1 圆周角
第1课时 圆周角(1)
【教学目标】
1.理解圆周角的定义,会区分圆周角和圆心角.
2.能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理.
【教学重点】
理解并掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角之间的关系,能进行有关圆周角问题的简单推理和计算.
【教学难点】
分类讨论及由特殊到一般的转化思想的应用.
【教学过程】
一、导
1.圆心角的定义? 顶点在圆心的角叫圆心角.
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系? 相等.
3、判断题：
(1)相等的圆心角所对的弧相等。×
(2)等弦对等弧 。×
(3)等弧对等弦 。 √
二、学
（一）学习目标：
1.理解圆周角的定义,会区分圆周角和圆心角.
2.能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理.
（二）自学指导：
阅读教材P49-50，回答下列问题：
问题1 AB所对的圆周角有几个？
问题2 度量下这些圆周角的关系.
问题3 这些圆周角与圆心角∠AOB的关系.
①AB所对的圆周角的个数有无数个. 2 ②通过度量,这些圆周角相等.
③通过度量,同弧对的圆周角是它所对圆心角的一半.
完成下列问题：
1.如图所示的角中，哪些是圆周角？
2.顶点在______上，并且两边都与圆_________的角叫做圆周角.
3.在同圆或等圆中,_____或_______所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的______的一半.
4.在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也_______.
三、教、
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
•如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?•说说你的想法,并与同伴交流.提示:注意圆心与圆周角的位置关系.ABC●OABC●O●OABC2、圆周角和圆心角的关系 3 3、圆周角定理•综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:•圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.●OABC●OABC●OABC即∠ABC = ∠AOC.21DD圆心在角的边上圆心在角外圆心在角内
一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。
以下分五种情况证明
【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时：
图1
连接AO，并延长AO交⊙O于D
解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时：
图2
连接AO，并延长AO交⊙O于D，连接OB、OC。
解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）
∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时： 图3
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠OCA（等边对等角）
∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。）
【证明】情况4：圆心角等于180°：
圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，
∵∠OCA=∠OAC=21∠BOC （BC弧）
∠OCB=∠OBC=21∠AOC （AC弧）
∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠AOC）/2=90度
圆周角定理 导学案
年级：九年级 学科： 数学 主备教师： 胡祖奎 课题：24.1.4 圆周角定理 时间：
【学习目标】
理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题；经历探索圆周角的有关性质的过程，体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题. 【学习流程】
复习巩固 3分钟 自主探究 20分钟 巩固练习 5分钟 应用拓展5分钟 课堂小结
2分钟 布置作业 1分钟 当堂检测 9分钟
【学习过程】
一、复习巩固
1、 叫圆心角。
2、在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的 度数。
二、自主探究
1、圆周角的概念
如图，P、Q是⊙O上两点，连接OP、OQ，∠POQ叫什么角？点A在⊙O外，点B1 、B2 、B3在⊙O上，点C在⊙O内，观察∠B1 、∠B2 、∠B３有什么共同的特征？
归纳得出结论，顶点在_______，并且两边____________的角叫做圆周角。
强调条件：①___________________，②___________________。
识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由．
2、圆周角定理
阅读教材中的探究问题，量出圆心角和圆周角的度数，你有什么发现？如果在⊙O上另取一点E，圆周角∠E与∠C相等吗？
阅读教材中关于圆周角定理的证明过程，如何将一般情况转化为特殊情况的？
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 相等，都等于这条弧所对的 ．
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定 ．
例题1、如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=40°，∠AED=75°，求∠ABD的度数. 三、巩固练习
教材课后练习
四、应用拓展
24.3 圆周角
第1课时 圆周角定理及推论
1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角；
2．了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明(重点，难点)．
一、情境导入
你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍．
比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？
二、合作探究
探究点一：圆周角定理
【类型一】 利用圆周角定理求角
如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于(
)
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A.
方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型二】
同弦所对圆周角中的分类讨论思想
已知⊙O的弦AB长等于⊙O的半径，求此弦AB所对的圆周角的度数．
解析：弦AB的长恰好等于⊙O的半径，则△OAB是等边三角形，则∠AOB＝60°.而
弦AB所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论．
解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA，OB，在⊙O上任取一点C，连接CA，CB.∵AB＝OA＝OB，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝12∠AOB＝30°.即弦AB所对的圆周角等于30°.
如图②所示，连接OA，OB，在劣弧上任取一点D，连接AD，OD，BD，则∠BAD＝12∠BOD，∠ABD＝12∠AOD.∴∠BAD＋∠ABD＝12(∠BOD＋∠AOD)＝12∠AOB.∵AB的长等于⊙O的半径，∴△AOB为等边三角形，∠AOB＝60°.∴∠BAD＋∠ABD＝30°，∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)＝150°，即弦AB所对的圆周角为150°.
