空间向量三点共线定理

一．知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

b a B A OA OB +=+=；b a OB OA BA -=-=；)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则3. 共线向量：（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a //。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ= <=>OB y OA x OC +=，其中1=+y x（4）与a 共线的单位向量为||a ±4. 共面向量 ：（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b rr 不共线，p r与向量,a br r 共面的条件是存在实数,x y 使。

y x +=（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>OC z OB y OA x OP ++=，其中1=++z y x5. 空间向量基本定理：如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使z y x ++=。

若三向量c b a ,,不共面，我们{},,把叫做空间的一个基底，c b a ,,叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量的定义和基本定理一、空间向量的定义和基本定理1、空间向量与平面向量一样，在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。

2、空间向量基本定理（1）共线向量定理定理：对空间任意两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$($\boldsymbolb$≠0），$\boldsymbol a∥\boldsymbol b$的充要条件是存在实数$\lambda$，使$\boldsymbol a$=$λ\boldsymbol b$。

推论：如果$l$为经过已知点$A$且平行于已知非零向量$\boldsymbol a$的直线，那么对空间任一点$O$，点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$，使$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\boldsymbol \alpha$①。

其中向量$\boldsymbol a$叫做直线$l$的方向向量。

在$l$上取$\overrightarrow{A B}=\boldsymbol a$，则①式可化为$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\overrightarrow{A B}$或$\overrightarrow{O P}=(1-t)\overrightarrow{O A}+t\o verrightarrow{O B}$②。

当$t=\frac{1}{2}$时，点$P$是线段$AB$的中点，则$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$③。

①②式都叫做空间直线的向量表示，③式是线段$AB$的中点公式。

（2）共面向量定理定理：如果两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$不共线，那么向量$\boldsymbol p$与向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（$x$，$y$），使$\boldsymbol p$=$x\boldsymbol a$+$y\boldsymbol b$。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2.空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b ; BA OA OB a b ;OP a(R)运算律：⑴加法交换律： a b b a⑵加法结合律： (a b) c a (b c)⑶数乘分配律：(a b)a b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3.共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于b，记作a // b。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a // b存在实数λ，使a＝λb。

（3）三点共线： A、B、C 三点共线 <=> AB AC<=> OC xOA yOB(其中x y 1)a（4）与a共线的单位向量为a4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线，p与向量 a, b 共面的条件是存在实数x, y 使p xa yb 。

（3）四点共面：若A、B、C、P 四点共面 <=> AP x AB y AC<=> OP xOA yOB zOC(其中 x y z1)5.空间向量基本定理：如果三个向量 a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组 x, y, z ，使p xa yb zc 。

若三向量 ab,,c不共面，我们把{ a,b, c}叫做空间的一个基底，a, b, c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设 O, A, B,C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x, y, z ，使OP xOA yOB zOC 。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点。

1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示+同向等长的有向线段表示同一或相等的向量（2）向量具有平移不变性2.空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）运算律：⑴加法交换律：abba⑵加法结合律：（a b） c a （b c）⑶数乘分配律：（a b） a b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3.共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a // b。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b （b工0 ）, a//b存在实数入使a = 7b （3）三点共线：A、B、C三点共线<=>AB AC-------------------- 9- 4 *<=> OC xOA yOB（其中（ y 1）- a（4）与a共线的单位向量为4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数r r rx, y 使p xa yb。

------ ------------- ---- p- ------- *■（3）四点共面：若A、B、c、P四点共面<=>AP xAB yAC--------- --------------------- ----------------------- ►-------------------<=>OP xOA yOB zOC（其中x y z 1） r r r r5.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存r r ,r rMBgo UBAvbraMBmA uOA JmB 山ora rb ra在一个唯一的有序实数组x, y, z，使p xa yb zc。

【空间向量常识】空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。

向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。

规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0.模为1的向量称为单位向量。

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。

记为-a 方向相等且模相等的向量称为相等向量。

以下用向量法求解的简单常识：1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x+y+z=1），则四点P、A、B、C共面．3、利用向量证a∥b，就是分别在a，b上取向量a=λb（λ∈R）．4、利用向量证a⊥b，就是分别在a，b上取向量a·b=0 ．5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取a,b，求：<a,b> 的问题．6、利用向量求距离即求向量的模问题．7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．第一步：按照图形建立三维坐标系O-xyz之后，将点的坐标带进去，求出所需向量的坐标。

第二步：求平面的法向量：令法向量n=（x,y,z）因为法向量垂直于此平面所以n垂直于此面内两相交直线（其方向向量为a，b)可列出两个方程n·a=0,n·b=0两个方程，三个未知数然后根据计算方便取z（或x或y）等于一个数（如：1，√2等）代入即可求出面的一个法向量n的坐标了.会求法向量后1.斜线与平面所成的角就是求出斜线的方向向量与平面的法向量n的夹角，所求角为上述夹角的余角或者夹角减去π/2.2.点到平面的距离就是求出该面的法向量n在平面上任取(除被求点在该平面的射影外）一点，求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量，记为a点到平面的距离就是法向量n与a的数量积的绝对值|n·a|除以法向量的模|n|即得所求.3.二面角的求法就是求出两个平面的法向量可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积：cos<n,m>=|n·m|/(|n||m|)那么二面角就是上面求的两法向量的夹角或者它的补角。