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空间中的垂直关系
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理解空间中三种垂直关系的定义；
掌握空间中三种垂直关系判定及性质；
用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．
一、直线与平面垂直
1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．
2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离
3.直线和平面垂直的判定
4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，
如图：
(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．
符号语言：a∥b，a⊥α⇒b⊥α，
如图： 2
5．直线与平面垂直的性质
(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，
如图：
(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，
如图：
6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．
(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．
面面垂直的判定、面面垂直的性质
1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：
2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．
3．几个常用的结论：
(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
4．判定面面垂直的方法：
(1)面面垂直的定义．
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
5．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．
转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
6.证明直线和平面垂直的常用方法有：
(1)利用判定定理．
(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．
(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．
(4)利用面面垂直的性质．
当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题
①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.
其中正确的命题是( )
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
解析：选D 对于①：若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ，前者不是后者的充分条件，比如当α∥γ时，也有α⊥β，β⊥γ.对于②：显然错误，当l⊥α，l∩α＝A时，l上到A距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确．
4.(2013·济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
线面、面面平行
1、已知m、n、l1、l2表示不同直线，α、β表示不同平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂βl2⊂β，l1∩l2＝M，则能得到结论α∥β的选项是( )
A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l1 D．m∥l1且n∥l2
2、a，b是两条直线，α，β是两个平面，则能使a⊥b成立的条件是( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β
3、若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
4、能使平面α∥平面β成立的条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a、b，a⊂α、b⊂β、a∥β、b∥α
D．存在两条异面直线a、b，a⊂α、b⊂β、a∥β、b∥α
5、已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的( )
A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β
C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β
6、设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β
7、设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是( )
A．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥β
B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β
8、已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
途径一：线线垂直转化为线面垂直
例1 如图1，该几何体的三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是矩形. 若AA1 = 2AC，AC ⊥AB，M为CC1的中点.
求证：A1M ⊥平面ABM.
分析：要证A1M ⊥平面ABM，只需证A1M垂直于平面ABM内两条相交直线.
证明：因为四边形AA1B1B是矩形，所以A1A ⊥AB.
又AC ⊥AB，A1A ∩ AC = A，所以AB ⊥平面AA1C1C.
因为A1M ⊂平面AA1C1C，所以AB ⊥A1M.
因为四边形CC1A1A是矩形，
所以AA1 = CC1，AC = A1C1，∠ACM = ∠A1C1M = 90°.
因为AA1 = 2AC，M为CC1的中点，所以AC = CM = C1M = A1C1.
所以△ACM，△A1C1M都是等腰直角三角形.
所以∠AMC = ∠A1MC1 = 45°，所以∠A1MA = 90°，所以A1M ⊥AM.
又AB ∩ AM = A，所以A1M ⊥平面ABM.
【点评】利用线线垂直证明线面垂直，要证明两次垂直来实现，往往一次垂直是通过平面几何性质来证明，一次垂直是利用线面垂直来实现。
途径二：线面垂直转化为面面垂直
例2 如图2，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB ⊥BD，平面ABC ⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD = 2CE，点F为AD的中点，连接EF.
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面AED ⊥平面ABD.
分析：（1）取AB的中点O，连接OF，OC，可证得EF∥OC，由线面平行的判定定理即可证出EF∥平面ABC；（2）先证出OC⊥平面ABD，再由（1）可证得EF⊥平面ABD，根据面面垂直的判定定理证出平面AED ⊥平面ABD.
证明：（1）取AB的中点O，连接OF，OC.
因为F为AD的中点，所以OF∥BD，且OF=½BD
