梁园区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

2018-2019学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1.复数 (为虚数单位)的虚部是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：注意弄清概念，复数的虚部是而不是.本题易错选.考点：复数的运算及基本概念2.下列曲线中离心率为的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，选B.3.“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】试题分析：，故正确答案是充分不必要条件，故选B.考点：充分必要条件.4.下列判断正确的是（）A. “若，则”的否命题为真命题B. 函数的最小值为2C. 命题“若，则”的逆否命题为真命题D. 命题“”否定是：“”。

【答案】C【解析】【分析】取特殊值验证A选项中命题的真假，利用基本不等式“一正、二定、三相等”来验证B选项命题的真假，由原命题的真假判断C选项命题的真假，根据全称命题的否定来判断D选项命题的真假。

【详解】对于A选项，“若，则”的否命题为“若，则”，不妨取，，则成立，但不成立，A选项中的命题不正确；由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，但，B选项中的命题错误；对于C选项，命题“若，则”是真命题，其逆否命题也为真命题，C选项中的命题正确；对于D选项，由全称命题的否定可知，命题“”的否定是：“”，D选项中的命题错误。

故选：C。

【点睛】本题考查命题真假性的判断，考查四种命题以及全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解和掌握情况，属于基础题。

5.函数的单调递减区间是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．【详解】函数的定义域是（0，+∞），y′=1﹣+=，令y′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故函数在（0，1）递减，故选：B．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，是一道常规题．6.由直线，曲线及轴所围成的封闭图形的面积是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意可知面积为：7.在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】连接交于点，连接，可证∠A1C1O即为所求角，则在Rt△A1C1O中，，即可得到答案.【详解】如图所示：连接交于点，连接，在正方体中，∵AB⊥平面AD1，∴AB⊥A1D，又A1D⊥AD1，且AD1∩AB=A，∴A1D⊥平面AD1C1B，所以∠A1C1O即为所求角，在Rt△A1C1O中，，所以A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为，故选D．【点睛】本题考查线面角的求法，属中档题.8. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A. 1440种 B. 960种 C. 720种 D. 480种【答案】B【解析】5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B。

2018-2019学年度第二学期期中考试试题高二数学试卷第I 卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是 ( )A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)2.函数y=f(x)的导函数y=()'f x 的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是 ( )A. B.C. D.3.曲线C 经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：122='+'y x ，则曲线C 的方程为（ ）A. B. C. D. 4x 2+9y 2=14. 31()i i-的虚部是( ) A. -8 B.i 8- C.8 D.05.化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =6.设点P 对应的复数为i 33+-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ) A. (23，π43) B. (23-，π45) C. (3，π45) D. (-3，π43) 7.用反证法证明“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，下列假设正确的是（ ）A. 假设a ，b ，c 至少有两个偶数B. 假设a ，b ，c 都是奇数C. 假设a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数D. 假设a ，b ，c 都是偶数8.若函数xax x x f 1)(2++=在),21(+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ）A.[]-1，0B.[]-∞1，C.[]0，3D.[]3∞，+9．已知函数()cos 1x f x x =+ , ()f x 的导函数为()'f x ， 则'2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2π-B ．1π-C ．πD ．2π10．用演绎推理证明函数y ＝x 3是增函数时的小前提是( )A ．增函数的定义B ．函数y ＝x 3满足增函数的定义 C ．若x 1>x 2，则f (x 1)<f (x 2) D ．若x 1>x 2，则f (x 1)>f (x 2)11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12. 若x=-2是函数f(x)= (2x +ax-1)1x e -的极值点,则f(x)的极小值为 ( )A.-1B.-23e -C.53e -D.1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.) 13．在极坐标系中，以)2,2(πa 为圆心，2a为半径的圆的极坐标方程是 。

2018-2019学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分.第1至10小题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；第11至13为多选题，有多个正确选项，选对一个即可得到2分，全部选对得4分，有一个错误选项不得分.1.已知函数，则（）A. 15B. 30C. 32D. 77【答案】B【解析】【分析】先求得导函数，由此求得.【详解】依题意，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了导数的计算，属于基础题.2.函数的导函数为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】利用导数运算公式，求得所求导函数【详解】由于，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数运算，考查基本初等函数的导数，属于基础题.3.椭圆的焦点在轴上，且，，则这样的椭圆的个数为（）A. 10B. 12C. 20D. 21【答案】D【解析】【分析】结合椭圆的几何性质，利用列举法判断出椭圆的个数.【详解】由于椭圆焦点在轴上，所以.有三种取值，有七种取值，故椭圆的个数有种.故选：D【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.4.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D. 和【解析】【分析】先求得函数的定义域，然后利用导数求得的单调递增区间.【详解】的定义域为，且，所以当时，，单调递增，的单调递增区间为.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.5.已知在上是增函数，则实数的最大值是（）A. 0B. 1C. 3D. 不存在【答案】C【解析】【分析】利用在上恒成立列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于在上是增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，而，所以，所以的最大值为.故选：C【点睛】本小题主要考查根据函数在给定区间上的单调性求参数，属于基础题.6.二项式的展开式中，常数项的值是（）A. 240B. 192C. 60D. 15【答案】A【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得常数项.【详解】二项式展开式的通项公式为，令，解得，所以常数项为.故选：A【点睛】本小题主要考查二项式展开式中指定项的求法，属于基础题.7.若，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用赋值法,分别令与,代入式子后两式相加即可求得.【详解】令,代入可得①令,代入可得②由①＋②得所以故选:D【点睛】本题考查了赋值法在二项式定理中的应用,偶项系数和的求法,属于基础题.8.已知函数，若中，角C是钝角，那么（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，故函数在区间上是减函数，又都是锐角，且，所以，所以，故，选A．考点：1．应用导数研究函数的单调性；2．三角函数的图象和性质．9.展开式中项的系数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意，，从二项式展开中，出现在中，所以前的系数为，故选A.考点：1.二项式定理的应用；2.二项式的系数.10.已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可转化为，利用导数分别研究两个函数最小值，求解即可.【详解】解：当时，由得，=，当时，在单调递减，是函数的最小值，当时，为增函数，是函数的最小值，又因为，都，使得，可得在的最小值不小于在的最小值，即，解得：，故选：．【点睛】本题考查指数函数和对勾函数的图像及性质，考查利用导数研究单调性问题的应用，属于基础题.11.如图是函数导函数的图象，下列选项中正确的是（）A. 在处导函数有极大值B. 在，处导函数有极小值C. 在处函数有极大值D. 在处函数有极小值【答案】ABCD【解析】【分析】根据极大值、极小值的定义，判断出正确选项.【详解】根据导函数的图像可知：的两侧左减右增，所以在，处导函数有极小值；的两侧左增右减，所以在处导函数有极大值.根据导函数的图像可知：的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在处函数有极大值.的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在处函数有极小值.而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值.故选：ABCD【点睛】本小题主要考查极大值、极小值的定义和判断，属于基础题.12.若直线与曲线满足以下两个条件：点在曲线上，直线方程为；曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列选项正确的是（）A. 直线在点处“切过”曲线B. 直线在点处“切过”曲线C. 直线在点处“切过”曲线D. 直线点处“切过”曲线【答案】AC【解析】【分析】对四个选项逐一判断直线是否是曲线在点的切线方程，然后结合图像判断直线是否满足“切过”，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，曲线，，，所以曲线在点的切线方程为，图像如下图所示，由图可知直线在点处“切过”曲线，故A选项正确.对于B选项，曲线，，，所以曲线在点的切线方程为，故B选项错误.对于C选项，曲线，，，所以曲线在点的切线方程为，图像如下图所示，由图可知直线在点处“切过”曲线，故C选项正确.对于D选项，曲线，，，所以曲线在点的切线方程为，图像如下图所示，由图可知直线在点处没有“切过”曲线，故D选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.13.已知曲线，则下列曲线中与曲线有公共点的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】首先根据曲线过点确定BD选项.化简曲线的方程，得到，结合图像判断AC选项中的曲线与没有公共点.【详解】由于曲线过点，而曲线也过，所以B选项符合.由于曲线过点，而曲线也过，所以D选项符合.由于，所以，所以，两边平方并化简得，两边平方并化简得，所以.所以曲线的方程为.对于A选项，画出、图像如下图所示，由图可知，两个曲线没有公共点.（圆圆心，半径为，圆心到直线的距离，所以直线和圆没有公共点.）对于C选项，画出、图像如下图所示，由图可知，两个曲线没有公共点.（的一条渐近线方程为，而可化为与平行，故与没有公共点.）故选：BD【点睛】本小题主要考查曲线与方程，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.14.函数的单调递减区间是________.【答案】【解析】【分析】先求得函数的定义域，然后利用导数求得的单调减区间.【详解】依题意的定义域为，令，解得，所以的单调减区间是.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.15.在二项式的展开式中，系数最大项的项数为第________项.【答案】7【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中数最大项的项数.【详解】二项式的展开式的通项公式为，各项的系数为，由于题目要求系数最大项的项数，所以为偶数.故，对应的系数为，根据的单调性可知，或时，最大，故最大的项的系数为，对应为第项.故答案为：【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，属于基础题.16.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为________.【答案】.【解析】【分析】先记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，根据条件概率计算公式，即可求出结果.【详解】记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，则，，所以，在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为.故答案为【点睛】本题主要考查条件概率，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.17.设函数，当时，恒成立，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】求得在处的切线的斜率，结合图像，求得的取值范围.【详解】函数，.对于一次函数，.，令，解得（负根舍去），所以在上递增，在上递减，画出的图像如下图所示.由图可知，要使当时，恒成立，只需大于或等于在处切线的斜率.而，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.设离散型随机变量的分布列为02求：（1）的分布列；（2）求的值.【答案】（1）见解析；（2）0.7【解析】【分析】根据概率和为列方程，求得的值.（1）根据分布列的知识，求得对应的分布列.（2）利用求得的值.【详解】由分布列的性质知：，解得（1）由题意可知，，，所以的分布列为：10.2（2）【点睛】本小题主要考查分布列的计算，属于基础题.19.设，其中，曲线在点处的切线与y轴相交于点.（1）确定a的值；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）增区间是，减区间是.【解析】【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线在点处的切线与轴相交于点列出方程求的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到函数的单调区间．【详解】(1)因为，所以.令，得，所以曲线在点处的切线方程为，由点在切线上，可得，解得.(2)由(1)知，，.令，解得或.当或时，；当时，，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.【点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．20.计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.【答案】（1）丙；（2）【解析】【分析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解.【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，.因为，所以丙获得合格证书的可能性最大.（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则.【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题.21.已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.22.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.【答案】（1）；（2）分布列见解析【解析】【分析】（1）计算出接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件数，计算出总的选择方法数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.（2）利用超几何分布的概率计算方法，计算出的分布列.【详解】（1）接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件数为，总的事件数为，所以接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率为.（2）的所有可能取值为.，，，，，故的分布列为：【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查超几何分布的分布列的计算，属于基础题.23.已知函数，其中实数a为常数．(I)当a=-l时，确定的单调区间：(II)若f(x)在区间（e为自然对数的底数）上的最大值为-3，求a的值；(Ⅲ)当a=-1时，证明．【答案】(Ⅰ)在区间上为增函数，在区间上为减函数.(Ⅱ). (Ⅲ)见解析.【解析】【详解】试题分析：(Ⅰ)通过求导数，时，时，，单调函数的单调区间.(Ⅱ)遵循“求导数，求驻点，讨论区间导数值正负，确定端点函数值，比较大小”等步骤，得到的方程.注意分①；②；③，等不同情况加以讨论.(Ⅲ)根据函数结构特点，令，利用“导数法”，研究有最大值，根据, 得证.试题解析：(Ⅰ)当时，,∴，又,所以当时，在区间上为增函数，当时，，在区间上为减函数，即在区间上为增函数，在区间上为减函数.(Ⅱ)∵，①若，∵,则在区间上恒成立，在区间上为增函数，，∴，舍去;②当时，∵，∴在区间上为增函数，，∴，舍去;③若，当时，在区间上增函数，当时，，在区间上为减函数，，∴.综上.(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当时，有最大值，最大值为，即，所以，令，则，当时，，在区间上为增函数，当时，，在区间上为减函数，所以当时，有最大值，所以,即.考点：应用导数研究函数的单调性、极值、最值、证明不等式.2018-2019学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分.第1至10小题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；第11至13为多选题，有多个正确选项，选对一个即可得到2分，全部选对得4分，有一个错误选项不得分.1.已知函数，则（）A. 15B. 30C. 32D. 77【答案】B【解析】【分析】先求得导函数，由此求得.【详解】依题意，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了导数的计算，属于基础题.2.函数的导函数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数运算公式，求得所求导函数【详解】由于，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数运算，考查基本初等函数的导数，属于基础题.3.椭圆的焦点在轴上，且，，则这样的椭圆的个数为（）A. 10B. 12C. 20D. 21【答案】D【解析】【分析】结合椭圆的几何性质，利用列举法判断出椭圆的个数.【详解】由于椭圆焦点在轴上，所以.有三种取值，有七种取值，故椭圆的个数有种.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.4.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D. 和【答案】B【解析】【分析】先求得函数的定义域，然后利用导数求得的单调递增区间.【详解】的定义域为，且，所以当时，，单调递增，的单调递增区间为.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.5.已知在上是增函数，则实数的最大值是（）A. 0B. 1C. 3D. 不存在【答案】C【解析】【分析】利用在上恒成立列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于在上是增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，而，所以，所以的最大值为.故选：C【点睛】本小题主要考查根据函数在给定区间上的单调性求参数，属于基础题.6.二项式的展开式中，常数项的值是（）A. 240B. 192C. 60D. 15【答案】A利用二项式展开式的通项公式，求得常数项.【详解】二项式展开式的通项公式为，令，解得，所以常数项为.故选：A【点睛】本小题主要考查二项式展开式中指定项的求法，属于基础题.7.若，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用赋值法,分别令与,代入式子后两式相加即可求得.【详解】令,代入可得①令,代入可得②由①＋②得所以故选:D【点睛】本题考查了赋值法在二项式定理中的应用,偶项系数和的求法,属于基础题.8.已知函数，若中，角C是钝角，那么（）A.B.C.D.试题分析：因为，所以，故函数在区间上是减函数，又都是锐角，且，所以，所以，故，选A．考点：1．应用导数研究函数的单调性；2．三角函数的图象和性质．9.展开式中项的系数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意，，从二项式展开中，出现在中，所以前的系数为，故选A.考点：1.二项式定理的应用；2.二项式的系数.10.已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可转化为，利用导数分别研究两个函数最小值，求解即可.【详解】解：当时，由得，=，当时，在单调递减，是函数的最小值，当时，为增函数，是函数的最小值，又因为，都，使得，可得在的最小值不小于在的最小值，即，解得：，故选：．【点睛】本题考查指数函数和对勾函数的图像及性质，考查利用导数研究单调性问题的应用，属于基础题.11.如图是函数导函数的图象，下列选项中正确的是（）A. 在处导函数有极大值B. 在，处导函数有极小值C. 在处函数有极大值D. 在处函数有极小值【答案】ABCD【解析】【分析】根据极大值、极小值的定义，判断出正确选项.【详解】根据导函数的图像可知：的两侧左减右增，所以在，处导函数有极小值；的两侧左增右减，所以在处导函数有极大值.根据导函数的图像可知：的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在处函数有极大值.的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在处函数有极小值.而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值.故选：ABCD【点睛】本小题主要考查极大值、极小值的定义和判断，属于基础题.12.若直线与曲线满足以下两个条件：点在曲线上，直线方程为；曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列选项正确的是（）A. 直线在点处“切过”曲线B. 直线在点处“切过”曲线C. 直线在点处“切过”曲线D. 直线点处“切过”曲线【答案】AC【解析】【分析】对四个选项逐一判断直线是否是曲线在点的切线方程，然后结合图像判断直线是否满足“切过”，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，曲线，，，所以曲线在点的切线方程为，图像如下图所示，由图可知直线在点处“切过”曲线，故A选项正确.对于B选项，曲线，，，所以曲线在点的切线方程为，故B选项错误.对于C选项，曲线，，，所以曲线在点的切线方程为，图像如下图所示，由图可知直线在点处“切过”曲线，故C 选项正确.对于D选项，曲线，，，所以曲线在点的切线方程为，图像如下图所示，由图可知直线在点处没有“切过”曲线，故D选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.13.已知曲线，则下列曲线中与曲线有公共点的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】首先根据曲线过点确定BD选项.化简曲线的方程，得到，结合图像判断AC选项中的曲线与没有公共点.【详解】由于曲线过点，而曲线也过，所以B选项符合.由于曲线过点，而曲线也过，所以D选项符合.由于，所以，所以，两边平方并化简得，两边平方并化简得，所以.所以曲线的方程为.对于A选项，画出、图像如下图所示，由图可知，两个曲线没有公共点.（圆圆心，半径为，圆心到直线的距离，所以直线和圆没有公共点.）对于C选项，画出、图像如下图所示，由图可知，两个曲线没有公共点.（的一条渐近线方程为，而可化为与平行，故与没有公共点.）故选：BD【点睛】本小题主要考查曲线与方程，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.14.函数的单调递减区间是________.【答案】【解析】【分析】先求得函数的定义域，然后利用导数求得的单调减区间.【详解】依题意的定义域为，令，解得，所以的单调减区间是.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.15.在二项式的展开式中，系数最大项的项数为第________项.【答案】7【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中数最大项的项数.【详解】二项式的展开式的通项公式为，各项的系数为，由于题目要求系数最大项的项数，所以为偶数.故，对应的系数为，根据的单调性可知，或时，最大，故最大的项的系数为，对应为第项.故答案为：【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，属于基础题.16.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为________.【答案】.【解析】【分析】先记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，根据条件概率计算公式，即可求出结果.【详解】记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，则，，所以，在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为.故答案为【点睛】本题主要考查条件概率，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.17.设函数，当时，恒成立，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】求得在处的切线的斜率，结合图像，求得的取值范围.【详解】函数，.对于一次函数，.，令，解得（负根舍去），所以在上递增，在上递减，画出的图像如下图所示.由图可知，要使当时，恒成立，只需大于或等于在处切线的斜率.而，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.设离散型随机变量的分布列为02求：（1）的分布列；（2）求的值.【答案】（1）见解析；（2）0.7【解析】【分析】根据概率和为列方程，求得的值.（1）根据分布列的知识，求得对应的分布列.（2）利用求得的值.【详解】由分布列的性质知：，解得（1）由题意可知，，，所以的分布列为：10.2（2）【点睛】本小题主要考查分布列的计算，属于基础题.19.设，其中，曲线在点处的切线与y轴相交于点.（1）确定a的值；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）增区间是，减区间是.【解析】【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线在点处的切线与轴相交于点列出方程求的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到函数的单调区间．【详解】(1)因为，所以.令，得，所以曲线在点处的切线方程为，由点在切线上，可得，解得.(2)由(1)知，，.令，解得或.当或时，；当时，，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.【点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．。

2018-2019学年高二数学下学期期中试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数为纯虚数，则A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】因为复数为纯虚数，，且，所以，故选B.2.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数求导公式对选项进行一一验证.【详解】因为，故A错；因为，故B正确；因为，故C错；因为，故D错．【点睛】本题考查导数公式的简单运用,考查计算能力，属于基础题.3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

A. 假设三内角都不大于60度；B. 假设三内角至多有两个大于60度；C. 假设三内角至多有一个大于60度；D. 假设三内角都大于60度。

【答案】D【解析】【分析】根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，即可求得，得到答案.【详解】根据反证法的步骤可知，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定为“一个也没有”即“三角形三个内角都大于60度”，故选D.【点睛】本题主要考查了反证法的概念，以及命题的否定的应用，着重考查了逻辑推理能力，属于基础题.4.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线:已知直线平面,直线平面,直线平面,则直线直线”的结论显然是错误的,这是因为( )A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【答案】A【解析】【分析】分析该演绎推理的三段论，即可得到错误的原因，得到答案．【详解】该演绎推理的大前提是：若直线平行与平面，则该直线平行平面内所有直线，小前提是：已知直线平面，直线平面，结论是：直线平面；该结论是错误的，因为大前提是错误的，正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”，、故选A．【点睛】本题主要考查了演绎推理的三段论退，同时考查了空间中直线与平面平行的判定与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.设函数的导函数为，且，则＝( )A. 0B. －4C. －2D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后利用导函数的解析式可得的值.【详解】由函数的解析式可得：，令可得：，解得：，即，故.故选：A.【点睛】本题主要考查导数的运算法则及其应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2)(a>0,试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为( )A. 600B. 400C. 300D. 200【答案】D【解析】【详解】因为成绩，所以其正态曲线关于直线对称，又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，由对称性知：成绩在110分以上的人数约为总人数的，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有：,故选D.考点：正态分布本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.7.教育部选派3名中文教师到外国任教中文，有4个国家可供选择，每名教师随机选择一个国家，则恰有2名教师选择同一个国家的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出3名教师去4个国家的总的可能性，再求2名教师选择同一国家的可能性，代入公式，即可求解。

梁园区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1． （﹣6≤a ≤3）的最大值为（ ）A ．9B ．C ．3D ．2． 对一切实数x ，不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2）B ．D ．上是减函数，那么b+c （）A ．有最大值B ．有最大值﹣C ．有最小值D ．有最小值﹣3． 如图所示程序框图中，输出S=（）A ．45B ．﹣55C ．﹣66D ．664． 若命题“p ∧q ”为假，且“¬q ”为假，则（ ）A ．“p ∨q ”为假B ．p 假C ．p 真D ．不能判断q 的真假5． 已知函数在处取得最大值，则函数的图象（ ）sin(2)y x ϕ=+6x π=cos(2)y x ϕ=+A ．关于点对称B ．关于点对称(0)6π,(0)3π,C ．关于直线对称D ．关于直线对称6x π=3x π=6． 已知数列，则5是这个数列的（ ）A ．第12项B ．第13项C ．第14项D ．第25项7． 四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A ．96B ．48C ．24D ．08． 某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________（），试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总()2~100,X N a 0a >人数的，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（ ）110（A ） 400 （ B ） 500（C ） 600（D ） 8009． 如图所示，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C1的中点，若=+x+y，则（）A ．x=﹣B ．x=C ．x=﹣D ．x=10．已知a ＞0，实数x ，y 满足：，若z=2x+y 的最小值为1，则a=（）A ．2B ．1C ．D ．11．设为双曲线的右焦点，若的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到F 22221(0,0)x y a b a b-=>>OF 另一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）1||2OF A ． BC ．D ．3【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想．12．如果点P 在平面区域220,210,20x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么||PQ 的最小值为（）A1-B1 C. 1- D 1-二、填空题13．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则此三棱柱的体积为 ．15．已知f（x）=，则f[f（0）]= ．16．在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则____．17．若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于 ．18．若函数f（x）=log a x（其中a为常数，且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），则f（2x﹣1）＜f（2﹣x）的解集是 ．三、解答题19．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．20．已知曲线C 1的参数方程为曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos （θ﹣），以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C 2的直角坐标方程；（2）求曲线C 2上的动点M 到直线C 1的距离的最大值．21．（本小题满分10分）选修：几何证明选讲41-如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相PA O A P C B ,AP CD //BC AD ,交于点，为上一点，且．E F CE EC EF DE ⋅=2（Ⅰ）求证：；P EDF ∠=∠（Ⅱ）若，求的长．2,3,2:3:===EF DE BE CE PA【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．22．设，证明：（Ⅰ）当x ＞1时，f （x ）＜（ x ﹣1）；（Ⅱ）当1＜x＜3时，．23．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，计算得x i=80，y i=20，x i y i=184，x i2=720．（1）求家庭的月储蓄对月收入的回归方程；（2）判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．24．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v （x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．梁园区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f （a）的最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选B．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．2．【答案】B【解析】解：由f（x）在上是减函数，知f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈，则⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤﹣．故选B．3．【答案】B【解析】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，判断算法的功能是解答本题的关键．4．【答案】B【解析】解：∵命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，∴q为真，p为假；则p∨q为真，故选B．【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断，属于基础题．5．【答案】A【解析】∵，∴，22,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈2,6k k Z πϕπ=+∈∴，cos(2)cos(22cos(266y x x k x ππϕπ=+=++=+当时，，故选A ．6x π=cos(2066y ππ=⨯+=6． 【答案】B 【解析】由题知，通项公式为，令得，故选B答案：B7． 【答案】 B 【解析】排列、组合的实际应用；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同方法的种数．首先需要把四棱锥个顶点设出来，然后分析到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况．然后求出即可得到答案．【解答】解：8种化工产品分4组，设四棱锥的顶点是P ，底面四边形的个顶点为A 、B 、C 、D ．分析得到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况，（PA 、DC ；PB 、AD ；PC 、AB ；PD 、BC ）或（PA 、BC ；PD 、AB ；PC 、AD ；PB 、DC ）那么安全存放的不同方法种数为2A 44=48．故选B ．【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用，其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断，把空间几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖．8． 【答案】A 【解析】P （X ≤90）＝P （X ≥110）＝，P （90≤X ≤110）＝1－＝，P （100≤X ≤110）＝，1000×＝400. 故选A.110154525259． 【答案】A【解析】解：根据题意，得；=+（+）=++=﹣+，又∵=+x+y，∴x=﹣，y=，故选：A．【点评】本题考查了空间向量的应用问题，是基础题目．10．【答案】C【解析】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．11．【答案】B【解析】12．【答案】A 【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域||PQ Z =表示圆上的点到可行域的距离,当在点A 处时,求出圆心到可行域的距离内的点的最小距离5,∴当在点A 处最小, ||PQ 最小值为15-,因此，本题正确答案是15-.考点：线性规划求最值.二、填空题13．【答案】　甲　．【解析】解：【解法一】甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，方差是= [（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，方差是= [（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；∵＜，∴成绩较为稳定的是甲．【解法二】根据茎叶图中的数据知，甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些；乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些；所以甲的成绩相对稳定些．故答案为：甲．【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．　14．【答案】 ．【解析】解：如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，再设球的半径为r，由球O的表面积为7π，得4πr2=7π，∴r=．设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为a，且球心O到上底面中心H的距离OH=，∴r2=（）2+（a）2，即r=a，∴a=．则三棱柱的底面积为S==．∴==．故答案为：．【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．15．【答案】　1　．【解析】解：f（0）=0﹣1=﹣1，f[f（0）]=f（﹣1）=2﹣1=1，故答案为：1．【点评】本题考查了分段函数的简单应用．16．【答案】-2【解析】【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】由题知：所以故答案为：-217．【答案】5【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r=C n r=C n r 令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5故答案为：5．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．18．【答案】　（1，2）　．【解析】解：∵f（x）=log a x（其中a为常数且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），∴0＜a＜1，x＞0，若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），则，解得：1＜x＜2，故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：×=2.9；（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P（B）=．【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．　20．【答案】【解析】解：（Ⅰ），…即ρ2=2（ρcos θ+ρsin θ），∴x 2+y 2﹣2x ﹣2y=0，故C 2的直角坐标方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2．…（Ⅱ）∵曲线C 1的参数方程为，∴C 1的直角坐标方程为，由（Ⅰ）知曲线C 2是以（1，1）为圆心的圆，且圆心到直线C 1的距离，…∴动点M 到曲线C 1的距离的最大值为．…【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查点到曲线的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．21．【答案】【解析】（Ⅰ）∵,EC EF DE ⋅=2DEFDEF ∠=∠∴∽,∴……………………2分DEF ∆CED ∆C EDF ∠=∠又∵,∴, ∴．AP CD //C P ∠=∠P EDF ∠=∠（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，∴∽，P EDF ∠=∠PEA DEF ∠=∠EDF ∆EPA ∆∴，∴，又∵，∴．EDEP EF EA =EP EF ED EA ⋅=⋅EB CE ED EA ⋅=⋅EP EF EB CE ⋅=⋅∵,，∴ ，∵，∴，解得.EC EF DE ⋅=22,3==EF DE 29=EC 2:3:=BE CE 3=BE 427=EP ∴．∵是⊙的切线，∴415=-=EB EP BP PA O PC PB PA ⋅=2∴，解得．……………………10分29427(4152+⨯=PA 4315=PA 22．【答案】【解析】证明：（Ⅰ）（证法一）：记g （x ）=lnx+﹣1﹣（x ﹣1），则当x ＞1时，g ′（x ）=+﹣＜0，又g （1）=0，有g （x ）＜0，即f （x ）＜（ x ﹣1）；…4′（证法二）由均值不等式，当x ＞1时，2＜x+1，故＜+．①令k （x ）=lnx ﹣x+1，则k （1）=0，k ′（x ）=﹣1＜0，故k （x ）＜0，即lnx ＜x ﹣1②由①②得当x ＞1时，f （x ）＜（ x ﹣1）；（Ⅱ）记h（x）=f（x）﹣，由（Ⅰ）得，h′（x）=+﹣=﹣＜﹣=，令g（x）=（x+5）3﹣216x，则当1＜x＜3时，g′（x）=3（x+5）2﹣216＜0，∴g（x）在（1，3）内是递减函数，又由g（1）=0，得g（x）＜0，∴h′（x）＜0，…10′因此，h（x）在（1，3）内是递减函数，又由h（1）=0，得h（x）＜0，于是，当1＜x＜3时，f（x）＜…12′23．【答案】【解析】解：（1）由题意，n=10，=x i=8，=y i=2，∴b==0.3，a=2﹣0.3×8=﹣0.4，∴y=0.3x﹣0.4；（2）∵b=0.3＞0，∴y与x之间是正相关；（3）x=7时，y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b 再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．　。

2018-2019学年高二数学下学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，集合，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,,则,故选B.考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.2.已知函数，则（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求得，进而可求得的值，得到答案．【详解】由题意，函数，可得，所以，故答案为．【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中合理应用分段函数的解析式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.函数的单调增区间是（）A. B. C. D. 不存在【答案】B【解析】【分析】求出二次函数的对称轴即得函数的增区间.【详解】由题得，所以函数的增区间为，故选：B【点睛】本题主要考查二次函数的单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若函数在上是增函数，则的范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用一次函数的单调性求解.【详解】因为函数在上是增函数，所以.故选：C【点睛】本题主要考查一次函数单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.下列函数求导运算正确的个数为( )①；②③；④；⑤A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据，，即可作出判断．【详解】①，故错误；②，故正确；③，故正确；④，故错误；⑤，故错误．故选：．【点睛】此题考查了求导的运算．要求学生掌握求导法则，锻炼了学生的计算能力，是一道基础题．6.下列四个函数中，在上为增函数是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的图像判断每一个选项得解.【详解】A. ,在上为减函数；B. ，在上不是单调函数；C. ，在上为减函数；D. ，在上为增函数.故选：D【点睛】本题主要考查函数的图像和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【详解】,直线的斜率为-a.所以a=-2, 故选D8.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图像和奇函数的判定方法，极值的判定方法分析每一个选项得解.【详解】A. ，由函数的图像得函数是奇函数，但是不存在极值，故该选项错误；B. ，由函数的图像得函数是偶函数，故该选项错误；C. ，，所以该函数不是奇函数，故该选项错误；D. ,，所以该函数是奇函数，由函数图像得函数在上是增函数，在上是减函数，所以函数存在极值.故该选项是正确的.故选：D【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断和极值的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意可得：，解得或，故选C.点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号，我们称之为导函数的“变号零点”，则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过”轴即可.10.已知，，直线与函数，的图象都相切，且与图象的切点为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果.【详解】，直线是函数的图象在点处的切线，其斜率为（1），直线的方程为．又因为直线与的图象相切，，消去，可得，得△不合题意，舍去），故选：A【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.设集合，，若，则________；_________.【答案】 (1). 3 (2). {1,2,3}【解析】【分析】由求出m的值，再求.【详解】因为，所以m=3.所以.故答案为：3，{1,2,3}【点睛】本题主要考查集合交集并集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.曲线在点处的切线的斜率是__________ ；切线方程为_________．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切线的方程.【详解】由题得，所以切线的斜率为，所以切线的方程为故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.若函数在，则函数的最小值是 _______ ；最大值是_________.【答案】 (1). (2). 0【解析】【分析】先求出函数的导数，再令得x=2（舍去）或0，再比较端点和极值点的函数值的大小，即得函数的最值.【详解】由题得，令得x=2（舍去）或0，因为，所以函数的最小值是，最大值为0.故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数求函数在闭区间上的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知函数，则______ ；_________.【答案】 (1). 1 (2). 2【解析】【分析】由题得，再依次求出.【详解】由题得，所以所以，所以.故答案为：1；2【点睛】本题主要考查求导，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知在单调递减，则的取值是________.【答案】，.【解析】【分析】由函数在上是减函数，得，求导后分离参数得答案.【详解】由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，令，，，要使，需，故的取值范围为，.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知函数，则函数在点处切线的斜率的最小值是________．【答案】2【解析】根据已知条件得到的导函数，根据限制性条件，和基本不等式进行解答．【详解】因为，所以．又因为，，所以（b），所以斜率的最小值是2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．17.若函数同时满足：(1)对于定义域上的任意，恒有；(2)对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数中：①；②；③；④，则被称为“理想数”的有________(填相应的序号)．【答案】（4）分析】由“理想函数”的定义可知：若是“理想函数”，则为定义域上的单调递减的奇函数，将四个函数一一判断即可．【详解】若是“理想函数”，则满足以下两条：①对于定义域上的任意，恒有，即，则函数是奇函数；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，，时，，即函数是单调递减函数．故为定义域上的单调递减的奇函数．（1）在定义域上既是奇函数，但不是减函数，所以不是“理想函数”；（2）在定义域上是偶函数，所以不是“理想函数”；（3）不是奇函数，所以不是“理想函数”；（4），在定义域上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”．故答案为：（4）【点睛】本题考查新定义的理解和运用，主要考查函数的奇偶性和单调性，注意运用定义法是解题的关键，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.设全集，集合，.(1)求集合；(2)求集合．【答案】(1);(2).【解析】分析】(1)利用补集定义求解；（2）利用交集的定义求解.【详解】（1）由题得.（2）由题得.【点睛】本题主要考查补集交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知函数满足且在时函数取得极值．（1）求，的值；（2）求函数单调递减区间.【答案】(1)a=-3,b=2;（2）(0,2)【解析】【分析】（1）通过（2）及（1），计算即得结论；（2）通过对函数求导，进而可判断单调递减区间.【详解】（1），，函数在时函数取得极值，（2），即，，又（1），，综上、；（2）由（1）可知，，时，，函数在上单调递减；函数的单调递减区间为：.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知函数.（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】(1) ;（2）.【解析】【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）设函数，求得导数，由题意可得在区间上，恒成立，结合指数函数的值域，及恒成立思想可得的范围；【详解】（1）求导得，又因为（1），（1），所以曲线在点，（1）处的切线方程为；（2）设函数，求导，得，因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即恒成立，又因为函数在区间上单调递减，所以（e），所以.【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查构造函数法，以及转化思想，考查化简整理的运算能力，属于综合题．21.已知函数，其中为常数．（1）若曲数在点处的切线与直线y=-x+1平行，求函数极小值；（2）若函数在区间上的最小值为，求的值．【答案】(1)ln2；（2）.【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，由已知可得（1），即，再利用导数求函数的极小值；（2）由（1）知，分类讨论求出函数的单调性，再求出函数最小值即得解.【详解】（1）由，得，函数在点，（1）处的切线与直线y=-x+1平行，（1），即.此时函数的增区间为（2，+∞），减区间为（0，2），所以函数的极小值为.（2）由（1）知，当时，在，上恒成立，在，上为增函数，，得（舍；当时，由，解得，当时，，当时，，在上为减函数，在上为增函数，，解得；当时，在上恒成立，在上为减函数，，解得（舍．综上，．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．22.已知函数，.(1)若，判断函数的奇偶性，并加以证明；(2)若函数在上是增函数，求实数的取值范围．【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）-1≤a≤1.【解析】【分析】（1）若，根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数的取值范围；【详解】（1）函数为奇函数．当时，，，函数为奇函数；（2），当时，的对称轴为：；当时，的对称轴为：；当时，在上是增函数，即时，函数在上是增函数.【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，掌握分段函数的性质是解决本题的关键．综合性较强．2018-2019学年高二数学下学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，集合，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,,则,故选B.考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.2.已知函数，则（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求得，进而可求得的值，得到答案．【详解】由题意，函数，可得，所以，故答案为．【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中合理应用分段函数的解析式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.函数的单调增区间是（）A. B. C. D. 不存在【答案】B【解析】【分析】求出二次函数的对称轴即得函数的增区间.【详解】由题得，所以函数的增区间为，故选：B【点睛】本题主要考查二次函数的单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若函数在上是增函数，则的范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用一次函数的单调性求解.【详解】因为函数在上是增函数，所以.故选：C【点睛】本题主要考查一次函数单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.下列函数求导运算正确的个数为( )①；②③；④；⑤A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据，，即可作出判断．【详解】①，故错误；②，故正确；③，故正确；④，故错误；⑤，故错误．故选：．【点睛】此题考查了求导的运算．要求学生掌握求导法则，锻炼了学生的计算能力，是一道基础题．6.下列四个函数中，在上为增函数是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的图像判断每一个选项得解.【详解】A. ,在上为减函数；B. ，在上不是单调函数；C. ，在上为减函数；D. ，在上为增函数.故选：D【点睛】本题主要考查函数的图像和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【详解】,直线的斜率为-a.所以a=-2, 故选D8.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图像和奇函数的判定方法，极值的判定方法分析每一个选项得解.【详解】A. ，由函数的图像得函数是奇函数，但是不存在极值，故该选项错误；B. ，由函数的图像得函数是偶函数，故该选项错误；C. ，，所以该函数不是奇函数，故该选项错误；D. ,，所以该函数是奇函数，由函数图像得函数在上是增函数，在上是减函数，所以函数存在极值.故该选项是正确的.故选：D【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断和极值的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意可得：，解得或，故选C.点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号，我们称之为导函数的“变号零点”，则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过”轴即可.10.已知，，直线与函数，的图象都相切，且与图象的切点为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果.【详解】，直线是函数的图象在点处的切线，其斜率为（1），直线的方程为．又因为直线与的图象相切，，消去，可得，得△不合题意，舍去），故选：A【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.设集合，，若，则________；_________.【答案】 (1). 3 (2). {1,2,3}【解析】【分析】由求出m的值，再求.【详解】因为，所以m=3.所以.故答案为：3，{1,2,3}【点睛】本题主要考查集合交集并集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.曲线在点处的切线的斜率是__________ ；切线方程为_________．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切线的方程.【详解】由题得，所以切线的斜率为，所以切线的方程为故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.若函数在，则函数的最小值是 _______ ；最大值是_________.【答案】 (1). (2). 0【解析】【分析】先求出函数的导数，再令得x=2（舍去）或0，再比较端点和极值点的函数值的大小，即得函数的最值.【详解】由题得，令得x=2（舍去）或0，因为，所以函数的最小值是，最大值为0.故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数求函数在闭区间上的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知函数，则______ ；_________.【答案】 (1). 1 (2). 2【解析】【分析】由题得，再依次求出.【详解】由题得，所以所以，所以.故答案为：1；2【点睛】本题主要考查求导，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知在单调递减，则的取值是________.【答案】，.【解析】【分析】由函数在上是减函数，得，求导后分离参数得答案.【详解】由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，令，，，要使，需，故的取值范围为，.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知函数，则函数在点处切线的斜率的最小值是________．【答案】2【解析】【分析】根据已知条件得到的导函数，根据限制性条件，和基本不等式进行解答．【详解】因为，所以．又因为，，所以（b），所以斜率的最小值是2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．17.若函数同时满足：(1)对于定义域上的任意，恒有；(2)对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数中：①；②；③；④，则被称为“理想数”的有________(填相应的序号)．【答案】（4）【解析】分析】由“理想函数”的定义可知：若是“理想函数”，则为定义域上的单调递减的奇函数，将四个函数一一判断即可．【详解】若是“理想函数”，则满足以下两条：①对于定义域上的任意，恒有，即，则函数是奇函数；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，，时，，即函数是单调递减函数．故为定义域上的单调递减的奇函数．（1）在定义域上既是奇函数，但不是减函数，所以不是“理想函数”；（2）在定义域上是偶函数，所以不是“理想函数”；（3）不是奇函数，所以不是“理想函数”；（4），在定义域上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”．故答案为：（4）【点睛】本题考查新定义的理解和运用，主要考查函数的奇偶性和单调性，注意运用定义法是解题的关键，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.设全集，集合，.(1)求集合；(2)求集合．【答案】(1);(2).【解析】分析】(1)利用补集定义求解；（2）利用交集的定义求解.【详解】（1）由题得.（2）由题得.【点睛】本题主要考查补集交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知函数满足且在时函数取得极值．（1）求，的值；（2）求函数单调递减区间.【答案】(1)a=-3,b=2;（2）(0,2)【解析】【分析】（1）通过（2）及（1），计算即得结论；（2）通过对函数求导，进而可判断单调递减区间.【详解】（1），，函数在时函数取得极值，（2），即，，又（1），，综上、；（2）由（1）可知，，时，，函数在上单调递减；函数的单调递减区间为：.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知函数.（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】(1) ;（2）.【解析】【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）设函数，求得导数，由题意可得在区间上，恒成立，结合指数函数的值域，及恒成立思想可得的范围；【详解】（1）求导得，又因为（1），（1），所以曲线在点，（1）处的切线方程为；（2）设函数，求导，得，因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即恒成立，又因为函数在区间上单调递减，所以（e），所以.【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查构造函数法，以及转化思想，考查化简整理的运算能力，属于综合题．21.已知函数，其中为常数．（1）若曲数在点处的切线与直线y=-x+1平行，求函数极小值；（2）若函数在区间上的最小值为，求的值．【答案】(1)ln2；（2）.【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，由已知可得（1），即，再利用导数求函数的极小值；（2）由（1）知，分类讨论求出函数的单调性，再求出函数最小值即得解.【详解】（1）由，得，函数在点，（1）处的切线与直线y=-x+1平行，（1），即.此时函数的增区间为（2，+∞），减区间为（0，2），所以函数的极小值为.（2）由（1）知，当时，在，上恒成立，在，上为增函数，，得（舍；当时，由，解得，当时，，当时，，在上为减函数，在上为增函数，，解得；当时，在上恒成立，在上为减函数，，解得（舍．综上，．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．22.已知函数，.(1)若，判断函数的奇偶性，并加以证明；(2)若函数在上是增函数，求实数的取值范围．【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）-1≤a≤1.【解析】【分析】（1）若，根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数的取值范围；【详解】（1）函数为奇函数．当时，，，函数为奇函数；（2），当时，的对称轴为：；当时，的对称轴为：；当时，在上是增函数，即时，函数在上是增函数.【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，掌握分段函数的性质是解决本题的关键．综合性较强．。

第Ⅰ卷（选择题，共 60分）一、选择题（每小题5分，共60分，第11,12题为多选题）1、若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R)是纯虚数，则1z ＋a的共轭复数的虚部为( ) A ．－25 B ．－25i C.25 D.25i 2、已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE ·AF 的值为( )A ．a 2B ．12a 2 C ．14a 2 D ．34a 2 3．如图所示，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．135°4、已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 5、曲线xe y 2 在点(0,1)处的切线方程为( )A ．y ＝12x ＋1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝2x ＋1 6、设函数f (x )＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点7、过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条8、已知f (x )＝－12x 2＋2xf ′(2018)＋2018ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．2017 B ．6049 C ．2018 D ．60519、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M 是AA 1的中点,则点A 1到平面BDM 的距离是( ) A.66a B.306a C.34a D.63a 10．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)11、如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则下列结论中错误的是( )A 、EF 至多与A 1D ，AC 之一垂直B ．EF ⊥A 1D ，EF ⊥ACC ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面12、对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且 只有一个结论是错误的,则正确的结论是( )A.－1是f (x )的零点B.1是f (x )的极值点C.3是f (x )的极值D.点(2,8)在曲线y ＝f (x )上第Ⅱ卷（非选择题，共 90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知333222101+-+-+=+x x x x x A C C ，则x= 14、已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于15、已知函数f (x )＝x ＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值范围是 16、已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)·f (x 2－1)的解集是三、解答题（共6小题，70分）17、（8分）定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根.根据定义，求复数－3＋4i 的平方根。

2018-2019学年高二数学下学期期中试题选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（）A．棱锥B．圆柱C．球D．圆锥2．是的（）A．充分不必要条 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3. 已知某四棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．B．4. 椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（）A． B． C． D．5．圆与圆的位置关系为( )A．内切 B．相交 C．外切 D．外离6．下列命题中，假命题的个数为（）①对所有正数，；②若方程有实数解，则；③存在实数，使得且；④.A. B. C. D.7．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A． B．C． D．8. 设双曲线：（）的左、右焦点分别为，．若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.9. 已知正方体，过顶点作平面，使得直线和A．4个B．3个C．2个D．1个如图，在三棱柱中，点在平面内运动，使得二面角的平面角与二面角的平面角互余，则点的轨迹是（）A.一段圆弧B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一支非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．抛物线的焦点坐标是，准线方程是．12. 棱长为的正方体的内切球的半径等于，外接球的表面积为 .13．双曲线的离心率为，渐近线方程为．14．从直线上一点向圆引切线，则圆的半径长为，切线长的最小值为．15. 已知命题：方程的两个实根一个小于，另一个大于，若命题是假命题，则实数的取值范围是．16．如图，在三棱锥中，两两互相垂直，，点，分别在侧面，棱上运动，，为线段中点，当运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于 .17. 设直线与椭圆相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点，若这样的直线恰有条，则的取值范围是 .三．（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（本题满分14分）如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（本题满分15分）已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线：表示双曲线”．（1）若命题是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．（本题满分15分）如图，已知抛物线方程为．直线与抛物线相交两点.若直线的倾斜角为，且过抛物线的焦点，为原点，求的面积；（2）若，求证：直线必过定点，并求出定点坐标. （本题满分15分）在三棱台中，是等边三角形，二面角的平面角为，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（本题满分15分）已知直线与椭圆恰有一个公共点，与圆相交于两点.（1）求与的关系式；（2）点与点关于坐标原点对称.若当时，的面积取到最大值，求椭圆的离心率.2018-2019学年高二数学下学期期中试题选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（）A．棱锥B．圆柱C．球D．圆锥2．是的（）A．充分不必要条 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3. 已知某四棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．B．C．D．4. 椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（）A． B． C． D．A．内切 B．相交 C．外切 D．外离6．下列命题中，假命题的个数为（）①对所有正数，；②若方程有实数解，则；③存在实数，使得且；④.A. B. C. D.7．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A． B．C． D．8. 设双曲线：（）的左、右焦点分别为，．若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.9. 已知正方体，过顶点作平面，使得直线和与平面所成的角都为，这样的平面可以有（）A．4个B．3个C．2个D．1个如图，在三棱柱中，点在平面内运动，使得二面角的平面角与二面角的平面角互余，则点的轨迹是（）A.一段圆弧B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一支非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.12. 棱长为的正方体的内切球的半径等于，外接球的表面积为 .13．双曲线的离心率为，渐近线方程为．14．从直线上一点向圆引切线，则圆的半径长为，切线长的最小值为．15. 已知命题：方程的两个实根一个小于，另一个大于，若命题是假命题，则实数的取值范围是．16．如图，在三棱锥中，两两互相垂直，，点，分别在侧面，棱上运动，，为线段中点，当运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于 .17. 设直线与椭圆相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点，若这样的直线恰有条，则的取值范围是 .三．（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（本题满分14分）如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（本题满分15分）已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线：表示双曲线”．（1）若命题是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．（本题满分15分）如图，已知抛物线方程为．直线与抛物线相交两点.若直线的倾斜角为，且过抛物线的焦点，为原点，求的面积；（2）若，求证：直线必过定点，并求出定点坐标.（本题满分15分）在三棱台中，是等边三角形，二面角的平面角为，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（本题满分15分）已知直线与椭圆恰有一个公共点，与圆相交于两点.（1）求与的关系式；（2）点与点关于坐标原点对称.若当时，的面积取到最大值，求椭圆的离心率.。

2018-2019学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题1.复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，∴复平面内所对应点的坐标为，故选D．考点：复数的运算．2.在的展开式中，含的正整数次幂的项共有（）A. 4项B. 3项C. 2项D. 1项【答案】B【解析】的展开式的通项为为整数，项，即，故选B.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.3.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.4.若的展开式中所有二项式系数的之和为，则展开式中的常数项是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：，由的展开式的通项为，令得，即可求得展开式中的常数项．【详解】解：由的展开式中所有二项式系数的之和为32，得，解得，由的展开式的通项为，令得，即该展开式中的常数项是，故选：B．【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属于基础题．5.函数有（）A. 极大值，极小值B. 极大值，极小值C. 极大值，无极小值D. 极小值，无极大值【答案】C【解析】【分析】利用导函数的正负可确定原函数的单调性，由单调性可知当时，函数取极大值，无极小值；代入可求得极大值，进而得到结果.【详解】当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减当时，函数取极大值，极大值为；无极小值故选：【点睛】本题考查函数极值的求解问题，关键是能够根据导函数的符号准确判断出原函数的单调性，属于基础题.6.设随机变量，，若，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二项分布的期望公式求出，再根据4次独立重复试验的概率公式计算可得．【详解】解：，，，，故选：B．【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望与方程，属于基础题．7.设，其中为虚数单位，，是实数，则（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】，，是实数,故选D.8.素数指整数在一个大于的自然数中，除了和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．【详解】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有种，和等于30的有，，，共3种，则对应的概率，故选：C．【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键，属于基础题．9.已知随机变量服从正态分布，且，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】∵随机变量服从正态分布，，即对称轴是，，∴，∴，∴．故选．10.编号为的位同学随意入座编号为的个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是，则的方差为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】的所有可能取值为0，1，3，求出概率后，再求出期望和方差．【详解】解：的所有可能取值为0，1，3，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．11.10张奖券中含有张中奖的奖券，每人购买张，则前个购买者中，恰有一人中奖的概率为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出基本事件总数，再按照分别乘法法则求出满足前个购买者中，恰有一人中奖的事件总数，最后根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：依题意三人抽奖情况总数为，则个购买者中，恰有一人中奖，分两步：第一步三个人中两人从7张不中奖奖券拿到2张，有种；第二步剩下一人从3张中奖奖券拿到1张，有种；其中拿到中奖奖券的人有3种可能，按照分别乘法计算原理一共有，故前3个购买者中，恰有1人中奖的概率为故选：D．【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，古典概型的概率公式的应用，属于基础题．12.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题13.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）【答案】1560【解析】试题分析：通过题意，列出排列关系式，求解即可．解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为1560．点评：本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．14.已知复平面上的正方形的三个顶点对应的复数分别为，那么第四个顶点对应的复数是．【答案】【解析】试题分析：三个复数在复平面内对应的点分别为．设第四个顶点在复平面内对应的点为，因为为正方形，所以，即，，即．则第四个顶点对应的复数是．考点：1向量；2复数与复平面内的点一一对应．15.已知，则．【答案】【解析】试题分析：因为，所以.考点：二项式定理.16.若函数的图象在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数为______.【答案】【解析】【分析】求得函数，的导数，可得切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，解方程可得，即可得到所求的个数．【详解】解：函数的导数为，可得点，处的切线斜率为，切线方程为，函数的导数为，设与相切的切点为，可得切线斜率为，切线方程为，由题意可得，，可得，解得或．则满足条件的的个数为2，故答案为：2．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，以及化简运算能力，属于中档题．三、解答题17.某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布N（μ，σ2），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩．（1）计算这10名学生的成绩的均值和方差；（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P （μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，97）的概率．【答案】（1）49（2）0.8185【解析】分析：（1）根据茎叶图所给数据，求出总和，求得平均值；利用方差计算公式可得方差值．（2）由3σ原则可知，成绩在（76，97）之间即在之间的概率值，因而可求得概率值．详解：（1） =90，S2= =49（2）由（1）可估计，μ=90，σ=7．P（76＜x＜97）=P（μ﹣2σ＜x＜μ）+P（μ＜x＜μ+σ）= + =0.8185点睛：本题考查了茎叶图的简单应用，利用3σ原则求落在某区间内的概率值，关键是理解好定义，属于简单题．18.如表是某位文科生连续次月考的历史、政治的成绩，结果如下：历史（79分）政治（77分）（1）求该生次月考历史成绩的平均分和政治成绩的平均数；（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量的线性回归方程.参考公式：，，表示样本均值.【答案】（1）83，80（2）【解析】【分析】（1）直接由表格中的数据结合平均数公式求解；（2）求出与的值，则线性回归方程可求．【详解】（1）根据题意，计算，；（2）计算，，所以回归系数为，，故所求线性回归方程为.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，属于基础题．19.已知函数，.（1）求函数的极值；（2）设函数，若函数恰有一个零点，求函数的解析式.【答案】（1）极小值1，函数没有极大值.（2）【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，再利用导数求函数的极值．（2）先求出的导数，再利用导数求函数的极值，根据函数恰有一个零点，可得极值等于零，从而求得的值，可得函数的解析式．【详解】解：（1）因为，令，解得.因为，当时，，函数在上是减函数；当，，函数在上是增函数.所以，当时，函数有极小值，函数没有极大值.（2），函数的定义域为，所以，令得，当时，，函数在上是减函数；当，，函数在上是增函数.当时，，，当时，，但是比的增长速度要快，，故函数的极小值为，因为函数恰有一个零点，故，所以，所以.所以函数.【点睛】本题主要考查求函数的导数，函数的导数与函数的单调性之间的关系，利用导数求函数的极值，属于中档题．20.为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从两地分别随机抽取了天的观测数据，得到两地区的空气质量指数（AQI），绘制如图频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（1）试根据样本数据估计地区当年（天）的空气质量状况“优良”的天数；（2）若分别在两地区上述天中，且空气质量指数均不小于的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.【答案】（1）274天（2）【解析】【分析】（1）从地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为0.75，由估计地区当年天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，从而能求出地区当年天）的空气质量状况“优良”的天数．（2）地20天中空气质量指数在，内为3个，设为，，，空气质量指数在，内为1个，设为，地20天中空气质量指数在，内为2个，设为，，空气质量指数在，内为3个，设为，，，设“，两地区的空气质量等级均为“重度污染””为，利用列举法能求出，两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率．【详解】解：（1）从地区选出的天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为，估计地区当年（天）的空气质量状况“优良”的频率为，地区当年（天）的空气质量状况“优良”的天数约为天.（2）地天中空气质量指数在内，为个，设为，空气质量指数在内，为个，设为，地天中空气质量指数在内，为个，设为，空气质量指数在内，为个，设为，设“两地区的空气质量等级均为“重度污染””为，则基本事件空间基本事件个数为，，包含基本事件个数，所以两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查列举法、频率分布表等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．21.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．【解析】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为．（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望．（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A发生的概率为．点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．22.设函数（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（2）若在上为减函数，求的取值范围．【答案】（1），切线方程为；（2）.【解析】试题解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得，由已知得，可得，于是有，，，由点斜式可得切线方程；（2）由题意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由得．试题解析：（1）对求导得因为在处取得极值，所以，即.当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得（2）由（1）得，,令由，解得.当时，,故为减函数；当时，,故为增函数；当时，,故为减函数；由在上为减函数，知，解得故a的取值范围为.考点：复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．2018-2019学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题1.复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，∴复平面内所对应点的坐标为，故选D．考点：复数的运算．2.在的展开式中，含的正整数次幂的项共有（）A. 4项B. 3项C. 2项D. 1项【解析】的展开式的通项为为整数，项，即，故选B.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.3.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.4.若的展开式中所有二项式系数的之和为，则展开式中的常数项是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由二项式定理及展开式通项公式得：，由的展开式的通项为，令得，即可求得展开式中的常数项．【详解】解：由的展开式中所有二项式系数的之和为32，得，解得，由的展开式的通项为，令得，即该展开式中的常数项是，故选：B．【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属于基础题．5.函数有（）A. 极大值，极小值B. 极大值，极小值C. 极大值，无极小值D. 极小值，无极大值【答案】C【解析】【分析】利用导函数的正负可确定原函数的单调性，由单调性可知当时，函数取极大值，无极小值；代入可求得极大值，进而得到结果.【详解】当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减当时，函数取极大值，极大值为；无极小值故选：【点睛】本题考查函数极值的求解问题，关键是能够根据导函数的符号准确判断出原函数的单调性，属于基础题.6.设随机变量，，若，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二项分布的期望公式求出，再根据4次独立重复试验的概率公式计算可得．【详解】解：，，，，故选：B．【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望与方程，属于基础题．7.设，其中为虚数单位，，是实数，则（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】，，是实数,故选D.8.素数指整数在一个大于的自然数中，除了和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．【详解】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有种，和等于30的有，，，共3种，则对应的概率，故选：C．【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键，属于基础题．9.已知随机变量服从正态分布，且，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】∵随机变量服从正态分布，，即对称轴是，，∴，∴，∴．故选．10.编号为的位同学随意入座编号为的个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是，则的方差为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】的所有可能取值为0，1，3，求出概率后，再求出期望和方差．【详解】解：的所有可能取值为0，1，3，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．11.10张奖券中含有张中奖的奖券，每人购买张，则前个购买者中，恰有一人中奖的概率为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出基本事件总数，再按照分别乘法法则求出满足前个购买者中，恰有一人中奖的事件总数，最后根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：依题意三人抽奖情况总数为，则个购买者中，恰有一人中奖，分两步：第一步三个人中两人从7张不中奖奖券拿到2张，有种；第二步剩下一人从3张中奖奖券拿到1张，有种；其中拿到中奖奖券的人有3种可能，按照分别乘法计算原理一共有，故前3个购买者中，恰有1人中奖的概率为故选：D．【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，古典概型的概率公式的应用，属于基础题．12.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题13.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）【答案】1560【解析】试题分析：通过题意，列出排列关系式，求解即可．解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为1560．点评：本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．14.已知复平面上的正方形的三个顶点对应的复数分别为，那么第四个顶点对应的复数是．【答案】【解析】试题分析：三个复数在复平面内对应的点分别为．设第四个顶点在复平面内对应的点为，因为为正方形，所以，即，，即．则第四个顶点对应的复数是．考点：1向量；2复数与复平面内的点一一对应．15.已知，则．【答案】【解析】试题分析：因为，所以.考点：二项式定理.16.若函数的图象在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数为______.【答案】【解析】【分析】求得函数，的导数，可得切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，解方程可得，即可得到所求的个数．【详解】解：函数的导数为，可得点，处的切线斜率为，切线方程为，函数的导数为，设与相切的切点为，可得切线斜率为，切线方程为，由题意可得，，可得，解得或．则满足条件的的个数为2，故答案为：2．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，以及化简运算能力，属于中档题．三、解答题17.某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布N（μ，σ2），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩．（1）计算这10名学生的成绩的均值和方差；（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，97）的概率．【答案】（1）49（2）0.8185【解析】分析：（1）根据茎叶图所给数据，求出总和，求得平均值；利用方差计算公式可得方差值．（2）由3σ原则可知，成绩在（76，97）之间即在之间的概率值，因而可求得概率值．详解：（1） =90，S2= =49（2）由（1）可估计，μ=90，σ=7．P（76＜x＜97）=P（μ﹣2σ＜x＜μ）+P（μ＜x＜μ+σ）= + =0.8185点睛：本题考查了茎叶图的简单应用，利用3σ原则求落在某区间内的概率值，关键是理解好定义，属于简单题．18.如表是某位文科生连续次月考的历史、政治的成绩，结果如下：历史（分）79政治（分）77（1）求该生次月考历史成绩的平均分和政治成绩的平均数；（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量的线性回归方程.参考公式：，，表示样本均值.【答案】（1）83，80（2）【解析】【分析】（1）直接由表格中的数据结合平均数公式求解；（2）求出与的值，则线性回归方程可求．【详解】（1）根据题意，计算，；（2）计算，，所以回归系数为，，故所求线性回归方程为.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，属于基础题．19.已知函数，.（1）求函数的极值；（2）设函数，若函数恰有一个零点，求函数的解析式.【答案】（1）极小值1，函数没有极大值.（2）【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，再利用导数求函数的极值．（2）先求出的导数，再利用导数求函数的极值，根据函数恰有一个零点，可得极值等于零，从而求得的值，可得函数的解析式．【详解】解：（1）因为，令，解得.因为，当时，，函数在上是减函数；当，，函数在上是增函数.所以，当时，函数有极小值，函数没有极大值.（2），函数的定义域为，所以，令得，当时，，函数在上是减函数；当，，函数在上是增函数.当时，，，当时，，但是比的增长速度要快，，故函数的极小值为，因为函数恰有一个零点，故，所以，所以.所以函数.【点睛】本题主要考查求函数的导数，函数的导数与函数的单调性之间的关系，利用导数求函数的极值，属于中档题．20.为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从两地分别随机抽取了天的观测数据，得到两地区的空气质量指数（AQI），绘制如图频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（1）试根据样本数据估计地区当年（天）的空气质量状况“优良”的天数；。