第七章二元一次方程组知识点整理及配套练习
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——仅供参考 第五章 二元一次方程组 知识点整理
一、本章知识点梳理：
知识点1：二元一次方程（组）的定义
知识点2：二元一次方程组的解定义
知识点3：二元一次方程组的解法
知识点4：一次函数与二元一次方程（组）
知识点5：实际问题与二元一次方程组
二、各知识点分类讲解
知识点1：二元一次方程（组）的定义
1、二元一次方程的概念
含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程
注意：1、(1)方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数.
(2)含有未知数的项的次数都是1.
(3)二元一次方程的左右两边都必须是等式. （三个条件完全满足的就是二元一次方程）
2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。 即若axm+byn=c是二元一次方程，则a≠0，b≠0且m=1,n=1
例1：已知（a－2）x－by|a|－1＝5是关于x、y 的二元一次方程，则a＝______，b＝_____．
例2：下列方程为二元一次方程的有_________
①yx52，②14x，③2xy，④3yx，⑤22yx，⑥22yxxy，⑦71yx
⑧yx23，⑨1cba
【巩固练习】
下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．3x-y2=0 B．2x+1y=1 C．3x-52y=6 D．4xy=3
2、二元一次方程组的概念
由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组
注意：①方程组中有且只有两个未知数。②方程组中含有未知数的项的次数为1。③方程组中每个方程均为整式方程。
例：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
【巩固练习】
——仅供参考 1、 已知下列方程组：（1）32xyy，（2）324xyyz，（3）1310xyxy，（4）30xyxy，
其中属于二元一次方程组的个数为（ ）
A．1 B. 2 C． 3 D． 4
2、 若753313mnmyx是关于x、y二元一次方程，则m=_________，n=_________。
知识点2：二元一次方程组的解定义
一般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。
类型题1 根据定义判断
例：方程组422yxyx的解是（ ）
A．21yx B．13yx C．20yx D．02yx
【巩固练习】
1、 当1mx，1my满足方程032myx，则m_________.
2、下面几个数组中，哪个是方程7x+2y=19的一个解（ ）。
A、 31xy B、 31xy C、 31xy D、 31xy
类型题2 已知方程组的解，而求待定系数。
此类题型只需将解代入到方程中，求出相应系数的值，从而求代数式的值
例1：已知12yx－是方程组274123nyxymx的解，则m2－n2的值为_________．
例2： 若满足方程组6)12(423ykkxyx的x、y的值相等，则k＝_______．
【巩固练习】
1、若方程组10)1(232ykkxyx的解互为相反数，则k 的值为 。
2、若方程组52243ybaxyx与5243yxbyxa有相同的解，则a= ，b= 。
——仅供参考 类型3 列方程组求待定字母系数是常用的解题方法．
例： 若20yx，311yx都是关于x、y的方程ax＋by＝6的解，则a＋b的值为
例： 关于x，y 的二元一次方程ax＋b＝y 的两个解是11yx，12yx，则这个二元一次方程是
【巩固练习】
如果21yx是方程组10cybxbyax的解，那么，下列各式中成立的是 （ ）
A、a＋4c＝2 B、4a＋c＝2 C、a＋4c＋2＝0 D、4a＋c＋2＝0
知识点3：二元一次方程组的解法
方法一：代入消元法
【典型例题】
例
27838100xyxy
我们通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法。
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.
（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.
【巩固练习】
1、 方程x4y15用含y的代数式表示，x是（ ）
A．x4y15 B．x154y C．x4y15 D．x4y15
2、把方程7x2y15写成用含x的代数式表示y的形式，得（ ）
A．x=215152715157...7722xxyxxBxCyDy
——仅供参考 3、用代入法解方程组252138xyxy较为简便的方法是（ ）
A．先把①变形 B．先把②变形
C．可先把①变形，也可先把②变形 D．把①、②同时变形
方法二：加减消元法
例：对于方程组:
分析：这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？•利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
解：②－①得，2xyxy4022 即x18,
把x18代入①得y4。 所以 4yx=18
定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程这种方法叫做加减消元法 ，简称加减法。
例1、方程组231534mnmn中，n的系数的特点是 ，所以我们只要将两式 ，•就可以消去未知数，化成一个一元一次方程，达到消元的目的．
例2、用加减法解341236xyxy时，将方程①两边乘以 ，•把方程②两边乘以 ，可以比较简便地消去未知数 ．
【方法掌握要诀】
用加减法解二元一次方程组时，两个方程中同一个未知数的系数必须相同或互为相反数，•即它们的绝对值相等．当未知数的系数的符号相同时，用两式相减；当未知数的系数的符号相反时，用两式相加。
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；•
②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程；
④将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
【巩固练习】
——仅供参考 1、 用加减法解方程组326231xyxy时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，以下四种变形正确的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（4）（1）
2、 对于方程组2353433xyxy而言，你能设法让两个方程中x的系数相等吗？你的方法是 ；若让两个方程中y的系数互为相反数，你的方法是 ．
3、 用加减消元法解方程组23537xyxy正确的方法是（ ）
A．2x5①②得 B．3x12①②得
C．3x75①②得 D．x3y7x2先将②变为③，再①③得
以下教科书中没有的几种解法 （可以作为培优学生的拓展）
(一)加减-代入混合使用的方法.
例1, 13x+14y=41 (1)
14x+13y=40 (2)
解:(2)-(1)得 x-y=-1 x=y-1 (3)
把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41
13y-13+14y=41
27y=54
y=2
把y=2代入(3)得 x=1
所以:x=1,
y=2
特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.
(二)换元法
例2， (x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为 m+n=8
m-n=4
解得m=6,
n=2
所以x+5=6,
y-4=2
所以x=1,
y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
——仅供参考 （三）另类换元
例3， x:y=1:4
5x+6y=29
令x=t, y=4t
方程2可写为：5t+6*4t=29
29t=29
t=1 所以x=1,y=4
知识点4：一次函数与二元一次方程（组）
从数的角度看
从形的角度看：
例1．已知二元一次方程 x＋y＝3 与 3x－y＝5 有一组公共解12yx,那么一次函数 y＝3－x 与
y＝3x－5 的图象的交点坐标为( )
A．(1,2) B．(2,1) C．(－1,2) D．(－2,1)
例2、二元一次方程2x＋y＝4有_______个解，以它的解为坐标的点都在函数______的图象上．
【巩固练习】
1、已知点（3，－2）是两直线y1＝－2x＋a与y2＝x＋b的交点，则a＝______ ，b＝______.
2、已知关于x，y的二元一次方程3ax＋2by＝0和5ax－3by＝19化成的两个一次函数的图象的交点坐标为（1，－1），则a＝________，b＝________.
例3、如图，直线l1：y＝x＋1与l2：y＝mx＋n相交于点P（1，b）．
（1）求b的值．
（2）不解关于x，y的方程组直接写出它的解．
（3）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？说明理由．
练习：在直角坐标系中有两条直线：3955yx和362yx，它们的交点为P，第一条直线与x轴交于点A，第二条直线与x轴交于点B．
