苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1优化训练 椭圆2

1．动点M到定点A12，0，B－12，0的距离之和是2，则动点M的轨迹是________．

解析：根据椭圆的定义判断，要注意定义中的“常数”是否大于AB.

答案：椭圆

2．到定点F(6,0)和定直线x＝－6的距离相等的点的轨迹是________．

解析：根据抛物线的定义判断，要注意定点不在定直线上．

答案：抛物线

3．已知A(－1,0)，B(1,0)，P为动点，且|PA|＋|PB|＝4，则点P的轨迹为________．

解析：∵|PA|＋|PB|＝4>|AB|＝2，

∴P的轨迹为椭圆．

答案：以A，B为焦点的椭圆

4．已知直线l：x＋2y－3＝0，点F(2,1)，P为平面上一动点，过P作PE⊥l于E，|PE|＝|PF|.则点P的轨迹为________．

解析：∵点F(2,1)不在直线l上，且|PE|＝|PF|，

∴点P的轨迹为抛物线．

答案：抛物线

一、填空题

1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则点P的轨迹是________．

解析：由于两点间的距离为10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应是一条射线．

答案：一条射线

2．若点P到点(1,1)的距离和到直线2x＋3y－5＝0的距离相等，则点P的轨迹是________．

解析：由于点(1,1)满足等式2x＋3y－5＝0，即点(1,1)在直线2x＋3y－5＝0上，故不满足抛物线的定义，而是过点(1,1)且垂直于直线2x＋3y－5＝0的直线．

答案：直线

3．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是________．

答案：线段

4．若一动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则该动点的轨迹是________．

解析：由题意可知，动点到点(3,0)的距离等于它到直线x＝－3的距离，由抛物线的定义知动点的轨迹是抛物线．

1.

2 x xy y2 3x 4y 4 0 x

2

2 2 4 2 花1

x y x

2 y 8x

x Q Q I

2 y x x 2 y x m

m

2 2

x

36 范1 (4,2)

x 4.2

__6

4

x 3 2 4

y 2<3 0 4

2

Ci C2

ON1

2

3

l

4

5

6

⑴

⑵

7

⑴

⑵ —I

OM

8

3 M N MN A(2 1) I

Ci C2 x Ci C2 O

C2 F C1 高中数学

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵若直线I: y= kx+ m与椭圆C相交于A, B两点（A, B不是左右顶点），且以AB为直 径的圆过椭圆C的右顶点•求证：直线I过定点，并求出该定点的坐标.

答案

1. 解析：当y= 0时，得X2— 3x — 4= 0，解得Xi = 4或X2=— 1•所以交点坐标为（4,0）和（一

1,0） •

答案：（4,0）, （— 1,0）

2. 解析：由数形结合可知两曲线有 4个交点.

答案：4

3. 解析：由y2= 8x,得准线方程为x=— 2则Q点坐标为（一2,0）.设直线y= k（x+ 2）.由

r

«y= k（x+ 2 , 得 k2x2 +（4k2— 8）x+ 4k2= 0•若直线 I 与 y2 = 8x 有公共点，则 △= （4k2— 8）2 — y2=

8x,

16k4 > 0•解得—K k< 1.

答案：[—1,1]

r

y = x+ m, 一 2 —

4. 解析：由f 2 消去y,得x2— 2x+ 2 — m= 0•若有两个不同的公共点，则

y = x2— x+ 2,

△= 4— 4(2 — m)>0 ,••• m>1.

答案：(1 ,+R )

5. 解析：设直线与椭圆的交点为 A(X1, %), B(X2, y2) .•••

P(4,2)为AB中点，• X1 + x?

=8, y1 + y2 = 4•又I, A, B 在椭圆上，•- xf+ 4y1= 36, x；+ 4y2 = 36•两式相减得(xj— x2) + 4(y1 —

高中数学 2．2椭__圆

2．2.1 椭圆的标准方程

[对应学生用书P20]

在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，－2)．

问题1：若动点P满足PA＋PB＝6，设P的坐标为(x，y)，则x，y满足的关系式是什么？

提示：由两点间距离公式得

x＋22＋y2＋x－22＋y2＝6，

化简得x29＋y25＝1.

问题2：若动点P满足PC＋PD＝6，设P的坐标为(x，y)，则x、y满足什么关系？

提示：由两点间距离公式得

x2＋y－22＋x2＋y＋22＝6，

化简得y29＋x25＝1.

椭圆的标准方程

焦点在x轴上 焦点在y轴上

标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0) y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)

焦点坐标 (±c,0) (0，±c)

a、b、c的关系 c2＝a2－b2

1．标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a，b，c三者之间a最大，b，c大小不确定，且满足a2＝b2＋c2.

2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x轴上时，含x项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a>b>0这个条件．

高中数学

[对应学生用书P20]

待定系数法求椭圆标准方程

[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)经过两点(2，－2)，－1，142；

(2)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同的焦点．

[思路点拨] (1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)，直接求A，B.(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(3，－5)代入，即可求出a，b，则标准方程易得．

[精解详析] (1)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为

课时跟踪训练(九) 椭圆的几何性质

1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．

2．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是________________________________________________________________________．

3．曲线x225＋y29＝1与曲线x225－k＋y29－k＝1(k<9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)

4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率是63，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________．

5．设F1，F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率是________．

6．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率e＝35，经过点A(5 32，－2)，求椭圆的标准方程．

7．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝32，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．

8．若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，点P是椭圆上的一点，P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方

程．

答 案

1．解析：法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝3m2m＋m＝33.

法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±b2a，所以|PF2|＝b2a.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝3|PF2|，故2c＝3·b2a，变形可得3(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得3(1－e2)＝2e，解得e＝33或e＝－3(舍去)．