向量问题知识清单

《向量平行的坐标表示》知识清单一、向量平行的定义在平面直角坐标系中，如果两个非零向量的方向相同或相反，那么我们就说这两个向量平行。

对于向量 a ＝（x₁, y₁) 和向量 b ＝（x₂, y₂)，如果存在实数λ，使得 a ＝λb，那么向量 a 与向量 b 平行。

二、向量平行的坐标表示若向量 a ＝（x₁, y₁)，向量 b ＝（x₂, y₂)，且 a ／／ b，则有x₁y₂ x₂y₁＝ 0 。

这是判断两个向量是否平行的重要公式。

我们来具体分析一下这个公式是怎么得到的。

假设向量 a ＝（x₁, y₁)，向量 b ＝（x₂, y₂)，且 a ／／ b 。

因为 a ／／ b ，所以存在实数λ，使得 a ＝λb ，即（x₁, y₁) ＝λ(x₂, y₂) ，也就是 x₁＝λx₂，y₁＝λy₂。

将 x₁＝λx₂，y₁＝λy₂两式交叉相乘可得：x₁y₂＝λx₂y₂，x₂y₁＝λx₂y₁，所以 x₁y₂ x₂y₁＝ 0 。

三、运用向量平行的坐标表示解决问题（一）判断两个向量是否平行给出两个向量的坐标，将其代入 x₁y₂ x₂y₁＝ 0 ，如果等式成立，则这两个向量平行；否则，不平行。

例如：向量 A ＝（2, 4)，向量 B ＝（4, 8) 。

因为 2×8 4×4 ＝ 16 16 ＝ 0 ，所以向量 A 与向量 B 平行。

（二）已知一个向量和另一个向量平行，求未知数若已知向量 a ＝（x₁, y₁) 与向量 b ＝（x₂, y₂) 平行，且其中某些坐标值未知，可以通过 x₁y₂ x₂y₁＝ 0 来建立方程求解未知数。

比如：向量 a ＝（3, m) 与向量 b ＝（6, 4) 平行，求 m 的值。

由向量平行的坐标表示可得：3×4 6×m ＝ 0 ，12 6m ＝ 0 ，6m ＝ 12 ，m ＝ 2 。

（三）在平面几何中的应用在平面几何中，常常可以通过建立坐标系，将几何问题转化为向量问题，然后利用向量平行的坐标表示来解决。

向量知识清单1、向量的有关概念例 (1)下列命题中正确的是 ( )A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行(2)判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b|. 正确的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4(3)给出下列3个命题，其中真命题的个数是 ( ) ①单位向量都相等； ②单位向量都共线；③共线的单位向量必相等．A ．0B ．1C ．2D ．3(4)下列命题不正确的是 ( )A ．零向量没有方向B ．零向量只与零向量相等C ．零向量的模为0D ．零向量与任何向量共线(5)下列各命题中假命题的个数为 ( ) ①向量的长度与向量的长度相等．②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反．③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．④两个有共同终点的向量，一定是共线向量． ⑤向量与向量是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上． ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．A ．2B ．3C ．4D ．5(6)下列命题中，正确的是 ( )A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bC ．若a 与b 是平行向量，则|a |＝|b |D ．若a ＝0，则－a ＝02、向量的加减法运算例(1)下列等式不正确的是 ( ) ①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②≠+；③++=.A ．②③B ．②C ．①D ．③(2)已知正方形ABCD 的边长为1，＝a ，＝b ，则|a ＋b |为 ( )A ．1 B.2 C ．2 D ．2 2(3)向量++++)()(化简后等于 ( ) A. B. C. D.(4)四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且==,，则四边形为A ．正方形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．菱形 ( )(5)已知O 是△ABC 内的一点，且0=++OC OB OA ，则O 是△ABC 的 ( )A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心(6)在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，向量|AB |＝1，则+＝________.(7)给出下列3个向量等式：①=++；②AB →－AC →－BC →＝0；③AC →－BC →－AB →＝0.其中正确的等式的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3(8)已知|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝1，则|a －b |＝ ( )A ．1 B. 3 C.32D ．2 3、向量的数乘运算例（1）下面给出四个命题，其中正确命题的个数是 ( )①对于实数m 和向量a 、b ，恒有m (a －b )＝m a －m b②对于实数m 、n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝m a －n a③若m a ＝m b (m ∈R )，则有a ＝b ④若m a ＝n a (m 、n ∈R ，a ≠0)，则有m ＝nA ．1B ．2C ．3D ．4（2）设e 是与向量AB 共线的单位向量，AB ＝3e ，又向量BC ＝－5e ，若AC AB λ=，则λ＝ ( ) A.23 B.32 C ．－32 D ．－23（3）已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →（4）点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →. （5）若▱ABCD 的中心为O ，P 为该平面上一点，PO →＝a ，则P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝________.4、共线向量定理例（1）已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么 ( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向（2）已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1、e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是 ( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定（3）a ，b 是不共线向量，AB →＝a ＋x b ，AC →＝y a ＋b ，(x ，y ∈R )，则A 、B 、C 三点共线的条件是______．5、平面向量基本定理例（1）e 1，e 2是平面内一组基底，下面说法正确的是( )A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对（2）已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2.要使a ，b 能作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．（3）设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．6、平面向量的坐标运算例（1）若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝ ( )A ．(－2，－4)B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(－6，－10)（2）若a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于 ( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2) C ．(－2,2) D ．(2，－2)（3）已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为 ( ) A ．(－8,1) B ．(－1，－32) C ．(1，32) D ．(8，－1) （4）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)（5）已知a ＝(6,1)，b ＝(－2,2)，若单位向量c 与2a ＋3b 共线，则向量c 的坐标为________．（6）已知a ＝AB →，B (1,0)，b ＝(3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，则A 点的坐标为________．（7）已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α＝ ( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43（7）已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是 ( )A ．－2B ．0C ．1D ．2（8）已知a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________.（9）设a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若向量m a ＋b 与向量c ＝(－3,2)共线，则m ＝________.7、向量的数量积例（1）设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则①(a·b )·c －(c·a )·b ＝0 ②|a |－|b |<|a －b |③(b·c )·a －(c·a )·b 不与c 垂直④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2中，正确的有 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④（2）向量m 和n 满足|m |＝1，|n |＝2，且m ⊥(m －n )，则m 与n 夹角的大小为 ( )A ．30°B ．45°C ．75°D ．135°（3）若向量a 与b 不共线，a·b ≠0，且c ＝a －(a·a a·b )b ，则a 与c 的夹角为 ( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π2（4）若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为 ( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°（5）已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝_____. （6）已知向量a 、b 的夹角45°，且|a |＝4，(12a ＋b )·(2a －3b )＝12，则|b |＝______；b 在a 方向上的投影等于______．8、向量的平行与垂直例（1）设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________.（2）若(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，求非零向量a ，b 的夹角的正弦值．（3）设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是 ( ) A ．|a |＝|b| B ．a·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直 （4）已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为 ( )A ．－17 B.17 C ．－16 D.169、向量的综合运算例（1）在ABC ∆中，31=,P 是BN 上的一点，若m 112+=．则实数m 的值为 A ．119 B ．115 C ．113 D ．112 ( ) （2）已知O 为ABC ∆的外心，半径为1，若0=++OC AB OA ，=，则CB CA ⋅等于 ( )A ．23 B ．3 C ．3 D ．32 （3）在△ABC 中，若2···A B A BA C B AB C C AC B =++，则△ABC 是 ( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形（4）已知平面上三点C B A ,,543===，则CA BC BC AB ∙+∙ =∙+ ．（5）设Q P ,为ABC ∆内的两点，且4332,5152+=+=，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为 ．(6)O 是平面上的一定点，C B A ,,是平面上不共线的三点，若0)2()(=-+∙-，则ABC ∆的形状是 （ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形(7)已知O 为ABC ∆42==，则⋅等于 ( )A ．4B ．5C ．6D ．7(8)已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且 PA PB PB PC PC PA ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的 （ ）A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心(9)O 是平面上的一定点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足[)+∞∈++=,0λλ，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心(10)O 是平面上的一定点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足[)+∞∈++=,0),(λλAC AB OA OP ，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心。

向量知识点及题型总结一、向量的定义和性质1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。

2. 向量的性质：- 向量的模长：向量的大小，用 ||a|| 表示，是向量的长度。

- 向量的方向：指向的方向，可以用夹角来表示。

- 向量的相等：如果两个向量的模长相等并且方向相同，那么这两个向量是相等的。

- 零向量：模长为0的向量，表示为0。

二、向量的表示及运算1. 向量的表示方式：- 平面向量：即二维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2)。

- 空间向量：即三维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2, a3)。

2. 向量的基本运算：- 向量的加法：向量相加就是对应分量相加；例如 a + b = (a1 + b1, a2 + b2)。

- 向量的减法：向量相减就是对应分量相减；例如 a - b = (a1 - b1, a2 - b2)。

- 向量的数量乘法：向量乘以一个数，就是将向量每个分量都乘以这个数；例如 k * a = (k * a1, k * a2)。

- 向量的点乘：向量的点乘又称数量积，是两个向量对应分量相乘再相加的运算；例如 a·b = a1*b1 + a2*b2。

- 向量的叉乘：向量的叉乘又称向量积，只存在于三维空间中，结果是垂直于原来两个向量的新向量；例如 a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。

三、向量的应用1. 向量的几何意义- 向量的加法和减法可以表示平移和反向平移。

- 向量的数量积可以表示两个向量的夹角和投影。

- 向量的叉乘可以表示平行四边形的面积和法向量。

2. 向量的物理意义- 位移向量：表示物体的位移和移动方向。

- 力向量：表示物体受到的力和力的方向。

- 速度向量：表示物体的速度和运动方向。

- 加速度向量：表示物体的加速度和加速方向。

四、向量的题型1. 向量的基本运算题型- 求向量的模长和方向。

向量复习题知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差。

③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 j i ,分别为与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。

2平面向量的坐标运算：（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± （2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- （3）若a =(x,y)，则λa =(λx,λy) （4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=（4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅ ，若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b ab a b +⋅-=-=-； ()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y + 8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y xx 平面向量数量积的性质11≤±≤- 注意取等条件（共线）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知两点()3,2M ，()5,5N --，12MP MN =，则P 点坐标是 （ ） A ．()8,1- B ．31,2⎛⎫--⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()8,1- 2．下列向量中，与向量(1,1)a =-平行的向量是 （ ）A ．(0,2)b =B ．(2,0)c =C ．(2,2)d =D ．(2,2)f =-3．a (2,1)=，b ()3,4=，则向量a 在向量b 方向上的投影长度为 （ ） A ．25 B ．2 C ．5 D ．10 4．在三角形ABC 中，C=450， a=5 ,b=4, 则=⋅CA BC（ ）A ．102B ．202C ．210-D ．-2025．已知b a b a ,),5,2(),3,(-==λ的夹角为钝角，则λ的范围是 （ ）A ．215>λ B ．215<λ C ．56<λ D ．56>λ 6．一只鹰正以水平方向向下300角飞行直扑猎物，太阳光从头上直射下来，鹰在地面上影子的速度为40m/s ，则鹰飞行的速度为 （ ） A ．20m/s B ．3380m/s C ．20m/s D ．80m/s 7．O 为平面中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足（OA OP -）·（AC AB -） =0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的 （ ） A.外心B.内心C.重心D.垂心8.已知OA a,OB b ==，C 为AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为CB 上据C 较近的一个三等分点，用a,b 表示OD 的表达式为 （ ） A.4a 5b 9+ B.9a 7b 16+ C.2a b 3+ D.3a b4+ 9．已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且→→→→=++AB PC PB PA ，则点P 与ABC ∆ 的位置关系是（ ）A ．P 在ABC ∆内部B ．P 在ABC ∆外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上或其延长线上10. 若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i +3j 垂直的向量是 ( )A ．3i +2jB ．－2i +3jC ．－3i +2jD ．2i －3j11.对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB BC = ；②||||AB BC =；③||||AB CD AD BC -=+；④22||||4||AC BD AB += 2其中正确的个数为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12．在平面直角坐标系中，已知两点A （cos80o ,sin80o ）,B(cos20o ,sin20o),则｜AB ｜的值是（ ）A ．12BC D ．1二、填空题13.已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5),则△ABC 的形状是 .14.已知实数x,y ，向量,a b 不共线，若（x+y-1）a +（x-y ）b =0，则x= ,y= 15．若三点(1,2),(2,4),(,9)P A B x --共线，则x =16．在ABC ∆中，有命题：①AB AC BC -=；②AB BC CA ++=0；③若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ABC ∆为等腰三角形；④若0AC AB ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形.其中正确的命题序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上） 三、解答题17.（满分12分）设两个非零向量1e 和2e 不共线.(1)如果2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.(2) 若||1e =2，||2e =3，1e 与2e 的夹角为60，是否存在实数m ，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直？并说明理由. 18．（12分）已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=→→→→→→→→e e e e b e e a 其中；求（1）→→→→+⋅b a b a ;的值；（2）→a 与→b 的夹角的正弦值．19．（本小题满分12分）在,中ABC ∆设,,AB a BC b AC c ===， 060,3,4=∠==ABC BC AB ， 求：（1）2a b -; （2）()()2a b a b -⋅+ ; （3）cos >+<b a a ,; 20. （本小题满分12分）已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ()1,2=.（1） 若=c c //a ，求c 的坐标；（2） 若b ()1,m =()0m <且a +2b 与a -2b 垂直，求a 与b 的夹角θ.21．（本小题满分12分） 已知向量(2,1),(1,7),(5,1),OP OA OB X OP ===设是直线上的一点（O 为坐标原点），求XA XB ⋅的最小值．22．（本小题满分14分）已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(2π,23π). （I ）若|AC |=|BC |，求角α的值；（II ）若AC ·BC =-1，求αααtan 12sin sin 22++的值.BDBCA BDA DC CD 4．C=⋅CABC =⨯⨯>=<⋅0135cos 45,cos CA BC 210-5．A><b a ,为钝角,0<⋅⇔b a 且b a ,不反向.6．B设鹰飞行的速度为v ，其在地面上的影子的速度为1v4030cos 0==⋅3380=. 二.填空13.锐角三角形 14. 0.5，0.5 15.17616.③三.解答 17. 证明：（1）AD =AB +BC +CD =（1e +2e ）+（128e +2e ）+（133e -2e ） =6（1e +2e ）=6AB （2分）∴ //AD AB 且AD 与AB 有共同起点 （3分）∴ A 、B 、D 三点共线 （4分） （2）假设存在实数m ，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直，则（m 1e 2e +）⋅（1e -2e ）=0∴221122(1)0me m e e e +-⋅-= （6分）||1e =2，||2e =3，1e 与2e 的夹角为60∴ 22114e e ==，22229e e ==，1212cos 23cos603e e e e θ⋅==⨯⨯= ∴ 43(1)90m m +--= ∴ 6m =故存在实数6m =，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直．18．解：显然→a =3（1，0）—2（0，1）=（3，—2），→b =4（1，0）+（0，1）=（4，1）；易得：①→→⋅b a =3×4+（—2）×1=10；→→+b a =（3，—2）+（4，1）=（7，—1），→→+b a =22)1(7-+=25。

《平面的法向量》知识清单一、平面法向量的定义在空间直角坐标系中，如果一个非零向量垂直于一个平面，那么这个向量就叫做这个平面的法向量。

简单来说，平面的法向量就是与平面垂直的向量。

二、平面法向量的求法1、设平面的方程为 Ax ＋ By ＋ Cz ＋ D ＝ 0 ，其中 A、B、C 不同时为 0 ，则向量 n ＝（A, B, C) 就是该平面的一个法向量。

2、已知平面内不共线的两个向量 a ＝（x1, y1, z1) 和 b ＝（x2, y2, z2) ，设平面的法向量为 n ＝（x, y, z) 。

根据法向量与平面内向量垂直的性质，可得：n·a ＝ 0 ，即 x·x1 ＋ y·y1 ＋ z·z1 ＝ 0n·b ＝ 0 ，即 x·x2 ＋ y·y2 ＋ z·z2 ＝ 0解这个方程组，就可以求出法向量 n 的坐标。

3、对于一些特殊的平面，比如平面与坐标轴平行或垂直的情况，可以通过观察直接得出法向量。

三、平面法向量的性质1、平面的法向量垂直于平面内的任意向量。

2、两个平行平面的法向量相同或相反。

3、一个平面的单位法向量是指模长为 1 的法向量。

对于法向量 n ，其单位法向量为 n ／｜n| 。

4、平面的法向量与平面的方向有关。

如果规定了平面的法向量的方向，那么就确定了平面的“一侧”。

四、平面法向量的应用1、求空间直线与平面的夹角设直线的方向向量为 m ，平面的法向量为 n ，直线与平面的夹角为θ ，则sinθ ＝｜cos<m, n>｜＝｜m·n| ／（｜m|·｜n|）。

2、求二面角通过分别求出两个平面的法向量，然后计算两个法向量的夹角，再根据二面角的实际情况（锐角或钝角）确定二面角的大小。

3、证明线面平行如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行。

4、证明面面平行如果两个平面的法向量相同或平行，则这两个平面平行。

《平面几何中的向量方法》知识清单一、向量的基本概念向量是既有大小又有方向的量。

在平面几何中，我们通常用有向线段来表示向量。

向量的大小称为模，记作\（＼vert\vec{a}＼vert\）。

零向量：模为\（0\）的向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向任意。

单位向量：模为\（1\）的向量。

相等向量：大小相等且方向相同的向量。

相反向量：大小相等，方向相反的向量。

共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量。

二、向量的运算1、加法三角形法则：首尾相连，连接首尾，指向终点。

平行四边形法则：以两向量为邻边作平行四边形，共起点的对角线为和向量。

2、减法三角形法则：共起点，连终点，指向被减向量。

3、数乘实数\（＼lambda\）与向量\（＼vec{a}＼）的乘积是一个向量，记作\（＼lambda\vec{a}＼）。

当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）方向相同；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）方向相反；当\（＼lambda ＝ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。

4、数量积定义：＼（＼vec{a}＼cdot\vec{b} ＝＼vert\vec{a}＼vert\vert\vec{b}＼vert\cos\theta\）（＼（＼theta\）为\（＼vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼）的夹角）性质：＼（＼vec{a}＼cdot\vec{a} ＝＼vert\vec{a}＼vert^2\）；＼（＼vec{a}＼perp\vec{b}＼Leftrightarrow\vec{a}＼cdot\vec{b} ＝ 0\）三、平面向量基本定理如果\（＼vec{e_1}＼），＼（＼vec{e_2}＼）是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量\（＼vec{a}＼），有且只有一对实数\（＼lambda_1\），＼（＼lambda_2\），使\（＼vec{a}＝＼lambda_1\vec{e_1} ＋＼lambda_2\vec{e_2}＼）。

向量 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()()a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ．⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=--．4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ=．1、实数与向量的积的运算律 ： 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 3、平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．5、向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.b aCBAa b C -=A -AB =B6、 a 与b 的数量积(或内积) ： a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．性质：①0a b a b ⊥⇔⋅= ．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时， a b a b ⋅=- ；22a a a a ⋅== 或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤ ．7、平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.8、两向量的夹角公式121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 11、线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 12、三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 13、点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .14、“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 15、 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.练习题 1、(2012·浙江)设a ，b 是两个非零向量( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |2、(2012·辽宁)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b3、已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及其所在平面内一点P ，满足PA +PB +PC =AB ，则点P 与△ABC 的关系为：A. P 在△ABC 内部B. P 在△ABC 外部C. P 在边AB 所在的直线上D. P 是AC 边的一个三等分点4、已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，5、设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P PC PB 00∙≥∙.则（ ）A 、090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =6、在四边形ABCD 中,(1,2)AC = ,(4,2)BD =-,则四边形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．5D ．107、在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（ ）A ．22B ．23C ．42D ．438、已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是 （ ）A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，9、已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+ ,若()()m n m n +⊥-,则=λ（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-110、已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD方向上的投影为（ ）A ．322 B ．3152 C ．322-D ．3152-11、已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA ＋2OC ＝3OB ，则|BC||AB |的值为( ) A.12 B.13 C.14D.1612、已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =_______13、已知向量AB 与AC的夹角为120°,且3AB = ,2AC = ,若AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥,则实数λ的值为__________.14、已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t =_____. 向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________.15、设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x b ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,则||||b x 的最大值等于________bca16、设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________17、在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=_________18、设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为3π,若123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 __________19、在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB的长为_____20、△ABC 中，∠C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM ＝2AM ，则CM ·CA ＝________.21、设OA ＝(1，－2)，OB ＝(a ，－1)，OC＝(－b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________22、P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________23、如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．24、已知向量a ＝（cos23x ，sin 23x ），b ＝（cos 2x ，—sin 2x ），且x ∈［2π，23π］.(1) 求b a ⋅及|a +b |；（II ）求函数f(x)＝b a ⋅-b a +的最小值。

向量题型知识点总结归纳一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

在直角坐标系中，向量通常表示为一个有序数对(a, b)，称为向量的坐标，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y 轴上的投影。

2. 向量的表示向量通常用字母加上箭头来表示，如→AB。

在数学中，向量常用字母加上上方的横线来表示，如a。

若向量a在平面直角坐标系中的终点坐标为(x, y)，则向量a可记作a = (x, y)。

3. 向量的模向量的模是表示向量大小的量，通常用两点间的距离来表示。

在直角坐标系中，向量a = (a1a1) 的模记作|a| = √(a1^2 + a1^2)。

4. 向量的方向向量的方向通常用夹角来表示，夹角是指向量与x轴正方向之间的角，通常用θ来表示。

在直角坐标系中，向量的方向可由tan ⁡θ = y/x来表示。

二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

在直角坐标系中，向量的加法通常是分别将两个向量的对应坐标相加，例如a + a = (a1 + a2，a1 + a2)。

2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

在直角坐标系中，向量的减法可以表示为a - a = (a1 - a2, a1 - a2)。

3. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，表示为a·a（读作a点b），定义为a·a = |a| |a| cos a = aaaa + aaaa，其中a是a和b之间的夹角。

4. 向量的矢量积向量的矢量积又称为叉积，表示为a×a（读作a叉b），定义为a×a = |a| |a| sin a n，其中n是一个垂直于a和b的单位向量。

三、向量的应用1. 向量在物理中的应用向量在物理学中有广泛的应用，例如速度、加速度、力等物理量都可以用向量来表示。

通过向量的运算，可以方便地计算物理问题中涉及到的各种力和速度等物理量。

高三数学总复习讲义——向量一、知识清单（一）向量的有关定义1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也叫向量的长度).用|表示|2.向量的表示方法:（1）字母表示法:如,,,a b c r r rL 等.（2）坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA u u u r的起点O 为在坐标原点,终点A 坐标为(),x y ,则(),x y 称为OA u u u r 的坐标,记为OA u u u r=(),x y .（3）几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB uuu r ,CD uuu r 等.注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a r 与b r相等,记为a b =r r .注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0r与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量. （二）向量的运算 1.运算定义①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。

研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.运 算 图形语言符号语言坐标语言加法与减法OA --→+OB --→=OC --→OB --→OA --→-=AB --→记OA --→=(x 1,y 1),OB --→=(x 1,y 2)则OA OB +uu u r uuu r=(x 1+x 2,y 1+y 2) OB OA -uuu r uu u r=（x 2-x 1,y 2-y 1）OA --→+AB --→=OB --→实数与向量的乘积AB --→=λa →λ∈R记a →=(x ,y ) 则λa →=(λx ,λy )两个向量的数量积cos ,a b a b a b ⋅=⋅r r r r r r 记1122(,),(,)a x y b x y ==r r则a →·b →=x 1x 2+y 1y 22.运算律加法：①a b b a +=+r r r r (交换律); ②()()a b c a b c ++=++r r r r r r (结合律) 实数与向量的乘积：①()a b a b λλλ+=+r r r r ; ②()a a a λμλμ+=+r r r;③()()a a λμλμ=r r两个向量的数量积: ①a →·b →=b →·a →; ②(λa →)·b →=a →·(λb →)=λ(a →·b →);③(a →+b →)·c →=a →·c →+b →·c →注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算， 例如(a →±b→)2=222a a b b →→→→±⋅+3.运算性质及重要结论⑴平面向量基本定理:如果12,e e u r u u r是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a r ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+r u r u u r ，称1122e e λλ+u r u u r 为12,e e u r u u r的线性组合。

平面向量知识清单()⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩①向量②零向量③单位向量一、向量的基本概念内容④相等向量⑤相反向量⑥平行向量①几何表示法二、向量的表示表示方法②符号表示法③坐标表示法①共线定理②共线定理应用向量③不共线定理应用④实数与向量的积⑤平面向量的数量积三、平面向量的基本定理⑥向量的运算⑦向量的运算律⑧向量平行共线的充要条件⑨向量垂直的充要条件⑩平移公式四、平面向量的基⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩①在几何中的应用②在解析中的应用本应用③在解斜三角形的应用④在物理中的应用学习方法：①理论意义、实际意义；②基本概念，知识网络，思想方法，基本技巧；③五步学习法：讲清内容，整理内容，课后练习，讲解练习，总结练习；④基本考点：a 、向量的运算及其几何意义； b 、向量的线性运算； c 、共线问题；e 、基本定理应用及其向量分解； d 、坐标表示及其运算；f 、平行问题的坐标表示；g 、数量积的运算；h 、夹角问题；i 、模长及垂直条件；j 、在平面几何中应用；k 、在解析几何中的应用；l 、在解三角形中的应用；m 、在物理中的应用；一、向量有关概念：①向量的概念：__________________________________________ 向量可以______；②零向量：______________________________记作：0，注意零向量的方向是_____________________________； 作用:１、解决矛盾；２、零向量和任何非零向量平行；３、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量； ③单位向量：_______________________________________；与AB 共线的单位向量是______；④相等向量：_______________________________________；相等向量有_______；大小和方向_______，与位置_______；⑤相反向量：_______________________________________；的相反向量是_______；⑥平行向量（共线向量）：１、方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量；记作：∥零向量和任何非零向量平行；３、两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ４、平行向量无传递性！（因为有0)；５、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； ⑦相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等。