第6章 形函数

第六章 三角函数1、函数x y cos =的图象与函数)2sin(π+=x y 的图象相同。

（ ）2、函数x x y cos sin +=的最大值是2。

（ ）3、1arcsin 的取值可以大于中αα。

（ ）( ) 4．y=sinx 的图像关于原点对称( ) 5．α、β均为钝角，且cos α>cos β，则α>β ( ) 6．4sin α=5( ) 7．y=cosx 是偶函数1、第一象限的角一定是锐角。

（ ）2、按顺时针方向旋转而成的角是正角。

（ ）3、1rad=π180（ ）4、)4(π-Sin 是第四象限的角。

（ ）5、如果是第二象限的角则是ααα0cos 00 Sin 。

（ ）6、23313的值为πSin。

（ ） 7、的函数值相等的函数值0025cos 115Sin 。

（ ） 8、3215tan 0-的函数值为。

（ ） 9、π22的周期为x Sin y =。

（ ） 10、已知030,21==αα则Sin 。

（ ）2．COS(－617π)= _________________3．函数y=5sin(62π+x )的最小正周期是________________4．求函数y=sin 4x+cos 4x 的周期，最大值和最小值。

（13分）5．已知sin αcos α=2512,0<α<4π,求tan2α和tan α的值。

（12分）6．已知sin α+sin β+sinr=0,且cos α+cos β+cosr=0, 求证:cos(α-β)=－21 （13分）1．终边在y 轴上的角的集合是___________________________。

2． 若31cos sin =+αα，则_________________cos sin =α。

3． 计算：00009cos 69sin 81cos 21sin -___________________________。

4． 化简)322cos()629tan()310sin()7cos(ππππ--=__________________________。

公式号 6.1 图6-1第六章 单元形函数的讨论在有限单元法的基本理论中，形函数是一个十分重要的概念，它不仅可以用作单元的内插函数，把单元内任一点的位移用结点位移表示，而且可作为加权余量法中的加权函数，可以处理外载荷，将分布力等效为结点上的集中力和力矩，此外，它可用于后续的等参数单元的坐标变换等。

根据形函数的思想，首先将单元的位移场函数表示为多项式的形式，然后利用结点条件将多项式中的待定参数表示成场函数的结点值和单元几何参数的函数，从而将场函数表示成结点值插值形式的表达式。

在本节中，重点讨论几种典型单元的形函数插值函数的构造方式，它们具有一定的规律。

然后以平面三角形单元为例，讨论了形函数的性质，在此基础上分析了有限元的收敛准则。

6.1形函数构造的一般原理单元的类型和形状决定于结构总体求解域的几何特点、问题类型和求解精度。

根据单元形状,可分为一维、二维、三维单元。

单元插值形函数主要取决于单元的形状、结点类型和单元的结点数目。

结点的类型可以是只包含场函数的结点值，也可能还包含场函数导数的结点值。

是否需要场函数导数的结点值作为结点变量一般取决于单元边界上的连续性要求，如果边界上只要求函数值保持连续，称为C0型单元，若要求函数值及其一阶导数值都保持连续，则是C1型单元。

在有限元中，单元插值形函数均采用不同阶次的幂函数多项式形式。

对于C0型单元，单元内的未知场函数的线性变化仅用角（端）结点的参数来表示。

结点参数只包含场函数的结点值。

而对于C1型单元，结点参数中包含场函数及其一阶导数的结点值。

与此相对应，形函数可分为Lagrange 型（不需要函数在结点上的斜率或曲率）和Hermite 型（需要形函数在结点上的斜率或曲率）两大类，而形函数的幂次则是指所采用的多项式的幂次，可能具有一次、二次、三次、或更高次等。

另外，有限元形函数[N ]是坐标x 、y 、z 的函数，而结点位移不是x 、y 、z 的函数，因此静力学中的位移对坐标微分时，只对形函数[N ]作用，而在动力学中位移对时间t 微分时，只对结点位移向量作用。

第6章 三角函数一．教学目的：1理解正弦函数sin y x =、余弦函数cos y x =和正切函数tan y x =的意义，会作它们的图像；2掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的奇偶性、周期性、单调性、值域、最大值和最小值等性质及其图像特征；3对于函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）掌握它与函数sin y x =之间的关系，领会A 、ω、ϕ对函数的图像和性质的影响，掌握它的周期性、单调性、最大值和最小值等性质；4理解反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的概念，知道它们的图像和性质，会用反三角函数的值表示角的大小，会求简单三角方程的解集；5了解三角函数的应用价值二．注：1本章对sin()y A x ωϕ=+的讨论仅限于参数A 、ω、ϕ是具体实数，且0A >，0ω>的情形，面对更一般情形的讨论不作要求；2三角方程主要限于形式sin()A x a ωϕ+=的方程三．本章内容：1三角函数；2反三角函数；3最简单三角方程本章的重点1三角函数的性质和图像；2学习性质的关键是：对三角函数的图像的认识和理解3利用五点法作图，把握正弦、余弦、正切函数图像的主要特征（一个周期内的图像）复习一 三角函数的图像与性质教学过程一．本节的主要内容1．了解正弦、余弦、正切函数图像的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和sin()y A x ωϕ=+的简图，掌握由函数sin y x =的图像得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换原理，并能解决与正弦曲线有关的问题；2．求经简单变形可化为sin()y A x ωϕ=+等形式的三角函数的周期； 3．求三角函数的定义域、值域；4．判断三角函数的奇偶性、单调性，求出单调区间； 5．综合三角函数的性质、图像解决三角函数有关问题 二．主要方法1．“五点法”画正弦、余弦函数、sin()y A x ωϕ=+的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点、一个最高、一个最低点（0x =、2π、π、32π、2π）2．给出图像求sin()y A x B ωϕ=++的解析式的难点在于ω、ϕ的确定，用待定系数法。

第六章一次函数１．函数一、学生起点分析在七年级上期学习了用字母表示数，体会了字母表示数的意义，学会了探索具体事物之间的关系和变化的规律，并用符号进行了表示；在七年级下期又学习了“变量之间的关系”，使学生在具体的情境中，体会了变量之间的相依关系的普遍性，感受了学习变量之间的关系的必要性和重要性，并且积累了一定的研究变量之间关系的一些方法和初步经验，为学习本章的函数知识奠定了一定的基础。

二、教学任务分析《函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》第一节的内容。

●教材内容本节内容安排了1个学时。

教材中的函数是从具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出来的，主要是通过学生探索实际问题中存在的大量的变量之间关系，进而抽象出函数的概念。

与原传统教材相比，新教材更注重感性材料，让学生分析了大量的问题，感受到在实际问题中存在两个变量，而且这两个变量之间存在一定的关系，它们的表示方式是多样地，如可以通过列表的方法表示，可以通过画图像的方法表示，还可以通过列解析式的方法表示，但都有着共性：其中一个变量依赖于另一个变量。

●教材地位及作用函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容。

本节内容是在七年级知识的基础上，继续通过对变量间的关系的考察，让学生初步体会函数的概念，为后续学习打下基础。

同时，函数的学习可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受事物是相互联系和规律的变化。

三、教学目标分析教学目标：●知识与技能目标1．初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数；2．根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，相应的会求出另一个量的值；3．了解函数的三种表示方法。

●过程与方法目标1．通过函数概念的学习，初步形成学生利用函数观点认识现实世界的意识和能力；2．经历从具体实例中抽象概括的过程，进一步发展学生的抽象思维能力，体会函数的模型思想；3．通过对函数概念的学习，培养学生的语言表达能力。

第六章函数的概念和图象一、内容综述：1．函数的有关概念：一般地，设在某变化过程中有两个变量x，y。

如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量,y叫因变量。

对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：（1）我们是在某一变化过程中研究两个变量的函数关系，在不同研究过程中，变量与常量是可以相互转换的，即常量和变量是对某一过程来说的，是相对的。

（2）对于变量x允许取的每一个值，合在一起组成了x的取值范围。

（3）变量x与y有确定的对应关系，即对于x允许取的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应。

2.函数值与函数值有关的问题可以转化为求代数式的值。

二、例题分析：例1．判断y=x与y=是否是同一函数。

解：∵ y==|x|当x≥0时，y=x,当x<0时, y=-x.∴ y=x与y=不是同一函数。

说明：虽然这两个函数的自变量取值范围都是全体实数，但当x<0时，两个函数的对应关系不同（如当x=-2时，y=x=-2, 而y==2）, 所以它们不是同一个函数。

例2．不画图象，求函数y=-x+的图象上一点P，使点P到x轴，y轴的距离相等。

解：当点P在第一，三象限内，依题意，设P(a,a)∴ a=-a+解得：a=1.当点P在第二，四象限内，设P（b,-b）∴ -b=-b+解得：b=-3,∴点P坐标为（1，1）或（-3，3）。

说明：由点P到x轴、y轴的距离相等知点P在各象限角平分线上，由于第一，三象限角平分线上的点M（x,y）满足x=y的关系，而第二，四象限角平分线上的点N（x,y）满足x=-y的关系，所以可根据点P的位置特点来设点P的坐标，通过此例训练分类讨论思想。

例3.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，一般车保管费是每辆一次0.3元. 若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；分析：由一般车辆停放次数x表示变速停放的辆次数，由保管费列出函数关系再化简，但要在函数式后注明自变量x的取值范围。

§5.函数的凹凸性个与拐点引言上面已经讨论了函数的升降与极值，这对函数性状的了解是有很大作用的．为了更深入和较精确地掌握函数的性状，我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系．什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性．如函数y 所表示的曲线是向上凸的，而2y x =所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习惯上的称呼是相类似的．或更准确地说：从几何上看，若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方．如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？在曲线上任取两点A 、B ，设其坐标分别为11(,())x f x 、22(,())x f x ，弦AB 在曲线上方⇔12(,)x x x ∀∈，有211121()()()()()f x f x f x f x x x x x -≤+--，可简化为(0,1)λ∀∈，12,x x I ∀∈都有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，从而有以下定义：一、 凸（凹）函数的定义及判定1 凸（凹）函数的定义定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称f 为I 上的凸函数．反之，如果总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，则称f 为I 上的凹函数．注 易证：若一f 为区间I 上的凸函数，则f 为区间I 上的凹函数，因此，今后只讨论凸函数的性质即可．2、凸函数的判定1引理 f 为I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- 注 同理可证：有上任意三点对上的凸函数为,321x x x I I f <<⇔232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤-- （4） 如果f 是I 上的可导函数，则进一步有：2 定理6.13（可导函数为凸函数的等价命题） 设f 为区间I 上的可导函数，则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数；（2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-如果f 在I 上二阶可导，则进一步有：3定理6．14（凸函数与二阶导数的关系） 设f 为I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸（凹）函数⇔()0f x ''>（()0f x ''<），x I ∈． 二、 曲线的拐点定义及判定1 定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的，这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点．注：拐点是严格凸与严格凹的分界点2定理6．15（拐点必要条件） 若f 在0x 二阶可导，则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点的必要条件是0()0f x ''=．综上知：(00,()x f x )的拐点，则要么（1）0()0f x ''=；要么（2）f 在0x 点不可导．3定理6．16 设f 在点0x 可导，在某邻域0()U x 内二阶可导，若在0()U x +和0()U x -上()f x ''的符号相反，则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点．；注：(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点，但y ＝f(x)在点0x的导数不一定存在，如y =在x ＝0的情形．三、应用举例（1）利用上述等价命题验证函数的凹凸性，确定凹凸区间．例1 讨论函数()arctan f x x =的凸（凹）性及拐点．（2）证明不等式例2：（Jensen 不等式）若f 为],[b a 上凸函数，则对任意),,2,1(0],,[n i b a x i i =>∈λ11=∑=n i i λ，有)()(11ini i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ 例3 证明均值不等式：,,,21+∈∀R a a a n 有na a a a a a a a a nn n n n +++≤≤+++ 212121111 作业：P153 1（2）（4），2，3，4，5。

高一数学讲义 第六章 三角函数6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像每一个实数x 都有唯一确定的角与之对应，而这个角又可以与它的三角比sin x （或cos x ）对应，即每个实数x 都可以与唯一确定的值sin x （或cos x ）对应．按这样的对应法则建立起来的函数，表示为sin y x =（或cos y x =），叫做自变量为x 的正弦函数（或余弦函数）．sin y x =和cos y x =的定义域都是R ，值域都是[]11-，． ()()sin cos y x x y x x =∈=∈R R ，的性质：1．奇偶性根据诱导公式，对x ∀∈R ，有()sin sin x x -=-，()cos cos x x -=， ()sin y x x ∴=∈R 是奇函数，()cos y x x =∈R 是偶函数．2．周期性对于()()sin 2πsin k x x k +=∈Z ，当0k ≠时，2πk 是()sin f x x =的周期，2π是不是()sin f x x =的最小正周期呢？假设存在T ，满足02πT <<，且是函数()sin f x x =的周期，即()()f x T f x +=，令π2x =，得ππ1sinsin cos 22T T ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，与02πT <<时，cos 1T <矛盾． 3．函数图像 若把角x 的顶点置于坐标系uOv 的原点，角x 的始边与Ou 轴重合，终边与单位圆的交点为()P u v ，则sin cos x v x u ==，．当x 在区间[)02π，上连续变化的时候，都有单位圆上点()P u v ，与之对应．相应地在坐标系xOy 中，描绘出点()Q x v ，和点()R x u ，．点Q 便勾画出正弦函数sin y x =一个周期的图像（见图6－1），点R便勾画出余弦函数cos y x =一个周期的图像（见图6－2）．然后再利用函数的周期性将图像向左右延伸，便得到正弦函数和余弦函数的图像（见图6－3）．图6-34．单调性当ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递增，∴函数sin y x =在ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调增．当π3π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递减，∴函数sin y x =在π3π22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调减．同理可得，函数cos y x =在[]0π，上单调减，在[]π2π，上单调增．拓展：函数sin y x =在ππ2ππ2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ． 函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ． 说明：若()y f x =是定义在实数集R 上的周期函数，最小正周期是T ，[]a b ，是()y f x =的单调区间，则对任意整数k ，[]kT a kT b ++，均是()y f x =的单调区间． 5．最值回顾：函数sin y x =在ππ2π2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ． 函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ． 结论：当()π2π2x k k =+∈Z 时，函数sin y x =取最大值1； 当()π2π2x k k =-∈Z 时，函数sin y x =取最小值1-； 当()2πx k k =∈Z 时，函数cos y x =取最大值1； 当()2ππx k k =+∈Z 时，函数cos y x =取最小值1-．例1．求证：()sin f x x =是偶函数．证明：对x ∀∈R ，有()()()sin sin f x x x f x -=-==， ()sin f x x ∴=是偶函数．例2．研究函数()sin cos f x x x =+的奇偶性． 解：πππsin cos 0444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， πππsin cos 444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．另解：若()()f x f x -=，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=+， 则sin 0x =，即πx k =，k ∈Z ．若()()f x f x -=-，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=--， 则cos 0x =，即ππ2x k =+，k ∈Z ． ()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．说明：对于()sin cos f x x x =+，虽然有无数多个实数x ，满足()()f x f x -=，但是()f x 并不是偶函数．同理()f x 也不是奇函数．函数的奇偶性是函数的整体性质．若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-对于定义域内的每一个x 恒成立； 若()f x 是偶函数，则()()f x f x -=对于定义域内的每一个x 恒成立．例3．已知A ωϕ、、都是常数，且0A >，ω>0，求证：函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期是2πω．解：对于任何实数x ，()2π2πsin sin 2πf x A x A x ωϕωϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()sin A x f x ωϕ=+=，2πω∴是函数()()sin f x A x ωϕ=+的周期．可以证明2πω是函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期．例4．作出函数sin cos y x x =+在[]02π，上的图像．解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．描点作图，见图6－4．图6-4例5．求函数sin cos y x x =+的单调增区间． 解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．πππ2π2π242k x k k -++∈Z ，≤≤，3ππ2π2π44k x k k ∴-+∈Z ，≤≤． ∴函数sin cos y x x =+的单调增区间是()3ππ2π2π44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例6．求函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间．解：π2π32ππ3k xk k -+∈Z ，≤≤，2ππ2π4π3939k k x k ∴++∈Z ，≤≤．∴函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间是()2ππ2π4π3939k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例7．求函数()sin cos 0y a x b x ab =+≠的最值． 解：()sin cos y a x b x x ϕ=++，其中tan baϕ=， max min y y ∴==．例8．求下列函数的最值： （1）2sin 2cos y x x =+；（2）()22sin cos y a x b x a b =+≠； （3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒；（4）66sin cos y x x =+．解：（1）()2111sin 2cos sin 2cos22222y x x x x x ϕ=+=++=++，max y ∴min y =． （2）()222sin cos sin y a x b x a b x b =+=-+，∴若a b >，则2sin 1x =时，max y a =；2sin 0x =时，min y b =．若a b <，则2sin 0x =时，max y b =；2sin 1x =时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．另解：221cos21cos2sin cos cos22222x x b a a by a x b x ab x -+-+=+=+=+， ∴若a b >，则cos21x =-时，max y a =；cos21x =时，min y b =．若a b <，则cos21x =时，max y b =；cos21x =-时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．（3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒3cos10sin23sin10cos25cos70sin25sin70cos2x x x x =︒+︒+︒+︒()()3cos105cos70sin 23sin105sin 70cos2x x =︒+︒+︒+︒ ()7sin 2x ϕ=+，其中3sin105sin 70tan 3cos105cos70ϕ︒+︒=︒+︒，max 7y ∴=，min 7y =-．（4）664224sin cos sin sin cos cos y x x x x x x =+=-+()2222223sin cos 3sin cos 1sin 24x x x x x =+-=-，max 1y ∴=，min 14y =． 说明：在求函数的最值过程中，始终要贯彻“统一名称统一角”的观点． 基础练习1．判断下列函数的奇偶性，并求最小正周期： （1）()sin sin 2f x x x =+； （2）()sin f x x x =； （3）()πsin πf x x =；（4）()2sin sin 2f x x x =+；（5）()ππcos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）()22sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++； （7）()66sin cos f x x x =+；（8）()()2222sin cos 0f x a x b x a b =++≠．2．用五点法分别作出下列各函数的图像，并说明这些函数的图像和sin y x =图像的区别．（1）2sin 1y x =-；（2）12sin 2y x =．3．观察正弦曲线和余弦曲线．写出满足下列条件的区间： （1）sin 0x >； （2）cos 0x <； （3）1sin 2x >； （4）cos x <． 4．求下列函数的单调区间：（1）πcos 27y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）π2sin 34y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（3）lg cos 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭．5．求下列函数的最值，及取得相应最值的x 值．（1）π32sin 3y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； （2）23cos 4sin 2y x x =--；（3）22sin 3sin 1y x x =-+，π2π33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．6．确定函数131log 4y x ⎤⎛⎫=- ⎪⎥⎝⎭⎦的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．能力提高7．设π02αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、、，，满足：()()cos cos sin sin cos ααββγγ===，，，则αβγ，，的大小关系为__________．8．求下列函数的周期： （1）sin3cos y x x =+；（2）1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x xy x x x x+++-=++-++； （3）()2cos 325y x =-+．9．求5sin 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴方程．10．（1）求函数()2sin sin f x a x x =-的最大值()g a ，并画出()g a 的图像．（2）若函数()2cos sin f x x a x b =-+的最大值为0，最小值为4-，实数0a >，求a b ，的值．6.2 正切函数的性质与图像定义：对于ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，都有唯一确定的值tan x 与之对应，按照此对应法则建立的函数tan y x =，叫做正切函数． 正切函数的性质：1．周期性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan πtan k x x k +=∈Z ，， tan t x ∴=是周期函数．可以证明函数tan y x =的最小正周期是π（见图6－5）．图6-52．奇偶性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan tan x x -=-，tan y x ∴=是奇函数． 3．单调性12π02x x ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭、，，且12x x <，()121212sin tan tan cos cos x x x x x x --=12π02x x -<-<， ()12sin 0x x ∴-<． 1cos 0x >，2cos 0x >，()121212sin tan tan 0cos cos x x x x x x -∴-=>，即tan y x =在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调增．tan y x =是奇函数， tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调增．tan y x =是周期为π的函数，∴函数tan y x =的单调增区间是()ππππ22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，．4．值域函数tan y x =的值域是R ．正切函数tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，的图像如图6－6：图6-6利用正切函数的周期性，得到正切函数的图像． 例1．判断函数()tan 1lgtan 1x f x x +=-的奇偶性．解：函数的定义域应满足tan 10tan 1x x +>-，即tan 1x <-，或tan 1x >．于是定义域是()ππππππππ2442k k k k k ⎛⎫⎛⎫--++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，，，定义域是关于原点对称的． ()()()1tan 11tan 1tan lg lg lg tan 1tan 1tan 1x x x f x x x --+-+⎛⎫-=== ⎪-----⎝⎭()tan 1lgtan 1x f x x +=-=--．所以，tan 1lgtan 1x y x +=-是奇函数．例2．解不等式：tan21x -≤．解：在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内，πtan 14⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．∴不等式tan21x -≤的解集由不等式()πππ2π24k x k k -<-∈Z ≤确定，解得()ππππ22428k k x k -<-∈Z ≤， ∴不等式tan21x -≤的解集为ππππ22428k k x x k ⎧⎫-<-∈⎨⎬⎩⎭Z ，≤．基础练习 1．有人说：“正切函数在整个定义域内是单调递增的函数．”这句话对吗？为什么？ 2．求下列函数的周期： （1）()()tan 0y ax b a =+≠； （2）tan cot y x x =-． 3．求函数11tan 2y x=+五的定义域．4．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x 的集合．5．求下列函数的最大值和最小值：（1）sin 2sin 3x y x -=-；（2）sin 2cos 3x y x -=-．能力提高6．求函数sin cos π0,sin cos 2x x y x x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭的最值．7．根据条件比较下列各组数的大小： （1）已知ππ32θ<<，比较sin θ，cot θ，cos θ的大小； （2）已知π04θ<<，比较sin θ，()sin sin θ，()sin tan θ的大小； （3）已知π02θ<<，比较cos θ，()cos sin θ，()sin cos θ的大小． 6.3 函数()sin y A x d ωϕ=++的图像与性质例1．对下列函数与函数()sin y x x =∈R 进行比较研究（最好利用几何画板进行动态的研究）： （1）()sin 01y A x x A A =∈>≠R ，，；（2）()sin 01y x x ωωω=∈>≠R ，，； （3）()()sin 0y x x ϕϕϕ=+∈∈≠R R ，，； （4）()sin 0y x d x d d =+∈∈≠R R ，，； （5）()()sin 01100y A x d x A A d d ωϕωωϕϕ=++∈>≠>0≠∈≠∈≠R R R ，，，，，，，，． 解：（1）函数sin y A x =与sin y x =都是奇函数，具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当1A >时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向拉伸得到；当01A <<时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向压缩得到（见图6－7）．图6-7（2）函数sin y x ω=与sin y x =都是奇函数，值域相同，但函数sin y x ω=与sin y x =的周期和单调区间都不同．当ω>1时，函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向压缩得到；当0ω<<1时．函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向拉伸得到（见图6－8）．图6-8（3）当()πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+是奇函数；当()ππ2k k ϕ=+∈Z ，函数()sin y x ϕ=+偶函数；函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的周期和值域；当()2πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的单调区间．当ϕ>0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向左平移得到；当ϕ<0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向右平移得到（见图6－9）．图6-9（4）函数sin y x d =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数sin y x d =+与sin y x =具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当0d >时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向上平移得到；当0d <时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向下平移得到（见图6－10）．图6-10（5）函数()sin y A x d ωϕ=++的图像可以由函数sin y x =的图像经过一系列的变换得到．首先把函数sin y x =的图像进行纵向的变化，让函数sin y x =的图像上点的横坐标保持不变，让点的纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin y A x =的图像（见图6－11）．图6-11其次把函数sin y A x =的图像进行横向的变化，让函数sin y A x =的图像七点的纵坐标保持不变，让点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数sin y A x ω=。