《圆的周长和面积》教材内容说明（一）单元教育目标1、通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值；探索并掌握圆的周长和面积公式，能运用公式解决简单的问题。
2、在观察、操作、推理活动中，发展合情推理能力，能进行有条理地思考，能比较清楚地表达自己思考的过程与结果。
3、能探索分析和解决问题的有效方法，能表达解决问题的思路和方法，增强应用意识，提高实践能力。
4、积极参加数学活动，获得探索同面积公式的经验，在运用圆周长和面积知识解决问题的过程中，认识数学的价值。
（二）单元教材说明本单元内容是在学生认识了圆，掌握了长方形、平行四边形、三角形等面积计算公式，具有一定探索面积公式经验的基础上学习的。
主要内容有：探索圆的周长公式，解决和圆周长有关的实际问题，探索圆的面积公式，解决和圆面积有关的实际问题，环形面积。
圆的周长和面积是小学阶段图形与几何部分的重要内容，《数学课程标准》提出的具体要求是：通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探索并掌握同的面积公式，并能解决简单的实际问题。
解读课程内容的上述要求，首先突出了数学学习的操作性和探索性，强调让学生经历探索圆周长和面积公式的过程。
另外，突出数学的应用，强调解决简单的实际问题。
本单元教材在设计思想和内容编排上有以下特点：1、让学生经历圆周长和圆面积公式探索的全过程。
圆的周长和面积公式是本单元的核心知识点和研究解决问题的生长点，让学生经历圆周长和面积公式的形成过程，有利于学生理解、掌握计算公式，并获得建构数学模型的活动经验。
教材在安排探索圆的周长和面积公式时，都设计了四个层面的活动。
让学生经历由个别到一般，由感性经验到理性推导的全过程。
（1）探索圆的周长的过程有以下四步：第一，让学生利用滚动法、缠绕法等自主测量硬币的周长，并计算周长除以直径，一方面获得测量圆的周长的活动经验，另一方面获得周长除以直径的个体数据。
第二，小组合作，分别测量三个大小不同的圆形物品的周长和直径，并计算周长除以直径，为归纳圆周率提供数据。
第三，根据观察测量并计算出的数据，发现周长是直径的3倍多一些，获得初步的结论。
第四，了解圆周率的发展史和我国数学家在研究圆周率中的贡献，确信探索结果的准确性，进而总结出圆周长的计算公式。
（2）探索圆的面积的过程有以下四步：第一，先让学生利用已有的知识，估算飞镖板的面积，再通过把飞镖板看成近似的小三角形估算，以及把飞镖板剪开拼成一个近似的长方形估算出面积，为探索活动打基础。
第二，让学生把圆形纸片分别平均分成16份、32份，剪开后拼成近似的长方形，观察、比较，体会两个近似长方形的变化。
第三，在操作的基础上，通过想象推理得出：平均分的份数越多，拼出的图形越像长方形。
第四，讨论“拼成的长方形和圆有什么关系”，进而总结出圆的面积公式。
2、在操作中体现“转化”的思想和方法，感受极限思想。
“转化”是数学学习中重要的思想和方法，在探索几何图形的面积、体积计算公式时，除最简单的基本图形长方形、正方形、长方体、正方体外，都是通过动手操作，把探索的图形转化成已知公式的图形推导出来的。
探索圆的面积公式，因为圆是封闭的曲线图形，图形转化的重点是化曲线图形为直线图形，而这种转化单纯通过直观操作是无法做到的，所以需要用“无限分割”的极限思想来想象和推理。
本单元探索圆的面积公式时，首先设计了三个方面的操作活动：第一，把现实生活中常见的飞镖板分割成20个近似的小三角形，拼成近似的长方形，让学生发现可以用这样的方法估算圆形物品的面积；第二，把一个圆形纸片平均分成16份，剪开拼成近似的长方形，由物品表面的变形到一般图形的转化；第三，把圆形纸片再平均分成32份剪拼成近似的长方形。
然后，让学生观察两次剪拼成的长方形，发现把圆平均分成32份拼成的图形更接近长方形。
接着让学生想一想“平均分的份数越多，拼出的图形会怎么样”，启发学生想象并推想出：圆形纸片平均分的份数越多，拼出的图形就越接近长方形。
这种探索活动，使学生进一步体会了“转化”的数学思想和方法，同时初次感受了无限分割和极限的数学思想，为以后的学习积累了数学活动经验。
3、重视数学知识与现实问题的联系，提高实践能力。
本单元重视所学知识与现实生活的联系体现在两个方面。
第一，通过现实中的典型事例认识所学知识。
如，认识圆的周长时，创设了“一家三口人骑不同型号的自行车外出郊游”的情境，通过车轮转动一周，谁的车走得远”理解周长的概念，感受车轮周长与直径的关系。
第二，在解决现实的问题中，学会运用所学知识。
如，学习了圆的周长公式以后，设计“两个小朋友用皮尺测量花坛的周长，求花坛直径是多少”的问题，学习利用公式解方程求出直径的方法。
再如，学习了面积计算公式后，设计“某公司计划建一个直径是11米的草坪，计算需要多少平方米草皮”的问题，学习已知圆的直径求圆的面积的计算方法。
这些问题都是现实生活中常见的、需要用计算解决的问题，一方面学会公式的灵活运用，另一方面，提高了学生解决实际问题的能力。
本单元共安排6课时，具体内容编排如下：1、圆的周长，安排2课时。
第1课时（教科书42页～44页），探索圆的周长公式。
教材共设计了四个层面的数学活动。
活动一，认识圆的周长。
教材设计了一家三口骑自行车去郊游的事情，呈现了三个人骑不同型号的自行车的情境。
“议一议”提I出两个问题：（1）车轮转动一周，谁的车走得远？为什么？（2）车轮转动一周走的距离和什么有关系？在学生讨论的基础上，用兔博士的话给出了车轮周长的概念：车轮转动一周走的距离就是车轮的周长。
活动二，测量一元硬币的周长和直径。
例1结合图示展示了两种测量硬币周长的方法，一是“滚动法”，把硬币在直尺上滚动进行测量；二是“缠绕法”，先用细绳绕硬币一周，再测量细绳的长。
活动三，总结圆的周长公式。
例2设计了三个方面的内容。
第一，小组合作，分别测量三个大小不同的圆形物品的周长和直径，并计算周长除以直径。
第二，观察测量和计算出的数据，说一说发现了什么。
教材用聪聪的话给出了结论：圆的周长是直径的3倍多一些。
第三，介绍圆周率，并总结计算公式。
教材用文字介绍：任何圆的周长都是它的直径的3倍多一些。
这个倍数是一个固定不变的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π（读作pài）表示。
同时说明，圆周率是一个无限不循环小数。
在进行计算时，一般只取它的近似值3.14（保留两位小数）。
然后，总结出圆周长的计算公式，并用字母表示。
为了让学生更深入地了解圆周率，在“兔博士圆站”中介绍了圆周率的发展史和我国数学家在研究圆周率中的贡献。
活动四，运用公式解决问题。
例3选择了在圆镜边缘镶嵌金属条的素材，给出镜面直径是25厘米，让学生利用公式计算金属条长是多少厘米。
本节课是在学生知道周长的含义，认识了圆的特征以及直径和半径关系，会进行小数除法计算等基础上学习的。
虽然内容比较多，但没有难以理解的概念。
教学的重点是让学生经历探索圆周率的过程，知道圆周率的字母表示和取值规定，并总结出圆的周长公式，学会简单应用。
教学活动中，教师要把握每个活动的目的，有序有效地组织教学。
全家骑自行车郊游的事例，结合“议一议”的两个问题讨论，重点使学生了解两点：一是车轮大的自行车转动一周走得远；二是转动一周走的距离和车轮的大小（辐条的长短）有关系。
例1测量一元硬币的周长和直径，并计算周长÷直径。
首先要给学生讨论测量方法、实际测量并计算的时间，一方面掌握测量圆形物品周长的方法，另一方面获得周长除以直径的个体数据。
例2测量三个圆形物品的活动，重点把握以下几个环节：第一，测量，并用计算器算出结果；第二，充分交流各组计算周长÷直径的结果，为后面探索规律提供丰富的数据；第三，归纳计算的结果，引导学生用自己的语言描述周长除以直径的商，得出圆的周长都是直径的3倍多一些，然后教师介绍圆周率、字母表示及取值规定；第四，根据周长÷直径＝π，推导出圆周长的计算公式：周长＝π×直径，进而总结出字母公式：C＝πd或C＝2πr。
例3圆周长公式的简单应用，先让学生尝试解决，再交流计算过程和结果。
第2课时（教科书45页、46页），圆周长的实际问题。
教材共安排了两个问题。
例4，已知周长求直径的问题：一个圆形花坛的周长是17.27米，它的直径是多少米？给出了两名同学用皮尺测量花坛的情境，“说一说”提出：已知花坛的周长，怎样求它的直径？接着用书中同伴交流的方式呈现了两种方法。
亮亮说：用周长除以π。
红红说：设花坛的直径为l米，列方程解答。
教材只给出列方程解答的过程。
例5，选择了某中学新建绿茵操场的素材，给出了示意图相有关数据，提出问题：沿跑道跑一圈是多少米？教材用丫丫的话提示了解决问题的思路：两端的两个半圆可以看作一个整圆。
用蓝灵鼠的话“用计算器算一算”强调关注计算的方法。
本节课是在学生掌握了圆的周长公式的基础上学习的。
主要目的是灵活运用圆的周长公式解决实际问题。
两个例题各有侧重点：例4让学生了解已知周长求直径可以用不同的方法，重点学习列方程解答方法；例5让学生了解操场跑道一圈可以怎样计算，重点使学生理解操场两端的两个半圆可以看作一个圆。
教学活动中，要抓住每个例题的重点，有效组织教学。
教学例4时，在学生弄清已知条件和所求问题的基础上，重点讨论“已知花坛的周长，怎样求它的直径”问题。
可以写出C＝πd的公式，让学生思考、讨论，使学生知道，已知周长和直径，可以通过“周长÷圆周率＝直径”解答，也可以直接用周长公式把直径设为x列方程解答。
2、圆的面积，安排4课时。
第1课时（教科书47页～49页），探索圆的面积公式。
教材安排了两个问题，例1，估算飞镖板的面积。
教材选择现实生活中人们玩的圆形飞镖板，一般都平均分成若干个近似小三角形，并涂上不同的颜色的典型事例。
例1呈现了用黄蓝两种颜色把飞镖板平均分成20份的示意图，给出飞镖板的半径是10厘米。
提出“估算飞镖板的面积”的要求。
兔博士提问：观察飞镖板，你发现了什么？教材用书中同伴的话说明飞镖板的特点。
亮亮说：飞镖板被平均分成20份。
红红说：每份都像一个小三角形。
接着给出了两种估算方法。
方法一，把飞镖板看成若干个小三角形估算。
教材给出一个小三角形的示意图，并用丫丫的话说出了三角形的底和高。
然后，分三个算式呈现了完整的计算过程。
先计算飞镖板的周长，再计算一个小三角形的面积，最后计算20个小三角形的面积。
方法二，把飞镖板上的20个小三角形剪开，按两种颜色上、下交叉拼成一个近似的长方形，并标出近似长方形的长（周长的一半）和高（10厘米），给出了求近似长方形面积的方法和结果。
例2小组合作，探索圆面积的计算公式。
教材设计了三个层面的探索活动。
活动一，剪拼图形。
用兔博士的话，先后提出把圆平均分成16份、32份，拼成近似的长方形的要求，并分别给出剪的示意图和拼成的图形。
