苏教版高中数学选修1-1椭圆2

椭圆

【考点透视】

一、考纲指要

1．熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．

2．考查椭圆的离心率，直线的方程，平面向量的坐标表示，方程思想等数学思想方法和综合解题能力.

二、命题落点

圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题，主要考查直线方程,平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题以及推理能力.

【典例精析】

例1：（2005·全国1）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OBOA与)1,3(a共线．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设M为椭圆上任意一点，且),( ROBOAOM，证明22为定值．

解析:（1）设椭圆方程为22221(0),(,0)xyabFcab,则直线AB的方程yxc代入22221xyab,化简得22222222()20abxacxacab．

令1122(,),(,)AxyBxy,则22222222212122,acacabxxxxabab． 由1212(,),(3,1),OAOBxxyyaOAOB与a共线,

得 12123()()0yyxx,又1122,yxcyxc，

12121233(2)()0,2cxxcxxxx．

即222232accab,所以223ab ，2263acab，

故离心率63cea．

（2）由（１）知223ab,所以椭圆22221xyab可化为22233xyb

设(,)OMxy,由已知得1122(,)(,)(,)xyxyxy，

(,)Mxy在椭圆上,2221212()3()3xxyyb，

即222222211221212(3)(3)2(3)3xyxyxxyyb ①

由（1）知222212331,,222xxcacbc，

又222222112233,33xybxyb代入①，得221．

故22为定值,定值为1 ．

例2：（2005·上海）如图，点A、B分别是椭圆2213620xy长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF．

（1）求点P的坐标； （2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

解析:（1）由已知可得点A（－6，0），F（4，0）

设点P的坐标是

},4{},,6{),,(yxFPyxAPyx则，

由已知得

.623,018920)4)(6(120362222xxxxyxxyx或则由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能Pyxy

（2）直线AP的方程是.063yx

设点M的坐标是（m，0），则M到直线AP的距离是2|6|m，

于是,2,66|,6|2|6|mmmm解得又椭圆上的点),(yx到点M的距离d，有,15)29(94952044)2(222222xxxxyxd

由于.15,29,66取得最小值时当dxx

例3：（2005·福建）已知方向向量为)3,1(v的直线l过点（32,0）和椭圆)0(1:2222babyaxC的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.

（1）求椭圆C的方程； xy

O E

x y

O E M

N

x y

O E M

N （2）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足463OMONcot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

解析:（1）直线:323lyx， ①

过原点垂直l的直线方程为xy33， ②

解①②得.23x

∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，

∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

.2,6,222bac 故椭圆C的方程为.12622yx ③

（2）设M（11,yx），N（22,yx）.

当直线m不垂直x轴时，直线)2(:xkym代入③，整理得

,13)1(62136124)1312(14)(1||22222222212212kkkkkkkxxxxkMN

点O到直线MN的距离21|2|kkd．

,cot634MONONOM即

4cos||||cos60,3sinMONOMONMONMON

即).13(6341||6422kkk 整理得.33,312kk

当直线m垂直x轴时，也满足632OMNS.

故直线m的方程为,33233xy

或,33233xy或.2x

经检验上述直线均满足0ONOM.所以所求直线方程为,33233xy

或,33233xy或.2x

【常见误区】

解析几何问题，基本上都与方程思想相结合，因而要注意直线方程与曲线方程联立起来，结合根与系数的关系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有关方法的练习、归纳，要注意运算的优化，要注意利用数形结合，挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点.

【基础演练】

1．若焦点在x轴上的椭圆1222myx的离心率为21，则m= （ ）

A．3 B．23 C．38 D．32

2．设bababa则,62,,22R的最小值是 （ ） A．22 B．335 C．－3 D．27

3． 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）

A．22 B．212 C．22 D．21

4．点)1,3(P在椭圆)0(12222babyax的左准线上，过点P且方向为)5,2(a的光线经直线2y反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为

（ ）

A．33 B．31 C．22 D．21

5．已知BA),0,21(是圆221:()4(2FxyF为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 .

6．如图所示, 底面直径为12cm的圆柱被与底面成30的平面所截，

其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长 ，

短轴长 ，离心率为 ．

7． 已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是

)0,(1cF、)0,(2cF，Q是椭圆外的动点，满足aQF2||1，

点Ｐ是线段QF1与该椭圆的交点，点Ｔ在线段QF2上，并且 Ｑ y

O 1F2FP 满足0||,022TFTFPT．

（1）设x为点Ｐ的横坐标，证明 xacaPF||1；

（2）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；

（3）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△21MFF的面积2bS．若存在，求∠21MFF的正切值；若不存在，请说明理由．

8．已知椭圆C：22ax＋22by＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设AM＝λAB.

（1）证明：λ＝1－e2；

（2）若43，△PF1F2的周长为6，写出椭圆C的方程；

（3）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.

9．设A、B是椭圆223yx上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

（1）确定的取值范围，并求直线AB的方程；

（2）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.