求旋转体体积的两种方法

一中国科技信息　。　第　。期ｃＨ　Ａ　ｃ．　≤ｊＴＥＣＩ－￣。　Ｙ茹ＭＡＴ　。Ｎ　ｓ印，茹　ＤＯＩ：１０　３９６９／＇ｊ．ｉｓｓｎ．１００１－８９７２．２０１０．１８．１２６　两种方法求环体积、表面积的“巧合’’探微　魏连勇罗明珍　云南师范大学数学学院６５００３１　摘＿要＿　誓　ｉ　：　１ｌ　Ｊ　＿　科学上的“，ｊ合”总是值得深思和深挖　的，大凡　合背后总会蕴藏一定的必然性，　切不可一带而过．从两种方法（其中一种看　似错误”计算出圆环的体积与表面积的　“巧合”八手，对这一现象给予直观的几何　解释，最后再对一般情形给以严格的数学　证明　关键谲＿　１　≯　ｉｉ　１ｉ　１　Ｊ　蠹　体积；表面积；巧合；扭转模型　舭ｔｒａｃｌ　誊　ｉ　萋　基　譬ｊ　Ｔｈｅ“ｃｏｉｎｃｉｄｅｎｃｅ”ｉｎ　ｓｃｉｅｎｃｅ　ｉｓ　ａｌｗａｙｓ　ｗｏｒｔｈ　ｏｆ　ｐｏｎｄｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　ｄｉｇｇｉ唱ｄｅｅｐ　ｂｅｈｉｎｄ　ｃｏｉｎｃｉｄｅｎｃｅｓ　ｔｈｅｒｅ　ａｒｅ　ｕｓｕａｌｌｙ　ｔｈｅ　ｎｅｃｅｓｓｉｔｙ，ａｎｄ　ｍｕｓｔ　ｎｏｔ　ｐａｓｓ　ｔｈｅｍ　ｅａｓｉｌｙ．Ｓｔａｒｔｓ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｃｏｉｎｃｉｄｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｍｅｔｈｏｄｓ（Ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ　ａ　ｓｅｅｍｉｎｇｌｙ　ｍｉｓｔａｋｅ！）　ｃｅＪｃｕｌａｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｖｏｌｕｍｅ　ａｎｄ　ｓｕｒｆａｃｅ　ａｒｅａ　ｏｆ　ｒｉｎｇ，　ｔｈｅｎ　ｇｉｖｅｓ　ａｎ　ｉｎｔｕｉｔｉｖｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｅｘｐｌａｒ￣ｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ．ａｎｄ　ｆｉ帆ｌｌｙ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｃａｓｅ　ｇｉｖｅｓ　ｔｈｅ　ｓｔｒｉｃｔ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｐｒｏｏｆ．　Ｋｅｙ、　ｌ，－ｄｓ　譬　＿　＿　Ｖｏｌｕｍｅ；Ｓｕｒｆａｃｅ　ａｒｅａ；Ｃｏｉｎｃｉｄｅｎｃｅ；Ｔｗｉｓｔｉｎｇ　ｍｏｄｅｌ　１　问题引出　１．１圆环体积公式　如下图ｉ所示，设圆的方程为　ｊ：＝Ｒ：《　＞霞），将圆绕ｙ轴旋转　得圆环，求圆环体积。　解：取ｙ为积分变量，积分区间１０，ＲＪ，整　理圆方程：　＝口土√＝　，　若设　＝“一√曰　一，‘　＝　一√Ｒ：一　１　，删知函数　ｘ　表示右上　圆弧，旋转得环的外上了１部　分，函数ｘ，表示左上　圆弧，旋转得环的内　上÷部分。而圆环的体积为这两个旋转　体体积之差的２倍。即　＝：（　。　一　国）［１．　！　＝２　ａ　国　了＋等ａｒｃ　：４　：｝一　。　々Ｒ：　４　＝’　一　＝、一疗　臀　利用“截断拉直”这一看似“想当然　而错误”的做法（因为拉小直）计算：　Ｖ叭＝唰心绕长×截面圆面积，即：　许　２ｘａ　Ｒ　＝２　‘，　与ｌ：式出现“巧合”。　１．２圆环表面积公式　如上题题设及图，求圆环表面积。　解：取　的积分区问＿为【０，Ｒ】，整理圆方　程：　＝“一√Ｒ　一１　，　＝　一√Ｒ　～ｊ　，其中：　１　ｘ　表示右上；圆弧，旋转得环的外上ｊ部　分，ｘ！表示左上　圆弧，旋转得环的内上　部分。圆环的表面积为这两个旋转体侧面　积之和的２倍。即　ｓ　－Ｘｔ：ｊ：　出’２，ＴＪ　一　一【　一　＿＿、　谚，　＿＿；　ｊ　ｍ　Ｊｔ一　一　一　：　斧　别　：４　ｆ　∞　√　ｓ　ａｒｃ㈣ｉ　４　‘＆Ｒ＝：　：　若用“截断拉直”的想法计算：Ｓ坏表＝　圆心绕长×截面圆周长，即：　ｓ　｛　册，　＝４　ａＲ，与上式“巧　合”。　２对“巧合”的解释　以上两个问题的结果，都与“想当然”　的计算出现“巧合”，这其间有无必然联　系？我们首先尝试作以下直观的几何解释，　在第３部分将给出严格的数学证明：　用通过ｙ轴的半平面（且以ｙ轴为边　界）将圆环截断，在（绕）成环方向上将环无限　细分，即用一系列以ｙ轴为边界、且相邻角　度差很小的半平面族来截环，每个截面都将　是圆．设相邻二截面间的薄环片厚度（薄片　外缘即最厚的地方）的最大值为△Ｈ，对应　环心张角为△０，无限细分的意思即△Ｈ　一０　，　亦即Ａ　０—０　，　因为　＾　＝２　＋Ｒ）ｓｍ。二　。让所有薄环片彼　此独立，给环片顺次编以自然数序列１，２，３，　４，…，ｎ，…的序号，然后使环片ｌ不动，环　片２扭转乃角后贴紧环片１；环片３不扭　转直接贴紧环片２，环片４扭转　角后贴紧　环片３；…，环片２ｋ　ｌ不扭转直接贴紧环片　２ｋ　２，环片２ｋ扭转万角后贴紧环片２ｋ～　１；……如此进行下去，可想，当工作做完　后，圆环将被扭成一个高度等于环心线长　即圆心绕长的圆拄，而扭转前后环的体积　和表面积（亦即圆柱的体积和侧面积）都应　该是不变的，因而扭前环的体积应等于扭　后圆柱的体积，扭前环的表面积应等于扭　后圆柱的侧面积。　如果把圆环想像成能够以环心线为轴　任意扭动但不会再有其他变形（比如伸缩、　胀缩等）的理想化模型，因而它不能拉直　但可以扭直，这个问题也许更易于理解些．　对于这种解释，不妨称之为“扭转模型（微　元割补法）”。当然，它只适用于扭转前后　重合的平面图形（即中心对称图形）作为母　线旋转生成的旋转体，因为内、外侧的微　元旋转对体积和表面积的贡献是不一样的，

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“求旋转体的体积”教学设计方案

作者：赵曾云

来源：《商情》2015年第51期

一、课程设置分析

课程的地位《微积分》是我校各院、系各专业的一门必修公共课，是学生提高文化素质和学习有关专业知识、专门技术及获取新知识能力的重要基础。主要讲授极限与连续，导数、微分及其应用，积分及其应用等一元函数微积分的内容，要注意引导学生在其他课程和实践中使用数学，使学生认识数学的实用价值和经济价值，逐步形成数学意识，提高学生分析和解决实际问题的能力。

本次课的地位本次课教学内容是用元素法求旋转体的体积，元素法是微积分中由定积分定义抽象出来的，是利用微积分解决实际问题的重要方法，是提高学生利用数学思维分析和解决实际问题的典型教学内容。

教学设计理念与思路我院以突出职业能力培养为导向，在加强实践性教学、压缩基础课教学的实践中做出了大胆的尝试，各专业新的培养方案要求在高职的数学教育中，把培养数学素质作为教学过程的主线，加强对学生进行数学知识应用能力的培养，从而使学生的数学知识、能力、素质得到协调发展。根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，本次课运用直观教学，结合动画演示，突出重点与难点，并重视求旋转体的体积在实际问题中的应用。

二、教学设计分析

（一）教学目标会用元素法求旋转体的体积。

（二）教学重点和难点难点：旋转体的体积计算。

（三）教学方法根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，本次课利用直观图形来降低理论难度，运用动画演示进行教学，启发学生的空间想象力。通过典型例题的分析讲解和一定数量的练习，达到突出重点，突破难点的目标。

（四）教学设计

[旧课复习]

1.曲边梯形面积s=∫baf（x）dx，面积元素f（x）dx。

第22

卷第6

期

2019

年11

月高等数学研究

STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol. 22,No. 6

Nov. ,2019

doi：

10. 3969/j. issn. 1008-1399. 2019. 06. 013

巧用柱壳法求一类旋转体的体积

李萍

！牟全武，杨阿莉

(西安工程大学理学院，陕西西安710048

)

摘要

本文阐述

了柱壳

法的基

本思想

，并利用柱壳

法推导

出旋转体体

积的计算公式，举

例说明了柱壳

法的应用.

关键词 柱壳

法

；旋转体

；体

积

；微元法

中图分类号 O172.2

文献标识码 A

文章编号 1008 - 1399(2019)06 - 0035 - 02

On Cylindrical Shell Method for Volume of Solids of Revolution

LI Ping,MU Quanwu,and YANG Ali

(School of Science,Xi'an Polytechnic University, Xi'an,Shaanxi, 710048 ,PRC)

Abstract

The basic idea of cylindrical shell method is expounded. A formula for calculating the volume of

a solid of revolution is derived, and the application is illustrated with examples.

Keywords

cylindrical shell method,solid of revolution,volume,differential method

在教学实践中，作者发现学生对于由某一平面

图形绕

y轴旋转所得旋转体的体积计算难以掌握

,

例如文献

［1］第

282页例

8.为了克服这个困难，本

文利用柱壳法来求这一类旋转体的体积•柱壳法实

３６２　西安理工大学学报Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｘｉ’ａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（２００８）Ｖｏ１．２４　Ｎｏ．３　

文章编号：１００６－４７１０（２００８）０３－０２６２－０４　

旋转体体积的计算方法　

李艳丽，王逸迅　

（西安理工大学理学院，陕西西安７１００５４）　

摘要：为解决计算旋转体体积尚无具有普遍适用性的统一公式的问题，依据古鲁金第二定理推证　

得到：利用曲面积分计算空间某一平面图形　绕直线（轴），Ｊ旋转而成的旋转体体积的通用公式；　

利用二重积分计算ｘｏｙ面上的平面图形Ｄ绕直线（轴）　旋转而成的旋转体体积的通用公式。依据　

本文所证得的通用计算公式推证得到：在某些特定情形下利用定积分计算旋转体体积的具有针对　

性的公式。　

关键词：直线；平面图形；旋转体；旋转体体积　

中图分类号：０１７２．２　文献标识码：Ａ　

Ａ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ　Ｒｏｔａｔｉｎｇ　Ｂｏｄｙ　Ｖｏｌｕｍｅ　

ＬＩ　Ｙａｎ—ｌｉ，ＷＡＮＧ　Ｙｉ—ｘｕｎ　（Ｆａｃｕｌｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｘｉ’ａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉ’ａｌｌ　７　１００５４，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ　ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｂｏｄｙ　ｖｏｌｕｍｅ　ｗｉｔｈｏｕｔ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｕｎｉｆｉｅｄ　ｆｏｒｍｕｌａ，ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｇｕｌｄｉｎ’Ｓ　ｓｅｃｏｎｄ　ｔｈｅｏｒｅｍ，ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｆｏｒｍｕｌａｓ　ａｒｅ　ｄｅｄｕｃｅｄ　ｏｎ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｖｏｌｕｍｅ　

ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｂｏｄｙ　ｓｈａｐｅｄ　ｂｙ　ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｐｌａｎｅ　ｆｉｇｕｒｅ　ａｒｏｕｎｄ　ｔｈｅ　Ｌ－ａｘｉｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｐａｃｅ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｓｕｒｆａｃｅ