法点拨 对形如(ax+b)n ,(a 2+bx+c)m 的式子求其展开式的各项系数之和，只需令ｘ=1即可，对形如(ax+by)n 的式子求其展开式各项系数之和，只需令ｘ=ｙ=1即可.辨析比较 二项式系数与项的系数是不同的概念.如(a-b)n 的二项展开式的通项公式只需把-ｂ看成ｂ代入原来的二项式定理可得：T r+1=(-1)r r n C a n-r b r ，则第ｒ＋1项的二项式系数为r nC ，而第ｒ＋1项的系数是(-1)r r n C . 知识拓展 如求（a+bx ）n 展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A 1,A 2,…，A n+1，设第ｒ＋1项系数最大，应有⎩⎨⎧≥≥+++.,211r r r r A A A A 从而解出ｒ的值即可.问题·探究问题1什么叫做二项式系数？什么叫做二项式项的系数？它们本质相同吗？有什么区别？思路:(a+b)n 的二项展开式共有ｎ＋1项，其中各项的系数k n C (k ∈{0,1,2,…，n})叫做二项式系数.而二项式项的系数是在二项式系数的前面加相应符号.二者是有区别的，如(a+bx)n 的展开式中，第ｒ＋1项的二项式系数为r n C ，而第ｒ＋1项的系数为r n C a n-r b r探究:在有关二项展开式问题中，要注意二项式系数与总分项的系数的区别和联系，同时注意“取特殊值法”在求系数和中的作用.如在（1+2x ）7的展开式中，第四项是T 4=37C ·17-3·（2x ）3，其二项式系数是37C ，则第4项的系数是37C ·23=280，它们既有区别，又有联系.求二项式系数的和是2n ，求二项展开式各项的系数和一般用赋值法解决.问题2在数的整除问题中，我们经常会遇到这样的问题：今天是星期天，220天后是星期几？11827的末位数字是几？34n+2+5m+1能被14整除吗？等等.你能对此类问题提供一种较好的解决方法吗？试说明之. 并由此谈谈你对二项式定理的理解.思路:对类似的整除问题，可以借助于二项式定理来解决.把一个数的指数幂的底数分解为两个数的和或差，利用二项式定理展开，对展开项的数字特征进行分析.对二项式定理的理解应注意它是一个恒等式，左边是二项式幂的形式.表示简单，右边是二项式的展开式，表示虽然复杂，但很有规律，规律特点为：①它有ｎ＋1项，是和的形式；②各项的次数都等于二项式的幂的次数ｎ；③字母ａ按降幂排列，次数由ｎ减到0，字母ｂ按升幂排列，次数由0增到ｎ.④各项的二项式系数依次为：n nn n C C C ,,10 ，利用展开式解决问题时可以根据需要而选择.探究:上题中的“11827的末位数字是几”这一问题，可以利用二项式定理看做（10+1）827，由二项式展开，得82782682723282721827082711011011010∙∙+∙∙+∙∙+∙C C C C容易发现，其个位数字即为1.二项式定理中，ａ、ｂ是任意的，于是我们可以根据需要对其赋值，利用二项式定理来解决一些实际问题.如令ａ=1，ｂ=ｘ，则（1+x ）n =1+n n n r n n n xC xr C x C x C +++++ 2221这也为我们解决问题提供了“取特例”的思想方法.如上式中再令ｘ=-1，或令ａ、ｂ取一些特殊的值还可以得到许多有用的结果.典题·热题例1(2005全国高考)(2x-x 1)9的展开式中，常数项为______________.（用数字作答）.思路分析:二项展开式的通项为T r+1=r C 9(2x)9-r (-x 1)r =(-1)r 29-r r C 929rr x --. 令9-r-2r =0，得ｒ=6.故常数项为T 7=(-1)6×2369C =672. 答案:672方法归纳 凡涉及到展开式的项及其系数等问题时，常是先写出其通项公式T r+1=r n C a n-r b r ，然后再根据题意进行求解，往往是结合方程思想加以解决.拓展延伸 (2005山东高考)如果(3x 321x -)n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（ ） A.7 B.-7 C.21 D.-21思路分析:分清某一项的系数与它的二项式系数是否相同，常规解法是利用通项公式T r+1=r n C a n-r b r ，先确定ｒ，再求其系数.令ｘ=1，即(3-1)n =128，得ｎ=7.由通项公式，得T r+1=rC 7(3x)7-r (321x -)r =(-1)r ·37-r ·r C 7·357r x -，由7-35r =-3.解得r=6.故31x的系数是(-1)6·3·67C =21. 答案:C深化升华 在求二项式中参数的值及特定项的系数等问题时，通常是利用展开式的通项与题目提供的信息及各量之间的制约关系，巧妙构造方程，利用方程的思想求解.例2（1+2x ）n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.思路分析:根据已知条件可求出ｎ，再根据ｎ的奇偶性，确定出二项式系数最大的项.解:T 6=5n C (2x)5,T 7=6n C (2x)6，依题意有5n C ·25=6n C ·26，解得n=8.所以(1+2x)n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5=48C ·（2x ）4=1 120x 4.设第ｒ＋1项系数最大，则有⎪⎩⎪⎨⎧∙≥∙∙≥∙++--,22,2211881188r r r r r r r r C C C C .解得5≤r≤6. 由于r ∈{0，1，2，…，8}，所以ｒ=5或ｒ=6.则系数最大的项为T 6=1 792x 5,T 7=1 792x 6.方法归纳 二项式系数最大项的问题，可直接根据二项式系数的性质求解.ｎ为奇数时，中间两项的二项式系数最大;ｎ为偶数时，中间一项的二项式系数最大.误区警示 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，要根据各项系数的正、负变化情况，采用列不等式，解不等式的方法求.例3求(1+2x-3x 2)6展开式中含x 5的项.思路分析:幂函数6是个不大的数目，显然可以按多项式乘法法则把(1+2x-3x 2)6乘开为多项式，再从中取出含x 5的项，但是计算量较大.如果把1+2x-3x 2中的两项结合起来，则可看成二项式，从而可利用二项式定理，展开后，再把结合为一组的两项展开，就能得到含x 5的系数.解:原式=［1+(2x-3x 2)］6=1+16C (2x-3x 2)+26C (2x-3x 2)2+36C (2x-3x 2)3+…+66C (2x-3x 2)6.可以看出，继续将右端展开后，在36C (2x-3x 2)3,46C (x-3x 2)4,56C (2x-3x 2)5这三部分的展开式中都含有x 5的项，它们分别是：36C 23C ×2×(-3)2x 5,46C 14C ×23×(-3)x 5,56C 05C 25x 5.把这三项合并后，就得到(1+2x-3x 2)6展开式中含的项是-168x 5.方法归纳 用结合的方法，把三项式做为二项式处理，这是一种较为普遍的转化方法.通过转化.可以把较生疏的问题转化为较熟悉的问题，把较困难的问题转化为较容易的问题. 例4求0.9986的近似值，使误差小于0.001.思路分析:因为直接对0.9986进行求值难度较大，而0.9986=(1-0.002)6，故可用二项式定理展开计算.解:0.9986=(1-0.002)6=1+6×（-0.002）1+15×(-0.002)2+…+（-0.002）6.因为T 3=26C ·（-0.002）2=15×(-0.002)2=0.000 06<0.001，且第三项以后的绝对值都小于0.001，所以从第三项起，以后的项可以忽略不计.则0.9986=(1-0.002)6≈1+6×(-0.002)=1-0.012=0.988.深化升华 由(1+x)n =1+1n C x+2n C x 2+…+n n C x n ，当ｘ的绝对值与1相比很小且ｎ很大时，x 2,x 3,…，x n 等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此，可用近似计算公式：(1+x)n ≈1+nx.在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍.若精确度要求较高，则可使用较为精确的公式：(1+x)n ≈1+nx+2)1(-n n x 2. 例5求证：对任何非负整数ｎ，33n -26n-1可被676整除.思路分析:当ｎ=0或1时，所给式子为具体数，可以验证.当ｎ≥2时，由于注意到676等于262，而33n =27n =(26-1)n .可以用二项式展开，看各项中是否均能含有262.解:当ｎ=0时，原式等于0，可被676整除.当ｎ=1时，原式=0，也可被676整除.当ｎ≥2时，原式=27n -26n-1=(26+1)n -26n-1=(26n +1n C 26n-1+…+2-n n C 262+1-n n C 26+1)-26n-1=26n +1n C 26n-1+…+2-n n C 262.每一项都含有262这个因数，故可被262=676整除.综上所述，对一切非负整数ｎ，33n -26n-1可被676整除.方法归纳 此类问题可以用二项式定理证明，证明此类问题的关键在于将被除式进行恰当的变形.使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都含有除式这个因式，就可证得整除.。

第一课时 二项式定理及应用[读教材·填要点]1．杨辉三角的特点是两条斜边上的数字都是1，其余的数都是它“肩上”的两个数的和．2．二项式定理对于正整数n ，(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n.3．二项展开式的通项公式 我们称C r n an －r b r是二项展开式的第r ＋1项，其中C r n 称作第r ＋1项的二项式系数．把T r＋1＝C r n an －r b r(其中0≤r ≤n ，r ∈N ，n ∈N ＋)叫做二项展开式的通项公式．[小问题·大思维]1．二项展开式中的字母a ，b 能交换位置吗？提示：二项展开式中的字母a ，b 是不能交换的，即虽然(a ＋b )n 与(b ＋a )n结果相同，但(a ＋b )n 与(b ＋a )n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，二者不能混淆，如(a ＋b )3的展开式中第2项是3a 2b ，而(b ＋a )3的展开式中第2项是3ab 2，两者是不同的．2．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示：二项式系数C r n 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关．二项式定理的应用[例1] (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋x 4的展开式；(2)化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．[解] (1)法一：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝3x ＋14x 2＝1x 2[]C 043x4＋C 143x3＋C 243x2＋C 343x1＋C 443x＝1x2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55(x －1)0－1 ＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.(1)记准、记熟二项式(a ＋b )n的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷．(2)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律及各项的系数．1．(1)求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x25的展开式； (2)化简：(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1. 解：(1)法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x25 ＝C 05(2x )5－C 15(2x )4·1x2＋C 25(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22－C 35(2x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 23＋C 45(2x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 24－C 55·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25＝32x 5－80x 2＋80x －40x 4＋10x 7－1x10.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x22x 3－15＝－1x10(1－2x 3)5＝－1x10[1－C 15(2x 3)＋C 25(2x 3)2－C 35(2x 3)3＋C 45(2x 3)4－C 55(2x 3)5]＝－1x10＋10x 7－40x 4＋80x－80x2＋32x 5.(2)原式＝C 05(2x ＋1)5－C 15(2x ＋1)4＋C 25(2x ＋1)3－C 35(2x ＋1)2＋C 45(2x ＋1)－C 55(2x ＋1)0＝(2x ＋1－1)5＝(2x )5＝32x 5.二项式系数与项的系数问题[例2] (1)求二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．[解] (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝26－r C r6·(－1)r·x3－3r 2，∴T 6＝－12·x －92.∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)5·2＝－12. (2)设展开式中的第r ＋1项为含x 3的项，则T r ＋1＝C r 9x9－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r， 令9－2r ＝3，得r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”．解：由通项T r ＋1＝(－1)r ·C r 6·26－r·x 3－32r ， 知第四项的二项式系数为C 36＝20， 第四项的系数为C 36·(－1)3·23＝－160.求某项的二项式系数或展开式中含x r的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别．2．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n 的值；(2)求展开式中x 2的系数．解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ·(3x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r n x n －2r 3 .又第6项为常数项， 所以当r ＝5时，n －2r3＝0，即n ＝2r ＝10.(2)由(1)，得T r ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 10x 10－2r3 ，令10－2r3＝2，得r ＝2， 所以展开式中x 2的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－122C 210＝454.与展开式中的特定项有关的问题[例3] (1)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项是( )A ．－54B.54C ．－1516D.1516(2)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12 C ．1D ．2[解析] (1)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6展开式的通项T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x12－3r， 令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.(2)依题意，注意到⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2.[答案] (1)D (2)D求展开式中特定项的方法求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项， 再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征， 列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．3．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n 的值；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．解：(1)通项为T r ＋1＝C r n x n －r 3 (－3)r x －r 3＝C r n (－3)r x n －2r3 .因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r3＝2，得r ＝12(n －6)＝2.所以所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)根据通项，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈N ，所以r 可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2， 即405x 2，－61 236,295 245x －2.解题高手妙解题30122330123[尝试][巧思] 因为展开式为x ＋2的多项式，因此可考虑将2x ＋3变形为2x ＋3＝2(x ＋2)－1，然后利用二项式定理展开即可．[妙解] 由(2x ＋3)3＝[2(x ＋2)－1]3＝C 03[2(x ＋2)]3(－1)0＋C 13[2(x ＋2)]2(－1)1＋C 23[2(x ＋2)]1(－1)2＋C 33[2(x ＋2)]0(－1)3＝8(x ＋2)3－12(x ＋2)2＋6(x ＋2)－1 ＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3. 则a 0＝－1，a 1＝6，a 2＝－12，a 3＝8. 则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝5.1．(2x －1)5的展开式中第3项的系数为( ) A ．－20 2 B ．20 C ．－20D ．20 2解析：选D ∵T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(－1)r，∴T 2＋1＝C 25(2x )3(－1)2＝(2)3C 25x 3＝202x 3， ∴第3项的系数为20 2.2．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C nn ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．(－1)nD ．3n解析：选C 逆用公式，将1看作公式中的a ，－2看作公式中的b ，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.3.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 9展开式中的第四项是( ) A ．56x 3B ．84x 3C ．56x 4D ．84x 4解析：选B 由通项公式有T 4＝C 39x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3＝84x 3.4.⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 9的展开式中，常数项为________．解析：T r ＋1＝C r 9(2x )9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r ·29－r ·C r9·x 9－32r ，令9－32r ＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 69×23＝672. 答案：6725．若(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r10x 10－r a r，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12.答案：126．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n ∈N ＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含x 32的项．解：由题意知第五项的系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则C 4n ·－24C 2n ·－22＝101， 解得n ＝8(n ＝－3舍去)． 所以通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝C r 8(－2)r ·x 8－5r2 .令8－5r 2＝32，得r ＝1. ∴展开式中含x32的项为T 2＝－16x32.一、选择题1．(x －2)10展开式中x 6的系数是( ) A ．－8C 410 B ．8C 410 C ．－4C 410D ．4C 410解析：选D T r ＋1＝C r 10x 10－r(－2)r，令10－r ＝6，∴r ＝4，T 5＝(－2)4C 410x 6＝4C 410x 6，系数为4C 410.2．若(1－2x )5的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则x 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－110 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－110，0C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，110D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0解析：选B T 1＝C 05＝1，T 2＝C 15·(－2x )＝－10x ，T 3＝C 25·(－2x )2＝40x 2.根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧T 2<T 1，T 2≥T 3，即⎩⎪⎨⎪⎧－10x <1，－10x ≥40x 2，解得－110＜x ≤0.3.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D 由通项公式T r ＋1＝C rn (x 2)n －r(－1)r x －r＝(－1)r C r n x2n －3r.令2n －3r ＝0，得(－1)r C rn ＝15，由r ＝23n ，r ∈N ＋，排除选项B 、C ，再将选项B 、D 代入验证n ＝6.4．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B.154C ．－38D.38解析：选C 在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎪⎫x 26－r ⎝⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－r x 3－r (－2)r，当r ＝1时，为含x 2的项，其系数是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫125(－2)＝－38.二、填空题5.⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的一共有________项．解析：因为T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫－13r x5－32r ，由5－32r ∈N ＋知r ＝0或r ＝2，所以展开式中含x 的正整数指数幂的一共有2项．答案：26．若(1＋2)4＝a ＋b 2，则a －b ＝________.解析：∵(1＋2)4＝C 04(2)0＋C 14(2)1＋C 24(2)2＋C 34(2)3＋C 44(2)4＝1＋42＋12＋82＋4＝17＋122，由已知，得17＋122＝a ＋b 2，∴a ＝17，b ＝12，故a －b ＝17－12＝5. 答案：57.⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是________________(用数字作答)．解析：∵T r ＋1＝C r 5·(x 3)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 5·x 15－3r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·x －r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 5·x30－7r2 (r ＝0,1,2,3,4,5)，由30－7r2＝8，得r ＝2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 25＝52.答案：528．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．解析：⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中，T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x 6－2r，令6－2r ＝0，得r ＝3，T 4＝C 36(－1)3＝－C 36，令6－2r ＝－1，得r ＝72(舍去)，令6－2r ＝－2，得r ＝4，T 5＝C 46(－1)4x －2，所以(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为1×(－C 36)＋C 46＝－20＋15＝－5.答案：－5 三、解答题9．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．解：T 5＝C 4n (x )n －424x －8＝16C 4n x n －202 ， T 3＝C 2n (x )n －222x －4＝4C 2n x n －102 由题意知，16C 4n 4C 2n ＝563，解得n ＝10.T r ＋1＝C r 10(x )10－r 2r x －2r ＝2r C r 10x 10－5r2 ， 令5－5r2＝0，解得r ＝2，∴展开式中常数项为C 21022＝180.10．已知(x ＋3x )n(其中n <15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．(1)求n 的值；(2)写出它展开式中的所有有理项．解：(1)(x ＋3x )n(其中n <15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C 8n ，C 9n ，C 10n .依题意得n ！8！n －8！＋n ！10！n －10！＝2·n ！9！n －9！，化简得90＋(n －9)(n －8)＝20(n －8)， 即n 2－37n ＋322＝0， 解得n ＝14或n ＝23， 因为n <15，所以n ＝14. (2)展开式的通项T r ＋1＝C r 14x 14－r 2 ·x r 3 ＝C r 14·x 42－r6 ， 展开式中的有理项当且仅当r 是6的倍数， 0≤r ≤14，所以展开式中的有理项共3项是：r ＝0，T 1＝C 014x 7＝x 7； r ＝6，T 7＝C 614x 6＝3 003x 6； r ＝12，T 13＝C 1214x 5＝91x 5.第二课时 二项式系数的性质及应用[读教材·填要点]二项式系数的有关性质 (1)二项展开式一共有n ＋1项．(2)第一个字母a 按降幂排列，第二个字母b 按升幂排列． (3)a 的幂加b 的幂等于n .(4)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn . (5)二项式系数从两端向中间逐渐增大，且当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数C -12n n ，C +12n n 相等，且同时取得最大值．(6)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n，这可以在二项式定理中取a ＝1，b ＝1得到． (7)C 0n －C 1n ＋C 2n ＋…＋(－1)n C nn ＝0，这可以在二项式定理中取a ＝1，b ＝－1得到．[小问题·大思维]1．若(a ＋b )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 为何值？提示：由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式共有9项，故n ＝8.2．(a ＋b )n的展开式的各个二项式系数的和与a ，b 的取值有关系吗？提示：(a ＋b )n的展开式的各个二项式系数的和与a ，b 的值无关，其和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝2n.求展开式的系数和[例1] 若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求 (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. [解] (1)令x ＝0，则a 0＝－1，令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128.① ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129. (2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12[128＋(－4)7]＝－8 128.(4)法一：∵(3x －1)7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6均小于零，a 1，a 3，a 5，a 7均大于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7－(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝8 256－(－8 128)＝16 384.法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|即为(1＋3x )7展开式中各项的系数和， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(1＋3)7＝47＝16 384.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n, (ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12.1．设f (x )＝(x 2＋x －1)9(2x ＋1)6，试求f (x )的展开式中： (1)所有项的系数和；(2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和． 解：(1)所有项的系数和为f (1)＝36＝729. (2)所有偶次项的系数和为f 1＋f －12＝36＋－12＝364，所有奇次项的系数和为f 1－f －12＝36＋12＝365.求展开式中系数或二项式系数最大的项[例2] 在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 28的展开式中，(1)系数绝对值最大的项是第几项？ (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项． [解]T r ＋1＝C r8·(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r＝(－1)r ·C r 8·2r·x4－5r 2.(1)设第r ＋1项系数的绝对值最大．则⎩⎪⎨⎪⎧C r8·2r≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1.∴⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .⇒5≤r ≤6，又∵r ∈N ＋， ∴r ＝5或r ＝6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．∴T 5＝C 48·24·x4－202＝1 120x －6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，而7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝C 68·26·x－11＝1 792x －11. (4)系数最小的项为T 6＝－C 58·25x－172＝－1 792x－172.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r ＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r 项，第r ＋2项)的系数均不大于第r ＋1项的系数，由此列不等式组可确定r 的X 围，再依据r ∈N *来确定r 的值，即可求出最大项．2．已知⎝⎛⎭⎫x 23＋3x 2n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 解：令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n. 又展开式中二项式系数和为2n， ∴22n2n ＝2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T 3＝C 25(x23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x23)2(3x 2)3＝270x223.(2)设展开式中第k ＋1项的系数最大，则由T k ＋1＝C k5(x23)5－k(3x 2)k ＝3k C k5x10＋4k3，得⎩⎪⎨⎪⎧3k C k5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， 即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(x23)(3x 2)4＝405x263.解题高手妙解题如果C 0n ＋12C 1n ＋13C 2n ＋…＋1n ＋1C n n ＝31n ＋1，求(1＋x )2n的展开式中系数最大的项．[尝试][巧思] 由于2n 是偶数，且(1＋x )2n展开式中各项的系数即为二项式系数，因此系数最大的项应为第n ＋1项，因此只需确定n 的值即可．等式可变形为(n ＋1)C 0n ＋12(n ＋1)·C 1n ＋13(n ＋1)C 2n ＋…＋1n (n ＋1)C n －1n ＋C n n ＝31，而(n ＋1)C 0n ＝C 1n ＋1，12(n ＋1)C 1n ＝C 2n ＋1，13(n ＋1)C 2n ＝C 3n ＋1，….故利用二项式系数的性质即可解决．[妙解] 由C 0n ＋12C 1n ＋13C 2n ＋…＋1n ＋1C n n ＝31n ＋1，得(n ＋1)C 0n ＋12(n ＋1)C 1n ＋13(n ＋1)C 2n ＋…＋1n (n ＋1)C n －1n ＋C nn ＝31，∴C 1n ＋1＋C 2n ＋1＋C 3n ＋1＋…＋C n n ＋1＋C n ＋1n ＋1＝31， 即2n ＋1－1＝31，∴2n ＋1＝32，∴n ＋1＝5，即n ＝4.1．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3解析：选C 该式展开共2n ＋2项，中间有两项；第n ＋1项与第n ＋2项，所以第n ＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项．2．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120解析：选B 由2n＝64，得n ＝6， ∴T r ＋1＝C r 6x6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 6－2r (0≤r ≤6，r ∈N ＋)． 由6－2r ＝0，得r ＝3，∴T 4＝C 36＝20. 3．若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x2 018(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C 令x ＝0，得a 0x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1.4．若(x ＋3y )n的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．解析：(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.答案：55．(2x －1)10展开式中x 的奇次幂项的系数之和为________． 解析：设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，再令x ＝－1，得 310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10，两式相减，可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102.答案：1－31026．已知(1＋3x )n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知，C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121， 即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n ＋n n －12＝121，解之得n ＝15或n ＝－16(舍去)．∴(1＋3x )15的展开式中二项式系数的最大项为第8项和第9项，且T 8＝C 715(3x )7，T 9＝C 815(3x )8.一、选择题1．已知(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|等于( ) A．29B．49C．39D．1解析：选B x的奇数次方的系数都是负值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9.∴已知条件中只需赋值x＝－1即可．2．关于(a－b)10的说法，错误的是( )A．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小解析：选C 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．3．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A．29B．210C．211D．212解析：选A 由C3n＝C7n，得n＝10，故奇数项的二项式系数和为29.4．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于( )A．5 B．6C．7 D．8解析：选B 由二项式系数的性质知，二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即C m2m＝a，二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即C m2m＋1＝C m＋12m＋1＝b，因此13C m2m ＝7C m2m＋1，所以13·2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！m ！m ＋1！，所以m ＝6. 二、填空题5．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7等于________．解析：令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝25，∴－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝25－1＝31. ∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝－31. 答案：－316．(1－x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________．解析：二项式(1－x )20的展开式的通项是T r ＋1＝C r 20·120－r ·(－x )r ＝C r 20·(－1)r·x 12r .因此，(1－x )20的展开式中，x 的系数与x 9的系数之差等于C 220·(－1)2－C 1820·(－1)18＝C 220－C 220＝0.答案：07．若对任意的实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为________． 解析：设x －2＝t ，则x ＝t ＋2，原等式可化为(t ＋2)3＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3，所以a 2＝C 13·2＝6.答案：68．在(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中，x 2项的系数是________．(用数字作答)解析：由题意知C 22＋C 23＋C 24＋C 25＋C 26＝C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋C 26 ＝C 34＋C 24＋C 25＋C 26 ＝C 35＋C 25＋C 26 ＝C 36＋C 26＝C 37 ＝7×6×53×2×1＝35.答案：35三、解答题9．设(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解：(1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100，(*)∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100－2100.(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100.与(*)式联立相减得a1＋a3＋…＋a99＝2－3100－2＋31002.(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1.(5)∵T r＋1＝(－1)r C r1002100－r(3)r x r，∴a2r－1<0(r∈N＋)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100.10．已知(3x2＋3x2)n展开式中各项系数和比二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解：令x＝1得展开式各项系数和为(1＋3)n＝4n. 又展开式二项式系数和为C0n＋C1n＋…＋C n n＝2n，由题意有4n－2n＝992.即(2n )2－2n －992＝0，(2n －32)(2n＋31)＝0， ∴2n ＝－31(舍去)或2n＝32. 所以n ＝5.(1)因为n ＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是T 3＝C 25(3x 2)3·(3x 2)2＝90x 6.T 4＝C 35(3x 2)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第r ＋1项的系数最大，又T r ＋1＝C r 5(3x 2)5－r ·(3x 2)r ＝C r 53rx10＋4r3，得⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1C r5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r 15－r ≥3r ＋1⇒72≤r ≤92. 又因为r ∈N ＋，所以r ＝4，所以展开式中第5项系数最大．T 5＝C 4534x 263＝405x 263.。

1.5二项式定理1.5.1二项式定理1．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题．(重点)2．利用二项展开式求特定项或项的系数．(难点)3．二项式系数与项的系数的区别与联系．(易混点)[基础·初探]教材整理二项式定理阅读教材P30～P31“例1”以上部分，完成下列问题．1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)．这个公式叫做二项式定理．2．二项展开式的通项和二项式系数(1)(a＋b)n展开式共有n＋1项，其中C r n a n－r b r叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r.(2)C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．()(3)C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k项．()(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．() 【解析】(1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)× 因为二项式的第k ＋1项C k n a n －k b k和(b ＋a )n 的展开式的第k ＋1项 C k n bn －k a k 是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的． (3)× 因为C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k ＋1项． (4)√ 因为(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数都是C r n . 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√2．(1＋2x )5的展开式的第3项的系数为________，第3项的二项式系数为________. 【导学号：29440022】【解析】 (1＋2x )5的展开式的第3项的系数为C 2522＝40，第3项的二项式系数为C 25＝10.【答案】 40 10[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)用二项式定理展开⎝ ⎭⎪⎫2x －32x 25；(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C n n .【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋…＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．[再练一题]1．(1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式； (2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n .【解】 (1)法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3 ·1x ＋C 24(3x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. (2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n.(1)求二项式⎝ ⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【自主解答】 (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1 ＝C r 6(2x )6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－32r， ∴T 6＝－12·x －92.∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12. (2)T r ＋1＝C r 9x 9－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.1．二项式系数都是组合数C k n (k ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C k n .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.[再练一题]2．(1＋2x )n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【解】 T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8. ∴(1＋2x )n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4. 设第k ＋1项系数最大，则有⎩⎨⎧C k 82k ≥C k －182k －1，C k 82k ≥C k ＋182k ＋1， ∴5≤k ≤6.∴k ＝5或k ＝6(∵k ∈{0,1,2，…，8})． ∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.[探究共研型]探究1 如何求⎝ ⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项．【提示】 利用二项展开式的通项C r 4x 4－r ·1xr ＝C r 4x 4－2r求解，令4－2r ＝0，则r ＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6. 探究2 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？【提示】 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．探究3 如何求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x 分别与(2x＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 33＋1x ·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x .已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．【精彩点拨】 写出通项T r ＋1→令r ＝5，x 的指数为零 →(1)求出n 值→修正通项公式→(2)求x 2项的系数 →考察x 指数为整数→分析求出k 值 →(3)写出有理项【自主解答】 通项公式为：T r ＋1＝C r n x n －r 3(－3)r x －r 3＝C r n (－3)r x n －2r 3. (1)∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10. (2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k . ∵r ∈Z ，∴k 应为偶数， k ＝2,0，－2即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236, 295 245x －2.1．求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k 项，T k ＝C k －1n an －k ＋1b k －1； (2)求含x k 的项(或x p y q 的项)； (3)求常数项； (4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．[再练一题]3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________． (2)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________.【导学号：29440023】【解析】 (1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果，∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6x 6－k ·(－a )k x －2k ＝C k 6x 6－3k (－a )k ，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4. 【答案】 (1)207 (2)4[构建·体系]1．(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________． 【解析】 x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78， x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.【答案】 －202．(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)＋1＝________. 【解析】 由二项式展开式得，原式＝[(x －1)＋1]5＝x 5. 【答案】 x 53．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．【解析】 由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.【答案】 －160x 34．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________. 【导学号：29440024】【解析】T k ＋1＝C k 9·(x 2)9－k ·⎝⎛⎭⎪⎫－12x k ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212.【答案】 84 －2125．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第三项的系数和常数项．【解】 T 3＝C 25(x 3)3⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409. 通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·C k 5x 15－5k，令15－5k ＝0，得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

二项式定理相关精选题目（附答案）(1)二项式定理公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n an －k b k ＋…＋C n n b n(n ∈N *)叫做二项式定理．(2)相关概念①公式右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式； ②各项的系数C k n (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数；③展开式中的C k n an －k b k 叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1，它表示展开式的第k ＋1项；④在二项式定理中，如果设a ＝1，b ＝x ，则得到公式(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C k n x k ＋…＋C n n x n .一、二项式定理1．(1)已知(1＋2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＝________.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 5的展开式为_____________________． (3)若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________.解析 (1)∵T r ＋1＝2r C r 4x r ，∴a 1＝21×C 14＝8，a 2＝22×C 24＝24，a 3＝23×C 34＝32，a 4＝24×C 44＝16，∴a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＝－8.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 5＝C 05(x 2)5＋C 15(x 2)4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋C 25(x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋C 35(x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＋C 45x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝x 10－5x 7＋10x 4－10x ＋5x 2－1x 5. (3)∵(1＋3)4＝1＋C 14×(3)1＋C 24×(3)2＋C 34×(3)3＋C 44×(3)4＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a ＝28，b ＝16，∴a ＋b ＝28＋16＝44.答案：(1)－8 (2)x 10－5x 7＋10x 4－10x ＋5x 2－1x 5 (3)44 注：(1)(a ＋b )n 的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是： ①各项的次数都等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理，可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的特点靠拢。