分式不等式和绝对值不等式高中数学衔接内容

2020/6/5
13
双基固化
§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
1．绝对值不等式的解法 例1 解下列不等式 (1)|x2-3|＞2x. (2)|x+2|＞|x-1|-3.
【解析】(1)法一:(定义法)
原不等式
①②x＞3或x≤-
x2-3≥0
①或 x2-3＜0
x2-3＞2x，
-(x2-3)＞2x.
边分解因式,在数轴上将各因式为零的根标出来，
然后根据各个因式在每个区间上的正负，直接写
出不等式的解集(即数轴标根法) 当分子分母含有
公因式时，也不可随意约去.
2020/6/5
19
能力提升
§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
3．含参数的不等式的解法. 例3.设a＞0，b＞０，解关于x的不等式|ax-2|≥bx.
x 1
由数轴标根法得x＞1或-1＜x＜0.故选A.
2020/6/5
6
§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
5.已知集合A={x||x-1|＜2，x∈Z}，B={x| x 3 ＜0，
x
x∈Z}，则集合A∪B的子集个数为
( C)
A．4
B．6
C．8
D．9
【解析】∵|x-1|＜2 -1＜x＜3，∴A={0,1,2}. ∵ x 3＜0 0＜x＜3，
x2 3x2
4x 1 7x 2
1
0
2x2 3x 1 3x2 7x 2
0
(2x 1)(x 1) 0. (3x 1)(x 2)
利用数轴标根法，得其解集为
2020/6/5
18
§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
(, 1) U(1 ,1) U(2, ). 32

专题：分式不等式和绝对值不等式的解法一、知识要点本讲义从以下两方面展开： 1. 分式不等式的解法分式不等式是一种常见的不等式，掌握其解法在高考中是非常重要的。

2. 绝对值不等式的解法绝对值不等式是一种常见的不等式，其解法主要要注意分类讨论，也是高考常考的一个内容。

➢ 知识点一：分式不等式的解法分式不等式的求解主要在于同解变形，将不等式化为整式不等式来进行求解。

一般地，对于分式不等式11()()()f x h xg x ≤，要将其通分化为()0()f x g x ≤的标准形式， 对于分式不等式()0()f x g x ≤，它与()()0()0f xg x g x ≤⎧⎨≠⎩同解。

这样，我们就可以将分式不等式化为整式不等式。

➢ 知识点二：绝对值不等式的解法与分式不等式类似的是，求解绝对值不等式也是要将不等式的绝对号去掉，进行同解变形。

一般的，()()f x g x >与()()()()f x g x f x g x ><-或同解；()()f x g x <与()()()g x f x g x -<<同解。

需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，那么就需要对每个绝对值号进行讨论。

二、典型例题1. 分式不等式的解法【例1】 （★☆☆☆）解不等式：22911721x x x x -+≥-+ 解：原不等式化为：2(43)(12)0(1)x x x -+≥-，它等价于： 4()(12)031x x x ⎧-+≤⎪⎨⎪≠⎩，得到：14[,1)(1,]23x ∈-⋃教学提示：此题是标准的求解分式不等式的题目。

分式不等式求解的关键在于把分式不等式进行等价变形成为整式形式。

在等价变形时要注意分母不为零。

一般地，对于分式不等式()0()f x g x ≤，它与()()0()0f x g x g x ≤⎧⎨≠⎩同解。

【例2 】解不等式：2121332x x x x ++≥-- 解：通分整理，原不等式化为：2(12)0(3)(32)x x x +>--，它等价于： (3)(32)0210x x x -->⎧⎨+≠⎩，得到：3x >或23x <且12x ≠- 教学提示：注意提醒学生，此题切忌直接把21x +约去，因为它的符号是未知的。

分式、绝对值不等式1、知识点分布：1.分式不等式解法：先验正负（若已知符号可直接去分母），再规规矩矩解分式（移项、通分、化积、标根）；2.绝对值不等式解法：去绝对值的几种方法①讨论；②两边平方；③初中结论（绝对值小于一个数或大于一个数可直接去；负数的绝对值大于本身等）；④几何性质；⑤零点分段去绝对值。

3.无理不等式解法：利用两边同正平方的思路去根号4.简单的高次不等式解法：标根法5.结合子集讨论数轴问题：讨论不等式的解的情况；6.利用分离参数法（也有叫参变分离）分析不等式的恒成立问题；有解问题；7.利用最值法分析不等式的恒成立问题（二次不等式区间上轴动区间定讨论最值）；8.二次方程简单的根的分布（同号、异号根、某值的同侧、异侧根）；2、考纲考点分析：1.掌握常见的分式不等式的解法；2.熟练掌握含绝对值不等式的解法；3.灵活掌握含参、高次和无理不等式的解法．3、细节易错关注：1.分式不等式分母2.绝对值不等式分类讨论例1：分式不等式的解法1、下列不等式与012≤+x x同解的是（ ） (A)01≤+x x (B)0)1(≤+x x （C ）0)1lg(≤+x (D)21|1|≤+x x 【答案】C2、不等式252(1)x x +-≥的解集是 【答案】(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，3、解不等式（1）31x x -≥1+ ； （2）2612x x x +≤++。

【答案】[)[)2,12,--⋃+∞ ；(][),22,-∞-⋃+∞【解析】（1）原不等式可化为2401x x -≥+，此不等式与()()241010x x x ⎧-+≥⎪⎨+≠⎪⎩同解， 由()()241010x x x ⎧-+≥⎪⎨+≠⎪⎩得21x -≤<-或2x ≥。

所以原不等式的解集是[)[)2,12,--⋃+∞。

（2）原不等式可化为226202x x x x x +---≤++，即22402x x x -≥++。

由于220x x ++=的判别式70∆=-<，故22x x ++的值恒大于0()x R ∈，于是原不等式与240x -≥的解集相同。

【关键字】数学新高一衔接讲义分式不等式和绝对值不等式知识详解一、分式不等式概念1．分式不等式的概念：分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。

2. 各种分式不等式经过变形都可化为标准形式，其中2、分式不等式解法解分式不等式的思路:化为标准形式，变形为整式不等式求解。

【例1】解不等式（1）（2）（3）（4）（5）（6）【变式1.1】不等式≤0的解集为___________【变式1.2】与不等式A． C【变式1.3】（1）（2）【例2】解下列不等式（1）（2）【变式2.1】（1）（2）【提高习题】1．不等式的解集为___________2．不等式的解集为，则a的值为___________3．解不等式三、含有绝对值的不等式1．绝对值的定义及性质绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值。

绝对值的性质：绝对值的几何意义：2．含绝对值不等式的解法探究不等式的解集。

方法1：不等式的解集表示到原点的距离小于1的点的集合。

所以，不等式的解集为方法2：对原不等式两边平方得x2<1，即x2－1<0，即(x+1)(x－1)<0，思考：________________；的解集______________.的解集__________________；的解集______________.【例3】解下列不等式（1）（2）（3）（4）【变式3.1】（1）（2）（3）（4）【例4】（1）解不等式（2）解不等式【变式4.1】解不等式习题：解不等式提高练习1．不等式的解集为__________2．不等式的解集是________．3．若不等式的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________ 4．解不等式（1） |2x2−x|<1（2）|x2−3x|<4此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

突破04 分式不等式与绝对值不等式一、考情分析二、经验分享【重难点01 分式方程与分式不等式】1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．(1)分式方程的解法①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．2、分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。

解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．3、可化为一元二次方程的分式方程1．去分母化分式方程为一元二次方程2．用换元法化分式方程为一元二次方程简单分式不等式的解法【重难点02 绝对值不等式】 1、实数绝对值的意义 ⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a2、a>0：①a x a a x a x <<-⇔<⇔<22||②a x a x a x -<⇔>⇔>22||或x>a3、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．对于形如|()|()f x g x ≥和|()|()f x g x ≤的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得|()|()f x g x ≥⇔()()f x g x ≥或()()f x g x ≤；|()|()f x g x ≤⇔()()()g x f x g x -≤≤．三、题型分析(一) 分式方程与分式不等式的解法 例1、解方程21421224x x x x +-=+--． 【分析】：去分母，转化为整式方程． 【解析】：原方程可化为：14212(2)(2)2x x x x x +-=++--，方程两边各项都乘以24x -： 2(2)42(2)4x x x x -+-+=-即2364x x -=-， 整理得：2320x x -+=解得：1x =或2x =．检验：把1x =代入24x -，不等于0，所以1x =是原方程的解；把2x =代入24x -，等于0，所以2x =是增根．所以，原方程的解是1x =． 【点睛】：(1) 去分母解分式方程的步骤：①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根．(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解．【变式训练1】解方程 2223()4011x x x x --=--【分析】：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设21x y x =-，即得到一个关于y 的一元二次方程．最后在已知y 的值的情况下，用去分母的方法解方程21x y x =-． 【解析】：设21x y x =-，则原方程可化为：2340y y --= 解得4y =或1y =-．(1)当4y =时，241x x =-，去分母，得224(1)4402x x x x x =-⇒-+=⇒=； (2)当1y =-时，22215111012x x x x x x x -±=-⇒=-+⇒+-=⇒=-． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，2x =，152x -±=都是原方程的解． 例2．不等式302x x -<-的解是__________． 【答案】23x << 【解析】不等式302x x -<-等价于30{20x x ->-<或30{ 20x x -<->解得23x << 【变式训练2】不等式的解为____________．【答案】【解析】不等式化为，解一元二次不等式即可．不等式化为，解得，∴不等式的解集为，故答案为．【变式训练3】不等式的解为______．【解析】．点睛：解分式不等式的方法是：移项，通分化不等式为，再转化为整式不等式，然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解．【变式训练4】不等式 501xx -≥-的解是__________． 【答案】15x <≤ 【解析】原不等式化为550,011x x x x -+-≥≤--，解得15x <≤． (二) 绝对值不等式的解法例3．（1）、不等式15x -≤的解集为__________． 【答案】[]4,6- 【解析】15,515x x -≤∴-≤-≤，解得46,x -≤≤∴原不等式的解集为[]4,6-，故答案为[]4,6-．（2）、已知的解集是，则实数，的值是（ ） A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】D【解析】分析：先解不等式，再列方程组得实数a ，b 的值．由题得-b ＜x-a ＜b ，所以a-b ＜x ＜a+b ， 因为的解集是，所以a-b=-3且a+b=9，所以a=3，b=6．故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力． (2)绝对值不等式|ax+b|<c 等价于-c ＜ax+b ＜c ． |ax+b|＞c 等价于ax+b>c 或ax+b ＜-c ． 【变式训练1】关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】结合自变量的范围，若，可得：，不等式明显成立；若，由不等式可得，解得：，综上可得的取值范围是．例4．若关于x 的不等式20k x x -->恰好有4个整数解，则实数k 的取值范围是（ ）A ． 32,53⎛⎫⎪⎝⎭ B ． 32,53⎛⎤⎥⎝⎦ C ． 3,15⎛⎫⎪⎝⎭ D ． 3,15⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【 方法点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、排除法解选择题，属于难题． 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法． 若结果为定值，则可采用此法． 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n项和公式问题等等．【变式训练1】．的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】：很明显，则不等式等价于：，解不等式组可得实数x的取值范围是：．本题选择A选项．四、迁移应用1．分式方程23122xx x+=--的解为：（ ） A 、1 B 、2 C 、13D 、0【答案】A【解析】根据分式方程的解法：去分母，得2-3x=x-2，移项后解得x=1，检验x=1是原分式方程的根． 答案为A2． 用换元法解方程22124312x x x x --=-时，设212x y x-=，则原方程可化为（ ） A ．130y y --= B ．430y y --= C ．130y y -+= D ．430y y-+= 【答案】B ．【分析】直接利用已知将原式用y 替换得出答案．【解析】∵设212x y x -=，∴22124312x x x x --=-，可转化为：43y y -=，即430y y--=．故选B ． 3．不等式32x x->的解集是（ ） A ． {}|1 3 x x x -或 B ． {}|10 3 x x x -<或C ． {}|10 3 x x x <-<<或D ． {}|100 3 x x x -<<<<或 【答案】B【解析】1x =时， 22->不成立，可排除,C D ，2x =-时，122->不成立，可排除A ，故选B ． 4．不等式3112x x -≥-的解集是（ ） A ． 3{|2}4x x ≤≤ B ． 3{|2}4x x ≤< C ． {2x x 或3}4x ≤ D ． {}2x x【答案】B 【解析】31102x x --≥-， 31202x x x --+≥-， 4302x x -≥-， ()()4320{2x x x --≤≠ ， 324x ≤<，选B ．5.解下列不等式：(1)2301x x -<+ (2)2301x x x +≥-+ 【分析】：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解． (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数． 【解析】：(1) 解法(一)原不等式可化为：3323023031221010211x x x x x x x x x ⎧⎧-<-><>⎧⎧⎪⎪⇒⇒-<<⎨⎨⎨⎨+>+<⎩⎩⎪⎪>-<-⎩⎩或或解法(二)原不等式可化为：3(23)(1)012x x x -+<⇒-<<． (2) ∵ 22131()024x x x -+=-+>，原不等式可化为：303x x +≥⇒≥- 6．方已知关于x 的分式方程111k x kx x ++=+-的解为负数，则k 的取值范围是 ．【答案】k ＞12-且k≠0．7．关于x 的两个方程260x x --=与213x m x =+-有一个解相同，则m= ． 【答案】﹣8．【解析】解方程260x x --=得：x=﹣2或3； 把x=﹣2或3分别代入方程213x m x =+-，当x=﹣2时，得到21223m =-+--，解得m=﹣8． 故答案为：﹣8． 8．解方程：2717=---xx x ． 【答案】x=15．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 去分母得：x+1=2x ﹣14，解得：x=15，经检验x=15是分式方程的解． 9．若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为 ． 【答案】k ＜3且k ≠1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k 的范围即可． 【解析】去分母得：k ﹣1=2x +2，解得：x =32k -，由分式方程的解为负数，得到32k -＜0，且x +1≠0，即32k -≠﹣1，解得：k ＜3且k ≠1，故答案为：k ＜3且k ≠1．10．分式方程2110051025x xx的解是 ．【答案】15x =．【解析】去分母得：5100x --=，解得：15x =，经检验15x =是分式方程的解．故答案为：15x =．。

(一)绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1、 解不等式：|x |1≥ 例2、 解不等式：|1|2x -≤ 你自己能总结出一般性的结论吗?例3、解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0； ②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．1A 0 C |x －1||x －3|图1．1－1练习1．填空题：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________ 2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．4．解下列不等式： （1）3233x x ++-≥（2）134x x +-->-（二）二次根式（1）0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b212x ++，22x y + 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，等等． 一般地，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2的意义a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （30)x <．解： （1=（20)a ==≥；（3220)x x x ==-<．例2 (3．解法一： (3)解法二：(3)＝12．例3试比较下列各组数的大小：（1（2.解：（11===，1110=，>（2）∵1===又4＞22，∴6＋4＞6＋22，.练习：1．将下列式子化为最简二次根式：（1（22．3．（三）二次根式（2）例4 化简：20042005⋅．解：20042005⋅＝20042004⋅⋅＝2004⎡⎤⋅-⋅⎣⎦＝20041⋅-例 5 化简：（1 （21)x <<．解：（1）原式===2=2=．（2）原式1x x =-，∵01x <<， ∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 ．解： ∵2210x y +==+=，1xy ==， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练习1．填空题：（1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）__ ___；（4）若x ==______ __．(5)=成立的条件是 。

高一的不等式知识点归纳总结不等式是数学中重要的一部分，其应用广泛，特别是在代数、几何和数论中。

在高一的数学学习中，不等式是一个重点内容，并为后续的数学学习打下基础。

下面是对高一阶段的不等式知识点进行归纳总结。

一、基础概念1.1 不等式的定义不等式是两个数或者表达式之间用不等号（<、>、≤、≥）联系起来的数学关系。

其中，>表示大于，<表示小于，≥表示大于等于，≤表示小于等于。

1.2 不等式的性质不等式存在传递性，即若a>b且b>c，则有a>c。

不等式两边同时加减一个相同的数，不等式的方向不变。

不等式两边同时乘除一个正数，不等式的方向不变。

不等式两边同时乘除一个负数，不等式的方向改变。

1.3 不等式的解集表示方法解集表示不等式中使得不等式成立的数的集合。

当不等式为严格不等号时，解集用开区间表示。

当不等式为不严格不等号时，解集用闭区间表示。

当不等式为大于号或小于号时，解集用开区间和闭区间表示。

二、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax+b<0（或>）的不等式，其中a和b为已知数，x为未知数。

解一元一次不等式的基本思路是找到方程ax+b=0的解，然后根据a的正负情况确定解集。

三、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax2+bx+c<0（或>）的不等式，其中a、b和c为已知数，x为未知数。

解一元二次不等式的基本思路是找到方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a和二次项的系数的正负情况确定解集。

四、绝对值不等式绝对值不等式是形如|ax+b|<c（或>|）的不等式，其中a、b和c为已知数，x为未知数。

绝对值不等式的解集有两部分组成，即当ax+b>0和ax+b<0时的解集。

五、分式不等式分式不等式是形如f(x)<0（或>）的不等式，其中f(x)为一个分式函数。

解分式不等式的基本方法是找到分式函数的零点，然后根据分式函数的正负情况确定解集。

3x 2 0
2 , 1 , . 3
所以，原不等式的解集为
分式不等式的定义与解法
f(x)·g(x)> 0
f(x)·g(x) 0, f(x)≠ 0.
g ( x) 0. f ( x) g ( x) 0 f ( x)
f(x)·g(x)< 0
分类讨论：
分析：两个|x-1| 、|x-3|要讨论，按照绝对值 里面的代数式符号进行讨论。可以借助数轴分 类。
解: 0 1 3
找零点
分段
讨论 综合
使|x-1|=0,|x-3|=0，未知数x的值 为1和3 1、当x≧3时，原不等式可以去绝对值符号 化为：x-1>x-3 解集为R，与前提取交集， 所以x≧3； 2、当1≦x<3时,同样的方法可以解得2<x<3 3.当x<1时, x无解
5
|x|>a |x|<0的解 (a>0)|x|>0的解 X>a 或 x<-a |x|>-2的解 |x|<-2的解
5
变式例题：
如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是 | x-1 | <2如何解？ 如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就 是 | 3x-1 | >2如何解？ 解题反思：
1、采用了整体换元。
a2>b2
所以 两边平方可以等价转化为
（x-1)2>(x-3)2
化简整理：x>2
平方法：注意两边都为非负数
解：如图，设“1”对A，“3”对应B，
“X”对应 M（不确定的），即为动点。
由绝对值的几何意义可知 ：
|x-1| =MA
|x-3|=MB

学员姓名：学科教师：
年级：新高一辅导科目：数学
授课日期
时间
段
主题
分式不等式
学习目标
1.掌握解分式不等式的基本思路和方法；
2.会通过同解变形解分式不等式；
3.学会讨论参数解分式不等式；
4.能通过不等式的解集确定参数的值；
教学内容
分式不等式的定义：
分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。即：型如 或 （其中 、 为整式且 ）的不等式称为分式不等式。
【巩固训练】
1.解不等式 2.解不等式
3.不等式 的解集为__________
二、含参数的分式不等式
含参数的不等式分为两类：①讨论参数的取值确定解集；②给定解集确定参数的取值。
基本方法：
对于第一类，分类讨论一般需要注意以下两方面：
（1） 的最高次项系数含有参数时，需要讨论系数大于零、等于零、小于零的情况；
②左边进行通分，化为形如 的形式；
③同解变形：
；
【例1】解下列分式方程和分式不等式：
（1） （2） （3）
【例2】解下列分式方程和分式不等式：
（1） （2） （3）
【例3】
【例4】 .
【例5】若定义运算“ ”满足如下法则： ，则不等式 的解集是_________
【注意】解分式不等式时，切忌随意去分母。正确的解法是通过讨论决定分母的正负号后，利用不等式的基本性质，将原不等式化为几个不等式组，或先通过移项将不等式的一边变为零后，再通分找到原不等式的等价不等式（组）。
【例8】关于 的不等式 的解集为 ，求 的解集。
【例9】不等式 的解集为 ，那么实数 的值等于__________

一、选择题1．________ mooncake on the plate looks delicious.I want to eat ________．A．A；one B．The；it C．The；one D．A；it B解析：B【解析】句意：盘子上的月饼看起来很好吃，我想要吃了它。

a是不定冠词，表示泛指一个，修饰可数名词单数形式；the是定冠词，表示特指。

第一个空后的名词mooncake后面有后置定语，是特指的，故用the；one一个，代替可数名词，表示同类不同物；it它，代词，代替前面出现过的名词。

根据句意可知，我想吃的就是盘子上的月饼，是同一个东西，故用it。

选B。

2．- ______________ it is today!-Yes. Shall we go hiking?A．How fine weatherB．What a fine weatherC．What fine weatherD．How fine the weather C解析：C【解析】【详解】句意：——今天的天气是多么好呀！——是的，我们去远足好吗？这里是感叹句，weather是名词，感叹名词用what，排除AD；weather是不可数名词，其结构是What+形容词+不可数名词。

根据题意，故选C。

【点睛】由 what 引导的感叹句，其句子结构可分为以下三种：1.可用句型：“ What + a/an ＋形容词＋可数名词单数＋主语＋谓语！”。

如：What a nice present it is! 它是一件多么好的礼物啊！What an interesting book it is! 它是一本多么有趣的书啊！2.可用句型：“ What ＋（形容词）＋可数名词复数＋主语＋谓语！”。

如：What beautiful flowers they are! 多么漂亮的花啊！What good children they are! 他们是多么好的孩子啊！3.可用句型：“ What ＋（形容词）＋不可数名词＋主语＋谓语！”。