2016年春季新版北师大版七年级数学下学期第4章、三角形单元复习学案2

第四章《三角形》复习导学案 【】一、复习回顾1.三角形的分类2.两个 的三角形是全等三角形.2.全等三角形的对应边 ,对应角 .3.两个三角形全等的条件: , , , . 二、典型例题例1.填空:如图1,请你选择合适的条件填入空格内,使△DEF ≌△DGF(1)因为DF=DF, , ,根据SAS,可得到△DEF ≌△DGF.(2) 因为 , DF=DF, ,根据ASA,可得到△DEF ≌△DGF.(3) 因为 , , DF=DF, 根据AAS,可得到△DEF ≌△DGF.(4) 因为DF=DF, , , 根据SSS,可得到△DEF ≌△DGF.变式一：如图2，若△DEF ≌△AGB,你能得到哪些结论?变式二：如图3,AC ⊥BC,AD ⊥BD,垂足分别为C 、D,AC=BD,△ABC ≌△BAD 吗?为什么?变式三： 如图4,AC ⊥BC,ED ⊥BD ，BE ⊥BC 垂足分别为C 、D 、 B,AB=BE.试探究BE 与AC+AD 之间的关系.变式四：如图5,AC ⊥BC,AD ⊥BD,垂足分别C 、D,AD=BC,问(1)AE=BE 吗?备课授课时间 班级 姓名 学习目标 1、能掌握三角形全等的判定方法2、会利用三角形全等的判定解决实际问题学习重点 .建立本章的知识网络，并应用相关知识解决实际问题 学习难点.建立本章的知识网络，并应用相关知识解决实际问题 图1 D F G 图3 O D B 图4D C B A 图5OE D C A图2请说明你的理由.(2)如图6,在上述条件不变的情况下,连接AB,OE,你认为OE 具有哪些性质?能说明你的理由吗三、当堂检测： 1.如图所示，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，结论：①EM ＝FN ；②CD ＝DN ；③∠FAN ＝∠EAM ；④△ACN ≌△ABM ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、如图，已知，AB=AD ， ∠BAE= ∠DAC 要使△ABC ≌△ADE ，可补充的条件是 （写出一个即可）．3、工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，边OB 上分别取OD =OE ，移动角度，使角尺两边相同的刻度分别与D 、E 重合，这时过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线，你能先说明△OPE 与△OPD 全等，再说明OP 平分∠AOB 吗？四、拓展延伸如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC ∥EF五、课堂小结我的收获是什么？ 图6 B A C D E O。

第四章三角形回顾与思考【学习目标】课标要求：1、知识与技能：通过学生自主复习进一步巩固三角形的基本性质，掌握全等图形的性质，三角形全等的判定条件。

2、过程与方法：合理运用三角形全等的条件解决一些简单问题，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的小组合作意识和合作能力。

3、情感与态度：让学生理解数学的应用价值，培养学习数学的兴趣。

目标达成：1.通过学生自主复习进一步巩固三角形的基本性质，掌握全等图形的性质，三角形全等的判定条件。

2.让学生理解数学的应用价值，培养学习数学的兴趣学习流程：【课前展示】活动内容：提前一天布置，让学生选择自己喜欢的方式梳理本章的知识,其中建议学生留出一个环节写出自己对本章的知识还有什么疑惑，或者可以写出在本章中留下印象最深刻的习题与大家分享和交流。

对于学习能力差的学生，教师可以给出不完整的知识框架，由学生完成，这样可以让全体学生都参与到课堂中。

三角形的基本要素:_ _________ __________________________三角形的基本性质:(1)三边关系__________________________三角形 (2)三角关系____________________________(3)重要线段____________________________性质:________________________图形全等→三角形全等→判定:________________________你有哪些疑惑?活动目的：由学生自己梳理本章的知识既可以锻炼学生自主学习的能力又可以调动学生学习的热情和兴趣，还可以加强学生在小组内活动交流的意识。

实际教学效果：学生的潜力是无限的，可以画知识网络图，可以列表，可以以问题形式，也可以用画画的形式等来梳理知识。

学生为给自己所在的小组加分会很努力地完成和参与到小组中来。

虽然学生总结的可能不全面和完美，但会给学生留下深刻的印象，比以往由教师总结的效果要好很多。

北师大新版七年级下册《第4章三角形》一、选择题（共11小题）1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°2．如图，点C在AB的延长线上，∠A＝35°，∠DBC＝110°，则∠D的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．95°3．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠24．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD6．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE、DF、EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断△FCE与△EDF全等（）A．∠A＝∠DFE B．BF＝CF C．DF∥AC D．∠C＝∠EDF7．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB8．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对9．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC10．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°11．如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE、∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC ≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F二、填空题（共12小题）12．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有对全等三角形．13．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：．14．如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）15．如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC ≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是．16．如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件，使△ABD ≌△CDB．（只需写一个）18．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF．19．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A＝∠EDF＝90°，AB ＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝．20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）21．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是（填出一个即可）．22．如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．23．如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件，使得△ABO≌△CDO．三、解答题（共7小题）24．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC与△DEC全等．25．如图，∠B＝∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．26．已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．27．如图，点C，F在线段BE上，BF＝EC，∠1＝∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）28．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：△BED≌△CFD．29．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AE，AC＝AD，连接BD，CE，求证：△ABD ≌△AEC．30．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE．请完整说明为何△ABC与△DEC全等的理由．北师大新版七年级下册《第4章三角形》参考答案与试题解析一、选择题（共11小题）1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°【分析】先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，∴∠BDF＝∠C+∠E＝90°+30°＝120°，∵△BDF中，∠B＝45°，∠BDF＝120°，∴∠BFD＝180°﹣45°﹣120°＝15°．故选：A．2．如图，点C在AB的延长线上，∠A＝35°，∠DBC＝110°，则∠D的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．95°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠D＝∠DBC﹣∠A＝110°﹣35＝75°．故选：C．3．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠2【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行选择即可．【解答】解：A、当BE＝FD，∵平行四边形ABCD中，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；C、当AE＝CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BF＝ED，∴BE＝DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；D、当∠1＝∠2，∵平行四边形ABCD中，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；故选：C．4．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选：C．5．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC＝∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB＝CD、∠ACB＝∠DBC、∠A＝∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC＝BD后则不能．【解答】解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D．6．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE、DF、EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断△FCE与△EDF全等（）A．∠A＝∠DFE B．BF＝CF C．DF∥AC D．∠C＝∠EDF 【分析】根据三角形中位线的性质，可得∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，根据SAS，可判断B、C；根据三角形中位线的性质，可得∠CFE＝∠DEF，根据AAS，可判断D．【解答】解：A、∠A与∠DEF没关系，故A错误；B、BF＝CF，F是BC中点，点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DF∥AC，DE∥BC，∴∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，在△CEF和△DFE中，∴△CEF≌△DFE（ASA），故B正确；C、点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠CFE＝∠DEF，∵DF∥AC，∴∠CEF＝∠DFE在△CEF和△DFE中，∴△CEF≌△DFE（ASA），故C正确；D、点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠CFE＝∠DEF，，∴△CEF≌△DFE（AAS），故D正确；故选：A．7．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．【解答】解：根据题意知，BC边为公共边．A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、由BO＝CO可以推知∠ACB＝∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．故选：D．8．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】根据已知条件“AB＝AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．【解答】解：∵AB＝AC，D为BC中点，∴CD＝BD，∠BDO＝∠CDO＝90°，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD；∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，AE＝CE，在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD；在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB；故选：D．9．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC【分析】由条件可得∠A＝∠D，结合AE＝DF，则还需要一边或一角，再结合选项可求得答案．【解答】解：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，∵AE＝DF，∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC＝BD，∴当AB＝CD时，可得AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD，故选：A．10．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC ≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．【解答】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；D、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选：C．11．如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE、∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC ≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得出答．【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，∴添加AC∥DF，得出∠ACB＝∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；当添加∠A＝∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B正确；但添加AC＝DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C不正确；故选：C．二、填空题（共12小题）12．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有 3 对全等三角形．【分析】由OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，得到PE＝PF，∠1＝∠2，证得△AOP≌△BOP，再根据△AOP≌△BOP，得出AP＝BP，于是证得△AOP≌△BOP，和R t△AOP ≌R t△BOP．【解答】解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，∴PE＝PF，∠1＝∠2，在△AOP与△BOP中，，∴△AOP≌△BOP，∴AP＝BP，在△EOP与△FOP中，，∴△EOP≌△FOP，在R t△AEP与R t△BFP中，，∴R t△AEP≌R t△BFP，∴图中有3对全等三角形，故答案为：3．13．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：△ADF≌△CBE．【分析】由平行四边形的性质，可得到等边或等角，从而判定全等的三角形．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠DAC＝∠BCA，∵BE∥DF，∴∠DFC＝∠BEA，∴∠AFD＝∠BEC，在△ADF与CBE中，，∴△ADF≌△CBE（AAS），故答案为：△ADF≌△CBE．14．如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是BC＝EF或∠BAC＝∠EDF．（只填一个即可）【分析】BC＝EF或∠BAC＝∠EDF，若BC＝EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC＝∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．【解答】解：若添加BC＝EF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；若添加∠BAC＝∠EDF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：BC＝EF或∠BAC＝∠EDF15．如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC ≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是DC＝BC或∠DAC＝∠BAC．【分析】添加DC＝BC，利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC＝∠BAC，利用SAS 即可得到两三角形全等．【解答】解：添加条件为DC＝BC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；若添加条件为∠DAC＝∠BAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS）．故答案为：DC＝BC或∠DAC＝∠BAC16．如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是∠ABD ＝∠CBD或AD＝CD．．（只需写一个，不添加辅助线）【分析】由已知AB＝BC，及公共边BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个S 了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS．所以可添∠ABD＝∠CBD或AD＝CD．【解答】解：答案不唯一．①∠ABD＝∠CBD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SAS）；②AD＝CD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SSS）．故答案为：∠ABD＝∠CBD或AD＝CD．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件AB＝CD，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）【分析】先根据平行线的性质得∠ABD＝∠CDB，加上公共边BD，所以根据“SAS”判断△ABD≌△CDB时，可添加AB＝CD．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，而BD＝DB，∴当添加AB＝CD时，可根据“SAS”判断△ABD≌△CDB．故答案为AB＝CD．18．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，请添加一个条件AC＝DF（或∠B＝∠DEF或AB∥DE），使△ABC≌△DEF．【分析】可选择利用SSS或SAS进行全等的判定，答案不唯一，写出一个符合条件的即可．【解答】解：①添加AC＝DF．∵BE＝CF，∴BC＝EF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．②添加∠B＝∠DEF．∵BE＝CF，∴BC＝EF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．③添加AB∥DE．∵BE＝CF，∴BC＝EF，∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：AC＝DF（或∠B＝∠DEF或AB∥DE）．19．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A＝∠EDF＝90°，AB ＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝25°．【分析】由∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，可求得∠ACE的度数，又由三角形外角的性质，可得∠CDF＝∠ACE﹣∠F＝∠BCE+∠ACB﹣∠F，继而求得答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵∠EDF＝90°，∠E＝30°，∴∠F＝90°﹣∠E＝60°，∵∠ACE＝∠CDF+∠F，∠BCE＝40°，∴∠CDF＝∠ACE﹣∠F＝∠BCE+∠ACB﹣∠F＝45°+40°﹣60°＝25°．故答案为：25°．20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是BD＝CE．（只填一个即可）【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如BD＝CE，根据SAS推出即可；也可以∠BAD＝∠CAE等．【解答】解：BD＝CE，理由是：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），故答案为：BD＝CE．21．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是AB＝CD（答案不唯一）（填出一个即可）．【分析】添加条件是AB＝CD，根据AAS推出两三角形全等即可．【解答】解：AB＝CD，理由是：∵在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△DOC（AAS），故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．22．如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AB＝DE（只需写一个，不添加辅助线）．【分析】求出BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，根据SAS推出两三角形全等即可．【解答】解：AB＝DE，理由是：∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，∴BC＝EF，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AB＝DE．23．如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件∠A＝∠C，使得△ABO≌△CDO．【分析】首先根据对顶角相等，可得∠AOB＝∠COD；然后根据两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，要使得△ABO≌△CDO，则只需∠A＝∠C即可．【解答】解：∵∠AOB、∠COD是对顶角，∴∠AOB＝∠COD，又∵AB＝CD，∴要使得△ABO≌△CDO，则只需添加条件：∠A＝∠C．（答案不唯一）故答案为：∠A＝∠C．（答案不唯一）三、解答题（共7小题）24．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC与△DEC全等．【分析】根据同角的余角相等可得到∠3＝∠5，结合条件可得到∠1＝∠D，再加上BC＝CE，可证得结论．【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，∴∠3＝∠5，在△ACD中，∠ACD＝90°，∴∠2+∠D＝90°，∵∠BAE＝∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．25．如图，∠B＝∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．【分析】已知这两个三角形的一个边与一个角相等，所以再添加一个对应角相等即可．【解答】解：添加∠BAC＝∠DAC．理由如下：在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）．26．已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．【分析】根据中点定义求出AC＝CB，根据两直线平行，同位角相等，求出∠ACD＝∠B，然后利用SAS即可证明△ACD≌△CBE．【解答】证明：∵C是AB的中点（已知），∴AC＝CB（线段中点的定义）．∵CD∥BE（已知），∴∠ACD＝∠B（两直线平行，同位角相等）．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS）．27．如图，点C，F在线段BE上，BF＝EC，∠1＝∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）【分析】先求出BC＝EF，添加条件AC＝DF，根据SAS推出两三角形全等即可．【解答】AC＝DF．证明：∵BF＝EC，∴BF﹣CF＝EC﹣CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）．28．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：△BED≌△CFD．【分析】首先根据AB＝AC可得∠B＝∠C，再由DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠BED＝∠CFD＝90°，然后再利用AAS定理可判定△BED≌△CFD．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）．29．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AE，AC＝AD，连接BD，CE，求证：△ABD ≌△AEC．【分析】根据∠BAC＝∠DAE，可得∠BAD＝∠CAE，再根据全等的条件可得出结论．【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△AEC中，，∴△ABD≌△AEC（SAS）．30．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE．请完整说明为何△ABC与△DEC全等的理由．【分析】根据∠BCE＝∠ACD＝90°，可得∠3＝∠5，又根据∠BAE＝∠1+∠2＝90°，∠2+∠D＝90°，可得∠1＝∠D，继而根据AAS可判定△ABC≌△DEC．【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，∴∠3＝∠5，在△ACD中，∠ACD＝90°，∴∠2+∠D＝90°，∵∠BAE＝∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．。

第5章三角形●教学目标（一）教学知识点1.判断三角形全等的条件.2.判断两个直角三角形全等的条件.3.利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.4.全等图形及其他在生活中的应用.（二）能力训练要求1.使学生进一步了解图形的全等，能利用全等图形进行简单的图案设计.2.通过回顾使学生掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题.3.在分别给出两角夹边，两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形.4.尝试用图形（案）表达自己的想法，发展基本的创新意识和能力.（三）情感与价值观要求1.通过回顾的活动，进一步发展学生的空间观念，使其积累数学活动经验.2.在活动过程中，使学生进一步体会数学与现实的密切联系.●教学重点三角形全等的条件及其应用.直角三角形全等的条件及其应用.尺规作图.●教学难点两个三角形全等的应用.两个直角三角形全等的应用.●教学方法分组讨论法学生在教师的指导下分组讨论、归纳、梳理本章的知识体系，从而使学生顺利掌握本章内容.●教具准备投影片两张第一张：问题串（记作投影片“回顾与思考（二）”A）第二张：知识框架图（记作投影片“回顾与思考（二）”B ） ●教学过程Ⅰ.巧设现实情景，引入新课［师］通过上节课的回顾复习，我们进一步了解了三角形的有关概念及三边、三角之间的关系，那么两个三角形之间又如何呢？这节课我们共同来复习三角形的全等.Ⅱ.讲授新课［师］下面我们通过问题形式，来回顾三角形全等这部分内容（出示投影片“回顾与思考（二）”A ）1.举出生活中包含全等图形的例子.2.举例说明怎样判断两个三角形全等？怎样判断两个直角三角形全等？3.举例说明三角形全等在生活中的应用.4.利用尺规，你能用几种方法作一个三角形与已知三角形全等？ ［师］大家分组讨论后，回答问题.［生甲］一栋楼房的所有窗户是全等图形.它的阳台也是全等图形. ……图5－178［生乙］如图5－178，如果AD =BC ，AC =BD ，则由于CD 是公共边，根据三边对应相等的两个三角形全等.可得：△ADC ≌△BCD .即−→−⎪⎩⎪⎨⎧===CD CD BD AC BC AD △ADC ≌△BCD.图5－179［生丙］如图5－179，如果∠B =∠EFD ，BC =DF ，∠ACB =∠D .则根据“两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等”可得：△ABC ≌△EFD .即：−→−⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠D ACB DF BC EFD B △ABC ≌△EFD.图5－180［生丁］如图5－180，已知AD =BC ，∠A =∠B ，∠F =∠E ，则根据 “两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”可得：△AED ≌△BFC .即−→−⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AD E F B A △AED ≌△BFC图5－181［生戊］如图5－181，如果已知AB =AE ，AC =AD ，则由于∠A 是公共角，可根据“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”得：△ABC ≌△AED .即−→−⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AC A A AE AB △ABC ≌△AED . ［生子］要判断两个直角三角形全等，除应用一般三角形的判定方法外，还可用“斜边、直角边”.即：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.图5－182如图5－182，已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC=A′C′，AB=A′B′则可得出：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′［师］同学们总结得真棒，由以上方法可以判断两个三角形全等.这些方法要灵活应用.在生活中经常会遇到一些问题需要利用三角形全等来解决，你能举出一些例子吗？［生］如：测量河宽时，需要构造三角形全等来解决.……［师］很好，大家举出许多的例子说明三角形全等在生活中的应用.你能用尺规作一个三角形与已知三角形全等吗？［生甲］能，可以利用两角夹边、两边夹角、三边、直角边和斜边等方法来作一个三角形与已知三角形全等.［生乙］只有作直角三角形时，才能用“直角边和斜边”，一般三角形不能.［师］很好，接下来我们分组讨论，梳理本章的知识框架.［师生共析］下面我们共同来建立本章的知识框架（出示投影片“回顾与思考”（二）B）［师］好，接下来我们通过练习进一步巩固本章的内容.Ⅲ.课堂练习课本复习题A组 4、5、6、7、84.如图5－183，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B、E、C在一条直线上.（1）BD 是∠ABE 的平分线吗？为什么？ （2）DE ⊥BC 吗？为什么？（3）点E 平分线段BC 吗？为什么？图5－183答：（1）BD 是∠ABE 的平分线.因为△ADB ≌△EDB 根据“全等三角形的对应角相等”可得：∠ABD =∠DBE .由角平分线的定义可知：BD 平分∠ABE ，即：BD 是∠ABE 的平分线. （2）DE 垂直BC ，因为△BDE ≌△CDE .由“全等三角形的对应角相等”可知：∠BED =∠DEC .又因为B 、E 、C 在一条直线上，所以∠DEB +∠DEC =180°.因此∠DEB =∠DEC =90°，即：DE ⊥BC .（3）点E 平分线段BC ，因为△BDE ≌△CDE 所以由“全等三角形的对应边相等”可得：BE =EC ，即：点E 是BC 的中点.图5－1845.如图5－184，BE ⊥AE ，CF ⊥AE ，垂足分别是E 、F ，D 是EF 的中点，△BED 与△CFD 全等吗？为什么？解：△BED 与△CFD 全等.因为：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∠=∠=−→−∠=∠−→−⎩⎨⎧⊥⊥BDECDF DE DF EF D BED CFD AE CF AEBE 的中点是−→−△CFD ≌△BED . 6.尺规作图，已知线段a 和∠α.图5－185（1）作一个三角形ABC，使AB=3a,BC=4a,AC=5a.（2）作一个三角形，使BC=a,AC=2a,∠BAC=∠α.作法：（1）：图5－186①作一条线段AC=5a.②分别以A、C为圆心，以3a,4a为半径画弧，两弧交于B点.③连接AB、BC.则：△ABC就是所求作的三角形.（2）图5－187①作一条线段AC=2a.②以点C为顶点，以AC为一边，作角∠DCA=∠α.③在射线CD上截取CB=a.④连接AB.则△ABC就是所求作的三角形.7.工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图5－188所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，边OB上分别取OD=OE，移动角度，使角尺两边相同的刻度分别与D、E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线，你能先说明△OPE与△OPD全等，再说明OP 平分∠AOB吗？图5－188答：因为OD=OE，PE=PD，OP=OP，所以根据“三边对应相等的两个三角形全等”可得：△OPE≌△OPD.从而由“全等三角形的对应角相等”可得：∠BOP=∠AOP.即：OP平分∠AOB.Ⅳ.课时小结这节课我们主要回顾了三角形全等的条件及其应用.大家在判定两个三角形全等或应用全等三角形性质时，应注意找到它们的对应元素；再就是应学会分析.Ⅴ.课后作业（一）课本复习题B组1~4C组1、2.（二）用自己的语言梳理本章内容，即：写一份小结.Ⅵ.活动与探究图5－189如图5－189，△ABC中，AF是∠EAC的平分线，D是这条平分线上任意一点，试确定AB+AC 和BD+DC之间的大小关系，并说明理由.分析：让学生讨论、分析，知道要探求线段大小关系往往把这些线段归结到同一个三角形中，利用三角形三条边的关系求得.这个题可根据角平分线条件构造全等三角形.即在射线AE 上截取AC ′=AC ，连接C ′D ，可得△AC ′D ≌△ACD （SAS ）从而得：C ′D =CD .于是就把这四条线段放入一个三角形中，它们的大小即可求得.结果：AB +AC 小于BD +DC.图5－190如图所示5－190：在射线AE 上截取AC ′=AC ，连接C ′D .AF 是∠EAC 的平分线−→−⎪⎭⎪⎬⎫=∠=∠='AD AD FAC EAF AC C A●板书设计 回顾与思考（二） 一、问题串 二、知识框架图三、课堂练习四、课时小结。

北师大版七年级数学下册教案（含解析）：第四章三角形章末复习一. 教材分析北师大版七年级数学下册第四章《三角形》章末复习部分，主要对三角形的相关知识进行总结和复习。

内容包括：三角形的性质、三角形的分类、三角形的判定、三角形的角的性质、三角形的边的关系等。

这部分内容是学生进一步学习几何的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了平面几何的基本知识，如线的性质、角的性质等。

但部分学生对于三角形的性质和判定仍存在理解上的困难，对于三角形的角的性质和边的关系掌握不够扎实。

因此，在复习过程中，需要注重巩固基础知识，提高学生的应用能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握三角形的性质、分类、判定等基本知识，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

2.过程与方法：通过复习，培养学生独立思考、合作交流的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学的价值。

四. 教学重难点1.重点：三角形的性质、分类、判定等基本知识。

2.难点：三角形的角的性质和边的关系的运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和积极性。

六. 教学准备1.教师准备：整理和准备相关的教学案例、习题等资源。

2.学生准备：完成本章的学习任务，准备好相关的学习资料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师利用多媒体展示三角形的相关性质、分类和判定等知识，引导学生总结和归纳。

3.操练（10分钟）教师提出问题，学生分组讨论，通过实际操作和举例来巩固三角形的相关知识。

4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，学生独立完成，检验自己对三角形知识的掌握程度。

5.拓展（10分钟）教师提出一些综合性的问题，引导学生运用所学的三角形知识解决问题，提高学生的应用能力。