平面向量中的三角形四心问题

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平面向量中的三角形四心问题

4 结论2：

的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABCGGCGBGAPCPGPBPGPAPGPCPBPAPGABCGPCPBPAPGABC00)()()()(31)(31P

二、垂心(orthocenter)

三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：

的垂心是所在平面内一点，则为若ABCHHAHCHCHBHBHAABCH

为三角形垂心故同理，有证明：HABHCCBHAACHBACHBHCHAHBHCHBHBHA,00)(

结论4：

可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H22222222222222HAHCHCHBHBHAHAHCHCHBHAHCHBHCHBHACAHBBCHAABCHABHCACHBBCHAABC

三、外心(circumcenter)

三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5：

命题成立证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则是若ABCOOCOBOAABCO

结论6：

6 的外心是（所在平面内一点，则是若ABCOACOAOCCBOCOBBAOBOAABCO)()()

的外心为故故证明：ABCOOCOBOAOAOCOCOBOBOAOAOCACOAOCOCOBCBOCOBOBOAOBOAOBOABAOBOA222222222222)()())(()(

四、内心(incenter)

三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。

结论7：

的内心是所在平面内一点，则为若ABCPCBCBCACAOCBCBCBABAOBACACABABOAOPABCP)0(321

的内心为故的平分线上在同理可得，平分线上在即边夹角平分线上在由平行四边形法则知，为方向上的单位向量分别，证明：记ABCPCBPAPACABeeeeAPACACABABOAOPeeACAB,,)()(,21211121

结论8：

的内心是所在平面内一点，则是若ABCPPCcPBbPAaABCP0

8 的内心是故是平分线同理可得其他的两条也的平分线是由角平分线定理，即不共线，则与由于证明：不妨设ABCPACBCDabDBDADBbDAacbaDBDAPCDBbDAaPCcbaPCcDBPDbDAPDaPCcPBPAaPCPD0,0,0)()(0)()(0b

数学(理)专家讲坛平面向量中的三角形“四心”问题

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平面向量中的三角形“四心”问题

在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在

近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考

生分析问题、解决问题的能力．现就“四心”作如下介绍：

1．“四心”的概念与性质

(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离

之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是△ABC

的重心时，有GA＋GB＋GC＝0或PG＝13(PA＋PB＋PC)(其中P为平面内任意一

点)．反之，若GA＋GB＋GC＝0，则点G是△ABC的重心．在向量的坐标表示中，若G，

A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，

y3)，则有x＝x1＋x2＋x33，y＝y1＋y2＋y33.

(2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．在向量表达形

式中，若H是△ABC的垂心，则HA·HB＝HB·HC＝HC·HA或HA2＋BC2＝HB2

＋CA2＝HC2＋AB2.反之，若HA·HB＝HB·HC＝HC·HA，则H是△ABC的垂心．

(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到

三角形三边的距离相等．在向量表达形式中，若点I是△ABC的内心，则有|BC|·IA＋

|CA|·IB＋|AB|·IC＝0.反之，若|BC|·IA＋|CA|·IB＋|AB|·IC＝0，则点I是△ABC的

内心．

(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到

三角形的三个顶点的距离相等．在向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则(OA＋OB)·BA＝(OB＋OC)·CB＝(OC＋OA)·AC＝0或|OA|＝|OB|＝|OC|.反之，若|OA|

＝|OB|＝|OC|，则点O是△ABC的外心．

专题4.7：平面向量与三角形四心问题的研究与拓展

【探究拓展】

探究1：已知O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：

（1）)(ACACABABOAOP[0,)，点P形成的图形一定通过△ABC的心.

（填外心、内心、重心、垂心）

（2）sinsinABACOPOAABBACC，[0,)点P形成的图形一定通过△ABC的_________心.

（3）)coscos(CACACBABABOAOP，[0,)点P形成的图形一定通过△ABC的_________心.

探究2：已知ABC的重心为O，且332,5ACBCAB，，则______BCAO.

316

变式1：已知ABC的外心为O，且332,5ACBCAB，，则______BCAO

-8

变式2：已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为3．

（1）若AB22，求△ABC的另外两条边长；

（2）设O为△ABC的外心，当21BC时，求AOBCuuuruuur的值．

【解】（1）2bCA．22222cos428414BCabcbcAbc．

（2）由21BC得22421bc，即2216170bb，解得1b或4．设BC的中点为D，则AOADDOuuuruuuruuur，因为O为△ABC的外心，所以0DOBCuuuruuur，

于是22122bcAOBCADBCABACACABuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur．

所以当1b时，4c，221522bcAOBCuuuruuur；当4b时，1c，221522bcAOBCuuuruuur．

拓展1：若O点是ABC内的外心, H点是ABC的垂心,且()OHmOAOBOC,求实数m的值. 1

三角形“四心”在平面向量中的应用

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三角形“四心”在平面向量中的应用

史平笔

一、有关三角形“四心”的概述

1.垂心：三角形三条高线的交点叫垂心.它与顶

点的连线垂直于对边.

2.内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心.

内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的

距离相等.

3.重心：三角形三条中线的交点叫重心.它到三

角形顶点的距离与该点到对边中点距离之比为 2∶1.

4.外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心.

外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个

顶点的距离相等.

二、三角形“四心”与平面向量的关系

设（，），则（GG GG ）向量必平1．AB + AC λ∈0 +∞λGG GG

分，该向量必通过AB AC

∠BAC △ABC 的内心. GG GG 设（，），则（）AB AC

2．λ∈0 +∞λABGG cosB+ ACGG cosC

向量必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC 的垂心.

GG GG GG 3．△ABC 中，AB +AC 一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心.

4．点O 是△ABC 的外心GG2 GG2 GG2 圳OA =OB =OC .

5．点O 是△ABC 的重心GG GG GG 軋

圳OA +OB +OC =0. GG GG GG GG GG GG 6．点O是△ABC的垂心圳OA·OB

=OB·OC =OC·OA .

GG GG GG 軋7．点O是△ABC的内心圳a·OA +b·OB +c·OC =0

（其中 a、b、c 为△ABC 三边）.

的外心、重心、垂心共线，即GG∥GG. ABC O G H OG OH 三、探究教材内容，链接

高考试题

【题源】人教版 A 版《数学》必修四 B 组 P125 页第

5 题：已知向量GG，GG，GG满足条件GG+GG+GG=

OP1 OP2 OP3OP1 OP2 OP3

0軋，GGOP1 = GGOP2 = GGOP3 =1，求证：△P1P2P3是正三角形．

思路分析对于本题中的条件GG