配套K122019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-4基本不等式 Word版含解析-

[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(2018届邯郸期中)若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2 C ．a |c |>b |c |D.a c 2＋1>bc 2＋1解析：A 选项不对，当a >0>b 时不等式不成立，故排除；B 选项不对，当a ＝0，b ＝－1时不等式不成立，故排除；C 选项不对，当c ＝0时，不等式不成立，故排除；D 选项正确，由于1c 2＋1>0，又a >b 故a c 2＋1>b c 2＋1，故选D. 答案：D2．(2018届衡水模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a >b ，c <d ，则a c >bd C ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d D ．若ab >0，a >b 则1a <1b解析：当c ＝0时，故A 错误；若a >b >0，c <0<d ，则a c <bd ，故B 错误； ∵c >d ，∴－d >－c ∴a －d >b －c ，故C 不一定正确；若ab >0，则a >b .可以分a >b >0和0>a >b 两种情况，都有1a <1b ，故D 正确．故选D.答案：D3．(2017届渝中区校级模拟)设0<a <1，b >c >0，则下列结论不正确的是( ) A ．a b <a c B ．b a >c a C ．log a b <log a cD.a b >ac解析：∵0<a <1，b >c >0，∴a b <a c ，b a >c a ，log a b <log a c ，a b <ac .∴只有D 错误，故选D.答案：D4．(2017届柳州一模)若x>y>1,0<a<b<1，则下列各式中一定成立的是() A．x a>y b B．x a<y bC．a x<b y D．a x>b y解析：y＝a x(0<a<1)在R上单调递减，y＝x a(a>1)在(0，＋∞)上单调递增，∵x>y>1,0<a<b<1，故a x<a y<b y，故选C.答案：C5．(2017届浙江温州质检)设a，b∈R，则“a>1，b>1”是“ab>1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a>1，b>1⇒ab>1；但ab>1，则a>1，b>1不一定成立，如a＝－2，b ＝－2时，ab＝4>1.故选A.答案：A6．已知a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是()A．a2>b2>c2B．a|b|>c|b|C．ac>bc D．ab>ac解析：∵a>b>c且a＋b＋c＝0，则a>0，c<0，b可大于0，可等于0，也可小于0，则当b＝0时，A、B均不成立．又∵c<0，a>b，∴ac<bc，∴C不成立．∵a>0，b>c，∴ab>ac.D成立．答案：D7．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是() A．a>b B．a＝bC．a<b D．a，b的大小不确定解析：a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，b＝m－m－1＝1m＋m－1，因为m＋1＋m>m＋m－1，所以a<b，选C.答案：C8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时教室D ．谁先到教室不确定解析：设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4sv 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，故s v 1＋s v 2>4sv 1＋v 2，故乙先到教室．答案：B9．(2017届四川乐山模拟)已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0，∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b10．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面1.2元的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买2套，则买票面1.2元的x 套与买票面2元的y 套应满足的条件为________．解析：票面1.2元的每套1.2×5＝6元，票面2元的每套2×4＝8元，则由题意可得x ，y 应满足的条件如下：⎩⎨⎧x ≥2，y ≥2，6x ＋8y ≤50，x ，y ∈N *，即⎩⎨⎧x ≥2，y ≥2，3x ＋4y ≤25，x ，y ∈N *.答案：⎩⎨⎧x ≥2，y ≥2，3x ＋4y ≤25，x ，y ∈N*11．若1a <1b <0，则下列不等式： ①1a ＋b<1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ； ④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是________．(填正确不等式的序号) 解析：由1a <1b <0，得b <a <0， ①因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b<0，1ab >0， 所以1a ＋b<1ab 成立，即①正确； ②因为b <a <0，所以－b >－a >0，则－b >|a |>0， 即|a |＋b <0，所以②错误；③因为b <a <0且1a <1b <0，所以a －1a >b －1b ，故③正确；④因为b <a <0，所以b 2>a 2，所以ln b 2>ln a 2成立，所以④错误．故正确的是①③.答案：①③12．(2017届湖北期末)当p ，q 都为正数且p ＋q ＝1时，试比较代数式(px ＋qy )2与px 2＋qy 2的大小．解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy . 因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p ，因此(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0，因此(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2，当且仅当x ＝y 时等号成立．13．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往，甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们买团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N ＋)，全票价每人为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx ，因为y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5， 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠。

第六篇 第4节一、选择题1．(2012年高考福建卷)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0， ∴lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ； 对选项B ，当sin x <0时显然不成立； 对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立； 对选项D ，∵x 2＋1≥1， ∴0<1x 2＋1≤1.故选C. 答案：C2．(2014安徽省示范高中高三模拟)“1<a <2”是“对任意的正数x,2x ＋ax ≥2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：2x ＋a x ≥22a ≥2⇒a ≥12.故选A.答案：A3．(2014重庆市部分重点中学高三联考)已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2(x ∈R )，则p ，q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p >qC ．p <qD ．p ≤q解析：p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时，取得等号；而由于x 2－2≥－2，故q ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4，故p ≥q .故选A. 答案：A4．(2012年高考浙江卷)若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B ．285C ．5D ．6解析：由x ＋3y ＝5xy ，得3x ＋1y ＝5(x >0，y >0)，则3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ＝15⎝⎛⎭⎫13＋12y x ＋3x y ≥15⎝⎛⎭⎫13＋212y x ·3x y ＝15(13＋12)＝5. 当且仅当12y x ＝3xy ，即x ＝2y 时，等号成立，此时由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，x ＋3y ＝5xy ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12.故选C.答案：C5．(2014宣城调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－4,2)D ．(－2,4)解析：x ＋2y ＝(x ＋2y )2x ＋1y ＝4＋4y x ＋xy ≥4＋24＝8，当且仅当x ＝2y ＝4时取等号，所以m 2＋2m <8解得－4<m <2.故选C. 答案：C6．(2014安徽淮南检测)设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝2，a 2＋b ＝4，则2x ＋1y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D4解析：由题意得：1x ＝log 2a ，1y＝log 2b ，2x ＋1y ＝2log 2a ＋log 2b ＝log 2(a 2b )≤log 2a 2＋b 22＝2，当且仅当b ＝a 2时等号成立，故选B. 答案：B 二、填空题7．(2014山东师大附中高三三模)设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值是________．解析：由题意知3a ×3b ＝(3)2，即3a ＋b ＝3， 所以a ＋b ＝1.所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ×a b＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，取等号，所以最小值为4.答案：48．(2013年高考四川卷)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.解析：因为x >0，a >0， 所以f (x )＝4x ＋ax ≥24a ＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即a ＝4x 2时取等号．由题意可得a ＝4×32＝36. 答案：369．已知直线ax －2by ＝2(a >0，b >0)过圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心，ab 的最大值为________．解析：圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心为(2，－1)， 因为直线过圆心，所以2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1. 所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号， 所以ab 的最大值为14.答案：1410．(2014北京朝阳质检)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 8 三、解答题11．已知函数f (x )＝lg x ，若x 1，x 2>0，判断12[f (x 1)＋f (x 2)]与f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的大小，并加以证明．解：12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 证明如下：∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1x 2)， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝lg x 1＋x 22， 且x 1，x 2>0，x 1x 2≤⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222， ∴lg(x 1x 2)≤lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22， 即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. ∴12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22， 当且仅当x 1＝x 2时，等号成立．12．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy， 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64. (2)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y＝1， 则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8y x＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.。

课时跟踪检测(四) 基本不等式一、题点全面练1．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12B.43 C ．－1D ．0解析：选D f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x－2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值是0. 2．(2018·哈尔滨二模)若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选D 由1＝2x＋2y≥22x·2y，变形为2x ＋y≤14，即x ＋y ≤－2，当且仅当x ＝y 时取等号．则x ＋y 的取值范围是(－∞，－2]．3．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C 因为1a ＋2b＝ab ，所以a >0，b >0，由ab ＝1a ＋2b ≥21a ·2b＝22ab，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.4．已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( ) A.12 B.32 C ．1D ．2解析：选C 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋a x＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋a x＋2≤－2a ＋2， 当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C.5．(2019·青岛模拟)已知x >0，y >0，(lg 2)x ＋(lg 8)y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是________．解析：因为(lg 2)x ＋(lg 8)y ＝lg 2，所以x ＋3y ＝1，则1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥4，当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时取等号，故1x ＋13y的最小值为4. 答案：46．规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________． 解析：由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0， 解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1，故k 的值为1. 又f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号，故函数f (x )的最小值为3. 答案：1 37．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x－2x 的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥2 3－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2，∴2－x >0， ∴y ＝x－2x ＝2·x－x≤ 2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x－2x 的最大值为 2.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1，若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( ) A.|a ＋b |2≥|ab | B.b a ＋a b≥2 C.a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22D ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4解析：选C 由于a ，b ∈R ，所以A 、B 、D 项不能直接运用基本不等式考察，先考虑C 项．∵a 2＋b 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋b 2－a 2＋2ab ＋b 24＝a 2－2ab ＋b 24＝a －b24≥0，∴a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.2．函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为________． 解析：∵x <0，∴y ＝1－2x －3x＝1＋(－2x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ≥1＋2－2x3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为[1＋26，＋∞)． 答案：[1＋26，＋∞)(二)素养专练——学会更学通3．[数学建模]高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低．设教室在第n 层楼时，环境不满意度为8n，则同学们认为最适宜的教室应在( )A ．2楼B ．3楼C ．4楼D ．8楼解析：选B 由题意知，同学们总的不满意度y ＝n ＋8n≥2n ·8n＝42，当且仅当n ＝8n，即n ＝22≈3时，不满意度最小，所以同学们认为最适宜的教室应在3楼．4．[数学运算]已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1.又x ＞0，y ＞0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当8x ＝2y，即x ＝16且y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋2x y＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当2x y ＝8yx，即x ＝12且y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(2018届襄城月考)不等式－x 2＋3x ＋4<0的解集为( ) A ．{x |x >4或x <－1} B ．{x |－1<x <4} C ．{x |x >1或x <－4}D ．{x |－4<x <1}解析：由不等式－x 2＋3x ＋4<0得， x 2－3x －4>0，即(x －4)(x ＋1)>0， 所以x <－1或x >4，所以不等式的解集为{x |x >4或x <－1}． 答案：A2．(2018届陆川月考)不等式x ＋12－x≤0的解集为( ) A ．{x |－1≤x ≤2} B ．{x |－1≤x <2} C ．{x |x ≤－1或x ≥2}D ．{x |x ≤－1或x >2}解析：由不等式x ＋12－x ≤0得⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －2)≥0，x ≠2，所以x ≤－1或x >2.所以不等式的解集为{x |x ≤－1或x >2}．答案：D 3．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1)D ．(－1,1]解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1.答案：C4．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q,1)，则p ＋q 的值为( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：依题意得q,1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，选B.答案：B5．(2017届皖南八校第二次联考)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A.答案：A6．(2017届清城区校级一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴不等式的解集是(－1,3)．故选C.答案：C7．(2017届保定模拟)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－235 解析：由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解，只需满足f (5)>0，即a >－235. 答案：A8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：设销售价定为每件x 元，利润为y 元，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件销售价应为12元到16元之间．答案：C9．(2017届钦州期末)关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab >0的解集是{x |x <－1或x >4}，则实数a 、b 的值分别________．解析：由不等式的解集为{x |x <－1或x >4}可得，－1,4是方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋4＝－(a ＋1)，－1×4＝ab ，解得a ＝－4，b ＝1. 答案：a ＝－4，b ＝110．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________． 解析：x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8， 所以y ＝log 12(x 2－6x ＋17)≤－3.答案：(－∞，－3]11．(2017届辽宁抚顺一中月考)当x ∈(－∞，1]时，不等式1＋2x ＋4x ·aa 2－a ＋1>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：显然a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，所以1＋2x ＋4x ·a >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x max (x∈(－∞，1])．又因为f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在(－∞，1]上单调递增，所以f (x )max ＝f (1)＝－34，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞12．(2017届张家界期末)已知不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集为{x |－3<x <1}．(1)求a 的值；(2)若不等式ax 2＋mx ＋3≥0的解集为R ，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集为{x |－3<x <1}， ∴1－a <0，且方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根为－3，1； 由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧41－a ＝－3＋1，61－a ＝－3，解得a ＝3.(2)不等式3x 2＋mx ＋3≥0的解集为R ， 则Δ＝m 2－4×3×3≤0，解得－6≤m ≤6， ∴实数m 的取值范围为[－6,6]． 13．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，要满足题意，则有⎩⎨⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0， 解得0<a ≤1.综上可知，实数a 的取值范围是[0,1]．(2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，由题意及(1)可知0<a ≤1， ∴当x ＝－1时， f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12， ∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0， 解得－12<x <32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.14．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小． 解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0. 当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a ，∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .[能 力 提 升]1．(2017届襄城区校级模拟)设a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个实根，则(a －1)2＋(b －1)2的最小值是( )A ．－494B ．18C ．8D ．－6解析：∵方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个根为a ，b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2m ，ab ＝m ＋6，且Δ＝4(m 2－m －6)≥0， ∴y ＝(a －1)2＋(b －1)2＝(a ＋b )2－2ab －2(a ＋b )＋2＝4m 2－6m －10＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －342－494，且m ≥3或m ≤－2.由二次函数的性质知，当m ＝3时，函数y ＝4m 2－6m －10可取得最小值，最小值为8.即函数y ＝(a －1)2＋(b －1)2的最小值是8.故选C.答案：C2．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.答案：B3．(2017届江西南昌模拟)在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，324．(2017届湖北荆门月考)设函数f (x )＝mx 2－mx －1. (1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围； (3)求使f (x )<0，且|m |≤1恒成立的x 的取值范围． 解：(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎨⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. 所以－4<m ≤0.(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，即 m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种解法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，则0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0， 所以m <6，所以m <0. 综上所述，m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0，即m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.(3)由f (x )<0，得mx 2－mx －1<0， 即(x 2－x )m －1<0.令g (m )＝(x 2－x )m －1，则g (m )<0， 对|m |≤1，即－1≤m ≤1恒成立．所以⎩⎨⎧ g (－1)<0，g (1)<0，即⎩⎨⎧－x 2＋x －1<0，x 2－x －1<0，解得1－52<x <1＋52.故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52.。

文科数学一轮复习学案4 基本不等式一、考试要点：1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

3.高考试题对本节内容的考查形式有二种：一是不等式的证明；二是用于求函数的最值，以选择和填空为主，中等难度。

二、知识梳理：1、常用的重要不等式：（1）对于任意实数,a b ，有22____2a b ab +，当且仅当________时，等号成立.（2）任意实数,a b ，22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （3）任意实数,a b ，22222b a b a +≤⎪⎭⎫⎝⎛+ （4）2≥+b a a b （b a ,同号） （5）2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+（0,0>>b a ） 2、基本不等式：设,(0,)a b ∈+∞，则2a b+____时，不等式取等号. 其中2ba +称为正数b a ,的 ，ab 称为正数b a ,的 。

基本不等式的四种变形为 。

3、利用基本不等式要注意条件及应用范围会变形应用基本不等式求最值。

（一正、二定、三相等） 三、基础自测1.（2009湖南）若0x >，则2x x+的最小值是 2.（2011佛山二模）已知1x >，则11y x x =+-的最小值为A.1B. 2C.D. 3四、考点分析题型一 利用基本不等式求最值 例题1：的最值。

求xx y 1+=变式训练1：已知2x >，求42x x +-的最小值．变式训练2：若实数y x 、满足4y x =+，则yx 33+的最小值是变式训练3：如果0,0,21x y x y >>+=，求11x y+的最小值.例题2：已知0,0,41a b a b >>+=，求ab 的最大值．变式训练4：)10)21(<<-=x x x y 的最大值（求函数题型二 利用基本不等式证明：例题3：已知1,0,0=+>>b a b a ，求证：91111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a变式训练5：已知1,0,0=+>>b a b a ，求证：411≥+ba题型三 利用基本不等式解决实际问题：例题4：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m 3，深为3 m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？（课本99页例2）变式训练6：（教材）半圆的半径为6，内接矩形的两个顶点在直径上另两顶点在半圆上，求矩形的长与宽多大时，矩形的面积最大？五、课堂练习 1、（2014深圳调研）若正实数b a ,满足1=+b a ，则（ ）A.b a 11+有最大值是4； B.ab 有最小值是41； C.b a +有最大值2 D.22b a +有最小值222、若y x ,是正实数，则()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++y x y x 41的最小值为（ ）A.6B.9C.12D.153、（11年广东模拟）下列函数最小值为2的是（ ）A.21222+++=x x y B.x x y 12+=C.()()220,22<<-=x x x y D.1222++=x x y4、下列命题中正确的有几个 （ ）1. 0>x 时1y x x =+的最小值是2 2.2y =的最小值是23.2y =的最小值是524.423y x x =--的最小值是2- A.1个 B.2个 C.3个 D.4个六、能力提升1、（2013年广东）已知0,0>>y x ，且,12=+y x 则xy 的最大值是（ ）A.41 B.81C.4D.82、（2014广东七校联考）已知不等式()91≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++y a x y x 对任意的正实数y x ,恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）A.2B.4C.6D.83、（2013深一模）已知0,0>>y x ，且,424=--y x xy 则xy 的最小值是（ ）A.223+B. 223-C.4D.24、（2013广东佛一模）设二次函数()()R x c x ax x f ∈+-=42的值域为[)+∞,0，则ac 91+ 的最小值为（ ） A.3 B 29C.5D.75、（2014广东十校联考）已知函数()x x f 2log =，且()()2=+b f a f ，则ba22⋅的最小值为 。

第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与一元二次不等式1．两个实数比较大小的依据(1)a－b＞0⇔a＞b.(2)a－b＝0⇔a＝b.(3)a－b＜0⇔a＜b.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(5)可乘方性：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方性：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系转化为正数，再对照上表求解．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( ) (2)若ab>1，则a >b .( )(3)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)同向不等式具有可加性和可乘性．( )(6)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(7)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)× 2．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A ．[0,3] B ．(0,3)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选A 要使函数f (x )＝3x －x 2有意义，则3x －x 2≥0，即x 2－3x ≤0，解得0≤x ≤3. 3．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a －b >1aB.1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：选A 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立． 4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0,4]D ．[0,4]解析：选D 当a ＝0时，满足条件；当a ≠0时，由题意知a >0且Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.5．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是________．解析：由题意知－12，13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.所以a ＋b ＝－14. 答案：－146．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________． 解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β |≤0. ∴－3<α－|β|<3. 答案：(－3,3)考点一 不等式的性质及应用基础送分型考点——自主练透[考什么·怎么考]1．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .答案：＜2．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________． 解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5. 当q ＞0且q ≠1时，S3a 3－S 5a 5＝a 1－q 3a 1q 2－q －a 1－q 5a 1q 4－q＝q 2－q3－－q5q4－q＝－q －1q4＜0， 所以S 3a 3＜S 5a 5. 综上可知S 3a 3＜S 5a 5. 答案：S 3a 3＜S 5a 5[题型技法] 比较两个数(式)大小的两种方法考法(二) 不等式的性质3．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b dD.a c ＜b d解析：选B 法一：因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0， 所以1－d ＞1－c＞0.又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b－c ，所以a d ＜b c.故选B.法二：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0c ＜d ＜0⇒c cd ＜dcd ＜0⇒1d ＜1c＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫－1d ＞－1c ＞0a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c＝－1，b d＝－1，排除选项C 、D ； 又∵－32＜－23，排除A ，故选B.4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A (a －b )·a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )·a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件．5．下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：选C 取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，故B 错误；∵a c 2<b c2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，故C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误．6．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2. 由－1<x <4,2<y <3， 得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 答案：(－4,2) (1,18) [题型技法]不等式性质应用问题的常见类型及解题策略解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4； (3)2x ＋1x －5≥－1；(4)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋＞0，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43.所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >5. (4)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0.所以当a ＞1，即1a <1时，解为1a＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜1. [解题师说]1．解一元二次不等式的4个步骤求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；(2)f xg x≥0(≤0)⇔{ f x g x，gx3．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[冲关演练]1．设函数f (x )＝{ x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为{ x <0，x ＋6>3或{ x ≥0，x 2－4x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，所以由根与系数的关系得⎩⎨⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝ba，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a.解得{ a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)． 3．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集． 解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a4，＋∞. 考点三 一元二次不等式恒成立问题题点多变型考点——追根溯源形如x f x x ∈确定参数的范围；形如x x ∈[a ，b确定参数范围；形如x参数m ∈[a ，b确定x [题点全练角度(一) 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围1．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)解析：选C 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，对一切x ∈R 恒成立． 当a ≠2时，则{ a －2<0，Δ＝a －2＋a －，即{ a －2<0，a 2<4，解得－2<a <2. ∴实数a 的取值范围是(－2,2]． [题型技法]一元二次不等式在R 上恒成立的条件角度(二) 形如f (x 2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，求实数b 的取值范围．解：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )的图象开口向下， 所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， 若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立， 则b 2－b －2＞0恒成立， 解得b ＜－1或b ＞2.所以实数b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． [题型技法]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .角度(三) 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧g －＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g＝x －＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． [题型技法]一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x 范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．[冲关演练]1．若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．2．若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧fm ＝m 2＋m 2－1<0，f m ＋＝m ＋2＋m m ＋－1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)， 又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)， ∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0， ∴M >N .2．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0C.⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0.3．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{}x |－1<x <3，B ＝{}x |－3<x <2，所以A∩B＝{}x |－1<x <2，由根与系数的关系可知a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.4．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验，可知D 正确． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ， 故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．5．(2018·广东清远一中一模)若关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选C 关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0， 解得－1<x <3，∴所求解集是(－1,3)．6．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 法一：因为1a <1b<0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.法二：由1a <1b<0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <1ab，故①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确。

[课时跟踪检测][基础达标]1．已知a，b∈(0,1)且a≠b，下列各式中最大的是()A．a2＋b2B．2abC．2ab D．a＋b解析：只需比较a2＋b2与a＋b.由于a，b∈(0,1)，∴a2<a，b2<b，∴a2＋b2<a ＋b.答案：D2．(2017届清新区校级一模)下列各函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋1 xB．y＝sin x＋1sin x，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C．y＝x2＋3 x2＋2D．y＝x＋1 x解析：对于A，∵x>0，∴y＝x＋1x≥2x×1x＝2，当且仅当x＝1时取等号．故选A.答案：A3．(2017届人大附中模拟)(3－a)(a＋6)(－6≤a≤3)的最大值为()A．9 B.9 2C．3 D.32 2解析：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式，可知(3－a)(a＋6)≤(3－a)＋(a＋6)2＝92，当且仅当a＝－32时等号成立．故选B.答案：B4．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则1ab的最小值为()A.14 B ．4 C.12D ．2解析：∵a >0，b >0,2a ＋b ＝4，∴1ab ＝22a ·b ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22＝12，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab min ＝12.答案：C5．(2017届金山模拟)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1即x ＝1＋3时取等号，故选A. 答案：A6．(2018届全国模拟)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：∵lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，∴lg(2x ·8y )＝lg 2，∴2x ＋3y ＝2，∴x ＋3y ＝1. ∵x >0，y >0，∴1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y＝12时取等号，故选C.答案：C7．(2018届雅安模拟)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)解析：当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |，故a 大于或等于－|x |＋1|x |的最大值．由基本不等式可得|x |＋1|x |≥2，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |≤－2，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |的最大值为－2，故实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.答案：B8．(2018届柳州模拟)设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为( )A ．2 3B ．8C ．4 3D ．4＋2 3解析：因为a >0，b >1且a ＋b ＝2，所以a ＋(b －1)＝1， 则3a ＋1b －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b －1[a ＋(b －1)]＝3＋ab －1＋3(b －1)a ＋1 ＝4＋ab －1＋3(b －1)a ≥4＋2 3. 当且仅当⎩⎨⎧ab －1＝3(b －1)a ，a ＋b ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－32，b ＝1＋32时等号成立．所以3a ＋1b －1的最小值为4＋2 3.答案：D9．(2017届山东临沂期中)若x ≥0，则y ＝x ＋4x ＋1的取值范围为________． 解析：y ＝x ＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1－1≥24－1＝3.⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＋1＝4x ＋1即x ＝1时等号成立因此y ＝x ＋4x ＋1的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)10．(2017届湖北八校二模)若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________． 解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ，所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时x ＋2y 取得最大值2.答案：211．(2017年江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和＝600x ×6＋4x ≥4×2× 900x ·x ＝240(万元)．当且仅当x ＝30时取等号． 答案：3012．某化工企业2015年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．解：(1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋2＋4＋6＋…＋2xx ，即y ＝x ＋100x ＋1.5(x ∈N *)． (2)由基本不等式得， y ＝x ＋100x ＋1.5≥2x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．13．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库底面积S的取值范围是多少？(2)为使仓库底面积S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？解：(1)设正面铁栅长为x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库底面积S＝xy.由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.因为x>0，y>0，所以4x＋9y≥24x－9y＝12xy＝12S，当且仅当4x＝9y 时取等号，所以6S＋S≤160，即(S)2＋6S－160≤0，所以0<S≤10，即0<S≤100.故仓库底面积S的取值范围是(0,100]．(2)当S＝100 m2时，4x＝9y且xy＝100，解得x＝15(m)，y＝203(m)．故当仓库底面积S达到最大，且实际投资不超过预算时，正面铁栅长为15 m.14．(2017届合肥二模)已知log 12(x＋y＋4)<log12(3x＋y－2)，若x－y≤λ恒成立，求λ的取值范围．解：由log 12(x＋y＋4)<log12(3x＋y－2)得，x＋y＋4>3x＋y－2>0，可行域如图中阴影部分所示，不包括边界．而x－y≤λ恒成立等价于(x－y)max≤λ，由可行域知，z＝x－y过点A(3，－7)时取得最大值10，而点A不在可行域内，所以λ的取值范围是[10，＋∞)．[能 力 提 升]1．(2017届徐汇区校级模拟)设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥22＋2 B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥22＋2解析：∵x ，y ∈R ＋，∴xy ≤(x ＋y )24(当且仅当x ＝y 时成立)．∵xy ＝1＋x ＋y ，∴1＋x ＋y ≤(x ＋y )24，解得x ＋y ≥2＋22或x ＋y ≤2－22(舍)，A 符合题意，可排除C ；同理，由xy ＝1＋x ＋y ，得xy －1＝x ＋y ≥2xy (当且仅当x ＝y 时成立)，解得xy ≥1＋2或xy ≤1－2(舍)，即xy ≥3＋22从而排除B 、D ，故选A.答案：A2．(2017届湖北黄石调研)圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和圆x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49解析：由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，圆心分别为(－a,0)，(0,2b )，半径分别为2和1，故有a 2＋4b 2＝3，所以a 2＋4b 2＝9，所以a 2＋4b 29＝1，所以1a 2＋1b 2＝a 2＋4b 29a 2＋a 2＋4b 29b 2＝19＋49＋4b 29a 2＋a 29b 2≥59＋2481＝1，当且仅当4b 29a 2＝a 29b 2时，等号成立，所以1a 2＋1b2的最小值为1.答案：A3．(2017届江西师大附中期末)不等式2x 2－axy ＋y 2≥0对于任意x ∈[1,2]及y ∈[1,3]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2 2B ．a ≥2 2C ．a ≤113D ．a ≤92解析：因为y 不为0，所以对原不等式两边同时除以y 2，能够得到2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－a ·x y ＋1≥0，令t ＝xy ，则不等式变为2t 2－at ＋1≥0，其中t 由x ，y 的范围决定，可知t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，这样就将原不等式恒成立转化为2t 2－at ＋1≥0在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒成立，由2t 2－at ＋1≥0可得a ≤2t 2＋1t ⇒a ≤2t ＋1t ，当t ＝22时，2t ＋1t 取得最小值22，且此时t ＝22∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，所以有a ≤2 2.答案：A4．(2018届珠海模拟)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________(其中a ＞0，b ＞0)．解析：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 23a ＋4b ＝log 2ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，因为a ，b ＞0，所以b ＝3aa －4＞0，解得a ＞4. a ＋b ＝a ＋3a a －4＝a ＋3(a －4)＋12a －4＝a －4＋12a －4＋7≥7＋2 (a －4)·12a －4＝7＋4 3.当且仅当a ＝4＋23时取等号，所以a ＋b 的最小值是7＋4 3. 答案：7＋4 35．(2018届陕西部分学校摸底检测)已知0＜x ＜32，则y ＝2x ＋93－2x 的最小值为________．解析：解法一：∵y ＝2x ＋93－2x ＝5x ＋6x (3－2x )，设5x ＋6＝t ，则x ＝t －65，∵0＜x ＜23，∴6＜t ＜283，∴y ＝5x ＋6x (3－2x )＝25t －2t 2＋39t －162＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，记f (t )＝t ＋81t ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，易知f (t )在(6,9)上是减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫9，283上是增函数，∴当t ＝9时函数f (t )＝t ＋81t 取得最小值，最小值为18，∴当t ＝9时函数y ＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39取得最小值，最小值为253.解法二：∵y ＝2x ＋93－2x ＝5x ＋6x (3－2x )，设5x ＋6＝t ，则x ＝t －65，∵0＜x ＜23，∴6＜t ＜283，∴y ＝5x ＋6x (3－2x )＝25t－2t 2＋39t －162＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，由基本不等式得t ＋81t ≥18(t ＝9时取等号)，∴当t ＝9时函数y ＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39取得最小值，最小值为253.解法三：∵0<x <32，∴0<2x <3， ∴y ＝2x ＋93－2x ＝42x ＋93－2x＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫42x ＋93－2x (2x ＋3－2x )＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋4(3－2x )2x ＋9·2x 3－2x ≥13(13＋2×6)＝253.当且仅当x ＝35时等号成立，∴y min＝253. 答案：253。

课堂达标(三十三) 基本不等式[A 基础巩固练]1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) [解析] 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确； 由基本不等式可知，选项C 正确； 当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确． [答案] C2．(高考湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4[解析] 由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝2 42时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.[答案] C3．(2017·山东)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2a[解析] 因为a >b >0，且ab ＝1，所以a >1,0<b <1，∴b2a <1，log 2(a ＋b )>log 22ab ＝1,2a＋1b >a ＋1b >a ＋b ⇒a ＋1b>log 2(a ＋b )，所以选B.[答案] B4．(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( )A ．9 B.92 C ．4D.52[解析] 将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，∴a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a＝2b ＝3时等号成立，即ab 的最大值是92，故选B.[答案] B5．正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18＝m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞)[解析] 因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b＝10＋b a ＋9a b≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. [答案] D6．(2018·吉林九校第二次联考)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( )A ．1B ．6C ．9D ．16[解析] ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1.同理可得b >1，所以1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1a －＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，所以最小值为6.故选B.[答案] B7．(2018·山东省实验中学一模试卷)已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是______．[解] 考察基本不等式x ＋2y ＝8－x ·(2y )≥8－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22(当且仅当x ＝2y 时取等号)整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y ＞0， 所以x ＋2y ≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号) 则x ＋2y 的最小值是4. [答案] 48．(2018·盐城三模)若a ，b 均为非负实数，且a ＋b ＝1，则1a ＋2b ＋42a ＋b的最小值为______．[解析] 由题意可知：3a ＋3b ＝3，故：1a ＋2b ＋42a ＋b＝13×[(a ＋2b )＋(2a ＋b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＋42a ＋b ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2a ＋ba ＋2b ＋a ＋2b 2a ＋b≥13×⎝⎛⎭⎪⎫5＋22a ＋ba ＋2b×a ＋2b 2a ＋b ＝13×9＝3.当且仅当a ＝1，b ＝0时等号成立． [答案] 39．(高考重庆卷)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为______． [解析] 令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2a ＋b ＋＝9＋2a ＋b ＋≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝72，b ＝32.所以t max ＝18＝3 2.[答案] 3 210．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．[解] (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg x ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25yx·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－40103∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. [B 能力提升练]1．(2018·河北五校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则3a ＋2b的最小值为( )A.256 B.83 C.113D ．4[解析] 不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z ＝ax ＋by 得y ＝－a b x ＋z b ，当z 变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－a b，在y 轴上的截距为z b，由图可知当直线经过点A (4,6)时，在y 轴上的截距最大，从而z 也最大，所以4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，所以3a ＋2b ＝2a ＋3b 6·⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋6＋4a b ＋9b a ≥4，当且仅当a ＝32，b ＝1时等号成立．[答案] D2．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.94D.256[解析] 由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)． 因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m ＋2－2＝24，所以m ＋n ＝6.所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32. 当且仅当n m ＝4mn时，等号成立， 又m ＋n ＝6，解得m ＝2，n ＝4，符合题意． 故1m ＋4n 的最小值等于32. [答案] A3．(2018·潍坊模拟)已知a ，b 为正实数，直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切，则a 2b ＋1的取值范围是______．[解析] ∵x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切， ∴d ＝|b ＋1＋a |2＝2，∴a ＋b ＋1＝2，即a ＋b ＝1，∴a 2b ＋1＝－b 2b ＋1＝b ＋2－b ＋＋4b ＋1＝(b ＋1)＋4b ＋1－4≥24－4＝0. 又∵a ，b 为正实数，∴a 2b ＋1的取值范围是(0，＋∞)．[答案] (0，＋∞)4．(2018·南昌二模)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足x ＝3－2t ＋1函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元．[解析] 利润等于收入减成本，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋t 2x ·x －32x －t －3＝16x －t2－3＝16x ＋x －1x －－3＝16(x －3)＋1x －3＋48－2.5 因为x ＝3－2t ＋1<3，所以原式x －3<0， 可化简为y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋13－x ＋45.5， 而16(3－x )＋13－x ≥2－x13－x＝8， 那么－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋13－x ＋45.5≤－8＋45.5＝37.5，等号成立的条件是16(3－x )＝13－x⇒x ＝2.5， 所以该公司的最大利润是37.5， 故填：37.5. [答案] 37.55．(2018·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．[解] (1)由题设，得S ＝(x －8)⎝⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450，所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.[C 尖子生专练]某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用平均每吨 每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．[解] (1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元， 则y 1＝[9xx ＋＋900]x＋1 800×6＝900x ＋9x ＋10 809≥2900x·9x ＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． (2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉． 设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.90＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35)．令f (x )＝x ＋100x(x ≥35)，x 2>x 1≥35，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝x 2－x 1－x 1x 2x 1x 2.∵x 2>x 1≥35，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0,100－x 1x 2<0， 故f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)， 即f (x )＝x ＋100x，当x ≥35时为增函数． 则当x ＝35时，f (x )有最小值，此时y 2<10 989.因此该厂应接受此优惠条件．。