积分求旋转体体积公式

定积分在几何上的应用2——求立体的体积

有两种情形的几何立体的体积可用定积分来计算，它们是

(1)平行截面面积已知的立体

选与平行截面垂直的直线为x轴，截面面积(函数)为S(x)．设立体可在的x轴上的范围是区间[a，b]，任取一小区间(“微元”)[x，x＋Δx]，夹在过两个端点的平行平面间的立体体积(“微元”)ΔV与相应的圆柱体体积S(x)Δx，它们相差至多是ΔS·Δx＝[dS＋0(Δx)]Δx＝[S'(x)Δx＋0(x)]Δx＝0(Δx)，即ΔV＝S(x)Δx＋0(Δx)，或dV＝S(x)dx，由此得到立体体积

⑧式所说明的和立体几何中的“祖暅原理”是一回事．

(2)旋转体．

由曲线y＝f(x)(f(x)≥0，a≤x≤b)与直线x＝a，x＝b及x轴所围图形绕x轴旋转而成的立体的体积为

因为在坐标x处的截面面积为S(x)＝πf2(x)，故由⑧即得⑨．

解 取z轴为积分轴，积分变量z的取值范围是－c≤z≤c，椭球与在z处垂

所求椭球的体积为

例8 以一平面截半径为R的球，截体高为h，求被截部分的体积．

解 取垂直于截面的直径方向为x轴，即积分轴，在沿x轴的截面上建立坐标系如图1．

被截下的部分可以视为由阴影部分绕x轴旋转所得的旋转体，其体积为

其中h的取值范围可以是0＜h＜2R．此即立体几何中的球缺体积公式．

例9 设底半径为a的圆柱，被一过底面直径的平面所截，如图2，截下楔形的高为h．求此楔形的体积．

解 取截面与底面相交的直径方向为x轴，底面中心为原点，于是考虑－a≤x

所求楔形体积为

例10 求由内摆线(星形线)绕x轴旋转所成的旋转体的体积．

解 摆线在0≤t≤2π上有

0≤x≤2πa，y≥0．

且dx＝a(1－cost)dt．

故由旋转体体积公式得

例12 求由曲线y＝2x－x2和y＝0分别绕x轴和y轴旋转所成曲面包围的体积．

旋转体体积公式

⼀、公式的发现

个⼈06年~07年独⽴提出问题并总结的旋转体体积公式（前⼈也给出过）：V=2π·G·S

其中2π表⽰旋转⼀整周，G为旋转的⼆维平⾯的重⼼到旋转轴的距离（需要把所有⾯积归算到旋转轴的同⼀侧），S为旋转的⼆维平⾯的⾯

积（同G的要求）。

⼆、公式的拓展

个⼈还对这个公式做了⼀些拓展，⽅便应⽤和记忆。

（⼀）旋转任意⾓度：V=α·G·S

其中α为旋转的弧度（超过2π则按照2π计算）

（⼆）⼀维到⼆维的旋转S=α·G·L

其中需要旋转轴变成了⼀个点，旋转的对象变成了⼀维曲线，需要将以为曲线全部投影到径向的长度L（指向旋转点），G为L的重⼼。

（三）0维到⼀维的旋转

这种情况下，旋转对象和旋转轴全都是⼀个点，G就是作为旋转对象的点到旋转点的距离。L=α·G

（四）三维到四维的旋转

会不会就是α·G·V呢？这有点难以想象。

三、公式的应⽤

圆环的体积

⼆维的圆形围绕垂直于平⾯的轴旋转360°即为3D圆环（类似于⼿镯），可以直接套公式2π·G·S就可以得到体积。

四、公式的⼏何证明

任何形状都可以被不同⼤⼩形状的三⾓形完全填满，任何三⾓形⼜可以被直⾓三⾓形填充。在直⾓三⾓形围绕旋转轴旋转成体问题中，直⾓

三⾓形和旋转轴可以分为三种情况，⼀条边与旋转轴重合，⼀个点在旋转轴上，以及完全分离。⽽⼀条斜边与旋转轴重合的情况，可以分解

成两个直⾓三⾓形的直⾓边与旋转轴重合，其他两种情况都可以转化成加法或者减法，变成直⾓边与旋转轴重合的情况（具体过程就没记了）。因此只需要证明这⼀种情况，整个问题就被证明了。

以上情况旋转360°变成了圆锥，体积公式：V=1/3·π·r^2·h=2π·1/3 r·1/2 rh=2π·G·S

当然，这种证明⽅法有问题，需要先有重⼼的性质和圆锥体积公式（圆锥体积实际可以绕过）。常见的是积分⽅法，⽹上都有。

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“求旋转体的体积”教学设计方案

作者：赵曾云

来源：《商情》2015年第51期

一、课程设置分析

课程的地位《微积分》是我校各院、系各专业的一门必修公共课，是学生提高文化素质和学习有关专业知识、专门技术及获取新知识能力的重要基础。主要讲授极限与连续，导数、微分及其应用，积分及其应用等一元函数微积分的内容，要注意引导学生在其他课程和实践中使用数学，使学生认识数学的实用价值和经济价值，逐步形成数学意识，提高学生分析和解决实际问题的能力。

本次课的地位本次课教学内容是用元素法求旋转体的体积，元素法是微积分中由定积分定义抽象出来的，是利用微积分解决实际问题的重要方法，是提高学生利用数学思维分析和解决实际问题的典型教学内容。

教学设计理念与思路我院以突出职业能力培养为导向，在加强实践性教学、压缩基础课教学的实践中做出了大胆的尝试，各专业新的培养方案要求在高职的数学教育中，把培养数学素质作为教学过程的主线，加强对学生进行数学知识应用能力的培养，从而使学生的数学知识、能力、素质得到协调发展。根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，本次课运用直观教学，结合动画演示，突出重点与难点，并重视求旋转体的体积在实际问题中的应用。

二、教学设计分析

（一）教学目标会用元素法求旋转体的体积。

（二）教学重点和难点难点：旋转体的体积计算。

（三）教学方法根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，本次课利用直观图形来降低理论难度，运用动画演示进行教学，启发学生的空间想象力。通过典型例题的分析讲解和一定数量的练习，达到突出重点，突破难点的目标。

（四）教学设计

[旧课复习]

1.曲边梯形面积s=∫baf（x）dx，面积元素f（x）dx。

第８卷第２期　

２０１３年６月　贵阳学院学报（自然科学版）　（季刊）　Ｊ０ＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＧＵＩＹＡＮＧ　ＣＯＬＬＥＧＥ　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ（Ｑｕａｒｔｅｒｌｙ）　Ｖｏ１．８　Ｎｏ．２　

旋转体体积的一个积分公式　

陈　凌　

（黔南民族师范学院教育科学系，贵州都匀５５８０００）　

摘要：利用微元法，给出了空间曲线绕任一直线旋转一周生成的旋转体体积的一个积分公式　关键词：旋转体；微元法；体积；公式　中图分类号：Ｏ１７２．２　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—６１２５（２０１３）０１—００１１—０２　

Ａｎ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　Ｆｏｒｍｕｌａ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　Ｖｏｌｕｍｅ　ｏｆ　Ｒｅｖｏｌｖｉｎｇ　Ｓｏｌｉｄ　

ＣＨＥＮ　Ｌｉｎｇ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｑｉａｎｎａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｆｏｒ　Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ，Ｇｕｉｚｈｏｕ　Ｄｕｙｕｎ　５５８０００）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ　ｔｈｅ　ｍｉｃｒｏ—ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ，ａｎ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｖｏｌｕｍｅ　ｒｅｖｏｌｖｉｎｇ　ｓｏｌｉｄ　ｇｅｎｅｒａｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｓｐａｃｅ　ｃｕｒ　ｅ　ｒｅｖｏｌｖｉｎｇ　ｒｏｕｎｄ　ａ　ｓｐａｃｅ　ｌｉｎｅ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｒｅｖｏｌｖｉｎｇ　ｓｏｌｉｄ；ｍｉｃｒｏ—ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ；ｖｏｌｕｍｅ；ｆｏｒｍｕｌａ　

１　引言　

商，寺数字甲，作为足积分应用内答之一的求旋　转体的体积，主要给出了ｘＯｙ平面上连续曲线Ｙ＝　

），　∈［口，ｂ］绕　轴旋转生成的旋转体的体积公　式．最近，文…中给出的了空间在ＬＯｚ平面上的光滑　

曲线Ｇ：｛　ｘ／：Ａ厂（＝　ｙ）／Ｂｘ∈［。，６】绕过原点的直线Ｌ：　

云　古　吉（其中ＡＢＣ≠０，Ａ＞０）旋转一周生　

成的旋转体的体积公式为：