(完整版)线性代数试题及答案
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1
线性代数习题和答案
第一部分 选择题 （共 28 分）
、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有
一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
C. 3 D. 4
6. 设两个向量组
α1，α2，⋯， αs和β 1，β2，⋯， βs 均线性相关，则（ ）
A. 有不全为 0 的数λ 1，λ2，⋯，λs使λ1α1+λ2α2+⋯+λsαs=0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ sβs=0
B. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ 1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+⋯+λs（ α s+ β s）=0
C. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ1（α 1- β1）+λ2（α2- β2）+⋯+λs（αs- βs）=0
D.有不全为 0的数λ 1，λ 2，⋯，λ s和不全为 0的数μ 1，μ 2，⋯，μ s使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ sα s=0
和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ sβs=0
7. 设矩阵 A 的秩为 r，则 A 中（ ）
A. 所有 r- 1阶子式都不为 0 B.所有 r- 1阶子式全为 0
C.至少有一个 r阶子式不等于 0 D.所有 r阶子式都不为 0
8. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， η1，η2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ） A. m+n
C. n- m a11 a12 a13 a11
=m，
a21 a22 a23 a21 a11 a12 a13 等于（
2.设矩阵 A= 0
0 ，则 A - 1 等于（
3
A. 0
1
3 C. 0
3.设矩阵 A= a21 a22 a23
B. - (m+n)
D. m- n
B.
D.
2
1 ，A*是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于
4 1，2）的元素是（
A. –6
C. 2
4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（ A. A =0 C. A 0 时 B=C
5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ A.
1 B. 6
D. –2
)
B. B
D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0
AT)等于( )
B. 2 1.设行列式 =n，则行列式 2
10. 设 A 是一个 n（≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）
A. 如存在数λ和向量 α使 Aα=λα，则α是 A 的属于特征值λ的特征向量
B. 如存在数λ和非零向量 α，使（λE- A）α=0，则λ是 A的特征值
C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量
D. 如λ 1，λ 2，λ 3是A的 3个互不相同的特征值， α1，α2，α3依次是 A的属于λ 1，λ2， λ3的特征向量，则 α 1，α 2， α 3有可能线性相关
11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k，则必
有（ ）
222 （a11A 21+a12A 22+a13A23） +（a21A21+a22A22+a23A 23） +（a31A21+a32A22+a33A23） = .
18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a）线性相关，则 a= .
19. 设A是 3×4矩阵，其秩为 3，若η1，η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为 .
20. 设 A 是 m×n 矩阵， A 的秩为 r（
C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解
9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（
A. 秩 （A）
C.A=0 11
B. η1+ η2是 Ax=b 的一个解
22
D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 )
B. 秩 (A)=n- 1
D. 方程组 Ax=0 只有零解
A. k ≤ 3
C. k=3
12. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（
A.| A| 2必为 1
C. A- 1=A T
13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，
A.A 与 B相似
B. A 与 B 不等价
C. A 与 B 有相同的特征值
D. A 与 B 合同
14. 下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）
23 A. 34
1 0 0
C. 0 2 3
0 3 5
第二部分 B. k<3
D. k>3
）
B.|A|必为 1
D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组 B=CTAC .则（ ）
34 B. 26
1 1 1
D. 1 2 0
102 非选择题（共 72 分） 2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每
1 1 1
15. 3 5 6
9 25 36
1 11 1 2 3
16.设 A= B= .则 A+2B=
1 11 1 2 4
17. 设 A =(aij)3 × 3 ， |A|=2 ， Aij 表示 |A|中 元 素 aij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则 3
数为 .
21. 设向量α、β的长度依次为 2和3，则向量 α+β与α-β的内积（ α+β，α- β）= 4
22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 -1和 4，则另一 特征值为 .
0 10 6 2
23.设矩阵 A= 1 3 3 ，已知 α = 1 是它的一个特征向量，则 α 所对应的特征值
2 10 8 2
为
24.设实二次型 f（x1,x2,x3,x4,x5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共
7 小题，每小题 6分，共 42分）
26.试计算行列式
4 2 3
27.设矩阵 A= 11 0， 求矩阵 B 使其满足矩阵方程 AB=A+2B.
12 3
2 1 3 0
28.给定向量组 α 1= 1， 3 α 2= 0
， α = ， α 1
0 2 2 =4.
3 4 1 9
试判断 α 4 是否为 α 1， α2，α3 的线性组合；若是， 则求出组合系数。 1 2 1 0 2
求：（1）秩（ A ）；
2） A 的列向量组的一个最大线性无关组。
22
3 4 的全部特征值为 1，1 和- 8.求正交矩阵 T 和对角矩阵 D，使 T- 1AT=D.
43
31. 试用配方法化下列二次型为标准形
2 2 2 f（x1,x2,x3）= x1 2x2 3x3 4x1x2 4x1x3 4x2x3 ，
并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10分）
32. 设方阵 A 满足 A 3=0 ，试证明 E- A 可逆，且（ E- A）- 1=E+A+A2.
33. 设η0 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解， ξ1，ξ2 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系 试证明
（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2 均是 Ax=b 的解； （2）η0，η1，η2 线性无关。
答案： 一、单项选择题（本大题共 14小题，每小题 2 分，共 28分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 2 0 2 3 1
2 3 1 .求（ 1）AB T；（2） |4A| 4 0 ， B=
240 2 1 1
25.设 A= 3
1
3 1 1 2
29.设矩阵 A= 4 2 6
102
0
30.设矩阵 A= 2
2 5
8.A 9.A 10.B
13.D 14.C
10 空，每空 2 分，共 20分）
17. 4
18. –10
19. η 1+c（η 2- η 1）（或 η 2+c（η 2- η 1）），c 为任意常数
20. n- r
21. –5
22. –2
23. 1
三、计算题（本大题共 7 小题， 每小题 6 分，共 42
分） 12 02 2
25.解（1）AB T= 3 4 0 3 4
12 1 1 0
86
= 18 10 .
3 10
2）|4A|=43|A|=64|A|，而
1 2 0
|A|= 3 4 0 2.
121
所以|4A|=64·（ - 2）=- 128
1
所以 B=（A- 2E）- 1A= 1 3 1 1 2 5 1 1 1
5 1 3 4
11 1 3 1
2 0 1 1
0 0 1 0
1 5 3 3 5 5 3 0
26.解
5 1 1
11 1 1
5 5 0 27.解 AB =A +2B 即（ A- 2E） B=A，而
2 2 1 31
（A- 2E）- 1= 1 1 01 5 1 1
620
5 5 0 30 10 40. 55
43
5 3 .
121 6.D 7.C
11.A 12.B
二、填空题（本大题共
15. 6
3 3 7 16. 1 3 7
62
