常见的相似图形

《相似图形》这一章节是初二数学乃至整个初中数学课程中较为重要的章节，同时也是较难学的章节之一。

不少同学在学习相似三角形时感到吃力，看着复杂的图形不知道哪几对三角形相似，对于证明两个三角形相似也无从下手。

这就需要同学们熟练掌握相似三角形基本图形及变型，建立图感，就能在复杂的图形中迅速识别相似的三角形，从而准确、快速地解决相关问题。

首先，让我们来认识一下相似三角形的四种基本图形。

一、A型如图1，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC，由判定定理一，得出△ABC∽△ADE。

【提示】这种基本图形很像英文字母A，因此我们将它称为A型。

同学们应该注意观察图中的已知条件并加以应用，比如公共角。

二、反A共角型1、如图2，这种图形是A型的变型。

若DE与BC不平行，△ABC与△ADE能否相似？我们可以移动成段DE，使∠AED=∠B，由相似三角形的判定定理得△ABC∽△ADE【提示】B、C的对应点由D、E变成E、D，因而对应角和对应线段也发生了相应的变化，这种图形形象地称为反A共角型。

2、变型Ⅰ继续移动成段DE，使E点与C点重合，并保持∠AED=∠B，如图3所示，得△ABC∽△ACD，从而有=，即AC2=AD·AB(比例中项概念)3、变型Ⅱ当AC⊥BC，CD⊥AB时，变成图4，对应点没变，上述结论仍成立，就得出射影定理这个重要定理。

△ABC∽△ACD∽△CBD由△ACD∽△CBD，对应边成比例得出：CD2=AD·DBAC2=AD·ABBC2=BD·AB【提示】图3、图4这两种基本图形形象地称为反A共角共变型。

三、X型如图5，D、E分别是△ABC的边BA、CA延长线上的点，DE∥BC，△ADE∽△ABC这种基本图形形象地称为X型。

四、蝶型如图6，DE不平行AB，当∠B=∠E时，△ABC∽△DEC，这种图形形象地称为蝶型。

认识完了基本图形，现在来学习学习如何利用基本图形建立图感。

图形的相似知识点相似图形是几何学中的重要概念，它指的是在形状和比例上相似的图形。

本文将介绍图形的相似性，并讨论相似图形的性质和应用。

一、相似图形的定义和判断方法相似图形定义：如果两个图形的形状相同，并且对应边的长度比相等，那么这两个图形就是相似图形。

判断相似图形的方法：1.对应角相等法则：如果两个图形的对应角相等，则这两个图形相似。

2.对应边成比例法则：如果两个图形的对应边成比例，则这两个图形相似。

3.综合判断法则：根据对应角和对应边成比例的性质，综合判断两个图形是否相似。

二、相似图形的性质1.对应边成比例：相似图形的对应边的长度比相等。

2.对应角相等：相似图形的对应角相等。

3.面积成比例：相似图形的面积比等于对应边长度比的平方。

三、相似三角形相似三角形是相似图形中最常见的一种情况。

相似三角形有以下性质：1.对应角相等：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。

2.对应边成比例：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。

3.高线成比例：如果两个三角形的高线成比例，则这两个三角形相似。

4.中线成比例：如果两个三角形的中线成比例，则这两个三角形相似。

四、相似图形的应用相似图形的概念在实际生活中有着广泛的应用，例如：1.地图比例尺：地图上的比例尺就是通过相似图形的概念来确定的。

2.影像放大：在影像处理中，可以通过相似图形的概念对影像进行放大或缩小。

3.三角测量：在测量中，可以利用相似三角形的性质来进行间接测量。

4.建筑设计：建筑设计中，相似图形的概念可以帮助设计师确定建筑物的比例和尺寸。

总结：相似图形是几何学中一个重要的概念，它指的是在形状和比例上相似的图形。

我们可以通过对应角相等和对应边成比例等方法来判断图形是否相似。

相似图形的性质包括对应边成比例、对应角相等和面积成比例等。

相似图形在地图制作、影像处理、测量和建筑设计等领域有着广泛的应用。

通过了解相似图形的知识，我们可以更好地理解和应用几何学的基本原理。

相似图形的例子
相似图形是我们在日常生活中经常会见到的图形，它们可以是任何形状，大小或颜色的图形。

它们的特征就是它们的外观上有很多共同之处，这也是为什么我们会称它们为“相似图形”。

相似图形的一个主要用处是用于创建视觉效果，这是因为当我们把几个相似图形排列在一起时，它们可以产生漂亮的视觉效果。

例如，我们可以使用一些精美的圆形，心形，正方形，三角形等图形来创建一个美丽的图案。

由于这种图案的外观有一定的节奏和节奏感，它可以为任何地方带来一种恰当的氛围。

另外，我们还可以使用相似图形来实现交互式教学。

例如，教师可以使用一系列与某个概念有关的相似图形，帮助学生更好地理解概念。

例如，学生可以使用多种正方形，正三角形和正多边形等相似图形来理解几何中的三角形概念。

此外，相似图形还可以用于创建对比。

对比是一种很好的设计原则，可以使视觉平衡，强调元素或整体的重要性，并给设计带来动力和感染力。

因此，我们可以使用大小不同的圆形，正方形，三角形，条形等相似图形来创建视觉对比，从而使设计更具有吸引力。

最后，相似图形还可以用于构建空间关系。

依据不同的情况，可以使用不同大小和形状的相似图形，如线条，圆形，三角形，正方形等，来创建空间关系，从而使空间布局更加有规律和有序。

从以上可以看出，相似图形在日常生活中具有重要的意义，它们可以用来创建视觉效果，实现交互式教学，创建对比，以及构建空间
关系。

因此，相似图形的运用对于提高我们的生活质量具有显著的作用。

FED AC B 相似基本图形——M 型一、一般M 型基本条件：①∠PMQ=∠B=∠C ．基本结论： ①相似结论：△BEM ∽___________； ②等积式：BM·CM=_______________．二、中点M 型基本条件：①∠PMQ=∠B=∠C ；②M 是BC 的中点．基本结论：①相似结论：△EMF ∽___________∽___________；②平分线结论：EM 平分___________，______________________； ③等积式：EM 2=EB·EF ，______________________，______________________三、常见特例 特例一：条件：①等边△ABC ；②∠MPN=60°，③P 是BC 的中点．特例二：条件：①等腰直角△ABC ，AC=BC ，∠C=90°；②∠EDF=45°；③点D 是AB 的中点．特例三：条件：①AB=AC ；②∠BAC=120°，③∠EDF=30°,D 是BC 的中点．FE DABCMD E P C AB N B B特例四：条件：①矩形ABC D ； ②∠GEF=90°；③E 是AB 的中点．特例五：条件：①直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=90°；②E 是AD 的中点；③∠BEC=90°．巩固训练：1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，E 为AB 的中点，若AD=2，BC=4，∠CED=90°，则CD 的长为_____________.2．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 在边BC 、CD 上，若AE=2，EF=1，则正方形的边长为__________第1题 第2题3．已知正方形ABCD 的对角线相交于点Q ，点E 为射线AC 上的一个动点（不与A 、O 、C 重合），连结DE ，作EF ⊥DE 交直线AB 于点F.（1）当点在线段OA 上时（如图①），求证：CE －∙AF. （2）若AB=4，，连结DF 交AE 于点M ，求线段DM 的长； （3）连接FC 并延长交DE 于点N ，求DN 的长.E A BFA D G F EBC AD DEB C A图①图②已知E为△ABC内部一点，AE延长线交边BC于点D，连接BE、CE，∠BED=∠BAC=2∠DEC.（1）如图①，若AC=AB，求证：BE=2AE；（2）如图②，在（1）的条件下，将∠ABC沿BC翻折得到∠FBC，AE延长线经过点F，M为DF的中点，连接CM并延长交BF于点G．若CG=AE=2DE，求BD的长．AB CEDFGMDECBA图①图②FGMDECBA。

几何图形的相似几何图形的相似性是几何学中的一个重要概念。

当两个图形的形状相似，但大小不同的时候，我们可以说它们是相似的。

在这篇文章中，我们将探讨几何图形的相似性及其在实际生活中的应用。

一、相似三角形相似三角形是几何学中最常见的一种相似图形。

当两个三角形的对应角度相等，对应边的比例也相等的时候，我们可以说它们是相似的。

相似三角形的比例关系可以用以下公式表示：AB/DE = AC/DF = BC/EF = k其中，k为两个相似三角形的比例因子。

相似三角形的应用非常广泛。

例如在地图制图中，由于地球是一个近似于球体的物体，所以地图上的距离和角度会出现变形。

为了保持地理位置的准确性，我们需要用到相似三角形的原理来进行地图的缩放和校正。

二、相似多边形除了三角形，其他多边形也可以是相似的。

当两个多边形的对应角度相等，对应边的比例也相等的时候，我们可以说它们是相似的。

相似多边形的比例关系同样可以用上述相似三角形的公式表示。

相似多边形的相似性可以应用在很多实际问题中。

例如在建筑设计中，我们需要按照比例缩放建筑的模型以便于展示和评估。

相似多边形的原理可以帮助我们准确地进行缩放，并保持建筑的整体比例和形状。

三、相似图形的比例在相似图形中，对应边的比例是一个非常重要的概念。

对于相似三角形或多边形，我们可以通过对应边的比例来求解未知边的长度。

例如，在一个相似三角形中，如果我们知道两个对应边的比例和其中一个对应边的长度，我们就可以通过比例关系来计算其他对应边的长度。

这个原理在测量和定位中有很多应用，例如测量不可达区域的长度、计算山脉的高度等等。

四、相似图形的面积比除了边长的比例，相似图形的面积比也是一个重要的概念。

当两个图形相似的时候，它们的面积比等于边长比的平方。

例如，在一个相似三角形中，如果两个三角形的边长比为k，那么它们的面积比就为k²。

这个原理可以应用在计算面积缩放、制作模型等方面。

总结几何图形的相似性是几何学中的重要概念，它可以帮助我们理解和解决各种实际问题。

相似图形基础知识回顾1.成比例线段：1、线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m 、n ，那么就说这两条线段的比nm CD AB =，其中线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项。

2、四条线段a 、b 、c 、d ，如果dc b a =，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线。

3、比例的基本性质：dc b a = ，那么bc ad =；反过来，如果bc ad =（a,b,c,d 都不等于0），那么d c b a =。

4、如果dc b a =，那么d d c b b a ±=±。

5、如果)0(b a ≠+++===n d b n m d c ，那么ba n db mc =++++++ a 6、点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ）如果ACBC AB AC =，点C 叫做线段AB 的 黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即AC AB =21-5≈0.618 2.相似多边形：1、定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形2、性质：⑴相似多边形对应角相等，对应边成比例⑵相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方3.相似三角形：1、定义：如果两个三角形的三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形相似2、性质：⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应边的中线都等于相似比 ⑶相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似⑵两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似⑶两角相等的两个三角形相似⑷三组对应边成比例的两个三角形相似4.位似：1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时相似比又称为位似比。

第一节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。

2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。

1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c,A D aB E bC F c可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD ECAE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝dc，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。

2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果dcb a =，那么ad=bc 。

如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么dc b a =。

②合比性质：如果d c b a =，那么ddc b b a ±=±。

图1ABCD E图2ABCDE图3ABCD③等比性质：如果d c b a ==∙∙∙=n m (b+d+∙∙∙+n ≠0)，那么ba n db mc a =+∙∙∙+++∙∙∙++ ④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad.典例剖析例1：① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km.② 若b a =32 则b b a +=__________. ③ 若 b a b a -+22=59则a ：b=__________.3．相似三角形的判定（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。