导学案：离散型随机变量的方差

2.32离散型随机变量的方差

学习目标

1、理解各种分布的方差 2、会应用均值（期望）和方差来解决实际问题

自主学习：课本

1.一般地,设一个离散型随机变量X所有可能取的值是nxxxx321,,这些值对应的概率是npppp,,,321则________________________________________________________叫做这个离散型随机变量X的方差;______________________________叫作离散型随机变量X的标准差

2. 离散型随机变量的方差刻画了这个离散型随机变量的_____________________________.

3. 离散型随机变量X分布列为二点分布时, ()___________DX.

4.离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布时，()___________DX.

5. 离散型随机变量X服从参数为,NM，n的超几何分布时, ()___________DX

自学检测

1.已知X～,Bnp，()8,()1.6EXDX，则,np的值分别是（ ）

A．100和0.08 B．20和0.4 C．10和0.2 D．10和0.8

2.设掷1颗骰子的点数为X,则( )

A. 2()3.5,()3.5EXDX B. 35()3.5,()12EXDX

C. ()3.5,()3.5EXDX D. 35()3.5,()16EXDX

3.一牧场的10头牛,因误食疯牛病病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率是0.02,若发病的牛数为X头,则()DX等于( )

A. 0.2 B. 0.196 C.0.8 D.0.812

4. 已知随机变量X的分布列为 X 1 3 5

§2.1.1离散型随机变量导学案（理5）

高二数学组 撰稿：于军 审稿：崔素良 2009-3-14

一、教学目标

1.复习古典概型、几何概型有关知识。

2. 理解离散型随机变量的概念，学会区分离散型与非离散型随机变量。

3. 理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.

重点：离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当地定义随机变量.

难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究.

二、复习引入：

1.试验中不能 的随机事件，其他事件可以用它们来 ，这样的事件称为 。所有基本事件构成的集合称为 ，常用大写希腊字母

表示。

2.一次试验中 的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）。

互斥事件的概率加法公式 。

3. 一次试验中 的两个事件叫做互为对立事件，

事件A的对立事件记作 ，对立事件的概率公式

4. 古典概型的两个特征：（１） .（２） .

5. 概率的古典定义：P（A）= 。

6.几何概型中的概率定义：P(A)= 。

三、预习自测：

1.在随机试验中，试验可能出现的结果 ，并且X是随着试验的结果的不同而 的，这样的变量X叫做一个 。常用 表示。

§2．3．2离散型随机变量的方差

教学目标：

知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差

教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教学过程：

一、复习引入：

1. 期望的一个性质: baEbaE)(

2.若ξB（n,p），则Eξ=np

二、讲解新课：

1. 方差:

对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x，2x，…，nx，…，且取这些值的概率分别是1p，2p，…，np，…，那么,

D＝121)(pEx＋222)(pEx＋…＋nnpEx2)(＋…

称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量ξ的期望．

2. 标准差:

D的算术平方根D叫做随机变量ξ的标准差，记作．

3.方差的性质：

（1）DabaD2)(；

（2）22)(EED；

（3）若ξ～B(n，p)，则Dnp(1-p)

三、讲解范例：

例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.

解：抛掷散子所得点数X 的分布列为

ξ 1

2

3

4

5

6

P 16 16

16

16 16 16

从而

1111111234563.5666666EX;

2222221111(13.5)(23.5)(33.5)(43.5)666611(53.5)(63.5)2.9266DX

1.71XDX.

数学·选修2-3[A]

2.3.2

离散型随机变量的方差

知识点 方差、标准差的定义及方差的性质

(1)设离散型随机变量X的分布列为

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

则称D(X)＝□01∑ni＝1 xi－EX2pi为随机变量X的方差，其算术平方根DX为随机变量X的□02标准差．

(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的□03平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的□04平均程度越小．

知识点 两点分布与二项分布的方差

X X服从两点分布 X～B(n，p)

D(X) □01p(1－p)(其中p为成功概率) □02np(1－p)

方差的性质：

D(aX＋b)＝a2D(X)，

D(C)＝0(C是常数)．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( )

(2)若a是常数，则D(a)＝0.( )

(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( )

答案 (1)× (2)√ (3)√

2．做一做

(1)若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为________． 数学·选修2-3[A]

(2)设随机变量ξ～B6，12，则D(ξ)＝________.

(3)如果X是离散型随机变量，Y＝3X＋2，那么D(Y)＝________D(X)．

答案 (1)0.5和0.25 (2)32 (3)9

解析 (1)因为X服从两点分布，

所以X的概率分布为

X 0 1

P 0.5

0.5

所以E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，

D(X)＝0.52×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25.

(2)因为随机变量ξ～B6，12，

所以D(ξ)＝6×12×1－12＝32.

(3)由于X是离散型随机变量，Y＝3X＋2呈线性关系，代入公式，则D(Y)＝32D(X)＝9D(X)．