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如何理解重要性采样（importancesampling）重要性采样是非常有意思的一个方法。
我们首先需要明确，这个方法是基于采样的，也就是基于所谓的蒙特卡洛法(Monte Carlo)。
蒙特卡洛法，本身是一个利用随机采样对一个目标函数做近似。
例如求一个稀奇古怪的形状的面积，如果我们没有一个解析的表达方法，那么怎么做呢？蒙特卡洛法告诉我们，你只要均匀的在一个包裹了这个形状的范围内随机撒点，并统计点在图形内的个数，那么当你撒的点很多的时候，面积可以近似为=(在图形内的点的个数/总的点个数)，当你撒的点足够多的时候，这个值就是面积。
这里假设我们总有办法（至少要比找解析的面积公式简单）求出一个点是否在图形内。
另一个例子，如果你要求一个稀奇古怪的积分，没有解析办法怎么办？蒙特卡洛法告诉你，同样，随机撒点，你一定可以知道f(xi)的值，那么这个积分的解可以表示为=(b-a)/点的个数*sigma[f(xi)]，其中b,a 为积分的上下限。
好了，知道了蒙特卡洛法，下面来说重要性采样的前提一些内容。
很多问题里，我们需要知道一个随机变量的期望E(X)，更多时候，我们甚至需要知道关于X的某一个函数f(X)的期望E[f(X)]。
问题来了，如果这个X的概率分布超级特么的复杂，你准备怎么做呢？积分么？逐点求和么？听上去挺不现实的。
这时蒙特卡洛法跑出来告诉你，来来来，咱只要按照你这个概率分布，随机的取一些样本点，再sigma(p(xi)*f(xi))不就可以近似这个期望了么。
但问题又来了，你怎么”按照这个概率分布“去撒点呢？经典蒙特卡洛法是这么做的，首先把这个概率分布写成累计概率分布的形式，就是从pdf写成cdf，然后在[0,1]上均匀取随机数(因为计算机只能取均匀随机数)，假如我们取到了0.3，那么在cdf上cdf(x0)=0.3的点x0就是我们依据上述概率分布取得的随机点。
举个具体例子吧，例如我想按照标准正态分布N(0,1)取10个随机数，那么我首先在[0,1]上按照均匀分布取10个点0.4505 0.0838 0.2290 0.9133 0.1524 0.8258 0.5383 0.9961 0.0782 0.4427然后，我去找这些值在cdf上对应的x0，如下-0.1243 -1.3798 -0.7422 1.3616 -1.0263 0.9378 0.0963 2.6636 -1.4175 -0.1442那么上述这些点，就是我按照正态分布取得的10个随机数。
优化蒙特卡罗方法中的重要性采样策略蒙特卡罗方法是一种基于概率统计的数值计算方法，通常用于求解无法通过解析方法求解的数学问题。
在蒙特卡罗方法中，重要性采样是一种用于减少采样方差的技术，可以提高计算结果的精确度。
本文将对蒙特卡罗方法中的重要性采样策略进行优化，并介绍其应用和优势。
一、重要性采样的原理1.1 重要性采样的概念在蒙特卡罗方法中，通常需要进行大量的随机采样来估计某个问题的数值解。
然而，在某些情况下，原始样本无法充分覆盖整个采样空间，导致计算结果的方差较大。
为了解决这个问题，可以使用重要性采样的方法。
1.2 重要性采样的原理重要性采样通过引入一个重要性函数（importance function），在采样过程中对样本进行加权，使得样本更加集中在问题的关键区域，从而提高计算结果的精确度。
重要性采样的基本原理是：通过对较不常出现的事件进行增强采样，从而提高计算结果的准确性和稳定性。
二、优化重要性采样策略2.1 重要性函数的选择一个有效的重要性函数应该满足两个主要条件：一是要和被采样函数在关键区域有较大的重叠，二是在其他区域上函数值较小，以确保采样效率。
理想情况下，重要性函数的值应该和被采样函数的值成正比。
2.2 自适应重要性采样策略传统的重要性采样方法需要事先选择一个合适的重要性函数，然后根据该函数进行样本采样。
然而，这种方法可能会导致效果不佳，因为对于复杂的问题，很难事先确定一个最优的重要性函数。
自适应重要性采样策略可以避免这个问题，它根据先前的采样结果动态地调整重要性函数，使得采样过程更加高效和准确。
2.3 抽样技巧的改进在进行重要性采样时，采样技巧的选择也会对结果产生影响。
一种常用的改进方法是通过使用更高效的抽样技术来提高采样效率，并减少样本方差。
例如，可以使用多维抽样技术，如Latin Hypercube Sampling（LHS）或Quasi-Monte Carlo （QMC），来替代传统的随机抽样方法。
基于改进蒙特卡洛法的电力系统可靠性评估摘要：近年来我国电力系统的智能化建设速度不断加快，人们对电能的需求量不断增加，对电能质量的要求不断提高，因此保证电力系统供电的可靠性对于我国电力事业的发展至关重要。
电力系统的可靠性评估是对电力系统运行能力、供配电质量的综合分析，包括电力系统的静态可靠性和动态可靠性两方面，目前常用的评估方法主要是蒙特卡洛法和解析法。
随着我国电力系统复杂程度的不断增加，常规的蒙特卡洛法的计算精度和计算速度面临严峻的挑战，通过改进重要抽样进行蒙特卡洛计算，可有效的提高了计算的效率和计算速度。
本文从电力系统可靠性评估的现状入手，分析常规蒙特卡洛法在电力系统可靠性评估中的应用情况，并提出分析改进蒙特卡洛法在电力系统可靠性评估中的应用情况，以期为我国电力系统可靠性评估工作提供参考。
关键词：改进；蒙特卡洛算法；电力系统；可靠性评估电力系统是为工业生产和人民生活提供电力来源以保障国民经济快发发展和人民生活正常进行的重要基础性设施，随着工业生产的快速发展和人民生活的不断提高，保证电力系统运行的可靠性、保证电力系统电能质量成为新时代人们对电力系统的主要要求。
电力系统的可靠性主要是指电力系统在正常运行的情况下能够连续不断的为用户输送高质量电能并保证能够满足需求的电能量的综合能力，电力系统可靠性是衡量电力系统运行能力和供电可靠性的重要指标。
电力系统在实际的运行过程中会受到多方面的原因造成可靠性的下降，同时今年来电力系统停电事故的不断发生，使国家经济和人民的生活都受到了严重的影响，因此对电力系统可靠性的评估，可有效的指导电力系统的规划建设，提高电力系统的安全运行能力，促进我国电力系统的快速发展。
一、电力系统可靠性评估的概念和基本方法（一）电力系统可靠性评估的相关概念电力系统可靠性评估主要包含电力系统的安全性和电力系统的充裕度两个方面，这也是近年来有关电力系统可靠性评估的主要研究方面。
电力系统的安全性主要是指电力系统在受到外界因素的干扰时其供电能力不受影响，可以实现持续不断供应电能的能力，又可称为电力系统的动态可靠性指标。
蒙特卡洛法的基本原理蒙特卡洛法（Monte Carlo method）是一种基于随机抽样的数值计算方法，用于解决难以通过解析方法或传统数学模型求解的问题。
它在物理学、化学、工程学、计算机科学、金融学、生物学等领域都有广泛应用。
本文将介绍蒙特卡洛法的基本原理，包括随机数生成、统计抽样、蒙特卡洛积分、随机漫步等方面。
一、随机数生成随机数是蒙特卡洛法中的基本元素，其质量直接影响着计算结果的准确性。
随机数的生成必须具有一定的随机性和均匀性。
常见的随机数生成方法有：线性同余法、拉斯维加斯法、梅森旋转算法、反序列化等。
梅森旋转算法是一种广泛使用的准随机数生成方法，其随机数序列的周期性长、随机性好，可以满足大多数应用的需要。
二、统计抽样蒙特卡洛法利用抽样的思想，通过对输入参数进行随机取样，来模拟整个系统的行为，并推断出某个问题的答案。
统计抽样是蒙特卡洛方法中最核心的部分，是通过对概率分布进行样本抽取来模拟随机事件的发生，从而得到数值计算的结果。
常用的统计抽样方法有：均匀分布抽样、正态分布抽样、指数分布抽样、泊松分布抽样等。
通过对这些概率分布进行抽样，可以在大量随机取样后得到一个概率分布近似于输入分布的“抽样分布”，进而求出所需的数值计算结果。
三、蒙特卡洛积分蒙特卡洛积分是蒙特卡洛法的重要应用之一。
它利用统计抽样的思想，通过对输入函数进行随机抽样，计算其随机取样后的平均值，来估算积分的值。
蒙特卡洛积分的计算精度与随机取样的数量、抽样分布的质量等因素有关。
蒙特卡洛积分的计算公式如下：$I=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}f(X_{i})\frac{V}{p(X_{i})}$$N$为随机取样的数量，$f(X_{i})$为输入函数在点$X_{i}$的取值，$V$为积分区域的体积，$p(X_{i})$为在点$X_{i}$出现的抽样分布的概率密度函数。
通过大量的样本拟合，可以估算出$I$的值接近于真实积分的值。
第26卷第12期 V ol.26 No.12 工 程 力 学 2009年 12 月 Dec. 2009 ENGINEERING MECHANICS1———————————————收稿日期：2008-07-18；修改日期：2008-11-17基金项目：华南理工大学亚热带建筑科学国家重点实验室资助项目(2008ZC21)；国家科技支撑计划子课题(2006BAJ01B07) 作者简介：*苏 成(1968―)，男，广东潮阳人，教授，博士，从事结构工程与桥梁工程研究(E-mail: cvchsu@)； 李鹏飞(1982―)，男，山东青岛人，硕士，从事结构工程与桥梁工程研究(E-mail: lpf6789@)； 韩大建(1940―)，女，广西北海人，教授，博士，从事结构工程与桥梁工程研究(E-mail: ardjhan@).文章编号：1000-4750(2009)12-0001-05基于Neumann 展开响应面技术的重要抽样蒙特卡罗法*苏 成1,2，李鹏飞3，韩大建1,2(1. 华南理工大学土木与交通学院, 广州 510640; 2. 华南理工大学亚热带建筑科学国家重点实验室，广州 510640;3. 广东省建筑科学研究院，广州 510500)摘 要：在结构可靠度计算中，利用重要抽样技术可以有效提高蒙特卡罗法的计算效率，其中抽样重心的确定是一个关键。
当结构功能函数无法表达为随机变量的解析表达式而需借助有限元计算时，在传统响应面法的有限元数值试验中引入Neumann 级数展开式，可以加速求出设计验算点。
以设计验算点作为抽样重心进行重要抽样后，即可进一步采用蒙特卡罗法计算结构的失效概率。
数值算例表明：所提出的基于Neumann 展开响应面技术的重要抽样蒙特卡罗法具有较高的计算效率，同时又能保持很高的计算精度。
关键词：可靠度；响应面法；蒙特卡罗法；Neumann 级数展开；重要抽样 中图分类号：TB114.3 文献标识码：AIMPORTANCE SAMPLING MONTE-CARLO METHOD BASED ON NEUMANN EXPANSION RESPONSE SURFACE TECHNIQUES*SU Cheng 1,2 , LI Peng-fei 3 , HAN Da-jian 1,2(1. School of Civil Engineering and Transportation, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China; 2. State Key Laboratory of Subtropical Building Science, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China;3. Guangdong Provincial Academy of Building Research, Guangzhou 510500, China)Abstract : Importance sampling techniques can effectively enhance the computation efficiency of the Monte-Carlo method in the calculation of structure reliability. How to determine the sampling center is a key problem. When structure performance functions can not be explicitly expressed by random variables and need to be determined by finite element analysis, Neumann series expansion is incorporated into finite element numerical tests in the traditional response surface method. This can speed up the process for searching the design point, which is then used as the sampling center and importance sampling is conducted. Monte-Carlo method is further employed to obtain the failure probability. Numerical examples show the proposed method, the importance sampling Monte-Carlo method based on Neumann expansion response surface techniques, has high computation efficiency and maintains excellent computation accuracy.Key words : reliability; response surface method; Monte-Carlo method; Neumann series expansion; importancesampling现有的结构可靠度计算方法可分为近似计算方法和蒙特卡罗数值模拟方法两类。
关于蒙特卡罗及拟蒙特卡罗方法的若干研究一、本文概述蒙特卡罗（Monte Carlo）及拟蒙特卡罗（Quasi-Monte Carlo）方法，作为现代计算数学与统计学的重要分支，已经在金融、物理、工程、生物信息学等众多领域展现出其独特的价值和广泛的应用前景。
本文旨在深入探讨这两种方法的理论基础、发展历程、应用实例以及未来可能的研究方向，以期为相关领域的研究者和实践者提供有价值的参考和启示。
我们将回顾蒙特卡罗方法的起源和基本思想，阐述其在随机模拟和概率计算中的核心地位。
随后，我们将介绍拟蒙特卡罗方法的基本概念、与蒙特卡罗方法的区别与联系，以及其在高维积分和复杂函数逼近等领域的应用优势。
接着，我们将对蒙特卡罗及拟蒙特卡罗方法在不同领域的应用进行详细的案例分析，包括金融衍生品定价、量子力学模拟、复杂系统优化等。
通过这些案例，我们将展示这两种方法在实际问题求解中的有效性和灵活性。
我们将展望蒙特卡罗及拟蒙特卡罗方法的未来研究方向，包括算法优化、并行计算、误差分析等。
我们相信，随着计算能力的提升和理论研究的深入，这两种方法将在更多领域发挥更大的作用，为科学研究和工程实践提供强有力的支持。
二、蒙特卡罗方法的基本原理和应用蒙特卡罗方法，又称统计模拟方法或随机抽样技术，是一种以概率统计理论为指导的数值计算方法。
其基本思想是通过随机抽样来模拟和求解数学问题，即通过对随机过程的观察或抽样实验来计算某一事件的概率，或者求得某一随机变量的期望值，并用其作为问题的解。
蒙特卡罗方法的基本原理包括大数定律和中心极限定理。
大数定律指出，当试验次数足够多时，相对频率将趋近于概率。
而中心极限定理则表明，不论随机变量服从何种分布，当独立随机变量的个数足够多时，其和的分布将趋近于正态分布。
这两个定理为蒙特卡罗方法的准确性和有效性提供了理论支撑。
蒙特卡罗方法在实际应用中有广泛的应用领域。
在物理学中，蒙特卡罗方法可用于模拟粒子在介质中的输运过程，如中子输运、电子输运等。
蒙特卡罗方法的实现与优化蒙特卡罗方法是一种通过随机样本来估计概率分布、求解数学问题的方法，被广泛应用于物理学、金融、计算机科学等领域。
本文将介绍蒙特卡罗方法的实现与优化，并探讨如何提高蒙特卡罗方法的效率。
一、蒙特卡罗方法的基本概念蒙特卡罗方法的核心思想是基于随机采样的思想，对连续或离散的随机变量进行数值计算。
其基本流程为：根据随机分布函数进行随机抽样，生成样本数据；根据样本数据计算随机变量的数值，得到估计值。
蒙特卡罗方法的主要应用领域包括蒙特卡罗模拟、蒙特卡罗积分、蒙特卡罗求和等。
其中，蒙特卡罗模拟是一种通过模拟随机事件的方法得到输出结果的概率分布。
蒙特卡罗积分是一种利用随机数生成器生成随机点来求解定积分的方法。
而蒙特卡罗求和则是一种利用随机数发生器来生成随机数，再根据随机数计算求和结果的方法。
二、蒙特卡罗方法的实现过程蒙特卡罗方法的实现步骤大致分为以下几个部分：1、选择合适的分布函数进行随机采样；2、生成样本数据，可使用伪随机数生成器决定采样点集；3、根据样本数据计算目标函数估计值，通常采用样本均值作为目标函数的估计值；4、如果估计值精度不满足要求，可以增加样本数量，使得估计值更加准确。
下面以蒙特卡罗积分为例，介绍蒙特卡罗方法的实现过程。
1、选择合适的分布函数进行随机采样假设我们要求解下面的定积分：∫(0,1)e^(-x^2)dx由于这个积分式没有解析解，我们可以使用蒙特卡罗积分来估计它的值。
对于这个积分函数，我们可以使用正态分布函数进行随机采样。
2、生成随机数据点在进行随机采样时，我们可以使用伪随机数生成器产生一系列的随机数，然后通过正态分布函数来确定输入值，从而获得一些随机数据点。
通过这些随机数据点可以近似地计算其期望值。
3、计算积分估计值我们可以根据样本数据计算定积分的估计值：f(x) = e^(-x^2)E(f) ≈ 1/N*sum(f(x_k))其中，N表示样本数量，f(x_k)为第k个样本的函数值。
