第3章 平面任意力系(课)
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G 2
例题 水平梁AB受三角形分布载荷作用，载荷的最大
集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。 合力 F
位置
1 F qL 2
2 h l 3
q B
A
h
L
?
例题 C
机构的自重不计。圆轮上的
M2
销子 A 放在摇杆 BC 上的光滑 导槽内。M1=2 kN· m ， OA
A
r
O M1 B
系统平衡问题的求解
结 论 与 讨 论
刚 体 系 统
（1）判断静定 （2）选研究对象（整体、局部）
先整体后局部；先外力后内力 其上有已知力与未知力
?
（3）受力图（只画外力,不画内力)
取定研究对象后才能进行分布载荷的等效简化 中间铰上集中载荷，随铰附在其中任一物体上 拆开后区分作用与反作用力
三矩式
F
B
附加条件 A
x
X
0
A、B 连线不垂直于x 轴
附加条件
A B
m A (F ) 0 mB (F ) 0 mC ( F ) 0
C
A、B、C三点不
在同一条直线上
四、物体系统的平衡 静定和静不定问题 1. 独立平衡方程数
1) 分别取 n 个单体， 独立平衡方程数 3 n 个 2) 先取整体,再取 (n-1) 个单体,独立方程数
M O M O F
A
y
B
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
最后合成结果 MO
FR
FR
FR FR
O
C
x
合力FR到O点的距离
MO d 0.51 m FR
三、平面任意力系的平衡
1. 平衡条件(充要条件)
平 衡
FR= 0
F
q M
45
B A l
例题2
y M 解： 1.研究对象: 梁
q
FAx A
2.受力分析: q, M, F, FAx , FAy , MA F 3.应用理论: 平面任意力系平衡 B x 列平衡方程
45
MA
l
FAy
F 0, F F cos 45 0 F 0, F ql F sin 45 0
(
R
FX ) 2
X
2)平面力偶系合成 主矩 M o
大小： M o 转向： +
作用点: 简化中心 O
o
FR
F , cos( F , j )
R
F ( F )
Y
2
Y
FR
m (F )
mo ( F )
FR
o
主矢和主矩与简化中心位置的关系
?
O
作用点: 简化中心 O
Mo
第3章 平面任意力系
结 论 与 讨 论
平 衡 方 程
平面力系特殊情形的平衡方程
平面汇交力系
平面平行力系 平面力偶系
本 章 作 业
第一次 第二次 2-19 2-31 2-32 2-35
P63 2-10 2-12
2-18
动画
插入端约束受力的简化
一、力系向面内一点的简化 3. 应用实例：固定端（插入端）约束
平面固定端约束力: 主矢: 主矩:
FAY
MA FAX
FAX , FAY MA
三个未知量
插入端约束实例
动画
第3章 平面任意力系
插入端约束实例
动画
第3章 平面任意力系
插入端约束实例
动画
第3章 平面任意力系
（4）列方程
矩心(多未知力交点)；投影轴平行或垂直各 力；尽量一方程，解一未知力 独立方程数（独立条件）
结 论 与 讨 论
平 衡 方 程
平面一般力系平衡方程
Fx = 0, Fy = 0, MO= 0。
平面一般力系平衡方程的其他形式
Fx = 0 , MA = 0 , MB = 0 。 MA = 0， MB = 0 , MC = 0。
Q
3+3 (n-1) =3n 个
P FAX Q A
FCY F CX P FAX A
FAY C
C FBX
FAY 三铰拱
B FBY
FCX’ FCy’ FBX FBY
B
四、物体系统的平衡 静定和超静定问题
2. 静定和超静定问题
静定: 未知量数目= 独立平衡方程数 超静定: 未知量数目> 独立平衡方程数
一次超静定
解： 静定的 1.取整体，受力分析
M F 0, 5r G 2r FAx 0
C
解得
FAx 2.5G
2.取杆AB，受力分析
G FAy
F
FAx
x
0, FAx FBx FE 0
M A F 0,
?
2r FBx 2r FBy rFE 0
Ⅱ G
解平衡方程
G FK 2 5G FEx 8 FDB 3 2G 8
C
FK
FCy FEy
FCx
E
FEx
例题 0.6 m C 0.8 m
H A I
45
重物重为G = 980 N，
设滑轮的中心 B 与支架
ABC 相 连 接 ， AB 为 直
杆，BC为曲杆，B为销
钉。若不计滑轮与支架
B F D
解得 FBx 1.5G, FBy 2G
FE
FBy FBx
例题3
FAy
FAx FCx FCy
若求A、C处的约束力?
MC F 0 FAX M A F 0 FCx FY 0 FAY FCY G
2.取杆AB，受力分析
解： 1.取整体，受力分析
二次超静定
三次超静定 静定
一次超静定
系统平衡问题的求解
结 论 与 讨 论
刚 体 系 统
（1）判断静定否 （2）选研究对象（整体、局部）
先整体后局部；先外力后内力 其上有已知力与未知力
（3）受力图（只画外力,不画内力)
取定研究对象后才能进行分布载荷的等效简化
中间铰上集中载荷，随铰附在其中任一物体上
插入端约束实例
动画
二、力系简化的最后结果
简化的三种最后结果
B
1. FR = 0 2. FR= 0 3. FR 0 4. FR 0
Mo =0 Mo =0 Mo 0
平衡 合力 合力 F’ R
A
Mo FR
Mo 0 合力偶
A
B
(还可以再简化) 逆定理
FR FR
Mo d FR
F’R
Mo = 0
必要和充分条件:力系的主矢和力系对任一点 的主矩都等于零。
2. 平衡方程 (基本形式) FX = 0 FR=0
Mo = 0
FY = 0 mo(F) = 0
三个方程 可解三个 未知量
例题2
悬臂梁如图，A为固定端，设梁上作用均布载
荷q，在自由端B作用集中力F和力偶M，梁的跨
度为l，求固定端的约束力。
静力学篇
第 3 章 平面任意力系
第三章
平面任意力系
一、力系向面内一点的简化
二、力系简化的最后结果 三、力系的平衡条件
四、物体系统的平衡
一、力系向面内一点的简化
动画
力线平移定理
一、力系向面内一点的简化
1. 力线的平移定理
A F B
=
A d F
B
F”
=
B m F’
F’
作用在A点的力F
逆定理
?
作用在B点的力F + 附加力偶m =mB(F)
2. 力系向一点的简化
动画
第3章 平面任意力系
平面力系向任一点的简化
任意力系简化的结果 任 意力 系
汇交力系
合 力 FR=Fi
力 偶 系
合 力 偶 MO= MO ( Fi )
2. 力系向一点的简化 (一个力和一个力偶) 1) 平面汇交力系合成 主矢 FR 大小： FR
F 方向： cos( F , i )
B
B
2。取摇杆BC，受力分析
例题( P53 )
M
q C B
L q
60
30
A
L L
D
F
L
FCy FCx C
?
B
60
30
F
D
FB
例题
MA FAx
FAy
A
M
q
C B
30
F
60
D
l
l
l
FB
l
解： 1. 取整体，受力分析
列平衡方程
M
A
F 0,
M A M 2ql 2l FB sin 60 3l F cos 30 4l 0
G FAy
FAx FE
FBy FBx
M B F 0 FAY
求FB二方二未
?
例题4
D A
K C
E
DC=CE=AC=CB=2l ；
已知重力G，定滑轮
B
Ⅰ
半径为R，动滑轮半
径 为 r ， 且 R=2r=l,
Ⅱ
θ=45° 。试求： A ，
E 支座的约束力及 BD 杆所受的力。
静定
?
的自重，求销钉 B 作用
例题 水平梁AB受三角形分布载荷作用，载荷的最大
集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。 合力 F
位置
1 F qL 2
2 h l 3
q B
A
h
L
?
例题 C
机构的自重不计。圆轮上的
M2
销子 A 放在摇杆 BC 上的光滑 导槽内。M1=2 kN· m ， OA
A
r
O M1 B
系统平衡问题的求解
结 论 与 讨 论
刚 体 系 统
（1）判断静定 （2）选研究对象（整体、局部）
先整体后局部；先外力后内力 其上有已知力与未知力
?
（3）受力图（只画外力,不画内力)
取定研究对象后才能进行分布载荷的等效简化 中间铰上集中载荷，随铰附在其中任一物体上 拆开后区分作用与反作用力
三矩式
F
B
附加条件 A
x
X
0
A、B 连线不垂直于x 轴
附加条件
A B
m A (F ) 0 mB (F ) 0 mC ( F ) 0
C
A、B、C三点不
在同一条直线上
四、物体系统的平衡 静定和静不定问题 1. 独立平衡方程数
1) 分别取 n 个单体， 独立平衡方程数 3 n 个 2) 先取整体,再取 (n-1) 个单体,独立方程数
M O M O F
A
y
B
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
最后合成结果 MO
FR
FR
FR FR
O
C
x
合力FR到O点的距离
MO d 0.51 m FR
三、平面任意力系的平衡
1. 平衡条件(充要条件)
平 衡
FR= 0
F
q M
45
B A l
例题2
y M 解： 1.研究对象: 梁
q
FAx A
2.受力分析: q, M, F, FAx , FAy , MA F 3.应用理论: 平面任意力系平衡 B x 列平衡方程
45
MA
l
FAy
F 0, F F cos 45 0 F 0, F ql F sin 45 0
(
R
FX ) 2
X
2)平面力偶系合成 主矩 M o
大小： M o 转向： +
作用点: 简化中心 O
o
FR
F , cos( F , j )
R
F ( F )
Y
2
Y
FR
m (F )
mo ( F )
FR
o
主矢和主矩与简化中心位置的关系
?
O
作用点: 简化中心 O
Mo
第3章 平面任意力系
结 论 与 讨 论
平 衡 方 程
平面力系特殊情形的平衡方程
平面汇交力系
平面平行力系 平面力偶系
本 章 作 业
第一次 第二次 2-19 2-31 2-32 2-35
P63 2-10 2-12
2-18
动画
插入端约束受力的简化
一、力系向面内一点的简化 3. 应用实例：固定端（插入端）约束
平面固定端约束力: 主矢: 主矩:
FAY
MA FAX
FAX , FAY MA
三个未知量
插入端约束实例
动画
第3章 平面任意力系
插入端约束实例
动画
第3章 平面任意力系
插入端约束实例
动画
第3章 平面任意力系
（4）列方程
矩心(多未知力交点)；投影轴平行或垂直各 力；尽量一方程，解一未知力 独立方程数（独立条件）
结 论 与 讨 论
平 衡 方 程
平面一般力系平衡方程
Fx = 0, Fy = 0, MO= 0。
平面一般力系平衡方程的其他形式
Fx = 0 , MA = 0 , MB = 0 。 MA = 0， MB = 0 , MC = 0。
Q
3+3 (n-1) =3n 个
P FAX Q A
FCY F CX P FAX A
FAY C
C FBX
FAY 三铰拱
B FBY
FCX’ FCy’ FBX FBY
B
四、物体系统的平衡 静定和超静定问题
2. 静定和超静定问题
静定: 未知量数目= 独立平衡方程数 超静定: 未知量数目> 独立平衡方程数
一次超静定
解： 静定的 1.取整体，受力分析
M F 0, 5r G 2r FAx 0
C
解得
FAx 2.5G
2.取杆AB，受力分析
G FAy
F
FAx
x
0, FAx FBx FE 0
M A F 0,
?
2r FBx 2r FBy rFE 0
Ⅱ G
解平衡方程
G FK 2 5G FEx 8 FDB 3 2G 8
C
FK
FCy FEy
FCx
E
FEx
例题 0.6 m C 0.8 m
H A I
45
重物重为G = 980 N，
设滑轮的中心 B 与支架
ABC 相 连 接 ， AB 为 直
杆，BC为曲杆，B为销
钉。若不计滑轮与支架
B F D
解得 FBx 1.5G, FBy 2G
FE
FBy FBx
例题3
FAy
FAx FCx FCy
若求A、C处的约束力?
MC F 0 FAX M A F 0 FCx FY 0 FAY FCY G
2.取杆AB，受力分析
解： 1.取整体，受力分析
二次超静定
三次超静定 静定
一次超静定
系统平衡问题的求解
结 论 与 讨 论
刚 体 系 统
（1）判断静定否 （2）选研究对象（整体、局部）
先整体后局部；先外力后内力 其上有已知力与未知力
（3）受力图（只画外力,不画内力)
取定研究对象后才能进行分布载荷的等效简化
中间铰上集中载荷，随铰附在其中任一物体上
插入端约束实例
动画
二、力系简化的最后结果
简化的三种最后结果
B
1. FR = 0 2. FR= 0 3. FR 0 4. FR 0
Mo =0 Mo =0 Mo 0
平衡 合力 合力 F’ R
A
Mo FR
Mo 0 合力偶
A
B
(还可以再简化) 逆定理
FR FR
Mo d FR
F’R
Mo = 0
必要和充分条件:力系的主矢和力系对任一点 的主矩都等于零。
2. 平衡方程 (基本形式) FX = 0 FR=0
Mo = 0
FY = 0 mo(F) = 0
三个方程 可解三个 未知量
例题2
悬臂梁如图，A为固定端，设梁上作用均布载
荷q，在自由端B作用集中力F和力偶M，梁的跨
度为l，求固定端的约束力。
静力学篇
第 3 章 平面任意力系
第三章
平面任意力系
一、力系向面内一点的简化
二、力系简化的最后结果 三、力系的平衡条件
四、物体系统的平衡
一、力系向面内一点的简化
动画
力线平移定理
一、力系向面内一点的简化
1. 力线的平移定理
A F B
=
A d F
B
F”
=
B m F’
F’
作用在A点的力F
逆定理
?
作用在B点的力F + 附加力偶m =mB(F)
2. 力系向一点的简化
动画
第3章 平面任意力系
平面力系向任一点的简化
任意力系简化的结果 任 意力 系
汇交力系
合 力 FR=Fi
力 偶 系
合 力 偶 MO= MO ( Fi )
2. 力系向一点的简化 (一个力和一个力偶) 1) 平面汇交力系合成 主矢 FR 大小： FR
F 方向： cos( F , i )
B
B
2。取摇杆BC，受力分析
例题( P53 )
M
q C B
L q
60
30
A
L L
D
F
L
FCy FCx C
?
B
60
30
F
D
FB
例题
MA FAx
FAy
A
M
q
C B
30
F
60
D
l
l
l
FB
l
解： 1. 取整体，受力分析
列平衡方程
M
A
F 0,
M A M 2ql 2l FB sin 60 3l F cos 30 4l 0
G FAy
FAx FE
FBy FBx
M B F 0 FAY
求FB二方二未
?
例题4
D A
K C
E
DC=CE=AC=CB=2l ；
已知重力G，定滑轮
B
Ⅰ
半径为R，动滑轮半
径 为 r ， 且 R=2r=l,
Ⅱ
θ=45° 。试求： A ，
E 支座的约束力及 BD 杆所受的力。
静定
?
的自重，求销钉 B 作用
