实际问题与一元二次方程-九年级数学人教版(上)(原卷版+解析版)

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第二十一章一元二次方程

21.3 实际问题与一元二次方程

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，则下面所列方程正确的是

A．100（1+2x%）2=120 B．100（1+x2）2=120

C．100（1−x%）2=120 D．100（1+x%）2=120

2．为执行“均衡教育”政策，某区2016年投入教育经费2500万元，预计到2018年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是

A．2500(1+2x)=12000 B．2500(1+x)2=12000

C．2500+2500(1+x)+2500(1+2x)=12000 D．2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000

3．已知菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为

A．16 B．12

C．16或12 D．24

4．祁中初三（6）班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为

A． =930 B．=930

C．x（x+1）=930 D．x（x−1）=930

5．为改善办学条件，某县加大了专项资金投入，2016年投入房屋改造专项资金3000万元，预计2018年投入房屋改造专项资金5000万元．设投入房屋改造专项资金的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是

A．3000（1+x）2=5000 B．3000x2=5000

C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000

6．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m2，设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是

A．x(x−20)=300 B．x(x+20)=300

C．60(x+20)=300 D．60(x−20)=300

二、填空题：请将答案填在题中横线上．

7．某工厂两年内产值翻了一番，求该工厂产值年平均增长的百分率.若设该工厂产值年平均增长的百分率为x，则可列方程为________．

8．如图，某小区有一块长为36 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中间修建两块形状相同的矩形绿地，它们的面积之和为600 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m．

9．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是________元（结果用含m的代数式表示）．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

10．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少．．．．库存．．，商场决定采取适当的降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设衬衫的单价降了x元：

（1）该商场降价后每件盈利___________元，每天可售出________件；

（2）如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？

11．用如图所示矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形(阴影部分)．并制成一个长方体纸盒.

（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积和纸盒的底面积；

（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．

12．果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．

（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；

（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：

方案一：打九折销售；

方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．

第二十一章一元二次方程

21.3 实际问题与一元二次方程

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，则下面所列方程正确的是

A．100（1+2x%）2=120 B．100（1+x2）2=120

C．100（1−x%）2=120 D．100（1+x%）2=120

【答案】D

【名师点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．根据题意得出等量关系是解决这个问题的关键．

A．2500(1+2x)=12000 B．2500(1+x)2=12000

C．2500+2500(1+x)+2500(1+2x)=12000 D．2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000

【答案】D

【解析】由题意可得：2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000.

【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题，确定问题的等量关系是解题关键.

3．已知菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为

A．16 B．12

C．16或12 D．24

【答案】A

【解析】（x−3）（x−4）=0，

x−3=0或x−4=0，

所以x1=3，x2=4，

∵菱形ABCD的一条对角线长为6，

∴边AB的长是4，

∴菱形ABCD的周长为16．

故选A．

A． =930 B．=930

C．x（x+1）=930 D．x（x−1）=930

【答案】D

【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,其中x(x−1)不能和握手问题那样除以2,另外这类问题转化为一元二次方程求解时应注意考虑解的合理性,即考虑解的取舍.

A．3000（1+x）2=5000 B．3000x2=5000

C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000

【答案】A

【解析】设教育经费的年平均增长率为x，则2017的房屋改造专项资金为：3000×（1+x）万元，2018的房屋改造专项资金为：3000×（1+x）2万元，那么可得方程：3000×（1+x）2=5000．故选A．

【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．

A．x(x−20)=300 B．x(x+20)=300

C．60(x+20)=300 D．60(x−20)=300

【答案】A

【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．

二、填空题：请将答案填在题中横线上．

7．某工厂两年内产值翻了一番，求该工厂产值年平均增长的百分率.若设该工厂产值年平均增长的百分率为x，则可列方程为________．

【答案】（x＋1）2＝2

【解析】设工厂产值年平均增长的百分率为x，原产值为a，由题意得：

整理得：故答案为：

【答案】2

【解析】设人行道的宽度为x米，

根据题意得，（36−3x）（24−2x）=600，

化简整理得，（12−x）2=100．

解得x1=2，x2=22（不合题意，舍去）．

答：人行通道的宽度是2 m．

故答案为：2. 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为600 m2得出等式

是解题关键．

9．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是________元（结果用含m的代数式表示）．

【答案】100（1−m）2

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（1）该商场降价后每件盈利___________元，每天可售出________件；

（2）如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？

【答案】（1）（40−x），（20+2x）；(2)20

【解析】（1）∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，

∴每件衬衫降价x元，商场平均每天可多售出2x件，

∵原来每件的利润为40元，现在降价x元，

∴现在每件的利润为(40−x)元，每天可以售出件.

故答案为：(40−x)，.

（2）由题意，得(40−x)(20+2x)=1200，

解得：x1=10 ，x2=20 ,

为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20.

答：如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了20元.

11．用如图所示矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形(阴影部分)．并制成一个长方体纸盒.

实际问题与一元一次方程精品练习题(1)

1 一元一次方程应用题归类汇集

一元一次方程应用题归类汇集：行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题数字问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。

（一）行程问题：

（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间S=vt

（2）基本类型有① 相遇问题；② 追及问题；

常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。

例：1、已知A、B相距60千米，甲位于A处，骑自行车，他的速度是每小时15千米，乙位于B处，开汽车，他的速度是每小时45千米。

（1）若他们同时相向而行，则经几小时他们相遇？

（2）若他们相向而行，小明先骑车0.5小时，问几小时他们相遇？

（3）若他们同时同向而行，则经几小时乙追上甲？

（4）若他们同向而行，甲先骑车1小时以后，问乙经几小时追上甲？

（5）若他们同向而行，甲先骑车1小时以后，发现他的一个重要文件在乙那里，因此掉头去拿，同时乙也开车给甲送去，问甲经几小时和乙碰到？

（二）行船问题

流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。流水问题有如下两个基本公式：顺水速度=船速+水速（V顺=V静+V水）逆水速度=船速-水速（V顺=V静-V水）

例：一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？

2 （三）工程问题：

工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间

经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

例一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

实际问题与一元二次方程(含答案)

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实际问题与一元二次方程

列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．主要学习下列两个内容：

1. 列一元二次方程解决实际问题。一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键. 主要设置了【典例引路】中的例1、例2、例4.【当堂检测】中的第1、2题，【课时作业】中的第1，2，11题.

2. 一元二次方程根与系数的关系。一般地，如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是1x和2x，那么acxxabxx=•,=+2121-．主要设置了【典例引路】中的例3.【当堂检测】中的第4题，【课时作业】中的第6、7题.

点击一：列方程解决实际问题的一般步骤

应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案.一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：

(1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系.

(2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接).

(3)列：是指列方程，根据等量关系列出方程.

(4)解：就是解所列方程，求出未知量的值.

人教版九年级数学上册实际问题与一元二次方程练习题

实际问题与一元二次方程练题

1.某种药品原价为35元/盒，经过连续两次降价为25元/盒，设平均每次降价的百分率为x，正确的方程是（）

A。$\frac{36(1-x)}{100}=36-25$

B。$\frac{36(1-2x)}{100}=25$

C。$\frac{36(1-x)}{100}=25$

D。$\frac{36}{1-x^2}=25$

2.某市去年的常住人口为120万人，预计明年会达到145.2万人，如果平均年增长率为x，则x满足的方程是（）

A。$120(1+x)=145.2$

B。$120(1+2x)=145.2$

C。$120(1-x\%)=145.2$

D。$120(1+2x\%)=145.2$

3.某班同学毕业时每人都将自己的照片向其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，若全班有x名同学，则可列方程为（）

A。$x(x+1)=1056$

B。$x(x-1)=1056\times2$

C。$x(x-1)=1056$

D。$2x(x+1)=1056$

4.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值达175亿元，若二、三月份工业产值不断上升，问二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，则方程为（）

A。$50(1+x)=175$

B。$50+50(1+x)=175/2$

C。$50(1+x)+50(1+x)=175$

D。$50+50(1+x)+50(1+x)=175/2$

5.XXX家的饭桌桌面是一个长方形，其长为150㎝，宽为80㎝，现要在桌面上铺一块桌布，已知桌布的面积是桌面面积的2倍，全桌面四周垂下的边均为x㎝，则方程为（）

A。$(150+2x)(80+2x)=150\times80\times2$

B。$(150+x)(80+x)=150\times80\times2$