平面直角坐标系

平面直角坐标系

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

 理解平面直角坐标系产生的背景，能正确画出平面直角坐标系.能在直角坐标系中,根据坐标找点,由点求出坐标，掌握点坐标的特征（包括四个象限内点坐标的特征，数轴上点坐标的特征，象限角平分线上点坐标的特征和对称点坐标的特征）.

 由数轴到平面直角坐标系,渗透了类比的数学思想方法. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应的关系,进而培养数形结合的数学思想．

 在掌握平面直角坐标系的基础知识基础上，可把该知识应用到地理位置识别以及图形平移,培养应用数学的意识,并激发学习数学的兴趣.

重点难点：

 重点：正确画出平面直角坐标系，掌握点坐标的特征．

 难点：掌握点坐标的特征，知道如何在平面直角坐标系内进行平移．

学习策略：

 通过类比数轴的相关知识，经历画坐标系、描点、连线等过程,发展数形结合的意识, 能根据点的位置关系探索坐标之间的关系，以及根据坐标之间的关系探索点的位置关系．

二、学习与应用

（一）数轴的定义：规定了 、 和 的直线叫做数轴。

（二）指出下图中A、B点所表示的数分别是 ， 。并在数轴上描出“-3 ”表示的点在数轴上的位置.

-4-3-2-11BA0324

（三）若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是 . “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

知识点一：有序数对

比如教室中座位的位置，常用“几排几列”来表示，而排数和列数的先后顺序影响座位的位置，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对叫做 ，记作： ．

要点诠释：

对“有序”要准确理解，即两个数的位置不能随意交换，（a，b）与（b，a）

不同，含义就不同，表示不同位置。

知识点二：平面直角坐标系以及坐标的概念

（一）平面直角坐标系

在平面内画两条互相 、原点重合的 就组成平面直角坐标系。水平的数轴称为 轴或 轴，习惯上取向右为 方向；竖直的数轴称为 轴或 轴，取向上方向为 方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的 （如图1）。

要点诠释：

我们在画直角坐标系时，要注意两坐标轴是互相_______的，且有公共_______，通常取向右与向上的方向分别为两坐标轴的___方向。

（二）点的坐标

过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a，垂足N在y轴上知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习，请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID：#tbjx5#236657。 的坐标是b，我们说点A的横坐标是 ，纵坐标是 ，那么有序数对 叫做点A的坐标.记作： .

注：（1）写点的坐标时，横坐标写在 ，纵坐标写在 。横、纵坐标的位置不能颠倒。

（2）由点的坐标的意义可知：点P（a，b）中，|a|表示点到 轴的距离；|b|表示点到 轴的距离。

知识点三：点坐标的特征

（一）四个象限内点坐标的特征：

建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成4个部分，按逆时针顺序分别叫做 、 、 、 ，如图2．这四个象限的点的坐标符号分别是 ．

（二）数轴上点坐标的特征：

x轴上的点的纵坐标为 ，可表示为（a,0）；

y轴上的点的 坐标为0，可表示为（0,b）．

注意：x轴，y轴上的点不在任何一个象限内，对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在 上。坐标轴上的点不属于任何一个象限，这一点要特别注意。

（三）象限的角平分线上点坐标的特征：

第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标 ，可表示为（a，a）；

第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为 ，可表示为（a，-a）．

要点诠释：

若点P（a，b）在第一、三象限的角平分线上，则 ； 若点P（a，b）在第二、四象限的角平分线上，则 。

（四）对称点坐标的特征：

P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为 ；

P（a，b）关于y轴对称的点的坐标为 ；

P（a，b）关于原点对称的点的坐标为 ．

（五）平行于坐标轴的直线上的点：

平行于x轴的直线上的点的 坐标相同；

平行于y轴的直线上的点的 坐标相同。

（六）各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律：

象限 横纵坐标符号（a，b） 图象

第一象限

第二象限 第三象限

第四象限

x轴上

y轴上

原点

知识点四：简单应用

（一）用坐标表示地理位置

根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，只有建立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起。利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况，也就是绘制平面图的过程是：

（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为 ，确定x轴，y轴的正方向；

（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出 ；

（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．

要点诠释：

在建立平面直角坐标系时，我们一般选择那些使点的位置比较容易确定的方法，例如借助于图形的某边所在直线为坐标轴等。在具体问题中要注意分析题目，灵活运用。而建立平面直角坐标系的方法是不唯一的。

（二）用坐标表示平移

（1）点的平移：

在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点 或 ；将点（x，y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点 或 。

由上可归纳为：

①在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右 左 ；

②在坐标系内，上下平移的点的坐标规律： 加 减；

③在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移 坐标不变,沿y轴平移 坐标不变．

（2）图形的平移：

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上或减去一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右或向左平移 个单位长度；如果把各个点的纵坐标都加上或减去一个正数a，相应的新图形就是把原图形 或 平移了 个单位长度。

注：平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决。注意平移只改变图形的_________，图形的大小和形状不发生变化.

类型一：概念的理解

例1．如图3，若A的位置是（6，3），则B的位置可表示为（ ）.

A．（7，4） B．（5，7） C．（8，4） D．（8，1）

思路点拨：本例根据有序数对的概念，由A的位置推导B的位置.

解析： 经典例题-自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。无星号题目要求同学们必须掌握，为基础题型，一个星号的题目综合性稍强。

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#236657 总结升华：

举一反三：

【变式1】如图4，若D（2，0），则A、B、C点可表示为 .

答案：

【变式2】如图5，圆的直径为4cm，如点C的位置在点O的东南方向，距O点2cm，那么点B的位置在点O的 .

答案：

【变式3】（2009年杭州市）有以下三个说法：①坐标的思想是法国数学家笛卡儿首先建立的；②除了平面直角坐标系外，我们也可以用方向和距离来确定物体的位置；③平面直角坐标系内的所有点都分别属于四个象限．其中错误的是（ ）

A．只有① B．只有② C．只有③ D．①②③

答案：

类型二：点的平移

例2．在平面直角坐标系中，把点P（-1，-2）向上平移4个单位长度所得点的坐标是 ．

思路点拨：把点P（-1，-2）向上平移即是沿y轴平行移动，由此可知，所得点的横坐标与点P（-1，-2）的横坐标_________，纵坐标_______即可．

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式1】在平面直角坐标系中，点A的位置为（－3，2），B的位置为（3，2），连接A、B两点的线段所在的直线与 平行．

答案：

【变式2】（2009年广西梧州）将点A（1，－3）向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到点B（a，b），则ab＝ ．

答案：

类型三：点坐标规律的应用

例3．若点P（a，b）在第四象限内，则a，b的取值范围是 （ ）.

A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0

C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0

思路点拨：本题考查象限的点坐标的规律．由于第四象限点坐标的规律是___________，所以_____________．

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式1】如果点A（x，y）在第三象限，则点B（-x，y-1）在 （ ）.

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

答案：

【变式2】点P（-2，1）关于横轴对称点的坐标是（ ）.

A．（-2，1） B．（-2，-1） C．（2，1） D．（2，-1）

答案：

【变式3】（2011江苏宿迁）在平面直角坐标中，点M(－2，3)在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

答案：

【变式4】（南充）在平面直角坐标系中，点A（2，5）与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ）