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计量经济学第2节

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第二章 双变量回归分析(计量经济学,南开大学)

第二章 双变量回归分析(计量经济学,南开大学)

ˆ 和 ˆ 1 2

i
为Yi的线性函数
i 2 i
ˆ
2
xY x

(
xi )Yi 2 x i
k Y
i
i
其中k i
xi xi2 1 xi2
ki k i2
x

2
i
0
2 xi

1 xi2 1 xi2

i
1 xi2
6、样本回归函数（SRF） 由于在大多数情况下，我们只知道变量值得一个样本，要用样本信息的基础 上估计PRF。(表） 样本1
X（收入） Y（支出） 80 55 100 65 120 79 140 80 160 102 180 110 200 120 220 135 240 137 260 150
样本2
ˆ ) VAR( 2

x
2 i
2
2 i
x
ˆ： 对于 1
ˆ Y ˆ X 1 ˆ X Yi 1 2 2 n 1 ˆ X ( 1 2 X i ui ) 2 n u 1 i X k i ui n ˆ ) E[( ui X 方差：VAR( k i ui ) 2 ] 1 n
ˆ ) E( ki E (ui ) 2 2 2 ˆ Y ˆ X 1 2 ( 1 2 X i ui ) ( 1 k i u i ) X 1 u i X k i u i ˆ ) E( 1 1
1 1 2 21
估计量（Estimator）：一个估计量又称统计量(statistic)，是指一个规则、公式 或方法，以用来根据已知的样本所提供的信息去估计总体参数。在应用中，由估 计量算出的数值称为估计（值）（estimate)。 样本回归函数SRF的随机形式为：

计量经济学第二章 一元线性回归模型(1)(肖)

计量经济学第二章 一元线性回归模型(1)(肖)

10
2．在经济学中，经济学家要研究个人
消费支出与个人可支配收入的依赖关系。
这种分析有助于估计边际消费倾向，就是
可支配收入每增加一元引起消费支出的平
均变化。
11
3．在企业中，我们很想知道人们对企
业产品的需求与广告费开支的关系。这种
研究有助于估计出相对于广告费支出的需
求弹性，即广告费支出每变化百分之一的
（2.3）
想想：结合表2.1的资料 ，怎样理解式（2.3）
变量Y 的原因， 给定变量X 的值也不能具
体确定变量Y的值， 而只能确定变量Y 的
统计特征，通常称变量X 与Y 之间的这种
关系为统计关系。
16
例如，企业总产出Y 与企业的资本投入
K 、劳动力投入L 之间的关系就是统计关 系。虽然资本K 和劳动力L 是影响产出Y 的两大核心要素，但是给定K 、L 的值并 不能确定产出Y 的值。因为，总产出Y 除 了受资本投入K、劳动力投入L 的影响外

在进入正式的回归理论之前，先斟酌一下变量y与变 量x可以互换的不同名称、术语。 Y 因变量 X 自变量
被解释变量 响应变量
被预测变量
解释变量 控制变量
预测变量
回归子
归回元
22
第二节
一、引例
一元线性回归模型
假定我们要研究一个局部区域的居 民消费问题，该区域共有80户家庭组成 ，将这80户家庭视为一个统计总体。
32
函数f (Xi)采取什么函数形式，是一个
需要解决的重要问题。在实际经济系统
中，我们不会得到总体的全部数据，因
而就无法据已知数据确定总体回归函数 的函数形式。同时，对总体回归函数的 形式只能据经济理论与经验去推断。

计量经济学第二章

计量经济学第二章

第二章主要介绍了计量经济学 的基本概念、原理和方法，包 括经济变量、经济模型、数据 收集与处理、参数估计与假设 检验等。
第二章主要介绍了计量经济学 的基本概念、原理和方法，包 括经济变量、经济模型、数据 收集与处理、参数估计与假设 检验等。
第二章主要介绍了计量经济学 的基本概念、原理和方法，包 括经济变量、经济模型、数据 收集与处理、参数估计与假设 检验等。
异方差性概念及产生原因
异方差性概念
异方差性是指误差项的方差随自变量的变化 而变化，即不满足同方差性的假设。
产生原因
异方差性的产生原因可能包括模型设定偏误、 遗漏重要变量、数据测量误差、异常值影响 等。
异方差性检验方法
图形检验法
通过绘制残差图或残差与解释变量的散点图，观察是否存在异方差性。
等级相关系数法
最小二乘法原理及应用
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化预测值与实际观测值之间的残差平方和来估计线性回归模型的参 数。这种方法可以使得模型的预测结果更加接近实际观测值。
最小二乘法应用
在实际应用中，最小二乘法被广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、社会学等。它可以用于预测未来趋势、 评估政策效果、分析市场需求等。
03
多元线性回归模型
多元线性回归模型构建
02
01
03
模型设定
确定因变量和自变量，建立多元线性回归方程。
数据收集
收集样本数据，包括因变量和自变量的观测值。
参数估计
采用最小二乘法等方法，估计模型参数。
偏回归系数解释与检验
偏回归系数解释
偏回归系数表示在其他自变量不变的情 况下，某一自变量对因变量的影响程度 。
05

计量经济学1-5章(超详细完整版)

计量经济学1-5章(超详细完整版)

26
理论计量经济学和应用计量经济学
计量经济学根据研究对象和内容侧重面不同，
可以分为理论计量经济学和应用计量经济学。 理论计量经济学：是以介绍研究计量经济学的 理论与方法为主要内容，侧重于理论与方法的数学 证明与推导。
应用计量经济学：以建立与应用计量经济学模
型为主要内容，强调应用模型的经济学和经济统计
拉格纳·弗里希（ R. Frish ）
19
计量经济学是用数学语言 来表达经济理论，以便通 过统计方法来论述这些理 论的一门经济学分支。
计量经济学可定义为：根据
理论和观测的事实，运用合
适的推理方法使之联系起来 同时推导，对实际经济现象 进行的数量分析。
20
教科书中的一般表述： 统计学、经济
理论和数学
（1.1） （1.1）式为数理经济模型，该模型是不可以 估计的。要研究收入I 的变化对消费支出C的数量 影响程度，需要对（1.1）进行改造模型。
35
首先，明确（1.1）式的函数形式。例如， C a bI （1.2） 其中 a、 b 为未知的参数， 其次，在（1.2）式右端引入随机变量u，以
16
当前的计量理 论前沿问题
17
○ 计 量 经 济 学 在 中 国 的 发 展
我国计量经济学研究
和应用水平同世界前
沿的差距迅速缩小
2000年
我国计量经济学研 究和应用的普及阶 段
成立了“中国数量经济研
究会”，为创立我国的计
1984年 量经济学奠定了基础
1979年
18
二、什么是计量经济学？
用数学方法探讨经济学可以从好几个方面着手，但 任何一个方面都不能和计量经济学混为一谈。计量 经济学与经济统计学绝非一码事；它也不同于我们 所说的一般经济理论，尽管经济理论大部分具有一 定的数量特征；计量经济学也不应视为数学应用于 经济学的同义语。经验表明，统计学、经济理论和 数学这三者对于真正了解现代经济生活的数量关系 来说，都是必要的，但本身并非是充分条件。三者 结合起来，就是力量，这种结合便构成了计量经济 学。

计量经济学：多重共线性

计量经济学：多重共线性

影响比较大的，略去影响较小的。
元线性回归模型并进行OLS估计，拟合优度最大且接近1时，说明
这个变量与其他所有解释变量间存在共线性。
第三节 多重共线性的检验
辅助回归法中的方差膨胀因子：
对 于 多 元 线 性 回 归 模： 型Yi 0 1 X 1i ... k X ki ui 为 判 断 诸 自 变 量 间 是存 否在 多 重 共 线 性 ， 进如 行下 辅 助 回 归 ： X ji 0 1 X 1i ... j 1,i X j 1,i j 1,i X j 1,i ... k X ki v i , j 1,2,...,k 若 上 述 辅 助 回 归 的 可系 决数 为 R2 X j的 方 差 膨 胀 因 子 为 ： j， 则 定 义 自 变 量 1 VIF j 1 R2 j
第一节 多重共线性的概念
若有c0+c1X1i+c2X2i+…+ckXki=0 i=1,2,…,n。其中: ci不全为0，则称
解释变量间存在完全多重共线性
若存在：c0+c1X1i+c2X2i+…+ckXki≈0 i=1,2,…,n。 其中：ci不全为0，
则称为解释变量间存在近似多重共线性。
完全共线性的情况并不多见，一般出现的是在一定程度上的共线性，
第二节 多重共线性的来源与后果
4、参数估计值不稳定，经济含义不合理
样本观测值稍有变动、增加或减少解释变量等都会使参数估计值发生较大变 化，甚至出现符号错误，从而不能正确反映解释变量对被解释变量的影响。
5、模型的预测功能失效
较大的方差容易使预测区间变大，从而使预测失去意义
注意：只要模型满足经典假设，则在近似多重共线性情况下，OLS估计量仍 然满足无偏性、线性性和有效性。但此时，无偏性并不意味着对某一给定样 本，其参数估计值就等于真实值。有效性也不意味着参数估计量的方差一定 很小。

《计量经济学》第二章知识

《计量经济学》第二章知识

第二章 数学基础 (Mathematics)第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance) 第三节 数理统计（Mathematical Statistics ） 第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms)2.1 矩阵的基本概念与运算 一个m ×n 矩阵可表示为：v a a a a a aa a a a A mn m m n n ij ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡== 212222111211][矩阵的加法较为简单，若C=A +B ，c ij =a ij +b ij但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A 是一个m ×n 1的矩阵，B 是一个n 1×n 的矩阵，则C =AB 是一个m ×n 的矩阵，而且∑==nk kj ikij b ac 1，一般来讲，AB ≠BA ，但如下运算是成立的：● 结合律（Associative Law ） (AB )C =A （BC ） ● 分配律（Distributive Law ） A (B +C )=AB +AC 问题：(A+B)2=A 2+2AB+B 2是否成立？向量（Vector ）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。

行向量(row ve ctor)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。

如果α是一个标量，则αA =[αa ij ]。

矩阵A 的转置矩阵(transpose matrix)记为A '，是通过把A 的行向量变成相应的列向量而得到。

显然(A ')′=A ，而且（A +B ）′=A '+B '，● 乘积的转置（Transpose of ａ production ） A B AB ''=')(，A B C ABC '''=')(。

计量经济学【一元线性回归模型——参数估计】


ˆ0计量ˆ1 和
可以分别表示为被解释变量观测Y值i
的线
性组合（线性函数）；
ˆ证1 明
如( X下i ： X )(Yi (Xi X )2
Y
)
(Xi X) (Xi X )2
(Yi
Y
)
ki (Yi Y )
其中ki ：
(Xi X) (Xi X )2
ki
对ki于引0 进的 ki (X容i 易X证) 明有k如i X下i 的1 特性k：i2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
i
1,
2,
n
假设3：随机误差项在不同样本点之间是独立的，不
存
Cov(i , j ) 0,,,,,,,i j,,,,i, j 1, 2, n
在序列相关，即：
一、一元线性回归模型的基本假设
假设 4：随机误差项与解释变量之间不相关， 即：
Cov( Xi , i ) 0,,,,,,,,,,,i 1, 2, n
：待估
E(Y
总样体本回回归归函函数数形形式式：：Yˆi
| Xi)
ˆ0
0 ˆ1X i
1X i
其 计
中 估
方
ˆ0 , ˆ1 法ˆ0，, ˆ1求
是ˆ00,,ˆ11 出
的估计值，我们需要找到一种参数 ， 并0 ,且1 这 种 参 数 估 计 方 法 保 证 了 估
计值 数
与总体真值
尽可能地接近；这种参
i
根据微 小，
积
分中
ˆ0 , ˆ1
求
极
值
的
原
理
，
要
使 i
ei2
待定系数

计量经济学02

Copyright © 2011 Pearson Addison-Wesley. All rights reserved.
1-5
线性回归模型(教材 4.1节)
总体回归线: Test Score = β0 + β1STR β1 =总体回归线斜率 = Test score STR = 一单位STR变化所引起的Test Score的变化
4-7
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线性回归模型（如图示）: Y 及 X 的观测值 (n = 7); 线性回 归线; 回归误差 (误差项):
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4-2
估计总体回归线的斜率
• 总体回归线的斜率表示每一单位X变化引起Y的期 望变化 • 最终目标是估计每一单位X变化对Y的因果效应， 当前考虑的问题是描绘一条直线来拟合变量X,Y的 数量关系
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4-4
一元线性回归模型
问题：缩小班级规模会对学生的成绩有什么影响？
数据：加州所有K-6和K-8的学区（n=420） 变量: • 5年级考试分数(标准化考试，包括数学和阅 读)，学区平均分数 • 学生教师比（STR）=学生数除以全职教师的 数量
• 为什么β0 及 β1 是“总体”参数? • 我们想知道 β1的值。但是， • 因为β1未知，故须利用数据进行估计

最新2第二章计量经济学的统计学基础知识


方差的计算方法是，先将每个数据与算术 平均数之差（即离差）的平方相加求和，再 除于样本数减一。而标准差是方差的正的平 方根。由于方差是通过平方计算的，它与原 数据的次数有所不同，而标准差由于是方差 的平方根，因而又与原数据的次数相同。因 此，标准差与原数据的单位相同，而方差则 不附加单位。
方差S2的定义分别如下式（样本）：
(x)2
e 22
2
时，称X的分布为正态分布,记为X～
，
N（，2）
密度函数中 和 是X的数学期望和方差。
2
三、正态分布（总体分布）
0 不相关（no correlation）
（4）R<0 负相关（negative correlation）
（5）R=-1完全负相关 （perfect correlation）
negative
为什么会有上述结果？请结合公式思考。
第二节 常用的概率分布
经济计量模型研究具有随机性特征的经济变 量关系。本节将对数理统计中常用的随机变 量分布及一些概念作一简单回顾。
s2(X 1X )2 (X 2X )2 (X nX )2 n 1
1 n1
(Xi X)2
标准差S的的定义分别如下式：
S 方差 S2
七、变动系数
变动系数（coefficient of variation）又称变异 系数，它用标准差S除于算术平均数的商来表 示。变动系数CV的定义如下式：
CV算标 术准 平差 均数XS
n
P(X xi) 1
i1
一、概率分布
连续性的随机变量概率函数
P（a X b）
b
f (x)dx
a
x
其中 f (x)为概率密度函数函 。数 密满 度足条件

计量经济学第2节讲解


④相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都
被看作是随机的。
回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变
量（被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是随机变 量，后者不是。
回归分析的目的
通过解释变量的已知或设定值，去估计和 预测被解释变量的（总体）均值。
回归分析的主要内容
❖ 根据样本观察值对计量经济模型参数进行估计， 求得回归方程
2. 相关分析和回归分析
相关分析 (correlation analysis)：研究随机变
量间的相关形式及相关程度。
回归分析 (regression analysis)：研究一个变
量关于另一个（些）变量的具体依赖关系
其中，前一个变量被称为被解释变量 ( Explained Variable)或应变量 (Dependent Variable)，后一个 (些)变量被称为解释变量 (Explanatory Variable) 或自变量 (Independent Variable)。
共计
2420
2002 4950 11495 16445 19305 23870 25025
21450 21285
15510
3500
3000 每 月 2500 消 2000 费 支 1500 出 （ 1000 元 ） 500
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
三、对随机干扰项的假设
假设4 随机误差项 具有零均值、同方差和不序列
相关性：
E(i)=0 Var (i)= 2
i=1,2, …,n
1 n
n i 1
i
0?
i=1,2, …,n
Cov(i, j)=0 i≠j ； i, j= 1,2, …,n
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3. 总体回归模型
例2.1.1中，个别家庭的消费支出为：
Y E(Y | X ) 0 1X
(*)
给定收入水平X ，个别家庭的支出可表示为两部分之和:
(1) 该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y |X)，
称为系统性(systematic)或确定性(deterministic)部分
3.下列计量经济学方程哪些是正确的？（ 2,6,7 ） 哪些是错误的？（ 其他 ）
(1) Yt X t (t 1,2,, n) (2) Yt X t t (t 1,2,, n)
(3) Yt ˆ ˆXt t (t 1,2,, n) (4) Yˆt Xt (t 1,2,, n) (5) Yt ˆ ˆXt (t 1,2,, n) (6) Yˆt ˆ ˆXt (t 1,2,, n) (7) Yt ˆ ˆXt ˆt (t 1,2,, n) (8) Yˆt ˆ ˆXt ˆ(t 1,2,, n)
单方程 计量经济学模型
理论与方法
研究对象：单一经济现象
模型特点：只含有一个方程
Theory and Methodology of SingleEquation Econometric
Model
第二章 一元线性回归模型
1
回归分析概述
2 一元线性回归模型的基本假设
3 一元线性回归模型的参数估计
4 一元线性回归模型的统计检验
CLRM)。
—— 计量经济学检验的内容
注：经典假设针对普通最小二乘法提出
§2.3 一元线性回归模型的参数估计
一、参数的普通最小二乘估计（OLS）
给定一组样本观测值 (Xi , Yi) (i=1,2,…n)，要求
样本回归函数
尽可能好地拟合这组值
普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）
Yi Xi ˆ0 Xi ˆ1 Xi2
—— 正规方程组
X

1 n

X
i
Y 1 n
Yi
xi X i X
yi Yi Y
记
xi2
(Xi X )2
(
X
2 i

2Xi
X

X
2)
Xi2 2 Xi X nX 2

X
1650 1716
19305
1870 1947 2002 23870
2112 2200
25025
21450 21285
15510
3500
3000 每 月 2500 消 2000 费 支 1500 出 （ 1000 元 ） 500
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
误差项的存在是计量经济学模型的特点，是 计量经济学模型与其他经济数学模型的主要 区别
5. 样本回归函数与样本回归模型
表 2.1.3 家庭消费支出与可支配收入的一个随机样本
X 800 1100 1400 1700 2000 2300 Y 638 935 1155 1254 1408 1650
2600 1925
1254 1309 1364 1397 1408 1474 1496 1496 1562 1573 1606
1408 1452 1551 1595 1650 1672 1683 1716 1749 1771 1804
1650 1738 1749 1804 1848 1881 1925 1969 2013 2035 2101
2900 2068
3200 2266
3500 2530
由于样本取自总体，所以该线近似地代表总体回
归线。该线称为样本回归线(sample regression
lines)。
记样本回归线的函数形式为： Yˆ f (X ) ˆ0 ˆ1X
称为样本回归函数(sample regression function, SRF)
5 一元线性回归模型的应用：预测
6
实例及时间序列问题
§2.1 回归分析概述
一、回归分析基本概念
1. 变量间的关系
函数关系
研究的是确定现象非随机变量间的关系
圆面积 f ,半径 半径2
统计依赖（相关）关系
研究的是非确定现象随机变量间的关系
农作物产量与降雨量
例：下列变量关系是函数关系的是（ ）， 是统计依赖关系的是（ ）。 A．商品销售量与销售价格 B．学习成绩总分与各门课程成绩分数 C．物价水平与商品需求量 D．小麦亩产量与施肥量 E．电路中的电压、电阻、电流 F．力学中物体运动的距离、速度与时间 G．人的年龄与血压 H．子女的身高与父母的身高
(X i X )2 / n Q, n
三、对随机干扰项的假设
假设4 随机误差项 具有=0 Var (i)= 2
i=1,2, …,n
1 n
n i 1
i

0?
i=1,2, …,n
Cov(i, j)=0 i≠j ； i, j= 1,2, …,n
练习
1．判断——总体回归函数给出了对应于每一个自变量 的因变量的值。（ 错 ）
2．某人建立了消费函数模型C=a+bY，但是他注意到 散点图上的点(Yi, Ci)不在直线C=a+bY上，并且有时 Y上升但C下降，因此他认为消费函数是无用的，C不 是Y的函数。请评价他的结论。
他忽略了随机干扰项的作用，随机误差可正可负。 且模型不准确，应表示为C=a+bY+μ
2. 相关分析和回归分析
相关分析 (correlation analysis)：研究随机变
量间的相关形式及相关程度。
回归分析 (regression analysis)：研究一个变
量关于另一个（些）变量的具体依赖关系
其中，前一个变量被称为被解释变量 ( Explained Variable)或应变量 (Dependent Variable)，后一个 (些)变量被称为解释变量 (Explanatory Variable) 或自变量 (Independent Variable)。
(2) 其他随机或非系统性(nonsystematic)部分
(*)式称为总体回归函数的随机设定形式，也称 为总体回归模型(population regression model) 。表
明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受 其他因素的随机性影响。
4. 随机误差项包括的影响因素
未知的影响因素 残缺数据 众多细小影响因素 数据观测误差 模型设定误差 变量的内在随机性
④相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都
被看作是随机的。
回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应
变量（被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是随机 变量，后者不是。
回归分析的目的
通过解释变量的已知或设定值，去估计和 预测被解释变量的（总体）均值。
回归分析的主要内容
根据样本观察值对计量经济模型参数进行估计， 求得回归方程
给出的判断标准是：二者之差的平方和
最小
n
n
Q (Yi Yˆi )2 (Yi (ˆ0 ˆ1 X i )) 2
1
1
Q
ˆ0
0

Q
ˆ1

0
(Yi ˆ0 ˆ1Xi ) 0

(Yi ˆ0 ˆ1Xi )Xi 0
Yi nˆ0 ˆ1 Xi
2900 3200
3500
每 月 家 庭 消 费 支 出 Y （元）
561 594 627 638
638 748 814 847 935 968
869 913 924 979 1012 1045 1078 1122 1155 1188 1210
1023 1100 1144 1155 1210 1243 1254 1298 1331 1364 1408
表了其他影响 Y 的随机因素的集合,可看成是 的估
计量 ˆ 。该式也称为样本回归模型(sample regression
model)。
总体回归函数 总体回归模型 样本回归函数 样本回归模型
E(Y | X ) 0 1X Y 0 1X Yˆ ˆ0 ˆ1X Y ˆ0 ˆ1X e
称为(双变量) 总体回归函数 (population regression
function, PRF)。
PRF说明被解释变量Y 的平均状态随解释变量 X 变化的规律
具有如下形式的总体回归函数 E(Y | X ) 0 1 X
为线性总体回归函数。其中，0，1是未知参 数，称为回归系数(regression coefficients)
▲注意：
这里将样本回归线看成总体回归线的近似
替代 Yˆ ˆ0 ˆ1X
E(Y | X ) 0 1 X
其中，Yˆ 是 E(Y | X )的估计量，ˆi 是 i 的估计量
样本回归函数的随机形式
Y Yˆ ˆ ˆ0 ˆ1X e
式中， e 称为（样本）残差(或剩余)项（residual），代
6. 样本回归函数与总体回归函数的关系
回归分析的主要目的：根据SRF,估计PRF。即
根据
Yˆ ˆ0 ˆ1X
估计
E(Y | X ) 0 1X
这就要设计一种方法，构造出样本回归函数，
使它尽可能地接近总体回归函数，也就是使 参数估计值尽可能地接近参数真值。
注：PRF可能永远无法知道。
假设5 随机误差项 与解释变量X 之间不相关
Cov(Xi , i)=0 i=1,2, …,n