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第二章 方程求根

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第二章_函数方程求根

第二章_函数方程求根
2°
3° 若成立 f (a0 ) ∗ f (c0 ) < 0 ，则有[a0 , c0 ] = [a1 , b1 ] ，否则，取[c0 , b0 ] = [a1 , b1 ]
1 取点 c0 = (a 0 + b0 ) 计算 f (c 0 ) 2
由此，容易看到，通过 1°—3°的计算与判别，我们可获得新的方程根 x * 的存在区间 [a1,b1]，且有 x*∈[a1 , b1 ] ⊂ [a, b] 这个过程可以继续下去，假定已经求得存在区间[ak −1 , bk −1 ] ，则一般形式是
f (x 0 x1 − x 0
) ⋅ (x )
⋅ f
− x1
Hale Waihona Puke )=0= x1 −
x1 − x 0 f (x 1 ) − f (x
(x 1 )
0
割线法与弦位法的区别
x1
x2
x3
x4
x0
x4
弦位法
xk − x0 xk +1 = xk − ⋅ f (xk ) k = 0,1,⋯ f (xk ) − f (x0 )
αk =
(τ
k +1 1
k − τ 2 +1
)
由此易得
αk ≥
1 5
τ 1k
1 5
方 程 由 (3.6)得 η k ≤ q
τ 1k
此 即 (2.3.3)式 ， 并 由 此 即 可 得 到 x k → x * 。
Newton法的几何意义 Newton法的几何意义
Newton 法是求解函数方程
f ( x ) = 0, f : [a, b] ⊂ R ′ → R ′
a + 3h
a + 4h

方程求根(计算方法)

方程求根(计算方法)

高斯(3)
曲面的微分几何学，并提出了内蕴曲面理论。高斯 的曲面理论后来由黎曼进一步发展。高斯一生共发 表155篇学术论文，他对待学问十分严谨，只是把 他自己认为是十分成熟的作品发表出来。其著作还 有《地磁概论》(1839)和《论与距离平方成反比的 引力和斥力的普遍定律》(1840)等。
高斯像(1)
§2.1 问题的提出
阿拉伯人对高次代数方程的数值解法亦有研究，花 拉子米(9世纪)第一个给出了二次方程的一般解法, 奥马海亚姆(1100年)给出了一些特殊三次方程的解 法。1541年塔尔塔利亚得到三次方程的一般解法。 1545年卡尔达诺在其名著《大术》一书中发展了塔 尔塔利亚的这一成果，并记载了费拉里得到的四次 方程的一般解法。牛顿在1736年出版的《流数法》 一书中，给出了著名的高次代数方程的一种数值解 法,1690年Raphson 也提出了类似的方法，它们的结 合就是现代常用的方法－牛顿法(也叫NewtonRaphson方法)。它是一种广泛用于高次代数方程求 解的迭代法，亦称为切线法，并不断产生新的变形,
牛顿(3)
亲手制作了第一具反射望远镜。在哲学上深信物质、 运动、空间和时间的客观存在性，坚持用观察和实 验方法发现自然界的规律，力求用数学定量方法表 述的定律说明自然现象，其科学研究方法支配后世 近300年的物理学研究。
牛顿像(1)
牛顿像(2)
牛顿像(3)
牛顿像(4)
牛顿像(5)
牛顿像(6)
牛顿(Newton Isaac 1643.1.4-1727.3.31)：英国数学 家、物理学家、天文学家、自然哲学家。生于林肯 郡伍尔索普，卒于伦敦。早年在格兰瑟姆读书， 1661年以优异成绩考入剑桥大学三一学院，数学上 受教于巴罗。1664年毕业后曾为躲避鼠疫回乡， 1665－1666年做出流数法、万有引力和光的分析三 大发明，年仅23岁。1667年回剑桥在三一学院执教。 1669年继巴罗之后任卢卡斯数学教授职位。晚年致 力于哲学和公务，1696年任造币厂监督，3年后任 厂长。1703年当选为英国皇家学会主席。他在数学 上以创建微积分学而著名，其流数法始于1665年， 系统叙述于《流数法和无穷级数》(1671年完

2.5一元二次方程根与系数的关系 (2)

2.5一元二次方程根与系数的关系 (2)

第二章一元二次方程5．一元二次方程的根与系数的关系黑山县小东初中李阳阳一、学生知识状况分析“一元二次方程根与系数的关系”是《一元二次方程》中继“一元二次方程的解法”之后的一个学习内容，学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础。

基于初中三年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

二、教学任务分析本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。

根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家），韦达定理是初中代数中的一个重要定理。

这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。

同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。

为此，确定本节课的教学目标为1、了解一元二次方程的根与系数的关系。

2、利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题。

三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：探究新知；第四环节：应用新知，学以致用；第五环节：拓展创新；第六环节：感悟与收获；第七环节：布置作业。

第一环节：复习回顾内容：1、一元二次方程的一般形式？ax2+bx+c=0 (a≠0)（板书2、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？3、一元二次方程的求根公式是什么？目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。

第二章 方程求根

第二章 方程求根

方程求根§2.0 引言§2.1 二分法§2.2 简单迭代法§2.3 牛顿（Newton）法§2.4 其它求根方法（迭代过程的加速方法）§2.5 作业讲评2.0 引 言非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，非线性方程的求根也成为其中一个重要内容。

一般而言，非线性方程的求根非常复杂。

在实际应用中有许多非线性方程的例子，例如（1）在光的衍射理论（the theory of diffraction of light)中,需要求x-tanx=0的根（2）在行星轨道（ planetary orbits ）的计算中,对任意的a 和b ，需要求x-asinx=b 的根（3）在数学中，需要求n 次多项式-1-110 ... 0n n n n a x a x a x a ++++=的根。

非线性方程的一般形式 ()0f x = 这里()f x 是单变量x 的函数，它可以是代数多项式-1-110() ... nn n n f x a x a x a x a =++++ (0n a ≠)也可以是超越函数，即不能表示为上述形式的函数。

满足方程 ()0f x = 的x 值通常叫做方程的根或解，也叫函数()0f x =的零点。

2.1 二分法(Bisection Method)1 概念:二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。

在用近似方法时，需要知道方程的根所在区间。

若区间[a,b]含有方程f(x)=0的根，则称[a,b]为f(x)=0的有根区间；若区间[a,b]仅含方程f(x)= 0的一个根，则称[a,b]为f(x)= 0的一个单根区间。

2．基本思想根的存在定理(零点定理)：f(x)为[a,b]上的连续函数，若f(a)·f(b)<0，则[a,b]中至少有一个实根。

如果f(x)在[a,b]上还是单调递增或递减的，则f(x)=0仅有一个实根。

第2章方程求根(1)

第2章方程求根(1)
二分法的缺点是不能求偶数重根，也不能求复根，收 敛速度不快。
19
2.2 二分法
总结
二分法一般在求方程根时不太单独使用，常用 来为其它方法求方程近似根时提供好的初值。 方程求根最常用的方法是迭代法。
20
2.3 迭代法
迭代法是数值计算中一类典型方法，被用于方程求根、 方程组求解、矩阵求特征值等。 迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法，首先给一 个粗糙的初值，然后用同一个迭代公式，反复校正这 个初值，直到满足预先给出的精度要求为止。
k变大时，xk越来越接近原方程的 精确根x*＝3。
26
2.3.1 迭代格式的构造及其敛散性条件
1 2 （2） x x 3 2
( x)


f x x 2 2 x 3 0
取
1 2 x 3 2 x0 4


1 2 xk 1 xk 3 , k 0,1,2,... 2
Q2
y1=x 0 P2
P* Q1
P0
P1
发散的迭代法
x2
x1
x0 x*
x
30
2.3.1 迭代格式的构造及其敛散性条件
定理2.1 设有方程 x (x) ，如果函数 ( x ) 在区间[a,b]上具有一阶 连续导数，且满足下面两个条件： （a）当x[a,b]时， ( x) [a, b] x [a, b], 有 ' ( x) L （b）存在正常数L<1,使对任意
第2章 方程求根
第2章 方程求根

内容提要
二分法 迭代法
牛顿法
割线法
2
2.1 问题的提出
方程 f x 0
如果有x*使得f x* 0，则称x*为方程的根，或函数f x 的零点。

第2章非线性方程求根

第2章非线性方程求根

解：设最多需要迭代n次。
∵要求精确到小数点后3位，
∴误差限≤ 12×10-3，
∴由定理2.1得：
n=
lg(1
0)
lg( lg 2
1 2
103 )
1
=
0
( lg 2 lg 2
3)
1
=
0.301 0.301
3
1= 10 .97
1
=10，即最多需要迭代10次。
用对分法求f(x)=0在某区间的单根，最多迭代次数与函数f(x)曲线形状无 关。一般情况下，对分法的最多迭代次数比其他的变步长逐步搜索法要 少，因此对分法是用得最多的变步长逐步搜索法。
if(f(b)==0) x=b;
else for(begin=a,end=a+h;begin<b;begin=end,end+=h)
{
if(end>b)end=b;
if(f(begin)==0)
{x=begin;break; }
if(f(begin)*f(end)<0)
{x=(begin+end)/2;break; }}
Y
N
x=begin;
break;
f(begin)*f(end)<0
Y
N
(end－begin)/2<=ε
Y
N
x=(begin+end)/2;
h/=hnumber;
break;
end=begin;
输出方程f(x)=0的根x。
8
2.3 根的搜索
变步长逐步搜索法对应的程序
#include <stdio.h> double f(double x);

弦截法求方程根


2014-7-14
12数计学院《数值计算》课程建设组
例1，求方程f(x)= x 3–x -1=0在区间[1，1.5]的一个实根，要求准确到小 数点后的第2位。 解：因为 f(1)<0，f(1.5)>0。 故f(x)在(1，1.5)内有根。 考虑二分次数，由误差估计公式：
x xk
*
bk ak
2014-7-14 12数计学院《数值计算》课程建设组
（2.2）
§2 y p1 p0 y=x y=g(x) y p0 y=x
迭代法

x0 y x1 x* y=x x x0 y y=g(x) p0 x* y=g(x)

p1 y=g(x) x1 y=x x
p0 p1 x1 x0 x*

x x0 x*
p1
2014-7-14
12数计学院《数值计算》课程建设组
【课前思考】 1．什么是方程f(x)=0求根的二分法？如何估计近似 根xn的误差? 2．什么是不动点迭代法？怎样判断迭代法 xk 1 ( xk ) 的收敛性？ 3．迭代法收敛速度：收敛阶定义，如何加速迭代收 敛？ 4．给出方程f(x)＝0求根的Newton法，它有何优缺点 ？如何用Newton法求方程根？
2014-7-14
12数计学院《数值计算》课程建设组
§1 方程求根与二分法
第1步产生的 误差 分析：
x1
ab 2
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
ba 第 k 步产生的 xk 有误差 |xk x*| k 2
ba | x x*| 有误差 1 2
ba ε k 1 2
2014-7-14
12数计学院《数值计算》课程建设组

二次方式求根公式

二次方式求根公式二次方程求根公式可是数学世界里的一个厉害家伙！咱先来说说啥是二次方程。

比如说，有个方程像 x² + 2x - 3 = 0 ，这里 x 的最高次数是 2 ，这就是二次方程啦。

那二次方程求根公式到底是啥呢？它就像一把神奇的钥匙，能帮我们解开二次方程的秘密。

这个公式是：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。

这里面的 a、b、c 分别是二次方程 ax² + bx + c = 0 里的系数。

记得我之前教过一个学生，叫小明。

这孩子呀，刚开始看到这个公式，那叫一个头疼，直说：“老师，这啥呀，这么复杂，我咋能记住！”我就告诉他：“别着急，咱们慢慢来。

”我带着他一步一步地分析，先搞清楚 a、b、c 分别对应方程里的哪部分。

然后呢，给他出了几道简单的题目，让他试着用这个公式去求解。

比如说，有个方程是 x² - 5x + 6 = 0 ，这时候 a = 1，b = -5，c = 6 。

咱们把这些数带进公式里，先算 b² - 4ac ，也就是（-5）² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1 。

然后再算√1 ，那就是 1 啦。

所以，x = [5 ± 1] / 2 ，这样就能算出 x₁ = 3，x₂ = 2 。

小明一开始总是算错，不是把符号弄混了，就是计算出错。

我就耐心地在旁边看着，等他做完，一点点给他指出错误。

慢慢地，小明掌握了诀窍，做得越来越熟练。

后来有一次测验，考到了二次方程求根的题目，小明可高兴坏了，刷刷刷就把答案算出来了，还拿了个高分。

咱们再深入讲讲这个公式的厉害之处。

它不管二次方程长成啥样，只要是标准形式，都能通过这个公式求出根来。

这就像是一个万能的解题神器！而且呀，这个公式还能帮我们判断二次方程根的情况。

如果 b² - 4ac 大于 0 ，那就有两个不同的实数根；等于 0 呢，就有两个相同的实数根；要是小于 0 ，那就没有实数根，只有虚数根。

§2.5一元二次方程的根与系数的关系

第二章一元二次方程2.5 一元二次方程的根与系数的关系【课标要求】了解一元二次方程的根与系数的关系。

【教材分析】本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。

根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家），韦达定理是初中代数中的一个重要定理。

这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。

同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。

【学情分析】“一元二次方程根与系数的关系”是《一元二次方程》中继“一元二次方程的解法”之后的一个学习内容，学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础。

基于九年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

【学习目标：】知识与技能：1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。

2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。

3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。

过程与方法：通过韦达定理的教学过程，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养创新意识和创新精神。

情感与态度：通过情境教学过程，激发求知欲望，培养积极学习数学的态度。

体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

计算方法第2章f(x)=0求根概要

k
lim xk = x *
，则 x*就是 f (x)的根。
二、牛顿法收敛的充分条件
定理2.5： 设f (x)在[a, b]上满足下列条件：
（1）f (a) f (b) < 0；
（2）f’ (x) 0；
（3）f (x) 存在且不变号； （4）取x0 [a, b]，使得f (x)f (x0) >0 则由（2.3）确定的牛顿迭代序列{xk}收敛于f (x) 在[a, b]上的唯一根x*。
如果存在正实数p，使得
lim
k
x * xk 1 x xk
* p
C
（C为非零常数）
则称序列{xk}收敛于x*的收敛速度是p阶的，或称该方法 具有p 阶敛速。当p = 1时，称该方法为线性（一次）收敛； 当p = 2时，称方法为平方（二次）收敛；当1< p< 2时， 称方法为超线性收敛。
证:先证解的存在性 作辅助函数f (x)=x - g (x), 由条件知 f (x)在[a, b]上连续,且f(a)f(b)<0; 由连续函数的零点定理,至少存在一 x* [a, b], 使f (x*)=0. 再证解的唯一性
设另有f(x1)=0,那么根据微分中值定理有 x1- x*=g(x1)-g(x*)=g’(x2)(x1- x*)
x0 0 1 1 xn xn 1 e 5 10
1 x* 1 n * xn 由于 x xn 1 10 (e e )
所以 取极限得
x* xn1 1 n e * x xn 10
x* xn 1 1 x* lim * e n x x 10 n
ek + 1 g ( p ) ( x*) ® 。这表明迭代过程 p ek p!
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x2 3 x1 1 k 0,1, 2,
《 计 算 方 法 与 实 习 》
第2章 方程求根
•
《 计 算 方 法 与 实 习 》
对于一般形式的方程(2―1),首先我们 设法将其化为下列等价形式 • x=g(x) (2―7) • 然后按(2―7)构造迭代公式
•
xk 1 g ( xk ), k 0,1,2,
第2章 方程求根
•
《 计 算 方 法 与 实 习 》
设f(x)为定义在某区间上的连续函 数,方程(2―1)存在实根。虽然方程(2―1) 的根的分布范围一般比较复杂,但我们不 难将函数f(x)的定义域分成若干个只含一 个实根的区间。 • 例如考虑方程 • x2-2x-1=0 • 由图2.1所示,该方程的一个负实 根在-1和0之间,另一个正实根在2和3之间。
1 bk ak k (b a ) (2―2) 2 当k→∞时,区间(ak,bk)最终必收敛于一点,该点就
是所求方程(2―1)的根x。
第2章 方程求根
•
•
《 计 算 方 法 与 实 习 》
我们把每次二分后的有根区间(ak,bk) 1 的中点 x (a b )
k
2
k
k
作为所求根x的近似值,这样获得一个近似根的序列
中点 x n
x 2 1.25 x 3 1.375 x 4 1.313 x 5 1.344 x 6 1.360 x 7 1.368 x 8 1.364
x1 1.5
满足精度的根为x≈1.364
第2章 方程求根
如何确定 根的所在 区间？
《 计 算 方 法画图确定根的所在 与 实 习 》[0,1], [1.5, 2.5] and
第2章 方程求根
• • •
《 计 算 方 法 与 实 习 》
• • • • • •
设函数f(x)在区间［a,b］上单调连续,且 f(a)· f(b)＜0 则方程(2―1)在区间(a,b)内有且仅有一 个实根x。下面在有根区间(a,b)内介绍二分法 的基本思想。 计算f(a)与f(x0),若 f(a)· 0)＜0 f(x 则根x∈(a,x0),令 a1=a,b1=x0 否则x∈(x0,b),令 a1=x0,b1=b
《 计 算 方 法 与 实 习 》
第2章 方程求根
• 由于f(1)＜0,f(1.25)＜0,则令 • a1=1.25, b1=1.5 • 得到新的有根区间(1.25,1.5)
《 计 算 方 法 与 实 习 》
第2章 方程求根 表 2―1
《 计 算 方 法 与 实 习 》
第2章 方程求根
x 3 4 x 2 10 0 例2 用二分法求 1 在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过 10 2 2 解：
例3
用二分法求 f ( x ) x 4 x 10 0在 [1,2] 内的一个实根，且要求满足精度 1 x xn 10 3 2
3 2
第2章 方程求根
解
《 计 算 方 法 与 实 习 》
1.在编辑窗口输入并保存函数文件:
erfenfaqiugen.m 2.在编辑窗口输入并保存:
区间为：
[3,4]。
第2章 方程求根
Remark:二分法不能用来求重根
由于在偶重根附近曲线 y=f(x) 为上凹或下凸,即
f(a) 与 f(b) 的符号相同,因此不能用二分法求偶重根.
《 计 算 方 法 与 实 习 》
以下为二分法的matlab程序,在编辑窗口输入并保存:
function [x,n]=erfenfaqiugen(f_name,a,b,epsl) %求方程f(x)=0在有解区间[a,b]的根，满足f(a)*f(b)<0; x=(a+b)/2; f=feval(f_name,x); 《 n=1; 计 while b-x>epsl 算 if abs(f)<1e-8,break,end; 方 法 if f*feval(f_name,a)>0 与 a=x; 实 else 习 》 b=x; end x=(a+b)/2; f=feval(f_name,x); n=n+1; end
运行得: x = 0.77288296073675，误差为| x* -x|<=1e-11 。
12
第2章 方程求根
§2 迭代法
•
《 计 算 方 法 与 实 习 》
迭代法的基本思想是:首先将方程 (2―1)改写成某种等价形式,由等价形式构 造相应的迭代公式,然后选取方程的某个初 始近似根x0,代入迭代公式反复校正根的近 似值,直到满足精度要求为止。迭代法是一 种数值计算中重要的逐次逼近方法。 • 例如,求方程 • x3-x-1=0
第2章 方程求根
《 计 算 方 法 与 实 习 》
• 等等,看上去形式简单,但却不易求其准 确根。为此,只能求方程达到一定精度的 近似根。 • 方程的形式很多,我们主要讨论一元 非线性方程,也即 • f(x)=0 (2―1)
第2章 方程求根
•
《 计 算 方 法 与 实 习 》
• • •
•
方程(2―1)可以有实根,也可以有 复根或者重根等。本章主要讨论它的实 根的数值计算问题。 方程根的数值计算大致可分三个 步骤进行: (1) 判定根的存在性。 (2)确定根的分布范围,即将每一 个根用区间隔离开来。 (3)根的精确化,即根据根的初始 近似值按某种方法逐步精确化,直至满足 预先要求的精度为止。
第2章 方程求根
第2章 方程求根
在编辑窗口输入并保存:
function f=f_name(x) f=?;
《 计 • 算 方 • 法 与 实 习 》
最后在命令窗口输入并执行: a=?;b=?;epsl=?; • erfenfaqiugen(@f_name,a,b,epsl) • 注意:?是输入具体的函数或数值. • 如把 @f_name 改为 ’ f_name’ 也 可.
例5，求方程f(x)= x 3 –e-x =0的一个实根。
解: 因为 f(0)<0,f(1)>0。 故f(x)在(0,1)内有根
《 计 算 方 法 与 实 习 》
用二分法解的matlab程序: 1.在编辑窗口输入并保存:
function f=f_name(x) f=x^3-exp(-x);
2.在命令窗口输入并运行: format long; a=0;b=1;epsl=1e-11; x=erfenfaqiugen(@f_name,a,b,epsl)
第2章 方程求根
第2章 方程求根
《 计 算 方 法 与 实 习 》
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§1 §2 §3 §4
二分法 迭代法 切线法(牛顿法) 弦截法
第2章 方程求根
§1二分法
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《 计 算 方 法 与 实 习 》
我们已经熟悉求解一元一次方程、 一元二次方程以及某些特殊类型的高次代 数方程或非线性方程的方法。这些方法都 是代数解法,求出的根是方程的准确根。但 是在许多实际问题中遇到的方程,例如代数 方程 • x3-x-1=0 • 或超越方程 e x cos x 0 3 •
function f=f_name(x) f=x^3+4*x*x-10;
3.最后在命令窗口输入并执行:
format long; a=1;b=2;epsl=0.0005; x=erfenfaqiugen(@f_name,a,b,epsl)
运行得根为:x=1.36474609375000
第2章 方程求根
《 计 算 方 法 与 实 习 》
f(1)=-5<0 f(2)=14>0 f(1.5)>0 f(1.25)<0 f(1.375)>0 f(1.313)<0 f(1.344)<0 f(1.360)<0 f(1.368)>0
有根区间 -(1,2)+ (1,1.5) (1.25,1.5) (1.25,1.375) (1.313,1.375) (1.344,1.375) (1.360,1.375) (1.360,1.368)
2. 计算框图
《 计 算 方 法 与 实 习 》
图 2.3
第2章 方程求根
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• • • 例1 求方程 f(x)=x3-x-1=0 在区间(1,1.5)内的根。要求用四位小数 计算,精确到10-2。 • 解 这里 • a=1,b=1.5 • 取区间(1,1.5)的中点
1 x0 (1 1.5) 1.25 2
《 计 算 方 法 与 实 习 》
• 1.计算步骤 • ①输入有根区间的端点a,b及预先给定的精度ε; • ②(a+b)/2 x; • ③若f(a)f(x)＜0,则b=x,转向④; a=x,转向④。 • ④若b-a＜ε,则输出方程满足精度的根x,结束;否 则转向②。
第2章 方程求根
第2章 方程求根
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《 计 算 方 法 与 实 习 》
在x=1.5附近的一个根(用六位有效数字计 算)。 • 首先将原方程改写成等价形式 x 3 x 1 （2—5）
用初始近似根 x0=1.5
代入式(2―5)的右端可得
x 3
x0 1 1.35721
第2章 方程求根
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x1 与x0 相差较大,如果改用x1 作 为近似根代入式(2―5)的右端得
第2章 方程求根
(1) 如果将原方程化为等价方程 x 2 x3 1
3 则迭代格式为：xk 1 2 xk 1
取初值
《 计 算 方 法 与 实 习 》
x0 0
x1 2 x 1 1
3 0
x2 2 x 1 3
3 1
x3 2 x 1 55
从给定的初始近似根x0出发,按迭代公 式(2―8)可以得到一个数列 • x0,x1,x2,…,xk,… • 若这个数列｛xk ｝有极限,则迭代公式 (2―8)是收敛的。此时数列的极限