八年级数学自我评价练习题

人教版八年级上册自我综合评价（一）(159)1.现有一根长为30cm的细铁丝，用这根铁丝能围成一个有一边长为6cm的等腰三角形吗？若能，求出其腰长和底边长；若不能，请说明理由．(细铁丝要刚好用完)2.如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1=∠2=60∘，AB与DE有怎样的位置关系？AD与BC有怎样的位置关系？为什么?3.已知：如图，△ABC中，∠A=45∘，E是∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线的交点．求∠E的度数．4.解答下列各题，如图①，②(1)如图①，AB，AC边上的高CE，BD交于点O．若∠A=60∘，则∠BOC=；(2)如图②，若∠A为钝角，请你画出AB，AC边上的高CE，BD，CE，BD所在直线交于点O，则∠BAC+∠BOC=，用你已学过的数学知识加以证明．5.一个正多边形的一个外角为45∘，则这个正多边形的边数是．6.如图，飞机要从A地飞往B地，因受大风影响，偏离航线(AB)18∘(即∠A=18∘)，飞到了C地．已知∠ABC=10∘，现在飞机要达到B地需以度角飞行(即∠BCD的度数)．7.如图，AB⊥AC,∠CED=∠B，则∠CDE=∘.8.如图，在五边形ABCDE中，点M，N分别在AB，AE边上，∠1+∠2=100∘，则∠B+∠C+∠D+∠E=．9.如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可将这个多边形分割成2017个三角形，那么此多边形的边数为．10.如图,AE是△ABC的中线，BF是△ABE的中线．若△ABC的面积是20cm2，则S△ABF=.11.图中一共有多少个三角形？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？用符号表示这些三角形．12.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于点D，图中线段可以作为△ACD的高的有（）A.0条B.1条C.2条D.3条13.如图，AB∥CD,DB⊥BC,∠2=50∘,则∠1的度数是（）A.40∘B.50∘C.60∘D.140∘14.一个三角形的两个内角分别是55∘和65∘,则这个三角形的外角不可能是（）A.115∘B.120∘C.125∘D.130∘15.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A.1，2，1B.1，2，2C.1，2，3D.1，2，416.如图，∠BDC=98∘，∠C=38∘，∠B=23∘，则∠A的度数是（）A.61∘B.60∘C.37∘D.39∘17.如图，点A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（）A.180∘B.360∘C.540∘D.720∘18.如图，在△ABC中，AF是中线，AE是角平分线，AD是高，∠BAC=90∘，FC=6，则根据图形填空：(1)BF=，BC=；(2)∠BAE=∘，∠CAE=∘；(3)∠ADB=∘，∠ADC=∘.19.下列图形具有稳定性的是（）A.①②B.②③④C.②④D.①②③④参考答案1.【答案】:能．当以6cm长为腰时，其底边的长应为30−6−6=18(cm)，但由于6＋6<18，所以以6cm，6cm，18cm为边不能构成三角形．当以6cm长为底边时，×(30−6)=12(cm)，其腰长应为12此时以6cm，12cm，12cm为边能构成等腰三角形．故能用这根细铁丝围成一个腰长为12cm，底边长为6cm的等腰三角形【解析】:能．当以6cm长为腰时，其底边的长应为30−6−6=18(cm)，但由于6＋6<18，所以以6cm，6cm，18cm为边不能构成三角形．当以6cm长为底边时，×(30−6)=12(cm)，其腰长应为12此时以6cm，12cm，12cm为边能构成等腰三角形．故能用这根细铁丝围成一个腰长为12cm，底边长为6cm的等腰三角形2.【答案】:AB∥DE，AD∥BC．理由：∵六边形ABCDEF的内角都相等，∴六边形ABCDEF的每一个内角都等于120∘，∴∠EDC=∠FAB=120∘.∵∠1=∠2=60∘，∴∠EDA=∠DAB=60∘,∴AB∥DE．∵∠C=120∘，∠2=60∘，∴∠2+∠C=180∘，∴AD∥BC【解析】:AB∥DE，AD∥BC．理由：∵六边形ABCDEF的内角都相等，∴六边形ABCDEF的每一个内角都等于120∘，∴∠EDC=∠FAB=120∘.∵∠1=∠2=60∘，∴∠EDA=∠DAB=60∘,∴AB∥DE．∵∠C=120∘，∠2=60∘，∴∠2+∠C=180∘，∴AD∥BC3.【答案】:∵EB是∠ABC的平分线，EC是∠ACB的外角平分线，∴∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD，∴∠E=∠ECD−∠EBC=12(∠ACD−∠ABC)=12∠A=22.5∘【解析】:∵EB是∠ABC的平分线，EC是∠ACB的外角平分线，∴∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD，∴∠E=∠ECD−∠EBC=12(∠ACD−∠ABC)=12∠A=22.5∘4(1)【答案】120∘【解析】:∵∠A=60∘，BD是AC边上的高，∴∠ABD=90∘−∠A=90∘−60∘=30∘.∵CE是AB边上的高，∴∠BEO=90∘，∴∠BOC=∠ABD+∠BEO=30∘+90∘=120∘. (2)【答案】180∘证明：如图所示．四边形ADOE的内角和为(4−2)×180∘=360∘. 又∵BD，CE为△ABC的高，∴∠ODC=∠OEB=90∘，∴∠DOE+∠DAE=180∘.又∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠BOC=180∘5.【答案】:8【解析】:360∘÷45∘=8.故正多边形的边数是86.【答案】:28【解析】:∵∠A=18∘，∠ABC=10∘，∴∠BCD=∠A+∠B=28∘.故答案为287.【答案】:90【解析】:∵AB⊥AC，∴∠C+∠B=90∘.∵∠CED=∠B，∴∠C+∠CED=90∘,∴∠CDE=90∘8.【答案】:460∘【解析】:∵∠A=180∘−(∠1+∠2)=180∘−100∘=80∘，五边形ABCDE的内角和为(5−2)×180∘=540∘，∴∠B+∠C+∠D+∠E=540∘−80∘=460∘.故答案为460∘9.【答案】:2019【解析】:设这个多边形的边数为n，则n−2=2017，解得n=201910.【答案】:5cm2【解析】:因为AE是△ABC的中线，所以BE=EC，则△ABE和△ACE是等底同高的两个三角形，×20=10(cm2)．所以△ABE的面积=△ACE的面积=△ABC的面积的一半，即12同理,△ABF的面积=△BFE的面积=△ABE的面积的一半，×10=5(cm2)即1211.【答案】:图中共有6个三角形．其中锐角三角形有2个：△ABE，△ABC；直角三角形有3个：△ABD，△ADE，△ADC；钝角三角形有1个：△AEC【解析】:图中共有6个三角形．其中锐角三角形有2个：△ABE，△ABC；直角三角形有3个：△ABD，△ADE，△ADC；钝角三角形有1个：△AEC12.【答案】:C【解析】:可以作为△ACD的高的线段有AD，CD，共2条13.【答案】:A14.【答案】:D15.【答案】:B16.【答案】:C【解析】:连接BC．∵∠BDC=98∘，∴∠DBC+∠DCB=180∘−98∘=82∘.在△ABC中，∵∠DCA=38∘，∠DBA=23∘，∴∠A=180∘−∠ABC−∠ACB=180∘−∠ABD−∠DBC−∠DCB−∠ACD=180∘−38∘−23∘−82∘=37∘.故选 C17.【答案】:B【解析】:如图，∵∠1是△ABG的外角，∴∠1=∠A+∠B．∵∠2是△EFH的外角，∴∠2=∠E+∠F．∵∠3是△CDI的外角，∴∠3=∠C+∠D．∵∠1,∠2,∠3是△GIH的外角，∴∠1+∠2+∠3=360∘,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360∘18.【答案】:6；12；45；45；90；9019.【答案】:C。

河北省邯郸市邯山区滏河学校2022-2023学年八年级上学期自我评价数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A ．2，3，4B ．2，3，5C ．2，5，10D ．8，4，43．已知点P （3，-2）与点Q 关于y 轴对称，则点Q 的坐标为（）．A ．（-3，-2）B ．（-3，2）C ．（3，2）D ．（3，-2）4．如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（）A ．带③去B ．带②去C ．带①去D ．带①②去5．一个多边形的每一个内角都是108︒，这个多边形是（）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．八边形6．已知等腰三角形的两边长分别为4cm 、8cm ，则该等腰三角形的底边长是（）A ．12cm B ．8cm C ．4cm 或8cm D ．4cm 7．AD 是ABC 的角平分线，过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则下列结论不一定正确的是（）A ．DE DF =B ．BD CD=C ．AE AF=D ．ADE ADF∠=∠8．如图所示，一个直角三角形纸片，剪去这个直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（）A．150°B．180°C．240°D．270°9．已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A．∠A与∠D互为余角B．∠A＝∠2C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠210．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于1AB的长为半径画弧，两弧2相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝8，则△ABC的周长为（）A．8B．10C．18D．2011．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm12．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E两点分别在AC，BC上，BD是∠ABC的平分线，DE//AB，若BE=5cm，CE=3cm，则△CDE的周长是（）A ．15cmB ．13cmC ．11cmD ．9cm13．下列三角形，不一定是等边三角形的是A ．有两个角等于60°的三角形B ．有一个外角等于120°的等腰三角形C ．三个角都相等的三角形D ．边上的高也是这边的中线的三角形14．如图，15EAF ∠=︒，AB BC CD ==，则ECD ∠的度数是（）A ．60︒B ．45︒C ．50︒D ．35︒15．如图，在ACD 和BCE 中，AC BC =，AD BE =，CD CE =，55ACE ∠=︒，155BCD ∠=︒，AD 与BE 相交于点P ，则BPD ∠的度数为（）A ．110︒B ．125︒C ．130︒D ．155︒16．如图等腰ABC 的底边BC 长为6，面积是18，腰AC 的垂直平分线EF 分别交,AC AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM V 周长的最小值为（）A ．6B ．8C ．9D ．10二、填空题17．已知两点(),5A a -，()3,B b -关于x 轴对称．则a b +=_________．18．如图，在ABC ∆中，AD 是高，AE 平分BAC ∠，50B ∠=︒，80C ∠=︒，则DAE ∠=__________．19．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边ABC ，设点A 表示的数为3x -，点B 表示的数为21x +，点C 表示的数为4-，若将ABC 向右滚动，则x 的值等于_____，数字2012对应的点将与ABC 的顶点_____重合．三、解答题20．如图，点D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE=FE ，FC ∥AB ．求证：AB ﹣CF=BD ．21．如图，∠A =∠B ，CE ∥DA ，CE 交AB 于E ．求证：△CEB 是等腰三角形．22．ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知()1,1A --，()4,1B -，()3,1C ．（1）画出ABC 及关于y 轴对称的111A B C △；（2）写出点A 的对应点1A 的坐标是______，点B 的对应点1B 的坐标是______，点C 的对应点1C 的坐标是______．（3）请直接写出以AB 为边且与ABC 全等的三角形的第三个顶点（不与C 重合）的坐标是______．23．如图，是一个大型模板，设计要求BA 与CD 相交成20°角，DA 与CB 相交成40°角，现测得∠A=145°，∠B=75°，∠C=85°，∠D=55°，就断定这块模板是合格的，这是为什么？24．如图，点E 在CD 上，BC 与AE 交于点F ，AB=CB ，BE=BD ，∠1=∠2．（1）求证：ABE CBD ≅△△；（2）证明：∠1=∠3．25．如图，等腰直角△ABC 中，CA=CB ，点E 为△ABC 外一点，CE=CA ，且CD 平分∠ACB 交AE 于D ，且∠CDE=60°．（1）求证：△CBE 为等边三角形；（2）若AD=5，DE=7，求CD 的长．26．如图，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点P 是BC 上的一动点，AP AQ =，90PAQ ∠=︒，连接CQ ．(1)求证：CQ BC ．(2)ACQ 能否是直角三角形?若能，请直接写出此时点P 的位置；若不能，请说明理由．(3)当点P 在BC 上什么位置时，ACQ 是等腰三角形?请直接写出此时点P 的位置．参考答案：1．B【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，不合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．2．A【分析】根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边，即两条较短的边的长大于最长的边即可．+，能构成三角形，故选项符合题意；【详解】A、23>4+=，不能构成三角形，故选项不符合题意；B、235+<，不能构成三角形，故选项不符合题意；C、2510+=，不能构成三角形，故选项不符合题意．D、448故选：A．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟练的掌握判断以三条线段为边能否构成三角形的方法是解本题的关键．3．A【分析】根据轴对称和坐标的性质计算，即可得到答案．【详解】∵点P（3，-2）与点Q关于y轴对称∴点Q的坐标为：（-3，-2）故选：A．【点睛】本题考查了轴对称和坐标的知识；解题的关键是熟练掌握坐标和轴对称的性质，从而完成求解．4．A【分析】第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA 来配一块一样的玻璃.【详解】③中含原三角形的两角及夹边，根据ASA 公理，能够唯一确定三角形.其它两个不行.故选：A【点睛】此题主要考查全等三角形的运用，熟练掌握相关的判定即可解题.5．B【分析】根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．【详解】解：设这个多边形是n 边形，由题意得，（n ﹣2）•180°＝108°•n ，解得n ＝5，所以，这个多边形是五边形．故选B ．【点睛】本题考查了多边形的内角问题，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．6．D【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．【详解】解：当腰长为4cm 时，448cm +=，不符合三角形三边关系，故舍去，当腰长为8cm 时，符合三边关系，底边长为4cm ，故该三角形的底边为4cm ，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．7．B【分析】根据角平分线的性质和三角形全等的判定，可以得到ADE ADF ≌，【详解】解：∵AD 是ABC 的角平分线，∴DE DF =，90AED AFD ∠=∠=︒，故A 正确，∴在Rt ADE 和Rt ADF 中，∵DE DF AD AD ==，，∴Rt ADE Rt ADF ≌，∴AE AF =，∠ADE =∠ADF ，故C 、D 正确，对于BD CD =，只有在AB AC =的情况下才会成立，故选B ．【点睛】本题考查角平分线的综合应用，熟练掌握角平分线的性质定理和直角三角形全等的判定与性质是解题关键．8．D【分析】先由三角形内角和为180°得∠A+∠3+∠4=180°，则∠3+∠4=90°.再由邻补角互补得∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠4，最后代入计算∠1+∠2即可.【详解】解：由三角形内角和为180°可得，∠A+∠3+∠4=180°，则∠3+∠4=180°-90°=90°；又∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠4，∴∠1+∠2=（180°-∠3）+（180°-∠4）=360°-（∠3+∠4）=360°-90°=270°，故选D.【点睛】本题考查了三角形内角和定理及邻补角性质，熟练掌握相关知识是解题关键.9．D【分析】利用同角的余角相等求出∠A ＝∠2，再利用“角角边”证明△ABC 和△CDE 全等，根据全等三角形对应边相等、对应角相等，即可解答．【详解】∵∠B ＝∠E ＝90°，∴∠A +∠1＝90°，∠D +∠2＝90°，∵AC ⊥CD ，∴∠1+∠2＝90°，故D 错误；∴∠A ＝∠2，故B 正确；∴∠A +∠D ＝90°，故A 正确；在△ABC 和△CED 中，2A B E AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△CED （AA S ），故C 正确；故选：D ．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的条件∠A =∠2．10．C【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD ＝BD ，根据△ADC 的周长为10求出AC ＋BC ＝10，代入AB ＋AC ＋BC 求出即可．【详解】∵根据做法可知：MN 是AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∵△ADC 的周长为10，∴AD ＋CD ＋AC ＝10，∴BD ＋DC ＋AC ＝10，∴AC ＋BC ＝10，∵AB ＝8，∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝8＋10＝18，故选C.【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法.题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用.需要掌握的是线段垂直平分线的性质为:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.11．B【详解】∵DE ⊥AB ，∴∠C =∠AED =90°，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD =∠EAD ，在△ACD 和△AED 中，C AED CAD EAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED (AAS)，∴AC =AE ，CD =DE ，∴BD +DE =BD +CD =BC =AC =AE ，BD +DE +BE =AE +BE =AB =6，所以，△DEB 的周长为6cm ．故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、AAS 、SAS 、ASA 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．12．B【详解】∵BD 是∠ABC 的平分线，ABD CBD∴∠=∠DE AB P ，ABC DEC ∴∠=∠,ABD BDE ∠=∠.CBD BDE \Ð=Ð,5DE BE cm∴==AB AC = ,ABC C ∴∠=∠,DEC C ∴∠=∠,5DE CD cm ∴==.53513DE CE CD cm∴++=++=13．D【分析】分别利用等边三角形的判定方法分析得出即可．【详解】A ．根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B ．有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C ．三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D ．边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，符合题意，故此选项正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，注意熟练掌握：由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．14．B【分析】根据等边对等角求出BCA BDC ∠∠，，再利用外角性质求出ECD ∠．【详解】解：∵15EAF AB BC ∠=︒=，，∴15BCA EAF ︒∠=∠=,∴30CBD A BCA ∠︒=∠+∠=，∵CB CD =，∴30BDC CBD ∠=∠=︒，∴45ECD A BDC ∠︒=∠+∠=，故选：B ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟记等腰三角形等边对等角的性质是解题的关键．15．C【分析】易证≌ACD BCE V V ，得到,ACD BCE A B ∠=∠∠=∠，进而得到ACB ECD ∠=∠，根据55ACE ∠=︒，155BCD ∠=︒，求出ACB ∠的度数，利用8字型图，得到APB ACB ∠=∠，进而求出BPD ∠即可．【详解】解：∵AC BC =，AD BE =，CD CE =，∴()SSS ACD BCE ≌，∴,ACD BCE A B ∠=∠∠=∠，∴ACB ACE ECD ACE ∠+∠=∠+∠，∴ACB ECD ∠=∠，∵55ACE ∠=︒，155BCD ∠=︒，∴()1502BCD ACE ACB ECD ∠︒-∠∠=∠==，设,AC BE 交于点H ，则：BHC AHP ∠=∠，∵180B ACB BHC A APB AHP ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，∴50APB ACB ∠=∠=︒，∴180130BPD APB ∠=︒-∠=︒；故选C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．解题的关键是证明三角形全等．16．C【分析】CDM V 周长为CD CM DM ++，CD 为定值，CM DM +的值最小时，CDM V 周长最小，点C 关于EF 的对称点为点A ，CM DM AM DM AD +=+≥，当,,A D M ，三点共线时，CM DM +的值最小，即为AD 的长，利用等腰三角形三线合一，求出AD 的长，进而得出结论即可．【详解】解：∵CDM V 周长为CD CM DM ++，CD 为定值，∴CM DM +的值最小时，CDM V 周长最小，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴点C 关于EF 的对称点为点A ，∴CM DM AM DM AD +=+≥，∴当,,A D M ，三点共线时，CM DM +的值最小，即为AD 的长；连接AD ，交EF 于点M ，∵ABC 是等腰三角形，点D 为BC 边的中点，∴AD BC ⊥，132CD BC ==∴1161822ABC S BC AD AD =⋅=⨯= ，∴6AD =，∴CM DM +的最小值为6，∴CDM V 周长的最小值为：369CD AD +=+=；故选C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．熟练掌握等腰三角形三线合一，以及轴对称的性质，是解题的关键．17．2-【分析】直接利用关于x 轴对称点的性质得出a ，b 的值，进而得出答案．【详解】解：∵两点(),5A a -，()3,B b -关于x 轴对称，∴3a -=-，=5b -，则3a =，故2a b +=-．故答案为：2-．【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确把握点的坐标特点是解题关键．18．15°【分析】先利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，进而利用角平分线的定义可求EAC ∠的度数，然后根据直角三角形两锐角互余求出DAC ∠的度数，最后利用DAE EAC DAC ∠=∠-∠即可求解．【详解】∵50B ∠=︒，80C ∠=︒，180180508050BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．∵AE 平分BAC ∠，11502522EAC BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒．,80AD BC C ⊥∠=︒ ，90908010DAC C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，251015DAE EAC DAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：15︒．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义是解题的关键．19．3-C【分析】根据等边ABC ，利用边长相等得出4(21)21(3)x x x --+=+--，求出x 即可，再利用数字2012对应的点与4-的距离为201242016+=，得出20163672÷=，C 从出发到2012点滚动672周，即可得出答案．【详解】解：∵将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边ABC ，点A 表示的数为3x -，点B 表示的数为21x +，点C 表示的数为4-，∴4(21)21(3)x x x --+=+--；∴39x -=，∴3x =-．故A 表示的数为3336x -=--=-，点B 表示的数为：212(3)15x +=⨯-+=-，即等边ABC 边长为1，数字2012对应的点与4-的距离为：201242016+=，∵20163672÷=，C 从出发到2012点滚动672周，∴数字2012对应的点将与ABC 的顶点C 重合．故答案为：3-，C ．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，实数与数轴，一元一次方程等知识，本题将数与式的考查有机地融入“图形与几何”中，渗透“数形结合思想”、“方程思想”等．20．见解析【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF ，∠ADE=∠CFE ，再根据全等三角形的判定定理AAS 得出△ADE ≌△CFE ，即可得出答案．【详解】解：∵CF ∥AB ，∴∠A=∠FCE ，∠ADE=∠F ，在△ADE 和△FCE 中A FCE ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CFE （AAS ），∴AD=CF ，∵AB ﹣AD=BD ，∴AB ﹣CF=BD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL 是解题的关键．21．证明见试题解析．【详解】试题分析：由线的平行可得角相等，进行角的等量代换后再由两角相等确定等腰三角形．试题解析：证明：∵CE ∥DA ，∴∠A=∠CEB ．又∵∠A=∠B ，∴∠CEB=∠B ，∴CE=CB ，∴△CEB 是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定．22．（1）见解析；（2）()1,1-，()4,1--，()3,1-；（3）()0,3-，()0,1或()3,3-．【分析】（1）根据各点的坐标画出三角形即可，再根据对称的性质，画出三角形即可；（2）根据111A B C △各顶点的位置写出坐标即可；（3）根据以AB 为边且与ABC 全等的三角形的第三个顶点的位置，写出坐标即可；【详解】（1）画图如图所示：（2）由图可知，点1A 的坐标为()1.-1，点1B 的坐标为()4,1--，点1C 的坐标为()3,1-；（3）∵AB 为公共边，∴与ABC 全等的三角形的第三个顶点的坐标为()0,3-，()0,1或()3,3-．【点睛】本题主要考查了坐标位置确定和轴对称变换，准确作图分析是解题的关键．23．合格，理由见解析.【分析】延长DA 、CB ，相交于F ，延长BA 、CD 相交于E ，据此即可组成△FCD 和△ECB ，根据三角形的内角和定理解答即可．【详解】如图，延长DA ，CB 相交于点F ，延长BA ，CD 相交于点E.∵∠C ＋∠ADC ＝85°＋55°＝140°，∴∠F ＝180°－140°＝40°.∵∠C ＋∠ABC ＝85°＋75°＝160°，∴∠E ＝180°－160°＝20°.符合设计要求，故这块模板是合格的．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，将四边形的四个内角转化为两个三角形的内角是解题的关键．24．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先根据角的和差可得ABE CBD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据三角形全等的性质可得A C ∠=∠，再根据对顶角相等可得AFB CFE ∠=∠，然后根据三角形的内角和定理、等量代换即可得证．【详解】（1）12∠=∠ ，12CBE CBE ∴∠+∠=∠+∠，即ABE CBD ∠=∠，在ABE 和CBD △中，AB CB ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CBD SAS ∴≅ ；（2）由（1）已证：ABE CBD ≅△△，A C ∴∠=∠，由对顶角相等得：AFB CFE ∠=∠，又11803180A AFB C CFE ∠=︒-∠-∠⎧⎨∠=︒-∠-∠⎩，13∠∠∴=．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．25．（1）见解析；（2）2.【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质得出，∠CAE=∠CEA ，再得出∠BCE 的度数，进而利用等边三角形的判定得出答案；（2）首先在AE 上截取EM=AD,连接CM 进而得出△ACD ≌△ECM ，进而得出△MCD 为等边三角形，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵CA=CB ，CE=CA ，∴BC=CE ，∠CAE=∠CEA ，∵CD 平分∠ACB 交AE 于D ，且∠CDE=60°，∴∠ACD=∠DCB=45°，∠DAC +∠ACD=∠EDC=60°，∴∠DAC=∠CEA=15°，∴∠ACE=150°，∴∠BCE=60°，∴△CBE 为等边三角形；（2）在AE 上截取EM=AD ，连接CM ．在△ACD 和△ECM 中，，∴△ACD ≌△ECM （SAS ），∴CD=CM ，∵∠CDE=60°，∴△MCD 为等边三角形，∴CD=DM=7﹣5=2．【点睛】本题考查的是等边三角形和全等三角形，熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质是解题的关键.26．(1)见解析(2)当点P 为BC 的中点或与点C 重合时，ACQ 是直角三角形．(3)当点P 为BC 的中点或与点C 重合或BP AB =时，ACQ 是等腰三角形．【分析】（1）根据同角的余角相等求出BAP CAQ ∠∠=，然后利用“边角边”证明ABP 和ACQ 全等，根据全等三角形对应角相等可得ACQ B ∠∠=，再根据等腰直角三角形的性质得到45B ACB ∠∠︒==，然后求出90BCQ ∠︒=，然后根据垂直的定义证明即可；（2）分APB ∠和BAP ∠是直角两种情况求出点P 的位置，再根据ABP 和ACQ 全等解答；（3）分BP AB AB AP AP BP =，=，=三种情况讨论求出点P 的位置，再根据ABP 和ACQ 全等解答．【详解】（1）∵90BAP CAP BAC ∠+∠=∠=︒，90CAQ CAP PAQ ∠+∠=∠=︒，∴BAP CAQ ∠=∠，在ABP 和ACQ 中，AB AC BAP CAQ AP AQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABP ACQ ≌△△，∴ACQ B ∠=∠，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴45B ACB ∠=∠=︒，∴454590BCQ ACB ACQ ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴CQ BC ⊥．（2）∠=90APB ︒时，点P 为BC 的中点，90BAP ∠︒=时，点P 与点C 重合，∵ABP ACQ ≌ ，∴当点P 为BC 的中点或与点C 重合时，ACQ 是直角三角形．（3）①当BP AB =时，ABP 是等腰三角形；②当AB AP =时，点P 与点C 重合；③当AP BP =时，点P 为BC 的中点．∵ABP ACQ ≌ ，∴当点P 为BC 的中点或与点C 重合或BP AB =时，ACQ 是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，求出ABP 和ACQ 全等是解题的关键，难点在于（2）（3）要分情况讨论．。

第3章自我评价一、选择题(每小题2分，共20分)1．下列数值中，不是不等式5x≥2x＋9的解的是(D )A ． 5B ． 4C ． 3D ． 22．若a>b ，则下列不等式中，不成立的是(B )A ．a －3>b －3B ．－3a >－3bC ．a 3>b 3D ．－a <－b 3．不等式－2x>12的解是(A ) A ． x <－14B ． x <－1C ． x >－14D ． x >－1 4．不等式3(x －1)≤5－x 的非负整数解有(C )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个5．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，其周长为20 cm ，则AB 边的取值范围是(B )A ．1 cm ＜AB ＜4 cm B ．5 cm ＜AB ＜10 cmC ．4 cm ＜AB ＜8 cmD ．4 cm ＜AB ＜10 cm【解】 设AB ＝x (cm)，则AC ＝x (cm)，BC ＝(20－2x ) cm ．根据三角形的三边关系，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x >20－2x >0，20－2x ＋x >x ，解得5<x ＜10． ∴5 cm ＜AB ＜10 cm ．6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x>a ，x<3的整数解有3个，则a 的取值范围是(A ) A ．－1≤a ＜0 B ．－1<a ≤0C ．－1≤a <1D ．－1＜a ＜0【解】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >a ，x <3的解为a <x <3，由不等式组的整数解有三个，即0，1，2，得到－1≤a ＜0．7．若三个连续正整数的和小于39，则这样的正整数中，最大的一组数的和是(B )A ． 39B ． 36C ． 35D ． 34【解】 设这三个正整数分别为x －1，x ，x ＋1，则(x －1)＋x ＋(x ＋1)<39，∴x <13．∵x 为正整数，∴当x ＝12时，三个连续正整数的和最大，三个连续正整数的和为11＋12＋13＝36．8．若关于x 的不等式3x ＋1<m 的正整数解是1，2，3，则整数m 的最大值是(D )A ．10B ．11C ．12D ．13【解】 解3x ＋1<m ，得x <m －13．∵原不等式的正整数解是x ＝1，2，3，∴3<m －13≤4，解得10<m ≤13．∴整数m 的最大值是13．9．若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－3x≥0，x －m≥0有实数解，则实数m 的取值范围是(A ) A ．m ≤53 B ．m <53C ．m >53D ．m ≥53【解】 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－3x ≥0，x －m ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤53，x ≥m .∵不等式组有实数解，∴m ≤53． 10．某市某化工厂现有A 种原料52 kg ，B 种原料64 kg ，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A 种原料3 kg ，B 种原料2 kg ；生产1件乙种产品需要A 种原料2 kg ，B 种原料4 kg ，则生产方案的种数为(B )A ． 4B ． 5C ． 6D ． 6【解】 设生产甲产品x 件，则生产乙产品(20－x )件，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2（20－x ）≤52，2x ＋4（20－x ）≤64， 解得8≤x ≤12．∵x 为整数，∴x ＝8，9，10，11，12，∴共有5种生产方案．二、填空题(每小题2分，共20分)11．不等式3x ＋1<－2的解是x<－1．12．已知x ＜a 的最大整数解为x ＝3，则a 的取值范围是3＜a≤4．13．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1<2－2x ，23x>x －12的解是－3<x ＜1． 14．若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞3，a －x ＞1的解为1＜x ＜3，则a 的值为__4__．(第15题)15．若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x>a ，x>b 的解如图所示，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x<a ，x ≤b 的解是x<a ． 16．已知“x 的3倍大于5，且x 的一半与1的差不大于2”，则x 的取值范围是53<x≤6． 【解】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x>5，12x －1≤2，解得53<x≤6． 17．已知关于x 的方程2x ＝m 的解满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3－n ，x ＋2y ＝5n (0<n<3)，若y>1，则m 的取值范围是25<m<23． 【解】 解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n ＋2，y ＝2n －1. ∵y>1，∴2n －1>1，即n>1．又∵0<n<3，∴1<n<3． ∵m ＝2x ，x ＝n ＋2，∴n ＝2m－2，∴1<2m －2<3，解得25<m<23． 18．已知x ，y 满足2x ·4y ＝8．当0≤x≤1时，y 的取值范围是1≤y ≤32． 【解】 ∵2x ·4y ＝8，∴2x ·22y ＝23，∴x ＋2y ＝3，∴x ＝3－2y ．∵0≤x ≤1，∴0≤3－2y≤1，∴1≤y ≤32． 19．某班有48名学生会下象棋或围棋，会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多有9人，但不少于5人，则会下围棋的有19或20人．【解】 设会下围棋的有x 人，则会下象棋的有(2x －3)人．由题意，得5≤x＋(2x －3)－48≤9，解得563≤x≤20． ∵x 为正整数，∴x ＝19或20．20．输入一个数，按如图所示的程序进行运算．(第20题)规定：程序运行到“判断结果是否大于35”为一次运算．若运算进行了5次才停止，则x 的取值范围是4＜x≤5．【解】 第1次运算的结果是2x －3;第2次运算的结果是2×(2x－3)－3＝4x －9;第3次运算的结果是2×(4x－9)－3＝8x －21;第4次运算的结果是2×(8x－21)－3＝16x －45;第5次运算的结果是2×(16x－45)－3＝32x －93，∴⎩⎪⎨⎪⎧32x －93＞35，16x －45≤35，解得4＜x≤5．三、解答题(共60分)21．(12分)解下列不等式或不等式组：(1)3(x ＋2)－1≤11－2(x －2)(在数轴上表示它的解)．【解】 去括号，得3x ＋6－1≤11－2x ＋4．移项，合并同类项，得5x≤10，解得x≤2．在数轴上表示如解图所示．(第21题解)(2)x 2－1≤7－x 3． 【解】 去分母，得3x －6≤2(7－x)．去括号，得3x －6≤14－2x ．移项，得3x ＋2x≤14＋6．合并同类项，得5x≤20．解得x≤4．(3)⎩⎪⎨⎪⎧2（x －1）≤－1，2x ＋3＞1. 【解】 解2(x －1)≤－1，得x≤12． 解2x ＋3＞1，得x ＞－1．∴不等式组的解为－1＜x≤12． (4)⎩⎪⎨⎪⎧2x －6＜3x ，x ＋25－x －14≥0. 【解】 解2x －6＜3x ，得x ＞－6．解x ＋25－x －14≥0，得x≤13． ∴不等式组的解为－6<x≤13．22．(6分)(1)解不等式：8－5(x －2)<4(x －1)＋13．(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程2x －ax ＝3的解，求a 的值．【解】 (1)去括号，得8－5x ＋10<4x －4＋13，移项、合并同类项，得－9x<－9，两边都除以－9，得x>1．(2)由(1)知，不等式的最小整数解是x ＝2．把x ＝2代入方程2x －ax ＝3，得2×2－2a ＝3，解得a ＝0．5．23．(6分)试确定实数a 的取值范围，使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋13>0，x ＋5a ＋43>43（x ＋1）＋a恰好有两个整数解．【解】 解不等式x 2＋x ＋13>0，得x ＞－25． 解不等式x ＋5a ＋43>43(x ＋1)＋a ，得x ＜2a ． ∴原不等式组的解为－25<x<2a ． ∵该不等式组恰好有两个整数解，∴整数解为0和1，∴1＜2a≤2，∴12<a≤1． 24．(6分)我们用[a]表示不大于a 的最大整数，例如：[2．5]＝2，[3]＝3，[－2．5]＝－3；用〈a 〉表示大于a 的最小整数，例如：〈2．5〉＝3，〈4〉＝5，〈－1．5〉＝－1．解决下列问题：(1)[－4．5]＝__－5__，〈3．5〉＝__4__．(2)若[x]＝2，则x 的取值范围是2≤x<3；若〈y 〉＝－1，则y 的取值范围是－2≤y<－1．(3)已知x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3[x]＋2〈y 〉＝3，3[x]－〈y 〉＝－6，求x ，y 的取值范围． 【解】 (3)⎩⎪⎨⎪⎧3[x]＋2〈y 〉＝3，3[x]－〈y 〉＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧[x]＝－1，〈y 〉＝3， ∴－1≤x<0，2≤y<3．25．(8分)某学校为丰富学生的校园生活，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买1个足球和2个篮球共需210元．购买2个足球和6个篮球共需580元．(1)问：购买一个足球和一个篮球各需多少元？(2)根据学校的实际情况，需从该体育用品商店一次性购买足球和篮球共100个．要求购买足球和篮球的总费用不超过6000元，则这所学校最多可以购买多少个篮球？【解】 (1)设一个足球需x 元，一个篮球需y 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝210，2x ＋6y ＝580，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝80. 答：一个足球需50元，一个篮球需80元．(2)设可买篮球m 个，则买足球(100－m)个．由题意，得80m ＋50(100－m)≤6000，解得m≤3313， ∵m 为整数，∴m 最大可取33．答：这所学校最多可以购买33个篮球．26．(10分)已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－7－a ，x －y ＝1＋3a 的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围．(2)化简：|a －3|＋|a ＋2|．(3)在a 的取值范围中，当a 为何整数时，不等式2ax ＋x ＜2a ＋1的解为x ＞1?【解】 (1)解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－7－a ，x －y ＝1＋3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －3，y ＝－2a －4. ∵x 为非正数，y 为负数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，－2a －4＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a≤3，a>－2.∴a 的取值范围是－2＜a≤3．(2)∵－2＜a≤3，∴a －3≤0，a ＋2＞0，∴|a －3|＋|a ＋2|＝3－a ＋a ＋2＝5．(3)不等式2ax ＋x ＜2a ＋1可化简为(2a ＋1)x ＜2a ＋1．∵不等式的解为x ＞1，∴2a ＋1＜0，∴a ＜－12． 又∵－2＜a≤3，∴－2＜a ＜－12． ∵a 为整数，∴a ＝－1．27．(12分)某汽车销售公司经销某品牌A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．去年5月份A 款汽车的售价比前年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A 款汽车，前年销售额为100万元，去年销售额只有90万元．(1)去年5月份A 款汽车每辆售价是多少万元？(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B 款汽车，已知A 款汽车每辆进价为7．5万元，B 款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，则该汽车销售公司共有几种进货方案？(3)如果B 款汽车每辆售价为8万元，为打开B 款汽车的销路，公司决定每售出一辆B 款汽车，返还顾客现金a 万元．若要使(2)中所有的方案获利相同，则a 的值应是多少？此时哪种方案对公司更有利？【解】 (1)设去年5月份A 款汽车每辆售价是m 万元，则90m ＝100m ＋1，解得m ＝9． 经检验，m ＝9是原方程的解，且符合题意．答：去年5月份A 款汽车每辆售价是9万元．(2)设购进A 款汽车x 辆，则购进B 款汽车(15－x)辆．由题意，得99≤7．5x ＋6(15－x)≤105，解得6≤x≤10．∵x 为自然数，∴x ＝6或7或8或9或10，∴该汽车销售公司共有5种进货方案．(3)设总获利为W 元，则W ＝(9－7．5)x ＋(8－6－a)(15－x)＝(a －0．5)x ＋30－15a ．当a ＝0．5时，(2)中所有方案获利相同．此时总成本＝7．5x＋(6＋a)(15－x)＝(x＋97．5)万元，故当x取6时，总成本最少．故购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司更有利．1.1 认识三角形（一）A组1．如图，图中共有__6__个三角形，以AD为边的三角形有△ABD，△ADE，△ADC，以E为顶点的三角形有△ABE，△ADE，△AEC，∠ADB是△ABD的内角，△ADE的三个内角分别是∠ADE，∠AED，∠DAE．(第1题)(第2题)2．在“三角尺拼角实验”中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝__120°__．3．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为__40°__．4．(1)若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是(B)A． 14 B． 10 C． 3 D． 2(2)若长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，则x的值可以是(C)A． 4 B． 5 C． 6 D． 9(第5题)5．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A＝62°，∠AED ＝54°，则∠B的度数为(C)A． 54° B． 62°C． 64° D． 74°6．若一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶7，则这个三角形一定是(C)A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不能确定(第7题)7．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5．(1)求CD的取值范围．(2)若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．【解】(1)∵在△BCD中，BC＝4，BD＝5，∴1<CD<9．(2)∵AE∥BD，∠BDE＝125°，∴∠AEC＝55°，∴∠C＝180°－∠AEC－∠A＝70°．B组8．现有3 cm，4 cm，7 cm, 9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是(B)A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【解】四根木棒任取三根的所有组合为3，4，7；3，4，9；3，7，9和4，7，9，其中3，7，9和4，7，9能组成三角形．9．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为(D)A． 2a＋2b－2c B． 2a＋2bC． 2c D． 0【解】∵a＋b>c，∴a＋b－c>0，c－a－b<0，∴|a＋b－c|－|c－a－b|＝a＋b－c＋(c－a－b)＝a＋b－c＋c－a－b＝0．10．各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有多少个？【解】∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；6，6，8；6，7，8；6，8，8；7，7，8；7，8，8；8，8，8．故各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有20个．(第11题)11．在农村电网改造中，四个自然村分别位于如图所示的A，B，C，D处，现计划安装一台变压器，使到四个自然村的输电线路的总长最短，那么这个变压器应安装在AC，BD的交点E处，你知道这是为什么吗？【解】如图，另任取一点E′(异于点E)，分别连结AE′，BE′，CE′，DE′．在△BDE′中，DE′＋BE′>DB．在△ACE′中，AE′＋CE′>AC．∴AE′＋BE′＋CE′＋DE′>AC＋BD，即AE＋BE＋CE＋DE最短．数学乐园12．观察并探求下列各问题：(1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC__＜__AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)．(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．(第12题)【解】(1)BP＋PC＜AB＋AC．理由：三角形两边的和大于第三边．(2)△BPC的周长＜△ABC的周长．理由如下：如解图①，延长BP交AC于点M．∵PC<PM＋MC，∴BP＋PC<BM＋MC．∵BM<AB＋AM，∴BM＋MC<AB＋BC，∴BP＋PC＜AB＋AC，∴BP＋PC＋BC＜AB＋AC＋BC，即△BPC的周长＜△ABC的周长．（第12题解）(3)四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：如解图②，分别延长BP1，CP2交于点M．由(2)知，BM＋CM＜AB＋AC．又∵P1P2＜P1M＋P2M，∴BP1＋P1P2＋P2C＜BM＋CM＜AB＋AC，∴BP1＋P1P2＋P2C＋BC<AB＋AC＋BC，即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长．。

人教版数学八年级下册期中自我评估（本试卷满分120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. x的取值范围是（）A. x≥-3B. x＞-3C. x≤-3D. x≠-32. 下列各组数中是勾股数的是（）A. 5，12，13B. 4，5，6C. 6，8，12D. 1，13. 在□ABCD中，∠A比∠B小40°，那么∠C的度数是（）A. 40°B. 70°C. 110°D. 140°4. 下列运算错误的是（）A. B.C. D. (2=35. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等D．测量其中三个角是否都为直角6. 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A. ∠A︰∠B︰∠C＝3︰4︰5B. ∠C＝∠A-∠BC. a2+b2＝c2D. a︰b︰c＝6︰8︰107. 已知n n的最小值是（）A. 3B. 5C. 15D. 258. 如图1，已知钓鱼竿AC的长为10 m，露在水面上的鱼线BC长为6 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'的长为8 m，则BB'的长为（）A. 1 mB. 2 mC. 3 mD. 4 m图1 图29. 如图2，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，下列说法正确的是（）A. 当AC⊥BD时，四边形EFGH是菱形B. 当AC＝BD时，四边形EFGH是矩形C. 当四边形ABCD是平行四边形时，四边形EFGH是矩形D. 当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是菱形10. 将图3-①中的菱形纸片沿对角线剪成4个三角形，拼成如图3-②的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）.若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则（a+b）2=（）A. 25B. 24C. 13D. 12①②图3二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=1，AC=2，则AB的长为.12. 比较大小：-17_____-25.（填“＞”“=”或“＜”）13. 如图4，四边形ABCD为菱形，四边形AOBE为矩形，点O，C，D的坐标分别为（0，0），（2，0），（0，1），则点E的坐标为．图4 图514. 已知x＝3+1，y＝3-1，则x2-y2的值为.15. 如图5，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OM⊥AC，交BC于点M，过点M作MN⊥BD，垂足为N，则OM+MN的值为.16. 若正方形ABCD的边长为12，E为BC边上一点，BE=5，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为.三、解答题（本大题共8小题，共66分）17.（每小题3分，共6分）计算：（1）3 45335÷⨯；（2）11 18+4-48+227.18.（6分）如图6，□ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是直线AC上的两点，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.图619.（6分）如图7，在△ABC 中，BC 的垂直平分线DE 分别交AB ，BC 于点D ，E ，且BD 2-DA 2=AC 2.（1）求证：∠A =90°；（2）若AB=8，AD ︰BD=3︰5，求AC 的长.图720. （8分）已知实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图8所示. （1）化简： 2a = ；()21b -= ；（2）化简：()()222+1+-a b a b +.图821. （8分）如图9，在□ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于点G .（1）求证：四边形AGBD 是平行四边形；（2）若四边形AGBD 是矩形，则四边形BEDF 是什么特殊四边形？请证明你的结论.图922.（8分）如图10，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上，AE=AD ，EC 与BD 相交于点G ，与AD 相交于点F ，AF=AB ． （1）求证：BD ⊥EC ；（2）连接AG ，求证：EG-DG=2AG ．图1023.（10分）小明在解决问题：已知a 2+3，求2a 2﹣8a +1的值，他是这样分析与解答的：因为a 2+3()()2-32+32-3=2-3a -2＝3 所以(a -2)2＝3，即a 2﹣4a +4＝3. 所以a 2-4a ＝-1.所以2a 2-8a +1＝2（a 2-4a ）+1＝2×（-1）+1＝-1. 请根据小明的分析过程，解决如下问题： （12+1＝ ； （22+13+24+3…40+39； （3）若a 5-22a 2-8a +1的值.24. （14分）实践发现对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点N 处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图11-①. （1）折痕BM____________（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：____________；进一步计算出∠MNE=____________°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图11-②，则∠GBN=____________°；拓展探究（3）如图11-③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接A T.求证：四边形SATA'是菱形；解决问题（4）如图11-④，在矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，则线段AT的取值范围是__________.图11期中自我评估答案详解10. A 解析：由题意，得4个三角形都是直角三角形，四边形ABCD 和四边形EFGH 都是正方形.因为正方形ABCD 的面积为13，所以a 2+b 2=AD 2=13 ①. 因为中间空白处的四边形EFGH 的面积为1，所以（b-a ）2=1.答案速览一、1. A 2. A 3. B 4. C 5. D 6. A 7. C 8. B 9. D 10. A 二、11.3 12. ＞ 13.（-2，-1） 14. 43 15. 24516.6013或132三、解答题见“答案详解”所以a 2-2ab+b 2=1 ②. ①-②，得2ab=12.所以（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=13+12=25. 故选A. 16.6013或132解析：因为四边形ABCD 是正方形，所以∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°. 所以AE=22AB BE +=22125+=13.当点F 在CD 边上时，如图1.在Rt △ABE 和Rt △BCF 中，AB=BC ，AE=BF ，所以Rt △ABE ≌Rt △BCF （HL ）. 所以∠BAE=∠CBF.因为∠BAE+∠AEB=90°，所以∠CBF+∠AEB=90°. 所以∠BME=90°，所以BF ⊥AE. 所以S △ABE =12AB •BE=12AE •BM.所以BM=•AB BE AE =12351⨯=6013.当点F 在AD 边上时，如图2，连接EF.在Rt △ABE 和Rt △BAF 中，AE=BF ，AB=BA ，所以Rt △ABE ≌Rt △BAF （HL ）. 所以AF=BE.所以四边形ABEF 是矩形.所以BM=12AE=132. 综上，BM 的长为6013或132.三、17. 解：（1）原式=335335÷5353； （2）原式=332+22-43+9=35352-9.18. 证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ，OB ＝OD .因为AE＝CF，所以OA+AE＝OC+ CF，即OE＝OF.所以四边形BFDE是平行四边形.19. （1）证明：连接CD.因为DE垂直平分BC，所以CD=DB.因为BD2-DA2=AC2，所以CD2-DA2=AC2.所以CD2=DA2+AC2.所以△ACD是直角三角形，且∠A=90°.（2）解：因为AB=8，AD︰BD=3︰5，所以AD=3，BD=5.所以DC=5.所以20. （1）-a 1-b（2）由数轴可得-2＜a＜-1，0＜b＜1，所以a+1＜0，a+b＜0.=-（a+1）+b+（a+b）=-a-1+b+a+b=2b-1.21.（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.所以AD∥BG.又因为AG∥BD，所以四边形AGBD是平行四边形.（2）解：四边形DEBF是菱形.证明如下：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB=CD.因为E，F分别是AB，CD的中点，所以BE=12AB，DF=12CD.所以BE=DF，BE∥DF.所以四边形DFBE是平行四边形.因为四边形AGBD是矩形，E为AB的中点，所以AE=BE=DE.所以□DEBF是菱形.22.（1）证明：因为四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，所以∠EAF=∠DAB=90°. 在△AEF和△ADB中，AE=AD，∠EAF=∠DAB，AF=AB，所以△AEF≌△ADB（SAS）. 所以∠AEF=∠ADB.所以∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90°.所以∠EGB=90°，即BD⊥EC.（2）证明：如图3，在线段EG上取点P，使EP=DG.在△AEP与△ADG中，AE=AD，∠AEP=∠ADG，EP=DG ，所以△AEP≌△ADG（SAS）.所以AP=AG，∠EAP=∠DAG.所以∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP=∠DAE=90°.所以△PAG为等腰直角三角形.所以AP2+AG2=PG2，即2 AG2=PG2.所以PG=2AG.所以EG-DG=EG-EP=PG=2AG.23. 解：（1）2-1（2）原式=2-1+3-2+4-3+…+40-39=40-1=210-1.（3）因为a＝15-2＝5+2，所以a-2=5.所以(a-2)2＝5，即a2﹣4a+4＝5.所以a2-4a＝1.所以2a2-8a+1＝2（a2-4a）+1＝2×1+1＝3.24.解：（1）是等边三角形60【解析】由题意，知EF垂直平分AB，所以AN=BN，AE=BE，∠NEA=90°.再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，得BM垂直平分AN，∠BNM =∠BAM =90°.所以AB=BN=AN.所以△ABN是等边三角形.所以∠EBN=60°.所以∠ENB=30°.所以∠MNE=90°-30°=60°.（2）15 【解析】由折叠，知∠ABG=∠HBG=45°，所以∠GBN=∠ABN-∠ABG=15°.（3）证明：由折叠，知ST垂直平分AA'，所以A'O=AO，AA'⊥ST.因为AD∥BC，所以∠SAO=∠TA'O，∠ASO=∠A'TO.所以△ASO≌△A'TO.所以SO=TO.所以四边形SATA'是平行四边形.又AA'⊥ST，所以□SATA'是菱形.图3（4）265≤AT≤10 【解析】由折叠，知A'T=A T.当点S与点D重合时，AT值最小，此时A'D=AD=26.在Rt△A'DC中，DC=10，则A'C=24.在Rt△A'TB中，BT=10-AT，BA'=26-24=2，由勾股定理，得BT2+BA'2=A'T2，即（10-AT）2 +4=A T2，解得AT=26 5.当点T与点B重合时，AT有最大值为10.所以265≤AT≤10.。

期末综合自我评价一、选择题(每小题3分，共30分)1．函数y ＝1x －1的自变量x 的取值范围是(D )A. x >1B. x <－1C. x ≠－1D. x ≠12．一次函数y ＝kx －3(k >0)的大致图象为(C )3．若正比例函数的图象经过点(－1，2)，则这个图象必经过点(D ) A ．(1，2) B ．(－1，－2) C ．(2，－1) D ．(1，－2)4．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(0，－3)与(1，5)，则这个一次函数的表达式是(A ) A ．y ＝8x －3 B ．y ＝－8x －3 C ．y ＝8x ＋3 D ．y ＝－8x ＋35．若直线l 与已知直线y ＝2x ＋1关于y 轴对称，则直线l 的表达式为(B ) A ．y ＝－2x －1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝－12x ＋16．打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时(洗衣机内无水)，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y (L)与时间x (min)之间满足某种函数关系，其函数图象大致为(D )7．已知一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，且k ≠0)，x 与y 的部分对应值如下表所示，x －2 －1 0 1 2 3 y321－1－2那么不等式kx ＋b ＜0的解是(D ) A ．x ＜0 B ．x ＞0 C ．x ＜1 D ．x ＞18．如图，已知一次函数y ＝－12x ＋2的图象上有两点A ，B ，点A 的横坐标为2，点B 的横坐标为a (0<a <4且a ≠2)，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D 两点，△AOC ，△BOD 的面积分别为S 1，S 2，则S 1，S 2的大小关系是(A )(第8题)A. S 1>S 2B. S 1＝S 2C. S 1<S 2D. 无法确定9．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是(D )(第9题)A.⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x －2y －4＝0B.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4＝0，x －2y －4＝0C.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4＝0，x ＋2y －4＝0D.⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x ＋2y －4＝0 10．如图①，在长方形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，△MNR 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图②所示，那么当x ＝9时，点R 应运动到(C ),(第10题))A ．点N 处B ．点P 处C ．点Q 处D ．点M 处【解】 点R 从点N 运动到点P 时，y 随x 的增大而增大；当点R 从点P 运动到点Q 时，y 不变；当点R 从点Q 运动到点M 时，y 随x 的增大而减小．故当x ＝9时，点R 应运动到点Q 处．二、填空题(每小题3分，共30分)11. 在一次函数y ＝(2m －6)x ＋5中，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是m <3．12．已知自变量为x 的函数y ＝mx ＋3－m 是正比例函数，则该函数的表达式为y ＝3x ． 13．若y －1与x －3成正比例，且当x ＝4时，y ＝－1，则y 关于x 的函数表达式是y ＝－2x ＋7． 14. 若点(1，m )，(3，n )在函数y ＝－13x ＋3的图象上，则m ，n 的大小关系是m >n ．15．已知关于x ，y 的一次函数y ＝(m －1)x ＋m －2的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，那么m 的取值范围是1<m <2．16．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(0，1)，且y 随x 的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数表达式：y ＝2x ＋1(答案不唯一)．17．已知一次函数y ＝－x ＋a 和y ＝x ＋b 的图象交于点(m ，8)，则a ＋b ＝__16__．18. 如图是某工程队在“村村通”工程中，修筑的公路长度y (m)与时间x (天)之间的关系图象．根据图象提供的信息，可知该公路的长度是__504__m.,(第18题)) ,(第19题))19．如图，点Q 在直线y ＝－x 上运动，点A 的坐标为(1，0)，当线段AQ 最短时，点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－12． 20．已知正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按照如图所示的方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝kx ＋b(k ＞0)和x 轴上，若点B 1(1，1)，B 2(3，2)，则点B 3的坐标是(7，4)．(第20题)【解】 ∵点B 1(1，1)，B 2(3，2)， ∴点A 1(0，1)，A 2(1，2)，∴直线y ＝kx ＋b(k ＞0)为y ＝x ＋1，∴A 3(3，4)．易得B n 的横坐标为A n ＋1的横坐标，纵坐标为A n 的纵坐标， A n (2n －1－1，2n －1)， ∴B n 的坐标为(2n －1，2n －1)． ∴B 3的坐标是(23－1，22)，即(7，4)． 三、解答题(共40分)21．(6分)直线y ＝2x ＋2与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，求线段AB 的长． 【解】 令x ＝0，则y ＝2，∴点B 的坐标为(0，2)． 令y ＝0，则x ＝－1，∴点A 的坐标为(－1，0)． ∴AB ＝22＋12＝ 5.(第22题)22．(8分)如图，在直角坐标系中，点A 在第一象限，点B 的坐标为(3，0)，OA ＝2，∠AOB ＝60°.(1)求点A 的坐标；(2)若直线AB 交y 轴于点C ，求△AOC 的面积． 【解】 (1)过点A 作AM ⊥OB 于点M . ∵∠AOM ＝60°，∴∠OAM ＝30°， ∴OM ＝12OA ＝12×2＝1.∴AM ＝OA 2－OM 2＝22－12＝ 3.∴点A 的坐标为(1，3)．(2)设直线AB 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，把点A (1，3)，B (3，0)的坐标代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝3，3k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－32，b ＝3 32，∴y ＝－32x ＋3 32. 当x ＝0时，y ＝3 32，∴点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，3 32.∴S △AOC ＝12×1×3 32＝3 34.23．(8分)在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x (h)时，汽车与甲地的距离为y (km)，y 与x 的函数关系如图所示．(第23题)根据图象信息，解答下列问题：(1)这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由； (2)求返程中y 与x 之间的函数表达式； (3)求这辆汽车从甲地出发4 h 时与甲地的距离． 【解】 (1)这辆汽车往、返速度不同．∵往、返路程相等，去时用了2 h ，返回时用了2.5 h ， ∴往、返速度不同．(2)设返程中y 与x 之间的表达式是y ＝kx ＋b ， 把(2.5，120)，(5，0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2.5k ＋b ＝120，5k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－48，b ＝240. ∴y ＝ －48x ＋240(2.5≤x ≤5). (3)当x ＝4时，y ＝－48×4＋240＝48.即这辆汽车从甲地出发4 h 时与甲地的距离为48 km.24．(8分)设关于x 的一次函数y ＝a 1x ＋b 1与y ＝a 2x ＋b 2，则称函数y ＝m (a 1x ＋b 1)＋n (a 2x ＋b 2)(其中m ＋n ＝1)为这两个函数的生成函数．(1)当x ＝1时，求函数y ＝x ＋1与y ＝2x 的生成函数的值；(2)若函数y ＝a 1x ＋b 1与y ＝a 2x ＋b 2的图象的交点为P ，判断点P 是否在这两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．【解】 (1)当x ＝1时，y ＝m (1＋1)＋n ×2＝2m ＋2n ＝2. (2)点P 在这两个函数的生成函数的图象上．理由如下： 设点P 的坐标为(a ，b )． ∵a 1·a ＋b 1＝b ，a 2·a ＋b 2＝b ，∴当x ＝a 时，y ＝m (a 1·a ＋b 1)＋n (a 2·a ＋b 2)＝mb ＋nb ＝b (m ＋n )＝b . ∴点P 在这两个函数的生成函数的图象上．25．(10分)阅读：我们知道，在数轴上，x ＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x ＝1表示一条直线．我们还知道，以二元一次方程2x －y ＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y ＝2x ＋1的图象，它也是一条直线，如图①.观察图①可以得出：直线x ＝1与直线y ＝2x ＋1的交点P 的坐标(1，3)就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x －y ＋1＝0的解，所以这个方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.在平面直角坐标系中，x ≤1表示一个平面区域，即直线x ＝1以及它左侧的部分，如图②；y ≤2x ＋1也表示一个平面区域，即直线y ＝2x ＋1以及它下方的部分，如图③.(第25题)回答下列问题：(1)在平面直角坐标系中，用作图的方法求出方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2x ＋2的解；(2)用阴影表示⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，y ≤－2x ＋2，y ≥0，并求出阴影部分的面积．【解】 (1)在坐标系中分别作出直线x ＝－2和直线y ＝－2x ＋2，如解图①所示，这两条直线的交点是P(－2，6)．∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2x ＋2的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6.(第25题解①)(2)如解图②中的阴影所示．(第25题解②)∴S 阴影＝12×3×6＝9.期末综合自我评价 (这是单页眉，请据需要手工删加)一、选择题(每小题2分，共20分)(第1题)1．将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数是(C ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°2．将不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x >－1的解表示在数轴上，正确的是(D )3．下列定理中，没有逆定理的是(B ) A. 两直线平行，内错角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 在一个三角形中，等边对等角D. 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 4．用尺规作图不能作出唯一直角三角形的是(B ) A. 已知两直角边B. 已知两锐角C. 已知一直角边和一锐角D. 已知斜边和一直角边5．在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40°方向，那么这艘船位于这个灯塔的(B)A．南偏西50°方向B．南偏西40°方向C．北偏东50°方向D．北偏东40°方向(第6题)6．如图，两条平行的直线AB和CD被直线MN所截，交点分别为E，F，点G为射线FD上的一点，且EG＝EF.若∠EFG＝45°，则∠BEG等于(B)A．30°B．45°C．60°D．90°7．关于x的不等式2x－a≤－1的解如图所示，则a的值是(D)(第7题)A. 0B. －3C. －2D. －1(第8题)8．一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图所示，则下列结论：①k<0；②a>0；③b>0；④当x<3时，y1<y2.其中正确的有(C)A．0个B．1个C．2个D．3个9．直线y＝x－1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有(C)A．4个B．5个C．7个D．8个【解】如解图中小实点，共有7个．,(第9题解))10．如图，在一次越野赛跑中，当小明跑了9 km时，小强跑了5 km，此后两人匀速跑的路程s(km)和时间t(h)的关系如图所示，则由图上的信息可知s1的值为(B)(第10题)A．29 km B．21 kmC．18 km D．15 km【解】∵小明开始跑了9 km，∴图象过(0，9)．设小明跑的路程s和时间t之间的函数表达式是s＝at＋9，同理，设小强跑的路程s和时间t之间的函数表达式是s＝kt＋5.根据图象可知，当t ＝1时，s 的值相等， ∴a ＋9＝k ＋5， ∴a ＝k －4，即小明：s ＝(k －4)x ＋9，小强：s ＝kx ＋5.根据图象可知，小明跑3 h 时和小强跑2 h 时路程都是s 1， ∴2k ＋5＝3(k －4)＋9＝s 1， 解得k ＝8，∴k －4＝4， ∴s 1＝2k ＋5＝2×8＋5＝21(km)． 二、填空题(每小题3分，共30分)11. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2≥－x ，x ≤2的解是－12≤x ≤2．12．将点P (－2，y )先向下平移4个单位，再向左平移2个单位后得到点Q (x ，－1)，则x ＋y ＝－1．13. 若将点A (m ，2)向右平移6个单位，所得的像与点A 关于y 轴对称，则m ＝__－3__． 14．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式c 2－a 2－b 2＋|a －b |＝0，则△ABC 的形状为等腰直角三角形．15．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是BC 边上的中线，则AD 的取值范围是1＜AD ＜4．(第16题)16. 如图，已知直线AD ，BC 交于点E ，且AE ＝BE ，欲证明△AEC ≌△BED ，需添加的条件可以是CE ＝DE (答案不唯一)(只填一个即可)．17．线段MN 平行于x 轴，且MN 的长度为5，若M (2，－2)，那么点N 的坐标是(7，－2)或(－3，－2)．18．某学校为部分外地学生免费安排住宿，如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有1间房还余一些床位．该校住宿的学生有37或42人．【解】 设有x 间房，则0<5x ＋12－8(x －1)<8，解得4<x <203，∴x ＝5或6，∴有5×5＋12＝37(人)或6×5＋12＝42(人)．(第19题)19．如图所示，某警察在点A(－2，4)接到任务，前去阻截在点B(－10，0)的劫包摩托车．劫包摩托车从点B 处沿x 轴向原点方向匀速行驶，警察立即拦下一辆摩托车前去阻截．若两辆摩托车行的驶速度相等，则警察最快截住劫包摩托车时的坐标为(－5，0)．【解】 由题意，设在x 轴上点P(x ，0)处截住劫包摩托车，则AP ＝BP ＝x －(－10)＝x ＋10，∴(x ＋10)2＝[x －(－2)]2＋42，解得x ＝－5.∴P(－5，0)．(第20题)20．如图，在△ABA 1中，∠B ＝20°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到点A 2，使得A 1A 2＝A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ；…，按此做法进行下去，锐角∠A n 的度数为80°2－．【解】 由∠B ＝20°，AB ＝A 1B 得∠BA 1A ＝180°－20°2＝80°.∵A 1A 2＝A 1C ，∴∠A 1CA 2＝∠A 1A 2C ，∴由∠BA 1A ＝∠A 1CA 2＋∠A 1A 2C ，得∠A 1A 2C ＝80°2，同理，∠A 2A 3D ＝80°4，…，∠A n ＝80°2n －1.三、解答题(共50分)21．(6分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2（x －1）≤3x ＋1，x 3＜x ＋14，并用数轴表示它的解．【解】 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －2≤3x ＋1，4x ＜3（x ＋1），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－3，x ＜3.∴不等式组的解为－3≤x ＜3. 它的解在数轴上表示如下：(第21题解)(第22题)22．(6分)如图，BE ⊥AE ，CF ⊥AE ，垂足分别是E ，F ，ME ＝MF.求证：AM 是△ABC 的中线． 【解】 ∵BE ⊥AE ，CF ⊥AE ， ∴∠E ＝∠CFM ＝90°.∵∠BME ＝∠CMF ，ME ＝MF ， ∴△CFM ≌△BEM (ASA )． ∴BM ＝CM ， ∴M 是BC 的中点． ∴AM 是△ABC 的中线．(第23题)23．(6分)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，点A′的坐标是(－2，2)．现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B，C的对应点分别是B′，C′.(1)请画出平移后的像△A′B′C′(不写画法)，并直接写出点B′，C′的坐标：B′(－4，1)，C′(－1，－1)；(2)若△ABC内部一点P的坐标为(a，b)，则点P的对应点P′的坐标是(a－5，b－2)．24．(6分)如图是第七届国际数学教育大会的会徽．它的主体图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰直角三角形，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A8A9＝1.(第24题)(1)请先把图中的8条线段的长度计算出来，填在下面的表格中：OA2OA3OA4OA5O A6OA7OA8OA92 3 2 5 6 7 2 2 3(2)设△OA 1A 2，△OA 2A 3，△OA 3A 4，…，△OA 8A 9的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，S 8，计算S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 28的值．【解】 (2)S 1＝1×12＝12，S 2＝1×22＝22，S 3＝1×32＝32，…，S 8＝1×82＝82，∴S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 28＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫322＋…＋⎝⎛⎭⎫822＝14(1＋2＋3＋…＋8)＝9.(第25题)25．(8分)为了鼓励小王勤做家务，培养他的劳动意识，小王每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小王每月的家务劳动时间为x(h)，该月可得(即下月他可获得)的总费用为y 元，y (元)和x (h)之间的函数图象如图所示．(1)根据图象，请你写出小王每月的基本生活费为多少元．父母是如何奖励小王做家务劳动的？ (2)写出当0≤x ≤20时，相对应的y 与x 之间的函数表达式；(3)若小王5月份希望有250元费用，则小王4月份需做家务多少时间？ 【解】 (1)小王父母给小王的每月基本生活费为150元.如果小王每月家务劳动时间不超过20 h ，每小时获奖励2.5元； 如果小王每月家务劳动时间超过20 h ，那么20 h 按每小时2.5元奖励，超过部分按每小时4元奖励(注：答案不唯一，只要言之有理即可)．(2)y ＝2.5x ＋150.(3)当x ≥20时，可求得y 与x 之间的函数表达式是y ＝4x ＋120. 由题意，得4x ＋120＝250， 解得 x ＝32.5.答：小王4月份需做家务32.5 h.26．(9分)某电脑公司经销甲种型号电脑，随着科技的进步，电脑价格不断下降，今年3月份的甲种电脑售价比去年同期每台下降1000元．如果卖出相同数量的甲种电脑，去年的销售额为10万元，今年的销售额只有8万元．(1)今年3月份甲种电脑每台售价多少元？(2)为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？(3)如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a 元，要使(2)中所有方案获利相同，a 的值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？【解】 (1)设今年3月份甲种电脑每台售价x 元，则100000x ＋1000＝80000x ，解得x ＝4000.经检验，x ＝4000是原方程的根， ∴今年3月份甲种电脑每台售价4000元．(2)设购进甲种电脑x 台，则48000≤3500x ＋3000(15－x )≤50000，解得6≤x ≤10. ∵x 的正整数解为6，7，8，9，10， ∴共有5种进货方案． (3)设总获利为W 元，则W ＝(4000－3500)x ＋(3800－3000－a )(15－x )＝(a －300)x ＋12000－15a .当a ＝300时，(2)中所有方案获利相同，此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台对公司更有利． 27．(9分)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是长方形，点A ，C ，D 的坐标分别为A (9，0)，C (0，4)，D (5，0)，点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿O →C →B →A 运动，点P 的运动时间为t (s)．(第27题)(1)当t ＝2时，求直线PD 的表达式；(2)当点P 在BC 上，OP ＋PD 有最小值时，求点P 的坐标；(3)当t 为何值时，△ODP 是腰长为5的等腰三角形(直接写出t 的值)? 【解】 (1)当t ＝2时，点P 的坐标为(0，2)． 设直线PD 的表达式为y ＝kx ＋b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，5k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－25，b ＝2. ∴y ＝－25x ＋2.(2)作点O 关于直线BC 对称的对称点O′，此时O ′(0，8)，连结O′D 交BC 于点P ，此时OP ＋PD 的值最小．设直线O′D 的表达式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝8，5m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－85，n ＝8.∴y ＝－85x ＋8.令y ＝4，则x ＝2.5，∴P (2.5，4)． (3)t ＝6或t ＝7或t ＝12或t ＝14.。

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，无理数是（）A. 2.5B. √2C. 1/3D. 0.333...2. 若a=3，b=-2，则下列各式中，正确的是（）A. a+b=5B. a-b=5C. a×b=-6D. a÷b=-1.53. 下列各图中，图形的面积最大的是（）A. 正方形B. 长方形C. 三角形D. 梯形4. 下列各数中，既是质数又是合数的是（）A. 17B. 18C. 19D. 205. 已知x²-5x+6=0，则x的值为（）A. 2，3B. 1，6C. 1，5D. 2，4二、填空题（每题5分，共25分）6. 计算：√(25) + √(16) - √(9) = _______7. 若a=2，b=3，则a²b³的值为 _______8. 已知三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，若∠A=45°，∠B=60°，则∠C= _______9. 在直角坐标系中，点P的坐标为(-3,2)，则点P关于x轴的对称点坐标为_______10. 已知正方形的边长为4，则其面积为 _______三、解答题（每题10分，共30分）11. （1）计算：3√(27) - 2√(16)（2）若a=5，b=3，求代数式a²-2ab+b²的值12. 已知长方形ABCD的长为8cm，宽为6cm，求长方形ABCD的面积和周长13. 在直角坐标系中，点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(-4,-1)，求线段AB的长度四、简答题（每题10分，共20分）14. 简述勾股定理的内容及其证明方法15. 简述一元一次方程的解法五、附加题（20分）16. 已知三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，若∠A=30°，∠B=75°，求∠C 的度数17. 已知等腰三角形ABC的底边BC=8cm，腰AB=AC=6cm，求三角形ABC的周长。

2024--2025学年华东师大版数学八年级上册期中自我评估试卷一、单选题1．下列实数中，是无理数的是（）ABC ．169D 2．下列运算正确的是（）A ．236a a a ⋅=B ．33a a a ÷=C ．()325a a =D ．()2242a b a b =3．下列各式计算正确的是（）A ．3=B4=±C 5=-D2=-4．下列式子中，多项式24x -的一个因式是（）A ．xB ．1x -C ．2x -D ． 4x -5．如图，已知线段OA ，OB 的长度分别是1OA ，OB 的长为半径画弧，与数轴负半轴相交，交点对应的数字分别记为a ，b ，则a b -的值为（）A ．1B ．1-C ．1-D ．1+6．如果（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2＝4，则一定成立的是（）A ．a 是b 的相反数B ．a 是﹣b 的相反数C ．a 是b 的倒数D ．a 是﹣b 的倒数7．在学习乘法公式时，课本上通过计算图形面积来验证公式的正确性．下列图形中，不能借助图形面积验证乘法公式()()22a b a b a b +-=-的是（）A ．B ．C ．D ．8．小亮在做“化简()()()23263516x k x x x x +⋅+-⋅+++，并求6x =时的值”一题时，错将6x =看成了6x =-，但结果却和正确答案一样．由此可知k 的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．59．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，BPAP的值接近则黄金比（）（参考数据：22.1 4.41=，22.2 4.84=，22.3 5.29=，22.4 5.76=）A ．在0.50到0.55之间B ．在0.55到0.60之间C ．在0.60到0.65之间D ．在0.65到0.70之间10．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x 个球放入乙袋，再从乙袋中取出(22)x y +个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y 个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则+2x y 的值等于（）A ．128B ．64C ．32D ．16二、填空题11大，且比3小的无理数．12()220b -=，则a b +的值为．13．如图，窗框由一个长方形和一个半圆组成，若要把窗框形状设计成一个新的长方形，面积保持不变，且底边长仍为a ，则高度应为．14．【跨学科】“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为21600p v w =，其中p w 为风压（单位：2kN/m ），v 为风速（单位：m/s ）．当风压为20.16 kN/m 时，估计风速为m/s ．15．【新考法】为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m ，n 的正方形，其中重叠部分B 为池塘，阴影部分1S ，2S 分别表示八年级和九年级的实践活动基地面积．若8m n +=，15mn =，则12S S -=．16．如图①是一个棱长为a 的正方体中挖去一个棱长为b 的小正方体()a b >，将剩余部分进行切割得到如图②所示的三个长方体．通过计算剩余部分的体积，可对多项式33a b -进行因式分解，即33a b -=．三、解答题17．（1）计算：2+（2）已知22210a b +-=，求代数式()()22a b b a b -+＋的值．18．下面是小禾同学对多项式()()2222y x x y +-+进行因式分解的过程，请仔细阅读并解答后面的问题．解：原式()()()()2222y x x y y x x y ⎡⎤⎡⎤⎣⎦=+++-+⎣+⎦第一步()()2222y x x y y x x y =++++-+第二步()()333x y x y =++第三步()()33x y x y =++第四步(1)在上述过程中，第一步依据的乘法公式是；(2)第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为；(3)第步出现错误，错误的原因是；(4)因式分解正确的结果为．19．【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务．我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下：已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a ，b ，c ，若a b c ++能被3整除．求证：这个三位数也能被3整除．证明：根据题意，得这个三位数为10010a b c ++．()()10010999a b c a b a b c ++=++++()()3333a b a b c =++++．∵a b c ++能被3整除，()3333a b +也能被3整除，∴这个三位数能被3整除．任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a ，b ，c ，d ，若+++a b c d 能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除．20．如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．(1)求这个魔方的棱长；(2)图①中阴影部分是一个正方形ABCD ，它的面积是魔方侧面EF 面积的一半，求正方形ABCD 的边长a ．(3)把正方形ABCD 放到数轴上，如图②，使得点A 与1-重合，那么点D 在数轴上表示的数为．21．聪聪和同学们用2张A 型卡片、2张B 型卡片和1张C 型卡片拼成了如图所示的长方形．其中A 型卡片是边长为a 的正方形；B 型卡片是长方形；C 型卡片是边长为b 的正方形．(1)请用含a 、b 的代数式分别表示出B 型卡片的长和宽；(2)如果5a =，3b =，请求出他们拼成的这个长方形的面积．22．先观察等式，再解答问题：11111122=+-=11111236=+-=；111113412=+-=；……(1)==；(2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n 的式子表示的等式；（n 为正整数）(3)23．借助“形”可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而结合“数”又可以更好地探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题：【自主探究】（1）用不同的方法计算图①中阴影部分的面积，得到等式：22a b +=．（2）图②是由两个边长分别为a ，b ，c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，并写出a ，b ，c 之间的关系．【迁移应用】（3）在直角ABC V 中，90C ∠=︒，三边长分别为a ，b ，c （c 为最长边），1448a b ab +==，，求c 的值．（4）如图③，在五边形ABCDE 中，AC BD ⊥，垂足为N ，2==AC BD ，CN a =，BN b =，BCN △周长为2，四边形AEDN 是长方形，求长方形AEDN 的面积．。

人教版八年级上册自我综合评价（二）(719)1.下列说法错误的是（）A.全等三角形的对应边相等B.全等三角形的对应角相等C.若两个三角形全等且有公共顶点，则公共顶点就是它们的对应顶点D.若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角2.如图所示，AC，BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，则图中与△ABC全等的三角形共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图所示，P是∠BAC内一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PE=PF，则直接得到△PEA≌△PFA的理由是（）A.HLB.ASAC.AASD.SAS4.如图,已知∠1=∠2,欲证△ABD≌△ACD,还需从下列条件中补选一个,则错误的选项是（）A.∠ADB=∠ADCB.∠B=∠CC.DB=DCD.AB=AC5.如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点．若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C 的度数为（）A.15∘B.20∘C.25∘D.30∘6.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3等于（）A.90∘B.120C.135∘D.150∘7.如图,已知△ABC≌△ADE,若∠B=42∘,∠C=90∘,∠EAB=40∘,则∠BAD=∘.8.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠CAB=50∘，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E,F；②分别以点E，F为圆心，大EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC 于12的度数为．9.如图，已知AC=FE，BC=DE，点A,D,B,F在同一直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是(填一个即可)．10.如图,要测量河岸相对两点A，B之间的距离，从B点沿与AB成90∘角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续向前走50米到D处，在D处转90∘沿DE方向再走17米到达E处，这时A，C，E三点在同一直线上，则A，B之间的距离为米．11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，则点P的坐标为．12.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．若△DBE的周长为20，则AB=．13.已知：如图C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧,AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．14.如图，AC//BE，点D在BC上，AB=DE，∠ABE=∠CDE．求证：DC=BE−AC．15.如图，已知△ABC的周长是20cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=4cm．求△ABC的面积．16.如图，BE，CF都是△ABC的高，在BE上截取BD=AC，在CF及其延长线上截取CG=AB，连接AG，AD．求证：(1)△BAD≌△CGA；(2)AD⊥AG．参考答案1.【答案】:C2.【答案】:D3.【答案】:A4.【答案】:C【解析】:当添条件A时,可用“ASA”证明△ABD≌△ACD;当添条件B时,可用“AAS”证明△ABD≌△ACD;当添条件D时,可用“SAS”证明△ABD≌△ACD;当添条件C时,不能证明△ABD≌△ACD．5.【答案】:D【解析】:由条件可知∠ADB=∠EDB=∠CDE=60∘，且∠DEB=∠DEC=90∘，∴∠C=30∘.6.【答案】:C7.【答案】:88【解析】:因为△ABC≌△ADE,所以∠D=∠B=42∘.又∠C=90∘,所以∠E=90∘，所以∠EAD=180∘−42∘−90∘=48∘.这时∠BAD=40∘+48∘=88∘.8.【答案】:65∘9.【答案】:答案不唯一，如∠C=∠E或AB=FD等10.【答案】:17【解析】:在△ABC和△EDC中，{∠ABC =∠EDC =90∘，BC =DC ，∠ACB =∠ECD ，∴△ABC ≌△EDC(ASA),∴AB =ED =17米．11.【答案】:(4，0)或(4，4)或(0，4)12.【答案】:20【解析】:由角平分线的性质可得CD =DE ．易证Rt △ACD ≌Rt △AED ,则AC =AE ，DE +DB =DC +DB =BC =AC =AE ，故DE +DB +EB =AE +EB =AB ．13.【答案】:∵AB ∥ED ，∴∠B =∠E ． 在△ABC 和△CED 中，∵{AB =CE ，∠B =∠E ，BC =ED ，∴△ABC ≌△CED ，∴AC =CD14.【答案】:证明：∵AC//BE ，∴∠C =∠DBE ，且∠A +∠ABE =180∘.∵∠BDE +∠CDE =180∘，∠ABE =∠CDE ，∴∠A =∠BDE ．在△ABC 和△DEB 中，{∠C =∠DBE,∠A =∠BDE,AB =DE ，∴△ABC ≌△DEB(AAS),∴AC =DB ，BC =EB ．又∵DC =BC −BD ，∴DC =BE −AC ．15.【答案】:解：连接AO，利用角平分线上的点到角两边的距离相等,可知△AOB(以AB为底边),△AOC(以AC为底边),△BOC(以BC为底边)的高都为4cm, 所以S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=12×4AB+12×4AC+12×4BC=12×4(AB+AC+BC)=12×4×20=40.S△ABC=40cm216(1)【答案】证明：∵BE是△ABC的高，∴∠ABE+∠BAC=90∘.∵CF是△ABC的高，∴∠ACF+∠BAC=90∘，∴∠ABE=∠ACF．又∵BA=CG，BD=CA，∴△BAD≌△CGA(SAS)．(2)【答案】由第(1)问得∠G=∠BAD．∵∠AFG=∠AFC=90∘，∴∠GAD=∠BAD+∠BAG=∠G+∠BAG=90∘，∴AD⊥AG。

人教版数学八年级下册期末自我评估（本试卷满分120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）x的取值范围是（）1.A. x≥-1B. x≤-1C. x≠-1D. x＞-12. 一次函数y＝-x-2的图象不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 如图1，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点坐标分别为A（1，5），B（1，1），C（7，3），则点D 的坐标是（）A.（7，5）B.（7，6）C.（7，7）D.（6，7）图1 图24. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中课外体育占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小彤的这三项成绩（百分制）依次为95，90，88，则小彤这学期的体育成绩为（）A. 89分 B. 90分C. 91分D. 92分5. 如图2，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′处，AB′交DC于点E，则下列结论正确的是（）A. AE＝CEB. ∠ACD＝∠B′CDC. AD＝DED. ∠DAB′＝∠CAB′6. 下列运算中正确的是（）B.C. D. )=-17. 如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，E是AD的中点，若BD=a，则CE的长为（）A. 13a B.12aC. 23a D.34a图3 图4 图58. 一组数据：1，3，3，3，5，若去掉一个数据3，则下列统计量中发生变化的是（）A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 方差9. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10 s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y与无人机上升的时间x之间的关系如图4所示，下列说法正确的是（）A. 5 s时，两架无人机都上升了40 mB. 乙无人机上升的速度为8 m/sC. 10 s时，两架无人机的高度差为20 mD. 10 s时，甲无人机距离地面的高度是60 m10. 如图5，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）A. 8B.C.D. 10二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. ＝.12. 若一组数据：7，3，5，x，2的众数为7，则这组数据的中位数是.13. 如图6，数轴上点A表示-2，过数轴上表示1的点B作BC⊥x轴，若BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点P，那么数轴上点P所表示的数是.图614. 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中两个变量x ，y 的部分对应值如下表所示：那么关于x 的不等式kx ＋b ≥－1的解集是________.15. 如图7，点E ，F 在正方形ABCD 的对角线AC 上，AC ＝10，AE ＝CF ＝3，则四边形BFDE 的面积为 .图7 图816. 在平面直角坐标系中，对于任意一点M （x ，y ），我们把点N 22y x ⎛⎫⎪⎝⎭，称为点M 的“中分对称点”.如图8，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，点C 的坐标为（2，1），矩形ABCD 关于y 轴成轴对称.若点P 在y=-2x+2上运动，点Q 是点P 的“中分对称点”，且点Q 在矩形ABCD 的一边上，则点Q 的坐标为 .三、解答题（本大题共8小题，共66分） 17. （每小题4分，共8分）计算：（1； （2）212⎫⎪⎭.18.（6分）已知a=2的值.19.（6分）如图9，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF.求证：∠DEF＝∠DFE.图920.（6分）如图10，某学校矩形操场旁边有一块空地（阴影部分）需要绿化，连接AC，测出AD=4，AC=5，BC=12，AB=13，求需要绿化部分的面积.图1021.（8分）某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图11所示.图11初、高中部决赛成绩统计表（1）计算表格中a，b，c的值；（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？（3）计算初中代表队决赛成绩的方差s2初中，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.22.（10分）某小区为了绿化环境，分两次购买A，B两种树苗，第一次购买A种树苗10棵，B种树苗20棵，共花费600元；第二次购买A种树苗25棵，B种树苗10棵，共花费1100元.（两次购买的A，B两种树苗的单价均不变）（1）A，B两种树苗每棵的单价分别是多少元？（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，购买B种树苗的数量不超过A 种树苗数量的2倍.①求W与t的函数解析式；②请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用.23.（10分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）.点C 在线段AO上.如图12，将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处.（1）求一次函数的解析式；（2）求AC的长；（3）点P为x轴上一点，且以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点P的坐标.图1224.（12分）如图13，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）延长AE至点G，使EG=AE，连接CG，延长CF，交AD于点P．①当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由.②若AP=2DP=8，，CD=5，求四边形EGCF的面积.图13期末自我评估答案详解16. （-1，1）或（1，0） 解析：因为矩形ABCD 中点C 的坐标为（2，1），所以D （-2，1），A （-2，0），B （2，0）.因为点P 在y=-2x+2上运动，所以点P 的坐标为（x ，-2x+2）. 因为点Q 是点P 的“中分对称点”，所以点Q 的坐标为-12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，. 当点Q 在CD 上时，2x=1.解得x=2. 所以点Q 的坐标为（-1，1）.当点Q 在AD 上时，-x+1=-2.解得x=3.不符合题意. 当点Q 在AB 上时，2x=0.解得x=0. 所以点Q 的坐标为（1，0）.综上，点Q 的坐标为（-1，1）或（1，0）. 三、17. 解：（1）原式= （2）原式14⎛⎫ ⎪⎝⎭=94. 18. 解：因为a=121a a -()()11a a a ---=a -. 当a==(-=-19. 证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AB =BC =CD =AD ，∠A =∠C . 因为BE =BF ，所以AB -BE =BC -BF ，即AE =CF .在△ADE 和△CDF 中，AD =CD ，∠A =∠C ，AE =CF ，所以△ADE ≌△CDF . 所以DE =DF .所以∠DEF=∠DFE.20. 解：根据题意，得∠ADC=90°.在Rt△ACD中，AD=4，AC=5，所以在△ABC中，因为AC2+BC2=25+144=169，AB2=132=169，所以AC2+BC2=AB2. 所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°.所以S需要绿化=S△ABC-S△ACD=12×5×12-12×3×4=24.答：需要绿化部分的面积为24.21. 解：（1）a＝75+80+85+85+1005＝85，b＝85，c＝80；（2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，所以初中部决赛成绩较好；（3）s2初中＝()()()()() 2222275-85+80-85+85-85+85-85+100-855=70.因为s2初中＜s2高中，所以初中代表队选手成绩比较稳定.22.解：（1）设A种树苗每棵的价格为x元，B种树苗每棵的价格为y元.根据题意，得1020600, 25101100.x yx y+=⎧⎨+=⎩解得40,10.xy=⎧⎨=⎩答：A种树苗每棵的价格为40元，B种树苗每棵的价格为10元.（2）购买A种树苗t棵，则购买B种树苗（42-t）棵.根据题意，得42-t≤2t.解得t≥14.购买树苗总费用W＝40t+10（42-t）＝30t+420.因为k=30＞0，所以W随t的增大而增大.当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）.答：购买A种树苗14棵，B种树苗28棵，费用最省，最省费用为840元.23. 解：（1）将点A（﹣8，0）和点B（0，6）代入y＝kx+b（k≠0），得-80,6.k bb+=⎧⎨=⎩解得3,46. kb⎧=⎪⎨⎪=⎩所以一次函数的解析式为y＝34x+6.（2）因为A（-8，0），B（0，6），所以OA=8，OB=6.所以=10.由折叠的性质可知CD=CO，BD=OB=6，∠CDB=∠COB=90°.所以∠CDA=90°，AD=AB-BD=4.设AC=m，则CD=OC=OA-AC=8-m.因为AC2=CD2+AD2，所以m2=（8-m）2+42.解得m=5.所以AC=5.（3）①当AP=AB=10时，因为A点坐标为（-8，0），所以P点坐标为（2，0）或（-18，0）；②当AB=PB时，如图1-①所示.因为BO⊥AP，所以AO=PO=8.所以点P的坐标为（8，0）；①②图1③当AP=BP时，如图1-②所示.设AP=BP=n，则OP=AO-AP=8-n.因为BP2=OP2+OB2，所以n2=（8-n）2+62.解得n=25 4.所以OP=8-254=74.所以点P的坐标为7-04⎛⎫ ⎪⎝⎭，.综上，当点P的坐标为（2，0）或（-18，0）或（8，0）或7-04⎛⎫⎪⎝⎭，时，以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形.24.（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AB∥CD，OB=OD. 所以∠ABE=∠CDF.因为点E，F分别为OB，OD的中点，所以BE=12OB，DF=12OD.所以BE=DF.在△ABE和△CDF中，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，所以△ABE≌△CDF. （2）解：①当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形.理由如下：因为AC=2OA，AC=2AB，所以AB=OA.因为E是OB的中点，所以AG⊥OB.所以∠FEG=90°.同理可得CF⊥OD，∠EFC=90°.所以AG∥CF，即EG∥CF.因为EG=AE，OA=OC，所以OE是△ACG的中位线.所以OE∥CG，即EF∥CG.所以四边形EGCF是平行四边形，又∠OEG=90°，所以四边形EGCF是矩形.②如图2，过点C作CH⊥AD于点H，连接CE.图2因为AP=2PD=8，所以PD=4.设DH=x，则PH=4-x.因为CH2=CD2-DH2=CP2-PH2，所以52-x2=2-（4-x）2.解得x=3.所以DH=3，PH=1.所以因为四边形ABCD是平行四边形，所以S△BCD=12S▱ABCD=12×（8+4）×4=24.因为点E，F分别为OB，OD的中点，OB=OD，所以EF=12 BD.所以S△EFC=12S△BCD=12.由①知，四边形EGCF是平行四边形，所以S四边形EGCF=2S△EFC=24.。

2021-2022-1初二年级自我评测活动数 学时量：120分钟 总分：120分一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.） 1.下列图案中，是轴对称图形的是（ ）A.B. C. D.2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）B.3.下列三角形，不一定是等边三角形的是（ ）A.三个角都相等的三角形B.有两个角等于60°的三角形C.边上的高也是这边的中线的三角形D.有一个外角等于120°的等腰三角形 4.若点()3,A a −与(),2B b 关于x 轴对称，则点(),M a b 所在的象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.有长度为1，2，3，4的四条线段，任选其中三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的的个数为（ ）A.1个B.2个C.3D.4个 6.如图，在△ABC 中，90ACB ∠=°，30A ∠=°，4BC =，CD 是高，AD 的长为（ ）A.5B.6C.7D.87.如图，桐桐从A 点出发，前进3m 到点B 处后向右转20°，再前进3m 到点C 处后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A 时，一共走了（ ）A.100mB.90mC.54mD.60m第6题图 第7题图 第9题图 8.若01x <<，则2x ，x，1x这四个数中（ ） A.1x 最大，2x 最小 B.x 最大，1x最小 C.2xD.x 最大，2x 最小 9.如图，在△ABC 中，AB AC =，8BC =，面积是20，AC 的垂直平分线EF 分别交AC 、AB 边于E 、F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）A.8B.9C.10D.12DCBA20°20°CBAM FED CBA10.如图，在Rt △ABC 中，90CBA ∠=°，∠CAB 的角平分线AP 和∠MCB 的平分线CF 相交于点D ，AD 交CB 于点P ，CF 交AB 的延长线于点F ，过点D 作DE ⊥CF 交CB 的延长线于点G ，交AB 的延长线于点E ，连接CE 并延长交FG 于点H ，则下列结论：①45CDA ∠=°；②AF CG CA −=；③DE DC =；④2CF CD EG =+；其中正确的有（ ）A.②③B.②④C.①②③④D.①③④二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分.） 11.分解因式：334x y xy −=___________. 12.已知111y x =−，且2111y y =−，3211y y =−，4311y y =− (1)11n n y y −=−请计算2015y =___________.（用含x 的代数式表示） 13.把中根号外面的因式移到根号内的结果是___________. 14.如图，△ABC 中，AB AC =，作△BCE ，点A 在△BCE 内，点D 在BE 上，AD 垂直平分BE ，且EBA ECA m ∠+∠=°，则BAC ∠=___________°. 15.若2017m m −+=，则22017m −=___________. 16.若关于x 的方程3111axx x =+−−无解，则a 的值是___________.三、解答题17.计算（共2小题，每小题4分，共8分.） （1）()11323π−−+−； （22+−.18.因式分解（共2小题，每小题4分，共8分.） （1）322384050a b a b ab −+；（2）()()29x a b b a −+−；H M G F E D CBA ED CBA19.先化简，再求值（共2小题，每小题6分，共12分.） （1）()()222243323a b ab ab a b −−−+，其中1a =−，2b =−.（2）2132111a a a a − −÷+−+，其中1a =.20.（6分）如图，线段AD 上有两点E ，B ，且AE DB =，分别以AB ，DE 为直角边在线段AD 同侧作Rt △ABC 和Rt △DEF ，90A D ∠=∠=°，BC EF =.求证：AEG DBG ∠=∠.21.（6分）如图，△ABC 中，DE ，FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，E 、G 分别为垂足.（1）若BC 的长为10，求△DAF 的周长； （2）若30DAF ∠=°，求∠BAC 的度数.GFEDCBAGFEDCBA22.（8分）如图，已知∠CBG 为△ABC 的外角，BD 平分∠CBG ，且ACB CAB ∠=∠，AE ⊥BC ，垂足为E ，延长AE 与BD 交于点D ，F 为BC 边上一点，DF 平分∠CDB .（1）求证：//AC BD ； （2）若24CAD ∠=°，6EDF ∠=°，求∠DCE 的度数.23.（8分）某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天.（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？GFE DC BA24.（8分）阅读下面材料：小雅这学期学习了轴对称的知识，知道像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比这特性，小雅发现像m n +，mnp 等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.她把这样的式子命名为交换对称式，她还发现像22m n +，()()11m n ++等交换对称式都可以用mn ，m n +表示，例如：()2222m n m n mn +=+−，()()()111m n mn m n +++++.于是小雅把mn 和m n +称为基本交换对称式.请根据以上材料解决下列问题：（1）代数式①1mn ，②22m n −，③n m ，④11x y +，⑤xy yz zx ++中，属于交换对称式的是________（填序号）；（2）已知()()2x m x n x px q ++=++.①p =_______，q =_______（用含m ，n 的代数式表示）； ②若1p =，2q =−，求交换对称式n mm n+的值；0q −=，判断交换对称式3311m n m n+++是有最小值还是最大值，并求出最值.25.（8分）在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流. 原问题：如图1，已知△ABC ，90ACB ∠=°，45ABC ∠=°，分别以AB 、BC 为边向外作△ABD 与△BCE ，且DA DB =，EB EC =，90ADB BEC ∠=∠=°，连接DE 交AB 于点F .探究线段DF 与EF 的数量关系.小慧同学的思路：过点D 作DG ⊥AB 于G ，构造全等三角形，通过推理使问题得解. 小东同学说：我做过一道类似的题，不同的是30ABC ∠=°，60ADB BEC ∠=∠=°. 小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况. 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF 与EF 的数量关系； （2）如图2，若30ABC ∠=°，60ADB BEC ∠=∠=°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若2ADB BEC ABC ∠=∠=∠，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.FEDCB A F EDCBAFEDCBA长郡2021-2022-2初二年级自我评测活动数学参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 DBCCABCABC二、填空题11.()()22xy x y x y +− 12.12x x −− 13.14.2m15.201816.3或1三、解答题17.解：(1)()11323π−−+−132=+−−+2=−；2+−+(++−(+=.18.解：(1)()3222246223a b a b ab ab a b a −+−=−−+； (2)322384050a b a b ab −+()22242025ab a ab b =−+()2225ab a b −；(3)()()29x a b b a −+− ()()29x a b a b =−−−()()29a b x =−−()()()33a b x x =−+−；(4)()()2142x x −−−22148x x x =−+−+ 269x x =−+ ()23x =−.19.解：(1)原式222212469a b ab ab a b =−+−2232a b ab +，把1a =−，2b =−代入得：原式()()()()22312212=×−×−+×−×−()()312214=××−+×−×68=−−14=−.(2)原式()()()()13111112a a a a a a a −−+=−⋅+−+−()()21112a a a +⋅+− 11a =−，当1a =+时，原式===. 20.证明：∵AE DB =，∴AE EB DB EB +=+， 即AB DE =， ∵90A D ∠=∠=°，在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，AB DEBC EF== ， ∴()Rt ABC Rt DEF HL ≌△△， ∴ABC DEF ∠=∠， ∴AEG DBG ∠=∠.21.解：(1)∵DE ，FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，∴DA DB =，FA FC =， ∵10BC =，∴10DA FA DF BD FC DF BC ++=++==， ∴△DAF 的周长为10； (2)∵DA DB =，FA FC =， ∴DAB B ∠=∠，FAC C ∠=∠， ∴DAB FAC B C ∠+∠=∠+∠， ∵30DAF ∠=°，∴18030150DAB FAC B C ∠+∠+∠+∠=°−°=°， ∴75DAB FAC ∠+∠=°， ∴7530105BAC =°+°=∠°.22.证明：(1)∵∠CBG 为△ABC 的外角，∴CBG ACB CAB ∠=∠+∠， ∵BD 平分∠CBG ， ∴12CBD CBG ∠=∠，∵12ACB CAB CBG ∠=∠=∠，∴ACB CBD ∠=∠， ∴//AC BD ； (2)∵AE ⊥BC ，∴90AEC DEB CED ∠=∠=∠=°， ∵24CAD ∠=°， ∴66ACE ∠=° ∵//AC BD ，∵6EDF∠=°，∴84DFC∠=°∴18BDF DFC DBF∠=∠−∠=°，∴DF平分∠CDB，∴18CDF BDF∠=∠=°，∴12CDE CDF EDF∠=∠−∠=°，∴9078DCE CDE∠=°−∠=°.23.解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，依题意，得：36036031.5x x−=，解得：40x=，经检验，40x=是原方程的解，且符合题意，∴1.560x=.答：甲工程队每天能完成绿化的面积是60平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米.(2)设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作12006040m−天，依题意，得：120060 7005001450040mm−+× ，解得：10m≥.所以m最小值是10.答：至少应安排甲队工作10天.24.解：(1)①④⑤；(2)①∵()()()22x m x n x m n x mn x px q++=+++=++，∴p m n=+，q mn=，故答案为：m n+；mn.②∵1p=，2q=−，∴1m n+=，2mn=−，∴()()2222122522m n mnn m m nm n mn mn+−−×−++====−−.③由①知，p m n=+，q mn=，∴3311 m n+++2211m n m n=+++ ()22m n m n mn mn+=+−+ 22p p q q=−+，0q −=， ∴22p q =，即p q =±，∴当p q =时，原式()222110p p p =−+=− ， 当p q =−时，原式()2221122p p p =+−=+−≥−， 综上，3311m n m n+++的最小值为2−. 25.解：(1)DF EF =.(2)猜想：DF FE =.证明：过点D 作DG ⊥AB 于G ，则90DGB ∠=°.∵DA DB =，60ADB ∠=°.∴AG BG =，△DBA 是等边三角形.∴DB BA =.∵90ACB ∠=°，30ABC ∠=°， ∴12AC AB BG ==. 在Rt △DBG 和Rt △BAC 中DB AB BG AC = =， ∴()Rt DBG Rt BAC HL ≌△△.∴DG BC =.∵BE EC =，60BEC ∠=°，∴△EBC 是等边三角形.∴BC BE =，60CBE ∠=°.∴DG BE =，90ABE ABC CBE ∠=∠+∠=°.∵DFG EFB ∠=∠，DGF EBF ∠=∠，在△DFG 和△EFB 中DFG EFB FGD FBE DG BE ∠=∠ ∠=∠ =，∴()DFG EFB AAS ≌△△.∴DF EF =.(3)猜想：DF FE =.过点D 作DH ⊥AB 于H ，连接HC ，HE ，HE 交CB 于K ，则90DHB ∠=°. ∵DA DB =，∴AH BH =，1HDB ∠=∠.∵90ACB ∠=°，∴HC HB =.在△HBE 和△HCE 中HB HCBE CE HE HE= = = ，∴()HBE HCE SSS ≌△△.∴23∠=∠，4BEH ∠=∠.∴HK BC ⊥.∴90BKE ∠=°.∵2ADB BEC ABC ∠=∠=∠，∴HDB BEH ABC ∠=∠=∠.∴90DBC DBH ABC DBH HDB ∠=∠+∠=∠+∠=°， 90EBH EBK ABC EBK BEK ∠=∠+∠=∠+∠=°.∴//DB HE ，//DH BE .∴四边形DHEB 是平行四边形.∴DF EF =.。