高中数学竞赛解题策略-几何分册第23章角元形式的梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理（入门篇）雷雨田 （广西师范大学附属外国语学校高50班 541004）梅涅劳斯定理这个定理怎么记最好呢？个人感觉“顶到分、分到顶、顶到分、分到顶、顶到分、分到顶”这样记忆来得非常容易不过找了很多资料，感觉仅仅是把这个定理（或者后面附一个逆定理）陈述然后证明完了之后，就直接给例题（或者直接讲赛瓦定理），看上去不怎么舒服，所以我把其他的一些东西附在这里，以供参考。

第一角元形式的梅涅劳斯定理（就是把线段比改为正弦值比）其表达式为：1=∠∠•∠∠•∠∠BA'B sin 'CBB sin CB 'C sin 'ACC sin AC 'A sin 'BAA sin证明如下：如图所示，由三角形面积公式（正弦定理）可得：AC 'A sin AC 'BAA sin AB AC 'A sin AC 'AA 'BAA sin 'AA AB S S C 'A 'BA C'AA 'ABA ∠⋅∠⋅=∠⋅⋅∠⋅⋅==∆∆2121同理可得CB'C sin BC 'ACC sin AC B 'C 'AC ,BA 'B sin AB 'CBB sin BC A 'B 'CB ∠⋅∠⋅=∠⋅∠⋅= 把这三个式子相乘，运用梅氏定理，就可得到这个式子怎么记最好呢？个人感觉根据梅涅劳斯定理中线段所对应的角来记忆最好。

第二角元形式的梅涅劳斯定理设O 是不在三角形ABC 三边所在直线上的任意一点，其他条件不变，则表达式为：1=∠∠•∠∠•∠∠OA'B sin 'COB sin OB 'C sin 'AOC sin OC 'A sin 'BOA sin现证明如下：AB C A’B ’C’如图，由C'A 'BA S S OC 'A 'BOA =∆∆ 可得A'B 'BA OB OC OC 'A sin 'OA B sin ⋅=∠∠同理得到另外两个对称式，相乘，运用梅氏定理即得证这个式子就这样记吧：先记住原来的梅涅劳斯定理形式，然后在每条线段表达式中间插一个O ，然后再在前面加上∠sin （比如BA'就变成'BOA sin ∠）梅氏定理的用处这个定理是平面几何的一个重要定理（好像所有竞赛书都把他与赛瓦定理放在第一节，不知是惯性还是怎么地），它大概有如下用处： 可以用来证明三点共线； 可以用来导出线段比例式；可以用来寻求一条线段是另一条线段的几分之几或几倍（即线段倍分）；怎么用梅氏定理知道了这个定理，还要会用才行。

高二数学竞赛班二试平面几何讲义1梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、知识要点：班级姓名1. 梅涅劳斯定理：若直线l不经过ABC的顶点，并且与ABC的三边BC,CA,AB或它们的延长线分别交于P,Q,R，则BPCQAR1 PCQARB证：设hA、hB、hC分别是A、B、C到直线l的垂BPCQARhBhChA线的长度，则：1PCQARBhChAhB2. 梅涅劳斯定理逆定理：设P、Q、R分别是ABC的三边BC、CA、AB上或它们的延长线上的三点，并且P、Q、R三点中，位于ABC边上的点的BPCQAR个数为0或2，若1，则P、Q、R三点共线；PCQARB证：设直线PQ与直线AB交于R'，于是由定理1得：BPCQAR'__R'AR ' 1又1'＝__RB由于在同一直线上的P、Q、R'三点中，位于ABC边上的点的个数也为0或2，因此R与R'或者同在AB线段上，或者同在AB的延长线上；若R与R'同在AB线段上，则R与R'必定重合，不然的话，设AR AR',ARAR'ARAR'这时AB AR AB AR,即BR BR,于是可得这与＝'矛盾'__R类似地可证得当R与R'同在AB的延长线上时，R与R'也重合''综上可得：P、Q、R三点共线；注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘； 3. 塞瓦定理：设P、Q、R分别是ABC的BC、CA、AB边上的点，则APBP CQAR的充要条件是: 1PCQARB证：先证必要性：设AP、BQ、CR相交于点M，则：BPS ABPS BMPS ABMCQS BCMARS ACM,PCS ACPS CMPS ACMQAS ABMRBS __AR ＝1PCQARB1再证充分性：若BPCQAR‘1，设AP与BQ相交于M，且直线CM交AB于R，PCQARB BPCQAR’AR’AR‘ 1‘＝因为R和R’都在线__BRB段AB上，所以R’必与R重合，故AP、BQ、CR相交于一点点M；二、例题精析例1：若直角ABC中，CK是斜边上的高，CE是ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF//CE。

梅涅劳斯定理定理1 若直线l 不经过的顶点,并且与的三边或它们的延长线分别交于，则证明1:设分别是Ａ、B 、C 到直线l 的垂线的长度,则:。

证明2:作CN ∥BA ，交X Ｙ于Ｎ,则错误!=错误!，错误!=错误!． 于是＼f(AZ ，Z Ｂ）·＼f(B Ｘ，XC )·ＣYY Ａ=错误!·错误!·错误!·错误!=1． 证明3:如图,连AX ，BY ,记S ∆AYB ＝S 1，Ｓ∆ＢYC ＝S 2，S ∆ＣYX =Ｓ３，S ∆XYA =S 4.则错误!=错误!;错误!=错误!；错误!＝错误!,三式相乘即得证． 注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。

1． 设ＡＤ是△A ＢC 的边ＢC 上的中线，直线CF 交A Ｄ于Ｅ．求证:ＡEED=＼ｆ(2AF , F Ｂ).证明由Me ｎelaus 定理得＼f(ＡE , E Ｄ)·错误!·错误!=1 ，从而AEED=错误!. 2. 若直角中,CK 是斜边上的高,CE 是的平分线,E 点在AK 上,D 是ＡC 的中点,F 是D Ｅ与CK 的交点，证明:。

【解析】因为在中，作的平分线ＢＨ,则:，，即,所以为等腰三角形,作BC 上的高E Ｐ,则:，对于ZY XCBAS 1S 2 S 3S 4 ZYXCBANEACEZY XCBA和三点D、E、F根据梅涅劳斯定理有：，于是，即,根据分比定理有:,所以,所以。

3. 从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与Ａ、B、C、Ｄ和，试证:。

【解析】若,结论显然成立;若AD与相交于点L,则把梅涅劳斯定理分别用于和可得：，，，，将上面四个式子相乘，可得:，即:定理２设Ｐ、Q、R分别是的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点,并且Ｐ、Q、Ｒ三点中,位于边上的点的个数为0或2，这时若，求证P、Q、R 三点共线。

证明:设直线PQ与直线AＢ交于，于是由定理1得：，又因为,则,由于在同一直线上P、Q、R三点中,位于边上的点的个数也为０或2，因此R与或者同在ＡB线段上，或者同在AB的延长线上；若Ｒ与同在AB线段上,则Ｒ与必定重合,不然的话，设,这时,即，于是可得，这与矛盾，类似地可证得当R 与同在AB的延长线上时,R与也重合,综上可得:P、Ｑ、R三点共线。

个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理-及考纲多面角，多面角的性质。

三面角、直三面角的基本性质。

正多面体，欧拉定理。

体积证法。

截面，会作截面、表面展开图。

4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。

二元一次不等式表示的区域。

三角形的面积公式。

圆锥曲线的切线和法线。

圆的幂和根轴。

5、其它抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

集1.梅涅劳斯定理出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

证明：当直线交△ABC的AB、BC、CA的反向延长线于点D、E、F时，(AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1逆定理证明：证明：X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC ,CE/EA=DC/AG三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/D C)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1证明四过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC'有AD：DB=AA’：BB' 另外两个类似，三式相乘得1得证。

如百科名片中图。

※推论在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。

高中数学联赛中常见的几何定理第一篇：高中数学联赛中常见的几何定理梅涅劳斯定理：梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

他指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。

证明：过点A作AG‖BC交DF的延长线于GAF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。

利用这个逆定理，可以判断三点共线。

塞瓦定理：在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1证法简介（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：∵△ADC被直线BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①而由△ABD被直线COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1（Ⅱ）也可以利用面积关系证明∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]= 1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。

平面几何中几个重要定理及其证明一、 塞瓦定理1．塞瓦定理及其证明定理：在∆ABC 内一点P,该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F,且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点,则有1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=． 证明：运用面积比可得ADCADP BDP BDCS S AD DB S S ∆∆∆∆==． 根据等比定理有ADC ADC ADP APCADP BDP BDC BDC BDP BPCS S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===-,所以APCBPC S AD DB S ∆∆=．同理可得APB APCS BE EC S ∆∆=,BPCAPB S CF FA S ∆∆=． 三式相乘得1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=． 注：在运用三角形的面积比时,要把握住两个三角形是“等高”ABCD FP还是“等底”,这样就可以产生出“边之比”．2．塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F,且D 、E 、F均不是∆ABC 的顶点,若1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=,那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．证明：设直线AE 与直线BF 交于点P,直线CP 交AB 于点D /,则据塞瓦定理有//1AD BE CFD B EC FA⋅⋅=． 因为1AD BE CF DB EC FA⋅⋅=,所以有//AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上,所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．注：利用唯一性,采用同一法,用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理ABCD EFPD /3．梅涅劳斯定理及其证明ABCD EFG定理：一条直线与∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F,且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点,则有1AD BE CFDB EC FA⨯⨯=．证明：如图,过点C 作AB 的平行线,交EF 于点G ．因为CG // AB,所以CG CFAD FA= ————1 因为CG // AB,所以CG ECDB BE= ————2 由1÷2可得DB BE CFAD EC FA=⋅,即得1AD BE CF DB EC FA ⋅⋅=． 注：添加的辅助线CG 是证明的关键“桥梁”,两次运用相似比得出两个比例等式,再拆去“桥梁”CG 使得命题顺利获证．4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在∆ABC 的边AB 、BC 上各有一点D 、E,在边AC 的延长线上有一点F,若1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=, 那么,D 、E 、F 三点共线．ABCD EFD /证明：设直线EF 交AB 于点D /,则据梅涅劳斯定理有//1AD BE CFD B EC FA⋅⋅=． 因为1AD BE CF DB EC FA⋅⋅=,所以有//AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上,所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙,注意分析其相似后面的规律． 三、 托勒密定理5．托勒密定理及其证明定理：凸四边形ABCD 是某圆的内接四边形,则有 AB ·CD + BC ·AD = AC ·BD ．证明：设点M 是对角线AC 与BD 的交点,在线段BD 上找一点,使得∠DAE =∠BAM ．因为∠ADB =∠ACB,即∠ADE =∠ACB,所以∆ADE ∽∆ACB,即得AD DEAC BC=,即AD BC AC DE ⋅=⋅ ————1 由于∠DAE =∠BAM,所以∠DAM =∠BAE,即∠DAC =∠BAE;而∠ABD =∠ACD,即∠ABE =∠ACD,所以∆ABE ∽∆ACD ．即得AB BEAC CD=,即AB CD AC BE ⋅=⋅ ————2 由1+2得AD BC AB CD AC DE AC BE AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅． 所以AB ·CD + BC ·AD = AC ·BD ．注：巧妙构造三角形,运用三角形之间的相似推得结论．这里的构造具有特点,不容易想到,需要认真分析题目并不断尝试．6．托勒密定理的逆定理及其证明定理：如果凸四边形ABCD 满足AB ×CD + BC ×AD = AC ×BD,那么A 、B 、C 、D 四点共圆．证法1同一法：在凸四边形ABCD 内取一点E,使得EAB DAC ∠=∠,EBA DCA ∠=∠,则EAB ∆∽DAC ∆．可得AB ×CD = BE ×AC ———1且 AE ABAD AC = ———2则由DAE CAB ∠=∠及2可得DAE ∆∽CAB ∆．于是有 AD ×BC = DE ×AC ———3由1+3可得 AB ×CD + BC ×AD = AC × BE + DE ．据条件可得 BD = BE + DE,则点E 在线段BD 上．则由EBA DCA ∠=∠,得DBA DCA ∠=∠,这说明A 、B 、C 、D 四点共圆．证法2构造转移法延长DA 到A /,延长DB 到B /,使A 、B 、B /、A /四点共圆．延长DC到C /,使得B 、C 、C /、B /四点共圆．如果能证明A /、B /、C /共线,则命题获证那么,据圆幂定理知A 、C 、C /、A /四点也共圆． 因此,///A B A D AB BD=,///B C C D BC BD =． 可得 //////AB A D BC C D A B B C BD⨯+⨯+=.另一方面,///A C A D AC CD =,即///AC A D A C CD⨯=． 欲证//AB A D BC C D BD⨯+⨯=/AC A DCD ⨯,即证///AB CD A D BC CD C D AC BD A D ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯即 //()BC CD C D AC BD AB CD A D ⨯⨯=⨯-⨯．据条件有 AC BD AB CD AD BC ⨯-⨯=⨯,所以需证//BC CD C D AD BC A D ⨯⨯=⨯⨯,即证//CD C D AD A D ⨯=⨯,这是显然的．所以,//////A B B C A C +=,即A /、B /、C /共线．所以//A B B ∠与//BB C∠互补．由于//A B B DAB ∠=∠,//BB C DCB ∠=∠,所以DAB ∠与DCB ∠互补,即A 、B 、C 、D 四点共圆．7．托勒密定理的推广及其证明定理：如果凸四边形ABCD 的四个顶点不在同一个圆上,那么就有 AB ×CD + BC ×AD > AC ×BD证明：如图,在凸四边形ABCD 内取一点E,使得EAB DAC ∠=∠,EBA DCA ∠=∠,则EAB ∆∽DAC ∆．可得AB ×CD = BE ×AC ————1且AE ABAD AC = ————2则由DAE CAB ∠=∠及2可得DAE ∆∽CAB ∆．于是 AD ×BC = DE ×AC ————3由1+3可得 AB ×CD + BC ×AD = AC × BE + DE因为A、B、C、D四点不共圆,据托勒密定理的逆定理可知AB×CD + BC×AD≠AC×BD所以BE + DE≠BD,即得点E不在线段BD上,则据三角形的性质有BE + DE > BD．所以AB×CD + BC×AD > AC×BD．四、西姆松定理8．西姆松定理及其证明定理：从∆ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其延长线引垂线,垂足分别为D、E、F,则D、E、F三点共线．证明：如图示,连接PC,连接 EF 交BC于点D/,连接PD/．因为PE⊥AE,PF⊥AF,所以A、F、P、Array E四点共圆,可得∠FAE =∠FEP．因为A、B、P、C四点共圆,所以∠BAC=∠BCP,即∠FAE =∠BCP．所以,∠FEP =∠BCP,即∠D/EP =∠D/CP,可得C、D/、P、E四点共圆．所以,∠CD/P +∠CEP = 1800;而∠CEP = 900,所以∠CD/P = 900,即PD/⊥BC．由于过点P 作BC 的垂线,垂足只有一个,所以点D 与D /重合,即得D 、E 、F 三点共线．注：1采用同一法证明可以变被动为主动,以便充分地调用题设条件．但需注意运用同一法证明时的唯一性．2反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键,要掌握好四点共圆的运用手法． 五、 欧拉定理9．欧拉定理及其证明定理：设ΔABC 的重心、外心、垂心分别用字母G 、O 、H 表示．则有G 、O 、H 三点共线欧拉线,且满足3OHOG =．证明向量法：连BO 并延长交圆O 于点D;连接CD 、AD 、HC,设E 为边BC 的中点,连接OE 和OC ．则→→→+=AH OA OH ——— ①因为 CD ⊥BC,AH ⊥BC,所以 AH // CD ．同理CH // DA ．所以,AHCD 为平行四边形．从而得→→=DC AH ．而→→=OE DC 2,所以→→=OE AH 2．因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=→→→OC OB OE 21,所以→→→+=OC OB AH ——— ②由①②得：→→→→++=OC OB OA OH ———— ③ 另一方面,→→→→→→→→++=+=+=GC GB OA GF OA AG OA OG 2．而→→→→→→+=+=OC GO GC OB GO GB ，,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⇒+++=→→→→→→→→→OC OB OA OG OB OC GO OA OG 312 —— ④由③④得：→→=OG OH 3．结论得证．注：1运用向量法证明几何问题也是一种常用方法,而且有其独特之处,注意掌握向量对几何问题的表现手法；2此题也可用纯几何法给予证明． 又证几何法：连接OH,AE,两线段相交于点G /；连BO 并延长交圆O 于点D ；连接CD 、AD 、HC,设E 为边BC 的中点,连接OE 和OC,如图． 因为 CD ⊥BC,AH ⊥BC,所以 AH // CD ．同理CH // DA ．所以,AHCD 为平行四边形．可得AH = CD ．而CD = 2OE,所以AH = 2OE ．因为AH // CD,CD // OE,所以AH // OE ．可得∆AHG /∽∆EOG /．所以////21AH AG HG OE G E G O ===． 由//21AG G E =,及重心性质可知点G /就是∆ABC 的重心,即G /与点G 重合．所以,G 、O 、H 三点共线,且满足3OH OG =．六、 蝴蝶定理10．蝴蝶定理及其证明定理：如图,过圆中弦AB 的中点M 任引两弦CD 和EF,连接CF 和ED,分别交AB 于P 、Q,则PM = MQ ．证明：过点M 作直线AB 的垂线l ,作直线CF 关于直线l 的对称直线交圆于点C /、F /,交线段AB 于点Q /．连接FF /、DF /、Q /F /、DQ /．据圆的性质和图形的对称性可知：∠MF /Q /=∠MFP,∠F /Q /M =∠FPM ；且FF / // AB,PM = MQ /． 因为C 、D 、F /、F 四点共圆,所以A BCD EFP Q M C /F/ Q /∠CDF/ +∠CFF/ = 1800,而由FF/ // AB可得∠Q/PF +∠CFF/ = 1800,所以∠CDF/ =∠Q/PF,即∠MDF/ =∠Q/PF．又因为∠Q/PF =∠PQ/F/,即∠Q/PF =∠MQ/F/．所以有∠MDF/ =∠MQ/F/．这说明Q/、D、F/、M四点共圆,即得∠MF/Q/ =∠Q/DM．因为∠MF/Q/=∠MFP,所以∠MFP =∠Q/DM．而∠MFP =∠EDM,所以∠EDM =∠Q/DM．这说明点Q与点Q/重合,即得PM = MQ．此定理还可用解析法来证明：轴上的截距互为相反数．证：以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,M点是坐标原点．设直线DE、CF的方程分别为x = m1y + n 1,x = m2y + n 2；直线CD、EF的方程分别为y = k1 x ,y = k2 x．则经过C、D、E、F四点的曲线系方程为y –k1 x y–k2 x+λx–m1 y–n1x–m2 y–n2=0．整理得λ+k1k2x 2+1+λm1m2y 2–k1+k2+λm1+m2xy–λn1+n2x+λn1m2+n2m1y+λn1n2=0．由于C、D、E、F四点在一个圆上,说明上面方程表示的是一个圆,所以必须λ+ k1 k2 = 1 +λm1 m2≠ 0,且k1+k2+λm1+m2=0．若λ=0,则k1k2=1,k1+k2=0,这是不可能的,故λ≠0；又y轴是弦AB的垂直平分线,则圆心应落在y轴上,故有λn1+ n2 = 0,从而得n1 + n2 = 0．这说明直线DE、CF在x轴上的截距互为相反数,即得PM = MQ．。

数学竞赛中几个重要定理1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F三点共线，则FBAFEA CE DC BD ••=12、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，且满足FBAFEA CE DC BD ••=1，则D 、E 、F 三点共线.【例1】已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线AB 边于X ，交AC边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P. 证明：△MPQ ∽△ABCj MQGAC BXY P【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线.【练习1】设凸四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，过M 作AD 的平行线分别交AB ，CD于点E ，F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以O 为圆心，以OM 为半径的圆上一点. 求证：∠OPF=∠OEP【练习2】 在△ABC 中，∠A=900，点D 在AC 上，点E 在BD 上，AE 的延长线交BC 于F. 若BE ：ED=2AC ：DC ，则∠ADB=∠FDCD塞瓦定理：设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则1=••PACPNCBNMBAM塞瓦定理的逆定理：设M、N、P分别在△ABC的边AB、BC、CA上，且满足1=••PACPNCBNMBAM，则AN、BP、CM相交于一点.【例1】B E是△ABC的中线，G在BE上，分别延长AG，CG交BC，AB于点D，F，过D作DN∥CG交BG于N，△DGL及△FGM是正三角形.求证：△LMN为正三角形.GCLMEDFN【例2】在△ABC 中，D 是BC 上的点DC BD =31，E 是AC 中点.AD 与BE 交于O ，CO 交AB 于F 求四边形BDOF 的面积与△ABC 的面积的比【练习1】设P 为△ABC 内一点，使∠BPA=∠CPA ，G 是线段AP 上的一点，直线BG ，CG 分别交边AC ，AB 于E ，F.求证：∠BPF=∠CPE【练习2】 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均为锐角.D 是BC 边BC 上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 作垂线DP ⊥AB 于P ，DQ ⊥AC 于Q ，CP 于BQ 相交于K. 求证：AK ⊥BCCCC托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形，则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD【例1】 已知在△ABC 中，AB >AC ，∠A 的一个外角的平分线交△ABC 的外接圆于点E ，过E 作EF ⊥AB ，垂足为F.求证：2AF=AB -AC【例2】经过∠XOY 的平分线上的一点A ，任作一直线与OX 及OY 分别相交于P ，Q.求证：OP 1+OQ1为定值HABCEFAXYPOQ【例3】 解方程42-x+12-x=x 7【练习1】 设AF 为⊙O1与⊙O2的公共弦，点B ，C 分别在⊙O1，⊙O2上，且AB=AC ，∠BAF ，∠CAF 的平分线交⊙O1，⊙O2于点D ，E. 求证：DE ⊥AF【练习2】⊙O 为正△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，在弧BC 上任取一点P （与B ，C不重合）.设E ，F 分别为△PAB ，△PAC 的内心.证明：PD=∣PE-PF ∣西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，此直线称为西姆松线.【例1】过正△ABC 外接圆的弧AC 上点P 作P D ⊥直线AB 于D,作PE ⊥AC 于E,作PF ⊥BC 于F.求证：PF 1+PD 1=PE1【练习1】设P 为△ABC 外接圆周上任一点，P 点关于边BC ，AC 所在的直线的对称点分别为P 1，P 2.求证：直线P 1P 2经过△ABC 的垂心.CABPEFD HABP1P2CP三角形的五心内心【例1】设点M 是△ABC 的BC 边的中点，I 是其内心，AH 是BC 边上的高，E 为直线IM 与AH 的交点.求证：AE 等于内切圆半径r【例2】在△ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A 的平分线AD 交△ABC的外接圆于K.O ，I 分别为△ABC 的外心，内心.求证：OI ⊥AK【练习】 在△ABC 中，∠BAC=300，∠ABC=700，M 为形内一点，∠MAB=∠MCA=200求∠MBA 的度数.B外心【例1】锐角△ABC的外心为O，线段OA，BC的中点为M，N，∠ABC=4∠OMN，∠ACB=6∠OMN.求∠OMN【例2】在等腰△ABC中，AB=BC，CD是它的角平分线，O是它的外心，过O作CD的垂线交BC于E，再过E作CD的平行线交AB于F，证明：BE=FD.【练习】1、⊙O 1与⊙O 2相交于P ，Q ，⊙O 1的弦PA 与⊙O 2相切，⊙O 2的弦PB 与⊙O 1相切.设△PAB 的外心为O ，求证：OQ ⊥PQ重心【例1】在△ABC 中，G 为重心，P 是形内一点，直线PG 交直线BC ，CA ，AB 于F ，E ，D.求证：FG FP +EG EP +DGDP=3【例2】已知△ABC 的重心G 和内心I 的连线GI ∥BC ，求证：AB+AC=2BCC【练习】1、设M 为△ABC 的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，求△ABC 的面积.2、设O 是△ABC 的外心，AB=AC ，D 是AB 的中点，G 是△ACD 的重心，求证：OG ⊥CD垂心三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍.BCB【例1】△ABC 的外接圆为⊙O ，∠C=600，M 是弧AB 的中点，H 是△ABC 的垂心.求证：OM ⊥OH【例2】已知AD ，BE ，CF 是锐角△ABC 的三条高，过D 作EF 的平行线RQ ，RQ 分别交AB 和AC 于R ，Q ，P 为EF 与CB 的延长线的交点.证明：△PQR 的外接圆通过BC 的中点M.旁心【例1】在锐角∠XAY 内部取一点，使得∠ABC=∠XBD ，∠ACB=∠YCD.证明：△ABC 的外心在线段AD 上.CD【例2】AD是直角△ABC斜边BC上的高（AB<AC），I1，I2分别是△ABD，△ACD的内心，△A I1 I2的外接圆⊙O分别交AB，AC于E，F，直线FE与CB的延长线交于点M.证明：I1，I2分别是△ODM的内心与旁心.相交两圆的性质与应用【例1】证明：若凸五边形ABCDE中，∠ABC=∠ADE，∠AEC=∠ADB. 证明：∠BAC=∠DAEE【例2】已知⊙O1与⊙O2相交于A，B，直线MN垂直于AB且分别与⊙O1与⊙O2交于M，N，P 是线段MN的中点，Q1，Q2分别是⊙O1与⊙O2上的点，∠AO1Q1=∠AO2Q2求证：PQ1=PQ2【练习】梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，K，M分别是腰AD，CB上的点，∠DAM=∠CBK，求证：∠DMA=∠CKBA其他的一些数学竞赛定理1、 广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和.推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c 则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2222221c b a -+2、 三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2，则有ACABDC BD =外角平分线定理：如图，AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D ，则有ACABDC BD =3、 三角形位似心定理：如图，若△ABC 与△DEF 位似，则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P4、 正弦定理、在△ABC 中有R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径） 余弦定理： a 、b 、c 为△ABC 的边，则有： a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA;b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;5、欧拉定理：△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，内切圆圆心为I ，半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr.6、巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF （不论其六顶点排列次序如何），其三组对边AB 与DE 、BC 与EF 、CD 与FA 的交点P 、Q 、R 共线.。

梅涅劳斯定理16/3/5梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（Sphaerica）。

任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明. 梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。

中文名梅涅劳斯定理外文名Menelaus别称梅氏定理表达式(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1提出者梅涅劳斯提出时间1678年应用学科数学，物理适用领域范围平面几何学适用领域范围射影几何学定理内容定理证明证明一过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G.则证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则两式相乘得证明三连结CF、AD，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。

AF：FB =S△ADF：S△BDF…………（1），BD：DC=S△BDF：S△CDF…………（2），CE：EA=S△CDE：S△ADE=S△FEC：S△FEA=（S△CDE+S△FEC）：（S△ADE+S△FEA）=S△CDF：S△ADF (3)（1）×（2）×（3）得证明四过三顶点作直线DEF的垂线AA‘，BB'，CC'，如图：充分性证明：△ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。

连接DF交CA于E'，则由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1又∵2∴有CE/EA=CE'/E'A ，两点重合。

所以共线推论 在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上分别取L 、M 、N 三点，又分比是λ=BL/LC 、塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）此外，用该定理可使其容易理解和记忆：第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E ，F ，D 三点共线，则 (sin ∠ACF/sin ∠FCB)(sin ∠BAD/sin ∠DAC)(sin ∠CBE/sin ∠ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。

梅涅劳斯定理和赛瓦定理梅涅劳斯定理：(此定理常用于证明三点共线的问题)若直线l 不经过ABC ∆的顶点，并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线 分别交于,,P Q R ，则1BP CQ ARPC QA RB⋅⋅=作平行线：作CM //PQ ,则,BP BR CQ RM PC RM QA AR ==,1BP CQ AR BR RM ARPC QA RB RM AR RB⋅⋅=⋅⋅= 面积法：,,,BPQ ARQ AQB PCQARP PCQ BRP BRQ BPQ APQ S S S S S BP AR CQ PC S RB S S S QA S =====得证梅涅劳斯定理逆定理：P Q R ABC BC CA AB BP 1P Q R PC CQ ARQA RB ∆⋅⋅=设、、分别是的三边、、上或它们的延长线上的三点，，若，则、、三点共线；塞瓦定理1:=⋅⋅∆RBARQA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是边上的点，则、、的分别是、、设M QRACPB,1BCM ACMABP BMP ABM ACP CMP ACM ABM BCM AP BQ CR M S S S S S BP CQ AR PC S S S QA S RB S BP CQ AR PC QA RB∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=====⋅⋅证：先证必要性：设、、相交于点，则：同理：以上三式相乘，得：＝1：如图四边形ABCD 的内切圆分别切AB ,BC ,CD ,DA 于点E ,F ,G ,H ,求证：HG ,AC ,EF 交于一点.△ABC 中，D ,E 分别在CB ,CA 上，且AD ,BE 分别为∠BAC 和∠ABCDE 交AB 于M ，证明CM 为∠ACB 的外角平分线.涉及定理：角平分线定理ABDF ,AB ,DF 交于C ，BD ,AF 交于E ，连接BF ,AD ,CE ,设AD 延长线交CE 于N , 证明：NDANMD AM =.△ABC 的底边BC 为直径作半圆，分别与边AB ，AC ,交于D ,E ,分别过点D ,E ,作BC 的垂线，垂足依次为F ,G ,线段DG 和EF 交于点M ，求证AM ⊥BC .5：△ABC ，一个过A ,B 的圆交边AC ,BC 于D ,E ,AB ,DE 交于点F ，BD ，CF 交于点M ，求证： MF =MC 的充分条件是2MC MD MB =⋅.6.如图，△ABC 的三个顶点A ,B ,C 各作其外接圆的切线，分别与相应的顶点的对边所在直线相交，证明：三个交点D ,E ,F 关系.7.如图，1O 和2O 与△ABC 的三边所在的直线都相切，E ,F ,G ,H 为切点，并且EG ,FH ,对的延长线交于点P .求证P A ⊥BC .ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD .在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ,延长DF ，交BC 于G ，求证：∠GAC =∠EAC .ABCD中，△ABD，△BCD，△ABC的面积之比是3:4:1,点M,N分别在AC,CD上，满足AM:AC=CN:CD,并且B,M,N共线，求证M,N分别是AC,CD的中点.P为△ABC内点，过P的直线l,m,n分别垂直于AP,BP,CP，若l交BC于Q,m交AC于R，n交AB于S,证明：Q,S,R共线.AB=AD，BC=CD，过O的两条线段分别交AB,BC,CD,DA于G,F,H,E,GF,EH交BD于I,J求证：OI=OJ.。

数学竞赛中几个重要定理1、梅涅劳斯定理：如果在厶ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点 D 、E 、F 且D 、E 、F:如果在厶ABC 的三边 BC 、CA 、AB 或其延长线上有点 D 、E 、F ,且满足BC?C A?A F =1，则D 、E 、F 三点共线.【例1】已知△ ABC 的重心为G , M 是BC 边的中点，过 G 作BC 边的平行线 AB 边于X ，交AC边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P. 证明：△ MPQ ABC三点共线，则BC?CA?AF=12、梅涅劳斯定理的逆定理AC【例2】以厶ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB AC交于点D和E,分别过点D, E作BC的垂线，垂足依次为F，G,线段DG和EF交于点M.求证：AML BCH G【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB , DC 的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证: P，E，F三点共线.【练习1】设凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M ,过M作AD的平行线分别交AB , CD于点E, F,交BC的延长线于点O, P是以0为圆心，以0M为半径的圆上一点.求证：/ 0PF= / 0EP【练习2】在厶ABC中, / A=90°,点D在AC上，点E在BD 上, AE的延长线交BC于F.若BE : ED=2AC : DC，则/ ADB= / FDCN、P、M,则j AM?_BN?Cp i MB NC塞瓦定理：设o是厶ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于PA Array塞瓦定理的逆定理：设M、N、P分别在△ ABC的边AB、BC、CA上，且满足空？聖？竺1，MB NC PA则AN、BP、CM相交于一点.【例1】BE是厶ABC的中线，G在BE上，分别延长AG，CG交BC，AB于点D, F,过D作DN // CG交BG于N, △ DGL及厶FGM是正三角形求证：△ LMN为正三角形.BD 1【例2】在厶ABC中，D是BC上的点=— , E是AC中点.AD与BE交于O, CO交AB于FDC 3求四边形BDOF的面积与厶ABC的面积的比【练习1】设P ABC内一点，使/ BPA= / CPA, G是线段AP上的一点，直线BG , CG分别交边AC , AB于E, F.求证：/ BPF= / CPEC【练习2】在厶ABC中，/ ABC和/ACB均为锐角.D是BC边BC上的内点，且AD平分/ BAC ,过点D作垂线DP丄AB于P, DQ丄AC于Q, CP于BQ相交于K.求证：AK丄BC【例1】 已知在△ ABC 中，AB>AC ,/ A 的一个外角的平分线交厶 ABC的外接圆于点 E ,过E 作EF 丄AB ，垂足为F.求证：2AF=AB -AC【例2】经过/ XOY 的平分线上的一点 A ，任作一直线与 0X 及0Y 分别相交于P , Q.求证：+ ^^为定值OP 0Q托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形，则有 AB • CD+AD • BC=AC •BDEAFBV【例3】解方程.x24+ ... x21八7X【练习1】设AF为O O1与O O2的公共弦，点B, C分别在O O1 , O O2上，且AB=AC，/ BAF , / CAF的平分线交O 01,0 02于点D , E.求证：DE丄AF【练习2】O 0为正△ ABC的外接圆，AD是O 0的直径，在弧BC上任取一点P （与B , C 不重合）.设E, F分别为△ PAB, △ PAC的内心证明：PD=I PE-PFI西姆松定理：点P 是厶ABC 外接圆周上任意一点, 垂足，则D 、E 、F 三点共线，此直线称为西姆松线 .【例1】过正△ ABC 外接圆的弧 AC 上点P 作P D 丄直线AB 于D,作PE 丄AC 于E,作PF 丄BC 于F.求证：丄+丄二丄PF PD PE【练习1】设P ABC 外接圆周上任一点，P 点关于边BC , AC 所在的直线的对称点分别为 P i , P 2.求证：直线P 1P 2经过△ ABC 的垂心.PD 丄 BC ,D APEB三角形的五心内心【例1】设点M是厶ABC的BC边的中点，I是其内心，AH是BC边上的高，E为直线IM与AH的交点.求证：AE等于内切圆半径rC【例2】在厶ABC中，AB=4 , AC=6 , BC=5 , / A的平分线AD交厶ABC的外接圆于K.O , I分别为△ ABC的外心，内心•求证：01丄AKC【练习】在厶ABC中，/ BAC=30°,/ ABC=7O0, M为形内一点，/ MAB= / MCA=20 0求/ MBA的度数.外心【例1】锐角△ ABC的外心为0,线段0A , BC的中点为M , N，/ ABC=4 / OMN ,/ ACB=6 / 0MN.求/ 0MNC【例2】在等腰△ ABC中，AB=BC , CD是它的角平分线，0是它的外心,过0作CD的垂线交BC于E,再过E作CD的平行线交AB于F，证明:BE=FD.【练习】1、O O i与o 02相交于P, Q,O O1的弦PA与O 02相切，O 02的弦PB与O O i相切.设厶PAB的外心为0,求证：0Q丄PQ重心【例1】在厶ABC中，G为重心，P是形内一点，直线PG交直线BC, CA, AB 于F, E, D.FP EP DP求证：+ + =3FG EG DG【例2】已知△ ABC的重心G和内心I的连线GI // BC,求证：AB+AC=2BCP02 010.BA【练习】1、设M为厶ABC的重心，且AM=3 , BM=4 , CM=5，求△ ABC的面积.2、设0是厶ABC的外心，AB=AC，D是AB的中点，G是厶ACD的重心，求证：0G丄CDA 垂心三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍.【例1】△ ABC的外接圆为O0, / C=6O0, M是弧AB的中点，H是厶ABC的垂心.求证：0M丄0HC【例2】已知AD , BE , CF是锐角△ ABC的三条高，过D作EF的平行线RQ, RQ分别交AB和AC于R, Q, P为EF与CB的延长线的交点证明：△ PQR的外接圆通过BC的中点M.旁心【例1】在锐角/ XAY内部取一点，使得/ ABC= / XBD，/ ACB= / YCD.证明：△ ABC的外心在线段AD上.【例2】AD是直角△ ABC斜边BC上的高（AB<AC ）, I i, I2分别是△ ABD , △ ACD的内心,△ A I i 12的外接圆O O分别交AB , AC于E, F,直线FE与CB的延长线交于点M.证明：I i, 12分别是△ ODM的内心与旁心相交两圆的性质与应用【例1】证明：若凸五边形ABCDE中，/ ABC= / ADE，/ AEC= / ADB.证明：/ BAC= / DAE【例2】已知O O i与O 02相交于A , B,直线MN垂直于AB且分别与O O i与O 02交于M , N , P是线段MN的中点，Q i, Q2分别是O O i与O 02上的点，/ AO i Q i = / AO2Q2求证：PQ i=PQ2【练习】梯形ABCD中，AB // CD , AB>CD, K, M分别是腰AD , CB上的点，/ DAM= / CBK,求证：/ DMA= /CKB其他的一些数学竞赛定理1、广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和推论2:设厶ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b 、m e贝U ： m a = — \2b 2 2c 2 a 2 ； 册=丄¥‘~2c 2~b 2 ； 咖=丄它 ~2b 2~e 2 2 '2 '2外角平分线定理：如图，AD 是厶ABC 中/ A 的外角平分线交 BC 的延长线与D ,3、三角形位似心定理：如图，若△ ABC 与厶DEF 位似，则通过对应点的三直线 AD 、BE 、CF 共点 2、三角形内、外角平分线定理 ：BD 内角平分线定理：如图：如果/ 1= / 2,则有 丿ABDC AC 则有电 DC AB ACP5、欧拉定理：△ ABC 的外接圆圆心为 O,半径为R ，内切圆圆心为I ，半径为r,记Ol=d,则有：d 2=R 2-2Rr.6、巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF （不论其六顶点排列次序如何），其三组对边AB 与DE 、 BC 与EF 、CD 与FA 的交点P 、Q 、R 共线.4、 正弦定理、在△ ABC 中有 a sin A bsin B 2R （ R ABC 外接圆半径）sin C 余弦定理：a 、b 、cABC 的边，则有:a=b 2+c 2-2bc • cosA; b 2=a 2+c 2-2ac • cosB; c 2=a 2+b 2-2ab • cosC;。

竞赛专题讲座06－平面几何四个重要定理四个重要定理：梅涅劳斯 (Menelaus) 定理（梅氏线）△ABC的三边 BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则 P、Q、R 共线的充要条件是。

塞瓦 (Ceva) 定理（塞瓦点）△ABC的三边 BC、CA、AB上有点 P、Q、R，则 AP、BQ、CR共点的充要条件是。

托勒密 (Ptolemy) 定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。

西姆松 (Simson) 定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

例题：1．设AD是△ ABC的边BC上的中线，直线CF交 AD于 F。

求证：。

【分析】 CEF截△ ABD→（梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明：过A、 B、D之一作 CF的平行线。

2．过△ ABC的重心G的直线分别交A B、AC于 E、F，交CB于 D。

求证：。

【分析】连结并延长 AG交 BC于 M，则 M为 BC的中点。

DEG截△ ABM→（梅氏定理）DGF截△ ACM→（梅氏定理）∴===1【评注】梅氏定理3． D 、 E、 F 分别在△ ABC的 BC、CA、 AB边上，，AD、BE、CF交成△ LMN。

求S△LMN。

【分析】【评注】梅氏定理4．以△ ABC各边为底边向外作相似的等腰△ BCE、△CAF、△ABG。

求证：AE、BF、CG相交于一点。

【分析】【评注】塞瓦定理225．已知△ ABC中，∠ B=2∠C。

求证： AC=AB+AB·BC。

【分析】过 A 作 BC的平行线交△ ABC的外接圆于 D，连结 BD。

则CD=DA=AB，AC=BD。

由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。

【评注】托勒密定理6．已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。

求证：。

（第 21 届全苏数学竞赛）【分析】【评注】托勒密定理7．△ABC的 BC边上的高 AD的延长线交外接圆于 P，作 PE⊥AB于 E，延长 ED交AC延长线于 F。

1、数学竞赛考纲二试1、平面几何基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和面积方法。

几个重要定理：梅涅劳斯定理、、、。

几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--。

到三角形三顶点距离的平方和最小的点--。

三角形内到三边距离之积最大的点--重心。

几何不等式。

简单的。

了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。

在周长一定的的集合中，圆的面积最大。

在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。

在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

几何中的运动：反射、平移、旋转。

方法、方法。

平面、及应用。

2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带的函数的图像。

，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

，一阶、二阶递归，法。

函数，求n次迭代，简单的函数方程。

n个变元的平均不等式，，及应用。

复数的指数形式，欧拉公式，，单位根，单位根的应用。

圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。

一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括，，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，，，，，格点及其性质。

3、立体几何多面角，多面角的性质。

三面角、直三面角的基本性质。

正多面体，欧拉定理。

体积证法。

截面，会作截面、表面展开图。

4、平面解析几何直线的式，直线的，直线束及其应用。

二元一次不等式表示的区域。

三角形的。

圆锥曲线的切线和法线。

圆的幂和根轴。

5、其它。

集合的划分。

覆盖。

西姆松线的存在性及性质()。

及其逆定理。

一、平面几何1.梅涅劳斯定理（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由数学家梅涅劳斯首先证明的。

它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

个人精心高中数学联赛竞赛平面几何四大定理及考纲Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#1、数学竞赛考纲二试1、平面几何基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和面积方法。

几个重要定理：梅涅劳斯定理、、、。

几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--。

到三角形三顶点距离的平方和最小的点--。

三角形内到三边距离之积最大的点--重心。

几何不等式。

简单的。

了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。

在周长一定的的集合中，圆的面积最大。

在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。

在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

几何中的运动：反射、平移、旋转。

方法、方法。

平面、及应用。

2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带的函数的图像。

，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

，一阶、二阶递归，法。

函数，求n次迭代，简单的函数方程。

n个变元的平均不等式，，及应用。

复数的指数形式，欧拉公式，，单位根，单位根的应用。

圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。

一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括，，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，，，，，格点及其性质。

3、立体几何多面角，多面角的性质。

三面角、直三面角的基本性质。

正多面体，欧拉定理。

体积证法。

截面，会作截面、表面展开图。

4、平面解析几何直线的式，直线的，直线束及其应用。

二元一次不等式表示的区域。

三角形的。

圆锥曲线的切线和法线。

圆的幂和根轴。

5、其它。

集合的划分。

覆盖。

西姆松线的存在性及性质()。

及其逆定理。

一、平面几何1. 梅涅劳斯定理（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由数学家梅涅劳斯首先证明的。

它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】平面几何中几个重要定理及其证明一、 塞瓦定理1．塞瓦定理及其证明定理：在∆ABC 内一点P ，该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，则有1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=． 证明：运用面积比可得ADCADP BDP BDC S S AD DB S S ∆∆∆∆==．根据等比定理有ADC ADC ADP APCADP BDP BDC BDC BDP BPCS S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===-，所以APCBPC S AD DB S ∆∆=．同理可得APB APCS BE EC S ∆∆=，BPCAPB S CF FA S ∆∆=． 三式相乘得1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．2．塞瓦定理的逆定理及其证明ABCDFP定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，若1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有//1AD BE CFD B EC FA⋅⋅=． 因为1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=，所以有//AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理ABCD FPD /定理：一条直线与∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，则有1AD BE CFDB EC FA⨯⨯=． 证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G ．因为CGCG CF AD FA =CG EC DB BE =DB BE CF AD EC FA =⋅1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=∆/∠∠∠∠∆∆AD DEAC BC=AD BC AC DE ⋅=⋅∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∆∆AB BEAC CD=AB CD AC BE ⋅=⋅AD BC AB CD AC DE AC BE AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅EAB DAC∠=∠EBA DCA ∠=∠EAB ∆DAC∆AE ABAD AC =DAE CAB ∠=∠DAE ∆CAB∆EBA DCA ∠=∠DBA DCA∠=∠///A B A D AB BD =///B C C D BCBD =//////AB A D BC C D A B B C BD⨯+⨯+= 另一方面，///A C A DAC CD =，即///AC A DA C CD⨯=． 欲证//AB A D BC C D BD⨯+⨯=/AC A D CD ⨯，即证即//()BC CD C D AC BD AB CD A D ⨯⨯=⨯-⨯． 据条件有 AC BD AB CD AD BC ⨯-⨯=⨯，所以需证//BC CD C D AD BC A D ⨯⨯=⨯⨯，即证//CD C D AD A D ⨯=⨯，这是显然的．所以，//////A B B C A C +=，即A /、B /、C /共线．所以//A B B ∠与//BB C ∠互补．由于//A BB DAB ∠=∠，//BBC DCB ∠=∠，所以DAB ∠与DCB ∠互补，即A 、B 、C 、D 四点共圆．7．托勒密定理的推广及其证明定理：如果凸四边形ABCD 的四个顶点不在同一个圆上，那么就有 AB ×CD + BC ×AD > AC ×BD证明：如图，在凸四边形ABCD 内取一点E ，使得EAB DAC ∠=∠，EBA DCA ∠=∠，则EAB ∆∽DAC ∆．可得AB ×CD = BE ×AC ————（1）且AE ABAD AC = ————（2）则由DAE CAB ∠=∠及（2）可得DAE ∆∽CAB ∆．于是AD ×BC = DE ×AC ————（3）由（1）+（3）可得 AB ×CD + BC ×AD = AC ×( BE + DE ) 因为A 、B 、C 、D 四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知AB ×CD + BC ×AD ≠AC ×BD所以BE + DE ≠BD ，即得点E 不在线段BD 上，则据三角形的性质有BE + DE > BD ．所以AB ×CD + BC ×AD > AC ×BD ． 三、 西姆松定理8．西姆松定理及其证明定理：从∆ABC 外接圆上任意一点P 向BC 、CA 、AB 或其延长线引垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．证明：如图示，连接PC ，连接 EF 交BC 于点D /，连接PD /． 因为PE ⊥AE ，PF ⊥AF ，所以A 、F 、P 、E四点共圆，可得∠FAE =∠FEP ．因为A 、B 、P 、C 四点共圆，所以∠BAC =∠BCP ，即∠FAE =∠BCP ．所以，∠FEP =∠BCP ，即∠D /EP =∠D /CP ，可得C 、D /、P 、E 四点共圆．所以，∠CD /P +∠CEP = 1800。

梅涅劳斯定理16/3/5梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（Sphaerica）。

任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明. 梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。

中文名梅涅劳斯定理外文名Menelaus别称梅氏定理表达式(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1提出者梅涅劳斯提出时间1678年应用学科数学，物理适用领域范围平面几何学适用领域范围射影几何学定理内容定理证明证明一过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G.则证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则两式相乘得证明三连结CF、AD，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。

AF：FB =S△ADF：S△BDF…………（1），BD：DC=S△BDF：S△CDF…………（2），CE：EA=S△CDE：S△ADE=S△FEC：S△FEA=（S△CDE+S△FEC）：（S△ADE+S△FEA）=S△CDF：S△ADF (3)（1）×（2）×（3）得证明四过三顶点作直线DEF的垂线AA‘，BB'，CC'，如图：充分性证明：△ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。

连接DF交CA于E'，则由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1又∵2∴有CE/EA=CE'/E'A ，两点重合。

所以共线推论 在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上分别取L 、M 、N 三点，又分比是λ=BL/LC 、塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）此外，用该定理可使其容易理解和记忆：第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E ，F ，D 三点共线，则 (sin ∠ACF/sin ∠FCB)(sin ∠BAD/sin ∠DAC)(sin ∠CBE/sin ∠ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。

山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第23章角元形式的梅涅劳斯定理第一角元形式的梅涅劳斯定理设A、B、C分别是△ABC的三边BC、CA、AB 所在直线（包括三边的延长线）上的点，则A、B、C共线的充要条件是inBAAinACCinCBB1inAACinCCBinBBABAS△ABAABinBAA证明如图23-1，由，ACS△AACACinAACAC'B'BC图23-1A'CBBCinCBB，BAABinBBAACACinACC．CBBCinCCB这三式相乘，运用梅涅劳斯定理及其逆定理，知结论成立．第二角元形式的梅涅劳斯定理设A、B、C分别是△ABC的三边BC、CA、AB所在直线上的点，点O不在△ABC三边所在直线上，则A、B、C三点共线的充要条件是inBOAinCOBinAOC1．inAOCinBOAinCOBinBOA证明如图23-2．注意到inAOC及AC'BBC图23-2OA'SBAOCBAniCOB（其中△BOA），S△AOCACOBACniBOAOACB inAOCOBAC，．OCBAinCOBOACBinBOAinCOBinAOC所以inAOCinBOAinCOBBACBAC．ACBACB而由梅涅劳斯定理及逆定理知A、B、C共线BACBAC1．ACBACB故知结论成立．注：在上述两定理中，若采用有向角（规定角的终边绕逆时针方向时角为正值，否则为负值）时，两条件式的右端均为1，有向角记为．下面给出运用如上定理处理问题的例子．例1如图23-3，设△ABC的三边BC、CA、AB所在的直线AF'FE'EC图23-3D'BD上的点D、E、F共线，并且直线AD、BE、CF关于A、B、C平分线的对称直线AD、BE、CF分别与BC、CA、AB所在直线交于D、E、F，则D、E、F也共线．证明对△ABC及截线FED应用第一角元形式的梅涅劳斯定理，有inBADinCBEinACF1．inDACinEBAinFCB由题设知，CADBAD，DABDAC，BCF=ACF，FCAFCB，ABECBE，EBCEBA．inCADinABEinBCF从而有1，inDABinEBCinFCAinBADinCBEinACF即1．inDACinEBAinFCB由第一角元形式的梅涅劳斯定理知，D、E、F三点共线．例2若三角形的三条外角平分线皆与对边所在直线相交，则三交点共线．证明如图23-4，设△ABC的三条外角平分线分别与对边所在直线相交于D、E、F，则知1111BAD90A，DAC90A，CBE90B，EBA90B，222211ACF90C，FCB90C．22EFABC图23-4D故有inBADinCBEinAZFinDACinEBAinFCB111coAcoBcoC2221．111coAcoBcoC 222故D、E、F三点共线．例3分别过三角形的三顶点作其外接圆的切线，证明：若三切线皆与其对边所在直线相交，则三交点共线．BACFED图23-5证明设过△ABC的三顶点A、B、C的切线与对边BC、CA、AB所在直线分别交于D、E、F．则弦切角定理BAD，DACCA180B，CBEA，EBAAB180C，ACFCA180B，FCBA．故有inBADinCBEinACFinDACinEBAinFCBinCinAinB1．inBinCinA故D、F、E三点共线．例4在筝形ABCD中，ABAD，BCCD，过BD上一点P作一条直线分别交AD、BC于E、F，PIPJ．PBPD证明如图23-6，过B作AD的平行线交直线EF于E，再过B作CD的平行线交直线GH于H，则EBPEDPPBG，HBP=HDP=PBF，再过点P作一条直线分别交AB、CD于G、H．设GF与EH分别交BD于I，J．求证：EAJGH'JBE'F图23-6DHPC进而HBG=HBPGBP=PBFPBE=EBF，所以inPBHinGBIinFBEinHBGinIBFinEBPinFBPinGBPinFBE1．inEBFinPBFinPBG使H、I、E分别为△PGF三边所在直线上的点，且点B不在△PGF三边所在直线上，由第二角元形式的梅涅劳斯定理，即知H、I、E三点共线．于是，由△PBE∽△PDE，△PHB∽△PHD，有EH∥EH．PIPEPB因此，．PJPEPDPIPJ．PBPD注：当PBPD即P为BD中点时为1989年的冬令营选拔赛题．例5设△ABC为非直角三角形，AD、BE、CF为三边上的高，D、E、F为垂足，过△ABC的垂心H分别作边BC，CA，AB的平行线与直线EF、FD、DE对应相交于P、Q、R．求证：P、Q、故R三点共线．证明如图23-7，有EHPHB，CPHFHCB，FHQBCA，QHDHAC，DHRHAB，RHEHBA．从而QAFHBD图23-7REPCinEHPinFHQinDHRinPHFinQHDinRHEinHBCinHCAinHABinHCBinHACinHBAinHBCinHCAinHAB inBCHinCAHinABHHCHAHB1．HBHCHA因△ABC为非直角三角形，点H不在△ABC三边上，故由第二角元形式的梅涅劳斯定理知P、R、Q三点共线．例6设E、F分别为四边形ABCD的边BC、CD上的点，BF与DE交于点P．求证：BAE=FAD，则BAP=CAD．证明只需证明：当AF关于BAD的等角线交BE于P时，B、P、F共线即可，如图23-8所示．ADFPBE图23-8C事实上，B、P、F分别为△CDE三边所在直线上的三点，A不在其三边所在直线上，而FADEAB，DAPBAC，PAECAF．inEABinCAFDAP1．inBACinFADinPAE故由第二角元形式的梅涅劳斯定理，知B、P、F三点共线．注：注AC平分BAD时，即为1999年全国高中联赛题．故。

梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理是元心®≠O，且三角形ABC的三个顶点都在圆周上的情况下，与元心®相互对称的三条直线（AB的对称轴、BC的对称轴和AC的对称轴）的交点M、N、P，连成一个新的三角形。

则这个三角形的垂心H，外心O和重心G一定共线，并且一个在中点上，一个在重心的两倍上。

梅涅劳斯定理由法国数学家梅涅劳斯（Menelaus）在19世纪初推导得出。

他在研究三角形性质和钻石形排列、多面体面积等问题时，发现了三角形内外接圆之间存在某种规律。

他将这种规律总结为“梅涅劳斯定理”，这让人们对三角形的研究产生了新的启示，也极大地推动了数学发展。

1.直线对称：如果直线l把一个图形分成两部分，其中一部分在直线l同侧，另一部分在直线l异侧，那么我们就称这条直线为这个图形的对称轴。

2.三角形的三条对称轴：在一个三角形中，过三个顶点分别做与对边垂直的直线，交于另一三点，这三条线分别称为这个三角形的三条对称轴。

3.外心O：一个三角形的三边的垂直平分线所交的点O就是这个三角形的外心。

梅涅劳斯定理可以用“线段长度乘积相等”来概括，即：BM/MA*CN/NP*AP/PB=1其中BM、CN、AP与MA、NP、PB分别为MN、NP、MP与BC、AC、AB的交点，再根据Euler线的性质，外心、重心、垂心三点共线，并有以下定理：1.如果三角形ABC的外接圆半径R为：R=abc/4K，其中a、b、c为三角形的三边长，K 为三角形的面积，那么重心到外心的距离等于R的三分之二。

2.如果三角形ABC的外接圆半径为R，那么垂心到外心的距离等于R。

梅涅劳斯定理是用于计算三角形各顶点到对边距离的常用方法之一。

例如，如果三角形ABC的三个顶点分别是A(-2,1)，B(0,-2)，C(3,1)，垂心的坐标为H(x,y)，那么我们可以用以下步骤来计算垂心的坐标：1.计算AB、BC、AC三边的长度。

AB=sqrt[(0-(-2))^2+(-2-1)^2]=sqrt[17]2.根据梅涅劳斯定理求出MN、NP、MP三个交点。

厦门一中2010数学竞赛讲座—平面几何平面几何定理1——梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理：设P 、Q 、R 分别是ABC ∆三边BC ，CA 、AB 或其延长线上的点，若P 、Q 、R 三点共线，则BP 1PC CQ AR QA RB⋅⋅=。

（四种证明方法）梅涅劳斯逆定理：设P 、Q 、R 分别是ABC ∆三边BC ，CA 、AB 或其延长线上的点，若BP 1PC CQ AR QA RB⋅⋅=，则P 、Q 、R 三点共线。

第一角元形式的梅涅劳斯定理：设P 、Q 、R 分别是ABC ∆三边BC ，CA 、AB 或其延长线上的点，则P 、Q 、R 三点共线的充要条件是：sin sin sin 1sin sin sin BAP ACR CBQ PAC RCB QBA∠∠∠⋅=∠∠∠第二角元形式的梅涅劳斯定理：设P 、Q 、R 分别是ABC ∆三边BC ，CA 、AB 或其延长线上的点，点O 不在ABC ∆三遍所在直线上，则P 、Q 、R 三点共线的充要条件是： sin sin sin 1sin sin sin BOP AOR COQ POC ROB QOA∠∠∠⋅=∠∠∠例1．（笛沙格定理）如图，由O 点引出的三条射线上各有两个点：1A 和2A ，1B 和2B ，1C 和2C ，直线11B C 和22B C 交于点X ：直线11AC 和22A C 交于点Y ， 直线11A B 和22A B 交于点Z 。

求证：X 、Y 、Z 三点共线。

::练习：例2：如图，在四边形ABCD 中△ABD ，△BCD ，△ABC 的面积比是3:4:1，点M ，N 分别在AC ，CD 上，满足AM ：AC=CN ：CD ，并且Ｂ，Ｍ，Ｎ共线，求证M 与Ｎ分别是ＡＣ和ＣＤ的中点。

练习：角元形式梅氏定理例4 例5. 例3练习4.2 3 4 5。

几何篇梅涅劳斯定理：当直线交三角形ABC三边所在直线BC、AC、A于点D、E、F时，（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1以及逆定理：在三角形ABC三边所在直线上有三点D、E、F，且（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1，那么D、E、F三点共线。

角元形式梅捏劳斯定理：（sin∠BAD/sin∠DAC）×(sin∠ACF/sin∠FCB)×(sin∠CBE/sin∠EBA)=1塞瓦定理：指在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

角元塞瓦定理：AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1逆定理：在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1那么直线AD，BE，CF相交于同一点。

”正弦定理：在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。

则有：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R余弦定理：，在△ABC中，余弦定理可表示为：c²=a²+b²-2ab cosCa²=b²+c²-2bc cosAb²=a²+c²-2ac cosB托勒密定理：指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

三弦定理：由圆上一点引出三条弦,中间一弦与最大角正弦的积等于其余每条弦与不相邻角正弦的积之和。

用图表述；圆上一点A,引出三条弦AB(左)、AC(右)、及中间弦AD,BC与AD交于P,根据《三弦定理》,有以下关系, ABsin∠CAP +ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。