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第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到肯定点的间隔 等于定长的点的集合叫做圆，定点圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上随意一点，则圆的集合可以写作：P = {M |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。
确定一个圆须要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，须要求出D ，E ，F ； 干脆法：干脆依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的间隔 为22B AC Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线间隔 =半径，求解k ，②若求得两个一样的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线肯定为另一条切线）(3)22=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的与（差），与圆心距（d ）之间的大小比拟来确定。
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交或相切 B ．相交或相离 C ．相切D ．相交解析： 方法一：圆C 的圆心(0,0)到直线y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12k k 2＋1，∵d 2＝14k 2k 2＋1＜14＜1，∴所判断的位置关系为相交．方法二：直线l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12过定点⎝⎛⎭⎫－12，0，而点⎝⎛⎭⎫－12，0在圆C ：x 2＋y 2＝1内部，故直线l 与圆C 相交．答案： D2．圆x 2＋y 2＋ax ＝0的圆心到y 轴的距离为1，则a ＝( ) A ．－1 B ．±1 C ．－2D ．±2解析： ∵圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，0，∴⎪⎪⎪⎪－a2＝1， ∴a ＝±2. 答案： D3．直线x －2y ＋3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A.32B.34 C ．25 D.655解析： 圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9的圆心为(2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为29－5＝4，原点到直线的距离为|0＋0＋3|1＋4＝355，所以S ＝12×4×355＝655.答案： D4．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝0解析：∵点(1，3)在圆x2＋y2－4x＝0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．设切线的斜率为k，又∵圆心为(2,0)，∴0－32－1·k＝－1，解得k＝33，∴切线方程为x－3y＋2＝0.答案： D5．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为() A．－1或 3 B．1或3C．－2或6 D．0或4解析：由半径、半弦长、圆心到直线的距离d所形成的直角三角形，可得d＝2，故|a－2|2＝2，解得a＝4，或a＝0.答案： D6．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋2＝0的距离为2的点共有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝(22)2，圆心(－1，－2)到直线x＋y＋2＝0的距离为|－1－2＋2|2＝22，故满足条件的点有4个．答案： D7．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1有两个公共点，则点P(a，b)与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上皆有可能解析：由题意，得1a2＋b2＜1，即a2＋b2＞1，所以点P在圆x2＋y2＝1外．答案： B8．设点P(a，b，c)关于原点对称的点为P′，则|PP′|＝()A.a2＋b2＋c2B．2a2＋b2＋c2C ．|a ＋b ＋c |D ．2|a ＋b ＋c |解析： P (a ，b ，c )关于原点对称的点为P ′(－a ，－b ，－c )，则|PP ′|＝[a －(－a )]2＋[b －(－b )]2＋[c －(－c )]2＝2a 2＋b 2＋c 2.答案： B9．已知两圆相交于A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋2c 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．0 解析： 由题意知直线x －y ＋c ＝0为线段AB 的垂直平分线，故AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫m ＋12，1在直线x －y ＋c ＝0上，所以m ＋12－1＋c ＝0，即m ＋2c ＝1. 答案： B10．若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－(x －2)2有公共点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，43 B.⎣⎡⎦⎤13，43 C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．[0,1]解析： 曲线y ＝－1－(x －2)2表示的图形是一个半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k 的取值范围是[0,1]，故选D.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.解析： 由题意可知，直线x －y ＋2＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a2， 所以－1－⎝⎛⎭⎫－a2＋2＝0，a ＝－2. 答案： －212．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．解析： 令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)． 设圆C 的半径为r ，则有r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案： (x ＋1)2＋y 2＝213．(2015·陕西府谷三中月考)过点P (2,1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．解析： 当且仅当CP ⊥l 时，∠ACB 最小， 又CP 的斜率为1，所以直线l 的斜率为－1， 故l 的方程为x ＋y －3＝0. 答案： x ＋y －3＝014．(2015·江西广昌一中月考)已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a ＞0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 等于________．解析： 由题可得|a －2＋3|12＋(－1)2＝4－(3)2，得a ＝2－1或a ＝－2－1(舍)． 答案：2－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求经过直线x ＋y ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0的交点，且经过点P (－1，－2)的圆的方程．解析： 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0，得x ＝1，y ＝－1或x ＝－4，y ＝4，即直线与圆交于点A (1，－1)和点B (－4,4)．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，分别将A ，B ，P 的坐标代入， 得方程组⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋D －E ＋F ＝0，16＋16－4D ＋4E ＋F ＝0，1＋4－D －2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝3，E ＝－3，F ＝－8，所以，所求圆的方程为x 2＋y 2＋3x －3y －8＝0.16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在直线y ＝x ＋4上，半径为22的圆C 经过原点O .(1)求圆C 的方程；(2)求经过点(0,2)，且被圆C 所截得弦长为4的直线方程． 解析： (1)设圆心C (a ，a ＋4)，则圆的方程为： (x －a )2＋(y －a －4)2＝8，代入原点得a ＝－2， 故圆的方程为：(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝0，经检验符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝kx ＋2， 圆心(－2,2)到直线y ＝kx ＋2的距离为 d ＝|－2k －2＋2|1＋k 2＝|2k |1＋k 2圆的半径r ＝2 2.∴22＋d 2＝r 2，即4＋4k 21＋k 2＝8，∴1＋k 2＝k 2，可知k 无解， 综上可知直线方程为x ＝0.17．(本小题满分12分)已知正方体的棱长为a ，过B 1作B 1E ⊥BD 1于点E ，求A ，E 两点之间的距离．解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得A (a ，0,0)，B (a ，a,0)，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )．过点E 作EF ⊥BD 于F ，如图所示，则在Rt △BB 1D 1中， |BB 1|＝a ，|B 1D 1|＝2a ，|BD 1|＝3a ， 所以|B 1E |＝a ·2a 3a＝6a3.所以在Rt △BEB 1中，|BE |＝33a . 由Rt △BEF ∽Rt △BD 1D ，得|BF |＝23a ，|EF |＝a 3， 所以点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，0， 则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，a 3. 由两点间的距离公式，得 |AE |＝⎝⎛⎭⎫a －2a 32＋⎝⎛⎭⎫0－2a 32＋⎝⎛⎭⎫0－a 32＝63a ，所以A，E两点之间的距离是6 3a.18．(本小题满分14分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域．一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)解析：如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程为x2＋y2＝252，直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0，设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24＜25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)．答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.。
第四章测评(时间：120分钟 满分:150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知圆C 关于y 轴对称,经过点A (1,0)且被x 轴分成两段弧,且两段弧长比为1∶2,则圆C 的方程为（ ）A 。
(x ±√33)2+y 2=43B 。
(x ±√33)2+y 2=13C.x 2+(y ±√33)2=43D.x 2+(y ±√33)2=13解析：设圆心C （0,a ），则半径为CA ，根据圆被x 轴分成的两段弧的长之比为1∶2，可得圆被x 轴截得的弦对的圆心角为2π3,故有tan π=|1|，解得a=±√3，半径r=√43，故圆的方程为x 2+(y ±√33)2=43.答案:C2.直线l :x-y=1与圆C ：x 2+y 2—4x=0的位置关系是 ( ）A.相离 B 。
相切C 。
相交 D.无法确定解析:圆C 的圆心为C （2，0),半径为2,圆心C 到直线l 的距离d=|2-1|√2=√22<2,所以圆C 与直线l 相交。
答案：C3。
圆x 2+y 2—4x=0在点P (1,√3)处的切线方程为（ ) A 。
x+√3y-2=0 B .x+√3y —4=0 C 。
x-√3y+4=0 D .x —√3y+2=0解析：∵点P （1，√3）在圆x 2+y 2-4x=0上，∴点P 为切点。
从而圆心与点P 的连线应与切线垂直.又圆心为（2,0),设切线斜率为k ， ∴0-√32-1·k=—1,解得k=√33。
∴切线方程为x-√3y+2=0。
答案:D4.两圆相交于点A （1，3),B （m ,—1),两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c 的值为( ） A 。
-1 B .2 C .3 D 。
0解析:由条件可知，AB 的中点在直线x —y+c=0上,且AB 与该直线垂直,∴{m+12-1+c =0,3+11-m=-1,解得{m =5,c =-2,∴m+c=5-2=3.答案：C5.圆C 1：x 2+y 2+2x+2y-2=0与C 2：x 2+y 2—4x-2y+1=0的公切线有且仅有( ） A.1条 B .2条 C .3条 D .4条解析:两圆的标准方程分别为(x+1）2+(y+1）2=4，（x-2)2+(y-1)2=4.∴|C 1C 2｜=√(2+1)2+(1+1)2=√13.∴|r 1—r 2|<｜C 1C 2｜〈r 1+r 2,即两圆相交, ∴两圆共有两条公切线.答案:B6.(2016河南洛阳八中段考试题）已知圆C 经过A (5，1)，B (1,3)两点,圆心C 在x 轴上，则圆C 的方程为( ) A .（x —2）2+y 2=50 B 。
