高一上学期函数的单调性-奇偶性及周期性知识点和题型

（一）函数的单调性
1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,
当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的增函数，D 叫f(x)单调递增区间．
当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的减函数，D 叫f(x)单调递减区间．
2．函数单调性的判断方法：
（1）从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是增函数，若图象是下降的，则此函数是减函数。

（2）一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ．如果对于属于定义域I 内某个区间A 上的任意两个自变量的值1x ，2x ，且21x x <，则021<-x x
（1）()()则0-21<x f x f ()()()121212
0f x f x x x x x -⇔>≠-)(x f 即在区间A 上是增函数； （2）()()则21x f x f >()()()121212
0f x f x x x x x -⇔<≠-)(x f 即在区间A 上是减函数． 如果函数)(x f y =在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）的单调性，这一区间叫做)(x f y =的单调区间．
单调区间是函数定义域的子区间，因此函数单调性是函数的局部性质，应以定义域为前提；必须指明在某个区间上函数是增函数或减函数
（3）复合函数单调性判断方法：设()()[][],,,,,y f u u g x x a b u m n ==∈∈
若内外两函数的单调性相同，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递增，
若内外两函数的单调性相反时，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递减．
（同增异减）
3．常见结论
若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ；
若f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数
)
(1x f 在其定义域内为减函数．
【题型一、单调性的判断】
例、写出下列函数的单调区间
（1）,b kx y += （2）x k y =
， （3）c bx ax y ++=2．
如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上， 它是增函数还是减函数？
【题型二、用定义法证明单调性】
例、定义法证明函数y=2x+3在),(+∞-∞的单调性.
例、判断函数f （x ）＝x x 1+在（0,1）上的单调性．
【变式训练1】证明函数1
2)(++=
x x x f 在),1(+∞-上是增函数．
【方法技巧】根据函数的定义法来进行判别，记好步骤。

【题型三、单调性的运用】
例、已知2
()(34)21f x k k x k =-+++-在R 上是增函数,则k 的取值范围 ．
例、函数2)1(2)(2
+-+=x a x x f 在(,4]-∞上是减函数,则求a 的取值范围 ．
【变式训练2】已知函数[]2
()22,5,5f x x ax x =++∈-上是单调函数，a 的取值范围是 ．
【变式训练3】函数f （x ）是R 上的减函数,求f （a 2－a ＋1）与f （34
）的大小关系 ．
【题型四、抽象函数的单调性及其应用】
例、已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是 ．
例、设f （x ）定义在R +上，对于任意a 、b ∈R +，有f （ab ）＝f （a ）＋f （b ）
求证：（1）f （1）＝0；
（2）f （ 1x
）＝－f （x ）； （3）若x ∈（1，+∞）时，f （x ）＜0，则f （x ）在（1，+∞）上是减函数．
【题型五、复合函数的单调性】
例、求函数32)(2-+=x x x f 的单调递减区间。

求f(x)=542--x x 的单调区间
课后作业：
一、选择题
1、函数f (x )＝|x |和g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( )
A ．(－∞，0]，(－∞，1]
B ．(－∞，0]，[1，＋∞)
C ．[0，＋∞)，(－∞，1]
D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)
2、当1||≤x 时，函数12++=a ax y 的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．31-≥a
B ．1-≤a
C ．311--<<a
D ．3
11--≤≤a 3、若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ）
A. 必是增函数
B. 必是减函数
C. 是增函数或是减函数
D. 无法确定增减性 二、填空题
4、函数32)(2+-=mx x x f ,当 ),2[+∞-∈x 时,是增函数,当]2,(--∞ 时是减函数,则f(1)=_____________
5、已知 )(x f 在定义域内是减函数，且 0)(>x f ，在其定义域内判断下列函数的单调性：
①a x f y +=)( ( a 为常数)是___________； ② )(x f a y -=( a 为常数)是___________； ③)
(1x f y = 是____________； ④|)(|2x f y = 是__________． 6、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．
7、若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的递减区间是________．
三、解答题
8、讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。

9、设f(x)是定义在(0,+∞）上的增函数，f(2)=1 ，且 f(xy)=f(x)+f(y)，求满足不等式f(x)+f(x-3)≤2 的x 的取值范围.
（二）函数的奇偶性
1、函数奇偶性定义：
1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.
2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数. 奇函数图象关于原点对称.
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )既不是奇函数也不是偶函数；
如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数．
2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法
（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；
②确定f (－x )与f (x )的关系；
③作出相应结论：
若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；
若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0或f(x)=-f(-x)，则f (x )是奇函数．
（2）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称．
（3）利用图像判断函数奇偶性的方法：
图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y 轴对称的函数为偶函数．
3、函数奇偶性的性质：
奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．
4、（1）奇函数、偶函数的定义域关于原点对称。

若x 是定义域中的一个数值，则x -也必然在定义域中，因此，函数()y f x =是奇函数或是偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。

换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具奇偶性。

（2）若奇函数()f x 在0x =处有定义，则(0)0f =。

（3）1()()()F x f x f x =+-为偶函数，2()()()F x f x f x =--为奇函数。

（4）函数的奇偶性是相对于整个定义域来说的，而单调性是相对于定义域内某个区间而言的，是局部性质。

【题型一、有关函数奇偶性的判断或证明的问题】
例、判断下列函数的奇偶性。

① x
x x x f -+-=11)
1()(, ②29)(x x f -=,
③22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩ ④2211)(x x x f --=
⑤()|2|2
f x x =+-
【方法技巧】判断函数的奇偶性，第一步是要先判断函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，就是非奇非偶函数，如果对称，接下去再去找f(x)与f(-x)之间的关系，牢记好，
在定义域内
f(x)=f(-x)则为偶函数，f(-x)=-f(x) 则为奇函数。

【变式训练4】函数1()(0)f x x x x
=-≠是( ) A ．奇函数 B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数
【变式训练5】若函数2
y x bx c =++是偶函数，则有 ( )
A.,b R c R ∈∈
B. ,0b R c ∈=
C. 0,0b c ==
D. 0,b c R =∈
【变式训练6】设函数3
()21f x ax bx =+-，且(1)3,f -=则(1)f 等于（ ）
A.-3
B.3
C.-5
D. 5
【题型二、应用函数奇偶性求值、求解析式】
例、（1）已知偶函数()f x 的定义域是),0()0,(+∞⋃-∞，当0<x 时1)(3+=x x f ，求()f x 的解析式.
（2）已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时x x x g 2)(2+=，求()g x 的解析式.
【变式训练7】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，32)(2
+-=x x x f ，求()f x 的解析式。

【题型三、抽象函数的奇偶性的判断】
例、设函数f (x )，g (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A ．f (x )g (x )是偶函数
B ．|f (x )|g (x )是奇函数
C ．f (x )|g (x )|是奇函数
D ．|f (x )g (x )|是奇函数
【变式训练8】设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=，在R 上一定是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数.
【题型四、有关函数奇偶性的综合问题】
例、设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x
--<的解集为 （ ）
A 、(,1)(1,)-∞-⋃+∞
B 、(,1)(0,1)-∞-⋃
C 、(1,0)(1,)-⋃+∞
D 、(1,0)(0,1)-⋃
例、已知函数2()f x ax bx c =++是定义在[]a a -1,2上的偶函数，则a = ，________b =．
例、设函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，求证()f x 是奇函数；
【变式训练9】设f (x )=ax 5+bx 3+cx －5(a ,b ,c 是常数)且(7)7f -=,则f （7）= ．
若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．
已知函数f (x )＝222,0,0,0,,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩
是奇函数．求实数m 的值；
(三)函数的周期性
1．周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 例、设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，求(7.5)f 的值。

例、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则() A．f(－25)<f(11)<f(80)
B．f(80)<f(11)<f(－25)
C．f(11)<f(80)<f(－25)
D．f(－25)<f(80)<f(11)
【变式训练】设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；
(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．
课后作业
1．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于（ ）
A ．－7
B ．1
C ．17
D ．25
2．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ）
A ．至少有一实根
B ．至多有一实根
C ．没有实根
D ．必有唯一的实根
3．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x )
（ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数
C ．在区间(－2，0)上是增函数
D ．在区间(0，2)上是增函数
4. 若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象上的是（ ）
A ． (())a f a ，-
B ． (())--a f a ，
C ． (())---a f a ，
D ．(())a f a ，-
5．下列函数中为偶函数的是（ ）
A ．x y =
B ．x y =
C ．2x y =
D ．13+=x y
6. 已知函数)(1222)(R x a a x f x x ∈+-+⋅=是奇函数，则a 的值为（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．1
D ．2
7. 设偶函数)(x f 的定义域为R ，当[)+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数，则),2(-f )(πf ，)3(-f 的大小关系是 （ ）
A )2()3()(->->f f f π
B )3()2()(->->f f f π
C )2()3()(-<-<f f f π
D )3()2()(-<-<f f f π
8．若函数)(x f y =是奇函数，3)1(=f ，则)1(-f 的值为____________ .
9．已知分段函数)(x f 是奇函数，当),0[+∞∈x 时的解析式为2
x y =，则这个函数在区间)0,(-∞上的解析式为 ．
10. 判断下列函数是否具有奇偶性：
(1)35()f x x x x =++； (2) 2(),(1,3)f x x x =∈-；
(3)2)(x x f -=； (4) 25)(+=x x f ； (5) )1)(1()(-+=x x x f .
11. 已知函数f (x )＝x 2＋a x
(x ≠0)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；
(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．
12. 已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭
⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题：
①函数f (x )是周期函数；
②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭
⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数；
④函数f (x )为R 上的单调函数．
其中真命题的序号为________．
变式训练答案：
1、
2、
3、
4、
5、6、7、8、9、。