利用极点配置法设计调节器型系统-倒立摆
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任务1-一级倒立摆系统的状态反馈极点配置设计
西安建筑科技大学课程设计（论文）任务书专业班级：学生姓名：指导教师（签名）：一、课程设计（论文）题目一级倒立摆系统的状态反馈极点配置设计二、本次课程设计（论文）应达到的目的（1）复习、巩固和加深所学专业基础课和专业课的理论知识，综合运用经典控制理论与现代控制理论的知识，弄清楚其相互关系，使理论知识系统化、实用化。
（2）增强学生的工程意识，联系实际问题设计，使理论与实践相结合。
（3）掌握基于状态空间分析法进行控制系统分析与综合的方法。
（4）训练利用计算机进行控制系统辅助分析与仿真的能力。
（5）掌握参数变化对系统性能影响的规律，培养灵活运用所学理论解决控制系统中各种实际问题的能力。
（6）培养分析问题、解决问题的独立工作能力，学习实验数据的分析与处理方法，学习撰写设计说明书。
三、本次课程设计（论文）任务的主要内容和要求（包括原始数据、技术参数、设计要求等）系统参数：本课程设计的被控对象采用固高公司生产的GIP-100-L型一阶倒立摆系统，系统内部各相关参数为：小车质量0.5 Kg ；摆杆质量0.2 Kg ；小车摩擦系数0.1 N/m/sec ；摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ；摆杆惯量0.006 kg*m*m ；采样时间0.005秒。
设计要求：设计状态反馈控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度设计主要内容：（1）参照相关资料，推导出系统的传递函数和状态空间方程。
（2）定量、定性分析系统的性能。
（3）设计状态反馈控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应满足性能指标要求。
（4）对设计的系统进行仿真研究、校验与分析。
（5）设计状态观测器，讨论带有状态观测器的状态反馈系统的性能。
成果要求：书写课程设计说明书一份（6000－10000字）。
内容应包括数学模型建立，控制器设计，系统仿真过程、结果分析及结论。
倒立摆状态空间极点配置控制实验实验报告
《现代控制理论》实验报告状态空间极点配置控制实验一、实验原理经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型，现代控制理论主要是依据现代数学工具，将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统。
极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足瞬态和稳态性能指标。
１．状态空间分析对于控制系统X = AX + Bu选择控制信号为：u = −KX式中：X 为状态向量（ n 维）u 控制向量（纯量）A n × n维常数矩阵B n ×1维常数矩阵求解上式，得到 x(t) = (A − BK)x(t)方程的解为： x(t) = e( A−BK )t x(0)状态反馈闭环控制原理图如下所示：从图中可以看出，如果系统状态完全可控，K 选择适当，对于任意的初始状态，当t趋于无穷时，都可以使x(t)趋于0。
２．极点配置的设计步骤1) 检验系统的可控性条件。
2) 从矩阵 A 的特征多项式来确定 a1, a2,……,an的值。
3) 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵 T：T = MW其中 M 为可控性矩阵，4) 利用所期望的特征值，写出期望的多项式5) 需要的状态反馈增益矩阵 K 由以下方程确定：二、实验内容针对直线型一级倒立摆系统应用极点配置法设计控制器，进行极点配置并用Matlab进行仿真实验。
三、实验步骤及结果1.根据直线一级倒立摆的状态空间模型，以小车加速度作为输入的系统状态方程为：可以取1l 。
则得到系统的状态方程为：于是有：直线一级倒立摆的极点配置转化为：对于如上所述的系统，设计控制器，要求系统具有较短的调整时间（约 3 秒）和合适的阻尼（阻尼比ς = 0.5）。
2.采用四种不同的方法计算反馈矩阵 K。
方法一：按极点配置步骤进行计算。
1) 检验系统可控性，由系统可控性分析可以得到，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态维数(4)，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y 的维数(2)，所以系统可控。
倒立摆系统的主要控制方法
倒立摆系统的主要控制方法控制理论自诞生之日起至今主要经历了经典控制理论、现代控制理论和人工智能控制理论等几个阶段。
伴随着控制理论的不断发展，对倒立摆的控制也出现了采用经典控制理论、现代控制理论和人工智能控制理论等多种控制理论的方案和控制方法，并均实现了实物实验的成功。
经典控制理论提供了解决单输入单输出系统的控制方法。
利用牛顿第二运动定律对倒立摆系统进行力学分析，建立小车在水平运动和摆杆在垂直位置上的动力学方程，并进行合理的线性化，拉氏变换，得出系统的传递函数，从而得到零极点分布情况。
根据使闭环系统能稳定工作的思想设计控制器，需引入适当的反馈，使闭环系统特征方程的根都位于左半平面上。
用经典控制理论的频域法设计非最小相位系统的控制器并不需要十分精确的被控对象的数学模型，因为只要控制器使系统具有充分大的相位裕量就能获得系统参数在很宽范围内的稳定性。
文献介绍了黄永宜选用经典控制理论的频域法实现了单级倒立摆的稳定控制。
现代控制理论采用状态空间法，把经典控制理论中的高阶定常微分方程转换为一阶微分方程组，用来描述系统的动态过程。
这种方法可以解决多输入多输出问题，系统可以是线性的、定常的，也可以是非线性的、时变的。
与经典控制理论相比，现代控制理论具有较强的系统性，从分析、设计、到综合都有比较完整的理论和方法。
利用H∞状态反馈方法、极点配置法和最优状态调节器方法都可以实现对二级倒立摆的控制。
基于H∞状态反馈方法的二级倒立摆控制方案：针对倒立摆系统具体的有参数摄动及干扰，构造状态反馈控制u Kx=使不确定闭环系统是具有干扰衰减度γ的H∞鲁棒最优系统，且性能指标()()()T TJ x t Qx t u Ru t dt∞⎡⎤=+⎣⎦⎰具有最小的上界。
利用极点配置法和最优线性二次状态调节器LQR和线性二次输出调节器LQR控制倒立摆的方法。
使用极点配置法首先需要建立系统的线性模型，然后确定系统的闭环极点，再通过Ackerman公式算出对应的反馈增益矩阵Kf。
电气系统综合设计实验报告--直线一级倒立摆控制系统设计
电气控制系统设计——直线一级倒立摆控制系统设计学院轮机工程学院班级电气1111 姓名李杰学号 2011125036 姓名韩学建学号 2011125035 成绩指导老师肖龙海2014 年 12 月 25 日小组成员与分工：韩学建主要任务：二阶系统建模与性能分析，二阶控制器的设计，二阶系统的数字仿真与调试，二阶系统的实物仿真与调试。
二阶状态观测器的数字仿真与调试，二阶状态观测器的实物仿真与调试。
李杰主要任务：四阶系统建模与性能分析，四阶控制器的设计，四阶系统的数字仿真与调试，四阶系统的实物仿真与调试。
四阶状态观测器的数字仿真与调试，四阶状态观测器的实物仿真与调试。
前言倒立摆系统是非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统，倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
本报告通过设计二阶、四阶两种倒立摆控制器来加深对实际系统进行建模方法的了解和掌握随动控制系统设计的一般步骤及方法。
熟悉倒立摆系统的组成及基本结构并利用MATLAB对系统模型进行仿真，利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计，并对系统进行实际控制实验，对实验结果进行观察和分析，研究调节器参数对系统动态性能的影响，非常直观的了解控制器的控制作用。
目录第一章设计的目的、任务及要求1.1 倒立摆系统的基本结构 (4)1.2 设计的目的 (4)1.3 设计的基本任务 (4)1.4 设计的要求 (4)1.5 设计的步骤 (5)第二章一级倒立摆建模及性能分析2.1 微分方程的推导 (5)2.2 系统的稳定性和能控能观性分析 (11)2.3 二阶的能观性、能控性分析 (13)2.4 四阶的能观性、能控性分析 (18)第三章倒立摆系统二阶控制器、状态观测器的设计与调试3.1 设计的要求 (22)3.2 极点配置 (22)3.3 控制器仿真设计与调试 (23)3.4 状态观测器仿真设计与调试 (28)第四章倒立摆系统四阶控制器、状态观测器的设计与调试4.1 设计的要求 (26)4.2 极点配置 (26)4.3 控制器仿真设计与调试 (27)4.4 状态观测器仿真设计与调试 (28)心得体会 (31)参考文献 (31)第一章设计的目的、任务及要求1.1 倒立摆系统的基本结构与工作原理图1.1 倒立摆系统硬件框图图1.2 倒立摆系统工作原理框图倒立摆系统通过计算机、I/O卡、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件组成一个闭环系统。
基于极点配置的倒立摆控制器设计的开题报告
基于极点配置的倒立摆控制器设计的开题报告1. 研究背景倒立摆系统是一类重要的非线性系统，其在控制领域和机器人领域中有广泛的应用。
倒立摆系统有很多种模型，其中最为简单和典型的是单摆模型。
倒立摆控制是一个重要的研究方向，其目标是使倒立摆系统保持稳定状态。
在过去的数十年里，许多倒立摆控制方法已经被提出。
其中，基于线性控制系统的设计方法已经得到了广泛的应用。
然而，线性控制在实际应用中也存在一些问题，例如线性控制器在面对非线性系统时性能可能下降甚至失效。
因此，使用非线性控制方法设计倒立摆控制器成为了一种研究热点。
2. 研究目的本研究旨在设计一种基于极点配置的非线性控制器，用于倒立摆系统。
具体目标如下：(1) 探究基于极点配置的设计方法和倒立摆控制器的设计流程。
(2) 利用极点配置的方法，设计出一种控制器，使倒立摆系统保持在稳定状态。
(3) 对设计的控制器进行仿真实验，验证控制器的性能及稳定性。
3. 研究方法(1) 极点配置方法的研究：介绍极点配置设计方法的基本原理和流程，探究其在非线性控制系统设计中的应用，理解其核心思想，熟悉其设计过程和方法。
(2) 倒立摆系统动力学建模：对倒立摆系统进行动力学建模，根据欧拉-拉格朗日方程获得系统模型并进行数学分析。
(3) 控制器设计：使用极点配置的方法，设计一种非线性控制器，用于倒立摆系统的稳定控制。
分析控制器的设计原理，确定系统的可控性条件和势态转移矩阵，选择适当的状态反馈增益和极点位置，得到最终的控制器参数。
(4) 仿真实验：使用Matlab或Simulink进行仿真实验，验证设计的控制器的性能和稳定性。
分析仿真结果，提出改进方向和优化控制，使其在实际控制中表现更优。
4. 研究意义本研究将为倒立摆控制领域提供基于极点配置的非线性控制器设计方案，并对其性能和稳定性进行仿真实验的验证。
这将为非线性控制领域提供一种新的思路和控制方法，并为车辆控制和机器人控制等领域提供参考和借鉴。
一级倒立摆控制的极点配置方法
一级倒立摆控制的极点配置方法摘要倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。
因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。
本文通过极点配置, 实现了用现代控制理论对一级倒立摆的控制。
利用牛顿第二定律及相关的动力学原理等建立数学模型，对小车和摆分别进行受力分析，并采用等效小车的概念，列举状态方程，进行线性化处理想, 最后通过极点配置，得到变量系数阵。
利用Simulink建立倒立摆系统模型，特别是利用Mask封装功能, 使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。
实现了倒立摆控制系统的仿真。
仿真结果证明控制器不仅可以稳定倒立摆系统，还可以使小车定位在特定位置。
关键词:倒立摆，数学建模，极点配置THE POLE PLACEMENT CONTROL TO A SINGLEINVERTED PENDULUMAbstractInverted pendulum system is multivariable, nonlinear, strong-coupling and instability naturally. The research of inverted pendulum has many important realistic meaning in the research such as, the walking of biped robot, the lunching process of rocket and flying control of helicopter, and many correlative productions has applications in the field of technology of space flight and subject of robot.Through the pole placement method, the control of the inverted pendulum is realized. We get the mathematic model according to the second law of Newton and the foundation of the dynamics, analysis the force of the cart and pendulum, and adopt the concept of "the equivalent cart”. During writing the equitation of the system, the equitation has been processed by linear. At last，we get coefficient of the variability. The simulation of inverted pendulum system is done by the SIMULINK Tool box. Specially Mask function is applied, it makes simulation model more agility, the simulation work become more convenient. The result shows that it not only has quite goods ability, but also is able to make the cart of the pendulum moving to the place where it is appointed by us in advance along the orbit.Key words: inverted pendulum, mathematic model, pole placement目录摘要 (I)Abstract ............................................................ I I 1绪论 (1)1.1倒立摆系统简介 (1)1.2倒立摆的控制规律 (2)1.3对倒立摆系统研究的意义 (3)1.4倒立摆的发展状况 (4)1.5论文的主要工作 (5)2直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模 (7)2.1微分方程的推导 (7)3状态空间极点配置 (10)3.1状态反馈及输出反馈的两种基本形式 (10)3.1.1状态反馈 (10)3.1.2输出反馈 (11)3.2关于两种反馈的讨论 (12)3.3状态反馈的优越性 (14)3.4极点配置的提出 (14)3.4.1期望极点的选择 (14)3.4.2极点配置需要注意的问题 (15)3.5理论分析 (15)3.6极点配置的方法问题 (16)3.7根据极点配置法确定反馈系数 (18)4一级倒立摆系统模块仿真 (21)结论 (23)致谢 (24)参考文献 (25)附录A (外文文献) (26)附录B (中文翻译) (33)1绪论1.1倒立摆系统简介倒立摆系统是一种很常见的又和人们的生活密切相关的系统，它深刻揭示了自然界一种基本规律，即自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。
(最新整理)MATLAB配置倒立摆系统极点
MATLAB配置倒立摆系统极点编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（MATLAB配置倒立摆系统极点）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为MATLAB配置倒立摆系统极点的全部内容。
现代控制理论MATLAB计算学院: 电气工程学院专业班级：电气工程及其自动化1403班学生姓名: 王宁学号： 140301308摘要：讨论了采用MATLAB语言编程实现控制系统的空间状态方程模型建立,及离散化，判断能控性，能观性，阶跃响应,实现控制系统极点任意配置。
并以倒立摆系统为实例计算。
关键词：空间状态方程;控制系统；极点配置目录一．绪论3（1)MATLAB及其控制系统工具箱简介3（2）状态反馈极点配置3(3）能控性和能观性3（4）MATLAB编程3二．MATLAB计算5（1）状态空间方程5（2）求解离散化x(t)6（3）阶跃响应6（4)判断能控性能观性7（5）极点配置7（6)结论9三．总结9一．绪论(1)MATLAB及其控制系统工具箱简介MATLAB是一套高性能的数值计算和可视化软件，具有工程计算，算法研究，符号运算,建模和仿真，原形开发，数据分析及可视化,科学和工程绘图，应用程序设计等功能，MATLAB包含了涉及多种学科的众多工具。
其中，控制系统工具箱主要处理以传递函数为主要特征的经典控制和以状态方程为特征的现代控制中的问题，为用户提供了用于处理和分析线性时不变（LTI）模型，它支持连续系统和离散系统,单输入单输出（SISO）系统和多输入多输出(MIMO)系统。
利用该工具箱中的函数不但可以实现系统模型的建立，转换，分析和处理，还可以进行控制系统的设计。
基于极点配置的单级倒立摆t-s模糊控制
基于极点配置的单级倒立摆t-s模糊控制
基于极点配置的单级倒立摆T-S模糊控制是一种控制方法，旨在实现单级倒立摆的控制。
T-S模糊控制又称为模糊控制器，是一种具有适应性的控制方法，可以应对非线性系统。
单级倒立摆是指一个质量集中在底部的刚性杆，这个杆可以绕着水平轴旋转，并在其顶端悬挂一个质量。
单级倒立摆是一种经典的非线性控制问题。
极点配置是一种控制系统设计方法，它是基于控制系统的极点位置来调整控制器参数，以达到预期的控制性能。
在基于极点配置的单级倒立摆T-S模糊控制中，控制器的设计包括两个部分。
第一部分是基于极点配置的控制器设计，这个部分主要是确定控制器的极点位置，以实现所需的控制性能。
第二部分是基于T-S模糊控制的控制器设计，这个部分主要是设计模糊规则和隶属函数，以实现在不同状态下的控制。
总体来说，基于极点配置的单级倒立摆T-S模糊控制是一种创新性的控制方法，它可以应对非线性系统的控制问题，并具有良好的控制性能。
直线型一级倒立摆系统的控制器设计
直线型一级倒立摆系统的控制器设计引言1. 设计目的（1）熟悉直线型一级倒立摆系统（2）掌握极点配置算法（3）掌握MATLAB/simulink动态仿真技术2. 设计要求基于极点配置算法完成对于直线型一级倒立摆系统的控制器设计3. 系统说明倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。
同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。
4. 设计任务（1）建立直线型一级倒立摆系统的状态空间表达式。
（2）对该系统的稳定性、能观性、能控性进行分析。
（3）应用极点配置法对该直线型一级倒立摆系统进行控制器设计。
（4）使用MATLAB/simulink软件验证设计结果目录设计目的........................................................................................... 2-4设计要求：. (4)系统说明：....................................................................................... 4-5设计任务........................................................................................... 5-8运行结果......................................................................................... 8-11收获与体会.. (10)参考文献 (12)1. 设计目的（1）熟悉直线型一级倒立摆系统倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
两轮移动倒立摆的开关切换模糊极点配置控制器设计
与 线 性 处 理 后 的数 学 模 型 接 ｊ
从 而 保 证 状 态 极 点配 置对 两 轮 移
夸
动式倒立摆有效的控 制。用开关
切 换 模 糊 极 点配 置 控 制 器对 已经 建 立 数 学 模 型 进 行 仿 真 ，包 括 两 轮 移 动 式 倒 立 摆 的 平 衡 控 制 仿
于 能 量 的分 析 方 法 ；三 是基 于拉 格 朗 日方程 的 分析 方 法 钔 ，。以 下研 究 是 基 于 前 人建 立 的两 轮 移 动 式 倒
立 摆 的数 学 模 型 【 两轮 移 动 式 倒 立 摆 的模 型 如 图 ｌ 示 ，经 过 计算 和 化 简 ，在 平 衡 点 附 近对 两 轮 移 ， 。 所
糊控制和极点配置着手研究 的一种开关切换模糊极点配置控制器 。状态反馈极 点配置设计简单且对精
确 的数 学 模 型 具有 很好 的控 制 作 用 ，但 是在 处理 非 线 性 、 时变 对 象 、未 知 对象 模 型等 较 复 杂 系 统 时难
以获 得 较 好 的控 制 效 果 ，而 模 糊 控 制 可 以有 效便 捷 的实 现 人 的控 制 策 略 和 经验 ， 并且 可 以不 需 要 被控 对 象 的数 学 模 型 即 可 实 现较 好 的控 制 。两 轮 移动 式 倒 立 摆 是 本 身就 是 强耦 合 、 非 线性 、 多变 量 的 自然
移 动式 倒立摆 起到 一定 的抗干 扰和 理想 的控制作 用 。
关键词 ：两轮 移动 式倒立 摆 ；开关切 换 ；模 糊极 点配置 ；Ｓｍｕｉｋ ｉ ｌ ；仿 真 ｎ 中图分 类号 ：Ｔ ２ 文献 标识 码 ：Ａ Ｐ７
１
引 言
两 轮 移动 式 倒 立 摆 （ 也称 为 两轮 小 车 倒 立 摆 ） 由控 制 器 、 四组 传 感器 、摆 杆 、底 盘 、一 对 力 矩 电
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1
2
3
4
因此
a1* = 24,
a
* 2
= 196,
a3* = 720,
a
* 4
= 1600
现采用式（5.13）来确定状态反馈增益矩阵 K，即
K
= [ a4∗ − a4 M
a3∗ − a3 M
a
∗ 2
−
a2
M
a1∗
−
a1
]
P −1
式中 P 即
P = QW
这里 Q 和 W 分别为
⎡0 −1 0 −20.601⎤ Q = [ B M AB M A2B M A3B ] = ⎢⎢− 1 0 − 20.601 0⎥⎥
⎥ ⎥
⎢− 9.81 0 0.5 0 ⎥
⎢⎣0 − 9.81 0 0.5⎥⎦
因此
⎢⎡− ⎢
0.5 9.81
P −1
=
⎢ ⎢
0
⎢ ⎢
−1
0
⎢⎣ 0
故状态反馈增益矩阵 K 为
0
− 0.5 9.81 0
−1
−1 9.81 0
0
⎤ ⎥
−
1
⎥ ⎥
9.81⎥
0
⎥ ⎥
00
⎥⎦
K
=
[
a* 4
−
a 4
M
a* 3
−
a 3
么，其数学模型为
(M + m)&x& + mlθ = u
(2)
ml 2θ&& + ml&x& = mglθ
(3)
式（2）和(3)定义了如图 2 所示的倒立摆系统的数学模型（只要 θ 不大，线性化
方程就是有效的）。
式（2）和（3）可改写为
Mlθ&& = (M + m)gθ − u (4)
M&x& = u − mgθ
(M + m)&x& = u − H
由(1.a),(1.b)和(1.c)可得
Iθ&& = mglθ − lm(&x&+ lθ )
整理得
(I + ml2)θ&&+ ml&x& = mglθ
这样，我们就得到了倒立摆的运动方程。
我们在来研究图 2 的倒立摆系统。由于该系统的质量集中在杆的顶端，所以重心
就是摆球的中心。在分析中，假设摆围绕其重心的转动惯量为零，即 I = 0。那
(s − μ )(s − μ )(s − μ )(s − μ ) = (s + 2 − j2 3)(s + 2 + j2 3)(s +10)(s +10)
1
2
3
4
= (s2 + 4s +16)(s2 + 20s +100)
= s4 + 24s3 + 196s2 + 720s + 1600
= s4 + a*s3 + a*s2 + a*s + a* = 0
2 秒）和合适的阻尼（在标准的二阶系统中等价于 ξ= 0.5），所以我们选择期望的
s = μ 闭环极点为
i (i =1,2,3,4），其中
μ1 = −2 + j2 3, μ2 = −2 − j2 3, μ3 = −10, μ4 = −10
在这种情况下，μ1，和 μ2 是一对具有 ξ= 0.5 和 ωn = 4 的主导闭环极点。剩 余的两个极点 μ3 和 μ4 位于远离主导闭环极点对的左边。因此，μ3 和 μ4 响应的影 响很小。所以，可满足快速性和阻尼的要求。期望的特征方程为
显然，该倒立摆系统在负实轴上有一个极点（s = -4.539），另一个极点在正 实轴上（s = 4.539），因此，该系统是开环不稳定的。
定义状态变量为
x1 = θ x2 = θ&
x3 = x x4 = x&
注意，θ 表示摆杆围绕点 P 的旋转角，x 表示小车的位置，将 θ 和 x 作为系统的
输出，即
(M + m)&x& + mlθ&& = u (l + ml 2 )θ&& + ml&x& = mglθ
式中，I 是摆杆围绕其重心的转动惯量。 推导过程：考虑上图（b）的隔体受力图，摆干绕其中心的转动运动可以用下式 描述
Iθ&& =Vl sinθ − Hl cosθ
摆干的水平运动可以写为
摆干的垂直运动为
%*****This program determines the state-feedback gain %matrix K = [k1,k2 k3 k4] by use of Ackermann’s %formula*****
%*****Enter matrices A,B,C,and D*****
利用极点配置法设计调节器型系统
考虑如图 1 所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考 虑倒立摆在图面内运动的二维问题。
图 1 倒立摆系统 希望在有干扰（如作用于质量 m 上的阵风施加于小车的这类外力）时，保持 摆垂直。当以合适的控制力施加于小车时，可将该倾斜的摆返回到垂直位置，且 在每一控制过程结束时，小车都将返回到参考位置 x = 0。 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，用合理的 阻尼（如对主导闭环极点有 ζ=0.5），可快速地（如调整时间约为 2 秒）使摆返回 至垂直位置，并使小车返回至参考位置（x = 0）。假设 M、m 和 l 的值为
⎡x1 ⎤
⎡ ⎢⎣
y1 y2
⎤ ⎥⎦
=
⎡1 ⎢⎣0
0 0
0 1
0⎤ 0⎥⎦
⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎣
x2 x3 x4
⎥
⎥ ⎥ ⎥ ⎦
(7)
式（6）和（7）给出了该倒立摆系统的状态空间表达式（注意，该系统的状态空
间表达式不是唯一的，存在无穷多个这样的表达式）。
代入给定的 M、m 和 l 的值，可得
M + m g = 20.601, m g = 0.4905, 1 = 1, 1 = 0.5
⎢⎣0 0.5 0 0.4905 ⎥⎦
⎡a3 a2 a1 1 ⎤ ⎡ 0
W = ⎢⎢a2 a1 1 0⎥⎥ = ⎢⎢− 20.604
⎢⎢⎣1a1
1 0
0 0
0⎥ 0⎥⎦
⎢ ⎢⎣
0 1
− 20.601 0 1⎤
01 0
⎥ ⎥
100 ⎥
0 0 0 ⎥⎦
变换矩阵 P 成为
⎡0 0 −1 0
⎤
P = QW = ⎢⎢0 0 0 −1
Q=[B A*B A^2*B A^3*B]; rank(Q)
ans=
4
%*****Since the rank of Q is 4, the system is completely %state controllable. Hence,arbitrary pole placement is %possible***** %*****Enter the desired characteristic polynomial,which $can be obtained defining the following matrix J and %entering statement poly(J)*****
J=[-2+2*sqrt(3)*i 0 0 0
JJ=poly(J)
0
0
-2-2*sprt(3)*i 0
0
-10
0
0
0; 0; 0; -10
JJ=
1.0e+003*
0.0010 0.0240 0.1960 0.7200 1.6000
%*****Enter characteristic polynomial Phi*****
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
x&1 ⎤ x&2⎥⎥ x&3⎥ x&4⎥⎦
=
⎢ ⎢
M
+
⎢ ml
⎢0
⎢
⎢⎢⎣−
m M
m g
g
(6)
1 0 0⎤
⎡ 0⎤
0 0
0 0
⎥⎡x1 ⎤ 0⎥⎥ ⎢⎢ x 2⎥⎥ 1 ⎥ ⎢ x3⎥
+
⎢ ⎢− ⎢ ⎢
1 Ml 0
⎥ ⎥ ⎥⎥u
0
0
0⎥⎥⎥⎦ ⎢⎣ x 4⎥⎦
⎢⎥ ⎢ 1⎥ ⎢⎣ M ⎥⎦
Phi=polyvalm(poly(J),A);
%*****State feedback gain matrix K can be determined
%from*****
K=[0 0 0 1]*(inv(Q))*Phi
K=
-298.1504
-60.6972
-163.09889 -73.3945
这里，我们采用极点配置的状态反馈控制方法来设计控制器。如前所述，对 任意极点配置的充要条件为系统状态完全能控。
设计的第一步是推导倒立摆系统的数学模型。 1 数学建模 我们首先推导了如下图 2.a 所示的倒立摆系统的数学模型。
图 2 （a）倒立摆系统 (b)隔体受力图 结论：当角度 θ 不大时，描述系统动态特性的方程可以写为
m
d2 dt 2
(x
+
l
sinθ
)
=
H
小车的水平运动为
m
d dt 2
(l
cosθ