反证法练习题

反证法练习题反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。

在数学领域，反证法被广泛应用于各种定理的证明过程中。

下面我们来看一些反证法的练习题，以加深对这一证明方法的理解。

练习题1：证明根号2是一个无理数。

假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值，即根号2=a/b，其中a和b互质。

我们可以将这个假设转化为等式2=a^2/b^2，进而得到2b^2=a^2。

根据整数的奇偶性质，我们可以知道a必须为偶数。

那么我们可以将a表示为a=2k，其中k为整数。

将这个结果代入等式2b^2=a^2中，得到2b^2=(2k)^2，即2b^2=4k^2。

进一步简化等式，得到b^2=2k^2。

同样地，根据整数的奇偶性质，我们可以知道b也必须为偶数。

然而，根据我们一开始的假设，a和b应该是互质的，不可能同时为偶数。

这与我们得到的结论相矛盾。

因此，我们可以得出结论，假设根号2是一个有理数是错误的，即根号2是一个无理数。

练习题2：证明任意两个正整数的最大公约数存在。

假设不存在任意两个正整数的最大公约数。

即对于任意两个正整数a和b，它们的最大公约数不存在。

根据这个假设，我们可以得出结论，a和b的最大公约数是1。

因为如果存在一个大于1的公约数，那么它就是最大公约数，与我们的假设相矛盾。

根据最大公约数的定义，最大公约数是能够同时整除a和b的最大正整数。

既然最大公约数是1，那么1能够同时整除a和b，即a和b互质。

然而，我们知道存在无数个互质的正整数对，例如3和5，7和11等等。

这与我们的假设相矛盾，因为我们假设不存在任意两个正整数的最大公约数。

因此，我们可以得出结论，任意两个正整数的最大公约数是存在的。

通过以上两个练习题的分析，我们可以看到反证法在数学证明中的重要性。

通过假设命题不成立，然后推导出矛盾的结论，我们可以证明原命题的正确性。

反证法不仅仅在数学领域有应用，它也被广泛应用于其他领域的推理和证明过程中。

1、用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是Ａ．将结论与条件同时否定，推出矛盾 Ｂ．肯定条件，否定结论，推出矛盾 Ｃ．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用 Ｄ．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件2、否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时的正确反正假设为A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 或都是奇数或至少有两个偶数C ．a 、b 、c 都是偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数3、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设正确的是 A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°4、设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c中 A ．都不大于－2 B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－25、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面6、已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2…)，试证“数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n <x n ＋1，或者对任意正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为A ．对任意的正整数n ，都有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1且x n ≤x n －1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥07、设a ，b ，c ，d 均为正数，求证：下列三个不等式①a ＋b ＜c ＋d ，②()()a b c da b c d ++<+，③()()a b c d a b c d +<+中至少有一个不正确8、已知a b c a b b c c a a b c ++>++>>000，，，求证：a b c >>>000，，9、设a ，b ，c 均为小于1的正数，求证：()()11--a b b c ，，()1-ca 不能同时大于14。

1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角答案 B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°答案 B3．(2014·山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案 A解析依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交答案 D5．已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数．证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.∵4(n2＋n)是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是()①与已知条件矛盾②与假设矛盾③与定义、公理、定理矛盾④与事实矛盾A．①②B．①③C．①③④D．①②③④答案 D2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 C解析假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案 B解析①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除答案 B解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为________答案a，b，c都不是偶数解析a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．。

初三反证法练习题反证法是数学中常用的一种证明方法，通过假设反面来推导出矛盾，从而证明命题的正确性。

下面是一些初三反证法练习题，通过解答这些题目，可以帮助同学们更好地理解和掌握反证法。

1. 证明：不存在最大的有理数。

假设存在一个最大的有理数，记为M。

根据有理数的性质，我们可以找到一个比M大的有理数N，即N=M+1。

显然，N>M，这与M是最大的有理数相矛盾。

因此，不存在最大的有理数。

2. 证明：根号2是无理数。

假设根号2是有理数，即可以表示为两个互质的整数p和q的比值，即根号2=p/q。

我们可以进一步假设p和q没有公因数，否则可以约分。

将等式两边平方得到2=p^2/q^2，整理得到p^2=2q^2。

这说明p^2是2的倍数，根据整数分解定理，p也是2的倍数。

设p=2k，代入等式得到(2k)^2=2q^2，整理得到2k^2=q^2。

这说明q^2是2的倍数，因此q也是2的倍数。

这与p和q没有公因数相矛盾，因此假设不成立，根号2是无理数。

3. 证明：不存在无限递增的整数序列。

假设存在一个无限递增的整数序列a1, a2, a3, ...。

我们可以取相邻的两个数ai和ai+1，如果ai>=ai+1，那么这个序列不是无限递增的；如果ai<ai+1，那么我们可以找到一个大于ai+1的整数，记为N，这与序列无限递增相矛盾。

因此，不存在无限递增的整数序列。

4. 证明：存在无限个素数。

假设只有有限个素数，记为p1, p2, p3, ..., pn。

我们考虑数N=p1*p2*p3*...*pn+1，显然N大于任意一个素数pi。

根据素数的定义，N只能是合数，即可被p1, p2, p3, ..., pn中的至少一个素数整除。

但是，N除以任意一个素数pi的余数都不为0，这与N是合数相矛盾。

因此，假设不成立，存在无限个素数。

通过这些反证法练习题的解答，我们可以看到反证法在数学证明中的重要作用。

通过假设反面来推导出矛盾，从而证明命题的正确性。

数学2-22.2.2 反证法一、选择题1．（较易）应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用（）①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④【解析】考查反证法的基本思想．【答案】C2．（容易）（2012·河南省安阳市期末）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60o”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60oB．假设三内角都大于60oC．假设三内角至少有一个大于60oD．假设三内角至多有两个大于60o【解析】“至少有一个”即“全部中最少有一个”【答案】B>）3．（容易）用反证法证明命题“如果a bA BC D【解析】“大于”的否定为“小于或等于”．【证明】C4．）A BC D【解析】【答案】D5．（容易）（1）已知332p q +=，求证2p q +…．用反证法证明时，可假设2p q +…．（2）已知,,1a b ab ?<R ，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x …．以下结论正确的是（ ） A ．（1）与（2）的假设都错误 B ．（1）与（2）的假设都正确 C ．（1）的假设正确；（2）的假设错误 D ．（1）的假设错误；（2）的假设正确【解析】“…”的反面是“>”，故（1）错误．“两根的绝对值都小于1”的反面是“至少有一个根的绝时值大于或等于1”，故（2）对． 【答案】D6．（容易）用反证法证明命题“,a b ÎN ，如果ab 可被5整除，那么,a b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是（ ） A ．,a b 都能被5整除 B ．,a b 都不能被5整除 C ．a 不能被5整除D ．,a b 有1个不能被5整除【解析】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B 正确． 【答案】B7．“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的否定正确的为（ ） A ．,,a b c 都是奇数 B ．,,a b c 都是偶数 C ．,,a b c 中至少有两个偶数D ．,,a b c 中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数,,a b c 的奇偶性共有四种情形：（1）3个都是奇数；（2）2个奇数，1个偶数；（3）1个奇数，2个偶数；（4）3个都是偶数．所以否定正确的是,,a b c 中都是奇数或至少有两个偶数． 【答案】D8．（容易）用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是（ ） A ．三个内角中至少有一个钝角 B ．三个内角中至少有两个钝角 C ．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．【答案】B9．（容易）用反证法证明命题“关于x的方程()0ax b a=有且只有一个解”时，反设是关于x的方程()0ax b a=（）A．无解B．有两解C．至少有两解D．无解或至少有两解【解析】“唯一”的否定上“至少两解或无解”．【答案】D10．（容易）设a、b、c都是正数，则三个数111,,a b cb c a+++（）A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 【解析】因为a、b、c都是正数，则有1111116a b c a b cb c a a b c骣骣骣骣骣骣鼢鼢鼢珑珑珑+++++=+++++鼢鼢鼢珑珑珑鼢鼢鼢珑珑珑桫桫桫桫桫桫…．故三个数中至少有一个不小于2．【答案】D11．（容易）实数a、b、c不全为0是指（）A．a、b、c均不为0 B．a、b、c中至少有一个为0C．a、b、c至多有一个为0 D．a、b、c至少有一个不为0【解析】“不全为0”并不是“全不为0”，而是“至少有一个不为0”．【答案】D12．（容易）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60o”时，反设正确的是（）A．假设三个内角都不大于60oB．假设三个内角都大于60oC．假设三个内角至多有一个大于60oD．假设三个内角至多有两个大于60o【解析】“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故选B．【答案】B13．（容易）实数,,a b c 满足0a b c ++=，则正确的说法是（ ） A ．,,a b c 都是0B ．,,a b c 都不为0C ．,,a b c 中至少有一个为0D ．,,a b c 不可能均为正数【解析】满足0a b c ++=有两种情况：一是,,a b c 都是0；二是,,a b c 必须有正数也有负数，也可能有0．故选D ． 【答案】D14．（中等）已知数列{}{},n n a b 的通项公式分别为21(,)n n a an b bn a b =+=+，是常数，且a b >，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无穷多个【解析】假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得n n a b =， 由题意,*a b n > N ，则恒有an bn >， 从而21an bn +>+恒成立， ∴不存在n 使n n a b =． 【答案】A15．（中等）设,,(0,)x y z ? ，则三数111,,x y z y z x+++中（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有1个不小于2 D ．至少有1个不大于2 【解析】1111116x y z x y z y z x x y z 骣骣骣骣骣骣鼢珑鼢鼢珑珑鼢+++++=+++++鼢鼢珑珑珑鼢鼢鼢珑珑珑鼢桫桫桫桫桫桫…，则三者中至少有一个不小于2． 【答案】C16．（容易）“M 不是N 的子集”的充分必要条件是 （ ） A ．若x M Î则x N Ï B ．若x N Î则x M Î C ．存在11x M x N 无 ，又存在22x M x N 无D ．存在00x Mx N 无【解析】先找充要条件，再变化范围． 【答案】D17．（容易）a b c d +>+的必要而不充分条件是（ ） A ．a c >B ．b d >C ．a c >且b d >D ．a c >或b d >【解析】先找出充要条件，再变化范围． 【答案】D18．（容易）给定一个命题“已知120,1x x > ，且312331n nn n x x x x ++=+，证明对任意正整数n 都有1n n x x +>”，当此题用反证法否定结论时应是（ ） A ．对任意正整数n 有1n n x x +… B ．存在正整数n 使1n n x x +… C ．存在正整数n 使1n n x x +>D ．存在正整数n 使1n n x x -…，且1n n x x +…【解析】“对任意正整数n 都有1n n x x +>”的反设命题是“存在正整数n 使1n n x x +…”．故B 正确． 【答案】B19．（容易）已知三角形的三边长分别为,,a b c ，设11a b M a b =+++，1cN c=+，1a b Q a b +=++，则,M N 与Q 的大小关系是（ ） A ．M N Q << B ．M Q N << C ．Q N M <<D ．N Q M <<【解析】由a b c +>，得11a b c<+，111111a b c a b a b c c ++++=<=+++． 【答案】D20．（中等）设不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是（ ） A ．(1,)+B ．4(1)3，C ．4[1]3，D ．(0,1]【解析】由条件得22a ab b a b ++=+，所以222()a b a ab b a b +>++=+， 故1a b +>． 又()20a b ->，可得()()222234a ab b a ab b ++<++， 从而()()234a b a b +<+， 所以43a b +<， 故413a b <+<． 【答案】B21．（中等）已知函数()f x 在其定义域内是减函数，则方程()0f x =（ ） A ．至多一个实根 B ．至少一个实根 C ．一个实根D ．无实根【解析】从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A ． 【答案】A22．（容易）已知0,10a b <-<<，那么a 、ab 、2ab 之间的大小关系是（ ） A ．2a ab ab >> B ．2ab ab a >> C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >>【解析】采用“特殊值法”，取1a =-、0.5b =-． 【答案】D23．（容易）已知αβl =I ，αa Ð，βb Ð，若a 、b 为异面直线，则（ ） A ．a 、b 都与l 相交 B ．a 、b 中至少一条与l 相交 C ．a 、b 中至多有一条与l 相交 D ．a 、b 都与l 相交【解析】从逐一假设选择项成立着手分析． 【答案】B24．（中等）平面内有四边形ABCD 和点O ，OA OC OB OD +=+uu r uuu r uu u r uuu r ，则四边形ABCD 为（ ）A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形【解析】∵OA OC OB OD +=+uu r uuu r uu u r uuu r， ∴OA OB OD OC -=-uu r uu u r uuu r uuu r ， ∴BA CD =uu r uu u r ，∴四边形ABCD 为平行四边形． 【答案】D25．（容易）[2014·山东高考] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A. 方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D. 方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根[解析] “方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A. 【答案】A二、填空题1．（容易）设2()f x x ax b =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12．用反证法证明此题时应假设 ．【解析】“至少有一个”反面是“一个也没有”，“不小于”反面是“小于”． 【答案】(1),(2),(3)f f f 全都小于12． 2．（较易）用反证法证明：“ABC △中，若A B ∠>∠，则a b >”的结论的否定为 ． 【解析】a b >的否定为a b …． 【答案】a b …3．（容易）将“函数22()42(2)21f x x p x p p =----+在区间[1,1]-上至少存在一个实数c ，使()0f c >”反设，所得命题为“ ”． 【解析】“至少存在一个”反面是“不存在”．【答案】函数22()42(2)21f x x p x p p =----+在区间[1,1]-上恒小于等于04．（中等）若下列两个方程22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是 ．【解析】若方程22(1)0x a x a +-+=有实根， 则22(1)40a a --…， ∴113a-剟． 若方程2220x ax a +-=有实根， 则2480a a +…， ∴2a -…或0a …．∴当两个方程至少有一个有实根时，113a -剟或2a -…或0a …， 即2a -…或1a -…． 【答案】2a -…或1a -…5．（容易）用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①9090180A B C C ∠+∠+∠=︒+︒+∠>︒，这与三角形内角和为180︒矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设ABC △中有两个直角，不妨设90A ∠=︒，90B ∠=︒． 上述步骤的正确顺序为 ．【解析】反证法的步骤是：（1）反设；（2）归谬；（3）存真． 【答案】③①②6．（容易）下列命题适合用反证法证明的是 ．①已知函数2()1x x f x a x -=++(1)a >，证明：方程()0f x =没有负实数根； ②若x ，y ∈R ，0x >，0y >，且2x y +>，求证：1x y +和1yx +中至少有一个小于2；③关于x 的方程(0)ax b a =≠的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．【解析】①是“否定”型命题；②是“至少”型命题；③是“唯一”型命题，且题中条件较少；④中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明． 【答案】①②③④7．（容易）完成反证法证题的全过程．题目：设127,,,a a a …是由数字1，2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积127(1)(2)(7)p a a a =---…为偶数．证明：假设p 为奇数，则 均为奇数．① 因7个奇数之和为奇数，故有…+127(1)(2)(7)a a a -+-+-为 ． ②而…+127(1)(2)(7)a a a -+-+- …+127()(127)a a a =++-+++= ． ③②与③矛盾，故p 为偶数．【解析】由假设p 为奇数可知1(1)a -，2(2)a -，…，7(7)a -均为奇数， 故127(1)(2)(7)a a a -+-+-…+127()(127)a a a =++-+++=……0为奇数，这与0为偶数矛盾．【答案】①11a -，22a -，…，77a -②奇数③08．（容易）ABC △中，若AB AC =，P 是ABC △内的一点，APB APC ∠>∠，求证：BAP CAP ∠<∠，用反证法证明时的假设为 ．【解析】反证法对结论的否定是全面否定，BAP CAP ∠<∠的对立面是BAP CAP ∠=∠或BAP CAP ∠>∠． 【答案】BAP CAP ∠=∠或BAP CAP ∠>∠9．（容易）用反证法证明命题“,a b 为整数，若a b 不是偶数，则,a b 都不是偶数”时，应假设为 ． 【解析】“,a b 都不是偶数”，指“,a b 都是奇数”，它的反面是“,a b 不都是奇数”，或“,a b 中至少有一个是偶数” ．【答案】,a b 不都是奇数（或,a b 中至少有一个是偶数）10．（容易）设实数a 、b 、c 满足1a b c ++=，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于 ．【解析】假设a 、b 、c 都小于13，则1a b c ++<与1a b c ++=矛盾．故a 、b 、c 中至少有一个不小于13．【答案】13三、解答题1．（中等）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =+39S =+（1）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （2）设*()nn S b n n=∈N ，求证数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．（1）【解】∵11a =39S =+，且{}n a 为等差数列，∴1239a a a ++=+∴239a =+∴23a =+ ∴公差212d a a =-=，∴1(1)(12(1)21n a a n d n n =+-=+-=，21(1)(1(1)2n n n S na d n n n n -=+=+-=．（2）【证明】由（1）得n n Sb n n ==+假设数列{}n b 中存在三项p b ，q b ，r b (,,p q r 互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =，即2((q p r =，∴2()(20q pr q p r -+--． ∵*,,p q r ∈N ， ∴20,20,q pr q p r ⎧-=⎨--=⎩∴2()2p r pr +=，2()0p r -=， ∴p r =， 这与p r ≠矛盾．∴数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．2．（稍难）组装甲、乙、丙三种产品，需要A ，B ，C 三种零件，每件甲产品用零件A ，C 各2个；每件乙产品用零件A 2个，零件B 1个；每件丙产品用零件B ，C 各1个．如组装10件甲，8件乙，5件丙，则剩下1个A 零件，1个B 零件，C 零件恰好用完．求证：无论如何改变甲、乙、丙的件数，都不会将零件A ，B ，C 用完．【解析】本题的结论是“无论怎样改变甲、乙、丙的件数，都不会将零件A ，B ，C 用完”，A ，B ，C 不能用完的情况有多种，而结论的反面是“零件A ，B ，C 都恰好用完”，这只是一种确定的情况，即三种零件的剩余数皆为0，因此从反面出发，较易证．【证明】假设组装甲x 件，乙y 件，丙z 件，零件A ，B ，C 都恰好用完， 则有方程组22210281,22105,851,x y x z y z +=⨯+⨯+⎧⎪+=⨯+⎨⎪+=++⎩解得59,628,315,3x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩方程组的解均为非整数，与题设矛盾，即假设错误， 所以原命题成立．3．（中等）已知三个正数,,a b c 成等比数列，但不成等差数列，【证明】即4a c b ++=， 而2b ac =，即b =，∴a c ++∴20=，．从而a b c ==，与,,a b c 不成等差数列矛盾，4．（稍难）证明：对于直线l ：1y kx =+，不存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：2231x y -=的交点A ，B 关于直线(y ax a =为常数）对称．【证明】假设存在实数k ，使得,A B 关于直线y ax =对称，设12(,)A x y ，22(,)B x y ，则有：（1）直线l ：1y kx =+与直线y ax =垂直； （2）点,A B 在直线l ：1y kx =+上； （3）线段AB 的中点1212(,)22x x y y ++在直线y ax =上， 所以121212121,()2,22ka y y k x x y y x x a ⎧⎪=-⎪+=++⎨⎪++⎪=⎩①②.③由221,31,y kx y x =+⎧⎨=-⎩得22(3)220k x kx ---=． ④当23k =时，l 与双曲线仅有一个交点，不合题意． 由②③得1212()()2a x x k x x +=++， ⑤ 由④知12223kx x k +=-， 代入⑤整理得3ak =， 这与①矛盾． 所以假设不成立，故不存在实数k ，使得,A B 关于直线y ax =对称．5．（稍难）已知向量(1,2)=a ，(2,1)=-b ，,k t 为正实数，2(1)t =++x a b ，11k t =-+y a b ．是否存在,k t ，使x y ∥？若存在，求出,k t 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解】2222(1)(1,2)(1)(2,1)(21,3)t t t t =++=++-=--+x a b ，11111221(1,2)(2,1)(,)k t k t k t k t =--+-=---+y a +b =．假设存在正实数,k t ，使x y ∥，则222112(21)()(3)()0t t k t k t---+-+--=．化简，得2110t k t++=，即30t t k ++=． ∵,k t 是正实数， ∴满足上式的,k t 不存在．∴不存在这样的正实数,k t ，使x y ∥．6．（中等）已知实数p 满足不等式(21)(2)p p ++0<，用反证法证明：关于x 的方程22250x x p -+-=无实数根．【解】假设方程22250x x p -+-=有实数根， 则该方程的根的判别式244(5)0p ∆=--…， 解得2p …或2p -… ①，而由已知实数p 满足不等式(21)(2)p p ++0<， 解得122p -<<-②． 数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立， 从而关于x 的方程22250x x p -+-=无实数根．7．（稍难）（2013·陕西理节选）设{}n a 是公比为q 的等比数列．设1q ≠，证明数列{1}n a +不是等比数列． 【思路分析】假设{1}n a +是等比数列，任取连续三项，利用等比中项构建方程，推出含公比的方程无解或公比为1．【解】假设{1}n a +是等比数列， 则对任意的*k ∈N ， 212(1)(1)(1)k k k a a a +++=++，21122211k k k k k k a a a a a a ++++++=+++，2211111111112k k k k k k a q a q a q a q a q a q -+-++=++g ，∵10a ≠，∴112k k k q q q -+=+． ∵0q ≠， ∴2210q q -+=， ∴1q =，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{1}n a +不是等比数列．8．（难）（2013·北京理节选）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列．该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，…的最小值记为n B ，n n n d A B =-．证明：若12a =，1(1,2,3,)n d n ==…，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1． 【证明】因为12a =，11d =， 所以112A a ==，1111B A d =-=． 故对任意1n …，11n a B =…．假设{}n a （2n …）中存在大于2的项． 设m 为满足2m a >的最小正整数， 则2m …，并且对任意1k m <…，2k a …． 又12a =，所以12m A -=，且2m m A a =>．于是，211m m m B A d =->-=，1min{,}2m m m B a B -=…． 故111220m m m d A B ---=--=…，与11m d -=矛盾． 所以对于任意1n …，有2n a …，即非负整数数列{}n a 的各项只能为1或2． 因为对任意1n …，12n a a =…， 所以2n A =．故211n n n B A d =-=-=．因此对于任意正整数n ，存在m 满足m n >，且1m a =， 即数列{}n a 有无穷多项为1．9．（难）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：*1n a n +=∈N ，设*1,n n n bb n a +=∈N g ，且{}n a 是等比数列，求证：*1,n a a n =∈N ．【思路分析】由要证的结论可知需证明数列{}n a 的公比1q =，但由条件很难看出思路，因此不妨假设1q ≠，然后结合所给的条件寻找矛盾，即用反证法证明． 【证明】∵0n a >，0n b >， ∴2222()()2n n n n n n a b a b a b ++<+…，∴11n a +<*）． 设等比数列{}n a 的公比为q ， 由0n a >知0q >， 下面用反证法证明1q =： 若1q >，则212a a a q=<…∴当1log qn >11n n a a q +=>*）矛盾； 若01q <<，则2121a a a q=>>， ∴当11log qn a >时， 111n n a a q +=<，与（*）矛盾．综上所述，1q =，从而*1,n a a n =∈N ．10．（中等）设直线11:1l y k x =+，22:1l y k x =-，其中实数12,k k 满足1220k k +=，证明1l 与2l 相交． 【思路分析】判断两直线相交的方法是联立两直线的方程，若该方程组有解，则这组解对应两直线的交点，由于实数12,k k 未知，不易解方程组，考虑从两直线相交的反面——两直线平行入手，利用反证法证明． 【证明】假设直线1l 与2l 不相交， 则1l 与2l 平行，由直线1l 与2l 的方程可知实数12,k k 分别为两直线的斜率， 则有12k k =，代入1220k k +=，消去1k ，得2220k +=，2k 无实数解，这与已知2k 为实数矛盾． 所以12k k ≠， 即1l 与2l 相交．11．（容易）给定实数,0a a ≠且1a ≠，设函数11x y ax -=-（其中x ∈R 且1x a≠），证明：经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x 轴．【证明】设111(,)M x y ，222(,)M x y 是函数图象上任意两个不同的点，则12x x ≠． 假设直线12M M 平行于x 轴，则12y y =， 即12121111x x ax ax --=--， 整理得1212()a x x x x -=-． ∵12x x ≠，∴1a =， 这与已知1a ≠矛盾， ∴假设错误，故直线12M M 不平行于x 轴．12．（稍难）若下列三个方程：24430x ax a +-+=，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围． 【解】若三个方程均无实根，则2122223(4)4(43)0,(1)40(2)4(2)0a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩ 31,22131,13220a a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪⇒<->⇒-<<-⎨⎪⎪-<<⎪⎩或．设3{|1}2A a a =-<<-，则3A {|1}2a a a =--R ðn 剠，故所求实数a 的取值范围是3{|1}2a a a--或剠．13．（容易）设,a b 是异面曲线，在a 上任取两点1A ，2A ，在b 上任取两点1B ，2B ，试证：11A B 与22A B 也是异面直线．【证明】假设11A B 与22A B 不是异面直线，则11A B 与22A B 可以确定一个平面α，点1A ，2A ，1B ，2B 都在平面α内， 于是12A A α⊂，12B B α⊂，即a α⊂，b α⊂， 这与已知,a b 是异面直线矛盾， 所以假设错误．因此11A B 与22A B 也是异面直线． 14．（中等）已知2()(1)1x x f x a a x -=+>+，证明方程()0f x =没有负数根． 【证明】假设0x 是()0f x =的负数根， 则00x <且01x ≠-且00021x x a x -=-+， 由000201011x x a x -<<⇒<-<+， 解得0122x <<， 这与00x <矛盾， 所以假设不成立，故方程()0f x =没有负数根．15．（难）正实数数列{}n a 中，11a =，25a =，且2{}n a 成等差数列．证明数列{}n a 中有无穷多项为无理数．【证明】由已知得2124(1)na n =+-，从而n a ，取21*124()k n k --=∈N ，则*)n a k =∈N ．用反证法证明这些n a 都是无理数．假设*)n a k ∈N 为有理数，则n a 必为正整数，且24k n a >，故241k n a -…． 又241k n a +>，所以(24)(24)1k k n n a a -+>，与(24)(24)1k k n n a a -+=矛盾， 故假设错误，即*)n a k =∈N 都是无理数． 故数列{}n a 中有无穷多项为无理数．16．（难）已知,a b 是正有理数，【证明】p =， 因为,a b 是正有理数，所以0p >．p =得22a p b =+-22p b a p+-．因为,,a b p 均为有理数，必为有理数， 这与已知条件矛盾， 故假设错误．。

反证法练习题证明题1．求证：两组对边的和相等的四边形外切于一圆．2．已知△ABC与△A′BC有公共边BC，且A′B＋A′C＞AB＋AC．求证点A′在△ABC 的外部．3．求证：相交两圆的两个交点不能同在连心线的同侧．4．用反证法证明：直角三角形斜边上的中点到三顶点的距离相等．5．已知△ABC中，AB＞AC，∠ABC和∠ACB的平分线相交于O点．求证：AO与BC不垂直．6．在同圆中，如果两条弦的弦心距不等，那么这两条弦也不等．7．求证：两条直线相交，只有一个交点．8．求证：一直线的垂线和非垂线一定相交．9．在四边形ABCD中，已知AB≠CD，求证AC，BD必不能互相平分．10．已知直线l1∥直线l2，直线m1∥直线 m2，且l1，m1相交于点P．求证l2与m2必相交．11．求证：若四边形的一组对边的中点连线等于另一组对边的和的一半，则另一组对边必互相平行．12．已知△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O．求证C点必在⊙O上．13．已知△ABC与△A′BC有公共边BC，且∠BA′C＜∠BAC．求证点A′在△ABC的外部．14．求证：梯形必不是中心对称图形．15．已知如图7-399，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部的一点，且∠APB≠∠APC．求证PB≠PC．练习题提示证明题1．提示：设四边形ABCD中AB+CD=BC+DA．假设它不外切于圆，可作⊙O与AB，BC，CD 相切，则⊙O必不与DA相切．作D′A与⊙O相切并与射线CD相交于D′，则AB+CD′=BC+D′A．与已知条件左右各相减，得DD′=|DA-D′A|，但在△ADD′中这不可能；所以四边形ABCD外切于圆．2．提示：假设A′在△ABC内部，由练习题（已知：P为△ABC内任意一点，连接PB，PC．求证：BC＜PB+PC＜AB+AC）可知A′B+A′C＜AB+AC，这与已知矛盾；所以A′不在△ABC 内部．设A′在边AB或AC上，显然有A′B+A′C＜AB+AC，这也与已知矛盾．所以点A′在△ABC的外部．3．提示：设⊙O与⊙O′相交于点A，B．假设A，B在连心线OO′同侧．由于∠OO′B=∠OO′A，∠O′OB=∠O′OA，显然B与A重合，即⊙O与⊙O′相交于一点，这与已知矛盾；所以A，B不能同在连心线的同侧．4．提示：设直角△ABC的斜边AB的中点为D．假设AD=BD＜CD，设法证出∠C为锐角，这与已知矛盾．假设AD=BD＞CD，设法证出∠C为钝角，这也与已知矛盾．所以只有AD=BD=CD．5．提示：假设AO⊥BC．由于O是∠B、∠C的平分线的交点，所以AO是∠A的平分线．这样就有AB=AC，这与已知矛盾；所以AO与BC不垂直．6．提示：设AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，且OE≠OF．假设AB=CD，则OE=OF，这与已知OE≠OF矛盾．所以假设不成立．所以AB≠CD．7．提示：设直线AB，CD相交于M．假设直线AB，CD另有一个交点N，这说明经过M，N两点有两条直线AB和CD，这与公理经过两点有且只有一条直线矛盾．故假设不成立．所以AB，CD只有一个交点．8．提示：设直线a⊥直线l，直线b不垂直于l．假设a和b不相交，则a∥b，从而b⊥l，但这与已知矛盾；所以a和b相交．9．提示：假设AC和BD互相平分，则可推出AB=CD，但这与已知矛盾；所以AC和BD 不能互相平分．10．提示：假设l2与m2不相交，则l2∥m2．因为l1∥l2．所以l1∥m2．因为m1∥m2，所以l1∥m1．这与已知l1与m1相交于点P矛盾．所以假设不成立．所以l2与m2必相交．11．提示：设M和N分别是四边形ABCD的边AB和CD的中点，并而MP+PN=MN．但假定AD不平行于BC，P不会在MN上，所以上面这个等式不成立；从而AD∥BC．12．提示：假设点C不在⊙O的圆周上，则点C在⊙O的内部或外部．（1）若C在⊙O内部，延长AC交⊙O于D，连接BD，则∠D=90°．因为∠ACB是△CDB 的外角，所以∠ACB＞∠D．所以∠ACB＞90°．这与已知∠ACB=90°矛盾．（2）若C在⊙O外部，设AC交⊙O于E，连接BE，则∠AEB=90°．因为∠AEB是△CEB 的外角，所以∠AEB＞∠ACB，就有∠ACB＜90°．这与已知∠ACB=90°矛盾．综合（1），（2）可知假设不成立．所以C点必在⊙O上．13．提示：假设A′在△ABC内部，由几何一第三章§8第5题可知∠BA′C＞∠BAC，这与已知矛盾；所以A′不在△ABC内部．设A′在边AB或AC上，显然有∠BA′C＞∠BAC，这也与已知矛盾．所以点A′在△ABC的外部．14．提示：设在梯形ABCD中，AD∥BC，AB不平行于CD．假设它是中心对称图形，O为对称中心．作A和B关于O的对称点A′和B′．则线段A′B′是边AB的对称图形．A′B′或位于BC上，或CD上，或AD上．但A′B′平行于AB，所以或BC或CD或AD平行于AB，这与已知矛盾；所以梯形ABCD不是中心对称图形．15．提示：假设PB=PC，则∠PBC=∠PCB．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，所以∠ABP=∠ACP．因为AB=AC，PB=PC，AP=AP，所以△ABP≌△ACP．所以∠APB=∠APC．这与已知∠APB≠APC矛盾．所以假设不成立，就有PB≠PC．。

初二数学反证法练习题反证法是数学中常用的一种证明方法，通过假设所要证明的结论不成立，然后通过逻辑推理来得出矛盾，进而证明原命题的方法。

在初二数学学习中，掌握反证法的运用对于解题有很大的帮助。

下面，我将为大家提供一些初二数学反证法练习题，帮助大家理解和掌握这个方法。

1. 题目：证明不存在最小正有理数。

解析：要证明不存在最小正有理数，首先假设存在最小正有理数，记为a。

然后通过推理得出矛盾，说明假设不成立。

假设存在最小正有理数a，那么可以找到一个比a小的有理数b，满足0 < b < a。

根据有理数的性质，a与b之间必存在有理数c，使得a > c > b。

然而，根据假设a是最小正有理数，c作为介于a与b之间的有理数，却不满足最小性质，与假设相矛盾。

因此，不存在最小正有理数。

2. 题目：证明根号2是无理数。

解析：要证明根号2是无理数，需要假设根号2是有理数，然后通过推理得出矛盾，说明假设不成立。

假设根号2是有理数，即根号2可以表示为一个最简分数，记为a/b，其中a和b互质。

根据有理数的性质，可以假设a与b都是正整数，且b不等于0。

由根号2 = a/b 可得 2 = (a^2)/(b^2)。

将两边平方，得到 2b^2 = a^2。

因此，根据方程2b^2 = a^2，可以得出结论：a^2是2的倍数。

那么根据整数的性质，a也是2的倍数，假设a = 2c，其中c是正整数。

将a = 2c代入原方程，得到 2b^2 = (2c)^2，化简得到 b^2 = 2c^2。

同理，根据方程b^2 = 2c^2，可以得出结论：b^2也是2的倍数，那么b也是2的倍数。

由于a和b都是2的倍数，说明a和b有共同的因子2，与假设a和b互质相矛盾。

因此，根号2不可能表示为最简分数，即根号2是无理数。

通过以上的两个反证法练习题，我们可以看到反证法在解决一些数学问题时有着重要的作用。

掌握反证法的方法和步骤，能够帮助我们更好地理解和解决数学问题。

反证法习题一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解[答案] C[解析]在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为() A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数[答案] B[解析]a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°[答案] B[解析]“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数[答案] B[解析]“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是()A．a<bB．a≤bC．a＝bD．a≥b[答案] B[解析]“a>b”的否定应为“a＝b或a<b”，即a≤b.故应选B.9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁[答案] C[解析]因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．[答案]没有一个是三角形或四边形或五边形[解析]“至少有一个”的否定是“没有一个”．12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b 中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．[答案]a，b都不能被5整除[解析]“至少有一个”的否定是“都不能”．13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．[答案]③①②[解析]由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.三、解答题15．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.[证明]用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab ＋bc＋ca<0，这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．因此a>0，b>0，c>0成立．。

反证法典型问题综合训练（一）基础知识梳理1、反证法的概念：不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

2、反证法的基本思路：首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。

这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。

3、反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。

运用“反证法”的关键：反证法的主要手段是从求证的结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此，如何导出矛盾，就成了使用反证法的关键。

“反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。

（二）典型中考真题训练选择题（共10小题）1．要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（）A．a=1，b=﹣2B．a=0，b=﹣1C．a=﹣1，b=﹣2D．a=2，b=﹣12．选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C=90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°．”时，应先假设（）A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°3．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°4．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=﹣2B．a=﹣1C．a=1D．a=25．以下可以用来证明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例为（）A．3B．4C．8D．66．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°7．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交8．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（）A．假设三个外角都是锐角B．假设至少有一个钝角C．假设三个外角都是钝角D．假设三个外角中只有一个钝角9．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（）A．a∥b B．a与b垂直C．a与b不一定平行D．a与b相交10．用反证法证明：a，b至少有一个为0，应该假设（）A．a，b没有一个为0B．a，b只有一个为0C．a，b至多一个为0D．a，b两个都为0填空题（共5小题）11．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角的第一步是假设这个三角形中_________．12．用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行”的第一步应假设．13．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设．14．写出命题“若a2=b2，则a=b”是假命题的反例是．15．为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题，可以找的反例是．解答题（共10小题）16．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．17．试用举反例的方法说明下列命题是假命题．举例：如果ab＜0，那么a+b＜0反例：设a=4，b=﹣3，ab=4×（﹣3）=﹣12＜0，而a+b=4+（﹣3）=1＞0所以，这个命题是假命题．（1）如果a+b＞0，那么ab＞0；反例：（2）如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数．反例：（3）两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．反例：（画出图形，并加以说明）18．已知：在△ABC中，AB=AC．求证：∠B，∠C不可能等于90°．19．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不与点D重合．20．判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：（1）若，则a=3；（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE=CF．则AD是△ABC的中线．21．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．证明：假设求证的结论不成立，那么∴∠A+∠B+∠C＞这与三角形相矛盾．∴假设不成立∴_________．22．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）23．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．24．如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．25．用反证法证明下列问题：如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．反证法综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（）A．a=1，b=﹣2B．a=0，b=﹣1C．a=﹣1，b=﹣2D．a=2，b=﹣1分析：根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，分别代入数据算出即可．解答：解：∵a=1，b=﹣2时，a=0，b=﹣1时，a=﹣1，b=﹣2时，a＞b，则a2＜b2，∴说明A，B，C都能证明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故A，B，C不符合题意，只有a=2，b=﹣1时，“若a＞b，则a2＞b2”是真命题，故此时a，b的值不能作为反例．故选：D．2．选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C=90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°．”时，应先假设（）A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°分析：用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．解答：解：用反证法证明命题“∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设∠A＞45°，∠B＞45°．故选：A．3．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°分析：用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．解答：解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．故选D．4．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=﹣2B．a=﹣1C．a=1D．a=2分析：根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．解答：解：用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=﹣2，∵（﹣2）2＞1，但是a=﹣2＜1，∴A正确；故选：A．5．以下可以用来证明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例为（）A．3B．4C．8D．6分析：反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．解答：解：A、3不是偶数，不符合条件，故错误；B、4是偶数，且能被4整除，故错误；C、8是偶数，且是4的2倍，故错误；D、6是偶数，但是不能被4整除，故正确．故选D．6．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°分析：此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．解答：解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，则a+b+c＜60°+60°+60°，即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c=180°矛盾．所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．故选B．7．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交分析：用反证法解题时，要假设结论不成立，即假设a与b不平行，即a与b相交．解答：解：∵原命题“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，用反证法时应假设结论不成立，即假设“a与b相交”．故选D．8．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（）A．假设三个外角都是锐角B．假设至少有一个钝角C．假设三个外角都是钝角D．假设三个外角中只有一个钝角分析：“至少有两个”的反面为“至多有一个”，据此直接写出逆命题即可．解答：解：∵至少有两个”的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的逆命题正确；∴应假设：三角形三个外角中至多有一个钝角，也可以假设：假设三个外角中只有一个钝角．故选：D．9．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（）A．a∥b B．a与b垂直C．a与b不一定平行D．a与b相交分析：根据反证法的步骤，直接得出即可．解答：解：∵用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，∴第一步应假设：若a⊥c，b⊥c，则a、b相交．故选：D．10．用反证法证明：a，b至少有一个为0，应该假设（）A．a，b没有一个为0B．a，b只有一个为0C．a，b至多一个为0D．a，b两个都为0分析：根据命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”，可得假设内容．解答：解：由于命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”，故用反证法证明：“a、b至少有一个为0”，应假设“a、b没有一个为0”，故选A．二．填空题（共5小题）11．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角的第一步是假设这个三角形中有两个角是直角．分析：熟记反证法的步骤，直接填空即可．解答：解：用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角时，应先假设这个三角形中有两个角是直角．12．用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行”的第一步应假设两直线平行．分析：本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案．解答：证明：已知平面中有两条直线，被第三条直线所截；假设同位角不相等，则两条直线平行，同位角不相等，则有两条直线与第三直线互相相交，即为三角形．因假设与结论不相同．故假设不成立，即如果同位角不相等．那么这两条直线不平行．故答案为：两直线平行．13．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设a=b．分析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．解答：解：a，b的等价关系有a=b，a≠b两种情况，因而a≠b的反面是a=b．因此用反证法证明“a≠b”时，应先假设a=b．故答案为a=b．14．写出命题“若a2=b2，则a=b”是假命题的反例是22=（﹣2）2，但是2≠﹣2等．分析：根据命题是“若a2=b2，则a=b”，举出a，b互为相反数反例即可．解答：解：∵命题是“若a2=b2，则a=b”∴假命题的反例是：∵22=（﹣2）2，但是2≠﹣2．故此命题是假命题．故答案为：22=（﹣2）2，但是2≠﹣2等．15．为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题，可以找的反例是等腰直角三角形．分析：等腰三角形腰上的高大于腰是不可能的，只能从等腰三角形腰上的高等于腰进行思考．解答：解：因为等腰直角三角形的腰上的高等于腰，则可以找出该命题的反例，即为等腰直角三角形．三．解答题（共10小题）16．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．分析：根据反证法的步骤进行证明．解答：证明：用反证法．假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于90°．根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180°．则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立．所以等腰三角形的底角是锐角．17．试用举反例的方法说明下列命题是假命题．举例：如果ab＜0，那么a+b＜0反例：设a=4，b=﹣3，ab=4×（﹣3）=﹣12＜0，而a+b=4+（﹣3）=1＞0所以，这个命题是假命题．（1）如果a+b＞0，那么ab＞0；反例：（2）如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数．反例：（3）两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．反例：（画出图形，并加以说明）分析：（1）此题是一道开放题，可举的例子多，但只举一例就可．如果a+b＞0，那么ab＞0；所举的反例就是，a、b一个为正数，一个为负数，且正数的绝对值大于负数．（2）可利用平方差公式找这样的无理数，比如1±，两数相加就是有理数．（3）此题主要是利用全等三角形的判定来证明，在这里注意，没有边边角定理．解答：解：（1）取a=2，b=﹣1，则a+b=1＞0，但ab=﹣2＜0．所以此命题是假命题．（2）取a=1+，b=1﹣，a、b均为无理数．但a+b=2是有理数，所以此命题是假命题．（3）如图所示，在△ABC与△ABD中，AB=AB，AD=AC，∠ABD=∠ABC，但△ABC与△ABD显然不全等．所以此命题是假命题．18．已知：在△ABC中，AB=AC．求证：∠B，∠C不可能等于90°．分析：首先假设∠B，∠C都等于90°，进而利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出即可．解答：证明：假设∠B，∠C都等于90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠C＞180°，与三角形内角和定理相矛盾，∴假设不成立，即∠B，∠C不可能等于90°．19．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不与点D重合．分析：直接证明比较困难，可采用反证法进行求解．先假设M在线段CD上，延长AM到N，使AM=MN，通过构建的全等三角形△AMC和△NMB，可得出∠MAC=∠N，AC=BN；然后通过M点的位置，求出∠N和∠BAM的大小关系，进而求出AB＜AC的结论，则假设与已知不符，故得出原结论正确．解答：解：假设点M与点D重合．延长AM到N，使AM=MN，连接BN；在△AMC和△NMB中，，∴△AMC≌△NMB（SAS）；∴∠MAC=∠MNB，BN=AC；根据M在线段CD上，则∠BAM＞∠MAC，∴∠MNB＜∠BAM，∴BN＞AB，即AC＞AB；与AB＞AC相矛盾．因而M与点D重合是错误的．所以点M与点D不重合．20．判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：（1）若，则a=3；（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE=CF．则AD是△ABC的中线．分析：（1）利用a=﹣3时，，但a≠3，得出命题错误；（2）利用已知得出△BED≌△CFD，进而求出BD=CD，得出AD是△ABC的中线．解答：（1）解：是假命题，当a=﹣3时，，但a≠3，所以命题（1）是假命题；（2）是真命题，证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠DFC=∠DEB=90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）∴BD=CD，∴AD是△ABC的中线，∴所以命题（2）是真命题．21．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°∴∠A+∠B+∠C＞180°这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．分析：根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．解答：证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立，∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．故答案为：三角形中所有角都大于60°；180°；的三内角和为180°；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．22．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）分析：运用反证法进行求解：（1）假设结论PB＜PC不成立，即PB≥PC成立．（2）从假设出发推出与已知相矛盾．（3）得到假设不成立，则结论成立．解答：证明：①假设PB=PC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，在△ABP和△ACP中∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，∴PB=PC是不可能的．②假设PB＞PC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，∴∠BAP＜∠CAP，结合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，∴PB＞PC是不可能的．综上所述，得：PB＜PC．23．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．分析：运用反证法进行求解：（1）假设结论PB≠PC不成立，PB=PC成立．（2）从假设出发推出与已知相矛盾．（3）得到假设不成立，则结论成立．解答：证明：假设PB≠PC不成立，则PB=PC，∠PBC=∠PCB；又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB；∴∠ABP=∠ACP；∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC；与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立，则PB≠PC．24．如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．分析：直接证明比较困难，可采用反证法进行求解．先假设M在线段CD上，延长AM到N，使AM=MN，通过构建的全等三角形△AMC和△NMB，可得出∠MAC=∠N，AC=BN；然后通过M点的位置，求出∠N和∠BAM的大小关系，进而求出AB＜AC的结论，则假设与已知不符，故得出原结论正确．解答：解：假设点M不在线段CD上不成立，则点M在线段CD上．延长AM到N，使AM=MN，连接BN；在△AMC和△NMB中，BM=CM，∠AMC=∠BMN，AM=MN，∴△AMC≌△NMB（SAS）；∴∠MAC=∠MNB，BN=AC；根据M在线段CD上，则∠BAM＞∠MAC，∴∠MNB＜∠BAM，∴BN＞AB，即AC＞AB；与AB＞AC相矛盾．因而M在线段CD上是错误的．所以点M不在线段CD上．25．用反证法证明下列问题：如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．分析：利用反证法证明的第一步假设BD和CE互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出BE∥CD，进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确．解答：证明：连接DE，假设BD和CE互相平分，∴四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD，∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，∴AB不可能平行于AC，与已知出现矛盾，故假设不成立原命题正确，即BD和CE不可能互相平分．。

反证法解答题专项练习30题（有答案）1．求证：在△ABC中至多有两个角大于或等于60°．2．设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题：①若a2+ab+c＞0，且c＞1，则0＜b＜2；②若c＞1且0＜b＜2，则a2+ab+c＞0；③若0＜b＜2，且a2+ab+c＞0，则c＞1．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定．3．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”证明：假设所求证的结论不成立，即∠A _________ 60°，∠B _________ 60°，∠C _________ 60°，则∠A+∠B+∠C＞_________ ．这与_________ 相矛盾．∴_________ 不成立．∴_________ ．4．用反证法证明（填空）：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．求证：l1_________ l2证明：假设l1_________ l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P _________ 180°_________所以∠1+∠2 _________ 180°，这与_________ 矛盾，故_________ 不成立．所以_________ ．5．完形填空：已知：如图，直线a、b被c所截；∠1、∠2是同位角，且∠1≠∠2，求证：a不平行b．证明：假设_________ ，则_________ ，（两直线平行，同位角相等）这与_________ 相矛盾，所以_________ 不成立，故a不平行b．6．求证：在△ABC中，∠B≠∠C，则AB≠AC（提示：反证法）7．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．8．反证法证明：如果实数a、b满足a2+b2=0，那么a=0且b=0．9．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）10．证明已知△ABC中不能有两个钝角．11．举反例说明下列命题是假命题．（1）一个角的补角大于这个角；（2）已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．12．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．13．用反例证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题．14．用反证法证明：在同一平面内，a，b，c互不重合，若a∥b，b∥c，则a∥c．15．已知直线a，b，c，且a∥b，c与a相交，求证：c与b也相交．16．用反证法证明：（1）已知：a＜|a|，求证：a必为负数．（2）求证：形如4n+3的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．17．用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角．18．求证：两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么夹角所对的边也不相等．19．用反证法证明下列问题：如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．20．在线段AB上依次取C、D、E三点，将AB分为四段，试说明至少有一段不小于AB，同时，至少有一段不大于AB．21．如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．22．已知a，b，c，d四个数满足a+b=1，c+d=1，ac+bd＞1．求证：这四个数中至少有一个是负数．23．设a，b，c是不全相等的任意整数，若x=a2﹣bc，y=b2﹣ac，z=c2﹣ab．求证：x，y，z中至少有一个大于零．24．用反证法证明：一条线段只有一个中点．25．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB和AC上，求证：CD、BE不可能互相平分．26．能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排成一圈后，任3个相邻数的和都等于29？如果能，请举一例．如果不能，请简述理由．27．将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．28．已知a，b是整数，a2+b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．29．已知：△ABC的三个外角为∠1，∠2，∠3．求证：∠1，∠2，∠3中至多有一个锐角．30．已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于45°？请证明你的结论．参考答案：1．证明：假设一个三角形中有3个内角大于60°，则∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°；∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°相矛盾，故在△ABC中至多有两个角大于或等于60°2．解：令b=4，c=5可以证明命题①不正确．若b=1，c=，可以证明命题③不正确．命题②正确，证明如下由c＞1，且0＜b＜2，得0＜＜1＜c．则c ＞＞，c ＞＞0故a2+ab+c=+（c ﹣）＞03．解：证明：假设所求证的结论不成立，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，则∠A+∠B+∠C＞180°．这与内角和为180°相矛盾．则假设不成立．则求证的命题正确．故答案为：＞，＞，＞，180°，内角和180°，假设，求证的命题正确4．证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），所以∠1+∠2＜180°，这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．所以结论成立，l1∥l25．证明：假设a∥b，∴∠1=∠2，（两直线平行，同位角相等．），与已知∠1≠∠2相矛盾，∴假设不成立，∴a不平行b6．证明：假设AB=AC，则，∠B=∠C，与已知矛盾，所以AB≠AC 假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，则A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A=∠B=90°不成立；所以一个三角形中不能有两个直角8．证明：假设如果实数a、b满足a2+b2=0，那么a≠0且b≠0，∵a≠0，b≠0，∴a2＞0，b2＞0，∴a2+b2＞0，∴与a2+b2=0出现矛盾，故假设不成立，原命题正确9．证明：①假设PB=PC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，在△ABP和△ACP中∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，∴PB=PC是不可能的．②假设PB＞PC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，∴∠BAP＜∠CAP，结合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，∴PB＞PC是不可能的．综上所述，得：PB＜PC10．证明：假设△ABC中能有两个钝角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°；所以∠A+∠B+∠C＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾；所以假设不成立，因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角11．解：（1）如果设∠A=100°，那么∠A的补角=80°＜100°，所以命题：“一个角的补角大于这个角”是假∵a⊥b，∴∠1=90°，∵b⊥c，∴∠2=90°，∴∠1=∠2，∴a∥c．故命题：“已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c”是假命题12．证明：假设PB≠PC不成立，则PB=PC，∠PBC=∠PCB；又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB；∴∠ABP=∠ACP；∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC；与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立，则PB≠PC13．解：设一个锐角为30°，一个钝角为200°；则它们的度数和为230°≠180°，因此不是平角；故原命题是假命题14．解：假设a∥c不成立，则a，c一定相交，假设交点是P；则过点P，与已知直线b平行的直线有两条：a、c；与经过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾；因而假设错误．故a∥c15．证明：假设c∥b；∵a∥b，∴c∥a，这与c和a相交相矛盾，假设不成立；所以c与b也相交16．证明：（1）假设a≥0，则|a|=a，这与已知|a|＞a 相矛盾，因此假设不成立，所以a必为负数；（2）假设4n+3的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为α，β，则4n+3=α2+β2，因为（n+2）2+（﹣n2﹣1）≠α2+β2，所以假设不成立，故4n+3的整数k不能化为两个整数的平方和17．证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C=180°，而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．而∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形两底角必为锐角18．已知：AB=A′B′，BC=B′C′，∠B≠∠B′，求证：AC≠A′C′．证明：假设AC=A′C′，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS），∴∠B=∠B′，∴与已知，∠B≠∠B′矛盾，则假设不成立，∴AC≠A′C′．19．证明：连接DE，假设BD和CE互相平分，∴四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD，∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，∴AC不可能平行于AC，与已知出现矛盾，故假设不成立原命题正确，即BD和CE不可能互相平分20．解：假设每一段都小于AB，则四段之和小于AB，这与已知四段之和等于AB相矛盾，假设错误，所以至少有一段不小于AB ，同时，至少有一段不大于AB21．解：假设点M不在线段CD上不成立，则点M在线段CD上．延长AM到N，使AM=MN，连接BN；在△AMC和△NMB中，BM=CM，∠AMC=∠BMN，AM=MN，∴△AMC≌△NMB（SAS）；∴∠MAC=∠MNB，BN=AC；∴BN＞AB，即AC＞AB；与AB＞AC相矛盾．因而M在线段CD上是错误的．所以点M不在线段CD上22．证明：假设a、b、c、d都是非负数，∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1．∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd．这与ac+bd＞1矛盾．所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个负数23．证明：假设x，y，z都小于0，∵x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，∴2（x+y+z）=2a2﹣2bc+2b2﹣2ca+2c2﹣2ab=（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ca+c2）=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＜0，∴这与（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0矛盾，故假设不成立，∴x，y，z中至少有一个大于零24．已知：一条线段AB，M为AB的中点．求证：线段AB只有一个中点M．证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，则AM＜AN，又因为AM=AB=AN=AB，这与AM＜AN矛盾，所以线段AB只有一个中点M25．证明：假设CD、BE可以互相平分．则连接DE．则四边形BCED是平行四边形．∴BD∥CE与△ABC相矛盾所以：CD、BE不可能互相平分26．解：不能．理由：假设存在7个整数a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7排则a1+a2+a3=29，a2+a3+a4=29，a3+a4+a5=29，a4+a5+a6=29，a5+a6+a7=29，a6+a7+a1=29，a7+a1+a2=29．将上述7式相加，得3×（a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7）=29×7．所以，与a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7为整数矛盾!所以不存在满足题设要求的7个整数27．解：假设所有相邻的三个数，它们的和都小于33，则它们的和小于等于32．∴这21个数的和的最大值小于等于：32×21÷3=224，但是实际上，1+2+3+…+21=（1+21）×21÷2=231＞224，所以假设不成立，则命题得证，∴将自然数1，2，3…21这21个数，任意地放在一个圆周上，其中一定有相邻的三个数，它们的和大于等于3328．证明：用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：（1）a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3|a，3不整除b．令a=3m，b=3n±1（m，n都是整数），于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3（3m2+3n2±2n）+1，不是3的倍数，矛盾；（2）a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则a2+b2=（3m±1）2+（3n±1）2，=9m2±6m+1+9n2±6n+1=3（3m2+3n2±2m±2n）+2，不能被3整除，矛盾；同理分别设a=3m±2，b=3n±1或a=3m，b=3n±2，或a=3m±2，b=3n±2，代入a2+b2会得到相同的结论．由此可知，a，b都是3的倍数29．证明：因为三角形的每一个外角都与相邻的内角互补，因为当相邻的内角是钝角时，这个外角才是锐角，又因为三角形中最多只有一个内角是钝角，所以三角形的三个外角中最多只有一个锐角30．证明：能．（1）如图a，若四点A，B，C，D构成凸四边形．则必有一个内角≤90°．不妨设为∠A．这是因为，假设四个内角都大于90°，则360°=∠A+∠B+∠C+∠D＞4×90°=360°．矛盾．则∠BAC+∠CAD≤90°．则∠BAC与∠CAD 中必有一个≤×90°=45°．故结论成立．（2）如图b．若四点A，B，C，D构成四边形．则△ABC 中必有一个内角≤×180°=60°．不防设∠A≤60°．又∠A=∠BAD+∠CAD≤60°．则∠BAD与∠CAD值中必有一个≤×60°＜45°．故结论成立。

反证法精选题26道一．选择题（共18小题）1．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（）A．直角三角形的每个锐角都小于45°B．直角三角形有一个锐角大于45°C．直角三角形的每个锐角都大于45°D．直角三角形有一个锐角小于45°2．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（）A．三角形中有一个内角小于或等于60°B．三角形中有两个内角小于或等于60°C．三角形中有三个内角小于或等于60°D．三角形中没有一个内角小于或等于60°3．选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°．”时，应先假设（）A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°4．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾．②因此假设不成立．∴∠B＜90°．③假设在△ABC中，∠B≥90°．④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．③④①②B．③④②①C．①②③④D．④③①②5．要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（）A．a＝1，b＝﹣2B．a＝0，b＝﹣1C．a＝﹣1，b＝﹣2D．a＝2，b＝﹣1 6．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a＝﹣2B．a＝﹣1C．a＝1D．a＝27．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°8．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（）A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°9．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A．5B．2C．4D．810．用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A．至少有两个角是直角B．没有直角C．至少有一个角是直角D．有一个角是钝角，一个角是直角11．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设（）A．a＜b B．a＝b C．a≤b D．a≥b12．用反证法证明：“一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”．应假设（）A．一个三角形中没有一个角大于或等于60°B．一个三角形中至少有一个角小于60°C．一个三角形中三个角都大于等于60°D．一个三角形中有一个角大于等于60°13．用反证法证明：“一个三角形中至多有一个角不小于90°”时，应假设（）A．一个三角形中至少有两个角不小于90°B．一个三角形中至多有一个角不小于90°C．一个三角形中至少有一个角不小于90°D．一个三角形中没有一个角不小于90°14．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应先假设这个直角三角形中（）A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°15．在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角（ ）A ．小于60°B ．等于60°C ．大于60°D ．大于或等于60°16．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于15，先要假设这五个正数（ ）A ．都大于15B ．都小于15C ．没有一个小于15D ．没有一个大于1517．下列说法正确的个数（ ）①近似数32.6×102精确到十分位： ②在√2，−(−2)2，√83，﹣|−√2|中，最小的数是√83③如图所示，在数轴上点P 所表示的数为﹣1+√5④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”⑤如图②，在△ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点A ．1B ．2C ．3D ．418．用反证法证明“a ＞0”时，应先假设结论的反面，下列假设正确的是（ ）A ．a ＜0B ．a ＝0C ．a ≠0D ．a ≤0二．填空题（共8小题）19．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°“，应假设 ．20．用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是 ．21．用反证法证明“如果|a |＞a ，那么a ＜0．”是真命题时，第一步应先假设 ．22．用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设 ．23．用反证方法证明“在△ABC 中，AB ＝AC ，则∠B 必为锐角”的第一步是假设 ．24．用反证法证明“内错角相等，两直线平行”时，首先要假设 ．25．如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB 与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设：．26．数学课上，同学提出如下问题：老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：小贴士反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线所截EF，AB∥CD，那么∠EOB＝∠EO'D．”如图2，假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'＝∠EO'D，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB＝∠EO'D．请补充上述证明过程中的基本事实：．。

初二反证法练习题反证法是一种证明方法，通过否定所要证明的结论，推导出矛盾的结果，从而得出结论的方法。

初中数学中，反证法被广泛应用于各种问题的解决中，能够培养学生的逻辑思维和推理能力。

下面，我将为大家提供一些初二反证法练习题，帮助大家更好地理解和掌握这一方法。

1. 问题描述：证明：不存在一个整数 x，满足方程 x² = -1。

解答思路：假设存在一个整数 x，满足方程 x² = -1。

根据平方根的定义，x²的平方根是一个数 y，满足 y² = x²。

此时，我们来考虑平方根 y 的取值：- 如果 y 是一个正整数，那么 x² = y²一定是一个正整数，与方程 x²= -1 矛盾。

- 如果 y 是一个负整数，那么 x² = y²一定是一个正整数，同样与方程 x² = -1 矛盾。

- 如果 y 是一个分数，那么 x² = y²一定是一个正数，但不是一个整数，也与方程 x² = -1 矛盾。

因此，无论 y 取什么值，都无法满足方程 x² = -1，所以不存在一个整数 x，满足该方程。

2. 问题描述：证明：根号2 是一个无理数。

解答思路：假设根号2 是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值，即根号2 = m/n（其中 m 和 n 为互质的整数，n ≠ 0）。

根据根号2 的定义，我们将其平方，得到 2 = (m/n)²，即 2n² = m²。

从上式可以看出，m²是一个偶数，因为 2n²是 2 的倍数。

那么，m 也必定是一个偶数，设 m = 2k（其中 k 为整数）。

将该式代入原式，得到 2n² = (2k)²，即 2n² = 4k²，再进一步化简得n² = 2k²。

反证法专题50道18．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程30至少有两个实根”时，要x ax b做的假设是（）A．方程30恰好有两个实根x ax bx ax b没有实根B．方程30C．方程30至多有一个实根x ax b至多有两个实根D．方程30x ax ba b ，则,a b至少有一个小于0”时，假设应为（）19．利用反证法证明“若0A．,a b都小于0B．,a b都不小于0C．,a b至少有一个不小于0D．,a b至多有一个小于020．用反证法证明命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个是奇数”正确的假设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个奇数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数第1页，共17页参考答案：1．A【分析】根据命题的结论的否定进行判断即可.【详解】因为a ，b 中至少有一个能被5整除的否定是a ，b 都不能被5整除，所以假设的内容应该是a ，b 都不能被5整除，故选：A 2．B【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故命题“a ，b ∈N+，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．故选：B ．3．C【分析】根据反证法的定义即可直接得出结果.【详解】由反证法的定义，知在推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以当作条件来使用，所以可以使用结论的否定、已知条件、公理、定理、定义等.故选：C.4．C【分析】根据反证法基本原理，对结论进行否定即可得到结果.【详解】“a 与b 都不能被7整除”的否定为：,a b 至少有一个能被7整除.故选：C.5．D【分析】根据给定条件，利用反证法的意义写出结论的否定作答.【详解】命题“如果0a b ”，“那么22a b ”的结论是22a b ，而反证法证明命题时，是假设结论不成立，即结论的反面成立，所以所求假设是22a b .故选：D 6．C答案第2页，共17页【分析】取命题的反面即可.【详解】用反证法证明命题，应先假设它的反面成立，即1x 且1y ，故选：C ．7．D【分析】利用反证法证明规则即可得到应假设0x 或0y .【详解】利用反证法证明，应先假设结论不成立，本题应假设0x 或0y 故选：D 8．C【分析】根据反证法证明命题的方法，应先假设命题的反面成立，故求出命题的反面即可.【详解】“x ，y 至多有一个大于0”包括“x ，y 都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”.故选：C.9．C【分析】反证法中“a ，b ，c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ，b ，c 都不是无理数”，对照选项即可得到答案.【详解】依题意，反证法中“a ，b ，c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ，b ，c 都不是无理数”，即“假设a ，b ，c 都是有理数”.故选：C.10．A【分析】根据“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”可直接得到结果.【详解】“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”，反设正确的是“三个内角都不大于60 ”.故选：A.11．B【分析】根据“至少有一个是偶数”的否定形式可直接判断出结果.【详解】∵“至少有一个是偶数”的否定形式为“都不是偶数”，假设正确的是：假设,,a b c 都不是偶数.故选：B.12．B【分析】“反证法”就是从命题的反面即否定形式入手考虑题设.故答案为：若“6x y ，则3x 且4y ”成立.45．0x 且0y 【分析】根据反证法思想，写出原命题证明中的假设条件即可.【详解】由反证法思想：否定原结论，推出矛盾，所以题设命题的证明，应假设0x 且0y .故答案为：0x 且0y 46．02a 【分析】根据反证法的结构特点可得正确的假设.【详解】对于命题：“已知a R ，若|1|1a ，则a<0或2a ”，用反证法证明时应假设：若02a .故答案为：02a .47．a b 且b c 成立【分析】假设结论的反面成立，即可求解．【详解】解：假设结论的反面成立，即a b 且b c 成立．故答案为：a b 且b c 成立．48．在一个三角形中至少有两个内角是钝角【分析】依据命题的否定即可求得结论的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”【详解】命题“一个三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”故答案为：在一个三角形中至少有两个内角是钝角49．1x 且1y 【分析】根据给定条件，写出已知命题结论的否定作答.【详解】命题若2x y ，则1x 或1y 的结论是“1x 或1y ”，其否定为“1x 且1y ”，所以假设的内容应该是：1x 且1y .故答案为：1x 且1y 50．1x 且1y 【分析】根据反证法的原理可知.【详解】根据反证法的原理可知，求证1x 或1y 时，应首先假设1x 且1y .故答案为：1x 且1y 51．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键.【详解】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a，b，c中至多有一个偶数”的否定是：“a，b，c中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a，b，c中至多有一个偶数”时，假设应为“a，b，c中至少有两个偶数”，故答案为：a，b，c中至少有两个偶数.。

初二数学反证法练习题反证法是一种常用的数学证明方法，它通过推导出与已知条件相矛盾的结论来证明一个命题的真假。

在初二数学学习中，反证法常常被用于解决一些复杂的问题。

本文将介绍一些初二数学中常见的反证法练习题，帮助同学们熟悉并掌握反证法的应用。

题目一：证明“根号2是无理数”。

解析：要证明根号2是无理数，首先我们假设根号2是有理数，并将其表示为p/q，其中p和q是互质的整数（即最大公约数为1）。

那么我们可以得到等式2 = (p/q)^2，即2q^2 = p^2。

由此可知，p^2一定是2的倍数，因此p也一定是2的倍数。

令p = 2k（k为整数），则原等式可以写成2q^2 = (2k)^2，简化得q^2 = 2k^2。

同样地，我们可以得出q也是2的倍数。

但这与我们最初假设的“p 和q是互质的整数”相矛盾。

因此，假设错误，根号2不可能表示为有理数，即根号2是无理数。

题目二：证明“开方后是无理数的数的平方是无理数”。

解析：我们假设存在一个数x，它的开方后是无理数，即√x是无理数。

那么我们可以假设√x是有理数，即√x = p/q，其中p和q为整数，且p/q为最简分数。

根据已知条件，我们有x = (√x)^2 = (p/q)^2 = p^2/q^2。

将x的表达式代入上式中，得到x = p^2/q^2。

由此可知，p^2和q^2均为x的因数。

根据因数的性质，我们可以得知p也是x的因数，且q也是x的因数。

这与我们最初的假设“p和q为最简分数”相矛盾，因此假设错误，开方后是无理数的数的平方一定是无理数。

题目三：证明“3不能表示成形如4k+1的整数的平方”。

解析：我们假设存在一个整数m，使得m^2 = 4k + 1，其中k为整数。

那么我们可以得到等式m^2 ≡ 1 (mod 4)，即m^2除以4的余数为1。

考虑整数的平方的情况，我们可以得知一个整数的平方只可能是0或1（对4取余）。

根据这个性质，我们可以考虑m的两种情况：情况一：m为偶数假设m = 2n，其中n为整数。