河南省郑州市京广实验学校2020--2021学年九年级上期第一次学习比赛数学试卷及答案

2020-2021学年河南省九年级（上）第一次联考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程中，关于x的一元二次方程的是()=4A. x+2x=1B. x2+2y=2C. 2x−x2=3D. x+1y2.抛物线y=3(x−2)2−4的顶点坐标是()A. (2,4)B. (−2,−4)C. (2,−4)D. (−2,4)3.方程x2−25=0的解是()A. x1=x2=5B. x1=x2=25C. x1=5，x2=−5D. x1=25，x2=−254.用公式法解一元二次方程2x2−3x=1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为()A. 2，−3，−1B. 2，3，1C. 2，−3，1D. 2，3，−15.抛物线y=x2−8x+4的对称轴是直线()A. x=−1B. x=1C. x=−4D. x=46.若关于x的一元二次方程ax2−4x+1=0有两个相等实数根，则a的值是()A. −1B. 1C. −4D. 47.用配方法解一元二次方程x2−6x+4=0，下列变形正确的是()A. (x−3)2=13B. (x−3)2=5C. (x−6)2=13D. (x−6)2=58.在平面直角坐标系中，将抛物线y=2x2−4先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线对应的函数表达式是()A. y=2(x+2)2+3B. y=2(x−2)2+3C. y=2(x+2)2−3D. y=2(x−2)2−39.已知等腰△ABC的两边分别是方程x2−10x+21=0的两个根，则△ABC的周长为()A. 17B. 13C. 11D. 13或1710.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=cx+ab的图象不经过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.若函数y=(m−2)x|m|+1(m是常数)是二次函数，则m的值是______．12.已知a为方程x2−x−1=0的一个根，则代数式3a2−3a−2的值为______．13.已知点(−1,2)在二次函数y=kx2的图象上，则k的值是______．14.某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为______．15.若抛物线y=ax2+(a+3)x−2(a≠0)开口向上，且当x>−1时，y随x值增大而增大，则满足条件的a的取值范围是______．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）16.解方程x2−3x+1=0．17.已知二次函数y=x2−8x+5．(1)将二次函数y=x2−8x+5配方成y=a(x−ℎ)2+k的形式．(2)若点A(−3,y1)，B(1,y2)在二次函数y=x2−8x+5的图象上，则y1与y2的大小关系是______．18.已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过(−1,0)，(0,5)两点，求此二次函数的解析式．19.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、门宽各为多少？=0．20.已知关于x的方程x2+mx−154(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．(2)若方程有一个根是−3，求方程的另一个根和m的值．221.已知二次函数y=x2−2x−3．(1)完成如表：(2)根据(1)的结果在平面直角坐标系中利用描点法画出此抛物线．(3)结合函数图象，当y<0时，x的取值范围是______．22.为了丰富市民的文化生活，我市某景点开放夜游项目.为吸引游客组团来此夜游，特推出了如下门票收费标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为60元/人；标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于50元/人．(1)当夜游人数为15人时，人均门票价格为______ 元；当夜游人数为25人时，人均门票价格为______ 元.(2)若某单位支付门票费用共计1232元，则该单位这次共有多少名员工去此景点夜游．23.在平面直角坐标系中，坐标原点为O，已知抛物线y=a(x−m)2+n(a≠0)与y轴交于点A，它的顶点为B，连接AB，BO，则称△ABO为抛物线的伴生三角形，直线AB为抛物线的伴生直线．(1)如图1，求抛物线y=(x+2)2+1的伴生直线AB的解析式．(2)已知抛物线y=k(x−2)2+1的伴生直线为y=−x+3，求k的值．(3)如图2，若抛物线y=a(x−m)2+n(m>0)的伴生直线是y=x−4，且伴生三角形ABO是直角三角形，求此抛物线的解析式．答案和解析1.【答案】C【解析】解：只含有一个未知数(一元)，并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程．故选：C．根据一元二次方程的定义即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．2.【答案】C【解析】解：∵y=3(x−2)2−4，∴抛物线y=3(x−2)2−4的顶点坐标是(2,−4)，故选：C．利用形如y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的抛物线顶点坐标为(ℎ,k)即可选出正确答案．本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数形如y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的抛物线顶点坐标为(ℎ,k)是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：移项得：x2=25；开方得，x=±5，∴x1=5，x2=−5.故选C．先移项，变成x2=25的形式，从而把问题转化为求25的平方根．(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a(a≥0)；ax2=b(a,b同号且a≠0)；(x+a)2=b(b≥0)；a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．(2)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．4.【答案】A【解析】解：∵方程2x 2−3x =1化为一般形式为：2x 2−3x −1=0， ∴a =2，b =−3，c =−1． 故选：A ．先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定a 、b 、c ．本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为ax 2+bx +c =0.其中a 、b 分别是二次项和一次项系数，c 为常数项．5.【答案】D【解析】解：对称轴为直线：x =−b2a ， 其中，a =1，b =−8， ∴x =−−82×1=4， 故选：D ．利用二次函数的对称轴x =−b2a ，将a 、b 依次代入计算即可求出．本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴直线x =−b2a 是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2−4x +1=0有两个相等实数根， ∴{a ≠0△=(−4)2−4a =0， 解得：a =4． 故选：D ．根据一元二次方程的定义可得出a ≠0，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出△=16−4a =0，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：由原方程，得x2−6x=−4，配方，得x2−6x+9=5，即(x−3)2=5．故选：B．方程移项后，两边加上9变形即可得到结果．此题考查了解一元二次方程−配方法，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．8.【答案】D【解析】解：将抛物线y=2x2−4先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线对应的函数表达式为：y=2(x−2)2−4+1，即y=2(x−2)2−3．故选：D．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．9.【答案】A【解析】解：∵x2−10x+21=0，∴(x−3)(x−7)=0，则x−3=0或x−7=0，解得x1=3，x2=7，由三角形三边关系知，此等腰三角形的三边长度分别为3、7、7，所以△ABC的周长为3+7+7=17，故选：A．因式分解法解方程得出x的值，再利用三角形三边关系及等腰三角形定义确定三边长度，从而得出答案．本题主要考查三角形三边关系、等腰三角形的定义、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10.【答案】B>0，【解析】解：由函数图象对称轴在y轴右侧可得：−b2a∴a、b异号，即ab<0，又函数图象与y轴交点在原点上方，∴c>0，∴一次函数y=cx+ab的图象经过一、三、四象限，不经过二象限，故选：B．利用抛物线图象判定c和ab的符号，即可得到答案．本题考查二次函数及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是由抛物线判断ab和c 的符号．11.【答案】−2【解析】解：由题意得：|m|=2，且m−2≠0，解得：m=−2，故答案为：−2．利用二次函数定义可得：|m|=2，且m−2≠0，再计算出m的值即可．此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．12.【答案】1【解析】解：由题意，得a2−a−1=0，则a2−a=1，所以，3a2−3a−2=3(a2−a)−2=3−2=1．故答案为：1．把x=a代入已知方程，求得a2−a−1=0，然后将其整体代入所求的代数式求值．本题考查了一元二次方程的解的定义．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用．13.【答案】2【解析】解：∵点(−1,2)在二次函数y=kx2的图象上，∴2=k×(−1)2，解得k=2，故答案为2．把点的坐标代入二次函数解析式可得到关于k的方程，可求得k的值．本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．14.【答案】1000(1−x)2=810【解析】解：依题意，得：1000(1−x%)2=810，故答案为：1000(1−x%)2=810．根据该羊毛衫的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程即可．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.【答案】0<a≤3【解析】解：∵抛物线y=ax2+(a+3)x−2(a≠0)开口向上，且当x>−1时，y随x 值增大而增大，≤−1，∴a>0，−a+32a解得0<a≤3．故答案为0<a≤3．根据二次项的系数大于0，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案．本题考查了二次函数的性质，二次函数的二次项系数大于0，开口向上，有最小值，在对称轴的右侧，y随x值增大而增大；二次函数的二次项系数小于0，开口向下，有最大值，在对称轴的右侧，y随x值增大而减小．16.【答案】解：x 2−3x +1=0，∵△=9−4=5>0，∴x 1=3+√52，x 2=3−√52．【解析】根据公式法求解即可．考查了解一元二次方程−公式法，公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a ，b ，c 的值(注意符号)；②求出b 2−4ac 的值(若b 2−4ac <0，方程无实数根)；③在b 2−4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a ≠0；②b 2−4ac ≥0． 17.【答案】y 1>y 2【解析】解：(1)y =x 2−8x +5=x 2−8x +16−16+5=(x −4)2−11；(2)∵点A(−3,y 1)，B(1,y 2)在二次函数y =x 2−8x +5的图象上，∴y 1=(−3)2−8×(−3)+5=38，y 2=12−8×1+5=−2，∴y 1>y 2，故答案为：y 1>y 2．(1)用配方法配成顶点式即可；(2求出y 1、y 2的值，即可得y 1>y 2．本题考查二次函数一般式化为顶点式及函数值的大小比较，解题的关键是掌握配方法及函数图象上点的坐标满足解析式．18.【答案】解：把(−1,0)，(0,5)代入y =−x 2+bx +c 得{−1−b +c =0c =5，解得{b =4c =5， 所以抛物线的解析式为y =−x 2+4x +5．【解析】把两个已知点的坐标代入y =−x 2+bx +c 中得到关于b 、c 的方程组，然后解方程即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．19.【答案】解：设竿的长度为x尺，则门高为(x−2)尺，门宽为(x−4)尺，依题意得：(x−2)2+(x−4)2=x2，化简得：x2−12x+20=0，解得：x1=2，x2=10．当x=2时，x−2=0(尺)，x−4=−2(尺)，不合题意，舍去；当x=10时，x−2=8(尺)，x−4=4=6(尺)．答：门高为8尺，门宽为6尺．【解析】设竿的长度为x尺，则门高为(x−2)尺，门宽为(x−4)尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合(x−2)和(x−4)均为正数即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20.【答案】考点：根的判别式、韦达定理难易程度：易；−1答案：52【解析】1121.【答案】−3−4−30 −1<x<3【解析】解：(1)完成如表：(2)图象如图：(3)结合函数图象，当y<0时，x的取值范围是：−1<x<3．故答案为：−1<x<3．(1)根据函数的解析式代人自变量的值求得函数值即可完成表格；(2)利用描点法作出图象即可；(3)观察图象写出y<0的取值范围即可．本题考查了抛物线与x轴的交点的知识，解题的关键是了解正确的图象的作法，难度不大．22.【答案】60 50【解析】解：(1)由标准一知，当夜游人数为15人时，人均门票价格为60元；由标准二知，60−(25−20)×2=50(元)．故答案是：60；50；(2)设该单位这次共有x名员工去某景点夜游，∵1232÷60=20815(人)，1232÷50=241625，∴20<x≤24．依题意，得：x[60−2(x−20)]=1232，整理，得：x2−50x+616=0，解得：x1=22，x2=28(不合题意，舍去)．答：该单位这次共有22名员工去某景点夜游．(1)根据收费标准解答；(2)设该单位这次共有x名员工去某景点夜游，利用数量=总价÷单价结合人数为整数可得出20<x ≤24，由总价=单价×数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵抛物线y =(x +2)2+1，∴顶点B 的坐标为(−2,1)，当x =0时，y =5，∴抛物线与y 轴的交点A 的坐标为：(0,5)，设伴生直线AB 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)，则{b =5−2k +b =1，解得：{k =2b =5， ∴抛物线y =(x +2)2+1的伴生直线AB 的解析式为：y =2x +5．(2)∵半生直线y =−x +3与y 轴的交点A 为(0,3)，∴抛物线y =k(x −2)2+1与y 轴的交点A 为(0,3)，将(0,3)代入得：4k +1=3，∴k =12． (3)∵伴生直线是y =x −4与y 轴的交点A 为(0,−4)，∴OA =4，∵伴生△AOB 是直角三角形，抛物线的顶点(m,n)在y 轴右侧，∴满足条件的点B 有两个，①当∠AOB =90°时，点B 在x 轴上，即为伴生直线y =x −4与x 轴的交点， 当y =0时，x =4，∴点B(4,0)，∴抛物线为：y =a(x −4)2，将点A(0,−4)代入得：16a =−4，∴a =−14，∴抛物线的解析式为：y =−14(x −4)2，②当∠ABO =90°时，AO 2=AB 2+BO 2，设B(a,a −4)，则42=a 2+(a −4+4)2+a 2+(a −4)2，∴a =0(舍)或a =2，∴点B(2,−2)，∴抛物线为：y =a(x −2)2−2，将点A(0,−4)代入得：4a−2=−4，∴a=−12，∴抛物线的解析式为：y=−12(x−2)2−2，综上所述：抛物线的解析式为：y=−14(x−4)2或y=−12(x−2)2−2．【解析】(1)求出抛物线与y轴的交点坐标和顶点坐标，然后用待定系数法求出直线AB 的解析式；(2)求出伴生直线与y轴的交点坐标，再代入抛物线解析式即可求出k；(3)先求出伴生直线与y轴的交点坐标，而后求出OA的长，然后根据点B的位置分类讨论，求出点B即可求出m和n的值，再将点A的坐标分别代入即可求出抛物线的解析式．本题考查的是二次函数、一次函数和三角形的综合题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式与一次函数解析式和抛物线的伴生三角形、抛物线的伴生直线是解题关键．。

2023-2024学年河南省郑州实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列方程是一元二次方程的是()A. B.C. D.、b、c为常数2.若关于x的一元二次方程的一个根为0，则m的值为()A. B.0 C.2 D.或23.输一组数，按下程序进行计，输出结果表：/空格x206207208/空出析格中的据，估计方程一个数解x的大致范围为()A.B.C.D.4.关于x的方程为常数的根的情况，下列结论中正确的是()A.两个正根B.两个负根C.一个正根，一个负根D.无实数根5.有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为()A. B.C. D.6.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是()A. B.C. D.7.如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为()A. B.C. D.8.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，则的值为()A. B. C. D.9.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法：①若，则四边形EFGH为矩形；②若，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.310.如图，菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且若，则的面积为()A.B.C.D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.已知m是关于x的方程的一个根，则______.12.若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是______.13.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是4cm，6cm，，垂足为E，则AE的长是______14.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且，，则______.15.如图，在菱形ABCD中，，G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点，，，则______.三、解答题：本题共8小题，共64分。

EDF AB C O MNA 2A 1A 3A 4B 1 B 2B 3xyOAB CGEABC郑州市2020-2021学年九年级上期期末暨一模考试数学模拟卷(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每题3分，共10小题)1．25( ) A ．5 B ．-5C ．-25D ．252．在“新冠”疫情期间，郑州数字学校开设了语文、数学、英语等36个科目的网络直播课，河南省有1500万人次观看了课程．将数据“1500万”用科学记数法可表示为( ) A ．61.510⨯ B ．71.510⨯C ．61510⨯D ．80.1510⨯ 3．下列算式中，结果等于a 12的是( ) A ．a 4·a 5B ．(2)(2)a a +-C ．(2)(2)a a a +-D ．2(2)4a --4．如图是一段空心的钢管，则它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．5．如图，在ABCD 中，作BAD ∠的平分线交BC 于点E ，ABC ∠的平分线 交AD 于点F ，连接EF ．若16AE =，10AF =，则BF 的长为( )A ．10B ．12C ．14D ．16 6．某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．李老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x 个，则下列选项中所列方程正确的是( ) A ．900400201.5x x =+ B ．400900201.5x x=+ C ．900400201.5x x =+ D ．400900201.5x x=+7．小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A 、B 、C 三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是( ) A ．19B ．13C ．29D ．238．如图，∠MON=30°，点A 1，A 2，A 3，⋯在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，⋯在射线OM 上，△A 1A 2B 1，△A 2A 3B 2，△A 3A 4B 3……均为 等边三角形．若OA 1=1，则△A 2020A 2021B 2020的边长为( ) A ．2019 B ．2020C ．21010D ．220199．如图，直线y=kx+b 与双曲线y=21m x+(x>0)交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1<x 2)，直线AB 交x 轴于C(x 0，0)，下列命题：①12x y =21x y ；②当x 1<x<x 2时，kx+b>21m x+； ③若M(t ，s)为线段AB 的中点，则t=12x 0，其中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，BC=4，AG ⊥BC 于点G ，点D 为BC 边上 一动点，DE ⊥BC 交射线CA 于点E ，作△DEC 关于DE 的轴对称图形得到△DEF ，DF A BC MNE D FCG H EDF A BC2018年6月最高气温数据 的频数分布直方图/℃设CD 的长为x ，△DEF 与△ABG 重合部分的面积为y ．下列图象中，能反映点 D 从点C 向点B 运动过程中，y 与x 的函数关系的是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题(每小题3分，共5小题)11．计算：20200211(3)()3π--+-+-= ．12．如图，四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，BC 上，∠C=80°，按如图 方式沿着MN 折叠，使FN ∥CD ，此时量得∠FMN=40°，则∠B 的度数是 ． 13．若关于x 的一元二次方程ax 2+x -2=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 ．14．正方形ABCD 中，AB=4，点E 、F 分别在BC 、CD 上， 且BE=CF ，线段BF 、AE 相交于点O ，若图中阴影部分 的面积为14，则△ABO 的周长为 ．15．如图，在矩形ABCD 中，AD=4，AC=8，点E 是AB 的中点，点F 是对角线AC 上一点，△GEF 与△AEF 关于直线EF 对称，EG 交AC 于点H ，当△CGH 中有一个内角为90°时，则CG 的长为 ．三、解答题(共8小题，共75分)16．(8分)先化简代数式22213(1)42a a a a -+÷--+，再从2，-2，1，-1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．17．(9分)郑州某超市按月订购一种酸奶，每天的进货量相同．根据往年的销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃有关．为了确定今年六月份的酸奶订购计划，对前三年六月份的最高气温及该酸奶需求量数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a.:.2018c 年6月最高气温数据的频数分布直方图如图： .2019d 年6月最高气温数据如下(未按日期顺序):25 26 28 29 29 30 31 31 31 32 32 32 32 3232OE DA B C G ED F ABCPAB CDE33 33 33 33 33 34 34 34 35 35 35 35 36 36 36 根据以上信息，回答下列问题： (1)m 的值为 ；(2)2019年6月最高气温数据的众数为 ，中位数为 ； (3)估计六月份这种酸奶一天的需求量为600瓶的概率为 ；(4)已知该酸奶进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．①2019年6月这种酸奶每天的进货量为500瓶，则此月这种酸奶的利润为 元； ②根据以上信息，预估2020年6月这种酸奶订购的进货量不合理的为 ． A ．550瓶/天 B ．600瓶/天 C ．380瓶/天18．(9分)平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于O 点，分别过顶点B ，C 作两对角线的平行线交于点E ，得平行四边形OBEC ． (1)如果四边形ABCD 为矩形(如图)，四边形OBEC 为何种四边形？请证明你的结论；(2)如果四边形ABCD 是正方形，四边形OBEC 也是正方形吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．19．(9分)小华想用学过的测量知识来测量家门前小河BC 的宽度：如图所示，他们在河岸边的空地上选择一点C ，并在点C 处安装了测倾器CD ，选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点B ，顶部作为点A ，现测得古树的顶端A 的仰角为37°，再在BC 的延长线上确定一点F ，使CF=5米，小华站在F 处，测得小华的身高EF=1.8米，小华在太阳光下 的影长FG=3米，此时，大树AB 在太阳光下的影子为BF ．已知测倾器的 高度CD=1.5米，点G 、F 、C 、B 在同一水平直线上，且EF 、CD 、AB 均垂直于BG ，求小河的宽度BC ．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)20．(9分)如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A =90°，AB =AC ，D 是BC 上一动点，P 是边AC 的中点，过点D 作DE ⊥AC ，交AB 或AC 于点E ，连接PE ， PD ．已知BC =6cm ，设B ，D 两点间的距离为xcm ，E ，D 两点间的距离为y 1cm ，P ，D 两点间的距离为y 2cm ．小乐根据学习函数的经验，分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小乐的探究过程，请补充完整：(1)则m = ．(2)如图，y 2的函数图象已经给出，在 同一平面直角坐标系xOy 中，描出表中 各组数值所对应的点(x ，y 1)，并面出y 1 的函数图象；(3)结合函数图象，解决问题：当△PDE 为等腰三角形，且PD =DE 时，BD 的长 度约为 .图1图2备用图C B AC B AD EE D A BC21．(10分)某商店购买60件A 商品和30件B 商品共用了1080元，购买50件A 商品和20件B 商品共用了880元．(1)A 、B 两种商品的单价分别是多少元？(2)已知该商店购买A 、B 两种商品共30件，要求购买B 商品的数量不高于A 商品数量的2倍，且该商店购买的A 、B 两种商品的总费用不超过276元，那么该商店有几种购买方案？(3)该商店第二准备再购进A 、B 两种商品30件，其中购买A 种商品m 件(10≤m ≤13)，实际购买时A 种商品下降了a(a>0)元，B 种商品上涨了3a 元，此时购买这两种商品所需的最少费用为340元，直接写出a 的值．22．(10分)如图1，Rt △ABC 中，∠C=90°，点E 是AB 边上一点，且点E 不与A 、B 重合，ED ⊥AC 于点D ． (1)当sinB=12时，①求证：BE=2CD ；②当△ADE 绕点A 旋转到如图2的位置时(60°<∠CAD<90°)，BE=2CD 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)当时，将△ADE 绕点A 旋转到∠DEB=90°，若AC=10，AD=CD 的长．23．(11分)如图，抛物线y=ax 2+bx+8(a ≠0)与x 轴交于点A(-2，0)和点B(8，0)，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ，BC ，BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ． (1)求抛物线的表达式； (2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC =35S △ABC 时，求点P 的坐标；(3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与△OBC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．郑州市2020-2021学年九年级上期期末暨一模考试数学模拟卷答案一．选择题(每题3分，共10小题)1.B2.B3.A4.B5.B6.C7.B8.D9.D 10.A二．填空题(每小题3分，共5小题)11.9 12.100° 13. 18a >-且0a ≠ 14. 4 15. 4或三．解答题(共8小题，共75分)16.解：原式2(1)23(2)(2)2a a a a a -+-=÷+-+ 2(1)2(2)(2)1a a a a a -+=+-- 12a a -=-， 20a +≠，20a -≠，10a -≠， a ∴只能取1-，当1a =-时，原式112123--==--． 17.解：(1)300.206m =⨯=；(2)2019年6月最高气温数据的众数为32，中位数为323332.52+=； (3)三年这种酸奶一天的需求量为600瓶的天数为21262572++=，估计六月份这种酸奶一天的需求量为600瓶的概率为724905=； (4)①400(64)5(500400)(24)5500(64)2528000⨯-⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯=；②以上三年6月最高气温低于25的天数一共有314+=天， ∴有86天酸奶每天需求量大于400瓶，故预估2020年6月这种酸奶订购的进货量不合理的为C ， 故选C ．故答案为：(1)6；(2)32，32.5；(3)45；(4)28000． 18.解：(1)四边形OBEC 是菱形． 证明：//BE OC ，//CE OB ， ∴四边形OBEC 为平行四边形．又四边形ABCD 是矩形， OC OB ∴=， ∴平行四边形OBEC 为菱形； (2)四边形OBEC 是正方形． 证明：//BE OC ，//CE OB ， ∴四边形OBEC 为平行四边形． 又四边形ABCD 是正方形， OC OB ∴=，90BOC ∠=︒，GH E D FABC图1ED ABCH∴平行四边形OBEC 为正方形．19.解：如图，过点D 作DH AB ⊥所在直线于点H ， 可得四边形DCBH 是矩形， BC DH ∴=， 1.5BH CD ==， 设BC DH x ==， 根据题意可知：在Rt ADH ∆中，37ADH ∠=︒， tan370.75AH DH x ∴=︒≈， 0.75 1.5AB AH BH x ∴=+=+， 5BF FC CB x =+=+，根据同一时刻物高与影长的比相等， ∴EF AB FG BF =， ∴1.80.75 1.535x x+=+，解得10x =， 所以10BC =(米)，答：小河的宽度BC 为10米．20. 21.(1)m =2.12(2)根据表格数据描点绘图如下： (3)3或2.49或4.79(答案不唯一)．21.解：(1)设A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元， 依题意，得：603010805020880x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：164x y =⎧⎨=⎩．答：A 商品的单价为16元，B 商品的单价为4元． (2)设购买A 商品n 件，则购买B 商品(30)n -件， 依题意，得：302164(30)276n nn n -⎧⎨+-⎩，解得：1012n ，又n 为正整数，n ∴可以取10，11，12，∴该商店有3种购买方案．(3)设购买的总费用为w 元，则(16)(43)(30)(124)12090w a m a m a m a =-++-=-++．当03a <时，10(124)12090340a a ⨯-++=， 解得：2a =；当316a <<时，13(124)12090340a a ⨯-++=， 解得：3219a =(不合题意，舍去)． 答：a 的值为2．22. 解：(1)Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1sin 2B =， 30B ∴∠=︒，60A ∴∠=︒， ①如图1，过点E 作EH BC ⊥于点H ， ED AC ⊥90ADE C ∴∠=∠=︒，∴四边形CDEH 是矩形，即EH CD =，图3CBAF图4CBADEF∴在Rt BEH ∆中，30B ∠=︒，2BE EH ∴=2BE CD ∴=；②2BE CD =成立，理由：ABC ∆和ADE ∆都是直角三角形， 60BAC EAD ∴∠=∠=︒，CAD BAE ∴∠=∠， 又12AC AB =，12AD AE =， ∴AC AD AB AE =，ACD ABE ∴∆∆∽， ∴BE ABCD AC=， 又Rt ABC ∆中，2AB AC =， ∴2BECD=，即2BE CD =；(2)sin B =45ABC BAC DAE ∴∠=∠=∠=︒，ED AD ⊥， 45AED BAC ∴∠=∠=︒，AD DE ∴=，AC BC =， 将ADE ∆绕点A 旋转90DEB ∠=︒，分两种情况：①如图3所示，过A 作AF BE ⊥交BE 的延长线于F ，则90F ∠=︒， 当90DEB ∠=︒时，90ADE DEF ∠=∠=︒， 又AD DE =，∴四边形ADEF是正方形，AD AF EF ∴===10AC BC ==，根据勾股定理得，AB =在Rt ABF ∆中，BF ==BE BF EF ∴=-=，又ABC ∆和ADE ∆都是直角三角形， 且45BAC EAD ∠=∠=︒， CAD BAE ∴∠=∠，AC AB =，AD AE =， ∴AC ADAB AE =，ACD ABE ∴∆∆∽，∴BE ABCD AC==CD ∴= ②如图4所示，过A 作AF BE ⊥于F ，则90AFE AFB ∠=∠=︒， 当90DEB ∠=︒时，90DEB ADE ∠=∠=︒， 又AD ED =， ∴四边形ADEF 是正方形，AD EF AF ∴===又10AC BC ==，AB ∴=在Rt ABF ∆中，BF ==BE BF EF ∴=+=，图1图3图4又ACD ABE ∆∆∽，∴BE ABCD AC==CD ∴= 综上所述，线段CD的长为23.解：(1)抛物线28(0)y ax bx a =++≠过点(2,0)A -和点(8,0)B ，∴428064880a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得123a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线解析式为：21382y x x =-++；(2)当0x =时，8y =， (0,8)C ∴， ∴直线BC 解析式为：8y x =-+，111084022ABC S AB OC ∆==⨯⨯=， ∴3245PBC ABC S S ∆∆==，过点P 作PG x ⊥轴，交x 轴于点G ，交BC 于点F ， 设21(,38)2P t t t -++， (,8)F t t ∴-+， ∴2142PF t t =-+，∴1242PBC S PF OB ∆==， 即211(4)82422t t ⨯-+⨯=， 12t ∴=，26t =， 1(2,12)P ∴，2(6,8)P ；(3)(0,8)C ，(8,0)B ，90COB ∠=︒， OBC ∴∆为等腰直角三角形，抛物线21382y x x =-++的对称轴为33122()2b x a =-=-=⨯-， ∴点E 的横坐标为3，又点E 在直线BC 上， ∴点E 的纵坐标为5， (3,5)E ∴，设21(3,),(,38)2M m N n n n -++，①当MN EM =，90EMN ∠=︒，~NME COB ∆∆，则2531382m n n n m -=-⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 解得68n m =⎧⎨=⎩或20n m =-⎧⎨=⎩(舍去)，∴此时点M 的坐标为(3,8)，②当ME EN =，当90MEN ∠=︒时，则25313852m n n n -=-⎧⎪⎨-++=⎪⎩，解得：53m n ⎧=+⎪⎨=⎪⎩53m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩舍去)，∴此时点M的坐标为(3,5+；③当MN EN =，90MNE ∠=︒时， 此时MNE ∆与COB ∆相似，此时的点M 与点E 关于②的结果(3,8)对称， 设(3,)M m ，则885m -=-， 解得11m =， (3,11)M ∴；此时点M 的坐标为(3,11)；故在射线ED 上存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与OBC ∆相似，点M 的坐标为：(3,8)，(3,5+或(3,11)．。

EDF A BCED ABC 郑州市2020-2021学年九年级一模考试数学试题卷(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1. 下列各数中，比-2 小的数是( )A ．0B .53C ．|-6|D ．-42. 如图所示的几何体，该几何体的左视图是( )A ．B ．C ．D ．3. 人民日报讯：2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．已知1纳米=10-9米，则22纳米用科学记数法可表示为( )A ．2.2×108米B ．2.2×10-8米C ．0.22×10-7米D ．2.2×10-9米4. 平面内将一副直角三角板(∠A =∠FDE =90°，∠F =45°，∠C =60°，点D 在边AB 上) 按图中所示位置摆放， 两条斜边 EF ，BC 互相平行，则∠BDE 等于( ) A ．20° B ．15° C ．12° D ．10°5. 下列调查方式合适的是()A ．为了解小学生保护水资源的意识，采用抽样调查的方式B ．为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，采用普查的方式C ．对“长征五号”遥五运载火箭零部件的检查，采用抽样调查的方式D ．为了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式 6. 下列计算正确的是( )A ．(-3ab 2)2=6a 2b 4B ．-6a 3b ÷3ab =-2a 2bC ．(a 2)3-(-a 3)2=0D ．(a +1)2=a 2+17. 口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害的气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用．据调查，2020年某厂家口罩产量由2月份的125万只增加到4月份的180万只．设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程( )A ．125(1+x)2=180B ．125(1-x)2=180C ．180(1+x)2=125D ．180(1-x)2=125 8.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =6．尺规作图：①作∠ACB 的平分线，交斜边AB 于点D ；②过点 D 作 B C 的垂线， 垂足为点 E ．则 D E 的长是( ) A ．2.5 B ．2 C ．3 D ．1259.如图，在平面直角坐标系中，直线 y =x 与反比例函数y=1x(x ＞0)的图象交于点A ，将直线 y =x 沿 y 轴向上平移 k 个单位长度，交 y 轴于点 B ，交反 比例函数图象于点 C ．若 O A =3BC ，则 k 的值为( ) A ．2 B ．32C ．3D ．83y D10.如图，在平面直角坐标系中，将边长为 a 的正方形 O ABC 绕点 O 顺时针旋转 45°后 得到正方形 O A 1B 1C 1，依此方式连续旋转 2021次得到正方形 O A 2021B 2021C 2021，那么点 A 2021的坐标是( ) A ．) B ．，) C ．，) D ．) 二、填空题(每小题3分，共15分)11.的整数是 .12.如图是三个完全相同的正方形，假设可以随意在图中取点， 那么这个点取在阴影部分的概率是 . 13.不等式组23060x x -⎧⎨+⎩＞＜ 的解集是 .14.如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上滑动， 顶点 B 在x 轴的正半轴上滑动，点 E 为 A B 的中点，AB =24，BC =5当 O D 最大时，直线 O D 的表达式为 ．15.如图，平面直角坐标系中，点A (0，2)，B (4，0)，将△ABO 沿着垂直于x 轴的 直线 CD 折叠(点C 在 x 轴上，点D 在AB 上，点D 不与A ，B 重合)，点B 的对应点为点E ，则当△ADE 为直角三角形时，BDC ADE S S的值是 .三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16.(8分)⑴化简：22121a a a a a --+÷； ⑵把⑴中化简的结果记作A ，将A 中的分子与分母同时加上1后得到B ，问：当a ＞1时，B 的值与A 的值相比变大了还是变小了？试说明理由．17.(9分)某校为了培养学生的劳动观念和能力，鼓励学生积极承担家务劳动．政教处想了解七年级学生周末参与家务劳动的情况，在七年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末参与家务劳动的时间进行调查，并收集到以下数据(单位：分钟)男生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105； 女生：36，48，78，99，56，62，35，109，29，88，88，69，73，55，90，98，69，72． 整理数据，得到如下统计表：分析数据：根据以上数据，得到以下各种统计量．时)⑴请将上面的表格补充完整：a= ，b= ，c= ；⑵根据以上信息，政教处老师认为：从时长来看，七年级女生周末参与家务劳动的情况比男生好．你是否同意老师的判断？请结合两种统计量分析并说明理由． 18.(9分)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在 BD 上，且BE =DF ． ⑴求证：△ABE ≌△CDF ；⑵不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF 是菱形，并给予证明．19.(9分)工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t(时)甲组加工零件的数量为y 甲(个)，乙组加工零件的数量为y 乙(个)，其函数图象如图所示． ⑴求y 乙与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；⑵求a 的值，并说明a 的实际意义；⑶甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．20(9 分)手机软件 Smart Measure(智能测量)是一款非常有创意且实用性很高的数码测距工具．它可以利用手机上的摄像头和距离传感器来测量目标的距离、高度、宽度、角度和面积．测量过程非常简单：如图1，图 2，打开软件后先将手机摄像头对准物体的底部按测量键，保持相同姿势，再把手机相机镜头对准测量物体的顶端按测量键，最后按下“大树键”即可测量出物体的高度．智能软件的运行离不开数学原理．如图3，测量者AB 使用Smart Measure 测量一棵大树CD 的高，软件显示AC =8m ，AD =10m ，∠CAD =53°，请你根据数学知识求出大树 C D 的 高．(结果可保留根号) (为了计算方便，约定sin53°≈45，cos°53≈35，tan53°≈45)21.(10分)已知关于 x 的二次函数 y =kx 2+(k -1)x -1(k 为常数且 k ≠0)． ⑴无论 k 取何值，此函数图象一定经过 y 轴上一点，该点的坐标为 ． ⑵试说明：无论k 取何值，此函数图象一定经过点(-1，0)；⑶原函数是否存在最小值-1？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．图1图2备用图A BCEDABC E DA BCOP 22.(10分)某校数学建模小组进行了以下两项活动： 【活动一】参照学习函数的过程与经验，探索函数y=1x x(x ＞0)的图象与性质． 列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图 1所示：⑴连线：观察图1所描点的分布，用一条光滑曲线将各点顺次连接起来，请作出函数图象； ⑵分析：已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在函数图象上，结合表格和函数图象填空： 若 0＜x 1＜x 2≤1，则 y 1 y 2；若 1＜x 1＜x 2，则 y 1 y 2；若 x 1·x 2=1，则 y 1 y 2． (填“＞”，“=”或“＜”) 【活动二】建模小组需要搭建一个无盖的长方体模型，如图2所示，其深为1米，底面积为1平方米．已知底面造价为1百元/平方米，侧面造价为 0.5百元/平方米．设底面一边的长为x (米)，模型总造价为y (百元)， ⑶求出y 与x 的函数关系式；(4)若预算不超过6.2百元，请直接写出x 的取值范围．23.(11 分)如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，△CDE 绕点C 顺时针旋转，设旋转角为α(0°≤α≤360°)，记直线AD 与直线BE 的交点为点P ．⑴如图1，当α=0°时，AD 与BE 的数量关系为 ，AD 与BE 的位置关系为 . ⑵当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． ⑶△CDE 绕点C 顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中点P 运动轨迹的长度和点P 到直线BC 距离的最大值．2020—2021学年上期期末考试九年级数学参考答案一、选择题1. D2. B3. B4. B5. A6. C7. A8. D9. D 10. C 二、填空题 11．2； 12. 51； 13. x <-2； 14. y =5x ； 15.65103或 . 三、解答题16.解：(1)221=(1)1a a aa a a -⋅=--原式.…………………………………………………4分 (2)B 的值与A 的值相比变小了．理由如下：…………………………………………5分1,.1a a A B a a+==- 21(1)(1)1.1(1)(1)a a a a a B A a a a a a a ++--∴-=-==----……………………………………7分∵a ＞1，∴B -A <0.∴B <A ．………………………………………………………………………………………8分 17.解：(1)5，7，68.5； …………………………………………………………………6分 (2)同意老师的判断.理由如下：比较统计量可知，女生的平均数较大，女生的中位数较大，女生的方差较小. 以上分析说明，女生周末参与家务劳动的时间更多，且数据的稳定性更好. 所以从时长来看，七年级女生周末参与家务劳动的情况比男生好.(取两个统计量分析即可) … …9分18. (1)证明：四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，//AB CD ． ABE CDF ∴∠=∠．又BE DF =，ABE CDF ∴∆≅∆． ………………………………………………………………………5分(2)补充的条件是：AC BD ⊥．(答案不唯一) ……………………………………6分 证明：四边形ABCD 是平行四边形， OA OC ∴=，OB OD =．BE DF =，OE OF ∴=． ∴四边形AECF 是平行四边形．又AC BD⊥，∴四边形AECF是菱形．…………………………………………………………………9分(其他解法参照给分)19.解：(1)设y乙与t之间的函数关系式为y乙＝kt+b．把(5，0)，(8，360)分别代入，得解得∴y乙与时间t之间的函数关系式为：y乙＝120t﹣600；…………………………………3分t的取值范围是5≤t≤8；…………………………………………………………………4分(2)当0≤t≤3时，由图象知，甲前3小时加工120个，故甲的工作效率为每小时加工零件40个.甲组共加工8-1=7(时)，a=40×7=280(个).∴a的实际意义是：从甲组开始工作起，8小时时，甲组加工零件的总量为280件；…………………………6分(3)由题意可知，当4≤t≤8时，由于工作效率没变，∴y甲＝120+40(t﹣4)＝40t﹣40.当y甲+y乙＝480时，480＝120t﹣600+40t﹣40，解得t＝7.答：甲组加工多长7小时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．…………………9分20.解：如图，过点D作DH⊥AC于H.………………………………1分在Rt△ADH中，在Rt△ADH中，cos∠CAD，Arraysin∠CAD，∴AH＝AD•cos53°≈106(m)，DH＝AD•sin53°≈108(m).…………5分∵AC＝8m，∴CH＝AC﹣AH＝2(m). …………………………………………………………6分∴CD 2(m)．……………………9分21．解：(1)(0,1)-；…………………………………………………………………………2分 (2)将1x =-代入，得2(1)(1)(1)10y k k =-+---=，故不论k 取何值，此函数图象一定经过点(1,0)-； ………………………………………6分 (3)24(1)14k k k---=-，解得：121k k ==， 0k >，开口向上，符合题意.∴当1k =时，函数存在最小值1-．…………………………………………………………10分22.解：(1)函数图象图略；(注意：图象要光滑，两边出头)………………………1分 (2)①>，②<，③=；……………………………………………………………………4分 (3)由题意，得211(2)0.51(0)y x x x x x=++⨯=++>．…………………………………7分(4)15≤x ≤5． ……………………………………………………10分 23.解：(1)BE AD BE AD ⊥=,3. ……………………………………………………………2分 (2)依然成立. 理由如下： ………………………………………………………………3分由题意，可得CD CACE CB=. 由旋转的性质，可得ACD BCE ∠=∠，∴CAD CBE △△.………………………………………6分∴AD CD CABE CE CB==，CAD CBE ∠=∠.∴AD =.…………………………………………………………………………………8分 又∵∠DAC +∠AOP =∠EBC +∠BOC =90°. ∴∠APO =90°.∴AD ⊥BE . ……………………………………………………………………………………9分(3)2π3………………………………………………………………………………11分。

2020-2021学年河南省实验学校九年级（上）学期第一次月考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（）A．①B．②C．③D．④2．（3分）方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝3 3．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3D．54．（3分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形5．（3分）已知矩形的长和宽是方程x2﹣7x+8＝0的两个实数根，则矩形的对角线的长为（）A．6B．7C．D．6．（3分）某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则x＝（）A．15B．18C．21D．357．（3分）如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．若每一轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下列所列方程中正确的是（）A．1+x+x2＝100B．x（x+1）＝100C．（x+1）2＝100D．1+（x+1）2＝1008．（3分）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC ＝4，则EF的长为（）A．3B．5C．D．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）10．（3分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2020的坐标为（）A．（﹣21010，21010）B．（22020，﹣22020）C．（﹣22020，﹣22020）D．（﹣21010，﹣21010）二、填空题（共6小题）.11．（4分）已知关于x的方程x2+5x+m＝0的一根为﹣1，则方程的另一根为．12．（4分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x﹣2＝0总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．13．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为．14．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED，延长BE 交AD于点F，若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为：°．15．（4分）已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则m2+3m+n＝．16．（4分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．三、解答题（共9题；共66分）17．（8分）解方程：（1）（x﹣3）2﹣4＝0．（2）x2+5＝3（x+2）．18．（7分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．19．（7分）如图，一幅长8cm、宽6cm的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的．求彩条的宽度．20．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A 作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．21．（7分）某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件．（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率；（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．（1）求证：四边形AEFD为菱形．（2）求四边形AEFD的面积．23．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）填空：①当D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？答：；②若D是AB的中点，则当∠A的度数为时，四边形BECD是正方形．24．（7分）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．25．（9分）已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A、C 不重合），过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）当点E落在线段CD上时（如图），①求证：PB＝PE；②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．参考答案一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（）A．①B．②C．③D．④解：解方程x2﹣x﹣2＝0，去分母得：x2﹣2x﹣4＝0，即x2﹣2x＝4，配方得：x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5，开方得：x﹣1＝±，解得：x＝1±，则四个步骤中出现错误的是④．故选：D．2．（3分）方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝3解：∵x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：D．3．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3D．5解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，∵H为BC中点，∴OH＝BC＝．故选：B．4．（3分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：B．5．（3分）已知矩形的长和宽是方程x2﹣7x+8＝0的两个实数根，则矩形的对角线的长为（）A．6B．7C．D．解：设矩形的长和宽分别为m、n，根据题意知m+n＝7，mn＝8，则矩形对角线的长为＝＝＝，故选：D．6．（3分）某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则x＝（）A．15B．18C．21D．35解：由已知护士x人，每2人一班，轮流值班，可得共有种组合，又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，所以最长需要的天数是：÷（24÷8）＝70（天）：，解得：x＝21，即有21人护士．故选：C．7．（3分）如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．若每一轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下列所列方程中正确的是（）A．1+x+x2＝100B．x（x+1）＝100C．（x+1）2＝100D．1+（x+1）2＝100解：每一轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意得1+x+x（1+x）＝100即（x+1）2＝100，故选：C．8．（3分）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC ＝4，则EF的长为（）A．3B．5C．D．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，∴BD＝＝＝5，∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，∴∠EMD＝90°，∵∠EDM＝∠ADB，∴△EDM∽△BDA，∴，设DE＝x，则AE＝EM＝4﹣x，∴，解得x＝，∴DE＝，同理△DNF∽△DCB，∴，设DF＝y，则CF＝NF＝3﹣y，∴，解得y＝．∴DF＝．∴EF＝＝＝．故选：C．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）解：根据菱形的对称性可得：当点C旋转到y轴负半轴时，A、B、C均在坐标轴上，如图，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AO＝＝＝OC，∴点C的坐标为（0，），同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为（0，），∴点C的坐标为（0，）或（0，），故选：D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2020的坐标为（）A．（﹣21010，21010）B．（22020，﹣22020）C．（﹣22020，﹣22020）D．（﹣21010，﹣21010）解：∵正方形OABC边长为1，∴OB＝，∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，∴OB1＝2，∴B1点坐标为（0，2），同理可知OB2＝2，∴B2点坐标为（﹣2，2），同理可知OB3＝4，B3点坐标为（﹣4，0），B4点坐标为（﹣4，﹣4），B5点坐标为（0，﹣8），B6（8，﹣8），B7（16，0）B8（16，16），B9（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2020÷8＝252…4，∴B2020的横纵坐标符号与点B4相同，横纵坐标互为相反数，且都在第三象限，∴B2020的坐标为（﹣21010，﹣21010）．故选：D．二、填空题（共6题；共24分）11．（4分）已知关于x的方程x2+5x+m＝0的一根为﹣1，则方程的另一根为﹣4．解：设方程的另一根为t，根据题意得﹣1+t＝﹣5，解得t＝﹣4，即方程的另一根为﹣4．故答案为﹣4．12．（4分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x﹣2＝0总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞﹣且m≠1．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x﹣2＝0总有两个不相等的实数根，∴△＞0且m﹣1≠0，∴9﹣4（m﹣1）（﹣2）＞0且m﹣1≠0，∴m＞﹣且m≠1，故答案为：m＞﹣且m≠1．13．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为2．解：设BE＝x，则CD＝2x，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝2x，∴BD＝3x，∴OB＝OD＝x，∵OE+BE＝BO，∴1+x＝x，解得x＝2，即AB＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，OA＝＝＝，在Rt△AOE中，AE＝＝＝2．故答案为2．14．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED，延长BE 交AD于点F，若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为：65°．解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC，∴∠DEC＝∠BEC＝∠DEB＝70°，∴∠AEF＝∠BEC＝70°，∵∠DAC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣70°﹣45°＝65°．故答案是65°．15．（4分）已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则m2+3m+n＝﹣1．解：∵m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2，m2+2m﹣1＝0，∴m2+2m＝1，∴m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．16．（4分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为12．解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣4，EF＝6+4＝10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．三、解答题（共9题；共66分）17．（8分）解方程：（1）（x﹣3）2﹣4＝0．（2）x2+5＝3（x+2）．解：（1）∵（x﹣3）2﹣4＝0，∴（x﹣3）2＝4，则x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，解得x1＝5，x2＝1；（2）将方程整理为一般式，得：x2﹣3x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，则x＝，即x1＝，x2＝．18．（7分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．解：证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（SAS），∴AE＝BF．19．（7分）如图，一幅长8cm、宽6cm的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的．求彩条的宽度．解：设水平彩条宽度为xcm，则竖直彩条的宽度为2xcm，由题意得：8x+6×2x﹣2x×x＝×8×6，整理得：x2﹣10x+9＝0，解得：x＝1，或x＝9（不合题意舍去），∴x＝1，2x＝2，答：水平彩条宽度为1cm，则竖直彩条的宽度为2cm．20．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A 作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE（AAS）；（2）∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF为矩形．21．（7分）某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件．（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率；（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？解：（1）设二、三月份服装销售量的平均月增长率为x，依题意，得：320（1+x）2＝500，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：二、三月份服装销售量的平均月增长率为25%．（2）设每件降价y元，则四月份可售出（500+10×）件，依题意，得：（150﹣80﹣y）（500+10×）＝12000，整理，得：y2+180y﹣11500＝0，解得：y1＝50，y2＝﹣230（不合题意，舍去）．答：每件降价50元时，四月份可获利12000元．22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．（1）求证：四边形AEFD为菱形．（2）求四边形AEFD的面积．【解答】（1）证明：∵DF∥AE，EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形．∵四边形ABOC是正方形，∴OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝Rt∠．∵点D，E是OB，OC的中点，∴CE＝BD，在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∴▱AEFD是菱形．（2）解：如图，连结DE．∵S△ABD＝AB•BD＝×8×4＝16，S△ODE＝OD•OE＝×4×4＝8，∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2 S△ABD﹣S△ODE＝64﹣2×16﹣8＝24，∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48．23．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）填空：①当D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？答：菱形；②若D是AB的中点，则当∠A的度数为45°时，四边形BECD是正方形．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：①四边形BECD是菱形，理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝AB＝BD，∴四边形BECD是菱形；故答案为：菱形；②当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形；理由如下：∵∠ACB＝90°，当∠A＝45°时，△ABC是等腰直角三角形，∵D为AB的中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴四边形BECD是正方形；故答案为：45．24．（7分）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABC＝（5分）∴当t＜10秒时，S△PCQ＝整理得t2﹣10t+100＝0无解（6分）当t＞10秒时，S△PCQ＝整理得t2﹣10t﹣100＝0解得t＝5±5（舍去负值）（7分）∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M易证△APE≌△QCM，∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM＝AC＝10∴DE＝5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE＝5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．25．（9分）已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A、C 不重合），过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）当点E落在线段CD上时（如图），①求证：PB＝PE；②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．解：（1）①证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．∵PE⊥PB即∠BPE＝90°，∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．在△PGB和△PHE中，．∴△PGB≌△PHE（ASA），∴PB＝PE．②连接BD，如图2．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOP＝90°．∵PE⊥PB即∠BPE＝90°，∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF．∵EF⊥PC即∠PFE＝90°，∴∠BOP＝∠PFE．在△BOP和△PFE中，，∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO＝PF．∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴BC＝OB．∵BC＝1，∴OB＝，∴PF＝．∴点P在运动过程中，PF的长度不变，值为．（2）当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示．同理可得：PB＝PE，PF＝．（3）①若点E在线段DC上，如图1．∵∠BPE＝∠BCE＝90°，∴∠PBC+∠PEC＝180°．∵∠PBC＜90°，∴∠PEC＞90°．若△PEC为等腰三角形，则EP＝EC．∴∠EPC＝∠ECP＝45°，∴∠PEC＝90°，与∠PEC＞90°矛盾，∴当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形．②若点E在线段DC的延长线上，如图4．若△PEC是等腰三角形，∵∠PCE＝135°，∴CP＝CE，∴∠CPE＝∠CEP＝22.5°．∴∠APB＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°．∵∠PRC＝90°+∠PBR＝90°+∠CER，∴∠PBR＝∠CER＝22.5°，∴∠ABP＝67.5°，∴∠ABP＝∠APB．∴AP＝AB＝1．∴AP的长为1．。

郑州中学初中部2024-2025学年上学期第一次综合调研九年级数学（时间：100分钟 满分：120分）一、单选题（每小题3分，共30分）1.下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.B. C. D.2.解方程时，小明进行了相关计算并整理如下：则该方程必有一个根满足（ ）x 00.51 1.525.2513A. B. C. D.3.某同学现有一装有若干个黄球的袋子.为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个绿球（所有球除颜色外其余均相同），摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（ ）A.200个B.180个C.240个D.150个4.如图，菱形中，过点C 作交于点E ，若，则（ ））A.59°B.62°C.69°D.72°5.下列条件中，不能判定平行四边形是矩形的是（ ）A. B. C. D.6.在平面直角坐标系中，已知点，，，，以这四个点为顶点的四边形最准确是（ ）A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形7.某公司2008年第一季度的利润是20万元，受金融危机影响，以后每季度利润减少率为x ，则该公司第三季度的利润为（ ）A. B. C. D.8.某校运动会的接力赛中，甲、乙两名同学都是第一棒，这两名同学各自随机从四个赛道中抽取一个赛道，则甲、乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为（ ）A. B. C. D.9.关于x 的一元二次方程的根的情况是（ ）20ax bx c ++=212x x +=31x x y +=-()()23121x x +=+212150x x +-=21215x x +-15-8.75-2-1.52x <<1 1.5x <<0.51x <<00.5x <<ABCD CE BC ⊥BD 118BAD ∠=︒CEB ∠=ABCD A C ∠=∠A B ∠=∠AC BD =AB BC ⊥()0,2A ()2,0B ()0,2C -()2,0D -ABCD ()201x -()201x +()2201x -()2201x +4400m ⨯121416182210x bx +-=A.实数根的个数由b 的值确定B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根10.如图，矩形中，，，P 为矩形边上的一个动点，运动路线是，设P 点经过的路程为x ，以A ，P ，B 为顶点的三角形面积为y ，则选项图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ）A. B. C. D.二、填空题（每小题3分，共15分）11.如果关于x 的一元二次方程的一个解是，则______.12.若方程是关于x 的一元二次方程，则a 的值为______.13.三张背面完全相同的数字牌，正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为a ，将数字牌放回洗匀，再随机抽取一张记为b ，则的概率是______.14.将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”.如图，凸四边形的对角线，且两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较短的“中对线”的长度为______.（第14题）15.如图，矩形纸片中，，，点E 、F 分别在边、上，将纸片沿折叠，使点D 的对应点在边上，点C 的对应点为，则的最小值为______，的最大值为______.（第15题）三、解答题（共8题，共75分）16.（9分）解下列方程：（1）（用配方法解）ABCD 2AB =4BC =A B C D A →→→→210ax bx +-=1x =2024a b --=()222430a a x x --++=a b ≤ABCD 4AC BD ==ABCD 6AB =8BC =AD BC ABCD EF D 'BC C 'DE CF 22410x x --=（2）（用因式法解）（3）（用公式法解）17.（9分）如图是一张对边平行的纸片，点A ，C 分别在平行边上，连接.（1）求作：菱形，使点A ，D 落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）证明：四边形是菱形.（3）在（1）的条件下，，交于点O ，若，，求菱形的面积.18.（9分）已知关于x 的一元二次方程（p 为常数）有两个不相等的实数根和.（1）填空：______；______；（2）求，；（3）已知，求p 的值.19.（8分）3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上.（1）洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于______；（2）洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率.20.（9分）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y （件）与每件售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：每件售价x /元…455565…日销售量y /件…554535…（1）求y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）（2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由.21.（10分）如图，在矩形中，，.点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 即停止；同时，点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止，点P 、Q 的速度都是.连接、、.设点P 、Q 运动的时间为.（1）当______时，四边形是矩形；()()223320x x -+-=2187x x -=AC ABCD ABCD AC BD 6BC =3OC =ABCD 210x px -+=1x 2x 12x x +=12x x =1211x x +111x x +221221x x p +=+ABCD 3cm AB =6cm BC =1cm/s PQ AQ CP s t t =ABQP（2）当______时，四边形是菱形；（3）在运动过程中，沿着把翻折，当t 为何值时，翻折后点B 的对应点恰好落在边上.22.（10分）【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法.例如，可变形为.如图1，构造一个长为、宽为x 、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形.大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：，易得这个方程的正数解为.注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根！（1）尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整：第一步：将原方程变为，即x （______）；第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长）第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：______解得原方程的一个根为______；（2）【思维拓展】参照以上方法求出关于x 的一元二次方程的正数解（用含b ，c 的数式表示）.图1 图2 画图区23.（11分）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.（1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D .则与的数量关系：____________.（2）类比探究：t =AQCP AQ ABQ △B 'PQ 22350x x +-=()235x x +=2x +()2x x ++()22x x ++24352⨯+()22144x x ++=5x =22320x x +-=23102x x +-=1=()20,0x bx c b c +=>>ABC △AEF △AB AC =AE AF =30BAC EAF ∠=∠=︒BE CF BE CF BE CF BDC ∠=如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点B ，E ，F 在一条直线上，过点A 作，垂足为点M .请猜想，，之间的数量关系，并说明理由；（3）实践应用：如图3，正方形中，，M 点为线段中点.将正方形绕点A 顺时针旋转，形成正方形.连接、，直线交直线于点P ，则线段最大值为______.ABC △AEF △90BAC EAF ∠=∠=︒BE CF AM BF ⊥BF CF AM ABCD 2AB =AD ABCD AB C D '''DD 'BB 'DD 'BB 'PM。

2020-2021学年河南省实验中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程属于一元二次方程的是()A. x3−2=x2B. 2x2+x+1=0C. 3xy+2=0D. x(x+1)=x2−42.鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是()A.B.C.D.3.有一首《对子歌》中写到“天对地，雨对风，大陆对长空”，现有四张书签，除正面写上“天”“地”“雨”“风”四个字外其他均无区别．从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好配成“对子”的概率是()A. 12B. 13C. 14D. 164.如图，直线l1//l2//l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F.若AB：BC=5：3，DE=15，则EF的长为()A. 6B. 9C. 10D. 255.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是()A. ∠ADE=∠CB. ∠AED=∠BC. AEAB =DEBCD. ADAC =AEAB6.如图，在一块长为20m，宽为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40m2，设道路宽为xm，则以下方程正确的是()A. 32x+4x2=40B. 32x+8x2=40C. 64x−4x2=40D. 64x−8x2=407.反比例函数y=m+2x的图象上，当x<0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是()A. m>−2B. m<0C. m<−2D. m>08.在平面直角坐标系xOy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O(0,0)，A(1,2)，B(3,0)，以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，则A点的对应点A′坐标为()A. (−2,−4)B. (4,2)C. (2,4)或(−2,−4)D. (4,2)或(−4,−2)9.如图，两个边长为1的正方形，均有一边在坐标轴上，且各有一个顶点在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，其余顶点A，B之间的距离为√2，则k值为()A. 2√2B. 3√2C. 3D. 610.菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，则PB=()A. √72B. √3 C. √5+12D. 53二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.已知ba =15，则aa+b=______．12.已知a、b、c为△ABC的三边长，且方程(a+b)x2−2cx+a=b有两个相等的实数根，则△ABC的形状是______．13.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOES△COA =125，则S△BDES△CDE的值为______．14.如图，正比例函数y=x与反比例函数y=4x的图象交于A、B两点，其中A(2,2).则不等式x>4x的解集为______．15.如图，正方形ABCD中，AB=3，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG.点H是CD上一点，且DH=23CD，连接GH，则GH的最小值为______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.解下列方程：(1)4x2−8x−3=0；(2)(x+4)2=5(x+4)．17.如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE//AC，CE//BD，BE与CE交于点E．(1)求证：四边形OBEC是矩形；(2)当∠ABD=60°，AD=2√3时，求BE的长．18.在一个不透明的口袋里装有分别标有数字−3、−1、0、2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀．(1)从中任取一球，将球上的数字记为a，则关于x的一元二次方程ax2−2ax+a+3=0有实数根的概率______；(2)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x(不放回)；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，试用画树状图(或列表法)表示出点(x,y)所有可能出现的结果，并求点(x,y)落在第二象限内的概率．19.已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2−mx+m2m+34=0的两个实数根．(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；(2)若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？20.“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端(点F，M，D，N，B在同一条直线上).若测得FM=1.5米，DN=1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．21.为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋．(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率；(2)该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价2元，销售量可增加10袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？(若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元)22.参照学习函数的过程与方法，探究函数y=x−2x(x≠0)的图象与性质，因为y=x−2 x =1−2x，即y=−x2+1，所以我们对比函数y=−2x来探究．列表：描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y=x−2x相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示；(1)请把y轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；(2)观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x<0时，y随x的增大而______；(“增大”或“减小”)②y =x−22的图象是由y =−x2的图象向______平移______个单位而得到的；③图象关于点______中心对称．(填点的坐标) (3)函数y =x−2x与直线y =−2x +1交于点A ，B ，求△AOB 的面积．23. (1)向题发现如图1，在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，∠ACB =∠DCE =90°，∠CAB =∠CDE =45°，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ． 填空：①BEAD 的值为______； ②∠DBE 的度数为______． (2)类比探究如图2，在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，∠ACB =∠DCE =90°，∠CAB =∠CDE =60°，点D 是线段AB 上一动点，连接BE.请求出BEAD 的值及∠DBE 的度数，并说明理由； (3)拓展延伸如图3，在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，∠ACB =∠DCE =90°，∠CAB =∠CDE ，点D是线段AB上一动点，连接BE，P为DE中点若BC=4，AC=3，在点D从A点运动到B点的过程中，请直接写出P点经过的路径长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、x3−2=x2，次数是3，不是一元二次方程，故此选项不合题意；B、2x2+x+1=0是一元二次方程，故此选项符合题意；C、3xy+2=0含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、x(x+1)=x2−4化简后是x+4=0，是一元一次方程，故此选项不合题意；故选：B．利用一元二次方程定义进行分析即可．此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．2.【答案】D【解析】解：从左边看，是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．故选：D．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．3.【答案】B【解析】【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，在根据概率公式求解可得．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【解答】画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽到的书签正好配成“对子”的有4种结果，所以抽到的书签正好配成“对子”的概率为13，故选B．4.【答案】B【解析】解：∵l1//l2//l3，DE=15，∴DEEF =ABBC=53，即15EF=53，解得，EF=9，故选：B．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB；当∠AED=∠B时，△ADE∽△ACB；当ADAC =AEAB时，△ADE∽△ACB．故选：C．由于∠DAE=∠CAB，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．6.【答案】B【解析】解：设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4x m，依题意，得：x(20+4x+12+4x)=40，即32x+8x2=40．故选：B．设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4xm，根据道路占地总面积为40m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.【答案】C【解析】【分析】(k≠0)：当k>0此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数y=kx时，反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0时，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质可得m+2<0，再解不等式即可．【解答】解：∵当x<0时，y随x的增大而增大，∴m+2<0，解得m<−2，故选：C．8.【答案】C【解析】解：∵O(0,0)，A(1,2)，B(3,0)，以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，∴A点的对应点A′坐标为：(2,4)或(−2,−4)．故选：C．根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k进行解答．此题主要考查了位似变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键．9.【答案】C【解析】解：由题意可知C(1,k)，D(k,1)，∴A(1,k−1)，B(k−1,1)，∵A，B之间的距离为√2，∴(1−k+1)2+(k−1−1)2=2，解得k=3或k=1(舍去)，故选：C．根据题意表示出A(1,k−1)，B(k−1,1)，利用勾股定理得出(1−k+1)2+(k−1−1)2=2，求得k=3．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示长A、B的坐标是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：如图，连接BF、BD，∵菱形ABCD的边长为2，∴AB=BC=CD=2，∵∠A=60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD=BC=2，∠DBC=60°，∴∠DBA=60°，∵点G为AB的中点，∴菱形BEFG的边长为1，即BE=EF=BG=1，∵点E在CB的延长线上，∠GBE=60°，∴∠FBG=30°，连接EG，∴EG⊥FB于点O，∴OB=√3，2∴FB=√3，∵∠DBF=∠DBA+∠FBG=90°，根据勾股定理，得DF=√DB2+BF2=√7，∵点P为FD的中点，∴PB=12DF=√72．故选：A．连接BF、BD，根据菱形ABCD的边长为2，可得AB=BC=CD=2，由∠A=60°，可得△BCD是等边三角形，进而可求∠DBF=90°，再根据勾股定理分别求出BF、PF的长，进而可得PB的长．本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．11.【答案】16【解析】解：∵ba =15，∴a=5b，∴aa+b =aa+5a=16；故答案为：16．根据已知条件得出a=5b，再代入aa+b进行计算即可得出答案．此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．12.【答案】直角三角形【解析】解：∵方程(a+b)x2−2cx+a=b有两个相等的实数根，∴△=0，即(−2c)2−4(a+b)(a−b)=0，c2−(a2−b2)=0，c2−a2+b2=0，c2+b2=a2，∴△ABC的形状为直角三角形，故答案为：直角三角形．根据一元二次方程根的判别式可得△=0，即(−2c)2−4(a +b)(a −b)=0，整理可得到c 2+b 2=a 2，根据勾股定理逆定理可判断出△ABC 是直角三角形．此题主要考查了根的判别式，以及勾股定理的逆定理，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．13.【答案】14【解析】解：∵DE//AC ，∴△DEO∽△CAO ，∴S △DEOS △CAO =(DE AC )2=125，∴DE ：AC =BE ：BC =1：5，∴BE ：EC =1：4，∴S △BED ：S △DEC =14，故答案为：14．由DE//AC ，推出△DEO∽△CAO ，可得S △DEOS △CAO =(DE AC )2=125，推出DE ：AC =BE +BC =1：5，推出BE ：EC =1：4，即可求解．本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．14.【答案】−2<x <0或x >2【解析】解：∵正比例函数y =x 与反比例函数y =4x 的图象交于A 、B 两点，其中A(2,2)．∴B(−2,−2)，观察函数图象，发现：当−2<x <0或x >2时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，∴不等式x >4x 的解集为是−2<x <0或x >2，故答案为−2<x<0或x>2．根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．15.【答案】√22【解析】解：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，四边形DEFG是正方形，∴DA=DC，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，∠DAC=45°，∴∠ADE=∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴∠DCG=∠DAE=45°，∴点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，∵DH=23CD=2，∴CH=CD−DH=3−2=1，∴最小值=CH⋅sin45°=1×√22=√22．故答案为：√22．连接CG.证明△ADE≌△CDG(SAS)，推出∠DCG=∠DAE=45°，推出点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答．16.【答案】解：(1)4x2−8x−3=0，移项，得x2−2x=34，配方，得x2−2x+1=34+1，则(x−1)2=±√72，∴x=±√72+1，∴x1=−√72+1，x2=√72+1；(2)(x+4)2=5(x+4)，移项，得(x+4)2−5(x+4)=0，(x+4)(x+4−5)=0，(x+4)(x−1)=0，∴x1=−4，x2=1．【解析】(1)利用配方法解出方程；(2)利用提公因式法解出方程．本题考查的是解一元二次方程，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．17.【答案】(1)证明：∵BE//AC，CE//BD，∴BE//OC，CE//OB，∴四边形OBEC为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴四边形OBEC是矩形；(2)解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，OB=OD，OA=OC，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AD=AB=2√3，∴OD=OB=√3，在Rt△AOD中，AO=√AD2−OD2=√(2√3)2−(√3)2=3∴OC=OA=3，∵四边形OBEC是矩形∴BE=OC=3．【解析】(1)先由平行四边形的定义证明四边形OBEC为平行四边形，然后再由菱形的性质得到∠COB=90°，故四边形OBEC是矩形；(2)证出△ABD为等边三角形，得BD=AD=AB=2√3，则OD=OB=√3，由勾股定理求出OA，进而得出答案．本题主要考查的是矩形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．18.【答案】(1)12；(2)列表如下：所有等可能的情况有12种，其中点(x,y)落在第二象限内的情况有(−1,2)，(−3,2)2种，则点(x,y)落在第二象限内的概率=212=16．【解析】解：(1)∵方程ax2−2ax+a+3=0有实数根，∴△=4a2−4a(a+3)=−12a≥0，且a≠0，解得a<0，∵从中任取一球，得a<0的概率是24=12，∴方程ax2−2ax+a+3=0有实数根的概率为12，故答案为：12；(2)见答案．【分析】(1)先求出方程ax2−2ax +a +3=0有实数根时 a <0，再求出从中任取一球，得a <0的概率即可得出答案；(2)先列表，再求出所有等可能的情况，和点(x,y)落在第二象限内的情况，再根据概率公式列式计算即可．主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意列表，求出概率．19.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD ．又∵AB 、AD 的长是关于x 的方程x 2−mx +m 2m +34=0的两个实数根， ∴△=(−m)2−4×(m 2m +34)=(m −1)2−4=0，∴m =−1或m =3，当m =−1时，AB +AD =−1<0，AB ⋅AD =14>0，故m =−1舍去，∴当m 为3时，四边形ABCD 是菱形．当m =3时，原方程为x 2−3x +94=0，解得：x 1=x 2=32，∴菱形ABCD 的边长是32．(2)把x =2代入原方程，得：4−2m +m 2+34=0， 解得：m =196． 将m =196代入原方程，得：x 2−196x +73=0， ∴方程的另一根AD =73÷2=76，∴▱ABCD 的周长是2×(2+76)=193．故答案为193．【解析】(1)由题意△=0，求出m 的值，再解方程即可解决问题；(2)先求出m 的值，再求出方程的另一个根即可．本题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】解：设NB的长为x米，则MB=x+1.1+2.8−1.5=(x+2.4)米．由题意，得∠CND=∠ANB，∠CDN=∠ABN=90°，∴△CND∽△ANB，∴CDAB =DNBN．同理，△EMF∽△AMB，∴EFAB =FMBM．∵EF=CD，∴DNBN =FMBM，即1.1x= 1.5x+2.4．解得x=6.6，∵CDAB =DNBN，∴1.6AB =1.16.6．解得AB=9.6．答：大树AB的高度为9.6米．【解析】设NB的长为x米，则MB=x+1.1+2.8−1.5=(x+2.4)米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合CDAB =DNBN求得大树的高．本题考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．21.【答案】解：(1)设三、四这两个月的月平均增长率为x．由题意得：192(1+x)2=300，解得：x1=14，x2=−94(不合题意，舍去)，答：三、四这两个月的月平均增长率为25%．(2)设当农产品每袋降价m元时，该淘宝网店五月份获利3250元．根据题意可得：(40−25−m)(300+5m)=3250，解得：m1=5，m2=−50(不合题意，舍去)．答：当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店五月份获利3250元．【解析】(1)直接利用二月销量×(1+x)2=四月的销量进而求出答案．(2)首先设出未知数，再利用每袋的利润×销量=总利润列出方程，再解即可． 此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．22.【答案】(1)函数图象如图所示：(2)①增大 ；②上 ，1 ；③(0,1) ．(3)根据题意得：x−2x =−2x +1，解得：x =±1，当x =1时，y =−2x +1=−1，当x =−1时，y =−2x +1=3，∴交点为(1,−1)，(−1,3)，当y =0时，−2x +1=0，x =12，∴△AOB 的面积=12×(3+1)×12=1．【解析】解：(1)见答案；(2)①当x <0时，y 随x 的增大而增大；故答案为：增大；②y =x−2x 的图象是由y =−x 2的图象向上平移1个单位而得到； 故答案为：上，1；③图象关于点(0,1)中心对称．故答案为：(0,1)；(3)见答案．(1)用光滑曲线顺次连接即可；(2)利用图象法即可解决问题；(3)联立方程求出点A、B的坐标，由此即可解决问题；本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】1 90°【解析】解：(1)①∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，∴∠ABC=∠CAB=45°=∠CDE=∠CED，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，{AC=BC∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE=AD，∠CAB=∠CBE=45°，∴BEAD=1，故答案为：1；②由①得：∠ABC=45°，∠CAB=∠CBE=45°，∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°，故答案为：90°；(2)BEAD=√3，∠DBE=90°，理由如下：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，∴∠ACD=∠BCE，∠CED=∠ABC=30°，∴BC=√3AC，∴BCAC=√3，∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，∴△ACB∽△DCE，∴ACBC =CDCE，第21页，共23页同①得：∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴BEAD =BCAC=√3，∠CBE=∠CAD=60°∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°；(3)同(2)得：△ACD∽△BCE，∴∠A=∠CBE，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠CBE+∠ABC=90°，即∠DBE=90°，当点D与A重合时，点E与B重合，AB的中点，记为P′；当点D与B重合时，点E是AC的延长线与BE 的延长线的交点，记为E′′，如图3所示：则点P的运动轨迹为P′P′′，P′P′′是△ABE′′的中位线，∴P′P′′=12AE′′，∵∠ACB=∠BCE′′=90°，∠A=∠CBE′′，∴△ABC∽△BE′′C，，即，∴CE′′=163，∴AE′′=AC+CE′′=253，∴P′P′′=12AE′′=256，即P点经过的路径长为256．(1)证△ACD≌△BCE(SAS)，得BE=AD，∠CAB=∠CBE=45°，即可得出BEAD=1；②由①得∠ABC=45°，∠CAB=∠CBE=45°，则∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°；(2)先由含30°角的直角三角形的性质得BC=√3AC，则BCAC=√3，再证△ACB∽△DCE，得ACBC =CDCE，同①得∠ACD=∠BCE，然后证△ACD∽△BCE，得BEAD=BCAC=√3，∠CBE=第22页，共23页第23页，共23页 ∠CAD =60°则∠DBE =∠ABC +∠CBE =90°；(3)同②得△ACD∽△BCE ，得∠A =∠CBE ，证出∠DBE =90°，由题意得点P 的运动轨迹为P′P′′，P′P′′是△ABE′′的中位线，则P′P′′=12AE′′，再证△ABC∽△BE′′C ，求出CE′′=163，则AE′′=AC +CE′′=253，即可得出答案．本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．。

2020-2021学年河南省实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．x2+y+3＝0C．（x﹣1）（x+1）＝1D．（x+2）（x﹣1）＝x22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（）A．25°B．30°C．45°D．60°3．利用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，经过配方，得到（）A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+4）2＝9D．（x﹣4）2＝9 4．下列说法正确的是（）A．矩形对角线相互垂直平分B．对角线相等的菱形是正方形C．两邻边相等的四边形是菱形D．对角线分别平分对角的四边形是平行四边形5．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1有一个根是0，则m的值为（）A．±1B．1C．﹣1D．1或06．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB 于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．7．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A．朝上的点数是5的概率B．朝上的点数是奇数的概率C．朝上的点数是大于2的概率D．朝上的点数是3的倍数的概率8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF，请添加一个条件使四边形ADFC为矩形，则这个条件不可能是（）A．AC＝CF B．AD＝CF C．∠B＝∠BCF D．DB＝CF9．如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（）A．5000﹣150x＝4704B．5000﹣150x﹣x2＝4704C．5000﹣150x+＝4704D．（100﹣x）（50﹣x）＝470410．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是（）A．6B．12C．9D．6二、填空题（每小题3分，共15分）11．方程x（x﹣3）＝0的解为．12．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝2．则CE＝．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1）．对角线BD交AC于点M．交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是．14．在一个不透明的袋子里装有两个红球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后不再放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD＝，其中正确的结论是．三、解答题（本题共75分）16．（12分）请选择合适的方法解下列方程：（1）3x2+5x﹣1＝0；（2）x2﹣4x＝95；（3）（2x﹣5）2＝（x﹣2）2；（4）2（x﹣3）2＝﹣x（3﹣x）．17．（8分）“一方有难，八方支援”是中华民族的传统美德．在抗击新冠病毒战役中，我省支援湖北医疗队共1460人奔赴武汉．其中小丽、小王和三个同事共五人直接派往一线某医院，根据该医院人事安排需要先抽出一人去急诊科，再派两人到发热门诊，请你利用所学知识完成下列问题．（1）小丽被派往急诊科的概率是；（2）若正好抽出她们一位同事去往急诊科，请你利用画树状图或列表的方法，求出小丽和小王同时被派往发热门诊的概率．18．（8分）已知关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）给m选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根．19．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）若且EG平分∠HEF，请判断四边形EFGH的形状，并说明理由．20．（8分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC ＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．22．（10分）我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中记载用几何法对一元二次方程进行求解的方法，例如：求方程x2+2x＝35正根的方法：构造出4个长为x+2，宽为x的长方形，围成一个边长为x+2+x的正方形，所以S1＝S2＝S3＝S4＝（x+2）×x，S5＝4，得到大正方形面积为4×x（x+2）+22＝4×35+4＝144，大正方边长为12，所以x＝5．（1）请利用上面方法画出图形，求出方程x2+4x﹣15＝0的正根，并写出分析过程；（2）你能否画出用几何法画出求方程m2﹣2m﹣5＝0正根，如果可以，请直接画出图形，标注相关信息．23．（11分）如图，分别以△ABC的AB、AC为一边，向外作正方形ABEF和正方形AGHC．（1）如图1，连接BG、CF相交于点P，则BG、CF数量关系：，位置关系：；（2）如图2，点D是BC的中点，点O1、O2，分别是正方形ABEF和正方形AGHC对角线的交点，连接O1D、O2D、O1O2，判断△O1O2D的形状，并说明理由；（3）如图2，若AB＝6，AC＝，∠BAC＝60°，请直接写出O1O2的长．2020-2021学年河南省实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．x2+y+3＝0C．（x﹣1）（x+1）＝1D．（x+2）（x﹣1）＝x2【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．【解答】解：A、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、该方程中含有2个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意；C、由已知方程得到：x2﹣2＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；D、由原方程得到：x﹣2＝0，该方程中含有未知数的项的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项不符合题意．故选：C．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（）A．25°B．30°C．45°D．60°【分析】根据直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AD＝CD，∵DC＝AC，∴AD＝CD＝AC，∴△ACD是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠B＝180°﹣90°﹣60°＝30°，故选：B．3．利用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，经过配方，得到（）A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+4）2＝9D．（x﹣4）2＝9【分析】先移项，再配方，变形后即可得出选项．【解答】解：x2+4x﹣5＝0，x2+4x＝5，x2+4x+4＝5+4，（x+2）2＝9，故选：A．4．下列说法正确的是（）A．矩形对角线相互垂直平分B．对角线相等的菱形是正方形C．两邻边相等的四边形是菱形D．对角线分别平分对角的四边形是平行四边形【分析】根据矩形的性质可得A错误；先判定四边形是菱形，再判定是矩形就是正方形可得B正确；【解答】解：A．矩形的对角线相等，故A说法错误；B．对角线相等的菱形是正方形，正确；C．两组邻边分别相等的四边形是菱形，故C说法错误；D．每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形，也是平行四边形，故D说法错误；故选：B．5．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1有一个根是0，则m的值为（）A．±1B．1C．﹣1D．1或0【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，一元二次方程的定义求解；把x＝0代入原方程即可求得m的值．【解答】解：把x＝0代入方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1，得m2＝1，解得m＝±1；∵mx2﹣3x＝x2﹣m2+1整理得（m﹣1）x2﹣3x+m2﹣1＝0，∴m﹣1≠0即m≠1，∴m＝﹣1．故选：C．6．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB 于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．【分析】连结BP，如图，根据菱形的性质得BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，然后利用三角形面积公式，由S△ABC＝S△P AB+S△PBC，得到×5×PE+×5×PF＝12，再整理即可得到PE+PF的值．【解答】解：连结BP，如图，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，∵S△ABC＝S△P AB+S△PBC，∴×5×PE+×5×PF＝12，∴PE+PF＝，故选：B．7．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A．朝上的点数是5的概率B．朝上的点数是奇数的概率C．朝上的点数是大于2的概率D．朝上的点数是3的倍数的概率【分析】随机掷一个均匀正六面体骰子，每一个面朝上的概率为，约为16.67%，根据频率估计概率实验统计的频率，随着实验次数的增加，频率越稳定在35%左右，因此可以判断各选项．【解答】解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在35%左右，A的概率为1÷6×100%≈16.67%，B的概率为3÷6×100%＝50%，C的概率为4÷6×100%≈66.67%，D的概率为2÷6×100%≈33.33%，即朝上的点数是3的倍数的概率与之最接近，故选：D．8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF，请添加一个条件使四边形ADFC为矩形，则这个条件不可能是（）A．AC＝CF B．AD＝CF C．∠B＝∠BCF D．DB＝CF【分析】由矩形的判定、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC，DE＝AC，A、当AC＝CF时，不能证明四边形ADFC是平行四边形，∴不能证明四边形ADFC是矩形，故选项A符合题意；B、AD＝CF时，作CG⊥DF于G，如图所示：则CG∥AD，∴四边形ADGC是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形ADGC是矩形，∴AD＝CG，∴CG＝CF，∴G与F重合，即四边形ADFC是矩形，故选项B不符合题意；C、当∠B＝∠BCF时，AB∥CF，∴四边形ADFC是平行四边形，又∵∠A＝90°，∴平行四边形ADFC为矩形；故选项C不符合题意；D、DB＝CF时，∵DB＝AD，∴AD＝CF，可证明四边形ADFC是矩形，故选项D不符合题意；故选：A．9．如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（）A．5000﹣150x＝4704B．5000﹣150x﹣x2＝4704C．5000﹣150x+＝4704D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意，得：（100﹣x）（50﹣x）＝4704，故选：D．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是（）A．6B．12C．9D．6【分析】连接AD，过D点作DM⊥AC、DN⊥AB．把阴影部分面积分为ADF面积与△ADH面积，根据中位线性质可得DM、DN与正方形边长的关系，最后在△ABC中利用勾股定理，得到AC2+BC2＝9．【解答】解：连接AD，过D点作DM⊥AC、DN⊥AB．∵D为AB中点，DM∥AB，DN∥AC，∴DM＝AB＝，DN＝AC＝．∴△ADF面积＝AF×DM＝AF2，∴△ADH面积＝×DN＝AH2，在Rt△ABC中，∵BC＝6∴AB2+AC2＝BC2＝36，∴阴影部分面积＝△ADF面积+△ADH面积＝AF2+AH2＝AB2+AC2＝×36＝9．故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．方程x（x﹣3）＝0的解为x1＝0，x2＝3．【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：x（x﹣3）＝0，可得x＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝0，x2＝3．故答案为：x1＝0，x2＝312．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝2．则CE＝1．【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，OA＝OC＝OD＝OB＝BD＝，∵OE＝1，CE⊥BD，∴由勾股定理可知：CE＝1，故答案为：1．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1）．对角线BD交AC于点M．交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是（﹣2，4）．【分析】作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，MP⊥轴于P，则MP∥BF，求出M（1，1），则OP＝MP＝1，△OPM是等腰直角三角形，证∠M△OMN是等腰直角三角形，得MN ＝MO，则NP＝OP＝1，由平行线分线段成比例定理得＝＝＝，则NF＝4NP ＝4，BF＝4MP＝4，进而得出答案．【解答】解：作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，MP⊥轴于P，如图所示：则MP∥BF，∵四边形ABCD是菱形，∴MA＝MC，MB＝MD，AC⊥BD，∵点A（3，3），C（﹣1，﹣1），∴M（1，1），∴OP＝MP＝1，△OPM是等腰直角三角形，∴∠MOP＝45°，∵AC⊥BD，∴△OMN是等腰直角三角形，∴MN＝MO，∴NP＝OP＝1，∵BN＝2ND，∴BM＝3MN，BN＝4MN，∵MP∥BF，∴＝＝＝，∴NF＝4NP＝4，BF＝4MP＝4，∴OF＝NF﹣ON＝2，∴点B（﹣2，4），故答案为：（﹣2，4）．14．在一个不透明的袋子里装有两个红球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后不再放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是．【分析】根据题意画出树状图，由概率公式即可得两次都摸到红球的概率．【解答】解：画出树状图：根据树状图可知：所有等可能的结果共有6种，其中两次都摸到红球的有2种，∴两次都摸到红球的概率是＝；故答案为：．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD＝，其中正确的结论是①②．【分析】证得△ABC是等边三角形，则可得∠B＝∠EAC＝60°，由SAS即可证得△ABF ≌△CAE，可得∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，由外角性质可得∠FHC＝∠B，①②正确；由∠OAD＝60°＝∠EAC≠∠HAC，③△ADO≌△ACH不正确；求出△ABC的面积＝AB2＝，得菱形ABCD的面积＝，④不正确；即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形，∴∠EAC＝∠B＝60°，同理：△ADC是等边三角形∴∠OAD＝60°，在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS）；∴∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，∵∠FHC＝∠ACE+∠F AC＝∠BAF+∠F AC＝∠BAC＝60°，∴∠FHC＝∠B，故①正确，②正确；∵∠OAD＝60°＝∠EAC≠∠HAC，故③△ADO≌△ACH不正确；∵△ABC是等边三角形，AB＝AC＝1，∴△ABC的面积＝AB2＝，∴菱形ABCD的面积＝2△ABC的面积＝，故④不正确；故答案为：①②．三、解答题（本题共75分）16．（12分）请选择合适的方法解下列方程：（1）3x2+5x﹣1＝0；（2）x2﹣4x＝95；（3）（2x﹣5）2＝（x﹣2）2；（4）2（x﹣3）2＝﹣x（3﹣x）．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用配方法求解可得；（3）利用直接开平方法求解可得；（4）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝3，b＝5，c＝﹣1，∴△＝52﹣4×3×（﹣1）＝37＞0，则x＝＝；（2）∵x2﹣4x＝95，∴x2﹣4x+4＝95+4，即（x﹣2）2＝99，则x﹣2＝，∴x＝2；（3）∵（2x﹣5）2＝（x﹣2）2，∴2x﹣5＝x﹣2或2x﹣5＝2﹣x，解得x＝3或x＝；（4）∵2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，则x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x＝3或x＝6．17．（8分）“一方有难，八方支援”是中华民族的传统美德．在抗击新冠病毒战役中，我省支援湖北医疗队共1460人奔赴武汉．其中小丽、小王和三个同事共五人直接派往一线某医院，根据该医院人事安排需要先抽出一人去急诊科，再派两人到发热门诊，请你利用所学知识完成下列问题．（1）小丽被派往急诊科的概率是；（2）若正好抽出她们一位同事去往急诊科，请你利用画树状图或列表的方法，求出小丽和小王同时被派往发热门诊的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出小丽和小王同时被派往发热门诊的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）小丽被派往发热门诊的概率；故答案为：；（2）小丽、小王和两个同事分别用A，B，C1，C2表示，根据题意画图如下：由上可知；一共出现了12种等可能的结果，小丽和小王同时出现的有2种情况，则小丽和小王同时被派往发热门诊的概率是＝．18．（8分）已知关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）给m选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根．【分析】（1）根据根的判别式及一元二次方程的定义列出关于m的不等式，解之可得；（2）取m＝3，再利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2m）2﹣4×（m+1）（m﹣3）＞0且m+1≠0，解得m＞且m≠﹣1；（2）取m＝3，此时方程为4x2+6x＝0，整理为2x（2x+3）＝0，∴2x＝0或2x+3＝0，解得x1＝0，x2＝．19．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）若且EG平分∠HEF，请判断四边形EFGH的形状，并说明理由．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△AEH≌△CGF，得EH＝GF，同理△BEF≌△DGH（SAS），得EF＝GH，即可得出四边形EFGH是平行四边形；（2）由（1）知四边形EFGH是平行四边形，再证得该平行四边形的邻边相等即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH＝GF，同理：△BEF≌△DGH（SAS），∴EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：四边形EFGH是菱形，理由如下：由（1）得：四边形EFGH为平行四边形．∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE．∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，∴EFGH是菱形．20．（8分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，根据二月份及四月份口罩的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，根据总利润＝每袋口罩的销售利润×月销售数量结合五月份可获利1920元，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，依题意，得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，化简，得：y2+4y﹣12＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC ＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．【分析】（1）如图1中，作DH⊥BC于H．则四边形ABHD是矩形．分两种情形讨论①当四边形PQCD是平行四边形时，PD＝CQ，②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD，易知CQ﹣PD＝2CH，分别求解即可；（2）设Q点运动的速度xcm/s时，由四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，推出P A＝BQ＝4或P A＝BQ＝16，推出t＝4或16，可得24﹣4x＝4或24﹣16x＝16，解方程即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥BC于H．则四边形ABHD是矩形．∴AD＝BH＝20，CH＝BC﹣BH＝4，①当四边形PQCD是平行四边形时，PD＝CQ，∴20﹣t＝3t，解得t＝5．②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD，易知CQ﹣PD＝2CH，∴3t﹣（20﹣t）＝8，解得t＝7．综上所述，t＝5或7s时，PQ＝CD．（2）设Q点运动的速度xcm/s时，∵四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，∴P A＝BQ＝4或P A＝BQ＝16，∴t＝4或16，∴24﹣4x＝4或24﹣16x＝16，解得x＝5或，∴要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，Q点运动的速度为5cm/s或cm/s．．22．（10分）我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中记载用几何法对一元二次方程进行求解的方法，例如：求方程x2+2x＝35正根的方法：构造出4个长为x+2，宽为x的长方形，围成一个边长为x+2+x的正方形，所以S1＝S2＝S3＝S4＝（x+2）×x，S5＝4，得到大正方形面积为4×x（x+2）+22＝4×35+4＝144，大正方边长为12，所以x＝5．（1）请利用上面方法画出图形，求出方程x2+4x﹣15＝0的正根，并写出分析过程；（2）你能否画出用几何法画出求方程m2﹣2m﹣5＝0正根，如果可以，请直接画出图形，标注相关信息．【分析】（1）仿照案例，构造面积是（x+x+4）2的大正方形，由它的面积为4×15+42，可求出x＝2，此题得解．【解答】解：（1）如图，图中大正方形的面积是（x+x+4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×15+42，据此易得x＝2．（2）能，画出图形如图，23．（11分）如图，分别以△ABC的AB、AC为一边，向外作正方形ABEF和正方形AGHC．（1）如图1，连接BG、CF相交于点P，则BG、CF数量关系：BG＝CF，位置关系：BG⊥CF；（2）如图2，点D是BC的中点，点O1、O2，分别是正方形ABEF和正方形AGHC对角线的交点，连接O1D、O2D、O1O2，判断△O1O2D的形状，并说明理由；（3）如图2，若AB＝6，AC＝，∠BAC＝60°，请直接写出O1O2的长．【分析】（1）由SAS证明△F AC≌△BAG，得出BG＝CF，∠AFC＝∠ABG，证得∠FPG ＝∠ABG+∠BQP＝∠AFC+∠AQF＝90°，即可得出结论；（2）连接FC、BG、FB、GC，证得O1D是△BCF的中位线，O2D是△CBG的中位线，根据三角形中位线定理可得O1D＝O2D，O1D⊥O2D，即可得出结论；（3）作FM⊥CA交其延长线于点M，证得∠F AM＝180°﹣∠F AB﹣∠BAC＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，即可得到FC的长，再根据（2）中结论即可得出结果．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABEF和四边形AGHC是正方形，∴AF＝AB，AC＝AG，∠F AB＝∠CAG＝90°，∴∠F AB+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠F AC＝∠BAG，在△F AC和△BAG中，，∴△F AC≌△BAG（SAS），∴BG＝CF，∠AFC＝∠ABG，∵∠AQF＝∠BQP，∴∠FPG＝∠ABG+∠BQP＝∠AFC+∠AQF＝90°，∴BG⊥CF，故答案为：BG＝CF，BG⊥CF；（2）△DO1O2是等腰直角三角形，理由如下：连接FC、BG、FB、GC，如图2所示，由（1）得：FC＝BG，FC⊥BG，∵O1是正方形ABEF的中心，∴O1是BF的中点，∵D是BC的中点，∴O1D是△BCF的中位线，∴O1D＝FC，O1D∥FC，同理可得：O2D是△CBG的中位线，∴O2D＝BG，O2D∥BG，∴O1D＝O2D，O1D⊥O2D，∴△DO1O2为等腰直角三角形；（3）作FM⊥CA交其延长线于点M，如图3所示，∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝AF＝6，∠F AB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠F AM＝180°﹣∠F AB﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴MF＝AF＝3，AM＝cos30°×AF＝＝，∴MC＝MA+AC＝，∴FC＝＝＝，∴O1D＝FC＝，∴O1O2＝O1D＝．。

2020学年河南郑州初三数学一模试卷及答案解析一、选择题1.3-的相反数是（）A.3- B.3C.3± D.33-2.华为Mate 305G 系列是近期相当火爆的5G 国产手机，它采用的麒麟9905G 芯片在指甲盖大小的尺寸上集成了103亿个晶体管，将103亿用科学记数法表示为（）A.91003.1⨯ B.9103.10⨯ C.101003.1⨯ D.111003.1⨯3.下列运算正确的是（）A.xx x =-23 B.2523x x x =+ C.xx x 623=⋅ D.3223=÷x x 4.如图是由5个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体A 放到小正方体B 的正上方，则它的()A．左视图会发生改变B．俯视图会发生改变C．主视图会发生改变D．三种视图都会发生改变5.如图，在平行四边形ABCD 中，3AB =，5BC =，以点C 为圆心，适当长为半径画弧，交BC 于点P ，交CD 于点Q ，再分别以点P ，Q 为圆心，大于12PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点N ，射线CN 交BA 的延长线于点E ，则AE 的长是（）．A.25 B.35 C.1 D.26.郑州市某中学获评“2019年河南省中小学书香校园”，学校为创建过程中购买了一批图书．已知购买科普类图书花费12000元，购买文学类图书花费10500元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x 元，则可列方程为()A．12000105001005x x -=-B．10500120001005x x -=-C．12000105001005x x -=-D．10500120001005x x-=-7.2019年9月8日第十一届全国少数民族传统体育运动会在郑州奥体中心隆重开幕，某单位得到了两张开幕式的门票，为了弘扬劳动精神，决定从本单位的劳动模范小李、小张、小杨、小王四人中选取两人去参加开幕式，那么同时选中小李和小张的概率为（）A.161 B.121 C.81 D.618.已知有理数1a ≠，我们把11a -称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．如果12a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数⋯⋯依此类推，那么2020a 的值是()A．2-B．13C．23D．329.用三个不等式a b >，0ab >，11a b>中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为()A．0B．1C．2D．310.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3)m 与旋钮的旋转角度x （单位：度）(090)x ︒<︒ 近似满足函数关系2(0)y ax bx c a =++≠．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()A．33︒B．36︒C．42︒D．49︒二、填空题11.计算：)21312-⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________12.如图，五边形ABCDE 是正五边形．若12//l l ，则12∠-∠=︒．13.如果一元二次方程2960x x m -+=有两个不相等的实数根，那么m 的值可以为_______（写出一个值即可）14.如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC 和CD 于点P ，Q ，平行四边形ABCD 的面积为6，则图中阴影部分的面积为_____．15.如图，在矩形ABMN 中，AN=1，点C 是MN 的中点，分别连接AC，BC，且BC=2，点D 为AC 的中点，点E 为边AB 上一个动点，连接DE，点A 关于直线DE 的对称点称为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC 时，AE 的长为_________三、解答题16.已知分式211111m m m ⎛⎫-÷+ ⎪--⎝⎭（1）请对分式进行化简；（2）如图，若m 为正整数，则该分式的值对应的点落在数轴上的第_____段上。