平面向量与三角形“四心”问题

专题4.7：平面向量与三角形四心问题的研究与拓展

【探究拓展】

探究1：已知O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：

（1）)(ACACABABOAOP[0,)，点P形成的图形一定通过△ABC的 心.

（填外心、内心、重心、垂心）

（2）sinsinABACOPOAABBACC，[0,)点P形成的图形一定通过△ABC的_________心.

（3）)coscos(CACACBABABOAOP，[0,)点P形成的图形一定通过△ABC的_________心.

探究2：已知ABC的重心为O，且332,5ACBCAB，，则______BCAO.

316

变式1：已知ABC的外心为O，且332,5ACBCAB，，则______BCAO

-8

变式2：已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为3．

（1）若AB22，求△ABC的另外两条边长；

（2）设O为△ABC的外心，当21BC时，求AOBCuuuruuur的值．

【解】（1）2bCA．22222cos428414BCabcbcAbc．

（2）由21BC得22421bc，即2216170bb，解得1b或4．设BC的中点为D，则AOADDOuuuruuuruuur，因为O为△ABC的外心，所以0DOBCuuuruuur，

于是22122bcAOBCADBCABACACABuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur．

所以当1b时，4c，221522bcAOBCuuuruuur；当4b时，1c，221522bcAOBCuuuruuur．

拓展1：若O点是ABC内的外心, H点是ABC的垂心,且()OHmOAOBOC,求实数m的值. 1

1 平面向量与三角形“四心”的应用问题

三角形的外心，内心，重心及垂心，在高考中的考查是比较棘手的问题，先课程教材中所加的内容，更加引起我们的重视，尤其与平面向量结合在一起，那就更加难于掌握了。本文拟对与三角形的“四心”相关的平面向量问题加以归纳，供学习时参考．

1 课本原题

例１、已知向量123,,OPOPOP满足条件1230OPOPOP，123||||||1OPOPOP，求证：123PPP△是正三角形．

分析 对于本题中的条件123||||||1OPOPOP，容易想到，点O是123PPP△的外心，而另一个条件1230OPOPOP表明，点O是123PPP△的重心．

故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形．在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的．

显然，本题中的条件123||||||1OPOPOP可改为123||||||OPOPOP．

2 高考原题

例２、O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

()[0,).||||ABACOPOAABAC则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）．

A．外心

B．内心

C．重心 D．垂心

分析 已知等式即()||||ABACAPABAC，设,||||ABACAEAFABAC，显然,AEAF都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故AP为ABC的平分线，选B．

例３、ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，()OHmOAOBOC，则实数m = ．

分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观．解法如下，由已知，有向量等式0AHBC，将其中的向量分解，

2 向已知等式形式靠拢，有()()0OHOAOCOB，将已知代入，有[()]()0mOAOBOCOAOCOB，即22()(1)0mOCOBmOABC，由O是外心，得(1)0mOABC，由于ABC是任意三角形，则OABC不恒为０，故只有1m恒成立．

微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题

【题型归纳目录】

题型一：重心定理

题型二：内心定理

题型三：外心定理

题型四：垂心定理

【知识点梳理】

一、四心的概念介绍：

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．

(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．

(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．

(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．

二、三角形四心与推论：

(1)O是△ABC的重心：S△BOC:S△COA:S△A0B=1:1:1⇔OA

+OB

+OC

=0

．

(2)O是△ABC的内心：S△B0C:S△COA:S△AOB=a:b:c⇔aOA

+bOB

+cOC

=0

．

(3)O是△ABC的外心：

S△B0C:S△COA:S△AOB=sin2A:sin2B:sin2C⇔sin2AOA

+sin2BOB

+sin2COC

=0

．

(4)O是△ABC的垂心：

S△B0C:S△COA:S△AOB=tanA:tanB:tanC⇔tanAOA

+tanBOB

+tanCOC

=0

．

【方法技巧与总结】

(1)内心：三角形的内心在向量

AB

AB



+AC

AC

所在的直线上.

AB

⋅PC

+BC

⋅PC

+CA

⋅PB

=0

⇔P为△ABC的内心.

(2)外心：PA

=PB

=PC

⇔P为△ABC的外心.

(3)垂心：PA

⋅PB

=PB

⋅PC

=PC

⋅PA

⇔P为△ABC的垂心.

(4)重心：PA

+PB

+PC

=0

⇔P为△ABC的重心.

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公

【典型例题】

题型一：重心定理

例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满

1平面向量痛点问题之三角形“四心”问题

【题型归纳目录】

题型一：重心定理

题型二：内心定理

题型三：外心定理

题型四：垂心定理

【知识点梳理】

一、四心的概念介绍：

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．

(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．

(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．

(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．

二、三角形四心与推论：

(1)O是△ABC的重心：S△BOC:S△COA:S△A0B=1:1:1⇔OA

+OB

+OC

=0

．

(2)O是△ABC的内心：S△B0C:S△COA:S△AOB=a:b:c⇔aOA

+bOB

+cOC

=0

．

(3)O是△ABC的外心：

S△B0C:S△COA:S△AOB=sin2A:sin2B:sin2C⇔sin2AOA

+sin2BOB

+sin2COC

=0

．

(4)O是△ABC的垂心：

S△B0C:S△COA:S△AOB=tanA:tanB:tanC⇔tanAOA

+tanBOB

+tanCOC

=0

．

【方法技巧与总结】

(1)内心：三角形的内心在向量AB

AB

+AC

AC

所在的直线上.

AB

⋅PC

+BC

⋅PC

+CA

⋅PB

=0⇔P为△ABC的内心.

(2)外心：PA

=PB

=PC

⇔P为△ABC的外心.

(3)垂心：PA

⋅PB

=PB

⋅PC

=PC

⋅PA

⇔P为△ABC的垂心.

(4)重心：PA

+PB

+PC

=0⇔P为△ABC的重心.

【典型例题】

题型一：重心定理

1(2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作

直线分别与AB，AC两边交于M，N两点(点N与点C不重合)，设AM