第二章 距离分类器和聚类分析
2.1 距离分类器
一、模式的距离度量
通过特征抽取，我们以特征空间中的一个点来表示输入的模式，属于同一个类别的样本所对应的点在模式空间中聚集在一定的区域，而其它类别的样本点则聚集在其它区域，则就启发我们利用点与点之间距离远近作为设计分类器的基准。这种思路就是我们这一章所要介绍的距离分类器的基础。下面先看一个简单的距离分类器的例子。
例2.1
作为度量两点之间相似性的距离，欧式距离只是其中的一种，当类别的样本分布情况不同时，应该采用不同的距离定义来度量。
设,X Y 为空间中的两个点，两点之间的距离(),d X Y ，更一般的称为是范数X Y -，一个矢量自身的范数X 为矢量的长度。
作为距离函数应该满足下述三个条件： a) 对称性：()(),,d d =X Y Y X ；
b) 非负性：(),0d ≥X Y ，(),0d =X Y 当且仅当=X Y ； c) 三角不等式：()()(),,,d d d ≤+X Y X Z Y Z 。
满足上述条件的距离函数很多，下面介绍几种常用的距离定义： 设()12,,
,T
n x x x =X ，()12,,
,T
n y y y =Y 为n 维空间中的两点
1、 欧几里德距离：(Eucidean Distance)
()()1
2
21,n
i i i d x y =⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
∑X Y
2、 街市距离：(Manhattan Distance)
()1
,n
i i i d x y ==-∑X Y
3、 明氏距离：(Minkowski Distance)
()11,m
n
m i i i d x y =⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
∑X Y
当2m =时为欧氏距离，当1m =时为街市距离。
4、 角度相似函数：(Angle Distance)
(),T d ⋅=
X Y
X Y X Y
1
n
T
i i i x y =⋅=∑X Y 为矢量X 和Y 之间的内积，(),d X Y 为矢量X 与Y 之间夹角的
余弦。
距离函数的定义形式还有很多，我们应该根据具体问题来选择一种适合的函数定义，使其能够真正反映模式之间的相似性。定义了范数的线性空间称为赋范线性空间。 二、单个标准样本的距离分类器
设有M 个类别，12,,
,M ΩΩΩ，每个类别有一个标准样本12M T ,T ,,T ，现有一待
识样本X ，则X 应该属于与其距离最小的标准样本代表的那一类，即：如果
()0arg min ,i i
i d =X T ，则判别0i ∈ΩX 。
对于两类问题来说，就相当于用一个垂直平分两个标准样本点的连线的超平面将两类分开。
三、多个标准样本的距离分类器
如果每个类别只有一个训练样本，则只能以这个训练样本作为标准样本来设计距离分类器。然而一个样本很难反映出类别的总体分布，因此在实际设计中，一般都要尽可能多的搜
集各个类别的样本，样本量的增加能够跟好的反映出类别的中体分布情况，这样带来的问题就是如何利用多个样本来设计距离分类器？下面介绍几种常用的方法。 1. 平均样本法
此方法中，我们还希望以一个标准样本来代表每个类别，这样就可以采用单个标准样本距离分类器的准则来进行分类。下面的问题就是如何来确定这个标准样本，这实际上就是如何利用训练样本集来进行学习的问题。
在模式识别方法中，我们将经常遇到最优化问题，下面我们就以这个简单问题来介绍一下最优化方法的一些概念。
设有M 个类别，12,,,M ΩΩΩ，第m 类有训练样本集()
()()
{
}
12,,
,m
m m m K X X X ，我们希望求得一个标准样本()
m T
，训练样本()
()()
()
(
)
12,,
,m m m m i
i i iN x x x =X 。我们要寻找的标准样本
()m
T 实际上应该是一个距离训练样本集中所有样本的平均距离最小的一点，则一点最能够
代表这个训练样本集。例如，如果类别样本的分布为一个球形的话，这一点应该是球的中心。
这一条件可以用下面的函数表示：()
()
()()()
1
1m
K m m m i i m f d K ==-∑T X T ，此函数称为目标函数。我们的目标就是要寻找到一个()
m T
，使得()
(
)m f T
最小。
以欧氏距离为例，()
(
)
()()(
)
12
2
11
1
m
K N
m m m ij j i j m
f x t K ==⎛⎫=
- ⎪⎝⎭
∑∑T ，下面对()
m T 的各维元素取偏导数：
(
)()()
()()
(
)
()()
()()11
1112102m m m m K K K m m m m ij j j ij m i i i m m k
f x t t x K K t ===∂⎛⎫=
-⨯-=-= ⎪∂⎝⎭∑∑∑T 则：()
()
1
1
m
K m m j
ij
i m
t x
K ==∑。以矢量形式表示：()
(
)
1
1m
K m m i
i m
K ==∑T
X 。
平均样本法的特点是：1、算法简单；2、每个类别只需存储一个平均样本，存储量小；3、识别时只需计算M 次距离函数，计算量小；4、对类别样本的分布描述能力不强，效果不一定很好。
在单个样本的距离分类器中，实际上我们是定义了一个未知类别模式到某一类别的距离，这个距离就是待识模式与类别标准样本之间的距离：()(),,i i d d Ω=X X T ，然后以模式与类别的距离作为分类的判据。实际上在多个标准样本的问题中，我们还可以定义其它形式的模式与类别的距离。 2. 平均距离法
已知类别i Ω的训练样本集为：()()
()
{
}
12,,
,i
i i i K T T T ，定义待识模式X 与类别i Ω的距离： ()()()1
1
,,i
K i i j
j i
d d K =Ω=
∑X X T
然后还是以与待识模式最近的类别作为识别结果。在平均距离法中，需要存储所有的训练样本，而且在识别时还要计算待识模式与每个训练样本的距离，所以计算量比较大。 3. 最近邻法
最近邻法以与待识样本距离最近的标准样本点的类别作为分类类别。实际上相当于定义待识模式与类别i Ω的距离：
()()()
1,min ,i
i
i j j K d d ≤≤Ω=X X T
最近邻法也要存储和计算所有的训练样本，同时与平均距离法相比容易受到噪声的干扰，当与X 最近点为噪声时，就会导致误识。
最近邻法的改进：
平均样本法用一点代表一个类别，过分集中；最近邻法以类内的每一点代表类别，过于分散，在通常情况下可以采用折衷的办法，首先将每个类别的训练样本划分为几个子集，在各个子集中计算平均样本，每一个类别以几个子集的平均样本代表，采用最近邻法分类。（举例：红苹果，绿苹果），这样做的好处是，一方面可以减少存储量和计算量，同时还可以减小噪声的干扰，这是在实际系统使用比较多的方法。 4. K -近邻法
K -近邻法是另外一种减小噪声干扰的改进方法，
它不是根据与未知样本X 最近的一个样本的类别来分类，而是根据X 最近邻的K 各样本点中多数点的类别来分类。方法如下：
a) 计算X 与所有训练样本的距离；
b) 对所有的()
(
),i j
d X T 从小到大排序；
c) 统计前K 个中各类训练样本的个数i N ，1,2,,i M =，必有1M
i i N K ==∑；
d) 取01arg max i i M
i N ≤≤=作为X 的类别。
K -近邻法中，K 值得选择非常重要，太大则就会变成那一类的训练样本说多就分类到哪一类，太少则容易受到噪声的影响，当1K =时，就变为了最近邻法。
2.2 聚类分析
在某些问题中，我们已知的只是一个训练样本集，而不知道样本集中每个样本的类别标号，这就需要我们首先将这些样本分成若干类，然后再用分好类的样本训练出相应的分类器。将未知类别的一组样本分成若干类的过程称为是聚类分析，也称为是无监督学习或无教师学习。
聚类分析的思路非常直观，也是根据各个带分类模式特征的相似程度来进行分类，将在特征空间中聚集在一起的样本点划分为一类。
聚类分析的方法可以分为三类：简单聚类法、系统聚类法和动态聚类法。 一、简单聚类法（试探法） 1、 最近邻规则的简单试探法
设N 个待分类的模式{}12,,
,N X X X ，已知一个阈值T （每个样本到其聚类中心的
最大距离），分类到12,,ΩΩ，类别中心分别为12,,
Z Z 。
第一步：取任意的样本i X 作为第一个聚类中心的初始值，例如：111=∈ΩZ X ；
计算：2121D =-X Z ，
若，21D T >，则增加一个新类别2Ω，取其中心为22=Z X ； 否则，将2X 归入以1Z 为中心的1Ω类，重新计算12
12
+=
X X Z 。 第二步：设已有类别12,ΩΩ，其中心为12,Z Z ，
计算：3131D =-X Z ，3232D =-X Z ；
若，31D T >且32D T >，则增加新类别3Ω，令33=Z X ；
否则，3X 属于12,Z Z 最近的类别，即03i ∈ΩX ，0312
arg min i i i D ≤≤=，并重新计算0
i 类的中心。
第k 步：设已有M 个类别12,,,M ΩΩΩ，其中心为12,,M Z Z Z ，
计算：11k k D =-X Z ，…，kM k M D =-X Z ； 若，ki D T >，则增加新类别1M +Ω，其中心1M k +=Z X ； 否则，k X 属于12,,
M Z Z Z 最近的一类，0k i ∈ΩX ，01arg min ki i M
i D ≤≤=；
重新计算第0i 类的聚类中心0i Z 。
例2.2-1
这种方法的好处是计算比较简单，缺点是对初始的第一个聚类中心的选择依赖性比较强，同时聚类效果还要受到阈值T 的影响。（图3.3-2，pp64）一般在实际问题中需要对不同的初始聚类中心和不同的阈值进行试探，直到得到一个满意的聚类结果为止。 2、 最大最小距离算法
最大最小距离法的思路是：在样本集中以最大距离原则选取新的聚类中心，以最小距离原则进行模式归类。
已知N 个待分类的模式{}12,,
,N X X X ，阈值比例系数θ，
1) 任选样本作为第一个聚类中心1Z ；
2) 从样本集中选择距离1Z 最远的样本i X 作为第二个聚类中心，2i =Z X ，设定距离
阈值：12T θ=-Z Z ；
3) 计算未被作为聚类中心的各样本与12,Z Z 之间的距离，以其中的最小值作为该样本
的距离：
,1,2ij i j d j =-=X Z ，取[]12min ,,1,
,i i i d d d i N ==；
4) 若：1max l i i N
d d T ≤≤=>，则相应的样本l X 作为第三个聚类中心，3l =Z X ，然后转5）；否则，转6）；
5) 设存在k 个聚类中心，计算未被作为聚类中心的各样本到各聚类中心的最小距离：
[]1min ,,i i ik d d d =，然后寻找其中的最大值：1max l i i N
d d ≤≤=，如果l d T >，则
1k l +=Z X ，转5）；否则，转6）；
6) 按照最小距离原则，将所有样本分到个类别中。 例2.2-2
二、合并法（系统聚类法，Hierarchical Clustering Method ）
系统聚类法的思路是首先以每一个样本自成一类,然后按照距离准则逐步合并,类别数由多到少，直到达到合适的类别数为止。
这里，我们在合并两个类别时，需要依据类与类之间的距离度量，首先我们来定义类与类之间的相似性度量。 1. 最短距离法：
设i Ω和j Ω是两个聚类，两类之间的距离定义为：()()
(
)()min ,i j ij l k
D d =X X ，()i l
X 为i
Ω
类的第l 个样本，()
j k X 为j Ω类的第k 个样本。ij D 为第i Ω类中所有样本与第j Ω类中所有样本之间的最小值。 2. 最长距离法：
与最短距离法相似，两类之间的距离定义为：()()
(
)()max ,i j ij l k
D d =X X ，()i l
X 为i
Ω类
的第l 个样本，()
j k X 为j Ω类的第k 个样本。ij D 为第i Ω类中所有样本与第j Ω类中所有样本之间的最小值。 3. 类平均距离法：
两类之间的距离定义为：ij D =i
n 和j
n
分别为i Ω、j Ω聚
类中的样本数。
系统聚类算法：设有12,,
,N X X X N 个样本待分类，
第一步：建立N 个初始类别，()
()
()000
12,,
,N ΩΩΩ，其中(){}0i i Ω=X 。计算距离矩阵：
()()0
ij D =D ，其中ij D 为()0i Ω与()0j Ω之间的距离；
第二步：寻找()
1k -D
中的最小元素，合并相应的两个类别，建立新的分类：()()
()12,,
,k k k
M ΩΩΩ，
重新计算距离矩阵()
k D
。
第三步：重复第二步，直到满足类别数要求，或者()
k D
的最小元素大于给定的阈值。
例2.3
合并法避免了聚类结果受初始聚类中心的影响，但是需要预先知道聚类的类别数，或者需要设定一个类间最小距离阈值。同时当样本数比较多时，计算量比较大。 三、动态聚类法（修改法）
动态聚类的思想是首先选择若干个样本点作为聚类中心，然后按照某种聚类准则使各样本点向各个中心聚集，从而得到初始分类；然后判断初始分类是否合理，如果不合理，则修改聚类中心，反复进行修改，直到分类合理为止。
动态聚类有多种算法，其中比较著名的是K -均值算法和ISODATA 算法。下面介绍其中的K -均值算法（或称为C -均值算法）。
设有N 个待分类样本12,,
,N X X X ，聚类为K 类，N K ≥。
第一步：任选K 个初始聚类中心12,,
,K Z Z Z ，例如选前K 个样本（称为旧聚类中心）；
第二步：将每一个待分类样本按照最近邻准则分类，分别以旧聚点为标准样本的各类中去。 第三步：计算分类后各类的重心，称为新聚类中心：1
i
i i
N ∈Ω=
∑X Y X ，1,2,
,i K =，其中
i N 为i Ω类中的样本数；
第四步：检验12,,
,K Z Z Z 是否分别等于12,,,K Y Y Y ，如果相等，则算法收敛，结束；
否则用i Y 代替i Z ，返回第二步。
例2.4
K -均值算法的结果也要受到所选的聚类中心的数目、初始聚类位置以及样本的几何性
质的影响。
2.3 聚类结果评价
前面我们所介绍的几种聚类方法都存在着一定的缺陷，一般都要受到各种初始状态和各种预设的阈值影响，需要我们进行多次尝试之后才能得到满意的结果。这就需要有一个对聚类结果评价的方法，来帮助我们在多次尝试的结果种选择出一个满意的结果。同时如果这个评价准则建立好之后，也可以由程序来完成这个选择的任务。
常用的评价准则有： 1. 类内距离方差：2
1i
M
W i
i J =∈Ω=
-∑∑
X X Z ，可以用来衡量各个类别中的样本的平均离散
程度，类内距离方差越小越好。 2. 类间距离方差：2
1
M
B i i J ==
-∑
Z Z ，其中1
1
M
i
i M
==
∑Z Z
，为各个聚类中的平均矢量。
类间距离方差可以用来衡量各个类别之间的离散程度，越大越好。 3. 各类的样本数：一般情况要求各个类别中的样本数应该比较平均，避免出现某一类中样
本数过多，或某一类中样本数过少的情况。
一般情况下，需要综合考虑几种评价准则，而不能只考虑其中的一项，同时还要有其它的条件限制，比如给定的聚类类别数等。例如，只考虑类内距离准则，则当每一个样本单独为一类时，准则最优；只考虑类间距离准则时，则所有样本聚为一类时，准则最优。
从聚类准则的角度来看，前集中聚类算法都是在某些条件限制下，对某个准则进行寻优。例如动态聚类法是在限定类别数的条件下，寻找到一个对样本集的划分方式，使得类内距离方差最小。但是各种聚类方法都是一种次优的搜索方法，不能保证最后的结果是一个最优解。如果要求最优解只能对所有的可能情况进行计算。但是当样本数比较多时，组合数很大，不
可能对所有的组合进行遍历，比如在例 2.4中，组合数为：12
10
202020C C C +++，其中：
1020=670442572800C 。
近些年发展的一种求解上述类似寻优问题的算法是遗传算法，可以在一定程度上解决这
类问题。
聚类分析 聚类分析又称群分析，它是研究（样品或指标）分类问题的一种多元统计方法，所谓类，通俗地说，就是指相似元素的集合。聚类分析内容非常丰富，按照分类对象的不同可分为样品分类（Q-型聚类分析）和指标或变量分类（R-型聚类分析）；按照分类方法可分为系统聚类法和快速聚类法。 1. 系统聚类分析 先将n 个样品各自看成一类，然后规定样品之间的“距离”和类与类之间的距离。选择距离最近的两类合并成一个新类，计算新类和其它类（各当前类）的距离，再将距离最近的两类合并。这样，每次合并减少一类，直至所有的样品都归成一类为止。系统聚类法直观易懂。 1.1系统聚类法的基本步骤： 第一，计算n 个样品两两间的距离 ，记作D= 。 第二，构造n 个类，每个类只包含一个样品。 第三，合并距离最近的两类为一新类。 第四，计算新类与各当前类的距离。 第五，重复步骤3、4，合并距离最近的两类为新类，直到所有的类并为一类为止。 第六，画聚类谱系图。 第七，确定类的个数和类。 1.2 系统聚类方法： 1.2.1最短距离法 1.2.2最长距离法 1.2.3中间距离法 1.2.4重心法 1.2.5类平均法 1.2.6离差平方和法（Ward 法） 上述6种方法归类的基本步骤一致，只是类与类之间的距离有不同的定义。最常用的就是最短距离法。 1.3 最短距离法 以下用ij d 表示样品i X 与j X 之间距离，用ij D 表示类i G 与j G 之间的距离。定义类i G 与j G 之间的距离为两类最近样品的距离，即 ij G G G G ij d D j J i i ∈∈=,min 设类p G 与q G 合并成一个新类记为r G ，则任一类k G 与r G 的距离是： ij G X G X kr d D j j i i ∈∈=,min ??????=∈∈∈∈ij G X G X ij G X G X d d q j k i p j k i ,,min ,min min {} kq kp D D ,min = 最短距离法聚类的步骤如下： ij d {}ij d
第二章作业 1.画出给定迭代次数为n的系统聚类法的算法流程框图. 答：算法流程图如下：
2.对如下5个6维模式样本，用最小距离准则进行系统聚类分析： x 1: 0, 1, 3, 1, 3, 4 x 2: 3, 3, 3, 1, 2, 1 x 3: 1, 0, 0, 0, 1, 1 x 4: 2, 1, 0, 2, 2, 1 x 5: 0, 0, 1, 0, 1, 0 解：将每一样本看成单独一类，得 (0) 11{}G x =， (0)22{}G x =，(0)33{}G x = (0)44{}G x =， (0) 55{}G x = 计算各类之间的欧式距离，可得距离矩阵(0)D (表1-1)。 表1-1 ① 矩阵(0) D ，它是(0)3G 和(0) 5G 之间的距离，将它们合并为一类，得 到新的分类为 (1)(0)11{}G G =，(1)(0)22{}G G =，(1)(0)(0) 335{,}G G G = (1)(0) 44{}G G = 计算聚类后的距离矩阵(1)D 。按最小距离准则，分别计算(0)3G 与(1)1G 、(1)2G 、(1)4G ，(0) 5 G 与(1)1G 、(1)2G 、 (1) 4G 之间的两种距离，并选用最小距离。如
(1)(0)(1)(0)(1) 133151min{D G G G G =与的距离，与的距离} }=5 由此可求得距离矩阵(1)D (表1-2) ② 距离矩阵(1) D ，它是(1)3G 和(1)4G 之间的距离，于是合并(1)3G 和(1)4G ， 得到新的分类为 (2)(1)11{}G G =，(2)(1)22{}G G =，(2)(1)(1) 334{,}G G G = 按最小距离准则计算距离矩阵(2)D ，得表1-3 表1-3 选择距离阈值(2) D 则算法停止，得到聚类结果G 1(2) ={X1} G 2(2) ={X2} G 3(2)={X3，X5, X4}。 3. 模式样本如下： {X1(0,0),X2(1,0),X3(0,1),X4(1,1),X5(2,1),X6(1,2),X7(2,2),X8(3,2),X9(6,6),X10(7,6),X11(8,6), X12(6,7), X13(7,7), X14(8,7), X15(9,7), X16(7,8), X17(8,8), X18(9,8), X19(8,9), X20(9,9). 选K=2，11210(1)=(00),(1)(7 6)t t z x z x ===，用K —均值算法进行分类。
聚类分析 1.1聚类分析的概念： 聚类分析法是理想的多变量统计技术，主要有分层聚类法和迭代聚类法。聚类分析也称群分析、点群分析，是研究分类的一种多元统计方法。 1.2常见的聚类分析法： K-means算法、凝聚聚类算法以及EM算法系统聚类法和Ｋ均值聚类法是聚类分析中最常用的两种方法 经典的聚类分析方法：【数据挖掘中聚类算法研究和发展-周涛】 1.2.1基于划分的相关聚类算法 K-means 算法是一种最为典型的基于划分的聚类分析算法，自从该算法被开发出来后，就一直被拿来研究和改进。该算法的主要思想是大家非常了解的，首先随机选取K个对象作为中心点，然后遍历每个数据对象，直到收敛为止。 1.2.2基于密度的相关聚类算法 DBSCAN 算法是一种较为常见的基于密度的聚类分析算法，该算法首先需要将任意的数据对象设定为核心数据对象，在Eps 范围内包含的数据对象数目要不少于Minpts 规定的个数，然后根据相应的规则来对核心对象进行合并，最终完成类簇的聚类分析。 1.2.3基于层次的相关聚类算法 BIRCH 算法[28]是一种出现较为基本且简单的可以进行良好的伸缩的层次聚类算法。该算法具有较好的聚类表现，它主要包含两个概
念：聚类特征(CF)和聚类特征树(CF-Tree)，通过这两个概念来进行描述并使得该算法能够有效地处理数据集。 1.2.4基于网格的相关聚类算法 Yang W 等人提出的STING(Statistical INformation Grid)算法的的核心思想是将目标数据集映射到矩形单元，该空间区域通过分层和递归方法进行划分，其主要是基于多分析率的网格算法。 1.2.5基于模型的相关聚类算法 EM(Exception-Maximization)算法是一种基于模型的聚类方法，该算法主要分为两步，期望步和最大化步。期望步先给定当前的簇中心，将每个数据对象划分到距离簇中心最近的簇，然后最大化步调整每个簇中心，使得该分派的数据对象到新中心的距离之和最小化，直到聚类收敛或改变充分小。 1.3目前聚类分析法的发展现状： 1.3.1高维数据聚类算法【高维数据聚类算法的研究及应用_孙志鹏】 随着信息技术的迅速发展，信息化的数据不断积累，高维空间数据的分析成为一个亟待解决的问题。因此，高维数据聚类分析成为聚类分析中一个重要的课题。目前，在高维数据聚类分析方面主要有基于传统聚类算法的改进，子空间聚类算法和基于数据对象相似度的聚类分析算法。 历经几十年的发展，研究学者已经针对不同的应用提出了许多改进的算法，大多数是基于常见的K-means算法、凝聚聚类算法以及
第二章 距离分类器和聚类分析 2.1 距离分类器 一、模式的距离度量 通过特征抽取，我们以特征空间中的一个点来表示输入的模式，属于同一个类别的样本所对应的点在模式空间中聚集在一定的区域，而其它类别的样本点则聚集在其它区域，则就启发我们利用点与点之间距离远近作为设计分类器的基准。这种思路就是我们这一章所要介绍的距离分类器的基础。下面先看一个简单的距离分类器的例子。 例2.1 作为度量两点之间相似性的距离，欧式距离只是其中的一种，当类别的样本分布情况不同时，应该采用不同的距离定义来度量。 设,X Y 为空间中的两个点，两点之间的距离(),d X Y ，更一般的称为是范数X Y -，一个矢量自身的范数X 为矢量的长度。 作为距离函数应该满足下述三个条件： a) 对称性：()(),,d d =X Y Y X ； b) 非负性：(),0d ≥X Y ，(),0d =X Y 当且仅当=X Y ； c) 三角不等式：()()(),,,d d d ≤+X Y X Z Y Z 。 满足上述条件的距离函数很多，下面介绍几种常用的距离定义： 设()12,, ,T n x x x =X ，()12,, ,T n y y y =Y 为n 维空间中的两点 1、 欧几里德距离：(Eucidean Distance)
()()1 2 21,n i i i d x y =⎡⎤ =-⎢⎥⎣⎦ ∑X Y 2、 街市距离：(Manhattan Distance) ()1 ,n i i i d x y ==-∑X Y 3、 明氏距离：(Minkowski Distance) ()11,m n m i i i d x y =⎡⎤ =-⎢⎥⎣⎦ ∑X Y 当2m =时为欧氏距离，当1m =时为街市距离。 4、 角度相似函数：(Angle Distance) (),T d ⋅= X Y X Y X Y 1 n T i i i x y =⋅=∑X Y 为矢量X 和Y 之间的内积，(),d X Y 为矢量X 与Y 之间夹角的 余弦。 距离函数的定义形式还有很多，我们应该根据具体问题来选择一种适合的函数定义，使其能够真正反映模式之间的相似性。定义了范数的线性空间称为赋范线性空间。 二、单个标准样本的距离分类器 设有M 个类别，12,, ,M ΩΩΩ，每个类别有一个标准样本12M T ,T ,,T ，现有一待 识样本X ，则X 应该属于与其距离最小的标准样本代表的那一类，即：如果 ()0arg min ,i i i d =X T ，则判别0i ∈ΩX 。 对于两类问题来说，就相当于用一个垂直平分两个标准样本点的连线的超平面将两类分开。 三、多个标准样本的距离分类器 如果每个类别只有一个训练样本，则只能以这个训练样本作为标准样本来设计距离分类器。然而一个样本很难反映出类别的总体分布，因此在实际设计中，一般都要尽可能多的搜
聚类分析 §3.4 系统聚类分析方法 聚类分析是研究多要素事物分类问题的数量方法。基本原理是根据样本自身的属性，用数学方法按照某种相似性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按这种亲疏关系程度对样本进行聚类。 常见的聚类分析方法有系统聚类法、动态聚类法和模糊聚类法等。 1. 聚类要素的数据处理 假设有m 个聚类的对象，每一个聚类对象都有个要素构成。它们所对应的要素数据可用表3.4.1给出。（点击显示该表）在聚类分析中，常用的聚类要素的数据处理方法有如下几种。 ① 总和标准化②标准差标准化 ③ 极大值标准化经过这种标准化所得的新数据，各要素的 极大值为1，其余各数值小于1。 ④ 极差的标准化经过这种标准化所得的新数据，各要素的 极大值为1，极小值为0，其余的数值均在0与1之间。2. 距离的计算 距离是事物之间差异性的测度，差异性越大，则相似性越小，所以距离是系统聚类分析的依据和基础。
① 绝对值距离选择不同的距离，聚类结果会有所差异。在 地理分区和分类研究中，往往采用几种距离进行计算、对比，选择一种较为合适的距离进行聚类。[举例说明]（点击打开 显示该例）例：表3.4.2给出了某地区九个农业区的七项指标，它们经过极差标准化处理后，如表3.4.3所示。对于表3.4.3中的数据，用绝对值距离公式计算可得九个农业区之 间的绝对值距离矩阵：3. 直接聚类法 直接聚类法是根据距离矩阵的结构一次并类得到结果。 ▲ 基本步骤： ① 把各个分类对象单独视为一类；② 根据距离最小的原则，依次选出一对分类对象，并成新类；③ 如果其中一个分类 对象已归于一类，则把另一个也归入该类；如果一对分类对象正好属于已归的两类，则把这两类并为一类；每一次归并，都划去该对象所在的列与列序相同的行；④ 那么，经过m-1次就可以把全部分类对象归为一类，这样就可以根据归并的先后顺序作出聚类谱系图。 ★ 直接聚类法虽然简便，但在归并过程中是划去行和列的，因而难免有信息损失。因此，直接聚类法并不是最好的系统聚类方法。 [举例说明]（点击打开新窗口，显示该内容）例：已知九个 农业区之间的绝对值距离矩阵，使用直接聚类法做聚类分析。解：
聚类分析法的原理及应用 1. 引言 聚类分析法是一种常见的无监督学习方法，它可以将数据集中的个体划分成若干个互不重叠的簇，使得同一个簇内的个体相似度较高，不同簇内的个体相似度较低。本文将介绍聚类分析法的原理及应用。 2. 聚类分析法的原理 聚类分析法的原理是基于数据个体之间的相似性或距离进行聚类。其主要步骤如下： 2.1 数据预处理 在进行聚类分析之前，需要对数据进行预处理，包括数据清洗、数据标准化等操作。这些操作旨在保证数据的准确性和可比性。 2.2 相似度度量 在聚类分析中，需要选择合适的相似度度量方法来衡量个体之间的相似性或距离。常见的相似度度量方法包括欧式距离、曼哈顿距离、余弦相似度等。选择合适的相似度度量方法对于聚类结果的准确性有着重要的影响。 2.3 聚类算法 根据相似度度量的结果，可以使用不同的聚类算法进行聚类操作。常用的聚类算法有层次聚类、K均值聚类、密度聚类等。不同的聚类算法适用于不同的数据特征和聚类目的。 2.4 簇个数确定 在聚类分析中，需要确定合适的簇个数。簇个数的确定对于聚类结果的解释和应用有着重要的影响。常见的簇个数确定方法有肘部法则、轮廓系数法等。 3. 聚类分析法的应用 聚类分析法在各个领域都有广泛的应用。以下列举了一些常见的应用场景： 3.1 市场细分 在市场营销中，聚类分析法可以根据消费者的购买行为和偏好将市场细分成不同的消费群体。这有助于企业精准定位和个性化营销。
3.2 社交网络分析 在社交网络分析中，聚类分析法可以根据用户之间的社交关系和兴趣爱好将用 户划分成不同的社区或兴趣群体。这有助于发现社交网络中的重要节点和推荐系统的个性化推荐。 3.3 图像分割 在计算机视觉领域，聚类分析法可以根据图像像素之间的相似度将图像进行分割。这有助于物体识别、图像检索等应用。 3.4 城市交通规划 在城市交通规划中，聚类分析法可以根据交通网络的拓扑结构和交通流量将城 市划分成不同的交通区域。这有助于优化交通规划和交通管理。 4. 总结 聚类分析法是一种重要的无监督学习方法，可以将数据个体划分成互不重叠的簇。本文介绍了聚类分析法的原理及应用。聚类分析法在市场细分、社交网络分析、图像分割、城市交通规划等领域都有广泛的应用前景。在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的相似度度量方法和聚类算法，并确定合适的簇个数。
聚类分析的类型简介及应用 聚类分析是一种无监督学习的方法，它将数据集中的对象按照其相似性分为若干个互不重叠的子集，每个子集被称为一个簇。不同的聚类分析方法根据其内聚力和分离力的不同标准，可以分为层次聚类、划分聚类、密度聚类和模型聚类等类型。下面将对这些聚类分析的类型进行详细介绍，并介绍它们的应用领域。 1. 层次聚类：层次聚类根据簇间的连续关系进行分类，可以形成一个层次性的聚类结果。层次聚类分为凝聚式和分离式两种方法。凝聚式聚类从每个数据点开始，逐渐合并相邻的数据点，直到所有的数据点都被合并成一个簇。分离式聚类从所有的数据点开始，逐渐将它们分成更小的簇，直到每个数据点都成为一个簇。层次聚类的优点是不需要事先指定簇的个数，缺点是时间复杂度较高，适用于数据较少、簇的个数未知的情况。层次聚类的应用包括社交网络分析、生物信息学、图像分析等。 2. 划分聚类：划分聚类根据簇内的相似性和簇间的分离度将数据集划分成不同的簇。常用的划分聚类方法有K-means聚类和K-medoids聚类。K-means聚类将数据集分成K个簇，每个簇的中心是该簇中所有数据点的均值。K-medoids 聚类是K-means聚类的扩展，每个簇的中心是该簇中离其他数据点最近的数据点。划分聚类的优点是计算速度快，缺点是对初始簇中心的选择敏感，适用于大规模数据集和已知簇个数的情况。划分聚类的应用包括市场细分、用户分类、图像压缩等。
3. 密度聚类：密度聚类根据数据点的密度将其划分成不同的簇。常用的密度聚类方法有DBSCAN和OPTICS。DBSCAN通过设置一个半径范围和一个最小邻居数目的阈值，标记样本点为核心点、边界点或噪声点，并将核心点连接成簇。OPTICS根据样本点之间的密度和距离建立一个可达距离图，通过截取距离图的高度获得不同的簇。密度聚类的优点是不需要指定簇的个数，对噪声和离群点鲁棒性较强，缺点是对参数的选择敏感，计算复杂度较高，适用于数据集具有不规则形状的情况。密度聚类的应用包括异常检测、图像分割、轨迹分析等。 4. 模型聚类：模型聚类假设数据集服从某种概率分布，并通过最大似然估计等方法来选择合适的模型和参数。常用的模型聚类方法有高斯混合模型（GMM）和潜在狄利克雷分配（LDA）。GMM假设每个簇服从一个高斯分布，通过估计高斯分布的参数来找到最合适的簇。LDA用于文本挖掘和主题模型中，它将文档看作词的集合，并通过估计主题的分布来划分簇。模型聚类的优点是能够将数据集建模成概率分布，可以处理复杂的数据结构，缺点是计算复杂度较高，对数据的分布假设较为敏感，适用于数据集具有明显的概率分布的情况。模型聚类的应用包括文本聚类、主题模型、推荐系统等。 总之，聚类分析是一种常用的无监督学习方法，可以根据数据的相似性将其划分成不同的簇。不同类型的聚类分析方法根据其内部原理和假设的不同，适用于不同类型的数据集和应用场景。在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的聚类方法，并进行参数调优和结果评估，以得到具有实际意义的聚类结果。
精心整理聚类分析 （一）聚类分析基本概念 （1）有若干个变量（或指标），例3-1的2个变量是样本均值和样本标准差；例3-2的变量是对式样、图案、颜色、材料的态度；例3-3的变量是销售增长、销售利润和新客户销售额；例3-4的变量是出生率、死亡率和婴儿死亡率；…。这些变量称为自变量或聚类变量。 （2）有若干次观测，每次观测值由若干个数值组成，每次观测值称为1个个体或1个样品： 例3-11个 次观测（53-6将 （3 1 （2） 2 ，20，10，0，-10。X1均值1，样本标准差1.581；将x1观测值减去平均值1，除以1.581，得到1.26502，0.63251，0.00000，-0.63251，-1.26502；1.26502，0.63251，0.00000，-0.63251，-1.26502是3，2，1，0，-1的标准化。X2标准化后也得到1.26502，0.63251，0.00000，-0.63251，-1.26502。标准化后的数与单位无关。 系统聚类从“统计>多变量>观测值聚类”进入观测值聚类框；点间距离，类间距离根据情况选取。动态聚类从“统计>多变量>K均值聚类”进入K均值聚类框；点间距离固定为Euclidean，类间距离固定为质心法，无需再选取。
（1）欧氏距离 欧氏（Euclidean ）距离定义为： ij d = (,1, )i j n =(3-2) 欧氏距离是聚类分析中使用最广泛的距离，上式也称为简单欧氏距离。另一种常用的形式是平 方欧氏距离，即取上式的平方，记为2 ij d 。平方欧氏距离的优点是，因为不再计算平方根，不仅理 论上简单，而且提高了计算机的运算速度。 （2） )，(3-3) 其中k V （3 ,)n (3-4) 是对（4较好，如果变量之间相关，则聚类结果往往不够好，为此考虑马氏距离。 设样本方差阵为S ，设i j X ,X 是2个样品所成向量。则i j X ,X 的马氏距离是 3-5） 有时为了避免开平方，称-1i j i j (X -X )'S (X -X )为平方马氏距离。严格地说，由于样品属于多个类，计算样本总协方差阵S 应当按第2章式（2-3）即各样本协方差阵i S 的加权平均计算，但由于聚类
聚类分析原理 聚类分析是一种常用的数据分析方法，它可以帮助我们将数据集中的对象按照 它们之间的相似性进行分组。在实际应用中，聚类分析被广泛应用于市场分割、社交网络分析、生物信息学等领域。本文将介绍聚类分析的原理及其在数据分析中的应用。 首先，聚类分析的原理是基于对象之间的相似性来进行分组。相似的对象被分 到同一组中，而不相似的对象则被分到不同的组中。这里的相似性可以通过不同的距离度量来进行计算，比如欧氏距离、曼哈顿距离、余弦距离等。通过计算对象之间的距离，我们可以得到一个距离矩阵，然后利用聚类算法将对象进行分组。 其次，聚类分析可以分为层次聚类和非层次聚类两种方法。层次聚类是一种自 下而上或自上而下的聚类方法，它通过计算对象之间的相似性来构建聚类树，然后根据树的结构来进行分组。非层次聚类则是一种直接将对象分成若干组的方法，常用的算法包括K均值聚类、DBSCAN聚类等。这些方法各有优缺点，可以根据具 体的应用场景来选择合适的方法。 在实际应用中，聚类分析可以帮助我们发现数据集中的内在结构，从而进行市 场细分、用户画像分析等工作。比如在市场营销中，我们可以利用聚类分析来将用户分成不同的群体，然后针对不同的群体制定个性化的营销策略；在生物信息学中，我们可以利用聚类分析来对基因进行分类，从而发现不同基因之间的关联性。总之，聚类分析是一种非常有用的数据分析方法，它可以帮助我们更好地理解和利用数据。 总结一下，聚类分析是一种基于对象相似性的分组方法，它可以帮助我们发现 数据集中的内在结构，从而进行市场分割、社交网络分析、生物信息学等工作。在实际应用中，我们可以根据具体的需求选择合适的聚类算法，并利用聚类分析来进行数据挖掘和洞察。希望本文对聚类分析的原理及其应用有所帮助。
聚类分析原理 聚类分析是一种常用的无监督学习方法，它通过对数据进行分组，将相似的对象归为一类，而不同类别之间的对象则具有较大的区别。聚类分析的原理是寻找数据内部的结构和规律，帮助我们理解数据集的组成和特点。 聚类分析的核心思想是相似度或距离度量，即将数据样本看作在一个特征空间中的点，通过计算样本之间的距离或相似度，确定样本之间的关系。常用的距离度量方法有欧氏距离、曼哈顿距离、闵可夫斯基距离等，而相似度度量方法则包括余弦相似度、相关系数等。这些度量方法在聚类分析中起着重要的作用，帮助我们衡量不同样本之间的差异程度。 聚类分析的过程包括以下几个步骤。首先，选择适当的特征空间和相似度度量方法。其次，选择合适的聚类算法，根据数据的特点确定聚类的数量。常见的聚类算法有层次聚类、K-means聚类、DBSCAN 聚类等。不同的算法适用于不同类型的数据集，选择合适的聚类算法对聚类结果的质量至关重要。然后，通过迭代计算的方式优化聚类结果，直到满足停止条件。最后，对聚类结果进行评估和解释，利用聚类结果可以识别出数据集中的特殊模式、异常值等。 聚类分析在许多领域中都有广泛的应用。例如，在市场细分中，可以利用聚类分析方法将消费者划分为不同的群体，以便针对不同群体制定不同的市场策略。在社交网络中，可以对用户进行聚类分析，找出具有相似兴趣、社交关系的用户群体。在医学领域，可以利用聚类分析对疾病进行分类，从而更好地理解其发展规律和治疗方法。 聚类分析也存在一些挑战和限制。首先，聚类结果的有效性和稳定性很大程度上取决于特征选择和相似度度量的准确性。如果选择了不合适的特征或相似度度量方法，可能导致聚类结果不准确或不可解释。其次，对于大规模数据集，聚类分析的计算复杂度很高，需要消耗大量的计算资源和时间。因此，在应用聚类分析之前，需要仔细考
令狐采学创作 聚类分析原理及步骤 令狐采学 ——将未知数据按相似程度分类到不同的类或簇的过程 1》传统的统计聚类分析方法包括系统聚类法、分解法、加入法、动态聚类法、有序样品聚类、有重叠聚类和模糊聚类等。采用k-均值、k-中心点等算法的聚类分析工具已被加入到许多著名的统计分析软件包中，如SPSS、SAS等。 典型应用 1》动植物分类和对基因进行分类 2》在网上进行文档归类来修复信息 3》帮助电子商务的用户了解自己的客户，向客户提供更合适的服务 主要步骤 1》数据预处理——选择数量，类型和特征的标度（（依据特征选择和抽取）特征选择选择重要的特 征，特征抽取把输入的特征转化为一个新的显著特 征，它们经常被用来获取一个合适的特征集来为避 免“维数灾”进行聚类）和将孤立点移出数据（孤 立点是不依附于一般数据行为或模型的数据）2》为衡量数据点间的相似度定义一个距离函数——既
然相类似性是定义一个类的基础，那么不同数据之间在同一个特征空间相似度的衡量对于聚类步骤是很重要的，由于特征类型和特征标度的多样性，距离度量必须谨慎，它经常依赖于应用，例如，通常通过定义在特征空间的距离度量来评估不同对象的相异性，很多距离度都应用在一些不同的领域一个简单的距离度量，如Euclidean距离，经常被用作反映不同数据间的相异性，一些有关相似性的度量，例如PMC和SMC，能够被用来特征化不同数据的概念相似性，在图像聚类上，子图图像的误差更正能够被用来衡量两个图形的相似性 3》聚类或分组——将数据对象分到不同的类中【划分方法（划分方法一般从初始划分和最优化一个聚类标准开始，Crisp Clustering和Fuzzy Clusterin是划分方法的两个主要技术，Crisp Clustering，它的每一个数据都属于单独的类；Fuzzy Clustering，它的每个数据可能在任何一个类中）和层次方法（基于某个标准产生一个嵌套的划分系列，它可以度量不同类之间的相似性或一个类的可分离性用来合并和分裂类）是聚类分析的两个主要方法，另外还有基于密度的聚类，基于模型的聚类，基于网格的聚类】4》评估输出——评估聚类结果的质量（它是通过一个类有效索引来评价，，一般来说，几何性质，包括
1聚类分析内涵 1.1聚类分析定义 聚类分析（Cluster Analysis）是一组将研究对象分为相对同质的群组(clusters)的统计分析技术. 也叫分类分析(classification analysis)或数值分类(numerical taxonomy)，它是研究（样品或指标）分类问题的一种多元统计方法，所谓类，通俗地说，就是指相似元素的集合。 聚类分析有关变量类型:定类变量,定量(离散和连续)变量 聚类分析的原则是同一类中的个体有较大的相似性，不同类中的个体差异很大。 1.2聚类分析分类 聚类分析的功能是建立一种分类方法，它将一批样品或变量，按照它们在性质上的亲疏、相似程度进行分类． 聚类分析的内容十分丰富，按其聚类的方法可分为以下几种： (1)系统聚类法：开始每个对象自成一类，然后每次将最相似的两类合并，合并后重新计算新类与其他类的距离或相近性测度．这一过程一直继续直到所有对象归为一类为止．并类的过程可用一张谱系聚类图描述． (2)调优法(动态聚类法)：首先对n个对象初步分类，然后根据分类的损失函数尽可能小的原则对其进行调整，直到分类合理为止． (3)最优分割法(有序样品聚类法)：开始将所有样品看成一类，然后根据某种最优准则将它们分割为二类、三类，一直分割到所需的K类为止．这种方法适用于有序样品的分类问题，也称为有序样品的聚类法． (4)模糊聚类法：利用模糊集理论来处理分类问题，它对经济领域中具有模糊特征的两态数据或多态数据具有明显的分类效果． (5)图论聚类法：利用图论中最小支撑树的概念来处理分类问题，创造了独具风格的方法． (6)聚类预报法：利用聚类方法处理预报问题，在多元统计分析中，可用来作预报的方法很多，如回归分析和判别分析．但对一些异常数据，如气象中的灾害性天气的预报，使用回归分析或判别分析处理的效果都不好，而聚类预报弥补了这一不足，这是一个值得重视的方法。 聚类分析根据分类对象的不同又分为R型和Q型两大类，R型是对变量(指标)进行分类，
聚类分析应用中的距离计算算法聚类分析是现代数据分析中常用的一种技术，它通过对数据集 中的对象进行分类，帮助研究人员发现其中的规律和趋势。在聚 类分析中，距离计算算法发挥了非常重要的作用，它影响着聚类 结果的准确性和稳定性。本文将介绍几种常用的距离计算算法， 并讨论它们的优缺点以及适用场景。 1. 欧几里德距离算法 欧几里德距离算法是最常用的距离计算算法之一，它可以测量 两个对象之间的直线距离。在二维空间中，欧几里德距离算法的 计算公式为：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)，其中(x1, y1)和(x2, y2)是两个对象的坐标。在n维空间中，欧几里德距离算法的计算公 式为：d = √((x2_1 - x1_1)^2 +(x2_2 - x1_2)^2 + ... +(x2_n - x1_n)^2)。 欧几里德距离算法的优点在于计算简单，容易理解和实现。然而，欧几里德距离算法并不适用于所有情况。当数据集中存在离 群点时，欧几里德距离算法的效果会受到影响，因为它会将离群 点的影响放大。此外，当数据集的维度较高时，欧几里德距离算 法的效果也会变差，因为高维空间中距离的概念不如低维空间那 么直观。
2. 曼哈顿距离算法 曼哈顿距离算法是另一种常用的距离计算算法，它可以测量两个对象之间的曼哈顿距离。在二维空间中，曼哈顿距离算法的计算公式为：d = |x2 - x1| + |y2 - y1|，其中(x1, y1)和(x2, y2)是两个对象的坐标。在n维空间中，曼哈顿距离算法的计算公式为：d = |x2_1 - x1_1| +|x2_2 - x1_2| + ... +|x2_n - x1_n|。 相比于欧几里德距离算法，曼哈顿距离算法更适用于存在离群点和高维空间的情况。因为它不会受到离群点的影响，且在高维空间中不会出现距离概念不直观的问题。但是，曼哈顿距离算法也有一定的缺点。它无法处理对象之间环路的情况，即若存在一条由A到B到C到D的路径，曼哈顿距离算法无法测量A到D 之间的距离。 3. 余弦相似度算法 除了欧几里德距离算法和曼哈顿距离算法外，还有一种常用的距离计算算法是余弦相似度算法。它可以测量两个对象之间的相
spss聚类分析 SPSS是一款广泛使用的统计分析软件，其中包含了聚类分析的功能。聚类分析是通过对数据进行归类，将数据划分为不同的样本组，并通过比较不同样本组之间的差别，来发现样本之间的联系和规律。因此，在社会科学研究、医学研究、市场调研等领域都有广泛的应用。 聚类分析的主要目的是通过样本之间的相似性，将样本划分为不同的组别。这些组别应当具有高度的内聚性和低度的外在性。通常情况下，聚类分析主要分为两类：基于距离的聚类和基于密度的聚类。在基于距离的聚类中，样本之间的相似性是通过计算它们之间距离的度量来确定的，而在基于密度的聚类中，相似性是通过样本之间的密度来定义的。 SPSS中的聚类分析可以按照样本之间的相似性和可分性来进行分析。在分析之前需要确定聚类的样本数量和采用的距离度量。距离度量可以是欧氏距离、曼哈顿距离、皮尔森相关系数等。样本数量的确定可以采用层次聚类或K均值聚类等方法。 层次聚类分析将样本逐步合并成越来越大的组别，直到形成一个大的聚类。这种方法是基于距离的聚类方法，通常使用最短距离法、最长距离法、中间距离法、重心距离法等来确定样本之间的距离。聚类的结果可以用树状图或热图来进行展示。 另一种方法是K均值聚类，它将样本分成K个组别，使得组内样本之间的距离最小，而组间的距离最大。该方法采用
欧氏距离来衡量样本之间的距离。在进行K均值聚类分析时，需要确定聚类的数量，可采用手动设置和基于统计指标的自动调整方法等进行确定。 聚类分析的结果可以用样本聚类图、热图和Dendrogram 等方式进行展示。聚类分析的结果可用来确定样本之间的相似性，进而探究变量之间的关系。同时，聚类分析也可用于分类问题的解决，对于预测和分类都有重要的应用。 总之，SPSS聚类分析是现代研究中经常采用的一种分析技术，它能够发现数据背后的内在结构，帮助我们更好地理解和处理研究问题。
多元统计分析——聚类分析 多元统计分析中的聚类分析(Cluster Analysis)是一种将相似的个体或对象归为一类的数据分析方法。聚类分析的目的是通过寻找数据中的相似性来识别或发现存在的模式和结构，可以帮助我们理解和解释数据中的复杂性。聚类分析在许多领域中都得到了广泛的应用，例如市场细分、社会学、生物学、医学等。 聚类分析的基本原理是将数据样本根据其相似性归为不同的组或类。相似性可以通过计算数据之间的距离或相似度来度量。常用的距离度量方法有欧氏距离、曼哈顿距离、闵可夫斯基距离等，相似度度量方法有相关系数、夹角余弦等。在聚类分析中，我们通常将相似的样本放在同一类别中，不相似的样本放在不同类别中。 聚类分析可以分为两种类型：层次聚类和划分聚类。层次聚类是一种将数据样本分层次地组织成树状结构的聚类方法。划分聚类则是将数据样本划分为预先确定的K个不重叠的类的聚类方法。其中最常用的层次聚类算法有聚合法和分裂法，最常用的划分聚类算法是K均值算法。 聚类分析的基本步骤包括数据准备、相似度度量、类别划分和结果解释。在数据准备阶段，需要选择合适的变量和样本。相似度度量是聚类分析的核心，不同的距离或相似性度量方法可能会导致不同的聚类结构。类别划分可以根据层次聚类算法或划分聚类算法来进行。结果解释则是对聚类结果进行分析和解释，常用的方法包括聚类矩阵、平均距离图、树状图等。 聚类分析的优势在于能够帮助我们理解数据中的结构和模式，发现数据中的共性和差异性。聚类分析可以为我们提供有关样本之间的关系和特
征的重要信息。此外，聚类分析还可以帮助我们进行市场细分和目标市场选择、发现新的疾病群和药物靶点等。 然而，聚类分析也存在一些局限性。首先，聚类结果可能会受到初始聚类中心选择的影响。其次，聚类结果的解释需要结合领域知识和专家判断，可能存在主观性。此外，聚类分析对数据的样本大小和变量数目也有一定的要求，数据的维度增加会导致计算量的增加。
聚类分析中常用的距离 聚类分析是数据分析中一种常用的技术，它可以帮助对象之间的关系进行划分、推断以及研究。聚类分析的基本思想就是将被调查者分为几类，使每类中的个体尽可能具有相似的特征，而不同组之间的特征则尽可能不同。聚类分析是建立在距离概念上的，因此距离是聚类分析中不可或缺的重要因素。本文将介绍聚类分析中常用的距离，以期使读者能够选择正确的距离来完成聚类分析。 在聚类分析中，最常用的距离有欧式距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离、闵可夫斯基距离和马氏距离等。欧式距离是最常用的距离，它的计算方式是计算两个点之间的直线距离，即两个点的每一个维度之间的差的平方和再开平方根，可以表示为： d(x,y)=√d2(x,y)=∑xi-yi2 曼哈顿距离是另一种常用的距离，它与欧式距离不同之处在于它采用的是绝对距离，也就是说，它不考虑维度的平方关系，只考虑绝对的差值，可以表示为： d(x,y)=∑|xi-yi| 切比雪夫距离是欧式距离和曼哈顿距离的折衷，它介于两者之间，可以表示为： d(x,y)=∑|xi-yi|p 闵可夫斯基距离又称交叉距离，它是由结构问题中的最短路径算法演化而来的，可以表示为： d(x,y)=min(∑xi+yi)
马氏距离是数据分析中最重要的距离，它介于欧式距离和曼哈顿距离之间，被用来衡量两组数据的相似性，可以表示为： d(x,y)=√ (xi-yi/σi2) 以上就是聚类分析中常用的距离，各种距离各有特点，用户可以根据自己的需要来选择最合适的距离。当然，在实际应用中，也常常用多种距离或者组合多种距离来构建新的距离指标，以更加完善的分析处理数据。总之，距离的选择是聚类分析的重要组成部分，一个准确的距离指标是保证聚类分析结果准确性的关键。
聚类分析中常用的距离 聚类分析是数据挖掘中一项重要的技术，其目的是将复杂的现实世界大量数据进行分类和分组，以期获得更直观和更具体的信息。一个重要的组件是找到距离，以计算不同元素之间的相似度。这里，我们将讨论聚类分析中常用的距离。 首先，我们可以考虑欧几里得距离，也被称为L2距离。这是经 典的距离度量，计算公式为： d(v1，v2) = ( (v1xv2x)2 + (v1yv2y)2 + (v1zv2z)2) 其中v1，v2分别代表两个元素，x，y，z代表三个属性。欧氏 距离简单易行，但需要所有属性均为连续值。 第二，我们可以考虑曼哈顿距离，也被称为L1距离。这种距离 度量可以用于比较连续值和离散值。计算公式为： d (v1，v2) = |v1xv2x| +|v1yv2y| +|v1zv2z| 曼哈顿距离可以用于捕捉属性之间的相异性，比如在文本分析中，如果一个文本中有某个词，而另一个文本中没有，我们可以使用曼哈顿距离来识别它们之间的差异。 此外，我们还可以考虑使用余弦相似性。它是一种度量元素之间相似性的常用技术，尤其适用于文本分析，因为它允许对不同文本向量进行度量。计算公式如下： cos = (v1v2) / |v1| * |v2| 其中v1，v2分别代表两个元素的特征向量，是内积，|v1|和|v2|表示距离的平方。范围从-1到1，两个向量完全相同时为1，完全不
相关时为-1。 最后，可以考虑使用杰卡德相似性，也称为相似系数。它与余弦相似性有着相同的计算公式，但它可以用于比较离散值，而不仅仅是文本分析中的连续值。计算公式如下： 杰卡德相似性 = (v1v2) / (|v1| + |v2| (v1v2)) 其中v1，v2分别表示两个特征向量，是内积，|v1|和|v2|表示距离的平方。范围从0到1，两个向量完全相同时为1，完全不相关时为0。 因此，我们可以看到，聚类分析中有许多不同的距离，因此它们的选择取决于我们的数据类型和具体的分类目标。简而言之，如果你想要度量连续值之间的相似性，那么使用欧几里得距离是最方便的，但如果你想要度量离散值之间的相似性，那么使用曼哈顿距离或杰卡德相似性更加恰当。 综上所述，聚类分析中常用的距离有欧几里得距离、曼哈顿距离、余弦相似性和杰卡德相似性，我们在进行聚类分析时必须选择合适的距离来识别不同元素之间的相似度。它们的选择取决于我们的数据类型和具体的分类目标，因此我们必须在进行聚类分析之前仔细研究这些距离，以找出最佳选择。
1、什么是聚类分析 聚类分析也称群分析或点群分析，它是研究多要素事物分类问题的数量方法，是一种新兴的多元统计方法，是当代分类学与多元分析的结合。其基本原理是，根据样本自身的属性，用数学方法按照某种相似性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按这种亲疏关系程度对样本进行聚类。 聚类分析是将分类对象置于一个多维空问中，按照它们空问关系的亲疏程度进行分类。通俗的讲，聚类分析就是根据事物彼此不同的属性进行辨认，将具有相似属性的事物聚为一类，使得同一类的事物具有高度的相似性。 聚类分析方法，是定量地研究地理事物分类问题和地理分区问题的重要方法，常见的聚类分析方法有系统聚类法、动态聚类法和模糊聚类法等。 2、聚类分析方法的特征 (1 )、聚类分析简单、直观。 (2) 、聚类分析主要应用于探索性的研究，其分析的结果可以提供多个可能的解，选择最终的解需要研究者的主观判断和后续的分析。 (3) 、不管实际数据中是否真正存在不同的类别，利用聚类分析都能得到分成若干类别的解。 (4) 、聚类分析的解完全依赖于研究者所选择的聚类变量，增加或删除一些变量对最终的解都可能产生实质性的影响。 (5) 、研究者在使用聚类分析时应特别注意可能影响结果的各个因素。 (6) 、异常值和特殊的变量对聚类有较大影响，当分类变量的测量尺度不一致时，需要事先做标准化处理。 3、聚类分析的发展历程 在过去的几年中聚类分析发展方向有两个：加强现有的聚类算法和发明新的聚类算法。现在已经有一些加强的算法用来处理大型数据库和高维度数据，例如小波变换使用多分辨率算法，网格从粗糙到密集从而提高聚类簇的质量。 然而，对于数据量大、维度高并且包含许多噪声的集合，要找到一个“全能”的聚类算法是非常困难的。某些算法只能解决其中的两个问题，同时能很好解决三个问题的算法还没有，现在最大的困难是高维度(同时包含大量噪声)数据的处理。 算法的可伸缩性是一个重要的指标，通过采用各种技术，一些算法具有很好的伸缩