函数导数一题多解 23题59解

导数各类题型⽅法总结（含答案）导数各种题型⽅法总结⼀、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成⽴; 1此类问题提倡按以下三个步骤进⾏解决：第⼀步：令f '(x)0得到两个根；第⼆步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成⽴问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理⽅法有三种：第⼀种：分离变量求最值 -----⽤分离变量时要特别注意是否需分类讨论( >0,=0,<0)第⼆种：变更主元 (即关于某字母的⼀次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元)；例1：设函数y f (x)在区间D 上的导数为f (x)， f (x)在区间D 上的导数为g(x)，若在区间D4…、 x3mx 3x 2f (x)126 2(1 )若y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围;(2)若对满⾜ m 2的任何⼀个实数 m ,函数f (x)在区间a,b 上都为“凸函数”，求b值?4 3^23 2x mx 3xx mx o解：由函数f (x)得f (x)3x12 6 23 2g (x) x 2 mx 3(1) Q y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，贝V g(x) x 2 mx 30在区间［0,3］上恒成⽴解法⼀：从⼆次函数的区间最值⼊⼿：等价于g max (x)2x x 3 0 2 1 x 12x x 3 0上，g(x) 0恒成⽴，则称函数y f (x)在区间D 上为“凸函数”，已知实数 m 是常数， a 的最⼤g(0) g(3)3 0 9 3m 3 0解法⼆：分离变量法：0 时,g(x)x 3时,g(x) x 2 3 2x2 x mx mx3 0恒成⽴, 0恒成⽴等价于m -—3x由 3门⽽ h(x) x ( 0 xm 23的最⼤值x(0x3 )恒成⽴, 3 )是增函数，贝 y h max (x) h(3) 2(2) v 当 m 2时f (x)在区间a,b 上都为“凸函数”则等价于当m 2时g(x)2x mx 3 0恒成⽴变更主元法2再等价于F(m) mx x 32恒成⽴ (视为关于 m 的⼀次函数最值问题)F( 2) 0 F(2)例2:设函数f(x) 〔x3 2ax2 3a2x b(0 a 1,b R)3(I)求函数f (x)的单调区间和极值；(⼆次函数区间最值的例⼦)g(x) x2 4ax 3a2在[a 1,a 2]上是增函数.g(x)max g(a 2) 2a 1.g(x)min g(a 1) 4a 4.于是，对任意x [a 1,a 2]，不等式①恒成⽴，等价于a 1.4⼜0 a 1, a 1.5点评：重视⼆次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：f(x) g(x)恒成⽴h(x) f (x) g(x) 0恒成⽴；从⽽转化为第⼀、⼆种题型(n)若对任意的x [a 1,a 2],不等式f (x) a恒成⽴，求a的取值范围.x 3a x a3 3x=a 时，f(x)4b；由| f (x) |< a,得：对任意的[a 1,a 2], x2 4 ax 3a2 a恒成⽴①则等价于g(x)这个⼆次函数gmax(x) ag min(x) a2g(x) x24ax 3a的对称轴x 2a Q 0 a 1, a 1 2a (放缩法)g(x)这个⼆次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

一、单选题1．已知可导函数()f x 的导函数为()'f x ， ()02018f =，若对任意的x R ∈，都有()()'f x f x >，则不等式()2018xf x e <的解集为（ ）A. ()0,+∞B. 21,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C. 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. (),0-∞ 2．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当()()0,20x xf x f x +'><.则（ ）A.()()224f e f e >B. ()()931f f >C.()()239f e f e -<D.()()224f e f e -<3．已知()f x 为定义在()0,+∞上的可导函数，且()()'f x xf x >恒成立，则不等式()210x f f x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A. ()1,+∞B. (),1-∞C. ()2,+∞D. (),2-∞二、解答题4．已知函数()()2ln f x ax x a R =-+∈ .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若存在()()1,,x f x a ∈+∞>-，求a 的取值范围.5．设函数()()222ln f x x ax x x x =-++-． （1）当2a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0,x ∈+∞时， ()0f x >恒成立，求整数a 的最小值．6．已知函数()()()1ln ,af x x a xg x a R x+=-=-∈. 若1a =，求函数()f x 的极值；设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；若在区间[]()1, 2.71828e e =⋯上不存在．．．0x ，使得()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围.7．已知函数()()ln ,f x x a x a R =-∈ . （1）当0a =时，求函数()f x 的极小值；（2）若函数()f x 在()0,+∞上为增函数，求a 的取值范围.8．已知函数()()2x f x x ax a e =--． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0,2a ∈，对于任意[]12,4,0x x ∈-，都有()()2124a f x f x e me --<+恒成立，求m 的取值范围【解析】令()()()()()()0,02018xxf x f x f xg x g x g e e -<'=='=∴因此()2018xf x e < ()()()201800xf xg x g x e⇒<⇒⇒，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e=， ()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f x g x x=， ()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等2．D【解析】根据题意，设g （x ）=x 2f （x ），其导数g′（x ）=（x 2）′f （x ）+x 2•f （x ）=2xf （x ）+x 2•f （x ）=x[2f （x ）+xf'（x ）]， 又由当x ＞0时，有2f （x ）+xf'（x ）<0成立，则数g′（x ）=x[2f （x ）+xf'（x ）]<0， 则函数g （x ）在（0，+∞）上为减函数，若g （x ）=x 2f （x ），且f （x ）为偶函数，则g （-x ）=（-x ）2f （-x ）=x 2f （x ）=g （x ）， 即g （x ）为偶函数，所以()()2g e g < 即()()224f e f e <因为()f x 为偶函数，所以()()2f 2f -=,所以()()224f e f e -<故选D点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是构造函数g （x ）并分析g （x ）的单调性与奇偶性． 3．A【解析】令()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x -=''∵()()f x xf x >'∴()()0xf x f x -<'，即()()()20xf x f x g x x'-='<在()0,+∞上恒成立()g x ()0,+∞∵()210x f f x x ⎛⎫->⎪⎝⎭∴()11f f x x x x⎛⎫ ⎪⎝⎭>，即()1g g x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴1x x<，即1x > 故选A点睛：本题首先需结合已知条件构造函数，然后考查利用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系. 4．（1）()f x在⎛ ⎝上递增，在⎫+∞⎪⎭上递减.；（2）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）对函数()f x 求导，再根据a 分类讨论，即可求出()f x 的单调性；（2）将()f x a >-化简得()21ln 0a x x --<，再根据定义域()1,x ∈+∞，对a 分类讨论， 0a ≤时，满足题意， 0a >时，构造()()21ln g x a x x =--，求出()g x 的单调性，可得()g x 的最大值，即可求出a 的取值范围.试题解析：（1）()21122ax f x a x x-='=-+，当0a ≤时， ()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上递增， 当0a > 时，令()0f x '=，得x =， 令()0f x '>，得x ⎛∈ ⎝；令()0f x '<，得x ⎫∈+∞⎪⎭，所以()f x在⎛ ⎝上递增，在⎫+∞⎪⎭上递减. （2）由()f x a >-，得()21ln 0a x x --<，因为()1,x ∈+∞，所以2ln 0,10x x --， 当0a ≤时， ()21ln 0a x x --<满足题意，当12a ≥时，设()()()22211ln (1),0ax g x a x x x g x x -'=-->=>， 所以()g x 在()1,+∞上递增，所以()()10g x g >=，不合题意， 1⎫⎛所以()()max 10g x g g =<=，则()()1,0x g x ∃∈+∞<， 综上， a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 点睛：本题考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会. 5．(1) f （x ）递增区间为（0，12），（1，+∞），递减区间为（12，1）；(2)1. 【解析】试题分析：（1）求出函数f （x ）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）问题转化为a>x-2（x-1）lnx 恒成立，令g （x ）=x-2（x-1）lnx ，根据函数的单调性求出a 的最小值即可．试题解析：（1）由题意可得f （x ）的定义域为（0，+∞）， 当a=2时，f （x ）=﹣x 2+2x+2（x 2﹣x ）lnx ，所以f′（x ）=﹣2x+2+2（2x ﹣1）lnx+2（x2﹣x ）•=（4x ﹣2）lnx ， 由f'（x ）＞0可得：（4x ﹣2）lnx ＞0，所以或，解得x ＞1或0＜x ＜；由f'（x ）＜0可得：（4x ﹣2）lnx ＜0，所以或，解得：＜x ＜1．综上可知：f （x ）递增区间为（0，），（1，+∞），递减区间为（，1）． （2）若x∈（0，+∞）时，f （x ）＞0恒成立，令g （x ）=x ﹣2（x ﹣1）lnx ，则a ＞g （x ）max ．因为g′（x ）=1﹣2（lnx+）=﹣2lnx ﹣1+，所以g'（x ）在（0，+∞）上是减函数，且g'（1）＞0，g′（2）＜0，故存在x 0∈（1，2）使得g （x ）在（0，x 0）上为增函数，在（x 0，+∞）上是减函数， ∴x=x 0时，g （x ）max =g （x 0）≈0， ∴a＞0，又因为a∈Z ，所以a min =1．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x >，若()0f x <恒成立，转化为()max 0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min max f x g x >.6．（1）极小值为()11f =；（2）见解析（3）2121e a e +-≤≤-【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号，确定极值（2）先求导数，求导函数零点，讨论1a +与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性（3）正难则反，先求存在一点0x ,使得()()00f x g x <成立时实数a 的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合（2）单调性可得实数a 的取值范围，最后取补集得结果试题解析：解：（I ）当1a =时， ()()1ln '01x f x x x f x x x-=-⇒=>⇒>，列极值分布表 ()f x ∴在（0,1）上递减，在1+∞（，）上递增，∴()f x 的极小值为()11f =； （II ）()1ln a h x x a x x+=-+ ()()()211'x x a h x x ⎡⎤+-+⎣⎦∴=①当1a ≤-时， ()()'0,h x h x >∴在0+∞（，）上递增； ②当1a >-时， ()'01h x x a >⇒>+，∴()h x 在0,1a +（）上递减，在()1,a ++∞上递增； （III ）先解区间[]1,e 上存在一点0x ,使得()()00f x g x <成立()()()0h x f x g x ⇔=-<[]1,e ⇔[]1,x e ∈()0h x <①当1a ≤-时， ()h x 在[]1,e 上递增， ()min 1202h h a a ∴==+<⇒<- ∴2a <- ②当1a >-时， ()h x 在0,1a +（）上递减，在()1,a ++∞上递增 当10a -<≤时， ()h x 在[]1,e 上递增， ()min 1202h h a a ∴==+<⇒<- a ∴无解 当1a e ≥-时， ()h x 在[]1,e 上递减()2min1101a e h h e e a a e e ++∴==-+⇒-，∴211e a e +>-；当01a e <<-时， ()h x 在[]1,1a +上递减，在()1,a e +上递增 ()()min 12ln 1h h a a a a ∴=+=+-+令()()()2ln 121ln 1a a a F a a aa +-+==+-+，则()221'01F a a a=--<+ ()F a ∴在()0,1e -递减， ()()2101F a F e e ∴>-=>-， ()0F a ∴<无解， 即()min 2ln 10h a a a =+-+<无解；综上：存在一点0x ,使得()()00f x g x <成立，实数a 的取值范围为： 2a <-或211e a e +>-.所以不存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，实数a 的取值范围为.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.7．（1）1e-（2）21,e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【解析】试题分析：（1）当0a =时，得出函数的解析式，求导数，令()'0f x =，解出x 的值，利用导数值的正负来求其单调区间进而求得极小值；（2）求出()'f x ，由于函数()f x 在()0,+∞是增函数，转化为()'0f x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，分类参数，利用导数()ln g x x x x =+的最小值，即可求实数a 的取值范围． 试题解析：（1）定义域为()0,+∞．当0a =时， ()ln f x x x =， ()'ln 1f x x =+．当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'0f x <， ()f x 为减函数；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'0f x >， ()f x 为增函数．所以函数()f x 的极小值是11f e e⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （2）由已知得()'ln x af x x x-=+． 因为函数()f x 在()0,+∞是增函数，所以()'0f x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立， 由()'0f x ≥得ln 0x ax x-+≥，即ln x x x a +≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立． 设()ln g x x x x =+，要使“ln x x x a +≥对任意()0,x ∈+∞恒成立”，只要()min a g x ≤. 因为()'ln 2g x x =+，令()'0g x =，得21x e =． 当210,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'0g x <， ()g x 为减函数； 当21,x e ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时， ()'0g x >， ()g x 为增函数． 所以()g x 的最小值是2211g ee ⎛⎫=-⎪⎝⎭． 故函数()f x 在()0,+∞是增函数时，实数a 的取值范围是21,e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦． 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间，利用导数求解函数的极值与最值等知识点的综合应用，这属于教学的重点和难点，应熟练掌握，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中把函数()f x 在()0,+∞是增函数，所以()'0f x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立是解答的关键．8．（1）见解析；（2）231e m e+>. 【解析】试题分析：（1）求出()'f x ，分三种情况讨论，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间， ()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）由（1）知， 所以()()()2max 24f x f a e -=-=+，()()()443+160f a e a f --=>-=，()()2a -()222a ---()21a m e ->+.. 立，利用导数研究函数的单调性，求出()21a a e e -+的最大值，即可得结果. 试题解析：（1）()()()2xf x x x a e '=+- ①若2a <-，则()f x 在(),a -∞， ()2,-+∞上单调递增，在(),2a -上单调递减； ②2a =-，则(),-∞+∞在上单调递增；③若2a >-，则()f x 在(),2-∞-， (),a +∞上单调递增，在()2,a -上单调递减；（2）由1知，当()0,2a ∈时， ()f x 在()4,2--上单调递增，在()2,0-单调递减， 所以()()()2max 24f x f a e -=-=+， ()()()443+160f a e a f --=>-=，故()()()()12max 20f x f x f f -=--= ()()222414a e a a e e ---++=++， ()()2124a f x f x e me --<+恒成立，即()222144a a e e e me ---++<+恒成立 即()21a a m e e->+恒成立， 令()(),0,2x x g x x e =∈， 易知()g x 在其定义域上有最大值()11g e=， 所以231e m e +>。

高二数学导数试题答案及解析1.若曲线的一条切线l与直线垂直，则切线l的方程为 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以，由导数的几何意义可知切线的斜率为。

直线的斜率为。

由题意可得，解得，切点为，切线的斜率为4，所以切线的方程为，即。

故A正确。

【考点】1导数的几何意义；2两直线垂直时斜率的关系；3直线方程。

2.已知函数在处有极大值，则=（）A．6B．C．2或6D．-2或6【答案】A【解析】根据题意，由于函数在处有极大值，则可知f’(2)=0,12-8c+=0，c=4.则可知=6，当c=2不符合题意，故答案为A.【考点】函数的极值点评：主要是考查了函数极值的运用，属于基础题。

3.函数在区间上最大值与最小值的和为【答案】【解析】根据题意，由于，故可知当0<x<1，递增，在1<x<2时函数递减，故可知函数在区间上最大值与最小值分别是，-2，故可知和为，故答案为。

【考点】函数的最值点评：主要是考查了导数在研究函数最值中的运用，属于基础题。

4.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是（）A．（-∞，2）B．（0,3）C．（1,4）D．（2，+∞）【答案】D【解析】，由得：，故函数的单调递增区间为（2，+∞）。

故选Ｄ。

【考点】函数的单调性点评：求函数的单调区间，常结合导数来求，过程要用到的结论是：若，则函数的增区间为；若，则函数的减区间为5.下列命题：①若存在导函数，则；②若函数，则；③若函数，则；④若三次函数，则“”是“f(x)有极值点”的充要条件;⑤函数的单调递增区间是．其中真命题为____．(填序号)【答案】③⑤【解析】①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=2[f（2x）]′，故不正确；②若函数h（x）=cos4x-sin4x，则h′（）=-2sin=-1，故不正确；③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2012）（x-2013），则g'（x）中含（x-2013）的将2013代入都为0，则g′（2013）=2012!故正确；④若三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，则f'（x）=0有两个不等的根即b2-3ac＞0，故不正确；⑤∵，∴，令得，解得x∈，故正确.综上，真命题为③⑤【考点】本题考查了导数的运用及三角函数的单调性点评：此类问题主要考查复合函数的导数，以及函数的极值、求值等有关知识，属于综合题6.若,则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，=，选A。

高三数学导数试题答案及解析1.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()A．∃x0∈R，f(x)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x)上单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x)＝0【答案】C【解析】若c＝0，则有f(0)＝0，所以A正确．由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c得f(x)－c＝x3＋ax2＋bx，因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的对称中心为(0,0)，所以f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为(0，c)，所以B正确．由三次函数的图象可知，若x是f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间(－∞，x)单调递减是错误的，D正确．2.已知集合，以下命题正确的序号是．①如果函数，其中，那么的最大值为。

②数列满足首项,，当且最大时，数列有2048个。

③数列满足，，，如果数列中的每一项都是集合M的元素，则符合这些条件的不同数列一共有33个。

④已知直线，其中，而且，则一共可以得到不同的直线196条。

【答案】②③④【解析】①令，，则，所以，故不正确．②由条件知数列是首项为，公差为2的等差数列，则，则当时，，所以各有两种可能取值，因此满足条件的数列有个，故正确．③根据条件可知满足条件的数列可分为四类：（1），且，有9种；（2），且，有5种；（3），且，有10种；（4），且，有9种，共有9＋5＋10＋9＝33种．④满足的选法有，其中比值相同重复有14种，因此满足条件的直线共有210－14＝196．【考点】1、导数的计数；2、等差数列；3、计数原理．3.已知集合，以下命题正确的序号是．①如果函数，其中，那么的最大值为．②数列满足首项,，当且最大时，数列有2048个．③数列满足，，，如果数列中的每一项都是集合M的元素，则符合这些条件的不同数列一共有33个．④已知直线，其中，而且，则一共可以得到不同的直线196条．【答案】②③④【解析】对①，将求导得：，所以．故错.对②，是一个等差数列，都是互为相反数的两个值，所以数列共有个．对③，由得.法一、由于，，故将加4个2，再减3个2即可.由于故不能连续加4次，也不能连续减3次，所以共有个.法二、因为，所以或，注意到数列中的每一项都是集合M的元素，依次下去可得.由于，所以.由此我们可得以下树图：，所以符合这些条件的不同数列一共有14+19＝33个．法三、由于或，，故可以分以下四种情况分别求解：.，共有9个；，共有5个；，共有10个；，共有9个.所以总共有33个.对④，从中取3个不同的数作为，因为，所以共有种取法.再排除其中重复的直线.与相同的有，多3条；与相同的有，多2条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多2条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多2条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条（注意这种情况在前面已经考虑了）；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条.一共可以得到不同的直线条．【考点】1、导数；2、数列；3、直线的方程；4、计数原理.4.曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 .【答案】【解析】∵，∴，所以切线方程为：，∴三角形面积为.【考点】1.利用导数求切线方程；2.三角形的面积公式.5.设是定义在R上的奇函数，且,当时，有恒成立，则不等式的解集是（）A．(-2,0) ∪(2,+∞)B．(-2,0) ∪(0,2)C．(-∞,-2)∪(2,+∞)D．(-∞,-2)∪(0,2)【答案】D【解析】根据和构造的函数在（0，+∞）上单调递减，又是定义在R上的奇函数，故是定义在R上单调递减.因为f（2）=0，所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（-∞，-2）内恒有f（x）＞0；在（-2，0）内恒有f（x）＜0．又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．所以答案为（-∞，-2）∪（0，2）．【考点】1.导数在函数单调性中的应用；2.复合函数的导数.6.曲线处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A．B．C．D．【答案】A【解析】切线斜率，故切线方程为，即，其和坐标轴围成的三角形面积，选A.【考点】导数的几何意义、直线方程.7.已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为 .【答案】【解析】由题意知在有定义，即在恒成立，即，又在增，故在恒成立，因为，故，综上可知,.【考点】利用导数研究函数单调性、函数最值.8.已知函数，.(Ⅰ)若，求函数在区间上的最值；(Ⅱ)若恒成立，求的取值范围. （注：是自然对数的底数）【答案】(Ⅰ) 最大值；(Ⅱ)的取值范围是.【解析】(Ⅰ) 讨论去掉绝对值，利用导数求得最值； (Ⅱ) 对分，讨论：当时，，恒成立，所以；当时，对讨论去掉绝对值，分离出通过求函数的最值求得的范围.试题解析：(1) 若，则.当时，，，所以函数在上单调递增；当时，，.所以函数在区间上单调递减，所以在区间[1,e]上有最小值，又因为，，而，所以在区间上有最大值.(2)函数的定义域为．由，得．（*）（ⅰ）当时，，，不等式（*）恒成立，所以；（ⅱ）当时，①当时，由得，即，现令，则，因为，所以，故在上单调递增，从而的最小值为，因为恒成立等价于，所以；②当时，的最小值为，而，显然不满足题意.综上可得，满足条件的的取值范围是.【考点】绝对值的计算、函数的最值求法、利用导数求函数单调性.9.定义在上的函数同时满足以下条件：①函数在上是减函数，在上是增函数；②是偶函数；③函数在处的切线与直线垂直.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设，若存在使得，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由三个条件可得三个等式，从而可求出三个未知数.（Ⅱ）一般地若存在使得，则;若存在使得，则.在本题中，由可得: .则大于的最小值.试题解析：（Ⅰ）,由题设可得:所以（Ⅱ）由得: 即:令由题意得:所以在单调递增,在上单调递减又,所以的最小值为【考点】函数的性质,导数的求法及应用.10.设，曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求的值;(2) 若，恒成立，求的范围.(3)求证：【答案】(1) 0. (2) .(3) 结合（2）时,成立.令得到，累加可得.【解析】(1)求导数，并由得到的值; (2)恒成立问题，往往转化成求函数的最值问题.本题中设，即转化成.利用导数研究函数的最值可得.(3) 结合（2）时,成立.令得到，累加可得.试题解析：(1) 2分由题设，，. 4分(2) ,，，即设，即.6分①若，，这与题设矛盾. 8分②若方程的判别式当，即时，.在上单调递减，，即不等式成立. 9分当时，方程，其根，，当,单调递增，，与题设矛盾.综上所述， . 10分(3) 由(2)知,当时, 时,成立.不妨令所以，11分12分累加可得14分【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的性质，利用导数证明不等式.11.设函数 (R)，且该函数曲线在处的切线与轴平行.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）证明：当时，.【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）先求出原函数的导函数，令导函数大于零得单调增区间，令导函数小于零得单调减区间；（Ⅱ）当时，，在上单调递增，求出在上的最大值为和最小值，用最大值减去最小值可得结论.试题解析：（Ⅰ），由条件知，故则 3分于是.故当时，；当时，。

高二数学函数与导数试题答案及解析1. f（x）=x5+ax3+bx-8且f（-2）=0，则f（2）等于（）A．-16B．-18C．-10D．10【答案】Ａ【解析】略2.；若．．【答案】４【解析】略3.函数，的最大值是（）A．B．-1C．0D．1【答案】D【解析】,所以当时；当时,所以函数在上单调递增,在上单调递减．所以．故D正确．【考点】用导数求最值．4.已知曲线f（x）＝ln x在点（x0，f（x））处的切线经过点（0，－1），则x的值为（）A．B．1C．e D．10【答案】B【解析】【考点】函数导数的几何意义5.函数的定义域为．【答案】【解析】函数的定义域为即函数的定义域为【考点】函数的定义域6.（本小题满分14分）北京市周边某工厂生产甲、乙两种产品．一天中，生产一吨甲产品、一吨乙产品所需要的煤、水以及产值如表所示：在会议期间，为了减少空气污染和废水排放．北京市对该厂每天用煤和用水有所限制，每天用煤最多吨，用水最多吨．问该厂如何安排生产，才能是日产值最大？最大的产值是多少？【答案】该厂每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，才能使该厂日产值最大，最大的产值是134万元．【解析】设每天生产甲种产品x吨,乙种产品y吨,建立目标函数和约束条件,利用线性规划，即可求出结果．试题解析：解：设每天生产甲种产品吨，乙种产品吨． 1分依题意可得线性约束条件4分目标函数为, 5分作出线性约束条件所表示的平面区域如图所示8分将变形为当直线在纵轴上的截距达到最大值时， 9分即直线经过点M时，也达到最大值． 10分由得点的坐标为 12分所以当时， 13分因此，该厂每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，才能使该厂日产值最大，最大的产值是134万元． 14分【考点】简单的线性规划．7.（本题满分12分）已知函数（为实数）．（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围；（Ⅲ）已知，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）详见解析．【解析】（1）先求导，利用导数的几何意义，再求进行求解；（2）求导，求极值点，根据函数在区间上不存在极值，得到的取值范围，根据条件存在满足，所以，所以求函数的最大值，因为含参，所以讨论对称轴于定义域的关系，求二次函数的最值，得到关于的不等式，再进行求解；（3）先判定函数的单调性，并求其最大值，得到，再进行换元，令，则，即，再代入裂项向消法求和，证明不等式．试题解析：（Ⅰ）当时，，，则，函数的图象在点的切线方程为：，即（Ⅱ），由由于函数在区间上不存在极值，所以或由于存在满足，所以对于函数，对称轴①当或，即或时，，由，结合或可得：或②当，即时，，由，结合可知：不存在；③当，即时，；由，结合可知：综上可知：或（Ⅲ）当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴在处取得最大值即，∴，令，则，即，∴．故．【考点】1．导数的几何意义；2．函数的单调性；3．函数的极值；4．放缩法．8.设，那么（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据指数函数的性质，可知，根据指数函数的单调性，可知，根据幂函数的单调性，可知，从而有，故C是正确的．【考点】利用指数函数的性质、幂函数的性质比较大小．9.（本小题满分10分）已知函数在处取得极值．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）过点作曲线的切线,求此切线方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】第一问根据题中所给的条件，函数在处取得极值，得到函数在处的导数为零，从而得出实数的值，再带入验证，满足条件，第二问根据第一问的结果，从而确定出函数的解析式，根据过某点的曲线的切线方程的求解方法，首先设出切点的坐标，应用导数的几何意义，确定出切线的斜率，从而应用点斜式方程，写出切线方程，将带入切线方程，从而解得切点的横坐标的值，带入求得切线方程．试题解析：（Ⅰ） 1分，即解得， 4分此时在两边（附近）符号相反，所以处函数取得极值，同理，在处函数取得极值． 5分（Ⅱ）设切点坐标为．则切线方程为 7分化简，得，即， 9分所求的切线方程为：．10分【考点】函数的极值，导数的应用，切线的方程．10.设函数，．（1）判断函数在上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式成立．【答案】（1）上是增函数；（2）证明详见解析.【解析】本题主要考查了函数单调性的判断方法、导数在最大值、最小值问题中的应用、利用导数判断函数的单调性常用的方法，考查了学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用导数的办法，通过导数大于或小于0判断函数的单调性；第二问，先将化为，从而原不等式化为，即，令，利用导数研究它的单调性和最值，最后得到存在正数，使原不等式成立．试题解析：（1），令，则，当时，，∴是上的增函数，∴，故，即函数是上的增函数．（2），当时，令，则故，∴，原不等式化为，即，令，则，由得：，解得，当时，；当时，．故当时，取最小值，令，则．故，即．因此，存在正数，使原不等式成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．11.（本题满分14分）已知函数有最小值．（1）求实数的取值范围；（2）设为定义在上的奇函数，且时，，求的解析式．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）分类讨论将表达式中的绝对值号去掉成为有两个一次函数的分段函数，从而问题可转化于在每个分段上存在最小值，即可求解；（2）利用奇函数的性质可知，当时，，再由结合已知条件即可求解．试题解析：（1），要使函数有最小值，需，即时，有最小值；（2）∵是上的奇函数，∴，设，则，∴，即．【考点】1．分段函数；2．奇函数的性质；3．分类讨论的数学思想．12.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】数形结合法如上图．直线:是过定点P（-2，4）的动直线，曲线是以原点为圆心，2为半径的上半圆．当直线在PA位置时，即与圆相切时，由圆心到直线距离等于半径得，;当在PB位置时，．由图像知，当直线在PA与PB之间时，有两个交点，所以．故选B．【考点】直线与圆的相交问题．【方法点睛】直线与圆的位置关系常有两种方法研究：一、利用圆心到直线的距离与半径的关系判断交点个数，或由交点个数求参数范围；二、将直线代入圆的方程，利用判别式研究交点个数，或由交点个数求参数范围．但当直线与半圆或四分之一圆等相交问题，常借助图像属性结合去研究交点问题．例如本题，因研究的圆是半圆，所以数形结合方法比较好．13.已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有个零点，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】,构造函数，在同一坐标系内作出函数与函数的图象，由图象可知，当时，与的图象有三个公共点，故选C．【考点】1．函数与方程；2．数形结合思想；3．新定义函数问题．【方法点睛】本题主要考查学生接受新知识的能力以及数学中的数学结合思想、函数与方程思想等思想方法，属难题．解决此类问题的关键是将函数的零点问题通过等价转化，将问题转化为两个函数交点的个数问题，再正确画出两个函数的图象，由数形结合进行求解．14.函数的极小值为．【答案】【解析】, 令得;令得.所以函数在上单调递减;在上单调递增.所以在处函数取的极小值为.【考点】用导数求极值.15.若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定正确的有①，②，③，④．【答案】①③【解析】令,,,恒成立.在上单调递增. ,,,即恒成立;,即.恒成立.故正确的有①③.【考点】用导数研究函数的性质.16.已知，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，又，，故选B．【考点】1、对数式的运算；2、对数式的比较大小．【方法点睛】纵观历年数学高考试题，几乎每套题都有指数式和对数式大小比较的客观题目，结合近年来的数学高考试题，总结归纳指数式和对数式比较大小的六种解题方法．（1）单调函数法同底的指数式和对数式比较大小，就是利用指数函数和对数函数的单调性来比较；（2）中间桥梁法底不同的指数式和对数式比较大小，如果不能直接利用指数函数和对数函数的单调性来比较，可利用特殊数值（如0 或1）作为中间桥梁，进而可比较出大小；（3）特值代入法对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题，可在这个区间上取满足条件的特殊值，代入后通过计算简化或避免复杂的变形与讨论，使问题简捷获解；（4）估值计算法估值计算是指通过估值、合理猜想等手段，准确、迅速地选出答案；（5）数形结合法画出指数函数和对数函数的图象，利用直观的图象往往能得到更简捷的解法．特征构造法对于含有几何背景的指数式和对数式的大小问题，可根据题目特点，构造函数或利用其他几何特征进行解题．17.已知函数，那么f （1）等于10C．1D．0A．2B．log3【答案】A【解析】【考点】函数求值18.若直线与曲线恰有一个公共点，则实数k的取值范围是______________．【答案】或【解析】曲线，即（x≥0），表示一个半圆（单位圆位于x轴及x轴右侧的部分）．如图，A（0，1）、B（1，0）、C（0，-1），当直线y=x+k经过点A时，1=0+k，求得k=1；当直线y=x+k经过点B、点C时，0=1+k，求得k=-1；当直线y=x+k和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得，或（舍去），故要求的实数k的范围为（-1，1]∪{-2}，【考点】直线与圆的位置关系19.已知函数其中为参数．（1）记函数，讨论函数的单调性；（2）若曲线与轴正半轴有交点且交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有．【答案】（1）当时，函数在定义域上单调递增．当时，在上单调递增，在单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析．【解析】第（1）小题设计为分类讨论函数的单调性．首先化简g(x)，然后对g(x)求导化简得，注意到，所以就找到的临界点，然后对和进行分类讨论求解；第（2）小题设计为证明题，实质转化为求函数的最值．先求，然后构造函数，通过求导求函数H（x）的极值，从而得函数H（x）的最小值，命题得证．试题解析：（1）证明：函数的定义域是．，，当时，则，所以，所以函数在定义域上单调递增．当时，令，则可知函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增．（2）令则或若曲线与轴正半轴有交点，则且交点坐标为又则所以曲线在点处的切线方程为，即令函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，有最小值，所以，则【考点】导数，导数的几何意义，函数的单调性，函数的极值，函数的最值．【方法点睛】本题以三次为背景，第(1)小题设计为分类讨论函数的单调性，其中讨论的标准就是导函数的正负性，需要一定的运算能力．第（2）小题设计为证明题，其实就是函数的恒成立问题，可以转化为函数的最值问题，求函数的最值，需转化为求函数的极值，需转化为求函数的单调性，解题思路清晰，需要有一定的运算能力．20.已知动点与平面上两定点连线的斜率的积为定值-2．（1）试求动点的轨迹方程；（2）设直线与曲线交于两点，求．【答案】（1）（）；（2）．【解析】（1）设，表示两直线的斜率，利用斜率乘积为，建立方程化简即可得到点的轨迹方程；（2）将直线代入曲线，整理得，可求出方程的根，进而利用弦长公式可求．试题解析：（1）设点，则依题意有整理得由于，求得的曲线的方程为（）；（2）由消去得：，设，则【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．【方法点晴】本题主要考查了轨迹方程的求解及直线与圆锥曲线的弦长的计算，属于中档试题，本题解答中，第1问中，以斜率为载体，考查了曲线方程的求解，关键在于利用斜率公式，根据题设条件建立关于的关系式，化简整理得曲线的轨迹方程；第2问题中，熟记弦长公式，利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长，准确、仔细计算是解答的关键．21.若函数在处取得极值．（1）求的值；（2）求函数的单调区间及极值．【答案】（1）（2）单调递增区间是，单调递减区间是，极小值为，极大值为．【解析】（1）求出原函数的导函数，由函数在x=1时的导数为0列式求得a的值；（2）把（1）中求出的a值代入，求其导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用导函数在不同区间段内的符号求单调期间，进一步求得极值点，代入原函数求得极值．试题解析：（1），由，得．（2），．由，得或．当时；②当时或．当变化时，的变化情况如下表：-+-因此，的单调递增区间是，单调递减区间是．函数的极小值为，极大值为．【考点】利用导数求过曲线上某点处的切线方程；利用导数研究函数的单调性22.（2015•山东一模）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．【答案】（Ⅰ）f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）由，f′（1）=0，知，由此能求出a．（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞），讨论两个根及﹣1的大小关系，即可判定函数的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，由此能够证明ln（n+1）＜2+．解：（1）因为，令f'（1）=0，即，解得a=﹣4，经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（2），令f'（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，，则f'（x）＜0，f（x）递减；若，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；③当，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，④当，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，，则f'（x）＞0，f（x）递增；若，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，∵，∴，i=1，2，3，…，n，∴，∴．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．23.某校内有一块以为圆心，（为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售，已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元.（1）设（单位：弧度），用表示弓形的面积；（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计的大小才能使总利润最大？并求出该最大值.（参考公式：扇形面积公式，表示扇形的弧长）【答案】(1) ；（2），.【解析】（1）由，利用扇形及三角形面积公式即得；（2）先由题意将利润表示成关于的函数关系式，再利用导数判断函数单调性求得最大值即可.试题解析：（1）因为，，所以.（2）设总利润为元，种植草皮利润为元，种植花卉利润为元，种植学校观赏植物成本为元，，，，∴，设，，，，，在上为减函数；，，在上为增函数；当时，取到最小值，此时总利润最大：.答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值.【考点】1、数学建模能力；2、利用导数研究函数的单调性及最值.24.设点是函数图象上的任意一点，点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数变形为表示圆的下半部分，点在直线上，圆心到直线的距离，圆的半径为2，则的最小值为【考点】1．直线和圆的位置关系；2．数形结合法25.已知a为实数，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a）．（1）求导数f′（x）；（2）若f′（﹣1）=0，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（3）若f（x）在（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．【答案】（1）3x2﹣2ax﹣4．（2）最大值为，最小值为．（3）[﹣2，2]．【解析】（1）按导数的求导法则求解（2）由f′（﹣1）=0代入可得f（x），先求导数，研究函数的极值点，通过比较极值点与端点的大小从而确定出最值（3）（法一）由题意可得f′（2）≥0，f′（﹣2）≥0联立可得a的范围（法二）求出f′（x），再求单调区增间（﹣∞，x1）和[x2，+∞），依题意有（﹣∞，﹣2）⊆（﹣∞，x1）[2，+∞]⊆[x2，+∞）解：（1）由原式得f（x）=x3﹣ax2﹣4x+4a，∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣4．（2）由f'（﹣1）=0得，此时有．由f'（x）=0得或x=﹣1，又，所以f（x）在[﹣2，2]上的最大值为，最小值为．（3）解法一：f'（x）=3x2﹣2ax﹣4的图象为开口向上且过点（0，﹣4）的抛物线，由条件得f'（﹣2）≥0，f'（2）≥0，∴﹣2≤a≤2．所以a的取值范围为[﹣2，2]．解法二：令f'（x）=0即3x2﹣2ax﹣4=0，由求根公式得：所以f'（x）=3x2﹣2ax﹣4．在（﹣∞，x1]和[x2，+∞）上非负．由题意可知，当x≤﹣2或x≥2时，f'（x）≥0，从而x1≥﹣2，x2≤2，即解不等式组得﹣2≤a≤2．∴a的取值范围是[﹣2，2]．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．26.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）；（2）直线的方程为，切点坐标为．【解析】（1）第一步，先求函数的导数，第二步，再求，根据导数的几何意义，，最后代入直线方程，就是所求的切线方程；（2）设切点，首先求在切点处的切线方程，即求和，然后因为切线过点，所以将原点代入切线方程，转化为关于的方程，求出切点，最后再整理切线方程. 试题解析：（1）在点处的切线的斜率，切线的方程为；（2）设切点为，则直线的斜率为，直线的方程为：．又直线过点，，整理，得，，，的斜率，直线的方程为，切点坐标为．【考点】本题主要考查导数的几何意义，直线方程的点斜式。

导数及其应用导数的运算1. 几种常有的函数导数：①、 c（ c 为常数）； ②、( x n )（ n R ）； ③、 (sin x) = ；④、 (cos x) =；⑤、( a x )； ⑥、 ( ex)； ⑦、 (log a x ) ； ⑧、 (ln x ).2. 求导数的四则运算法规：(u v)u v ； (uv) u vu'u v ' uv 'u ( v0 ) 注：① u, v 必定是可导函数 .uv ； (u)vuvvvv 223. 复合函数的求导法规：f x ( ( x))f (u) ? ( x) 或 y xy u ? u x一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义： f (x 0 ) 表示函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 的斜率；函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 方程为 y f (x 0 )f (x 0 )(x x 0 )1. 曲线在点 处的切线方程为（ ）。

A:B:C:D:答案详解 B 正确率 : 69%, 易错项 : C解析 :本题主要观察导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。

对 求导得，代入 得 即为切线的斜率， 切点为，因此切线方程为即。

故本题正确答案为B 。

2.3. 设函数f ( x) g( x) x2，曲线 y g(x) 在点 (1,g(1)) 处的切线方程为 y 2x 1，则曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1))处切线的斜率为( )A ．41C．21B ． D ．4 24. 已知函数 f ( x) 在R上满足 f ( x) 2 f (2 x) x28x 8，则曲线y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是()A . y2x 1 B. y x C. y3x 2 D. y2x 3变式二：5. 在平面直角坐标系xoy 中，点P在曲线C : y x310 x 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为.6. 设曲线 yx n 1 (n N * ) 在点（ 1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,令 a n lg x n ，则 a 1 a 2 L a 99 的值为.7. 已知点 P 在曲线 y=4 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是e x1, 3]D 、 [ 3,A 、 [0, )B 、 [, ) C 、 ( )44 22 4 4变式三：8. 已知直线y =x＋ 1 与曲线y ln( x a) 相切，则α的值为( )A . 1 B. 2 C. － 1 D. － 29. 若存在过点 (1,0)的直线与曲线 yx 3 和 y ax 2 15 x 9 都相切，则 a 等于4( )A ． 1或 -25B ． 1或21C ． 7 或 - 25D ．7或 76444 6441 110. 若曲线 yx 2 在点 a, a 2 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 aA 、64B 、 32C 、 16D 、811. （本小题满分 13 分） 设 f ( x)ae x 1b( a 0) . （ I ）求 f ( x) 在 [0, ) 上的最小值；ae x3x ；求 a,b 的值 .（ II ）设曲线 yf ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y212. 若曲线 f x ax2Inx 存在垂直于y轴的切线，则实数 a 的取值范围是.二、求单调性或单调区间1、利用导数判断函数单调性的方法：设函数y f (x) 在某个区间 D 内可导，若是 f ( x) ＞0，则y f (x) 在区间D上为增函数；若是 f ( x) ＜0，则y f (x) 在区间 D 上为减函数；若是 f ( x) =0恒成立，则y f (x) 在区间 D 上为常数 .2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式 f ( x) ＞0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f ( x) 的增区间；不等式 f ( x) ＜0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f (x) 的减区间 .1、函数f (x) ( x 3)e x的单调递加区间是( )A . ( ,2) B. (0,3) C. (1,4) D . (2, )2. 函数f (x)x315x233x 6 的单调减区间为.3. 已知函数，，谈论的单调性。

全国卷1导数题一题多解，深度解析1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析已知函数2()e xf x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.。

2.2020年 全国卷1文科数学第20题的解析已知函数()(2)xf x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.。

3. 2020年新高考1卷（山东考卷）第21题已知函数1()eln ln x f x a x a -=-+（1）.当a=e 时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围城的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围。

1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析已知函数2()e xf x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.。

解析：（1） 单调性，常规题，a 已知，求一个特定函数f(x)的单调性。

若一次求导不见底，则可二次或多次清仓，即二次求导或多次求导，然后逐层返回。

通常二次求导的为多。

（2） 恒成立，提高题，在恒成立情况下，求参数的取值范围。

常常是把恒成立化成最值问题。

由于这里的a 只在一项中出现，故可以优先考虑分离参数法。

这里介绍了两种方法。

解：（1） 当a=1时， 2()e xf x x x =+-，定义域为R ，'()e 21x f x x =+-，易知f ’(x)是单调递增函数。

而f ’(0)=0，∴ 当x ∈（-∞，0），f ’(x)＜0 当x ∈（0,+∞），f ’(x)＞0∴当x ∈（-∞，0），f(x)单调递减；当x ∈（0,+∞），f(x)单调递增。

（2）解法一 ，分离参数法 当x ≥0时，31()12f x x ≥+ ，即231()e 12x f x ax x x =+≥+- 当x=0时，上式恒成立，此时a ∈R 。

(完整word 版)高二数学导数大题练习详细答案一、解答题1．已知()()e 1x f x mx m =+<-.(1)当2m =-时，求曲线()y f x =上的斜率为1-的切线方程；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-恒成立，求实数m 的范围.2．已知函数()21si cos n 2f x x x a x x =-++．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围． 3．己知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+，若()0g x ≤在其定义域内恒成立，求实数a 的最小值；(3)若关于x 的方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明121x x >.4．已知函数()()24e 1xf x x =-+．(1)求()f x 的极值．(2)设()()()f m f n m n =≠，证明：7m n +<．5．求函数()31443f x x x =-+在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.6．已知函数()1e x axf x a=-+，0a ≠. (1)当1a =时，①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围. 7．已知函数()1ln xf x x+=. (1)求()f x 在1x =处的切线方程； (2)当e x ≥时，不等式()ekf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； 8．已知函数()e 2x f x ax =-，()22sin 1g x a x x =-+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)试判断函数()f x 的单调性与极值点个数；(2)若关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，求实数a 的最小值. 9．已知函数()()e x f x x m =+⋅.(1)若()f x 在(],1-∞上是减函数，求实数m 的取值范围；(2)当0m =时，若对任意的0x ≥，不等式()2e x ax f x ⋅≤恒成立，求实数a 的取值范围.10．已知函数()()e 11xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当20e <≤a ，且2x >时，()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣]恒成立，求b 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)10x y +-=；(2)ln 3⎡-⎣.【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可利用斜率求得切点坐标，由此可得切线方程；（2）令()()2213222m g x f x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，将问题转化为当0x ≥时，()min 0g x ≥恒成立；①当10m +≥时，由导数可证得()g x 单调递增，由()00g ≥可求得m 范围； ②当10+<m 时，利用零点存在定理可说明存在()00g x '=，并得到()g x 单调性，知()()020min 13e e 022x xg x g x ==-++≥，由此可解得0x 的范围，根据00e x x m -=可求得m 范围. (1)当2m =-时，()e 2x f x x =-，()e 2xf x '=-；令()e 21xf x '=-=-，解得：0x =，∴切点坐标为()0,1，∴所求切线方程为：1y x =-+，即10x y +-=；(2)令()()22221313e 222222x m m g x f x x mx x ⎛⎫=-+-=+--+ ⎪⎝⎭，则原问题转化为：当0x ≥时，()0g x ≥恒成立，即()min 0g x ≥恒成立；()e x g x m x '=+-，()e 1x g x ''=-，则当0x ≥时，()0g x ''≥，()g x '∴在[)0,∞+上单调递增，()()01g x g m ''∴≥=+； ①当10m +≥，即1m ≥-时，()0g x '≥，()g x ∴在[)0,∞+上单调递增，()()2min301022m g x g ∴==-+≥，解得：m ≤≤m ⎡∴∈-⎣； ②当10+<m ，即1m <-时，()00g '<，当x →+∞时，()g x '→+∞；()00,x ∴∃∈+∞，使得()00g x '=，即00e x x m -=，则当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()()()00022022000000min e1313e e e 222222x x x x xm g x g x mx x x x x -∴==+--+=+---+00213e e 022x x =-++≥， 解得：01e 3x -≤≤，即0ln 3x ≤，又()00,x ∈+∞，(]00,ln3x ∴∈，令()e xh x x =-，则()1e xh x '=-，∴当(]0,ln3x ∈时，()0h x '<，()h x ∴在(]0,ln3上单调递减，()[)000e ln33,1x h x x ∴=-∈--，即[)ln33,1m ∈--；综上所述：实数m 的取值范围为ln 3⎡-⎣.【点睛】思路点睛：本题重点考查了导数中的恒成立问题的求解，解题基本思路是通过构造函数的方式，将问题转化为()min 0g x ≥，从而利用对含参函数单调性的讨论来确定最小值点，根据最小值得到不等式求得参数范围. 2．(1)10y +=； (2)[)1,+∞. 【解析】 【分析】（1）将1a =-代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件可以将问题转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解. (1)当1a =-时，()2cos 1sin 2f x x x x x =--+()2cos 10000sin 012f =⨯--+=-，所以切点为0,1，()1sin cos x f x x x '=-++，∴(0)01sin 0cos00f '=-++=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为(0)0k f '==， 所以曲线()y f x =在点0,1处的切线的斜率切线方程为()()100y x --=⨯-，即10y +=.(2)由()21si cos n 2f x x x a x x =-++，得()s 1co i s n f x x a x x '=--+因为函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 设()()1c s os in g x f x x a x x '==--+，则()cos 1sin g x a x x '=--. 因为si (n 0)001cos00g a =--+=， 所以使()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 则至少满足()00g '≤，即10a -≤，解得1a ≥. 下证明当1a ≥时，()0f x '≤恒成立， 因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0x ≥， 因为1a ≥，所以()sin 1cos f x x x x '≤--+.记s ()cos n 1i h x x x x =--+，则π()1sin 14cos h x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎝-⎪⎭.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>. 所以函数()h x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增.因为ππ(),h h ⎛⎫==-⎪⎝⎭33001044， 所以()h x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)0h =.即()()1sin cos 0f x h x x x x '≤=--+≤在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.所以a 的取值范围为[)1,+∞. 3．(1)22y x =- (2)1-(3)(),1-∞-；证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，()2ln f x x =，分别求出()1f 和()1f '求解即可；（2）条件等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+求解最大值即可； （3）令()()ln 0xm x x a x x=-->，求出()m x 的单调性，得到()()11max m x m a ==--， 根据题意求解a 的范围即可；不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，题设即证明()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立，构造()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭， 求解单调性得到()()10x ϕϕ>=即可求解. (1)当0a =时，()2ln f x x =，所以()2l 01n1=f =，()2f x x'=，所以()12f '=， 所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()021y x -=-，即22y x =- (2)由题意得，()ln 21g x x ax x =--+，因为()0g x ≤在其定义域内恒成立， 所以ln 210x ax x --+≤在()0,∞+恒成立，即ln 12x a x++≥在()0,∞+恒成立， 等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+，所以()2ln x h x x -'=， 令()0h x '>解得01x <<，令()0h x '<解得1x >，所以函数()h x 在()0,1单调递增， 在()1,+∞单调递减，所以()()1=1h x h ≤，所以21a +≥，即1a ≥-，故a 的最小值为1-.(3)先证明必要性：由()2ln f x x x =+得2ln x ax x -=，即ln 0xx a x--=， 令()()ln 0x m x x a x x =-->，则()221ln x x m x x --'=， 设()21ln t x x x =--，则()12t x x x'=--，因为0x >，所以()0t x '<恒成立，函数()t x 在()0,∞+单调递减，而()10t =，故在()0,1上()0t x >，()0m x '>，()m x 单调递增，在()1,+∞上()0t x <，()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()11max m x m a ==--.故方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根只需：10a -->，所以实数a 的取值范围是(),1-∞-； 再证明充分性：当(),1a ∞∈--时，方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，条件等价于2ln x ax x -=，即ln x x a x -=，即y a =与ln x y x x=-， 当1a <-，0x >时有两个不同的交点，所以221ln x xy x --'=，由上面必要性的证明可知函数在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减， 所以ln x y x x =-在0x >时的最大值为：ln11=11y =--，最小值趋近于负无穷， 所以当(),1a ∞∈--时，程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，即充分性成立.下证：121x x >，不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<， 所以()121122111x x x m x m x x ⎛⎫>⇔>⇔> ⎪⎝⎭，因为()()120m x m x ==， 所以()()22122222221ln ln 1111x x m x m m x m x a a x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ 2222222222221lnln ln 11ln 1x x x x x x x x x x x x =--+=-++2222211ln x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，令()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭，则()211ln 0x x xϕ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以当1x >时，()()10x ϕϕ>=，即2222211ln 0x x x x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，所以()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以121x x >. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义， 往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．4．(1)极小值为71e 12-+，()f x 无极大值； (2)证明见解析﹒ 【解析】 【分析】(1)根据f (x )的导数判断f (x )的单调性，根据单调性即可求其极值； (2)由函数单调性指数函数性质可得x ＜72时，f (x )＜1，设m ＜n ，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，由()()1f m f n =<可求742n <<﹒当m ≤3时，易证7m n +<；当732m <<时，构造函数()()()7p m f m f m =--，根据p (m )单调性即可证明7m n +<﹒ (1)()()227e x f x x =-'，由()0f x '=，得72x =．当7,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当7,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．∴()f x 的单调递减区间为7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故()f x 的极小值为771e 122f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 无极大值．(2)由(1)可知，()f x 的极值点为72，f (x )在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∵当x →－∞时，2e 0x →，∴f (x )→1， 故当x ＜72时，f (x )＜1.设m n <，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，则()()1f m f n =<，则()274e 1142n n n -+<⇒<<． ①当3m ≤时，7m n +<，显然成立．②当732m <<时，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()()()()214274e 3e m m f m f m m m ---=---．设()()()7p m f m f m =--，则()()()214227e em mp m m -=--'． 设()2142e e x xh x -=-，73,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为增函数，则()702h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭．∵732m <<，∴270m -<，()0p m '>，则()p m 在73,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，∴()()()()77()()77022p m p f m f m f n f m p ⎛⎫<⇒--=--<= ⎪⎝⎭，∴()()7f n f m <-．又∵7,42n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且()f x 在7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴7n m <-，即7m n +<． 综上，7m n +<．5．最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性与最值情况. 【详解】由()31443f x x x =-+，得()24f x x '=-令()0f x '=.得2x =±1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2x =-舍去， 列表如下：()f x ∴的极小值为()23f =-又1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()31f =，所以，()f x 的最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫=⎪⎝⎭. 6．(1)①112y x =-；②证明见解析 (2){}()210,e -⋃【解析】 【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；②令()e 1e x xg x x =+-，利用导数判断出()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，利用列表法证明出()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点；（2）令()e xh x a ax =+-.对a 分类讨论：①0a <，得到当1a =-时，()f x 无零点；②0a >，()f x 无零点，符合题意. (1)若1a =，则()1e 1x xf x =-+，()2e 1e (e 1)x x x x f x +-=+'.①在0x =处，()()21110211f '+==+，(0)1f =-. 所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为112y x =-.②令()e 1e x xg x x =+-，()e x g x x '=-，在区间(0,)+∞上，()0g x '<，则()g x 在区间(0,)+∞上是减函数.又(1)10,g =>()22e 10,g =-+<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x . 列表得：()f x 0x (2)()e e x x ax af x a--=+，令()e x h x a ax =+-，则()e xh x a '=-.①若0a <，则()0h x '>，()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1 e > 0h =，所以()h x 恰有一个零点0x . 令0e 0x a +=，得0ln()x a =-.代入0()0h x =，得()ln 0a a a a -+--=， 解得1a =-.所以当1a =-时，()h x 的唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意. ②若0a >，此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数； 当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-. 又()010h a =+>，由题意，当2ln 0a a a ->，即20e a <<时，()f x 无零点，符合题意. 综上，a 的取值范围是{}()210,e -⋃.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 7．(1)1y = (2)(],4∞- 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解即可； （2）分离变量可得()()()e 1ln x x k g x x++≤=，利用导数可求得()()e 4g x g ≥=，由此可得k 的取值范围. (1)()2211ln ln x xf x x x--'==-，()10f '∴=，又()11f =， ()f x ∴在1x =处的切线方程为1y =；当e x ≥时，由()e k f x x ≥+得：()()()()e 1ln e x x k x f x x ++≤+=， 令()()()e 1ln x x g x x ++=，则()2eln x x g x x -'=， 令()eln h x x x =-，则()ee 1x h x x x-'=-=， ∴当e x ≥时，()0h x '≥，()h x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()e e elne 0h x h ∴≥=-=， ()0g x '∴≥，()g x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()()2e 1ln e e 4eg x g +∴≥==， 4k ∴≤，即实数k 的取值范围为(],4∞-. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数解决函数中的恒成立问题；解决恒成立问题的基本思路是采用分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间关系，即由()a f x ≥得()max a f x ≥；由()a f x ≤得()min a f x ≤.8．(1)答案见解析(2)e π--【解析】【分析】（1）求出()f x '，分类讨论，分0a ≤和0a >讨论()f x 的单调性与极值； （2）利用分离参数法得到sin 1e x x a -=，令()()sin 10e xx h x x π-=≤≤，利用导数判断 ()h x 的单调性与最值，根据直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，求出实数a 的最小值.(1)()e 2x f x ax =-，则()e 2x f x a '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 的极值点个数为0；②当0a >时，令()20e x f x a '=-=，得()ln 2x a =，当()ln 2x a >时，()0f x '>，则()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，当()ln 2x a <时，()0f x '<，则()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减，此时函数()f x 的极值点个数为1.综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，极值点个数为0；当0a >时，()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，在()(),ln 2a -∞上单调递减，极值点个数为1.由()()0af x g x +=，得sin 1x x a e -=. 令()()sin 10xx h x x e π-=≤≤， 因为关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，所以直线y a =与函数()sin 1xx h x e -=的图像在[]0,π上有两个交点. ()1cos sin 14x xx x x h x e e π⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'==， 令()0h x '=，则sin 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭[]0,x π∈，所以2x π=或x π=， 所以当02x π<<时，()0h x '>；当2x ππ<<时，()0h x '<， 所以()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 02h x h π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又()01h =-，()e h ππ-=-， e 1π-->- 所以当)e ,0x a -⎡∈-⎣时，直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，所以实数a 的最小值为e π--.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)利用导数研究零点问题，考查数形结合思想的应用．9．(1)(],2-∞- (2)2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出导函数，得到11m --≥，即可求出m 的取值范围；（2）把题意转化为2x ax e ≤，分类讨论：当0x =时，求出R a ∈；当0x >时，转化为2xe a x≤，令2()x e g x x =，利用导数求出min ()g x ，即可求出实数a 的取值范围. (1)因为()()e x f x x m =+⋅，所以()(1)e x f x x m '=++⋅，令()0f x '≤，得1x m ≤--，则()f x 的单调递减区间为(,1]m -∞--， 因为()f x 在(,1]-∞上是减函数，所以11m --≥，即2m ≤-， 故m 的取值范围是(],2-∞-；(2)由题知：()e x f x x =⋅，则22e 0,e x x x ax ∀≥⋅≤，即2e x ax ≤，当0x =时，01≤恒成立，则a R ∈，当0x >时，2e x a x≤，令2(e )x g x x =，则2432e e e (2)()x x x x x x g x x x ⋅-⋅⋅-'==， 则当02x <<时，()0g x '<，()g x 递减；当2x >时，()0g x '>，()g x 递增， 故2min e ()(2)4g x g ==，则2e 4a ≤， 综上所述，实数a 的取值范围是2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 10．(1)25y x =+(2)[1,)-+∞【解析】【分析】（1）求出()'f x ，然后算出(0),(0)f f '即可；（2）由条件可得e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立，构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则原不等式等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立，然后可证明2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，然后得()h x 在()1,+∞上单调递增，然后即可求解. (1) 当114a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=-又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为25y x =+.(2)()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣恒成立，即e 1ln(1)ln x bx x b x b a a +-+>-+恒成立. 等价于e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立. 构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则e e ln 1ln(1)x x b x b x a a+>-+-在(2,)x ∈+∞上恒成立等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立. 因为20e <≤a ，所以2e e ,xx a -≥ 令函数2()e 1(2)x H x x x -=-+>，则2()e 1x H x -'=-，显然()H x '是增函数， 则()(2)0,()H x H H x ''>=在()2,+∞上单调递增，所以()()20H x H >=， 故2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，从而可得()h x 在()1,+∞上单调递增， 所以当()1,x ∈+∞时，()10b h x x '=+≥恒成立.所以b x ≥-，所以1b ≥-，即b 的取值范围是[-1，+∞）【点睛】关键点睛：解答本题第二问的关键是将原不等式变形，构造出函数()ln (1)h x x b x x =+>，属于函数的同构类型，解答的关键是观察不等式的特点，变成同一函数在两个变量处的取值.。

2018届二轮透析高考数学23题对对碰【二轮精品】第三篇主题21 导数的综合应用【主题考法】本主题考试题型为解答题，与解析几何、函数、立体几何、概率等数学知识结合主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数函数研究函数的切线、单调性、极值及最值，考查利用导数研究函数的图象与性质，再利用函数图象与性质处理函数零点、证明不等式或不等式恒成立求参数范围等综合问题，常为压轴题，难度较大，分值为12分.【主题考前回扣】1．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．2．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．3．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【易错点提醒】1．已知可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ，b )恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ，b )，则f ′(x )＞0(＜0)的解集为(a ，b )．2．f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点．一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点． 3.函数在某点的切线与过某点的切线的区别. 【主题考向】考向一 导数的运算和几何意义【解决法宝】利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 例1【2018届天津市滨海新区七所重点学校联考】已知函数()1ln xf x x ax-=+（其中0a >, e 2.7≈）. （1）当1a =时,求函数()f x 在()()1,1f 点处的切线方程; （2）若函数()f x 在区间[)2,+∞上为增函数,求实数a 的取值范围; （3）求证:对于任意大于1的正整数n ,都有111ln 23n n>+++. 【分析】（1）()21x f x x='-， ()10f '=， ()10f =，可求得切线方程。

高二数学导数计算试题答案及解析1.已知函数，则＝____________。

【解析】，所以【考点】导数公式的应用2.函数的导函数为，若对于定义域内任意，，有恒成立，则称为恒均变函数．给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中为恒均变函数的序号是．（写出所有满足条件的函数的序号）【答案】①②【解析】对于①f（x）=2x+3，满足，为恒均变函数；对于②f（x）=x2-2x+3，，，故满足，为恒均变函数；对于；③f(x)＝，，显然不满足，故不是恒均变函数；对于④f（x）=e x，，显然不满足，故不是恒均变函数；对于⑤f（x）=lnx，，显然不满足，故不是恒均变函数．故应填入：①②．【考点】１．函数的导数运算；２．判断命题的真假．3.下列函数求导运算正确的个数为()①(3x)′＝3x log3e；②(log2x)′＝；③(e x)′＝e x；④()′＝x；⑤(x·e x)′＝e x＋1.A．1B．2C．3D．4【答案】【解析】,所以正确的有②③.【考点】函数导数的运算.4.定义在区间上的连续函数的导函数为，如果使得，则称为区间上的“中值点”.下列函数：①；②；③；④在区间上“中值点”多于一个的函数序号为 .【答案】①④【解析】根据“中值点”的定义，设为区间上的中值点，则，①中，因为，此时区间的任一实数都为“中值点”；对于②，即；对于③即；对于④即；综上可知，选①④.【考点】1.新定义；2.导数的计算.5.设，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以当时，解得，所以。

故A正确。

【考点】导数的计算。

6.设，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，则，故由题【考点】导数及其运算7.已知函数的导函数为，则．【答案】2【解析】因为，所以．【考点】导数的运算法则．8.已知函数的导数处取到极大值，则的取值范围是．【答案】（－1，0）【解析】∵且在处取到极大值，则必有时，，且时，．当时，不成立；当时，有时，，时，，符合题意；当时，有时，，时，，在处取到极小值．综合可得．【考点】利用导数研究函数的极值．9.某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，其平面图如下，如果网箱四周网衣（图中实线部分）建造单价为每米56元，筛网（图中虚线部分）的建造单价为每米48元，网箱底面面积为160平方米，建造单价为每平方米50元，网衣及筛网的厚度忽略不计.（1）把建造网箱的总造价y（元）表示为网箱的长x（米）的函数，并求出最低造价；（2）若要求网箱的长不超过15米，宽不超过12米，则当网箱的长和宽各为多少米时，可使总造价最低？（结果精确到0.01米）【答案】（1），最低为13120元，（2）网箱长为15m，宽为10.67m时，可使总造价最低【解析】（1）建造网箱的总造价为网箱四周网衣建造总造价与筛网建造总造价之和. 网箱的长x，则网箱的宽为，所以.当时，，当且仅当时取等号，此时（2）因为网箱的长不超过15米，宽不超过12米，所以（1）中等号不成立.需从单调性上考虑最值. 因为，所以在上单调递减，而时，y最小，此时宽=.⑴网箱的宽为，4分当时，，当且仅当时取此时网箱的长为16m时，总造价最低为13120元 8分⑵由题意 10分此时，在上单调递减，而时，y最小，此时宽=.网箱长为15m，宽为10.67m时，可使总造价最低 16分【考点】函数应用题，利用不等式及导数求函数最值10.设直线与函数，的图象分别交于M、N两点，则当MN达到最小时t的值为【答案】【解析】由题意得：，设则由得：，当，当，所以当MN达到最小时t的值为.【考点】利用导数求最值11.已知函数图象与直线相切，切点横坐标为.（1）求函数的表达式和直线的方程；（2）求函数的单调区间；（3）若不等式对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）单调减区间为，单调增区间为;(3) .【解析】（1）求函数导数，利用导数的几何意义求直线方程斜率，再利用点斜式求出方程．（2）利用导数和分别求函数的单调增减区间．（3）将不等式转化为恒成立，然后利用导数求函数的最值.解：（1）因为，所以，所以所以 2分，所以，所以切点为（1，1），所以所以直线的方程为 4分（2）因为的定义域为所以由得 6分由得 7分故函数的单调减区间为，单调增区间为 8分（3）令，则得所以在上是减函数，在上是增函数 10分，所以 11分所以当在的定义域内恒成立时，实数的取值范围是 12分.【考点】1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.利用导数研究曲线上某点切线方程.12.已知点P(1,2)是曲线y=2x2上一点，则P处的瞬时变化率为（）A．2B．4C．6D．【答案】B【解析】y′|x=1=4x|x=1=4，故答案为B.【考点】导数的运算.13.下列求导运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A．（x+）′=1-，∴A错误．B．（x2cosx）′=-2xsinx-x2sinx，∴B错误．C．（3x）′=3x ln3，∴C错误．D．（log2x）′=，正确．故选：D．.【考点】导数的运算．.14.函数的导数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以.【考点】积的导数15.函数的导数A．B．C．D．【答案】A【解析】根据导函数运算公式可知A正确.【考点】导函数的计算公式.16.已知函数，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由导数的计算公式，可知，故选B.【考点】导数的计算.17.设函数，(是互不相等的常数)，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，由于函数，则可知，，同理可知，，那么可知为零，故可知答案为A.【考点】导数的计算点评：主要是考查了导数的基本运算，属于基础题。