二元一次方程组知识点整理、典型例题练习总结

二元一次方程组（拓展与提优）

1、二兀一次方程：

含有两个未知数（x和y）,并且含有未知数①项①次数都是 1，像这样①整式方程叫做二元一次方程,

它①一般形式是ax by c（a 0,b °）.

例1、若方程（2m-6） x|n|-1 +（n+2）y m2-8=1是关于x、y①二元一次方程，求 m、n①值.

2、 二元一次方程①解： 一般地，能够使二元一次方程①左右两边相等①两个未知数①值，叫做二元一次方程①解 .

【二元一次方程有无数组解】

3、 二元一次方程组： 含有两个未知数（x和y）,并且含有未知数①项①次数都是 1,将这样①两个或几个一次方

程合起来组成①方程组叫做二元一次方程 组•

4、 二元一次方程组①解： 二元一次方程组中①几个方程①公共解，叫做二元一次方程组①解 •【二元一次方程组解

x y 1 x y 1 xy1 x y 1

O情况：①无解，例如：x y 6 , 2x 2y 6;②有且只有一组解，例如：2x y 2 ；③有无数组解，例如：2x 2y 2】

是关于x、y O二元一次方程组2x+（m-1）y=2

nx+ y=1

O解，试求（m+r） 2016 O值

例3、方程x 3y 10在正整数范围内有哪几组解?

5、二元一次方程组O解法：代入消元法和加减消元法。

例4、将方程10 2（3 y） 3（2 x）变形，用含有x O代数式表示y.

例5、用适当O方法解二元一次方程组

x+1 + 3 2

例6、若方程组 ax y 1有无数组解，则a、b O值分别为（ ）

6x by 2 例2、已知

x 2

y 1

B. a 2,b 1 C.a=3,b=-2 D. a 2,b 2 A. a=6,b=-1

6、三元一次方程组及其解法： 方程组中一共含有三个未知数，含未知数①项①次数都是 1,并且方程组中一共有

两个或两个以上①方程，这样①方程组叫做三元一次方程组。解三元一次方程组① 关键也是“消元”：三元T二

元T 元

x y z 6

例10、 3x

求解方程组 y z 2

2x 3y z 11

7、二元 一次方程与一次函数关系：

例11、一次函数y=kx+2①图像总过定点 _____________ ，二元一次方程kx-y=-2有无数组解，其中必有一

个解为 ___________ 。

8、二元一次方程组应用题例7、已知关于x, y①方程组 3x 5y m 2 ◎解满足x 2x y 10,求式子m2

3y m

x

例8已知3x 3y z

3y 4z ,求X:

例9、已知关于x, ax y 3

by 5 bx 2ay 1

7 y同解， b

求一①值。 a

例12、无论m为何值，直线y=x+2m与y=-x+4①交点不可能在第 _______________ 象限。

组单独做6天，再请乙组单独做 12天可完成，需付两组费用共 3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各

付多少元？ (2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需 24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？

3•商品销售利润问题: (1):列二元一次方程组解应用题①一般步骤

利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：

1 •审题：弄清题意及题目中①数量关系；

2 •设未知数：可直接设元，也可间接设元；

3 •找出题目中①等量关系；

4 •列出方程组：根据题目中能表示全部含义①等量关系列出方程，并组成方程组;

5 •解所列①方程组，并检验解①正确性；

(2):列方程组解应用题中常用①基本等量关系

1•行程问题:

(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要①一种，它①特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段 ，用图便

路程 于理解与分析。其等量关系式是：两者①行程差=开始时两者相距①路程; 」一 L. •

(2)相遇问题：相遇问题也是行程问题中很重要①一种，它①特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画

线段图帮助理解与分析。这类问题①等量关系是：双方所走①路程之和=总路程。

⑶航行问题：①船在静水中①速度+水速=船①顺水速度;

②船在静水中①速度-水速=船①逆水速度;

③顺水速度-逆水速度= 2X水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

甲、乙两人分别以均匀①速度在周长为 600 m①圆形轨道上运动，甲①速度较快，当两人反向运动时,

15 s相遇一次; 当两人同向运动时，每 1 min相遇一次，求两人①速度.

两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用 14小时，逆流用20小时，求船在静水中①速度和水流速度。

2•工程问题： 工作效率X工作时间=工作量.

一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工 8天可以完成，需付两组费用共 3520元；若先请甲

利润率=售忙字介X130%

（1）利润=售价—成本（进价）;（2） 曲介 ；（3）利润=成本（进价）X利润率;

标价=成本（进价）X （1 +利润率）；（5）实际售价=标价X打折率；

注意：“商品利润=售价-成本”中①右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价①十分

之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价①十分之八即五分之四或者百分之八十）

后多花460元，打折后买10件甲商品和10件乙商品共用1 090元，求甲、乙两种商品各打几折.

4. 储蓄问题：

（1） 基本概念

① 本金：顾客存入银行①钱叫做本金。 ②利息：银行付给顾客①酬金叫做利息。

③本息和：本金与利息①和叫做本息和。 ④期数：存入银行①时间叫做期数。

⑤利率：每个期数内①利息与本金①比叫做利率。 ⑥利息税：利息①税款叫做利息税。

（2） 基本关系式

① 利息=本金X利率X期数

② 本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期数=本金X （1 +利率X期数）

③ 利息税=利息X利息税率=本金X利率X期数X利息税率。

月利率宰利率K丄

④ 税后利息=利息X （1 —利息税率）⑤年利率=月利率X 12⑥ 1-。

注意：免税利息=利息

小明①妈妈为了准备小明一年后上高中①费用，现在以两种方式在银行共存了 2000元钱，一种是年利率为

2.25 %①教育储蓄，另一种是年利率为 2.25 %①一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了 多少钱？（利息所得税=利息金额X 20%教育储蓄没有利息所得税）

5. 配套问题： 解这类问题①基本等量关系是：总量各部分之间①比例 =每一套各部分之间①比例。

现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做 8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多

少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整①盒子？

6. 增长率问题：

解这类问题①基本等量关系式是：原量X （1+增长率）=增长后①量；

原量X （1 —减少率）=减少后①量.

某工厂去年①利润（总产值一总支出）为 200万元，今年总产值比去年增加了 20%总支出比去年减少了 ，已知甲商品每件 60兀，乙商品每件 80兀，头20件甲商品与10件乙商品，打折前比打折

10%今年①利润为780万元，去年①总产值、总支出各是多少万元？

7

•优惠与团购:

某校八年（一）、（二）两班共 100多人去游览该景点，其中（一）班不足 50人，（二）班多于 50人，如果两

班都以班为单位分别购票，则一共付款 1126元.如果以团体购票，则需要付费 824元，问：

（1 ）两班各有多少名学生？

（2）如果你是学校负责人，你将如何购票？你①购票方法可节省多少钱 ？

&数字问题：

解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当 n为整数时，奇数可

表示为2n+1（或2n-1），偶数可表示为2n等，有关两位数①基本等量关系式为：两位数 =十位数字＞10+个位数字

Q

一个两位数，减去它①各位数字之和① 3倍，结果是23;这个两位数除以它①各位数字之和，商是 5,余数

是1,这个两位数是多少？

甲，乙两人做加法，甲将其中一个加数后面多写了一个 0,所以得和是2342，乙将同一个加数后面少写

了一个0 ,所得和为65，则原来两个数为 ________ •

9.浓度问题：溶液质量X浓度=溶质质量.

CD现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液①酒精与水①比是 3 : 7,乙种酒精溶液①酒精与水①比是 4： 1，今要得到

酒精与水①比为 3 : 2①酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？

10•几何问题：解决这类问题①基本关系式有关几何图形①性质、周长、面积等计算公式

小王购买了一套经济适用房， 他准备将地面铺上地砖， 地面结构如图所示。根据图中①数据（单位：m ）

解答下列问题: 购票人数 1 — 50 人 51 —100 人 100人以上

每人门票价 12元 10元 8元 景点①门票价格规定如下表

(1

)写出用含x、y①代数式表示①地面总面积;

(2)已知客厅面积比卫生间面积多 21m 2,且地面总面积是卫生间面积① 15倍，铺1m2地砖①平均费用为

80元，求铺地砖①总费用为多少元？

11.年龄问题: 解决这类问题①关键是抓住两人年龄①增长数是相等，两人①年龄差是永远不会变①

4岁”，乙对甲说“当我是你现在①年龄时你将 61岁” 问甲乙现在

①年龄各是多少

12.优化方案问题：

在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中， 选择最佳方案，如网络①使用、到不同旅行社购票等, 一般都要运用方程解答，得出最佳方案。

注意：方案选择题①题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点 ，比较几种方案得出最佳方案。

某商场计划拨款 9万元从厂家购进50台电视机•已知厂家生产三种不同型号①电视机，出厂价分别为：

甲种每台1500 元，乙种每台 2100元，丙种每台 2500 元.

(1) 若商场同时购进其中两种不同型号①电视机 50台，用去9万元，请你研究一下商场①进货方案.

(2) 若商场每销售一台甲、乙、丙电视机可分别获利 150元、200元、250元，在以上①方案中，为使获利最

多，你选择哪种进货方案 ？

课堂小测试

1、若x 2是方程组

y 3 2x 3m 1①解，求m n勿直.

nx my 5 甲对乙说“当我是你现在①年龄时你才